Cálculo Diferencial e Integral I

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Transcrição:

Universidade do Estado de Santa Catarina Centro de Ciências Técnológicas - CCT Departamento de Matemática - DMAT Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I t = f ( ) Q s = f ( ) = f ( ) 0 0 P 0 Home page: http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/eliane/ Joinville, julho de 0.

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3 Formulário Círculo Trigonométrico: Adaptado de: http://tipo0.blogspot.com/008/09/crculo-trigonomtrico.html Acesso: 5//0. Funções trigonométricas: Hip CO θ CA. Seno: sen() = CO Hip ; 3. Tangente: tg() = CO CA = sen () cos () : CA. Cosseno: cos () = Hip ;

4 Relações Trigonométricas:. sen () + cos () = ;. tg () + = sec () ; 3. +cotg () =cossec () ; 4. sen(a b) = sen(a) cos (b) sen(b) cos (a) ; 5. cos(a b) = cos (a) cos (b) sen(a) sen(b) ; 6. sen() = sen() cos () ; 7. cos () = cos () sen (); 8. sen () = cos (); 9. cos () = + cos (); Propriedades de Logarítmos:. log a (a) = ;. log a = 0; b 3. log a (bc) = log a b + log a c; 4. log a = log c a b log a c; 5. log a (b c ) = c log a b; 6. log b a = log c a log c b ; Propriedades de Eponenciais:. a b+c = a b :a c ;. a bc = a b c = (a c ) b ; cp 3. ab = a b c ; 4. np p ab = n r a: np b; n a np a 5. b = np ; 6. a log a b = b: b Funções Hiperbólicas:. Seno Hiperbólico: senh() = e e ;. Cosseno Hiperbólico: cosh () = e + e : Relações para Funções Hiperbólicas:. cosh () senh () = ;. senh() + cosh () = e ; 3. cosh () senh() = e ;

5 4. tgh () = sech () ; 5. cotgh () =cossech () ; 6. senh( + ) = senh() cosh () + cosh () senh() ; 7. cosh ( + ) = cosh () cosh () +senh() senh() ; 8. senh() = senh() cosh () ; 9. cosh () = cosh +sinh () ; 0. senh =. cosh = cosh () ; cosh () + : Função Par: f () = f ( ) Função ímpar: f ( ) = f () Função Periódica: f ( + T ) = f () Limites Notáveis: sen (u) cos (u). lim = ;. lim = 0; u!0 u u!0 u 3. lim + u a = e; 4. lim u! u u = ln a: u!0 u Formas Indeterminadas ou Indeterminações: 0 0,, 0, +, 00, e 0 : De nição de Derivada: f 0 f ( + ) () = lim!0 f () : Aproimação Linear Local: f ( 0 + ) ' f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) :

6 Tabela de Derivadas Sejam u = u () e v = v () funções deriváveis e n R. Função Derivada. = u n 0 = nu n ;. = uv 0 = u 0 v + v 0 u; 0 = vu0 uv 0 v ; 3. = u v 4. = a u, a > 0 e a 6= 0 = u 0 :a u ln a; 5. = e u 0 = u 0 e u ; 6. = log a u, a > 0 e a 6= 0 = u0 u a e; 7. = ln u 0 = u0 8. = sen(u) 0 = u 0 cos u; 9. = cos u 0 = u 0 sen(u); 0. = tg(u) 0 = u 0 sec (u);. = cotg(u) 0 = u 0 cossec (u);. = sec (u) 0 = u 0 tg(u) sec (u); 3. = cossec(u) 0 = u 0 cossec(u)cotg(u); 4. = senh(u) 0 = u 0 cosh (u); 5. = cosh u 0 = u 0 senh(u); 6. = tgh(u) 0 = u 0 sech (u); 7. = cotgh(u) 0 = u 0 cossech (u); 8. = sech(u) 0 = u 0 sech(u)tgh(u); 9. = cossech(u) 0 = u 0 cossech(u)cotgh(u) ; 0. = arcsen(u) 0 =. = arccos u 0 = u 0 p u ; u 0 p u. =arctg(u) 0 = u0 + u ; 3. =arccotg(u) 0 = 4. = arcsec u, juj 0 = u 0 + u ; u 0 juj p, juj > ; u 5. =arccossec(u), juj 0 = juj p, juj > ; u 6: =argsenh(u) 0 u 0 = p u + ; 7. =argcosh(u) 0 = u 0 u 0 p u, u > ; 8. =argtgh(u) 0 = u0, juj < ; u 9. =argcotgh(u) 0 = u0, juj > ; u 30. = argsech(u) 0 = 3. = argcossech(u) 0 = u 0 u p u, 0 < u < ; u 0 juj p, u 6= 0: + u

7 Tabela de Integrais Imediatas. R u n du = un+ + c, n 6= ; n +. R du u = ln juj + c; 3. R a u du = au + c, a > 0 e a 6= ; ln a 4. R e u du = e u + c; 5. R sin (u) du = cos u + c; 6. R cos (u) du = sin u + c; 7. R sec (u) du = tg(u) + c; 8. R cossec (u) du = cotg(u) + c; 9. R sec (u) du = ln jsec (u) + tg (u)j + c; 0. R cossec(u) du = ln jcossec (u) cotg (u)j + c;. R du u + a = u a arctg + c. a

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Capítulo Números Reais, Intervalos e Funções Objetivos Identi car os conjuntos numéricos; Conhecer e aplicar as propriedades relativas à adição e multiplicação de números reais; Utilizar as propriedades relacionadas com as desigualdades estritas e não estritas; Operar com equações e inequações com e sem valor absoluto; Determinar o campo de de nição de uma função; Operar com funções; Obter funções compostas; Identi car funções pares, ímpares e periódicas; Determinar a inversa de uma função; Esboçar grá cos de funções usando translação; Reconhecer os tipos de funções: polinomiais; racionais; irracionais; potenciais; eponenciais; logarítmicas; trigonométricas; hiperbólicas; e hiperbólicas inversas;

0. Números Os primeiros números conhecidos foram os Números Contáveis, ou seja, o conjunto dos Números Naturais, representado por N, isto é: N = f0; ; ; 3; :::g: As operações com os números naturais foram responsáveis pela criação dos números negativos, assim: + a = b ) = b a, onde a e b são números naturais. Estes números, juntamente com os números naturais formam o conjunto dos Números Inteiros, representado por Z, isto é: Z = f:::; 3; ; ; 0; ; ; 3; :::g: A resolução de equações do tipo a = b ) = b a, com a e b números inteiros onde a não é nulo, pode levar ao surgimento de números não inteiros. Desta forma, os números da forma b com a e b números inteiros e a 6= 0 a formam um conjunto de números, denominado Números Racionais, representado por Q. E os números (frações) decimais in nitos não periódicos são denominados Números Irracionais, representados por =. São eemplos de números irracionais:, e, p, p p 3, 5,... Observando a reta numerada, vemos que a todos os pontos foram atribuídos números. Temos, então que, a reunião dos números racionais com os números irracionais se denomina conjunto dos Números Reais, representado por R. 5 0 3 5 Como o cálculo envolve números reais, vejamos algumas de nições e propriedades fundamentais destes números, embora não tenhamos interesse em mostrar como estas propriedades são tiradas dos aiomas e teoremas., satisfazendo as propriedades: De nição : Soma: 8a; b R ) 9 (a + b) R Produto: 8a; b R ) 9 (a:b) R. Comutativa: 8a; b R ) a + b = b + a a:b = b:a ;

a + (b + c) = (a + b) + c. Associativa: 8a; b; c R ) a: (b:c) = a: (b:c) ; 3. Eistência de elemento neutro: 8a R; 90 R = a + 0 = 0 + a = a 8a R; 9 R = a: = :a = a ; 4. Elemento oposto: 8a R; 9 a R = a + ( a) = ( a) + a = 0; 5. Elemento inverso: 8a R e a 6= 0, 9 a R = a: (a ) = (a ) :a = ; 6. Distributiva: 8a; b; c R ) a: (b + c) = a:b + a:c. De nição : Subtração: 8a; b R ) 9 (a b) R: De nição 3: Divisão: 8a; b R e b 6= 0; 9 a b R:. Desigualdades Aioma de Ordem: No conjunto dos números reais, eiste um subconjunto, R +, dito reais positivos, tais que:. se a R, eatamente uma das três a rmações é verdadeira: a = 0, a é positivo ou a é positivo;. a soma e o produto de reais positivos é um número real positivo; De nição 4: O número real a é negativo se, e somente se, De nição 5: Desigualdade Estrita Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são de nidos por: i. a < b se, e somente se, b a é positivo; ii. a > b se, e somente se, a b é positivo. a é positivo. De nição 6: Desigualdade Não Estrita Os símbolos (menor ou igual) e (maior ou igual) são de nidos por: i. a b se, e somente se, a < b ou a = b; ii. a b se, e somente se, a > b ou a = b. As desigualdades de nidas acima, satisfazem as propriedades:. a > 0 se, e somentes se, a é positivo;. a < 0 se, e somentes se, a é negativo; 3. a > 0 se, e somentes se, a é negativo;

4. a < 0 se, e somentes se, a é positivo; 5. Transitiva: Se a < b e b < c, então a < c; 6. Se a < b e c R, então a + c < b + c; 7. Se a < b e c < d, então a + c < b + d; 8. Se a < b e c R +, então a:c < b:c; 9. Se a < b e c R, então a:c > b:c; 0. Se 0 < a < b e 0 < c < d, então a:c < b:d;. Se a > b e b > c, então a > c;. Se a > b e c R, então a + c > b + c; 3. Se a > b e c > d, então a + c > b + d; 4. Se a > b e c R +, então a:c > b:c; 5. Se a > b e c R, então a:c < b:c; 6. Se a > b > 0 e c > d > 0, então a:c > b:d; 7. Se a < b, com ambos positivos ou negativos, então > : a b De nição 7: R = f R : 6= 0g R + = f R : 0g R + = f R : > 0g R = f R : 0g R = f R : < 0g.3 Intervalos De nição 8: Intervalos são conjuntos in nitos de números reais. Geometricamente, correspondem a segmentos de reta sobre um eio coordenado. Por eemplo, se a < b, então o intervalo aberto de a a b, denotado por (a; b), é o segmento de reta que se estende de a até b, ecluindo-se os etremos; e o intervalo fechado de a até b, denotado por [a; b], é o segmento de reta que se estende de a até b, incluindo-se os etremos. Estes intervalos podem ser epressos na notação de conjuntos como. (a; b) = f R = a < < bg; [a; b] = f R = a bg.

