Hewlett-Packard PRISMAS Aulas 01 e 02 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Ano: 2016
Sumário PRISMAS... 1 CLASSIFICAÇÃO DE UM PRISMA... 1 ÁREAS EM UM PRISMA... 1 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 1 VOLUME DE UM SÓLIDO... 2 PRINCÍPIO DE CAVALIERI... 2 VOLUME DE UM PRISMA... 2 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 2 PARALELEPÍPEDO... 2 PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO... 3 CUBO... 3 DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO... 3 ÁREA TOTAL DA SUPERFÍCIE DE UM PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO... 3 VOLUME DE UM PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO... 3 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 3 CAIU EM PROVAS ANTERIORES... 4 GABARITO... 4
PRISMAS AULA 01 Tablet: (Leitura) Definição de Prisma Observe a representação de um prisma: Prisma Hexagonal Prisma Reto Prisma Oblíquo Os elementos de um prisma são: bases, altura, faces laterais, arestas da base e arestas laterais. No caso do prisma apresentado acima, esses elementos são: Bases: polígonos ABC e A B C. Altura: distância entre os planos α e β. Faces laterais: retângulos AA B B, BB C C e AA C C. Arestas das bases: segmentos AB, BC, AC, A B, B C e A C. Arestas laterais: segmentos AA, BB e CC. Observação 1.1: Nos prismas, as faces laterais sempre são paralelogramos. CLASSIFICAÇÃO DE UM PRISMA Podemos classificar os prismas quanto ao número de lados de um dos polígonos da base (triangular, quadrangular, pentagonal, etc.) e quanto à inclinação de suas arestas laterais em relação ao plano de uma base (reto ou oblíquo). A seguir, temos alguns prismas e uma de suas classificações: Observação 1.2: A altura de um prisma reto coincide com a medida de uma aresta lateral, o que NÃO ocorre em um prisma oblíquo. Observação 1.3: Quando um prisma é descrito como um prisma regular, há a implicação de dois fatos: ele é um prisma reto; e as suas bases são polígonos regulares. ÁREAS EM UM PRISMA Área de uma das bases (A b ): área do polígono de uma das bases; Área lateral (A l ): soma das áreas das faces laterais; Área total (A t ): soma das áreas de todas as faces do prisma. A t = 2 A b + A l EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1) PSA 19.2 Prisma Triangular Prisma Quadrangular Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho, Matheus Bernardini e Paulo Luiz Ramos Página 1
Relembrando... Diagonal de um quadrado de lado l: Altura de um triângulo equilátero de lado l: Cálculo de áreas de alguns polígonos d = l 2 h = l 3 2 Triângulo Equilátero de lado l: A = l2 3 4 Quadrado de lado l: PRINCÍPIO DE CAVALIERI Sejam P e Q dois sólidos limitados e α um plano. Se para todo plano β//α as interseções β P e β Q são vazias ou têm a mesma área, então os volumes de P e Q são iguais. Observação 1.4: Se dois sólidos P e Q tem o mesmo volume, então dizemos que P e Q são sólidos equivalentes. VOLUME DE UM PRISMA Pode-se mostrar que o volume V de um prisma em que a área de uma base é A b e a altura é h é dado por: V = A b h A = l 2 Hexágono regular de lado l: A = 6 l2 3 4 Retângulo de dimensões b e h: A = b h VOLUME DE UM SÓLIDO Tablet: (Leitura) Definição de Volume EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.2) Determine a área total e o volume de um prisma triangular regular, em que uma das arestas de uma base mede 2 cm e uma das arestas laterais mede 3 cm. 1.3) PSA 20 1.4) PSA 31 TAREFA 1: P.S.A.: 12, 18, 21, 28 e 29. Medir uma região do espaço é compará-la com outra região do espaço fixada como unidade. Adota-se frequentemente, como unidade de volume, o volume de um cubo de aresta unitária. Desse modo, tem-se: Medida da aresta Volume do cubo 1 dm 1 dm³ 1 cm 1 cm³ 1 m 1 m³ Conversão de unidades de volume 1 dm³ = 1 L 1 cm³ = 1 ml 1 m³ = 1000 L AULA 02 PARALELEPÍPEDO Um prisma em que todas as faces são paralelogramos é denominado paralelepípedo. Exemplo 1: Os prismas quadrangular e oblíquo apresentados na AULA 01 são exemplos de paralelepípedos. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho, Matheus Bernardini e Paulo Luiz Ramos Página 2
PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO Um paralelepípedo em que todas as faces são retângulos é denominado paralelepípedo reto retângulo. Costuma-se chamar as medidas a, b e c, da figura a seguir, de dimensões do paralelepípedo. ÁREA TOTAL DA SUPERFÍCIE DE UM PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO Pode-se mostrar que a Área Total, A T, de um paralelepípedo reto retângulo de dimensões a, b e c é dada por A T = 2 (a b + a c + b c) Observação 2.2: Como o cubo é um tipo de paralelepípedo reto retângulo, então a área total A T da superfície de um cubo, com as três dimensões de medida a, é dada por CUBO Um paralelepípedo em que todas as faces são quadrados é denominado cubo. Costuma-se chamar a medida de uma de suas arestas de a. A T = 6 a 2 VOLUME DE UM PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO Pode-se mostrar que o volume V de um paralelepípedo reto retângulo de dimensões a, b e c é tal que V = a b c Observação 2.2: Como o cubo é um tipo de paralelepípedo reto retângulo, então o volume V de um cubo, com as três dimensões de medida a, é dado por V = a 3 DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO Pode-se mostrar que a medida de uma diagonal de um paralelepípedo reto retângulo de dimensões a, b e c é dada por: D = a 2 + b 2 + c 2 Observação 2.1: No caso de um cubo, cuja medida de uma aresta é a, a medida de uma diagonal é dada por: D = a 3 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1) Determine a área total e o volume de um cubo, em que uma de suas diagonais mede 6 cm. 2.2) PSA: 14, 17, 19.1 e 27 TAREFA 2: PSA: 5, 7, 10, 13, 16, 22, 24, 25 e 26 Desafio 1.1: Demonstrar as fórmulas para cálculo da medida de uma das diagonais do paralelepípedo reto retângulo e de uma diagonal do cubo. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho, Matheus Bernardini e Paulo Luiz Ramos Página 3
CAIU EM PROVAS ANTERIORES 1) Na figura a seguir tem-se o prisma reto ABCFDE, no qual DE 6 cm, DF 8 cm e DE é perpendicular a DF, em D. GABARITO EX. FUNDAMENTAIS 1.2) A T = 8 3 cm² e V = 3 cm³ 2.1) A T = 108 cm² e V = 54 2 cm³ CAIU EM PROVAS ANTERIORES 1) D 2) 960 3 3) 75 m³ 4) 192( 3 + 2) cm² Se o volume desse prisma é 120 cm³, a sua área total, em centímetros quadrados, é igual a a) 144. b) 156. c) 160. d) 168. e) 172. 2) Considere um recipiente na forma de um prisma hexagonal regular, cujas medidas de uma das arestas da base e de uma das arestas laterais, em cm, são iguais a 8 e 12,5, respectivamente. Determine, em ml, o volume de água presente nesse recipiente quando a coluna d água atingir 80% da altura do recipiente. 3) Calcule o volume de um prisma quadrangular regular cuja área total é igual a 110 m² e cuja área de uma face lateral é igual a 3 da área de uma das 5 bases. 4) Um prisma hexagonal regular é tal que a medida de uma aresta de uma das bases é igual à sua altura. Sabendo que seu volume é igual a 96 3 cm³, calcule a área da superfície desse prisma. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho, Matheus Bernardini e Paulo Luiz Ramos Página 4