Este material contém uma compilação de textos de diversos autores, tendo sido elaborado com o objetivo exclusivo de ser um apoio didático para o aluno em sala de aula. 2016
RELAÇÕES E FUNÇÕES Para iniciarmos o estudo de funções, devemos verificar alguns conceitos importantes. Uma função pode ser definida como uma relação, mas o que é uma relação e como podemos representar graficamente? PARES ORDENADOS Podemos escrever dois elementos de um conjunto como (x, y), não importando a ordem de apresentação dos elementos a e b, ou seja, os conjuntos (x, y)=(y, x), sendo que neste caso, podemos definir com um par não ordenados. Quando a ordenação de x e y tem um significado, definimos como pares ordenados, ou seja, podemos demonstrar por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento. Como propriedade, podemos definir que (x, Y) (y, x), a não ser que x=y. Os pares ordenados são representados no plano cartesiano, que consiste em dois eixos perpendiculares, em que no eixo horizontal estão os elementos x (eixo das abscissas) e no vertical os elementos de y (eixo das ordenadas). Recebe o nome de Plano Cartesiano por ter sido criado por René Descartes 1. Para entendermos melhor, vamos exemplificar. Observe o plano cartesiano a seguir: Ponto R é composto pelo par ordenado (-4;4); Ponto S é composto pelo par ordenado (-1;2); Ponto T é composto pelo par ordenado (-2;-1); Ponto U é composto pelo par ordenado (-3;0); 1 René Descartes (1596-1650) nasceu no dia 31 de março em La Haye, antiga província de Touraine, hoje Descartes, na França. Filósofo, físico e matemático francês, é o famoso autor da frase "Penso Logo Existo".
Ponto V é composto pelo par ordenado (3;1). Os pares ordenados são elementos de um conjuntos, e para ampliarmos nossa visão, vamos admitir que os elementos de x e y pertencem ao conjunto dos números reis, então podemos representar matematicamente como: x y = {(x, y) x R e y R} Podemos definir como o produto cartesiano entre os elementos, no qual representaria todos os pares ordenados cujo os elementos pertencem ao conjunto dos números reais, além de que, cada par ordenado representa um único ponto no plano cartesiano. CONCEITO DE FUNÇÃO Em estudos de fenômenos econômicos, muitas vezes utilizamos de modelos matemáticos para descrevê-los e interpretá-los. Neste sentido, deve-se conhecer as estruturas, conceitos e comportamento das funções matemática para utilizar como ferramenta que auxiliam na resolução de problemas. As funções aparecem em muitas situações reais, em que o valor de uma variável pode depender do valor de uma outra variável. Por exemplo: em tempo a procura por um tipo de carne (frango, gado etc.) pode depender do preço atual no mercado; a poluição do ar depende do número de carros na rua; a área de um quadrado depende da medida de seus lados. No exemplo abaixo, a Tabela 1 traz a distribuição dos preços do quilo do contrafilé no decorrer dos meses de 2003. TABELA 1 Preço médio do quilo do contrafilé em São Paulo no ano de 2003. Mar Mai Nov Mês (t) Jan. Fev. Abr. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Dez.. o. Preço (p) 6,70 6,75 6,80 6,88 6,95 7,01 7,06 7,14 7,20 7,28 7,36 7,45 Podemos notar que, a cada mês, há apenas um preço médio de carne. Assim, podemos dizer que cada preço, p, está associado a um mês, t, ou ainda que o preço depende do mês que escolhermos.