3 Um intervalo pode incluir um etremo, mas não outro. Estes intervalos são chamados semi-abertos (ou, algumas vezes, semi-fechados). Além disso, é possível um intervalo estender-se inde nidamente em uma ou em outra direção, escrevemos + no lugar do etremo direito, e para indicar que o intervalo se estende inde nidamente na direção negativa, escrevemos, no lugar do etremo esquerdo. Os intervalos que se estendem entre dois números reais são chamados de intervalos nitos, enquanto que os que se estendem inde nidamente em uma ou em ambas as direções são chamados de intervalos in nitos. Notação de Intervalo Notação de Conjuntos Classi cação (a; b) f R = a < < bg Finito; aberto [a; b] f R = a bg Finito; fechado [a; b) f R = a < bg Finito; semi-aberto (a; b] f R = a < bg Finito; semi-aberto ( ; b] f R = bg In nito; fechado ( ; b) f R = < bg In nito; aberto [a; +) f R = ag In nito; fechado (a; +) f R = > ag In nito; aberto ( ; +) R In nito; aberto e fechado. 3 0; Solução: Eemplo : Determinar os valores de que satisfazem a desigualdades: Subtraindo-se 0 em ambos os lados, obtém-se a inequação: 3 0 0: () As raízes da equação 3 0 = 0 são e 5. Estas raízes dividem o eio coordenado em três intervalos abertos: ( ; ) ; ( ; 5) e (5; +) : Analisando os sinais de 3 0 = ( + ) ( 5) em cada intervalo, temos que: Intervalo Ponto de teste Sinal ( + ) ( 5) no ponto de teste ( ; ) -3 ( ) ( ) = + ( ; 5) 0 (+) ( ) = (5; +) 6 (+) (+) = + Portanto, a solução da desigualdade () é S = [ ; 5] :. 5 < () Solução: Condição de eistência de solução: 6= 0 ) 6= : Observe que pode ser positivo ou negativo. Assim, temos casos a serem analisados: Caso: Para < 0, ou seja, <, temos que:

4 Multiplicando () por, temos que: 5 < ) ( 5) ( ) > ) 7 + 4 > 0: () Resolvendo a equação 7 + 4 = 0 conclui-se 7+p 7 = : 780 8 e 7 p 7 = 4 4 0:79 são suas raízes Analisando os intervalos ; 7 p 7 7, 7; 7 7+ e 7; + ; 4 4 4 4 obtém-se que a solução da desigualdade () é I = ; 7 p 7 7+ [ 7; + : 4 4 Dessa forma, neste intervalo, a solução é S = I \ ( ; ) ) S = : ; 7 p 7 4 Caso: Para > 0, temos que: Multiplicando () por, temos que: 5 < ) ( 5) ( ) < ) 7 + 4 < 0: 7 A solução dessa desigualdade é I = p 7; 7+p 7 : 4 4 Logo, neste intervalo a solução é S = I \ (; +) ) S = ; 7+p 7 4 Portanto, a solução da desigualdade é a união das soluções acima, ou seja, S = S [ S ) S = [. ; 7 p 7 4 ; 7+p 7 4 :.4 Valor Absoluto De nição 9: O valor absoluto ou módulo de um número real é representado e de nido por: jj = ; se 0 ; se < 0 : Vemos que o valor absoluto de um número real é sempre não negativo. Geometricamente, o valor absoluto de um número real é sua distância do ponto de origem, independentemente de sua direção. Eemplo : j7 4j = j3j = 3 e j4 7j = j 3j = 3: Vemos que j7 4j = j4 7j é a distância entre 4 e 7 sem a preocupação com qual dos números é maior..4. Propriedades do Valor Absoluto Sejam e dois números reais.. jj 0;

5. jj ; 3. j j = jj; A demonstração da cada uma das propriedades acima, decorre diretamente da de nição. 4. jj = e jj = p ; Demonstração: (a) Se 0, então da de nição vem que, j j = jj que veri ca a proposição; (b) Se < 0, então da de nição vem que, j j = jj e ( ) =, de onde jj = e, por conseguinte, jj = p. 5. jj = jj : jj; Demonstração: Pela propriedade 4, temos que: jj = 6. Desigualdade triangular: j + j jj + jj; Demonstração: Pela propriedade 4, temos que: j + j = ( + ) = + + + jj + ) j + j jj + jj + jj = (jj + jj) ) j + j jj + jj. q () = p : p = jj : jj : 7. jj jj j j ; Demonstração: Fazendo = + e da propriedade 6; segue que: jj = j + j j j + jj : Somando jj a ambos os lados, temos que: jj jj j j : 8. jj jj j + j ; Demonstração: Fazendo = + e da propriedade f vem que jj = j + j j + j + j j = j + j + jj : Somando jj a ambos os lados, temos que:

6 jj jj j + j : 9. j j jj + jj ; Demonstração: Observe que: j j = j + ( )j jj + j j jj + jj : 0. = jj, com 6= 0. jj Demonstração: Note que: = : = jj : = jj : jj = jj jj. Seja a um número real positivo, então: (a) jj < a se, e somente se, a < < a; (b) jj a se, e somente se, a a (c) jj > a se, e somente se, < a ou > a; (d) jj a se, e somente se, a ou a. Demonstração: Somente do caso (a) Inicalmente, provaremos que jj < a se a < < a: i: Se > 0 ) jj =, uma vez que < a teremos jj < a; ii: Se < 0 ) jj =, uma vez que, mas < a teremos < a, mas j j =, então jj < a: Portanto jj < a se a < < a: Agora, mostraremos que jj < a somente se a < < a: i: Se 0, como jj = a, teremos < a, como a > 0 e a < 0, então a < 0 < < a de onde vem que a < < a. ii:se < 0 ) jj =, como jj < a teremos que < a e com > 0, então a < 0 < < a ou a < < a, de onde vem que a < < a: Portanto, jj < a se, e somente se, a < < a: Observação : A demonstração dos casos (b), (c) e (d) é análoga. Eemplo : Resolva a equação j 3j 4 j 3j = :

7 Solução: De nindo u = j 3j, temos que a equação acima pode ser escrita como u 4u = 0 () As raízes da equação () são e 6.? Para u =, segue que: j 3j =. Absurdo!!!! Por propriedade de módulo jj 0:? Para u = 6, segue que: j 3j = 6 () Pela de nição de módulo, temos que 3, se 3 j 3j = ( 3), se < 3 : o Caso: Se 3; temos que: 3 = 6 =) = 9 Como 9 [3; +), segue que uma solução é S = f9g : o Caso: Se < 3; temos que: + 3 = 6 =) = 3 Como 3 ( ; 3], segue que uma solução é S = f 3g : Portanto, a solução é S = f 3; 9g : Eemplo 3: Determine todos os valores de que satisfazem a desigualdade j 5j < j + j : Solução : Elevando ao quadrado ambos os lados e usando a propriedade 4, temos que: j 5j < j + j ) ( 5) < ( + ) ) 0 + 5 < + + ) > 4, ou seja, > : Solução : Pela de nição de módulo, temos que: 5; se 5 j 5j = e j + j = + 5; se < 5 + ; se ; se <. Caso: Se <, temos que: j 5j < j + j ) + 5 < ) 5 < :Absurdo!!! Logo, não há solução para <, isto é, S 0 = fg. Caso: Se < 5, temos que: j 5j < j + j ) + 5 < + ) < 4 ) < : Logo, a solução neste intervalo é S = (; 5) : 3 Caso: Se 5, temos que: j 5j < j + j ) 5 < + ) 5 <. Como a desigualdade é satisfeita para qualquer 5, temos que a solução é todo (5; +), ou seja, S = (5; +) : Portanto, a solução da desigualdade é a união das soluções acima, ou seja, S = S 0 [ S [ S = (; +).

8 Eemplo 4: Determine todos os valores de que satisfazem a desigualdade j j < : () Solução: Condição de eistência de solução: 6= Pela de nição de módulo, temos que: ; se j j = ( ) ; se < : Observe que pode ser positivo ou negativo. Assim, temos 3 casos a serem analisados: Caso: Se <, temos que: que: Para < ; temos que < 0. Assim, multiplicando () por, temos j j < ) ( ) ( ) > ) + 5 3 > 0: Resolvendo a inequação + 5 3 > 0: () Observe que = e = 3 são raízes da equação + 5 3 = 0: Dessa forma, analisando os intervalos ( ; ), ; 3 e 3 ; +, conclui-se que a solução da inequação () é I = ; 3. Logo, neste intervalo não há solução, pois I \ ; = fg: Caso: Se <, temos que: Para <, temos que < 0. Assim, multiplicando () por, temos que: j j < ) ( ) ( ) > ) 5 + > 0: Resolvendo a inequação 5 + > 0: (??) Observe que 5+p 7 e 5 p 7 4 são raízes da equação 5 + = 0: Dessa 4 forma, analisando os intervalos ; 5 p 7 5, p 7; 5+p 7 5+ e p 7; +, concluise que a solução da inequação () é I = ; 5 p 4 4 4 4 7 5+ [ p 7; +. 4 4 Logo, neste intervalo a solução é S = I \ ; ) S = fg : 3 Caso: Se >, temos que: que: Para > ; temos que > 0. Assim, multiplicando () por, temos j j < ) ( ) ( ) < ) 5 + < 0: A solução da inequação 5 5 + < 0 é I 3 = p 7; 5+p 7 : 4 4 Logo, neste intervalo é S 3 = I 3 \ (; +) ) S 3 = : ; 5+p 7 4 Portanto, a solução da desigualdade é a união das soluções acima, ou seja, S = S [ S [ S 3 ) S =. ; 5+p 7 4 Eemplo 5: Determine todos os valores de que satisfazem a desigualdade

9 4 5 + 4 j j < 4: Solução: Condição de eistência de solução: ) 6= : Pela de nição de módulo, temos que: Resolvendo a inequação = ; se > 0 ( ) ; se < 0 : > 0, obtém-se que: = ; se < ou > ( ) ; se < < : Observe que: 4 5 +4 = ( 4)( ) < 4: (#) j j j j Temos dois casos a serem analisados. Caso: Se > 0: Aplicando a de nição de módulo em (#), temos que: 4 4 < 0: A solução dessa inequação é I = p ; + p. Logo, a solução é S = I \ [( ; ) [ (; +)] ) S = ; + p : Caso: Se < 0: Aplicando a de nição de módulo em (), temos que: + 4 4 > 0: A solução dessa inequação é I = ; p [ + p ; +. Logo, a solução é S = I \ ( ; ) ) S = + p ; : Portanto, a solução da desigualdade é a união das soluções acima, ou seja, S = S [ S ) S 3 = + p ; [ ; + p..5 Função De nição 0: Sejam A e B dois subconjuntos de R. Uma função f : A! B é uma lei (ou regra) de correspondência entre dois conjuntos não vazios, tal que a cada elemento de A se associa um único elemento de B. O conjunto A é chamado de domínio de f e é denotado por Df, B é chamado de contradomínio ou campo de valores de f. Denotamos por,

f : A! B! f () Eemplo 6:. A área do quadrado (A) é função do comprimento do lado (l), ou seja, A = l... A distância que alguém percorre (d) depende do tempo gasto (t). Representamos por d = d (t) : De nição : Seja f : A! B:. Dado A, o elemento f () B é chamado de valor da função f no ponto ou de imagem de por f:. O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado de conjunto imagem de f e é denotado por Im f:.5. Formas de Epressão das Funções. Forma Tabular: a correspondência entre os elementos é dada por meio de uma tabela. Por eemplo, se f ( o ) = 0, f ( ) =, f ( ) =,, f ( n ) = n : Eemplo 7: (a) Tábuas de logaritmos; (b) Tabelas trigonométricas. o n = f () 0 n. Forma Grá ca: A função pode ser escrita de duas formas: (a) Diagrama de Ven-Euler: As echas indicam que a correspondência é do conjunto A para o conjunto B. A 3 4 f B 3 5 7 0

Observe que: Domínio de f: Df = A; Contradomínio de f: B; Imgem de f : Im f = f; 3; 5; 7g : (b) Diagrama Cartesiano: As retas e são perpendiculares; é chamado eio das abscissas e o eio das ordenadas. 8 6 4 3 3 3. Forma Analítica: A função é escrita, segundo uma lei, denotada por = f (). Eemplos: (a) f () = ; Domínio: Df = R; Imagem: Im f = [0; +). (b) g (t) = t t 4 Domínio: Dg = ft R : t 6= g ) Dg = R f ; g; Imagem: Im g = R. (c) h () = p Domínio: Dh = f R : 0g ) Dh = f R : ou g ) Dh = ( ; ] [ [; +); Imagem: Im h = [0; +). Na forma analítica, a segunda variável,, a qual se pode atribuir valores arbitrários dentro dos limites impostos pela natureza do problema, é dita variável independente ou argumento da função, e a primeira variável cujo valor é determinado quando se dá valores à variável independente é dita variável dependente ou simplesmente função. Observação:Uma maneira rápida de saber se a curva C dada representa ou não uma função é através do teste da reta vertical. Sabemos que, se f é uma função, um ponto de seu domínio pode ter somente uma imagem. Assim, C só representa o grá co de uma função quando qualquer reta vertical corta a curva C no máimo em um ponto. Na gura abaio, C respresenta o grá co de uma função, enquanto a curva C não representa.

