Capítulo 1. Funções e grácos

Capítulo 1 Funções e grácos Denição 1. Sejam X e Y dois subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais. Uma função de X em Y ou simplesmente uma função é uma regra, lei ou convenção que associa a cada elemento x do conjunto X um único elemento y do conjunto Y. O conjunto X é chamado de domínio da função e o conjunto Y de contradomínio da função. Usualmente denotamos a regra pelo símbolo x y e indicamos a função por uma letra latina minúscula. Assim, denotamos uma função pelo símbolo f : X Y, x y. Neste caso, indica-se o domínio de f pelo símbolo D f (= X) e o único elemento y, de Y, associado ao elemento x, de X, pelo símbolo f(x) (lêse: "f de x"), chamado de elemento imagem de f em x ou simplesmente a imagem de f em x. Diremos que x é a variável independente de f e que y é a variável dependente de f. Notação 1. Uma outra notação para uma função f é dada por: f : D f Y, x y = f(x). Denição 2. Seja uma função f : X(= D f ) Y, x y = f(x). Denimos o gráco da função f como o subconjunto, do conjunto produto cartesiano X Y, dado por G f = {(x, y) y = f(x), para x X}. Denição 3. Seja uma função f : X(= D f ) Y, x y = f(x). Denimos o conjunto imagem de f ou simplesmente a imagem de f como o subconjunto, do contradomínio Y, dado por Im(f) = {y Y y = f(x), para x X}. 1

2 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES E GRÁFICOS Figura 1.1: Gráco de uma função, com lei de correspondêencia y=f(x). Assim, y Im(f) se, e somente se, existe um x D f tal que y = f(x). Denição 4. Seja uma função f : X(= D f ) Y, x y = f(x). Dizemos que a função f é uma função injetora em um subconjunto I de D f ou simplesmente que f é uma função injetora em I, se quaisquer que sejam x 1, x 2 I tais que x 1 x 2, então f(x 1 ) f(x 2 ), ou equivalentemente, se quaisquer que sejam x 1, x 2 I tais que f(x 1 ) = f(x 2 ), então x 1 = x 2. Quando I = D f, diremos que f é injetora. Dizemos que a função f é uma função sobrejetora se o conjunto imagem de f coincide com o contradomínio de f, isto é, se Im(f) = Y, ou equivalentemente, se para todo y Y, existe um elemento x D f tal que y = f(x). Dizemos que a função f é uma função bijetora se ela é uma funçção injetora e sobrejetora. Proposição 1. Seja uma função f : X(= D f ) Y, x y = f(x). Se f é bijetora, então a lei de correspondência dada por g : Y ( = Im(f) ) X(= D f ), y x = g(y), onde x = g(y) se, e somente se, y = f(x), dene uma função de Y em X, de variável independente y e variável dependente x. Neste caso, chamaremos a função g de função inversa de f e a denotaremos pelo símbolo f 1. Assim, escrevemos a função inversa de f na forma

3 f 1 : Y X, y x = f 1 (y), onde x = f 1 (y) se, e somente se, y = f(x). Figura 1.2: f 1. Relação dos pontos do Gráco da função f com a sua inversa Notação 2. Seja uma função bijetora f : X(= D f ) Y ( = Im(f) ), x y = f(x). Usualmente, escrevemos a função inversa, de f, tomando a letra x como sua variável independente, em lugar de y, e y como sua variável dependente, em lugar de x. Assim, escreveremos a função inversa de f como f 1 : Y X, x y = f 1 (x), onde y = f 1 (x) se, e somente se, x = f(y). Denição 5. Seja uma função f : X(= D f ) Y, x y = f(x) e I D f um intervalo. Dizemos que a função f é uma função crescente em I se quaisquer que sejam x 1, x 2 I tais que x 1 < x 2, então f(x 1 ) < f(x 2 ). Dizemos que a função f é uma função decrescente em I se quaisquer que sejam x 1, x 2 I tais que x 1 < x 2, então f(x 1 ) > f(x 2 ). Quando I = D f, diremos que f é crescente ou decrescente, respectivamente. Dizemos que a função f é uma função não-crescente em I se quaisquer que sejam x 1, x 2 I tais que x 1 < x 2, então f(x 1 ) f(x 2 ). Dizemos que a função f é uma função não-decrescente em I se quaisquer que sejam x 1, x 2 I tais que x 1 < x 2, então f(x 1 ) f(x 2 ). Quando I = D f, diremos que f é não-crescente ou não-decrescente, respectivamente.

