Juros simples Juros simples Juro é a remuneração do capital emprestado podendo ser entendido de forma simplificada como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Quem possui recursos pode utilizá-lo na compra de bens de consumo ou de serviços na aquisição de bens de produção na compra de imóveis para uso próprio ou venda futura; pode emprestá-lo a terceiros ou adquirir títulos de renda fixa ou variável deixá-lo depositado para atender a eventualidades ou guardá-lo na expectativa de uma oportunidade melhor para a sua utilização ou ainda pela simples satisfação de ter dinheiro. Ao se dispor a emprestar o possuidor de dinheiro para avaliar a taxa de remuneração para os seus recursos deve atentar para os seguintes fatores: 1)RISCO: probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar o dinheiro. 2)DESPESAS: todas as despesas operacionais contratuais e tributárias para a formalização do empréstimo e a efetivação da cobrança. 3)INFLAÇÃO: índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo do empréstimo. 4)GANHO OU LUCRO: fixado em função das demais oportunidades de investimento( custo de oportunidade ) justifica-se pela privação por parte do seu dono da utilidade do capital. Portanto a receita de juros deve ser suficiente para cobrir o risco as despesas e a perda do poder aquisitivo do capital emprestado além de proporcionar certo lucro a seu poupador. Entretanto o que ocorre no mundo financeiro atual é que muitas aplicações resultam em taxas negativas de jurosquando considerado o efeito inflacionário. Isto vem acontecendo com maior freqüência nos últimos anos principalmenteentre os países em que os preços internos se tem elevado mais acentuadamente. Mas na faixa de melhor opção obviamente o mais aconselhável é aplicar recursos a taxas negativas e sofrer um pequeno prejuízo do que deixar de aplicar e sofrer um prejuízo ainda maior. Capital Entende-se por capital do ponto de vista da matemática financeira qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época. Taxa de juros Taxa de juros é a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no final de um certo período de tempo e o capital inicialmente aplicado( ou emprestado). Matematicamente essa razão é especificada como segue: =
Em que i é a taxa de juros j o valor dos juros e p o capital inicial( também chamado de principalvalor atual ou valor presente). Exemplo: Qual a taxa de juros cobrada num empréstimo de $ 100000 a ser resgatado por$140000? Capital inicial = p = 100000 Juros = j = 140000 100000 = 40000 Taxa de juros =? Solução: = = 040 40% A taxa de juros também pode ser obtida de outra maneira. Como j= s p = = = 1 Substituindo os dados do nosso exemplo nesta última relação tem-se: = 140000 1 = 040 40% 100000 A taxa de juros de 40% refere-se ao período da operação não especificado no exemplo. Se o prazo dessa operação for de um ano a taxa é de 40% ao ano se for de 8 meses a taxa é de 40% para o período de oito meses. Normalmente a taxa de juros é definida para certa unidade de tempo(diamêssemestre ano etc) como veremos nos itens seguintes. Capitalização simples Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide pois sobre os juros acumulados. Neste regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo ou seja se quisermos converter a taxa diária em mensal basta multiplicarmos a taxa diária por 30; se desejarmos uma taxa anual tendo a mensal basta multiplicarmos esta por 12 e assim por diante. Cálculo dos juros O valor dos juros é obtido da expressão: =.. Em que: j = valor dos juros p = valor do capital inicial ou principal taxa de juros n = prazo Exemplos de aplicação
Dados: Dados: 1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de $ 10.00000 pelo prazo de 5 meses sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês? Dados:p = 10.00000 Solução: J = p.i.n n = 5 meses 3% ao mês j =? J = 10.00000x0.03x5 = 150000 2) Um capital de $ 25.00000 aplicado durante 7 meses rende juros de $ 787500. Determinar a taxa correspondente. p = 25.00000 J= 7.87500 n = 7 meses? = = 787500 = 0045 45% ê. 2500000.7 3) Uma aplicação de $ 50.00000 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimentode $8.25000. Indaga-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? p = 50.00000 j = 825000 n = 180 dias? = 825000 = 000091667 0091667% 5000000.180 Taxa anual = 360x000091667 = 033 ou 33% ao ano
Observação: Quando o prazo informado for em dias a taxa resultante dos cálculos será diária se o prazo for em meses a taxa será mensal; se em trimestres; a taxa será trimestral e assim sucessivamente 4)Sabendo-se que os juros de $ 600000 foram obtidos com a aplicação de $ 750000 a taxa de 8% ao trimestre pede-se que se calcule o prazo. Dados: p = 750000 J = 600000 8% ao trimestre n = j = p.i.n =. = 600000 750000.008 = 600000 = 10 25 60000 5)Qual o capital que a taxa de 4% ao mês rende juros de $ 900000 em um ano. Dados:j = 900000 n = 1 ano = 12 meses 4% ao mês p = j = p.i.n =.. = = 1875000 6)Um empréstimo de $ 2300000 é liquidado por $ 2920000 no final de 152 dias. Calcular a taxa mensal de juros. Dados: p = 2300000 s = 2920000 n = 152 dias j = p.i. n =. j = s p = 2920000 2300000 = 620000