C C.5. Operações com Funções De nição : Dadas as funções f e g. As operações de adição, subtração, multiplicação e divisão são de nidas por:. (f g) () = f () g () ;. (f:g) () = f () :g () ; 3. f g () = f(), para g () 6= 0:: g() O domínio das funções f g e f:g é a interseção dos domínios de f e g. O domínio de f é a interseção dos domínios f e g, ecluindo-se os pontos onde g () = 0. g Eemplo 8: Sejam f () = e g () = p 5 + 6. Determine as funções f g, f:g e f e seus domínios. g Solução: Pela de nição acima, temos que: (f g) () = p 5 + 6; (f:g) () = ( ) p 5 + 6; () = f g p 5+6. Como Df = R e Dg = ( ; ] [ [3; +), então o domínio de f g e f:g é ( ; ] [ [3; +). O domínio de f é ( ; ) [ (3; +). g Observação: Deve-se tomar cuidado, pois nem sempre a interseção dos domínios das funções é o domínio das funções resultantes. Por eemplo, se f () = p e g () = p o domínio da função h () = (f:g) () = é Dh = Df \ Dg = [0; +) e não R (que aparentemente seria o domínio da função h ()). O grá co da função h pode ser observado na próima gura. 4 0 0 4 De nição 3: Dadas duas funções f e g, a função composta de g com f, denotada por g f é de nida por

3 (g f) () = g (f ()). O domínio de g f é o conjunto de todos os pontos do domínio de f tais que f () está no domínio de g. Simbolicamente, D (g f) = f Df : f () Dgg. O diagrama pode ser visualizado abaio. f g f ( ) g ( f ( ) g o f Eemplo 9: Sejam f () = + 3 e g () = p. Encontre a função f () = (g f) () e f () = (f g) (). Solução: Pela de nição de função composta, temos que: f () = (g f) () = g ( + 3) = p + 3; f () = (f g) () = f ( p ) = + 3: Note que, g f 6= f g. Eemplo 0: Sejam f () = ln, g () = p e h () = sin ( + ). Encontre f () = (f g) () e f () = (g f h) (). Solução: Pela de nição de função composta, temos que: f () = (f g) () = f ( p ) = ln p = ln : f () = (g f h) () = g (f (sin ( + ))) = g (ln (sin ( + ))) = p ln (sin ( + )): Determine o domínio dessas funções compostas!.5.3 Funções Especiais. Função constante: f : R! fkg de nida por f () = k. Associa a qualquer número real um mesmo número real k. Gra camente, é uma reta paralela ao eio das abscissas. Se k =, o grá co é.5.0 4 0 4. Função Identidade: f : R! R de nida por f () = : O grá co é a reta bissetriz do primeiro e do terceiro quadrante.

4 3. Função A m: f : R! R de nida por f () = a + b, onde a e b constantes e a 6= 0 são, respectivamente, o coe ciente angular e o coe ciente linear. O grá co é uma reta. Se a > 0, a reta é crescente; se a < 0, a reta é decrescente; e se b = 0, a reta passa pela origem do sistema cartesiano. Eemplo: f () = 3 + 4: 0 5 5 4. Função Módulo: f : R! [0; +) de nida por f () = jj : 0 5. Função Quadrática: f : R! R de nida por f () = a + b + c, onde a, b e c constantes e a 6= 0. O grá co dessa função é uma parábola com eio de simetria paralelo ao eio dos : Se a > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima. Se a < 0 a concavidade é voltada para baio. Eemplo: f () = 4 + 4 0 5 0 4 6 6. Função polinomial: f : R! R de nida por f () = a 0 n + a n + + a n + a n, com a i, i = 0; ; ; n, constantes reais, a 0 6= 0, n N e n é o grau do polinômio. As funções constante, identidade, lineares e quadráticas são eemplos de funções polinomiais. Eemplo: f () = 5 5 6 + 7:

5 0 0 7. Função Racional: função de nida como o quociente de duas funções polinomiais, isto é, f () = p(), onde q () 6= 0. O domínio da função racional é o conjunto dos q() reais ecluindo todos os tais que q () 6= 0: Eemplo: f () = :.5.4 Funções Pares, Ímpares e Periódicas De nição 4: Uma função f () é par se, para todo Df, f ( ) = f () : O grá co de uma função par é simétrico em relação ao eio dos. De nição 5: Uma função f () é ímpar se, para todo Df, f ( ) = f () : O grá co de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. tal que De nição 6: Uma função f () é periódica se eiste um número real T 6= 0, para todo Df. f ( + T ) = f () : Eemplo : Classi que as funções abaio, como par ou ímpar.. f () = 4 + ; Solução: f ( ) = ( ) 4 + ( ) = 4 + = f () : Logo, f é uma função par.

6. f () = 4 3 + ; Solução: f ( ) = 4 ( ) 3 + ( ) = 4 3 : Logo, f não é uma função par nem ímpar. 3. f () = 7 ; Solução: f ( ) = ( ) 7 = 7 = f () : Logo, f é uma função ímpar. T =. Eemplo : Mostre que a função f () = sin () é periódica de perído Solução: Pela de nição de funções periódicas, temos que: f ( + ) = sin ( ( + )) = sin = f () : Portanto, f () = sin () é periódica com perído T =. Eemplo 3: Mostre que se f e g são funções ímpares, então f:g é uma função par. Solução: Seja h a função de nida por h () = (f:g) () = f () :g (). Nosso objetivo é mostrar que h é uma função par, ou seja, mostrar que h ( ) = h (). Note que: h ( ) = f ( ) :g ( ) () Por hipótese, sabemos que f e g são ímpares, ou seja, que f ( ) = f () e g ( ) = g (). Usando estes resultados em (), segue que: h ( ) = f () : [ g ()] = f () :g () = h (). Eemplo 4: Se f então a igualdade " [f ( )] = g ( ) é uma função par, g é uma função ímpar e não nula, # (g ()) g ( ) f () :f ( ) (#) g ( ) que são: é verdadeira? Solução: Para verii car se a igualdade dada é verdadeira ou não, usaremos as hipóteses, (i) f é uma função par, ou seja, f ( ) = f () ; (ii) g é uma função ímpar, ou seja, g ( ) = g (). Partindo " pelo lado direito de (#) e chamando-o # de A, temos que: (g ()) g ( ) f () A = g ( ) :f ( ) g ( )

7 " # (g ()) + g () f () :f ( ) g () ) A = g () # (ii) Colocando em evidência a função g (), temos que: g () [g () + f ()] A = g () + :f ( g () ) A = [ g () + g () + f ()] :f ( ) = f () :f ( ) ) A = f ( # ) :f ( ) = [f ( )] : (i) Conclusão: A igualdade dada em (#) é verdadeira. Eemplo 5: Sejam f e g as funções de nidas por f () = 3 3 e g () = 3 : (a) A função h () = (g f) () é uma função par, ímpar ou nem par nem ímpar? Justi que usando a de nição. (b) Determine todos os valores reais de que satisfazem a inequação j + g ()j f () 3 : Solução: (a) Temos que: 3 3 h () = (g f) () = g = 3 3 3 3 3 = 3 3 3 Veri cando se a função h é par, ímpar ou nem par nem ímpar. h ( ) = ( ) = h (). Portanto, como h () = h () a função h é ímpar. = : (b) Usando a de nição das funções f e g, temos que: j + g ()j f () ) 3 3 jj ) j 3j Resolvendo a inequação () : * Condição de eistência de solução: 6= 0 e 6= 3. Como j 3j > 0, podemos multiplicar a inequação () por j 3j sem que a desigualdade seja alterada. () (3; +) : 4 3 ( ) j 3j jj () 3, se 3 * Pela de nição de módulo, temos que: j 3j = 3, se < 3 * Temos três intervalos a serem anlisados: I = ( ; 0), I = (0; 3) e I 3 = o Caso: Para I : Neste intervalo < 0, então multiplicando por a inequação (), temos que: jj ( ) j 3j ) ( ) (3 ) ) + ) 0 4 3, Solution is: I 4 = 3 4 ; :

8 3 Solução parcial : S = I \ I 4 = fg o Caso: Para I : Neste intervalo > 0, então multiplicando por a inequação (), temos que: jj ( ) j 3j ) ( ) (3 ) ) +4 ) 0 + 4 3, Solution is: R Solução parcial : S = I \ R = (0; 3) 3 o Caso:Para I 3 : Neste intervalo > 0, então multiplicando por a inequação (), temos que: jj ( ) j 3j ) ( ) ( 3) ) 4 + 3 ) 0 4 + 3, Solution is: I 4 = 3 ; 4 Solução parcial 3: S = I 3 \ I 4 = (3; +) Solução nal: S = S [ S [ S 3 ) S = (0; +) f3g.5.5 Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Quando para quaisquer valores de e do domínio de uma função f tais que 6= tivermos f ( ) 6= f ( ), dizemos que a função é injetora. Quando o conjunto imagem de uma função f dizemos que a função é sobrejetora. for igual ao seu contradomínio, Quando uma função é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, dizemos que ela é bijetora. Eemplo 6: Considere a função dada pela lei de formação f() = : Se de nirmos f : R! R; f não será nem injetora e nem sobrejetora. Se de nirmos f : R +! R; f será injetora mas não será sobrejetora. Se de nirmos f : R! R + ; f será sobrejetora, mas não será injetora e se de nirmos f : R +! R + ; f será bijetora. (Sugestão: construa os grá cos e veri que as a rmações acima). Observação: Note que dada uma lei de formação, uma função pode ser bijetora ou não, dependendo do seu campo de de nição (domínio) e de seu contradomínio..5.6 Funções Inversas Seja = f () = 3 +. Nesta epressão, temos que é uma função de, mas podemos escrever como uma função de, ou seja, = g () = 3p. Observe que,