4 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES E GRÁFICOS Figura 1.3: Gráco de uma função crescente. Proposição 2. Seja uma função f : X(= D f ) Y, x y = f(x) e I D f um intervalo. Se f é uma função crescente em I ou decrescente em I, então f é uma função injetora em I. Figura 1.4: Gráco de uma função decrescente. Denição 6. Seja uma função f : X(= D f ) Y, x y = f(x), tal que o domínio D f x D f. verique a seguinte condição: para todo x D f, temos Dizemos que a função f é uma função par se, f(x) = f( x), para todo x D f.

5 Dizemos que a função f é uma função impar se, f( x) = f(x), para todo x D f. Figura 1.5: Gráco de uma função par. Figura 1.6: Gráco de uma função impar. Denição de função composta Denição 7. Sejam funções f : D f X Y, x y = f(x),

6 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES E GRÁFICOS e g : D g Y Z, y z = g(y), vericando a condição Im(f) D g. Denimos a função composta, de f com g, por g f : D f X Z, x z = (g f)(x), onde (g f)(x) = g ( f(x) ), para todo x D f. Observação 1. Salvo se houver menção explicita, tomaremos X = D f Y = R. Assim, usualmente denotaremos uma função f, nas formas e ou mais simplesmente f : D f R R, x y = f(x), f : D f R, y = f(x). 1.1 Operações com funções Denição 8. Sejam funções f, g : D R R, y = f(x) e y = g(x). i) Denimos a função soma f + g : D R R, y = (f + g)(x), como a função (f + g)(x) = f(x) + g(x), para todo x D. ii) a função produto por um escalar (c R) cf : D R R, y = (cf)(x), como a função (cf)(x) = cf(x), para todo x D. iii) a função produto f g : D R R, y = (f g)(x), como a função (fg)(x) = f(x)g(x), para todo x D. iv) se a função g(x) 0, para todo x D, então a função quociente f ( f ) ( f ) g : D R R, y = (x), onde (x) = f(x), para todo x D. g g g(x)

Capítulo 2 Funções Algébricas 2.1 Funções Polinomiais Denição 9. Uma função f é chamada de função polinomial se sua lei de correspondência é dada por f(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0, onde n é um inteiro positivo e a 0, a 1,..., a n, são números reais quaisquer com a n 0. Um número real a é chamado de raíz de f se f(a) = 0. Naturalmente, temos que D f = R. Proposição 3. Seja f uma função polinomial. Então, para todo número real a, existe uma função polinomial g, tal que para todo número real x. f(x) f(a) = (x a)g(x), 2.1.1 Função am Denição 10. Uma função polinomial f é chamada de função am, se sua lei de correspondência é dada por f(x) = ax + b, onde a e b são números reais quaisquer. Observação 2. Uma função am f(x) = ax + b, na qual a = 0, é chamada de função constante. 7

8 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ALGÉBRICAS Proposição 4. Seja uma função am f(x) = ax + b. Então: i) se a = 0, então Im(f) = {b}; ii) se a 0, então Im(f) = R; ii) se a > 0, então f é crescente em R; iii) se a < 0, então f é decrescente em R. Figura 2.1: Grácos da função constante, f(x)=b, onde a=o. Figura 2.2: Grácos da função am, f(x)=ax+b, onde a>o

2.2. FUNÇÃO VALOR ABSOLUTO 9 Figura 2.3: Grácos da função am, f(x)=ax+b, onde a<o 2.2 Função Valor Absoluto Denição 11. Chamamos a função f : R R, denida por f(x) = x, para todo x R, de função valor absoluto. A função valor absoluto é uma função par e Im(f) = [0, + [. Figura 2.4: Gráco da função valor absoluto.