FONTE: Fleming et al, 2006 Mas, qual a definição de função? Considerando que cada par ordenado associa um valor y com um único valor x, qualquer coleção de pares ordenados constituirá uma relação entre os elementos x e y. Neste caso, podemos dizer que y está em função de x, o que pode ser denotado matematicamente por y = f(x). Na representação anterior, podemos definir x como argumentou ou variável independente e f(x) ou y como valor da função ou variável independente. O conjunto formado por todos os valores de x é conhecido como domínio da função, e o conjunto composto pelos elementos y é denominado imagem da função. CONJUNTOS E DIAGRAMAS Para compreender melhor as definições, vamos explorar um pouco mais dos conjuntos e diagramas. Toda relação entre conjuntos tem um domínio, uma imagem e um contradomínio. O domínio é representado pelo conjunto A, é o conjunto que domina a relação. O contradomínio é representado pelo conjunto B. A imagem é representada pelos elementos do contradomínio (conjunto B) que possuem correspondência com o domínio (conjunto A). Cabe lembrar que uma função é a relação entre dois conjuntos, no qual os elementos do conjunto A determina um único elemento no conjunto B, e, caso isso não ocorra, a relação não é considerada uma função. Embora a definição de uma função estipule que para cada x haja um único y, o inverso não é obrigatório, ou seja, um mesmo valor y pode ser associado legitimamente mais de um valor de x. Veja alguns exemplos:
A relação f não é uma função de A em B pois há um elemento em A que não possui imagem (número 1). A relação g não é função de A em B pois o elemento a possui duas imagens A relação h é função de A em B pois estão satisfeitas as duas condições: i) todos os elementos de A possuem imagem ii) não há nenhum elemento de A com mais de uma imagem OPERAÇÕES ESPECIAIS COM FUNÇÕES FUNÇÃO INVERSA De uma maneira bem simples, podemos dizer que a inversa de uma função f, denotada por f -1, é a função que desfaz a operação executada pela função f. Vamos entender melhor essa Ideia, através da ilustração abaixo. Ao definirmos uma função y = f(x) na forma f A B, ressaltamos que se trata de uma lei ou regra que a cada elemento de A se faz corresponder um único elemento de B. Em algumas funções para cada y B existe exatamente um valor x A tal que y = f(x). Nestes casos, define-se uma função g B A na forma x = g(y). A função g e dita inversa de f, e é denotada por f 1.
Nem todas as funções possuem inversa, como por exemplo, as funções do segundo grau que não possuem inversa a não ser que seja feita uma restrição conveniente no seu domínio e contradomínio. Exemplo: Determinar a função inversa de f(x) = 2x 1. FUNÇÕES MATEMÁTICAS APLICADAS Constantemente encontramos em nosso cotidiano situações envolvendo relações entre duas grandezas variáveis. Vejamos alguns exemplos: (a) O total mensal da conta de Água pago à Sanepar é uma relação entre a quantidade consumida e o valor da conta. (b) A receita obtida no final do mês na venda de um determinado produto pelo comerciante é uma relação entre a quantidade vendida e o preço de venda do produto. (c) O salário de um trabalhador que ganha por horas trabalhadas, é uma relação entre as horas que ele trabalhou e o valor pago por hora (d) O consumo de combustível de um carro, é uma relação com a quantidade de quilômetros rodados pelo carro. FUNÇÃO CUSTO Para compor uma função custo geralmente temos uma série de fatores, como, por exemplo, o custo fixo (aluguel, seguro, impostos, etc) e o custo variável em função da quantidade produzida de determinada mercadoria. Podemos expressá-la por: Custo Total = Custo Fixo + Custo Variável
FUNÇÃO RECEITA A função receita é composta com a quantidade arrecadada com a venda de x unidades de um determinando produto, isto é: a quantidade multiplicada pelo valor unitário. Receita = Quantidade x preço FUNÇÃO LUCRO Um produtor ou vendedor obtém seu lucro (ou a função lucro), retirando o custo do valor arrecadado com a receita. Lucro = Receita - Custo FUNÇÃO DEMANDA Considere as circunstâncias relativas a um fabricante, nas quais as únicas variáveis são preço p e a quantidade de mercadorias demandadas x, portanto a função demanda é uma relação entre a quantidade demandada x e o preço p. Em geral quando o preço é baixo, os consumidores procuram mais a mercadoria e viceversa. FUNÇÃO OFERTA Assim como a demanda, a oferta também pode ser expressa por uma função, relacionandose preço e quantidade oferecida de uma mercadoria. A função oferta é crescente, pois quando o preço sobe, existem mais produtores interessados em colocar no mercado quantidades cada vez maiores de seu produto, quando o preço caí, essa oferta diminui. PONTO DE EQUILÍBRIO Também chamado de Ponto de Nivelamento ou break-even. É utilizado na administração e na Economia, para analisar as implicações de várias decisões de fixação de preços e produção. Matematicamente é quando: Oferta = Demanda ou Custo = Receita FUNÇÃO UTILIDADE A função utilidade pretende medir a satisfação de um consumidor em função da quantidade consumida de certo bem ou serviço.