9 (g f) () = g (f ()) = g 3 + = ; p 3 (f g) () = f (g ()) = f =. Neste eemplo, compondo as funções f e g obtivemos as funções identidades. Os pares de funções com essas duas propriedades são chamadas de funções inversas. De nição 6: Se as funções f e g satisfazem as duas condições (g f) () =, 8 Df, (f g) () =, 8 Dg, então, dizemos que f e g são funções inversas. Além disso, chamamos f uma inversa de g e g uma inversa de f: De nição 7: Seja = f () uma função ou f : A! B. Se, para cada B, eistir eatamente um valor de A tal que = f (), então podemos de nir uma função g : B! A. A função g de nida desta maneira é chamada de inversa de f: inversas. Eemplo 7: As funções f () = 3 + e g () = 3p são funções Uma função não pode ter duas inversas. Assim, se uma função f tiver uma inversa, a inversa é única. A inversa de uma função é comumente denotada por f (lê-se: inversa de f). Sabemos que, função está determinada pela relação que estabelece entre suas entradas e saídas e não pela letra usada para variável independente. Assim, no eemplo 3, temos que f () = 3p é a função inversa de f: Se usarmos a notação f, em vez de g, na de nição 5, e se usarmos como variável independente, temos que se f e f 0 são inversas, então: f f () =, 8 Df, f f () =, 8 Df. ATENÇÃO: f é apenas uma notação para a função inversa, f 6= f : Eemplo 8:. A função f : ; +! R 3 + de nida por = f () = p 3 tem como função inversa f : R +! ; +, de nida por f () = 3 3 ( + ).. A função f : R f3g! R f g de nida por = f () = 3 inversa f : R f g! R f3g, de nida por f () = +3 +. tem como função Uma maneira de determinar as funções inversas é resolvendo = f () para como uma função de e, a seguir, substituir por na fórmula nal para f : Nem toda função tem uma função inversa. Gra camente, podemos determinar se uma função admite inversa. Passndo uma reta paralela ao eio dos, esta

30 3 3 0 3 deve cortar o grá co em apenas um ponto. Este é o teste da reta horizontal. A função f () = não possui função inversa, mas fazendo uma restrição conveniente no domínio, essa mesma função pode admitir inversa. Para fazermos o grá co da função inversa basta traçarmos a reta = e observarmos a simetria. Eemplo 9: Se f : [0; +)! [0; +) de nida por f () = tem como inversa a função f : [0; +)! [0; +) dada por f () = p : 5 4 3 0 0 3 4 5.5.7 Algumas Funções Elementares. Função Potencial: função de nida por f () = n, onde n R. Eemplo: f () = 3 = 3p 5 5

3. Função Eponencial: f : R! (0; +) de nida por f () = a, com a R e 0 < a 6=. Com relação ao grá co dessa função, podemos a rmar que: (a) está acima do eio das abscissas; (b) corta o eio das ordenadas no ponto (0; ) ; (c) f é crescente se a > e decrescente se 0 < a < : 0 5 4 0 4 3. Função Logarítmica: f : R +! R de nida por f () = log a, com a R e 0 < a 6=. Com relação ao grá co dessa função, podemos a rmar que: (a) está todo a direita eio das ordenadas; (b) corta o eio das abcissas no ponto (; 0) ; (c) f é crescente se a > e decrescente se 0 < a < : (d) é simétrico ao grá co da função g () = a em relação à reta = (ou seja, funções eponenciais e logarítmicas são inversas uma da outra). 0 4 Observação: Quando a base for o número e o logaritmo é dito logaritmo natural ou neperiano, escrevemos f () = ln. Eemplo 0: Seja g a função de nida por g () = ln p : Encontre a função inversa de g, o domínio e a imagem da função da função g Solução: Sabemos que para que eista inversa uma função deve ser bijetora. Consequentemente, Dg = Im g e Im g = Dg : * Domínio de g: Dg = f R : > 0g = ( ; ) * Determinando g : = g () = ln p ) e = p ) e =

3 ) e = ) = e : Logo, a função inversa de g é g () = E ainda, Dg = R. e : Portanto, g : R! ( ; ) e g () = e : 4. Funções Trigonométricas: (a) Função Seno: f : R! [ ; ] de nida por f () =sen : A função seno é uma função periódica e de período T = : 6 4 4 6 (b) Função Cosseno: f : R! [ ; ] de nida por f () = cos : A função cosseno é uma função periódica e de período T = : 6 4 4 6 (c) Função Tangente: de nida por f () =tg() = sen, para todo tais que cos cos 6= 0, isto é, para 6= (k+), com k Z : A função tangente é uma função periódica e de período T = : 4 4 (d) Função Cotangente: de nida por f () =cotg() = cos, para todo tais sen que sen 6= 0, isto é, para 6= k, com k Z: A função cotangente é uma função periódica e de período T = : 4 4

33 (e) Função Secante: de nida por f () = sec =, para todo tais que cos cos 6= 0, isto é, para 6= (k+), com k Z : A função secante é uma função periódica e de período T = : 4 0 5 5 0 4 (f) Função Cossecante: de nida por f () =cossec() =, para todo sen tais que sen 6= 0, isto é, para 6= k, com k Z : A função cossecante é uma função periódica e de período T = : 4 0 5 5 0 4 Eemplo : Solução: p Detemine o domínio da função f () = e ln(sen()) : De nindo f () = p e f () = ln (sen ()), temos que: f () = e f ():f () : * Domínio de f : Df = Df \ Df. * Determinando o domínio das funções f e f : Domínio de f : Df = f R : 0g = [ ; ] Domínio de f : Df = f R : sen () > 0g = (k; (k + ) ), com k Z. Conclusão: Df = (0; ]: 5. Funções Trigonométricas Inversas: como as funções trigonométricas são periódicas é impossível de nir funções inversas das trigonométricas em todo o seu domínio. Portanto, para de nirmos a funções trigonométricas inversas necessitamos restringir os domínios. (a) Função Arco Seno: Seja f : ;! [ ; ] a função de nida por f () =sen. A função inversa de f () é chamada de arcsen e denotada por f : [ ; ]! ;, onde f () = arcsin :

34 (b) Função Arco Cosseno: Seja f : [0; ]! [ ; ] a função de nida por f () = cos. A função inversa de f () é chamada de arccos e denotada por f : [ ; ]! [0; ], onde f () = arccos : 0 (c) Função Arco Tangente: Seja f : ;! R a função de nida por f () =tg. A função inversa de f () é chamada de arctg e denotada por f : R! ;, onde f () =arctg() : 4 4 (d) Função Arco Cotangente: f : R! (0; ) de nifa por f () =arccotg() : (e) Função Arco Secante: de nida por f () = arcsec (), cujo domínio é Df = ( ; ] [ [; +) e imagem Im f = 0; [ ;. 4 6 4 0 4 6 (f) Função Arco Cossecante: de nida por f () =arcossec(), cujo domínio é Df = ( ; ] [ [; +) e imagem Im f = ; 0 [ 0; : 4 4 6. Funções Hiperbólicas: As funções eponenciais e e e e + e,

35 ocorrem freqüentemente na Matemática Aplicada. Estas epressões de nem as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólibo de, respectivamente. O comportamento dessas funções nos leva a fazer uma analogia com as funções trigonométricas. (a) Seno Hiperbólico: f : R! R de nida por f () = sinh = e e. O grá co dessa função pode ser obtido pelo método chamado adição de coordenadas. Para usar esta técnica, esboçamos os grá cos das funções e e e (tracejados) e somamos as respectivas ordenadas. 4 4 4 4 (b) Cosseno Hiperbólico: f : R! [; +) de nida por f () = cosh = e +e : 5 4 0 4 (c) Tangente Hiperbólica: f : R! ( ; ) de nida por f () =tgh() = sinh = e e : cosh e +e 4 4 (d) Cotangente Hiperbólica: f : R! [( ; ) [ (; +)] de nida por f () = +e : tgh() e e 4 4 4 4 (e) Secante Hiperbólica: f : R! (0; ] de nida por f () = cosh = e +e :

36 4 0 4 (f) Cossecante Hiperbólica: f : R! R de nida por f () = sinh = e e : 4 4 Observação: Muitas identidades análogas às conhecidas para funções trigonométricas são válidas para as funções hiperbólicas. Algumas identidades das funções hiperbólicas estão abaio relacionadas: i. cosh sinh = ; ii. sinh + cosh = e ; iii. cosh sinh = e ; iv. tgh () =sech () ; v. cotgh () =cossech () ; vi. sinh ( + ) = sinh cosh + cosh sinh ; vii. cosh ( + ) = cosh cosh + sinh sinh ; viii. sinh () = sinh cosh ; i. cosh () = cosh + sinh ;. sinh cosh () = ; i. cosh cosh () + = : Eemplo : Considere as funções f () =, f () = j + 5 4j, f 3 () =senh() e f 4 () = ln. Determine o domínio da função F, sendo que: F () = f 4 [f 3 (f () + f ())] : Solução: Sabemos que F é de nida por F () = f 4 [f 3 (f () + f ())] : Então: F () = f 4 [f 3 ( + j + 5 4j)] = f 4 [senh ( + j + 5 4j)] ) F () = ln (senh ( + j + 5 4j)) : Domínio de F : DF = f R : senh ( + j + 5 4j) > 0g : Sabemos que: senh(u) > 0, u > 0 Dessa forma: senh( + j + 5 4j) > 0, + j + 5 4j > 0

37 Pela de nição de módulo, temos que: j + 5 4j = + 5 4, se 4 5 + 4, se < ou > 4 Para [; 4], temos que: + 5 4 > 0 ) + 4 3 > 0, (; 3) Solução parcial : S = [; 4] \ (; 3) ) S = (; 3) Para ( ; ) [ (4; +), temos que: + 5+4 > 0 ) 6+5 > 0, Solution is: ( ; )[(5; ) Solução parcial : S = ( ; ) [ (5; ) Conclusão: DF = S [ S = (( ; 3) fg) [ (5; ) : 7. Funções Hiperbólicas Inversas: (a) Inversa do Seno Hiperbólico: f : R! R de nida por f () = arg sinh = ln + p +, chamada de argumento do seno hiperbólico: 4 4 (b) Inversa do Cosseno Hiperbólico: f : [; +)! [0; +) de nida por f () = arg cosh = ln + p, chamada de argumento do cosseno hiperbólico: 0 0 4 (c) Inversa da Tangente Hiperbólica: f : ( ; )! R de nida por f () =argtgh() = + ln, chamada de argumento da tangente hiperbólica. 4 4

38 (d) Inversa da Cotangente Hiperbólica: f : ( ; ) [ (; +)! R de nida por f () =argcotgh() = + ln : 4 4 4 4 (e) Inversa dasecante Hiperbólica: f : (0; ]! R de nida por f () =argsech() = ln : + p 5 0 0.0 0.5.0 (f) Inversa da Cossecante Hiperbólica: f : R! R de nida por f () =argcossech() = ln + p + : jj 4 4 4 4 Eemplo 3: Mostrar que o arg sinh = ln + p +, 8 R. Solução: Sejam R e = arg sinh Como a função argumento do seno hiperbólico é a função inversa do seno, temos que: = sinh = e e ) e e = 0: Multiplicando ambos os lados por e, temos que: e e = 0: Resolvendo essa equação quadrática, segue que: e = p 4 +4 = p +. Como e > 0, 8, a solução envolvendo o sinal negativo deve ser descartada. Portanto, e = + p +. Aplicando o neperiano em ambos os membros, obtemos que: = ln + p + ) arg sinh = ln + p + :