10 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ALGÉBRICAS 2.2.1 Função Quadrática Denição 12. Uma função polinomial f é chamada de função quadrática, se sua lei de correspondência é dada por um polinômio quadrático f(x) = ax 2 + bx + c, onde a ( 0), b e c são números reais quaisquer. Proposição 5. Sejam números reais a ( 0), b e c. Então, a lei de correspondência da função quadrática pode escrita na forma ( f(x) = ax 2 + bx + c = a x + b ) 2 b2 4ac, 2a 4a para todo x R. Além disso: i) se a > 0, então f possui valor mínimo em x = b f ( ) b 2a = b 2 4ac; 4a ii) se a < 0, então f possui valor máximo em x = b f ( ) b 2a = b 2 4ac. 4a Nesse caso: iii) se a > 0, então Im(f) = [ b2 4ac, + [ ; 4a iv) se a < 0, então Im(f) = ] ], b2 4ac 4a ; v) para todo c 0, temos f ( b 2a c) = f ( b 2a + c)., com valor imagem 2a, com valor imagem 2a Proposição 6. Sejam números reais a ( 0), b e c tais que b 2 4ac 0. Então, a lei de correspondência da função quadrática admite uma decomposição do tipo f(x) = ax 2 + bx + c [ ( = a x + b ) ] 2 b2 4ac 2a 4a 2 ( = a x b + ) ( b 2 4ac x b ) b 2 4ac, 2a 2a

2.2. FUNÇÃO VALOR ABSOLUTO 11 para todo x R. Assim, f(x) = 0 se, e somente se, x = b + b 2 4ac 2a ou x = b b 2 4ac. 2a Além disso, se b 2 4ac < 0, então: i) a > 0 implica em f(x) > 0, para todo x R; ii) a < 0 implica em f(x) < 0, para todo x R. Figura 2.5: Grácos da função quadrática, f(x) = ax 2 + bx + c, onde a>o 2.2.2 Função Potência Denição 13. Seja n um inteiro positivo. Uma função polinomial f é chamada de função potência, se sua lei de correspondência é dada pela relação f(x) = x n. Proposição 7. Seja n um inteiro par positivo. Então: i) a função potência é uma função par; ii) Im(f) = [0, + [; iii) f é decrescente em ], 0] e crescente em [0, + [.

12 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ALGÉBRICAS Figura 2.6: Grácos da função quadrática, f(x) = ax 2 + bx + c, onde a<o Proposição 8. Seja n um inteiro impar positivo. Então: i) a função potência é uma função impar; ii) Im(f) = R; iii) f é crescente em R. Figura 2.7: Grácos da função potência, f(x) = x n, onde n é um inteiro par

2.3. FUNÇÃO RACIONAL 13 Figura 2.8: impar Grácos da função potência, f(x) = x n, onde n é um inteiro 2.3 Função Racional Denição 14. Uma função f é chamada de função racional se sua lei de correspondência é dada pela relação f(x) = p(x) q(x), onde p = p(x) e q = q(x) são polinômios não nulos que não têm fatores em comum e com grau de q 1. O domínio de uma função racional é dado por D f = {x R q(x) 0}. Função Hipérbole Denição 15. Uma função racional f é chamada de função hipérbole sua lei de correspondência é dada pela relação f(x) = ax + b cx + d, onde a, b, c e d são números reais com c 0 e ad bc. Proposição 9. Se f é uma função hipérbole (descrita como na denição 15), então:

14 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ALGÉBRICAS i) D f = R { d c }; ii) Im(f) = R { a c }. Figura 2.9: Gráco da função hipérbole f(x) = x 1 x + 1 Figura 2.10: Gráco da função hipérbole f(x) = x + 3 2x 5

2.3. FUNÇÃO RACIONAL 15 2.3.1 Sugestões para a construção do gráco de uma função racional No caso geral, de uma função racional f(x) = p(x)/q(x), para a construção do gráco, sugerimos determinar os seguintes itens: i) o domínio D f ; ii) o comportamento das imagens f(x), quando a variável x toma valores próximos das raízes do polinômio q = q(x). / Nesse caso, f(x) = p(x) q(x) toma valores crescentes e ilimitados, a medida que a variável x toma valores sucientemente próximos de qualquer raiz do polinômio q = q(x). Além disso, quanto mais próximo for o valor que x toma de uma raiz do polinômio q = q(x) maior é o f(x). valor de iii) os pontos de cortes nos eixos coordenados ox e oy (se existirem); iv) análise do sinal das imagens f(x), para x D f ; v) o comportamento das imagens f(x), quando a variável x toma valores crescentes. Nesse caso, temos: v-i) se grau de p(x) < grau de q(x), então a imagem f(x) = p(x) / q(x) toma valores cada vez mais próximo de zero, a medida que a variável x toma valores sucientemente grandes; v-ii) se grau de p(x) grau de q(x), então escreva p(x) = q(x)t(x) + r(x), onde grau de r(x) < grau de q(x), e conclua que f(x) = p(x) r(x) = t(x) + q(x) q(x) toma valores cada vez mais próximo de t(x), a medida que a variável x r(x) toma valores sucientemente grandes, em função de q(x) vericar as condições do item v-i); vi) determinar os pontos de máximos ou mínimos bem como seus valores máximos ou mínimos, da função f, se existirem e quando possível.