CURVA DO ORÇAMENTO Quando se conhecem o orçamento (verba disponível) de um consumidor e os preços dos produtos que pretende comprar, pode-se estabelecer uma relação entre as quantidades desses produtos que podem ser adquiridos por ele com essa verba FUNÇÃO PRODUÇÃO A função produção Total ou função produção dá a quantidade produzida na unidade de tempo como função de um conjunto de fatores, chamados insumos de produção, tais como capital, trabalho, matéria-prima. TIPOS DE FUNÇÕES A definição y=f(x) é uma regra geral no sentido de que um mapeamento é possível, mas isso não quer dizer que as regras sempre estará explicita. Algumas funções podem ser representadas por regras específicas, tais como: função inversa, polinomial, racional, exponencial, logarítmicas, trigonométricas, entre outras. FUNÇÃO CONSTANTE Uma função cuja faixa consiste em somente um elemento é denominada uma função constante. Como exemplo, citamos a função: y = f(x) = 7 No qual pode ser expressa alternativamente como y= 7 ou f(x)= 7, cujo valor permanece o mesmo independentemente do valor de x. No plano cartesiano, tal função apareceria como uma reta horizontal. FUNÇÃO POLINOMIAL A palavra polinomial significa "vários termos" ou "multitermos", e uma função polinomial de uma única variável x tem a forma geral: f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n x + a 0
Onde: a0, a1,..., an, são os coeficientes da função (números reais). O domínio das funções polinomiais é sempre o conjunto dos números reais e o grau do polinômio representa o grau da função. Portanto, é possível dizer que: Se n=0; y = a 0 Função Constante Se n=1; y = a 0 + a 1 x Função Linear ou do 1º Grau Se n=2; y = a 0 + a 1 x + a 2 x² Função Quadrática Se n=2; y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 Função Cúbica E assim em diante. Os indicadores sobrescritos das potencias de x são denominados expoentes. A potência mais alta envolvida, isto e, o valor de n, e usualmente denominada o grau da função polinomial; uma função quadrática, por exemplo, e um polinômio de segundo grau e uma função cúbica e um polinômio de terceiro grau. Vamos estudar mais detalhadamente as propriedades e características das funções polinomiais do primeiro e segundo graus, bem como suas aplicações. Função polinomial do primeiro grau Caracterização Geral Definição: uma função de 1º grau é dada por: Com a 0. f: R R y = f(x) = ax + b # a é chamado de coeficiente angular, ou taxa de variação média, ou simplesmente taxa de variação da variável dependente, y, em relação à variável independente, x, e pode ser calculado pela razão: a = variação em y variaçõ em x, ou seja, a = y 2 y 1 x 2 x 1 # graficamente, a representa a inclinação da reta que representa a função. # b é chamado de coeficiente linear, sendo que graficamente representa o ponto em que a reta corta o eixo y. # a representação gráfica da função do primeiro grau é dada por uma reta. # o domínio e o conjunto imagem são os reais. Veja um exemplo gráfico de função afim.
Custo (R$) x Conforme os valores dos coeficientes a e b, temos as situações a seguir: No exemplo a seguir, a tabela traz o custo para a produção de camisetas. Quantidade (q) 0 5 10 20 50 100 Custo (C) 100 110 120 140 200 300 Resolução: Notamos que, quando há um aumento de 5 unidades produzidas, o custo aumente em R$ 10,00; se há um aumento de 10 unidades, o custo aumenta 20. Com, notamos que uma variação na variável independente gera uma variação proporcional na variável dependente. Podemos observar os dados no gráfico abaixo: 350 300 250 200 150 100 50 0 0 20 40 60 80 100 120 Quantidade (q)
Como observado, a função apresenta um comportamento linear, e podemos determinar o modelo através das definições de função do 1º grau. Inicialmente, podemos determinar o coeficiente angular. a = 300 100 100 0 = 200 100 = 2 Após, podemos determinar o coeficiente linear, escolhendo um ponto da tabela e substituindo na função já conhecida. f(x) = 2x + b 140 = 2 (20) + b 140 = 40 + b 140 40 = b 100 = b Já podemos escrever a função que modela o custo para a produção de camisetas, considerando a quantidade x de camisetas produzidas, sendo: f(x) = 2x + 100 Restrição orçamentária: Supondo que uma empreiteira deseja comprar areia e pedra para fazer um calçamento e disponha de R$ 1.000. Sabendo que o metro cúbico de areia custa R$ 50,00, enquanto o metro cúbico de pedra custa R$ 40,00, podemos obter uma expressão matemática que relacione os possíveis valores e quantidades de areia e pedra a serem compradas utilizando o orçamento de R$ 1.000,00. Resolução: sendo x a quantidade de areia a ser comprada então, o valor a ser gasto com areia será 50x. De modo análogo, sendo y a quantidade de pedra a ser comprada, então, o valor a ser gasto com pedra será 40y. A restrição orçamentária para a compra de dois produtos A e B, de acordo com um orçamento determinado, é dada pela expressão: valor gasto com A = valor gasto com B = orçamento Então, em nosso exemplo, a restrição orçamentária para a compra é: 50x + 40y = 1000 ou 50x + 40y 1000 = 0 EXERCÍCIOS 1) Faça o gráfico das funções e classifique de acordo com os valores assumidos pelos coeficientes angular e linear.