= 620000 2300000.152 = 0001773 01773% ( Á Ú ) Taxa mensal = im = 01773% x 30 = 532% Este problema também poderia ser resolvido de maneira mais prática como segue: = 1 = 2920000 1 = 026957 26957 í 152 2300000 = % = % 7)Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de $ 2000000 feita a uma taxa de 494% ao mês pelo prazo de 76 dias. Dados: p = 2000000 j = I = 494% ao mês n = 76 dias s = j = p.i.n j = 20000..76 = 2502 s = p + j = 20000 + 250293 = 2250293 Montante e valor atual O montante (ou valor futuro) que vamos indicar por s é igual a soma do capital inicial mais os juros referentes ao período da aplicação. Assim temos: S = p + j S = p + p.i.n visto que j = p.i.n S = p ( 1 + i.n) Calcular o montante da aplicação de um capital de $ 800000 pelo prazo de 12 meses a taxa De 3% ao mês. Dados: p = 800000 n = 12 meses
3% ao mês s = s = p (1 + i. n) s = 800000 ( 1 + 003x12) = 800000x136 = 1088000 Valor atual ( ou valor presente) que vamos indicar por p é o valor do capital que aplicado a dada taxa ea dado prazo nos dá um montante conhecido s. Assim como s = p (1 + i.n) segue-se que: = 1 +. Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de $ 6000000 sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao mês e que faltam quatro meses para o seu vencimento. Dados: s = 6000000 n = 4 5% ao mês p = = 1 +. = 6000000 1 + 005.4 = 5000000 Sabendo-se que certo capital aplicado durante 10 semestres à taxa de 36% ao ano rende $ 7200000 de juros determinar o montante. =. = 7200000 018.10 = 7200000 = 4000000 18 = + 4000000 + 7200000 = 11200000 Um empréstimo de $ 4000000 deverá ser quitado por $ 8000000 no final de 12 meses. Determinar as taxas mensal e anual cobradas nessa operação. Dados: s = 8000000
p = 4000000 n = 12 meses s = p ( 1 + i. n) 8000000 =4000000 (1 + i.12) 2 = 1 + i.12 = 1 = 0083 833% ê 12 taxa anual = 12x0083 = 100 ou 100% OBS.: Normalmente existe mais de um caminho para solucionar problemas de matemática financeira no caso deste exemplo a solução também poderia ser obtida através da equação =. visto que o valor dos juros é facilmente determinado a partir da expressão j = s p Em que prazo uma aplicação de $ 3500000 pode gerar um montante de $ 5337500 considerando-se uma taxa de 30% ao ano. Dados: s = 5337500 p = 3500000 30% ao ano n = j = s p j = 5337500 3500000 = 1837500
= 1837500 = 175 21 3500000.030 Determinar quantorenderá um capital de $ 6000000 aplicado à taxa de 24% ao ano durante sete meses. p = 6000000 24% a.a = = 002 n = 7 meses j = p.i.n j = 6000000x002x7 j = 840000 Um capital de $ 2800000 aplicado durante 8 meses rendeu juros de $ 1120000. Determinar a taxa anual. p = 2800000 n = 8 meses j = 1120000 =.. =. = 1120000 2800000.8 = 1120000 22400000 005% a.m. 005x12 = 06
60% a.a. Durante 155 dias certo capital gerouum montante de $ 6420000. Sabendo-se que a taxa de juros é de 4% ao mês determinar o valor do capital aplicado. n = 155 dias s = 6420000 s = p + j s = p ( 1 + i.n) 6420000 = p ( 1 + 0001333.155) 6420000 = p ( 1 + 020666) 6420000 = p ( 12066) P = P = 5320444 Qual o valor dos juros contidos no montante de $ 10000000 resultante da aplicação de certo capital à taxade 42% a.a. durante 13 meses. j = s = 10000000 p = 42% a.a. n = 13 meses 42% a.a. = = 0035.. s = p ( 1 + i.n )
10000000 = p ( 1 + 0035x13) 10000000 = p ( 1 + 0455) 100000 = p ( 1455 ) p = p = 6872852 s = p + j 10000000 = 6872852 + j j = 10000000 6872852 j = 3127148 Qual o valor a ser pago no final de 5 meses e 18 dias correspondente a um empréstimo de $12500000 sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre. 27% a. s. 027 a. s. 027 180 = 000015.. como o período que o dinheiro demora para ser pago é de 168 dias 000015x168 = 0252 125000x0252 = 31500 125000 + 31500 = 156500 Em quanto tempo um capital de $ 80000 aplicado a taxa de 01% ao dia gera um montante de $ 100000. s = p ( 1 + i.n)
100000 = 800 ( 1 + 0001.n) 1000 800 = (1 + 0001. ) 1 + 0001n = 125 0001n = 125 1 0001n = 025 n = = 250 = 8333 Um capital de $ 5000000 foi aplicado no dia 19-06-91 eresgatado em 20-01-92. Sabendo-se que a taxa efetivo de juros da aplicação foi de 56% ao ano calcular o valor dos juros considerando-se o número efetivo entre as duas datas. p = 50000 56% a.a. = 0155.. s = 50000 ( 1 + 00015x215) s = 50000 ( 1 + 0334325) s = 50000 ( 1334325) s = 6671625 s = p + j 6671625 = 50000 + j j = 1671625 Uma empresa aplicou # 200000 no dia 15-07-91 e resgatou essa aplicação no dia 21-07-91 por $ 201800.Qual foi a taxa mensal de rendimento proporcionada por essa operação.