16 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ALGÉBRICAS Figura 2.11: Gráco da função racional f(x) = 1 x 2 + x + 1 2.4 Função Raíz n-ésima Teorema 1. Seja n um inteiro par positivo. Então, para todo número real não-negativo x, existe um único número real não-negativo y, chamado de raiz n-ésima de x, tal que y n = x. Teorema 2. Seja n um inteiro impar positivo. Então, para todo número real x, existe um único número real y, chamado de raiz n-ésima de x, tal que y n = x. Notação 3. Para todo inteiro positivo n, denotaremos as raízes n-ésima de um número real x, obtidos nos Teoremas 1 e 2, pelo símbolo y = n x. Corolário 1. Seja n um inteiro par positivo. Então: i) ( n x ) n = x, para todo número real não negativo x; ii) n x n = x, para todo número real x. Corolário 2. Seja n um inteiro impar positivo. Então: i) ( n x ) n = x, para todo número real x; ii) n x n = x, para todo número real x.

2.4. FUNÇÃO RAÍZ N-ÉSIMA 17 Figura 2.12: Gráco da função racional f(x) = 5 x 2 + 4x 3 Denição 16. Seja n um inteiro positivo. Uma função f é chamada de função raiz n-ésima, se sua lei de correspondência é dada pela relação f(x) = n x. Proposição 10. Para todo inteiro par positivo n, a função raiz n-ésima, satisfaz as propriedades: i) D f = [0, + [; ii) f é crescente, em todo o seu domínio D f ; iii) Im(f) = [0, + [. Proposição 11. Para todo inteiro impar positivo n, a função raiz n-ésima, satisfaz as propriedades: i) D f = R; ii) f é crescente, em todo o seu domínio D f ; iii) Im(f) = R.

18 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ALGÉBRICAS Figura 2.13: Gráco da função racional f(x) = x + 3 x 2 6x + 5 Figura 2.14: Gráco da função racional f(x) = x2 6x + 5 x + 3

2.4. FUNÇÃO RAÍZ N-ÉSIMA 19 Figura 2.15: Gráco da função racional f(x) = x2 4x 5 x 2 Figura 2.16: Gráco da função racional f(x) = x 2 x 2 4x 5

20 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ALGÉBRICAS Figura 2.17: Grácos da função raiz n-ésima, f(x) = n x, onde n é um inteiro par Figura 2.18: Grácos da função raiz n-ésima, f(x) = n x, onde n é um inteiro impar

Capítulo 3 Potência de um número real. Continuação 3.1 Potências com expoentes racionais Denição 17. Seja a ( 1) um número real qualquer positivo e r = p q, onde p Z e q N, um número racional. Denimos a potência de base a e expoente r ou simplesmente a potência de a como sendo o número real dado por a r = q a p. Proposição 12. Seja a um número real e r, s números racionais. Então: i) a r+s = a r a s ; ii) (a r ) s = a rs ; iii) se a > 1, então ( r < s implica em a r < a s) ; iv) se 0 < a < 1, então ( r < s implica em a r > a s). 21

22CAPÍTULO 3. POTÊNCIA DE UM NÚMERO REAL. CONTINUAÇÃO

Capítulo 4 Funções Exponênciais e Logarítmicas 4.1 Funções Exponenciais. Potências de Expoentes Reais Teorema 3. Para todo número real a (> 0, 1), existe uma única função bijetora f a : R ]0, + [, x y = f a (x), denominada de função exponêncial de base a, tal que f a (r) = a r (= q a p ), para todo número racional r = p, onde p Z e q N. q Neste caso, denotaremos os valores imagens da função f a pelo simbolo f a (x) = a x, para todo número real x. Em particular temos a 0 = 1 e a 1 = a. Teorema 4. Seja a (> 0, 1) número real. Então, quaisquer que sejam os números reais w e x, temos: 23

24 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES EXPONÊNCIAIS E LOGARÍTMICAS i) a w+x = a w a x ; ii) ( a w ) x = a wx ; ii) Se a > 1, então a função exponencial de base a é crescente em R; iv) Se 0 < a < 1, então a função exponencial de base a é decrescente em R. Grácos das funções exponenciais de base a Figura 4.1: Gráco da função exponêncial, f(x) = a x, onde a>1 Figura 4.2: Gráco da função exponêncial, f(x) = a x, onde 0<a<1