a) y = 2x + 3 b) y = 2 x 3 c) y = 0,8 d) y = 10 + 5t e) y = x Resumindo: Domínio Imagem Representação Gráfica Zero ou raiz Crescimento ou decrescimento Coeficiente angular a D(f)=R Im=R É uma reta Ponto em que o gráfico corta o eixo x, ou seja, valor de x tal que f(x)=0 y = f(x) = ax + b ax + b = 0 x = b a Para as funções do primeiro grau a análise pode ser feita através do sinal do coeficiente angula (a) a>0 função crescente a<0 função decrescente Obtido por: a = y 2 y 1 x 2 x 1 TESTE SEU CONHECIMENTO 1 Construa o gráfico das seguintes funções e de suas funções inversas.: a) g(x) = 3 x 2 b) f(x) = 3x 2 2 Determine a função que passa pelos pontos ( 1, 1) e ( 1,3). 2
Função polinomial do segundo grau Chama-se função do segundo grau a função que associa cada número real x, o número real ax² + bx + c. Em linguagem simbólica, podemos descrever como: f: R R f(x) = ax 2 + bx + c sendo a, b, c ε R, com a 0 Onde c, é o termo independente e define o ponto em que o gráfico corta o eixo y. As raízes da função, ou seja, o ponto onde o gráfico corta o eixo x, pode ser determinado pela fórmula de Báskara, definida como: Ou ainda: x = b ± b2 4ac 2a x = b ± 2a onde = b 2 4ac O domínio desta função é o conjunto dos reais e o conjunto imagem pode ser encontrado em função dos parâmetros a, b e c. O gráfico da função do segundo grau é uma parábola. Toda a parábola tem um eixo de simetria e sua concavidade pode ser voltada para cima ou para baixo. A concavidade pode ser definida pelo coeficiente a sendo que: se a> 0 concavidade para cima; se a< 0 concavidade para baixo. Podemos resumir o estudo do gráfico como:
EXERCÍCIOS 1 O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por E(t) = t² 8t + 210, onde o consumo E é dado em kwh e ao tempo associa-se t=0 a janeiro e assim sucessivamente. a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195kwh; b) Qual o consumo mensal médio para o primeiro ano? c) Esboce o gráfico dos 12 meses de consumo; d) Terá período sem consumo? 2 O número N, de apólices vendidas por um vendedor de seguros, pode ser obtidos pela expressão N(t) = t² + 14t + 32, onde t representa o mês da venda. a) Qual o mês que foi vendido o máximo de seguros? b) Qual a média de vendas anual? 3 Para cada item a seguir, determine as raízes da função e o vértice da função. a) y = x² 4x 5 b) y = x² 8x + 16 c) y = 3x² + 6x + 9 d) y = x² + 4x 6
e) y = 4x² + 12x + 16 f) y = 2x² 4x 2 4 O preço da garrafa de um vinho varia de acordo com a relação p = 2q + 400, onde q representa a quantidade de garrafas comercializadas. Determine: a) A função receita; b) Qual a quantidade de garrafas a ser comercializada para que a receita seja máxima? Qual a receita máxima? c) Para quais quantidades comercializadas a receita é crescente? 5 Considerando as mesmas condições do problema anterior e o custo para a produção e comercialização das garrafas de vinho como C(x) = 240x + 2400. Determine: a) Obtenha a função lucro; b) Qual a quantidade de garrafas a ser comercializada para que o lucro seja máximo? Qual o lucro máximo? 6 Para a comercialização de relógios, um lojista nota que a receita é dada por R(x) = 3x² + 120x e o custo é dado por C(x) = 2x² + 20x + 375. a) Esboce o gráfico da receita; b) Esboce o gráfico do lucro; c) Qual o lucro máximo? d) Em quais quantidades o lucro será positivo? 7 A produção de um funcionário, quando relacionada ao número de horas trabalhadas, leva à função P(t) = 2t² + 24t + 128. a) Em que momento a produção é máxima? Qual a produção máxima? b) Em que momento o funcionário não consegue mais produzir? c) Quais os intervalos de crescimento e decrescimento para a produção? Resumindo Domínio Representação Gráfica D(f)=R É uma parábola e o sinal do coeficiente a na expressão que representa genericamente a função do segundo grau (y = ax² + bx + c) O vértice da parábola, ou seja, o ponto de simetria da função é determinado por (V = ( b, ). 2a 4a