39.6 Translações Eemplo 3: Seja f a função de nida por f () = : A partir do grá co de f construa o grá co das funções: g () = +, g () = + 4 + 4 e g 3 () = + 4 + 5: Solução: Reescrevendo as funções, temos que: g () = f () + : Observe que para cada valor de a imagem de g é igual a uma unidade a mais que a imagem da função f para o mesmo valor de : Note ainda que o grá co de f é uma parábola com vértice no ponto (0; 0) e o grá co de g também é uma parábola, mas com o vértice no ponto (0; ) : 4 0 g () = + 4 + 4 = ( + ) = f ( + ) : Neste caso, note que a variável de g corresponde a unidades a mais que de f: Gra camente, g é uma parábola com vértice no ponto (0; ) : 4 4 0 g 3 () = + 4 + 5 = + 4 + 4 + = ( + ) + = f ( + ) + : Reescrevendo a função g 3 e comparando com o que já foi estudado sobre as funções g e g 3, podemos concluir que o vértice da parábola g 3 é o ponto ( ; ) : 4 4 0

40 Generalizando, a partir do grá co de uma função f para construir o grá co de uma função: g () = f () + k basta deslocar k unidades para cima; se k > 0, ou para baio; se k < 0, o grá co de f : Dizemos que o grá co de g é uma translação vertical do grá co de f; g () = f ( c) basta deslocar c unidades para a direita; se k > 0, ou para a esquerda ; se k < 0, o grá co de f : Dizemos que o grá co de g é uma translação horizontal do grá co de f; g () = f ( c) + k basta deslocar horintalmente c unidades (para a direita ou esquerda) e verticalmente k unidades (para cima ou para baio) o grá co da função f: Eemplo 4: Se = f () = jj, então: = jj + = jj 4 4 0 4 4 4 = j + j = j j 5 5 6 4 0 4 0 4 6 Eemplo 5: Esboce o grá co da função f () = +. 6 Solução: Note que, f () = + = (+) = = 3+3 = + 3 : 6 (+)( 3) 3 3 3 Podemos esboçar o grá co dessa função, observando que f () = + 3g ( 3), onde g () =. O grá co de f é obtido através de uma translação paralela ao eio, do grá co de g em três unidades direção positiva, e ainda, há uma translação de uma unidade, na direção positiva, paralela ao eio. Assim, 0 0 4 6

4.7 Eercícios. Resolva as desigualdade em R: + a. > ; b. > 3 + 7 + ; c. (6 9) > ; d. 3 3 + 4 3 e. p ; f. + < g. 3 < ; h. < ; 7 i. < ; j. + 3 ; k. 4 < ; l. 3 4 + > ; m. 0 < < ; n. 3 + 3 ; o. + 3 ; p. ep 0; q. + 3 + < 0; r. 4 + 3 > 0; 4 s. 4 > + ; t. + 4 + ; 3 > 6 ;. Resolva as equações em <: a. j7j = 4 b. + j 4j + j5 j = 0; c. j3 j j4 j + jj = 54; d. j 3 + j = 8; j j 7 e. = 0; f. = 8; j+5j 3 g. 5 = 4 h. jj j 7j = 6; i. j 5 + 6j + j 5 + 6j = 8 3. Resolva as inequações em <: a. j6 j 7; b. j + 4j j 6j; c. 6 5 3 + ; d. j9 j j4j; e. + 3 < 4; f. + 6; g. < j j + jj + j + j < 9; h. jj + < 0; i. 0 3 < jj + jj < 6 5 ; j. 5 < j4 j < ; k. 9 < j 6j 6; l. jj > ; jj

4 m. jj + p j + j 3 < ; n. jj j + j o. j3 j > 4; p. < jj ; j + j j + 3j ; 5 q. 3 j j + jj < ; r. j3 j < ; s. jj < jj ; t. j + j j + 3j ; 5 u. + jj < jj ; v. 3 + 4; w. ;. 3 j 3j p + + 4 < 0; 4. Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante (a) Se f () = +, então i. f + ; ii. (f f) () : (b) Se f () = +, então i. g () = f () f () ii. g () = f () f iii. f ( ) n + iv. f n (c) Se f () = 3 + 4, então encontre h() = f ( + h) f (). (d) Se f () = 4 3 +, então obtenha g (h) = (e) Se f () = f () f ( ), então g () = + + f () f ( ). f (a + h) f (a). h (f) Se f () = sin (), então f +. (g) Se f () = ln e g () = 3, então i. (f g) () ii. (g f) () 5. Determine o domínio das funções:

43 a. f () = e + 3p + ; b. f () = + ( e ) ( + ) ; c. f () = arcsen ln ( ) ; d. f () = p j j j + j ; r jj e. f () = + ; f. f () = ln (e + ) + 3 ; p g. f () = p ln ( + ) ; h. f () = + p + p + ; r i. f () = e p ln(sen ). j. f () = cosh 3+5 ; j 5j r k. f () = ( j3 j) ; l. f () = 3+5 senh ( j 5j ); s p m. f () = ln + jj ; n. f () = e j3 j senh ( ) : 6. Use a de nição de módulo para rede nir as funções abaio. A seguir, esboce o grá co de f. (a) f () = jj + j j + j j (b) f () = j9 j 7. A função f () é uma função do o grau. Escreva a função sabendo que f ( ) = e f () = 3: 8. Determine, nas guras abaio, se o grá co é simétrico em relação ao eio, ao eio, à origem ou nenhum dos procedentes. 9. A gura em aneo mostra a parte de um grá co. Complete o grá co de forma que ele seja simétrico com relação: (a) ao eio ; (b) ao eio ; (c) à origem.

44 0. A gura em aneo mostra a parte de um grá co. Complete os grá cos supondo que: (a) f é uma função par; (b) f é uma função ímpar.. Classi que as funções cujos grá cos estão na gura abaio em aneo, como pares, ímpares ou nenhum dos dois casos. 5 0 0 00 4 4 4 4 4 0 4 4 4 00. Determine quais das funções são pares ou ímpares. (a) f () = 5 3 ; (b) f (s) = s + s + ; (c) f (t) = jtj ; (d) f (v) = av +a v ; (e) f () = ln + p + ; (f) f (u) = ln +u 3. Mostre que se f e g são funções ímpares, então (f + g) e (f g) são também funções ímpares. u : 4. Mostre que se f e g são funções ímpares, então f g é uma função par. 5. Mostre que a função [f () + f ( )] é par e que a função [f () f ( )] é ímpar. 6. Demostre que qualquer função f : R! R pode ser epressa como a soma de uma função par com uma função ímpar. 7. Mostre que a função f () = e pode ser escrita como a soma de uma função par com uma função ímpar. 8. Determine a fórmula da função inversa. Faça os grá cos da função dada e de sua inversa.

45 (a) f () = +a; (b) f () = p ; ; a (c) f () = ; 0; (d) f () = 5p 4 + ; + (e) f () = 5 ; 0; + 9. Em cada parte, combine a equação e um dos grá cos em aneo. (a) = 5p ; (b) = 5 (c) = 8 (d) = 8 ; (e) = 4p (f) = 8 0 0 4 6 8 5 4 4 5 4 4 0 5 0 5 5 5 0 4 4 0 0. Mostre que a função f () = + coincide com a sua inversa.. Seja a função de nida por f () = j 4j + jj : (a) A função f é par ou ímpar? Use a de nição de função par ou ímpar para justi car sua resposta. (b) Use a de nição de módulo para reescrever f como uma função de nida por partes. (c) Construa o grá co da função f: _. Em cada um dos itens abaio use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas. (a) f () = ; i. g () = f () + 3; ii. g () = f ( + ) ; iii. g 3 () = f ( + ) + 3; (b) f () = p ; i. g () = f () + 4; ii. g () = f ( ) ; iii. g 3 () = f ( ) + 4; (c) f () = 3 i. g () = f () ; ii. g () = f ( + ) ; iii. g 3 () = f ( + ) ;

46 (d) f () = i. g () = f () 3; ii. g () = f ( ) ; iii. g 3 () = f ( ) 3; (e) f () = jj i. g () = f () + 5; ii. g () = f ( + 3) ; iii. g 3 () = f ( + 3) + 5: 3. Use translação para representar geometricamente as funções: (a) = 0 ; (b) = 3 + 9; (c) f () = + + ; (d) f () = + : 8 +, se 3 >< + 4. Seja f a função de nida por f () = p ( + ), se 3 < 0 : Use, se 0 < < 4 >:, se > 5 3 translação para representar geometricamente a função f: A seguir, dê o domínio e a imagem desta função.

47.8 Respostas Eercício (a) ( 7; +) [ ( ; 8) (b) ; [ (0; +) (c) ; 5 (d) (; +) 3 (e) [; +) (f) ( ; 0) [ (; 4) (g) (; ) [ (3; +) (h) (0; ) 5 (i) ( ; 0) [ (; +) (j) ; [ ( ; ) (k) (0; ) (l) ( 4; 4) (m) ; 3 [ (; +) (n) 7 ; 8 3 [ (; ) (o) ( ; ) [ 3; + (p) [; +) (q) ( ; 3) [ (; +) (r) ( ; 0) [ (; 3) [ (4; +) (s) ( ; 0) [ (4; +) (t) ( ; 4) [ p 6; [ p 6; Eercício (a) ; (b) f g [ [5; +) 3 (c) f0g (d) 3; 9 (e) f9g (f) 3; ; ; 3 3 3 (g) 4 ; 4 (h) f ; ; 3; 5g 9 (i) f; 4g Eercício 3 a. ; [ 3 ; b. ; 3 [ [0; +) c. 9 ; 5 d. 9 ; 3 3 e. ; 0 9 [ [; +) f. ; p 3 [ 3 + p ; 3 p [ p + 3; f0g g. ( 3; 3) f0g h. ( ; 0) i. ( 5; 3) [ ; 3 5 [ ; 5 3 [ (3; 5) j. ( 4; 3] [ (3; 4) k. ; 3 3 p [ 3 + 3 p ; 8 l. (; +) m. p 0; 5 + 3 n. ( 5; 0) [ (0; 3) o. (; 3) [ 3; 4 p. ( ; 3) [ ( 3; ) [ ( ; +) 3 q. fg r. (; ) [ ; p + s. R t. p 6 ; + p 6 [ ( 3; ) 7 u. ( ; ) f0g v. ; [ ; + 6 w. ; 3 p i 3 [ 3 ; + f0; 3g. fg Eercício 4

48 (a) (i) ; (ii) + 4 (b) (i) 4 9 ; (ii) 44 9 4; (iii) ( +)(4 +) ( +) (c) 4h + h 3h (d) 8a + 4h 3 (e) (f) sen () (g) (i) 3 ln ; (ii) ln 3 Eercício 5 (+) ++ ; (iv) n n + (a) R (b) R f ; 0g (c) (; ) (d) ; 3 (e) ( ; +) (f) (0; +) (g) R f0g (h) R (i) (0; ] (j) R f5g (k) (; +) 5 (l) f0g [ [; +) f5g (m) p ; [ ( ; ) (n) [; +) Eercício 7: f () = +7 3 Eercício 8: origem; eio ; eio ; não há simetria. Eercício : (a) ímpar (b) nem par nem ímpar (c) par (d) par (e) nem par nem ímpar (f) ímpar f () + f ( ) f () f ( ) Eercício 6: Sugestão: f () = + : Eercício 7: Sugestão: escreva e como e = cosh () +sinh() : Eercício 8: (a) f a ( + ) () = (b) f () = +, para R + : r (c) f () = ; f : [0; )! R + (d) = 5 r 4 5 (e) f () = ; para (0; 5] Eercício 9: e; b; c; a; f; d. Eercício : 8 >< 4, se (a) par; (b) f () = + 4, se < < 0 >: + + 4, se 0 < + 4, se (c) 6 0

Capítulo Limite e Continuidade de uma Função Objetivos Interpretar geometricamente a de nição de limite; Provar os limites, pela de nição; Determinar limites gra camente (usando os limites bilaterais); Calcular limites usando propriedades; Encontrar limites utilizando os limites notáveis; Estudar a continuidade de uma função; Classi car as descontinuidades de uma função; Aplicar o teorema do Valor Intermediário.