4.2. FUNÇÃO LOGARÍTMICA 25 4.2 Função Logarítmica Denição 18. Para todo número real a (> 0, 1), denimos a função logarítmica de base a como sendo a função inversa da função exponêncial de base a f a. Assim, a função logarítmica de base a é a função f 1 a :]0, + [ R, x y = fa 1 (x), onde y = fa 1 (x) se, e somente se, f a (y) = x, para todo x ]0, + [. Neste caso, denotaremos os valores imagens da função logarítmica de base a, pelo símbolo fa 1 (x) = log a x, para todo x ]0, + [. Assim, y = log a x se, e somente se, a y = x, para todo x ]0, + [. Segue disso que: i) a log a x = x, para todo x ]0, + [; ii) log a a y = y, para todo y R. Em particular, temos que log a 1 = 0 e log a a = 1. Proposição 13. Sejam a e b (> 0, 1) números reais. Quaisquer que sejam os números reais c R e w, x ]0, + [, temos que: i) log a (wx) = log a w + log a x; ii) log a x c = c log a x; iii) Se a > 1, então a função logarítmica de base a é crescente em ]0, + [; iv) Se 0 < a < 1, então a função logarítmica de base a é decrescente em ]0, + [. Além disso, v) log a ( w x ) = log a w log a x; vi) log a x = log b x log b a. Grácos das funções logarítmicas de base a

26 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES EXPONÊNCIAIS E LOGARÍTMICAS Figura 4.3: Gráco da função logarítmica, f(x) = log a x, onde a>1 4.3 O número irracional e Consideremos a sucessão de potências de números reais, denida por ( 1 + 1 1) 1, ( 1 + 1 2) 2, ( 1 + 1 3) 3, Quando n cresce indenidamente, a expressão ( 1 + 1 4 (, 1 + 4) 5) 1 5,... ( 1 + 1 n) n se aproxima de um número irracional que é representado pela letra e, cujo valor aproximado é 2, 7182.... A função exponencial que aparece com maior freqüência em modelagem matemática é a que tem o número e como base. Como e > 1, o gráco da função exponencial f e (x) = e x é semelhante ao gráco da função f a (x) = a x, com a > 1. Denição 19. Dado um número real x > 0, chamaremos o número real y, que satisfaz a identidade y = log e x se, e somente se, y = fe 1 (x) se, e somente se, f e (y) = x se, e somente se, e y = x, de logaritmo natural de x, e o denotaremos pelo símbolo y = ln x.

4.3. O NÚMERO IRRACIONAL E 27 Figura 4.4: Gráco da função logarítmica, f(x) = log a x, onde 0<a<1

28 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES EXPONÊNCIAIS E LOGARÍTMICAS

Capítulo 5 Funções Trigonométricas 5.1 Funções Seno e Co-seno Teorema 5. Existe um único par de funções, denominadas de funções seno e co-seno, denotadas por: sin : R R e cos : R R, respectivamente, vericando as seguintes propriedades: T1) sin 0 = 0 e cos 0 = 1; T2) A função seno é uma função impar; T3) A função co-seno é uma função par; T4) Quaisquer que sejam os números reais a e b, sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a; T5) Quaisquer que sejam os números reais a e b, cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b; T6) Existe um menor número real positivo, denotedo pelo simbolo π, tal que sin ( π ) (π = 1 e cos 2 2 ) = 0; 29

30 CAPÍTULO 5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS T7) A função seno é crescente no intervalo [0, π 2 ]; T8) A função co-seno é decrescente no intervalo [0, π 2 ]. Lema 1. Para todo número real x temos: i) sin 2 x + cos 2 x = 1; ii) 1 sin x 1 e 1 cos x 1; Proposição 14. Quaisquer que sejam os números reais a e b, temos: i) sin(a b) = sin a cos b sin b cos a; ii) cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b. Corolário 3. Quaisquer que sejam os números reais a e b, temos: i) 2 sin a cos b = sin(a + b) + sin(a b); ii) 2 sin b cos a = sin(a + b) sin(a b); iii) 2 cos a cos b = cos(a b) + cos(a + b); iv) 2 sin a sin b = cos(a b) cos(a + b). Lema 2. Para todo número real x temos: i) sin(2x) = 2 sin x cos x; ii) sin 2 x = 1 2 1 2 cos(2x); iii) cos 2 x = 1 2 + 1 2 cos(2x). 5.1.1 Identidades Fundamentais Proposição 15. Para todo número real x, temos: i) sin ( x + π ) ( π ) = cos x e cos x + = sin x; 2 2 ii) sin ( x + π ) = sin x e cos ( x + π ) = cos x;