Zero ou raiz Este ponto vai ser um ponto de máximo ou de mínimo da função em acordo com a concavidade. A existência de zeros para a função do segundo grau no contexto real fica condicionada ao fato de R. Tem-se os seguintes casos
FUNÇÃO NÃO AGÉBRICA Qualquer função expressa em termos de polinômios e/ou raízes (tal como raiz quadrada) de polinômios é uma função algébrica. As funções exponenciais e logarítmicas são exemplos de funções não algébrica, ou seja, a variável está no expoente. Na imagem abaixo, pode-se observar algumas funções e suas características gráficas: FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA Antes do estudo das funções exponenciais e logarítmicas, é importante que você revise os objetos matemáticos envolvidos: as potências e os logaritmos Potência
Logaritmos Apesar de um nome um pouco assustador logaritmo, o que se faz, nada mais é que a busca de um expoente, isto é, calcular o logaritmo de um número b > 0 numa base a > 0 e a 1, é encontrar uma maneira de escrever b como uma potência de a, melhor dizendo, qual expoente que devemos elevar a para obter b? De maneira geral, log a b = x ax = b com a > 0, a 1 e b > 0 *O número b é chamado de logaritmando; *O número a é chamado de base; *O número x é chamado de logaritmo.
Função Exponencial Definição: uma função exponencial é dada por: com a>0, a 1 e b 0 y = f(x) = b. a x # o coeficiente b representa o valor da função quando x=0 e dá o ponto em que a curva corta o eixo y. y = f(0) = b. a 0 y = b. 1 y = b Em situações práticas, é comum chamar o valor b de valor inicial. Esse coeficiente pode assumir valores positivos ou negativos, entretanto consideramos em nossos estudos apenas valores positivos para b. # se temos a base a > 1, a função é crescente, se temos a base 0 < a < 1, a função é decrescente, considerando b>0. Graficamente, podemos representar como: Como modelar uma função exponencial? Para o obter a função exponencial, precisamos determinar os coeficientes b e a. Temos a seguir três casos comuns de obtenção da função exponencial. I PROPORCIONALIDADE : Quando são fornecidos dados relativos às variáveis independentes e às correspondentes variáveis dependentes, período a período (isto é, dia a dia, mês a mês, unidade a unidade), devemos dividir a variável dependente do período anterior e compara os resultados. a = y 2 y 1 = y 3 y 4 = y 4 y 3,
Se os resultados forem iguais, temos um fenômeno que pode ser representado por uma função exponencial, sendo a base a da função exponencial. Para obter o coeficiente b, utilizamos um valor de x, seu correspondente y e o valor de a obtido anteriormente, substituindo tais valores na função y = b. a 0. Exemplo: A população de uma cidade nos anos de 1999 e 2003 é dada, conforme tabela abaixo. Ano 1999 2000 2001 2002 2003 População 826.758 843.293 860.159 877.361 894.908 Obtenha uma função que forneça a população como uma função do ano, considerando que o ano de 1995 foi o ano inicial e que, de 1995 a 1999, o crescimento da população foi similar ao crescimento dado pela tabela. Resolução: Pelo enunciado, vamos primeiramente reelaborar a tabela, considerando y a variável que representa a população e x a variável