50. Limite de uma Variável A idéia de uma variável aproimando-se de um valor limite aparece de forma clara quando se procura estabelecer a fórmula que representa a área de um círculo. Assim, considerando a área de um polígono regular de n lados inscrito no círculo, vemos que a medida que n cresce a área do polígono se aproima da área do círculo. Fazendo n crescer inde nidamente, a área do polígono tende a um limite e este é de nido como a área do círculo. Neste eemplo, observamos geometricamente a ideia de limite. Agora, vamos construir a noção de limite trabalhando com o conjunto dos R. Analisemos os seguintes eemplos de sucessões numéricas:. f; ; 3; 4; 5; g;. ; 3 ; 3 4 ; 4 5 ; 5 6 ; ; 3. f; 0; ; ; 3; g; 4. ; 3 ; 3; 5 4 ; 5; 7 6 ; 7;. Observe que, na sucessão () os termos tornam-se cada vez maiores sem atingir um limite; em (), os temos estão se aproimando de, ou seja, é seu limite; em (3), os termos da sucessão decrescem inde nidamente sem atingir um limite; e, em (4), os termos estão oscilando, não havendo um limite. Vamos estabelecer agora, a de nição de limite de uma variável. De nição : Seja uma variável, diz-se que tende a uma constante a, ou que o limite de é a, se para um número qualquer positivo ", por pequeno que seja, os valores sucessivos de se aproimam de a de tal modo que a diferença a em valor absoluto seja menor que ", isto é, j aj < ". Matematicamente, lim = a ou! a. Lê-se: tende para a. Geometricamente, a desigualdade j aj < ", estabelecida de nição, signi ca que, para qualquer (a "; a + ") tem limite a, isto é, tende para a. ε a ε a a + ε

5 Eemplo : Se a = 3, então (3 "; 3 + ") ) 3 " < < 3 + " ) j 3j < ". Se " = 0; 00, então ; 999 < < 3; 00 ) lim = 3 )! 3. Estudaremos agora o limite de uma função de uma variável real com todas as suas interpretações.. Limite de uma Função.. Noção Intuitiva O uso básico de limites é descrever como uma função se comporta quando a variável independente tende a um dado valor. Eemplo : Eaminemos o comportamento da função f () = +, quando se aproima de. 0 8 f ( ) 3 6 4 f ( ) 0 0 3 4 5 Representando f na forma tabular, temos que: ; 99 ; 995 ; 999 ; 00 ; 005 ; 05 f () ; 855 ; 970 ; 98505 3; 00300 3; 0505 3; 55 Observando a tabela e o grá co é fácil constatar que o limite de + quando tende a é 3 por qualquer um dos lados de, ou seja, lim! ( + ) = 3. Note que, na análise precedente estivemos preocupados com os valores de f próimos do ponto = e não com o valor de f em =. Informalmente, temos que se os valores de f () puderem ser tomados tão próimos quanto quisermos de b, fazendo su cientemente próimo de a (não igual a a), então escrevemos

5 limf () = b, ou f ()! b se! a.!a Observação: No eemplo anterior, a função f () estava de nida em = (ponto de interesse), mas quando falamos em limite nos interessa saber o comportamento da função na vizinhança de um certo a; não necessita que a função f esteja de nida no ponto a ser analisado. Observe isso, no eemplo a seguir. Eemplo 3: Seja f () = p + : Veri que que lim Solução: Observe a tabela abaio: p!0 + =. 0; 00 0; 000 0; 0000 0 0; 0000 0; 000 0; 00 f () ; 9995 ; 99995 ; 999995 ; 000005 ; 00005 ; 0005 Por evidências numéricas estamos sendo induzidos a concluir que p = : + lim!0 Podemos con rmar este resultado por manipulações algébricas. Veja: f () = p + = p + : p p ++ ++ = p + +, se 6= 0. A partir daí, é evidente que f ()!, quando! 0.. Limites Laterais Nem sempre uma função tem limites iguais quando se aproima pela direita ou pela esquerda de um número real a. Vamos analisar agora, funções que estão de nidas em intervalos onde eistem pontos nos quais o grá co da função dá um salto. Assim, Isto pode ser observado no próimo eemplo.

53 Eemplo 4: Se f () = jj : Solução: Note que: f () = jj =, se > 0;, se < 0:.4..0 0.8 0.6 0.4 0. 5 4 3 3 4 5 0. 0.4 0.6 0.8.0..4 Gra camente, temos que: lim!0 +f () = e lim f () = :!0 superior Com esta notação, o índice superior + indica um limite à direita e o índice indica um limite à esquerda. De nição : Se a função f () tende a b, nito ou não, quando tende a a por valores inferiores ao a, então dizemos que b é o limite à esquerda de f () no ponto a, ou seja lim!a f () = b : De nição 3: Se a função f () tende a b, nito ou não, quando tende a a por valores superiores ao a, então dizemos que b é o limite à direita de f () no ponto a, ou seja lim!a +f () = b. Estes limites laterais podem ser: i. iguais, isto é, b = b ; ii. diferentes, isto é, b 6= b ; iii. pode eistir um e outro não; iv. ambos não eistirem.

54 Relação entre limites laterais e bilaterais O limite bilateral eiste se, e somente se, eistirem os limites laterais e forem iguais. Escrevemos, limf () = b, lim!a!a f () = lim!a +f ().. f () = Solução: Eemplo 4: Determine o limite (limite bilateral) das funções abaio: O grá co de f é:, se ; +, se >. Gra camente, os limites laterais são: lim! f () = lim! = ; lim! +f () = lim + =.! + Conclusão, como o bilateral).. f () = Solução: lim! (, se > 0;, se = 0;, se < 0; O grá co de f é: f () 6= lim! +f (), então não eiste o limf () (limite! Gra camente, os limites laterais são: lim!0 f () = lim!0 = 0;

55 lim!0 +f () = lim ( ) = 0. +!0 Conclusão, como o lim 0.!0 f () = lim!0 +f (), então eiste o limite bilateral e lim f () =!0 3. f () = Solução: 6 + 7, se ; 4, se >. Gra camente, os limites laterais são: lim! lim! f () = lim! (6 + 7) = 5; +f () = lim (4 ) = 6. +! Conclusão, como o 4. f () = j 3j : Solução: O grá co de f é: lim! f () 6= lim! +f (), então limite bilateral não eiste. 4 0 0 4 6. Gra camente, os limites laterais são: lim!3 lim!3 f () = lim!3 ( + 3) = 0; +f () = lim ( 3) = 0. +!3 Conclusão, como o lim!3 8 < 3, se > ; 5. f () =, se = ; :, se <. Solução: Gra camente, os limites laterais são: lim! f () = lim! f () = lim!3 +f (), então lim!3 = ; lim! +f () = lim ( 3) =.! + Conclusão, como o lim! f () = 0. f () 6= lim! +f (), então não eiste lim f ().!

56 Observação: Intuitivamente, dizemos que uma curva é contínua quando não apresenta quebras ou buracos. Estas quebras ou buracos são chamados de descontinuidades. salto buraco..3 Limites pela de nição Introdução Inicialmente, suponhamos que uma família pretende disciplinar o uso da água em sua residência. Admitimos que o custo do m 3 de água seja R$ ; 0 e que esta família decide gastar R$ 90; 00 por mês com uma tolerância de R$ 6; 00 para mais ou para menos. A questão que se põe é: qual a faia de consumo em m 3 de água para que o custo que dentro do padrão estabelecido? Solução: Sejam : o número de m 3 de água a serem consumidos; p : o valor pago pela água em R$. É fácil ver que a função que relaciona o valor a pagar com o consumo é p () = ; : Como foi decidido gastar R$ 90; 00 por mês com uma tolerância de R$ 6; 00 para mais ou para menos, conclui-se que o valor a ser pago deve pertencer ao intervalo [84; 96]. Na seqüência, é necessário estabelecer o intervalo de consumo. Para isso, determinamos os valores de a e b tais que Ou seja, p (a) = 84 e p (b) = 96: p (a) = 84 ) ; a = 84 ) a = 70; p (b) = 96 ) ; b = 96 ) b = 80.

57 Conclusão: Para que os gastos quem no intervalo [84; 96] o consumo deve car entre 70m 3 e 80m 3 de água, isto é, pertencer ao intervalo [70; 80]. Ao estudarmos limites das funções, o valor p () = 90 é denominado limite de p () quando tende a 75, a tolerância R$ 6; 00 é denominado " e a margem 5 m 3 em torno de 75 é denominado. O grá co a seguir retrata esta situação: ε 90+ ε 90 90 ε 80 65 70 75 80 75 δ 75 + δ δ A próima questão que se põe é: eiste uma relação entre a tolerância admitida em torno do valor monetário ado como referência (R$ 90; 00) e a margem em torno do valor central de consumo (75 m 3 )? Isto, é, dado " > 0 é possível encontrar > 0 tal que dependa de "? A resposta é sim e, o procedimento, para determinar esta relação consiste em estabelecer a relação entre as desigualdades Desse modo, jp () 90j < " e j 75j < : jp () 90j = j; 90j = ; j 75j < ": () Por outro lado, j 75j <. () Das relações () e (), podemos admitir a relação ; = " ) = " ;. Portanto, para cada tolerência de gastos " podemos encontrar a margem de consumo. Vejamos os valores de para alguns valores de ". Valor de " Valer de Intervalo de gastos Intervalo de consumo 6 5 [84; 96] [70; 80] 5 4; 667 [85; 95] [70:833; 79:67] 4 3; 3333 [86; 94] [7:667; 79:333] 3 ; 5 [84; 93] [7:5; 77:5] ; 6667 [88; 9] [73:833; 76:6666] ; [89; 9] [74; 76]

58 Generalizando Consideremos = f() uma função de nida em uma determinada vizinhança do ponto a ou para certos pontos desta vizinhança. De nição 4: A função = f() tende ao limite b, quando tende para a, se para todo e qualquer número positivo ", por pequeno que seja, é possível indicar um número positivo tal que, para todo e qualquer 6= a que satisfaz 0 < j aj < se veri cará a desigualdade jf () bj < ". Escreve-se: limf () = b, ou f ()! b quando! a:!a Interpretação Geométrica Se f ()! b quando! a, no grá co de = f() se interpreta: = f ( ) b + ε b b ε a δ a a + δ Uma vez que da desigualdade 0 < j aj < se deduz jf () bj < ", então, todos os pontos P, no grá co de f(), correspondentes aos valores de que se encontram a uma distância não maior que do ponto a, se localizarão dentro de uma faia de largura ", limitada pelas retas = b " e = b + ". Isto é, para um dado " > 0 e arbitrário, f() faz corresponder um número > 0 tal que a < < a + sempre que b " < f () < b + ". Podemos resumir a de nição 4, usando símbolos: limf () = b, 8" > 0; 9 > 0 tal que jf () bj < " se 0 < j aj <.!a Eemplo 5: Seja f() uma função dada por f () = 4.