p = 200000 s = 201800 n = 6 dias s = p (1 + i.n ) 2018 = 2000 ( 1 + 6i ) 2018 2000 = 1 + 6 1009 =1 + 6i 1009 1 = 6i 0009 = 6i 00015 a.d. ou 45 a.m. Calcular o valor do capital que aplicado a taxa de 504% ao ano durante dois anos e três meses produz um montante de $ 60000000. 504% a.a. n = 2 anos e três meses s = 60000000 s = p ( 1 + i.n ) 60000000 = p ( 1 + 00014x810) = 014%.. 60000000 = p ( 1 + 1134 ) 60000000 = 2134p
p = p = 28116213 Ao fim de quanto tempo o capital de $ 4000000 aplicado a taxa de 5% ao mês produz $1860000 de juros. n = p = 4000000 5% a.m. j = 1860000 s = p + j s = 4000000 + 1860000 s = 5860000 s = p ( 1 + i.n ) 5860000 = 40000 ( 1 + 005n ) 5860000 4000000 = 1 + 005 1465 = 1 + 005n 1465 1 = 005n 0465 = 005n n = n = 93 meses ou n = 279 dias
Obteve-se um empréstimo de $ 1000000 para ser liquidado por $ 1467500 no final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação. p = 10000 s = 14675 n = 8 meses e meio 14675 = 10000 ( 1 + 255i ) 14675= 1 + 255i 14675 10000 = 1 + 255 14675 1 = 255i 04675 = 255i = 00018.. 66% a.a. Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor. 48% a.a. s = 2p s = p (1 + i.n ) 2p = p ( 1 + 048n ) 2 = 1 + 0.48
2 = 1 + 048n 2 1 = 048n n = = 208 25 A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a ¼ do seu valor? n = 10 meses s = p + j s = + s = s = s = p( 1 + i.n) 5 4 = (1 +.10) 125 = 1 + 10i 125 1 = 10i 025 = 10i = 0025 25%.. Em quantos dias um capital de $ 27042000 produzirá juros de $ 6230477 a uma taxa de 54 % ao mês?
p = 27042000 j = 6230477 54 % a.m. = 00018 s = p ( 1 + i.n) s = 270420 + 6230477 s = 33272477 33272477 = 270420 ( 1 + 00018.n) 33272477 = 270420 + 486156n 6230477 = 486156n n = n = 186 dias Determinar o capital necessário para produzir um montante de $ 79800000 no final de um ano e meio aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre. s = 79800000 n = 1 ano e meio 15 % a.t.
= 000166.. n = 540 s = p (1 + i.n) 79800000 = p ( 1 + 000166x540) 79800000 = p ( 1 + 08964) 798000 = p + 08964p 79800000 = 18964p p = = 4207973 A aplicação de $ 3560000 gerou um montante de $ 5802800 no final de nove meses. Calcular a taxa anual. p = 3560000 s = 5802800 n = 9 meses? 58028 = 35600( 1 + 9i) 58028 35600 = 1 + 9 163 = 1 + 9i
163 1 = 9i 9 063 = 7%.. 7x12 = 84 % a.a. Certo capital aplicado gerou um montante de $ 100000. Sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao mês e o prazo de oito meses calcular o valor dos juros. p =? s = 100000 5% a.m. n = 8 meses j =? 1000 = p(1 + 005x8) 1000 = p(1 + 04) 1000 = p 14 p = = 714285 Determinar o montante correspondente a uma aplicação de $ 45000000 por 225 dias à taxa de 56% ao mês. p = 450000
n = 225 dias 56% a.m. = 0001866 s = 450000(1 + 0001866x225) s = 450000( 1 + 042) s = 450000(142) s = 63900000 Calcular o valor do capital que aplicado a uma taxa de 62% ao mês por 174 dias produziu um montante de $ 54384000. p =? 62% a.m. s = 54384000 = 000207 543840 = p( 1 + 000207x174) 543840 = p ( 1 + 03596) 543840 = p(13596) p = = 40000000