que representa o tempo. Como foi solicitado, consideraremos 1995 o ano inicial, sendo conveniente fazer x = 0 para esse ano, x = 1 para o ano de 1996, x = 2 para o ano de 1997, e assim sucessivamente: Ano(x) 04 05 06 07 08 População(y) 826.758 843.293 860.159 877.361 894.908 as divisões: Para verificar se tal situação pode ser representada por uma função exponencial, faremos 843.293 = 1,01999980 1,02 826.758 860.159 = 1,020000017 1,02 843.293 877.361 = 1,01999863 1,02 860.159 Como os resultados são iguais, temos nesse exemplo uma função exponencial cuja base é dada por a = 1,02; o coeficiente b será obtido substituindo o valor a = 1,02 e um dos pares de valores de x e y dados, por exemplo, (x, y) (4; 826.758) 826.758 = b. 1,02 4
Assim, a função da população é dada por: b = 826.758 b = 763.797 1,08243216 y = 763.797. 1,02 x II A PARTIR DE DOIS PONTOS: Em algumas situações, já é explicitado que se trata de uma função exponencial e, nesses casos, bastam apenas dois pares de valores relacionando x e y para determinar a expressão desejada. O procedimento consiste em substituir os dois pares de valores (x; y) na função f(x) = b. a x, formando um sistema de duas equações com duas incógnitas cuja solução fornece os coeficientes a e b. Para tal sistema, um modo rápido de resolvê-lo é realizar a divisão de uma equação pela outra, cancelando o coeficiente b, o que permite encontrar a. Em seguida, substituindo a em uma das equações, encontramos o coeficiente b. Exemplo: Em um silo de armazenamento, os grãos de cereais armazenados, com o tempo, começam a estragar, sendo que a quantidade de grãos ainda em condições de consumo começa a decair segundo um modelo exponencial. A tabela a seguir relaciona dois instantes e respectivas quantidades de grãos ainda em condições de consumo. Tempo após estocagem (x) 2 5 Quantidade aproveitável de cereais (y) 576 243 Obtenha uma função que forneça a quantidade aproveitável de cereais como uma função do ano após a estocagem Resolução: Pelo enunciado, sabemos que o modelo é exponencial e que os pontos (2;576) e (5; 243) satisfazem a expressão y = b. a x, então substituindo. Com isso, obtemos o sistema: { b. a5 = 243 b. a 2 = 576 Sendo que resolvemos dividindo as duas equações: b. a 5 b. a 2 = 243 576 a 5 2 = 0,421875 a 3 3 = 0,421875 a = 0,421875 Substituindo o a = 0,75 em: a = 0, 75 b. a 2 = 576 b. (0,75) 2 = 576 b = 576 b = 1024 0,5625
Assim, a função que fornece a quantidade aproveitável de cereais é y = 1.024. 0,75 x III FATOR MULTIPLICATIVO: O fator multiplicativo é considerada a base da função exponencial e é obtido pela soma de 1 à porcentagem de aumento descrita na forma decimal. Em caso de diminuição, subtrai-se do 1 a porcentagem de diminuição escrita em forma decimal. # aumento de i% : a = 1 + i% 100 # diminuição de i% : a = 1 i% 100 Exemplo: A população de uma cidade é de 450.000 habitantes e cresce 1,43% ao ano. Determine a expressão da população P como função do tempo í, isto é, P = f (t). Resolução: Pelo enunciado, a população será expressa conforme P(t) = b. a t. Estabelecendo primeiramente a base com aumento de i = 1,43%, temos a = 1 + 1,43 100 a = 1 + 0,0143 a = 1,0143 Sabemos também que a população inicial fornece o coeficiente b, isto é, b = 450.000, logo a função da população é P(t) = 450.000. 1,0143 t. Função Logarítmica As funções logarítmicas podem ser consideradas funções inversas da função exponencial. A funções é definida pela lei de formação: f(x) = log a x com a 1 e a > 0 Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.