59 Gra camente, observamos que lim!3 ( 4) =, pois: ; 99 ; 999 3 3; 0 3; 00 f() ; 98 ; 998 ; 0 ; 00 A medida que se aproima de 3 por valores menores ou maiores, f() se aproima de. Podemos tomar jf() j tão pequeno quanto quisermos, bastando para isto, escolhermos bem próimo de 3. Vejamos agora, como determinar em função de um dado ". Temos f () = 4 e lim!3 f () =. Usando a de nição 4, temos que: Dado qualquer " > 0, 9 > 0 tal que jf () j < " se 0 < j 3j < ) j( 4) j < " se 0 < j 3j < ) j 6j < " se 0 < j 3j < ) j 3j < " se 0 < j 3j < ) j 3j < " Escolhendo = ", a de nição se veri ca. Por eemplo, se " = 0; 0, então = 0; 005. Eemplo 6: Mostre que lim! 4 = 4:

60 Solução: Vamos mostrar que, para qualquer " > 0; 9 > 0 tal que jf () 4j < " se 0 < j j <. Dado qualquer " > 0, 9 > 0 tal que jf () 4j < " se 0 < j j < ) 4 4 < " se 0 < j j < ) ( )(+) < " se 0 < j j < 4 ) j j < " se 0 < j j < Escolhendo = ", a de nição se veri ca. Eemplo 7: Mostre que lim!4 = 6: Solução: Vamos mostrar que, para qualquer " > 0; 9 > 0 tal que jf () 6j < " se 0 < j 4j <. Dado qualquer " > 0, 9 > 0 tal que jf () 6j < " se 0 < j 4j < ) j 6j < " se 0 < j 4j < Observe que, jf () 6j = j 6j = j( 4) ( + 4)j = j 4j j + 4j. () Precisamos substituir j + 4j por um valor constante. Neste caso, vamos supor que 0 <, então 0 < j 4j <, seguem as seguintes desigualdades equivalentes: j 4j < ) j 4j < ) < 4 < ) 3 < < 5 ) 3 < < 5 ) 7 < + 4 < 9.

6 Logo, j + 4j < 9. Assim, por (), temos que jf () 6j < 9 j 4j Como, pela de nição, deve ocorrer que j 4j <, temos que jf () 6j < 9. Escolhendo = min ; " 9, obtém-se que jf () 6j 9: " 9 = ". Teorema da Unicidade: Se lim f () = b e limf () = b, então b = b :!a!a Demonstração: Note que, jb b j = jb f () + f () b j = j (f () b ) + (f () b )j Pela desigualdade triangular, temos que: jb b j j (f () b )j+jf () b j = jf () b j+jf () b j () Como lim!a f () = b e lim!a f () = b, pela de nição de limites, dado " > 0, 9 > 0 tal que jf () b j < " se 0 < j aj < ; 9 > 0 tal que jf () b j < " se 0 < j aj <. Seja = min f ; g. Então, em (), segue que jb b j < ":

6 Se escolhermos " = jb, obtém-se que b j jb b j < jb b j, sempre que j aj < : Contradição!!! Logo, b = b. Voltemos agora a analisar a de nição de limite. Convém enfatizar que, em limites, não é necessário que a função seja de nida em = a para que o limite desta função eista quando! a...4 Limites In nitos De nição 5: Uma função f () torna-se in nitamente grande positivamente quando! a se o valor de f () se torna e permanece maior do que qualquer número positivo M devidamente escolhido, por maior que seja. Isto é, limf () = +, 8M > 0; 9 > 0 tal que f () > M se 0 < j aj <.!a Geometricamente: M a δ a a + δ De nição 6: Uma função f () torna-se in nitamente grande negativamente quando! a se o valor de f () se torna e permanece menor do que qualquer número positivo N devidamente escolhido, por menor que seja. Isto é,

63 limf () =, 8N < 0; 9 > 0 tal que f () < N se 0 < j aj <.!a Geometricamente: a δ a a + δ N Eemplo 8: Mostre que lim = +:! ( ) Solução: Dado um número M > 0 para que 9 > 0 tal que f () > M se 0 < j j < : Seja M > 0. Assim, f () > M se 0 < j j < ) f () = > M, se 0 < j j < ( ) ) ( ) <, se 0 < j j <. M Por propriedade de valor absoluto, temos que: ) j j <, se 0 < j j <. M Como j j = j j ; temos que: ) j j <, se 0 < j j < M ) j j < p M. Logo, escolhendo = p M tem-se o resultado. Se M = 9, então = : 3 5 0 4

64 Eemplo 9: Mostre que lim!0 = : Solução: Dado um número N < 0 para que 9 > 0 tal que f () < M se j 0j < : Seja N < 0. Assim, f () < N se 0 < jj < ) f () = < N, se 0 < jj < ) >, se 0 < jj <. N ) <, se 0 < jj <. N Por propriedade de valor absoluto, temos que: ) jj <, se 0 < jj <. N ) jj < p N : Logo, escolhendo = p N obtém-se o resultado. Se N = 4, então =. 4 0 4 0. 0.4 0.6 0.8.0 Observação: Encontramos com muita freqüencia grá cos que se aproimam de uma reta à medida que cresce ou decresce. Estas retas são chamadas de assíntotas. No eemplo 8, temos duas assíntotas: = e = 0. A primeira é chamada de assíntota vertical; a segunda, assíntota horizontal...5 Limites no In nito De nição 7: Uma função f () tem limite b quando tende ao in nito positivamente, se para qualquer número " positivo por pequeno que seja, é possível indicar um M positivo, tal que, para todo que satisfaz > M se veri ca j f () bj < ": Isto é, lim f () = b, 8" > 0; 9M > 0 tal que j f () bj < " se > M.!+

65 Geometricamente: b + ε b b ε M De nição 8: Uma função f () tem limite b quando tende ao in nito negativamente, se para qualquer número " positivo por pequeno que seja, é possível indicar um N negativo, tal que, para todo que satisfaz < N se veri ca j f () bj < ": Isto é, lim f () = b, 8" > 0; 9N < 0 tal que j f () bj < " se < N.! Geometricamente: b + ε b b ε N Eemplo 0: Mostre que lim = :! 3 tal que Solução: Pela de nição de limite, sabemos que lim = se, e somente se, dado qualquer " > 0, eiste um número N < 0! 3

66 jf () j < " se < N ) 3 < " ( 3+3) ) < " 3 ) + 6 < " 3 6 ) < " j 3j ) j 3j > 6 " Por propriedade de módulo, temos que 3 < 6 6 ) < 3 : " " 6 Escolhendo N = 3 com " (0; ), o limite está provado. " Se " = 0; 05, então N = 7. 0 0 5 Eemplo : Mostre que lim!+ +5 =. +4 Solução: Pela de nição de limite, sabemos que que lim +5!+ +4 = se, e somente se, dado qq " > 0, eiste um número M > 0 tal jf () j < " se > M ) +5 +4 < " ) (+4)+ < " +4 ) + +4 < " ) < " j+4j ) j + 4j > " Por propriedade de módulo, temos que + 4 > " ) > 4 + " : Logo, M = 4 + ".

67 4 8 6 4 4..6 Limites In nitos no In nito De nição 9: Uma função f () torna-se in nitamente grande positivamente quando tende ao in nito positivamente se, para cada número M positivo qualquer (tão grande quando se queira) pudermos determinar um número m positivo, tal que para todo que satisfaz > m veri ca f () > M: Isto é, lim f () = +, 8M > 0; 9m > 0 tal que f () > M se > m.!+ Analogamente, nos demais casos, temos que: se > m. De nição 0: lim f () =, 8N < 0; 9m > 0 tal que f () < N!+ se < n. De nição : lim f () = +, 8M > 0; 9n < 0 tal que f () > M! se < n. De nição : lim f () =, 8N < 0; 9n < 0 tal que f () < M! Observação: Convém esclarecer que + e não são números, dizer que! + ou! indica o comportamento da variável. Este fato não tem o mesmo signi cado que, por eemplo,! 0 ou! 0. Neste caso, dizemos que o limite da função não eiste.

68 Eemplo : Determine os limites no in nito de f () = 3 : Solução: Geometricamente, é fácil concluir que lim f () = e lim f () = +:!!+ 00 0 0 00.3 Propriedades de Limites Sejam f()e g() funções para as quais eiste lim!a f () e lim!a g (). Assim:. lim!a [f () g ()] = lim!a f () lim!a g (); Lê-se: o limite de uma soma e/ou diferença de funções é igual a mesma soma e/ou diferença dos limites destas funções.. lim [k:f ()] = k:limf ();!a!a Lê-se: o limite do produto de uma constante k por uma função é igual ao produto desta constante pelo limite da função. 3. lim [f () :g ()] = limf () :limg ();!a!a!a Lê-se: o limite de um produto de duas funções é igual ao produto dos limites destas duas funções. 4. lim f()!a g() = lim, se limg () 6= 0; g() f()!a lim!a!a Lê-se: o limite de um quociente de funções, se eistir, é igual ao quociente dos limites destas funções. n, 5. lim [f ()] n = lim f () com n N;!a!a Lê-se: o limite da potência de uma função é igual a potência do limite desta função.

69 6. lim p q n f () = n lim f ();!a!a Lê-se: o limite da raiz n-ésima de uma função é igual a raiz n-ésima do limite desta função. 7. lim (ln f ()) = ln lim f (), se limf () > 0;!a!a!a 8. lim (cos f ()) = cos lim f () ;!a!a 9. lim (sin f ()) = sin lim f () ;!a!a 0. lime f() lim = e!a ; f()!a. O limite de uma função polinomial inteira quando! é igual ao limite de seu termo de mais alto grau, isto é, se f () = a 0 n + a n + + a n, então +, se (a) lim f () = a0 > 0!+, se a 0 < 0 ; (b) (c) lim f () = +, se! lim f () =, se! a0 > 0 e n par a 0 < 0 e n ímpar ; a0 > 0 e n ímpar : a 0 < 0 e n par. Propriedade do Confronto: Se f() e g() são funções tais que limf () = limg () =!a!a b e se h () é um função para a qual f () h () g (), então limh () = b.!a 3. Propriedade da Conservação do Sinal: Se o lim!a f () = b 6= 0, então eiste uma vizinhança do ponto = a na qual f() conserva o sinal de b. 4. Se f() assume somente valores positivos e se lim!a f () = b, então b será um número positivo. 5. Se lim!a f () = 0 e jg ()j k, com k R +, então lim!a f [f () :g ()] = 0. Observações: (i) Em outras palavras, dizer que jg ()j k, com k R +, signi ca que g é uma função limitada. (ii) As demonstrações das propriedades acima cam como eercício.