5.1. FUNÇÕES SENO E CO-SENO 31 iii) sin ( x + 3π 2 ) ( 3π ) = cos x e cos x + = sin x; 2 iv) sin ( x + 2π ) = sin x e cos ( x + 2π ) = cos x. Proposição 16. Para todo número real x, temos: i) sin ( x π 2 ) ( π ) = cos x e cos x = sin x; 2 ii) sin ( x π ) = sin x e cos ( x π ) = cos x; iii) sin ( x 3π 2 ) ( 3π ) = cos x e cos x = sin x; 2 iv) sin ( x 2π ) = sin x e cos ( x 2π ) = cos x. Figura 5.1: Gráco da função seno, f(x) = sin x 5.1.2 Equações Trigonométricas Lema 3. As relações valem, abaixo: i) sin x = 0 se, e somente se, x = kπ, para todo inteiro k; ii) sin x = 1 (sin x = 1) se, e somente se, x = π 2 + 2kπ (x = 3π 2 + 2kπ), para todo inteiro k;

32 CAPÍTULO 5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Figura 5.2: Gráco da função co-seno, f(x) = cos x iii) cos x = 0 se, e somente se, x = ( 2k + 1) π, para todo inteiro k; 2 iv) cos x = 1 (cos x = 1) se, e somente se, x = 2kπ (x = (2k + 1)π), para todo inteiro k. Lema 4. As relações valem, abaixo: i) sin a = sin b se, e somente se, a = b + 2kπ ou a = b + (2k + 1)π, para todo inteiro k; ii) cos a = cos b se, e somente se, a = b + 2kπ ou a = b + 2kπ, para todo inteiro k; iii) sin a = cos b se, e somente se, a = b + ( 4k + 1) (4k + 1) π ou a = b + π, 2 2 para todo inteiro k. 5.2 Funções Tangente e Co-tangente Denição 20. Denimos a função tangente e co-tangente, denotadas pelos simbolos tan : D tan R R e cot : D cot R R,

5.2. FUNÇÕES TANGENTE E CO-TANGENTE 33 respectivamente, como as funções trigonométricas cujas regras de correspondências e seus domínios são dados por onde D tan = {x R cos x 0} e onde D cot = {x R sin x 0}. tan x = sin x cos x, para todo x D tan, cot x = cos x sin x, para todo x D cot, Proposição 17. As relações valem, abaixo: i) tan( x) = tan x, para todo número real x D tan ; ii) cot( x) = cot x, para todo número real x D cot. Proposição 18. Para todo número real x D tan, temos: i) tan ( x + π 2 ) = cot x e tan ( x + π ) = tan x; ii) tan ( x π 2 ) = cot x e tan ( x π ) = tan x. Figura 5.3: Gráco da função tangente, f(x) = tan x

34 CAPÍTULO 5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Figura 5.4: Gráco da função co-tangente, f(x) = cot x 5.3 Funções Secante e Co-secante Denição 21. Denimos a função secante e co-secante, denotadas pelos simbolos sec : D sec R R e csc : D csc R R, respectivamente, como as funções trigonométricas cujas regras de correspondências e seus domínios são dados por sec x = 1 cos x, para todo x D sec, onde D sec = {x R cos x 0} (= D tan ) e csc x = 1 sin x, para todo x D csc, onde D csc = {x R sin x 0} (= D cot ). Proposição 19. As relações valem, abaixo: i) 1 + tan 2 x = sec 2 x, para todo número real x D sec (= D tan ); ii) 1 + cot 2 x = csc 2 x, para todo número real x D csc (= D cot ). Proposição 20. As relações valem, abaixo:

5.3. FUNÇÕES SECANTE E CO-SECANTE 35 i) sec x 1 ou sec x 1, para todo número real x D sec ; ii) csc x 1 ou csc x 1, para todo número real x D csc. Figura 5.5: Gráco da função secante, f(x) = sec x Figura 5.6: Gráco da função co-secante, f(x) = csc x