Exemplo: Analise a função f(x) = log 2 x Comparando as funções exponenciais e logarítmicas Função Exponencial Definição: Dado um número real a, tal que 0 < a 1, chama-se função exponencial de base a a função f de R em R que associa a cada x real o número a x. Domínio: D (f) = R Imagem: Im(f) = (0,+ ). Crescente se, e somente se a > 1 Decrescente se, e somente se 0 < a < 1 Com relação ao gráfico da função f(x) = a x, pode-se dizer que: 1 ) A curva que representa esta função está toda acima do eixo dos x, pois y = a x > 0 para todo x R. 2 ) A curva sempre corta o eixo y no ponto de ordenada 1, pois, se x = 0, então f(0) = a 0 = 1. Função Logarítmica Definição: Dado um número real a, tal que 0 < a 1, chama-se função exponencial de base a a função f de R em R que associa a cada x real o número log a x. Domínio: D(f) = (0,+ ) Imagem: Im(f) = R Crescente se, e somente se a > 1 Decrescente se, e somente se 0 < a < 1 Com relação ao gráfico da função f(x) = log a x pode-se dizer que: 1 ) A curva que representa esta função está todo a direita do eixo dos y, já que esta função só é definida para x > 0. 2 ) A curva corta o eixo dos x no ponto de abscissa1, pois, se x = 1, então f(1) = log a 1= 0.
EXERCÍCIOS 1 - O montante de uma aplicação financeira no decorrer dos anos é M(x) = 50.000. 1,08 X, onde x representa o ano após a aplicação e x = 0, o momento em que foi realizada a aplicação. a) Calcule o montante após 1,5 e 10 anos da aplicação inicial. b) Após quanto tempo o montante será $ 80.000,00? 2 - Uma máquina copiadora após a compra tem seu valor depreciado a uma taxa de 11,5% ao ano. Sabendo que o valor pode ser expresso por uma função exponencial e que o valor na compra é de $ 68.500,00: a) Obtenha o valor V como função dos anos x após a compra da máquina copiadora. b) Obtenha o valor da máquina copiadora após 2; 5 e 10 anos da compra. c) Após quanto tempo o valor da máquina será a metade do valor inicial? 3 - Uma pessoa faz um empréstimo de $ 35.000, que será corrigido a uma taxa de 3,5% ao mês a juros compostos. a) Obtenha o montante da dívida M como função dos meses x após a data do empréstimo, isto é, M = f(x). b) Obtenha o montante da dívida após l, 12, 24 e 36 meses do empréstimo. c) Utilizando apenas a base da função, determine o aumento percentual em um ano. d) Após quanto tempo o valor do montante será $ 50.000,00? 4 - Após estudos, verificou-se que é exponencial o crescimento do consumo de energia elétrica em uma zona industrial de uma certa cidade. Foram computados os valores do consumo em relação ao número de anos transcorridos após o início do estudo, e dois desses valores são dados na tabela a seguir: Tempo após início do estudo (x) 3 7 Consumo de energia (y) 192.000 468.750 a) Obtenha o consumo de energia y como função dos anos x após o início do estudo, isto é, y = f(x). b) Qual o aumento percentual anual no consumo de energia?
c) Qual era a quantidade de energia consumida no ano do início do estudo? d) Sabe-se que o limite para fornecimento de energia, antes de haver colapso do sistema, é de 1.000.000 GWh para tal região industrial. Se o crescimento do consumo continuar com as mesmas características, após quanto tempo haverá colapso do sistema de distribuição de energia? 5 - O montante de uma aplicação financeira no decorrer dos meses é dado pela tabela a seguir: Mês após a aplicação inicial (x) 7 8 9 10 Montante (M) 499.430 506.922 514.525 522.243 Verifique se o montante pode ser expresso como uma função exponencial em relação aos meses após a aplicação inicial. 6 - A população de uma cidade no decorrer dos anos é dada pela tabela a seguir: Ano (t) 1 2 3 4 População (P) 154.728 157.823 165.714 178.970 Verifique se a população pode ser expressa como uma função exponencial em relação aos anos após o início de sua contagem (í = 0). 7 - Uma organização sindical analisou as ofertas de empregos em uma cidade no decorrer dos meses e organizou alguns dos dados analisados conforme a tabela a seguir: Meses (t) 3 4 5 6 Número de ofertas de empregos (N) 1.500 1.425 1.354 1.286 a) Verifique se o número de ofertas de empregos pode ser expresso como uma função exponencial em relação aos meses após o início da análise (t = 0). b) qual será a oferta de emprego estimada para 12 meses?