70.4 Cálculo de Limites No cálculo do limite de uma função, quando obtivermos uma das sete formas, 0 0,, 0: (), +, 00, e () 0, conhecidas como formas indeterminadas, nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais profundo de cada caso, estudo esse feito em geral com auílio da equivalência entre funções. Eemplo 3: Calcule os limites:. lim 3 + 3p 7 + e 9 +!8 Solução: Pelas propriedades de limites, temos que: lim!8 3 + 3p 7 + e 9 + = q = 3lim ( ) + 3 lim ( 7) + lim:lime 9 + lim!8!8!8!8!8 q = 3lim ( ) + 3 lim lim7 +!8!8!8 = 3 (8) + 3p 8 7 + (8) :e = 3 64 + + 8e 8 9 + = 8e + 95. lim lim 9!8!8 lim :e!8 + lim ( 9)!8 + lim!8 Observação: Note que, escrevendo passo a passo todas as propriedades de limites, o cálculo do limite torna-se trabalhoso. Com a eperiência, é possível aplicar diretamente estas propriedades.. lim + 6 = 0;! 3 +3 0 Solução: Devemos eliminar a indeterminação, para isso, usaremos manipulações algébricas. lim + 6 (+3)( ) = lim = lim ( ) = 5.! 3 +3! 3 +3! 3 p p + 3. lim = 0!0 0 ; Solução: Multiplicando e dividindo pelo conjugado de p + lim!0 p + p = lim p p =!0 + + p. p, temos que:

7 3p 4. lim p = 0: 0! Solução: De nindo = t 6, e observando que se!, então t!, temos que: 3p t lim p = lim!! t 3 = lim t +!t + t + = 3. 5. lim! + 5 5 + 3 = ; Solução : Pela propriedade (), temos que: lim =! 5 5. Solução : Colocando em evidência no numerador e denominador, temos que: + 5 lim! 5 + 3 = lim + 5 + 5 = lim! 5 + 3! 5 + 3 = 5, pois 5 e 3 tendem a zero quando! Observação: Quando temos lim f () estamos denotando os limites no in nito,! ou seja, queremos calcular lim f () e lim f ().!+! 6. lim! 3 + + 3 4 3 3 3 = Solução: Pela propriedade (), temos que: 3 + + 3 3 lim = lim! 4 3 3 3! 3 = lim 3! =. 4 a 4 7. lim!a a = 0; 0 Solução: Fatorando o numerador, temos que: 4 a 4 lim!a a = lim!a ( a ) ( + a ) a = lim!a ( + a ) = a. ( a) n n 8. lim = 0 a!0 0 a ; Solução: Pela forma binomial, temos que: L = lim a!0 ( a) n n a ) L = lim a!0 n n n n(n )n a a + + + ( a) n n! = lim a!0 a n n + n(n )n a! + + ( a) n = n n.

7 p 9. lim 3 +5 = ;! 6 8 Solução: Colocando em evidência no numerador e no denominador, temos que: p q 3 + 5 q 3 + 5 jj 3 + 5 lim = lim = lim! 6 8! 8 6! 8 6 Analisando os limites no in nito, temos que: q q p 3 + 5 3 + 5 3 + 5 p L = lim = lim = lim 3 =!+ 6 8!+ 8 6!+ 8 6 6 : q q p 3 + 5 3 + 5 3 + 5 p L = lim = lim = lim 3 =! 6 8! 8 6!+ 8 6 6 : 0. lim! p + 8 + 3 p + 4 + 3 = ; Solução: Multiplicando e dividindo pelo conjugado do númerador, temos que: p p L = lim + 8 + 3 + 4 + 3 =! ) L = lim! h p + 8 + 3 ) L = lim Assim, L =. L =. 4 p q! q + 8 + 3 + + 4 + 3 lim!+ lim!. lim!3 j 6j 9 = 0 0. p + 8 + 3 p + 8 + 3 p + 4 + 3 p +8+3+ p i p +4+3 +8+3+ p +4+3 = lim p + 4 + 3 = p + 4 + 3 = q 4 q! jj + 8 + 3 + + 4 + 3 lim!+ lim! Solução: Temos que, f () = j 6j 9 = j 3j ( 3) ( + 3) Pela de nição de módulo, temos que: j 3j = Reescrevendo a função, temos que: f () = 3, se 3 3, se < 3 : +3, se 3 +3, se < 3. 4 q = + 8 + 3 + q + 4 + 3 4 q = + 8 + 3 + q + 4 + 3

73 Assim, para determinar lim f (), analisemos os limites laterais:!3 lim!3 +f () = lim!3 + lim!3 f () = lim!3 +3 = 3. +3 = 3. Como lim!3 +f () 6= lim f (), então limf () não eiste.!3!3. lim! f (), onde f () = ( +, se < 6, se = 9, se > Solução: Como f () é uma função de nida por partes, para determinar lim! f () devemos analisar os limites laterais. lim! lim! +f () = lim (9 ) = 5. +! f () = lim! ( + ) = 5. Como lim! +f () = lim f (), então limf () = 5.!! 3. lim! sen () Solução: Note que não sabemos qual é o valor de lim! sen(), mas sabemos que sen () ; 8 R ) jsen ()j : Sabemos também que lim = 0: Escolhendo as funções f e g da seguinte forma:! : f () = e g () = sen () ; pela propriedade de limites número 5, resulta que sen () lim [f () :g ()] = lim!! = 0 Eemplo 4: Se f () = Solução: f ( + a) f () lim = lim a!0 a a!0, mostre que lim a!0 +a a f ( + a) a f () = lim a!0 ( + a) =. =.

74 p + Eemplo 5: Determine o valor da constante a para que eista lim p!0 + ( + a) Solução: De nindo L = lim.!0 Se: p + ( + a) L = lim!0 ) L = lim!0 ( + a) : = 0 0 p p + ( + a) + + ( + a) + ( + a) p = lim p + + ( + a)!0 + + ( + a) a + a ) L = lim!0 p + + ( + a) = lim ( a) + a!0 p + + ( + a) = a : 0 Então, observe que, para que este limite eista é necessário que a = 0, isto é, que a =. Para este valor de a, segue que: (=) L = lim p!0 + + + = 8 : Eemplo 6: Represente geometricamente uma função f que satisfaça as seguintes condições: f (0) = 0, limf () =, lim f () = e f é uma função par.!3! Solução: Pelas informações dadas no comando da questão, uma representação geometrica de f é: 3 3.5 Limites Notáveis Desenvolveremos aqui, alguns limites, cujas generalizações serão de grande utilidade no cálculo dos limites de funções que assumem uma das indeterminações do tipo 0 0, e 0.

75 sen (u) Proposição :lim u!0 u Demonstração: = Do grá co, teremos que: sen (u) < u <tg(u) ) sen u < u < sen(u). cos(u) Sabemos que sen(u) > 0 e cos (u) > 0 para u 0;. Assim, dividindo tudo por sen(u), obtém-se que: < u <. sen(u) cos(u) Por propriedades de desigualdades não estrita, temos que: sen (u) > > cos (u) : u Tomando o limite para u! 0, segue que: lim <lim sen (u) sen (u) <lim cos (u) ) <lim < : u!0 u!0 u u!0 u!0 u Pela propriedade do confronto, obtemos que: sen (u) lim =. u Eemplo 7: Calcule os limites: sen a. lim!0 sen b = 0. 0 Solução: Multiplicando e dividindo por, temos que: sen a sen a L = lim!0 sen b = lim!0 sen b : = lim = lim!0!0 ) L = lim!0 asen a a bsen b b = sen a alim!0 a sen b blim!0 b = a b. sen a sen b asen a a bsen b b tg (). lim = 0!0 0. Solução: Reescrevendo a função, temos que: sin tg () cos sin lim = lim!0!0 = lim!0 : sin = lim cos!0 :lim!0cos =. 3. lim (:cossec (3)) = 0:.!0 Solução: Reescrevendo a função, temos que: lim (:cossec (3)) = lim!0!0 : sen (3) 3sen (3) = lim 3 3!0sen (3) =. 3 = lim!0 3

76 Proposição :lim!0 cos sen!0 = 0. Demonstração: Usando a identidade trigonométrica sin = cos, para =, temos que: cos sin sin sin L = lim =lim =lim!0!0!0 ) L=lim :lim sen = 0 = 0 :!0 Eemplo 8: Calcule os limites: cos ( ). lim = 0! 0 sin ( ) Solução: De nindo t = cos ( ) lim! sin ( ) = lim t!0 cos t sin t. Se!, então t! 0. Assim, = lim t!0 cos t t sin t t = cos t lim t!0 t sin t lim t!0 t = 0. cos (4). lim = 0!0 0 sin (4) : Solução: Multiplicando e divindindo pelo conjugado do numerador, temos que: neperiano. L = lim!0 cos (4) sin (4) L = lim!0 sin (4) ( + cos (4)) = 4lim!0 cos (4) = lim!0 sin (4) ( + cos (4)) = lim!0 sin (4) 4 sin (4) sin (4) ( + cos (4)) :lim!0 + cos (4) = 4:: =. Proposição 3: lim + = e, onde e : 78 3 é o número irracional! Eemplo 9: Calcule os limites:. lim!0 ( + ) =. Solução: De nindo u =. Se! 0, então u!. Assim, lim ( + ) = lim + u = e.!0 u! u

77. lim + a =.! Solução: De nindo = a. Se!, então! 0. Assim, + a a = lim ( + ) a = lim ( + ) = e a.!0!0 lim! +3 + 3 3. lim =.! Solução: Reescrevendo a função, temos que: +3 + 3 + + 3 L = lim = lim!! De nindo 4 L = lim v! = v + v 4v+4 = +3 = lim!. Se!, então v!. Assim, lim + v 4 lim v! v v! + v 4 = e 4. + 4 +3. a Proposição 4:lim = ln a, onde a R + fg.!0 Demonstração: De nindo u = a : Aplicando logaritmo neperiano em ambos os lados, temos que: ln (u + ) = ln a ln (u + ) ) =. ln a Se! 0, então u! 0. Dessa forma, a u u L = lim = lim = ln a: lim = ln a: lim!0 u!0 ln(u+) u!0 ln (u + ) u!0 ln a ) L = ln a: lim ( ln(u+) u!0 u ) = ln a: ln lim (u+) u u!0 = ln a: ln e = ln a: ln(u+) u Eemplo 0: Calcule os limites:. lim!0 e e 5 = 0 0. Solução: Multiplicando e dividindo por, temos que: e lim!0e 5 = lim!0 e e 5 = e lim!0 e 5lim 5!0 5 = ln e 5 ln e = 5.

78. lim! 7 49 = 0 0. Solução: Reescrevendo a função, temos que: 7 49 L = lim! = lim 7 7! = 7 7 lim! : De nindo u =. Se!, então u! 0. 7 u L = 49lim = 49 ln 7. u!0 u e ( )! 3. L = lim cos ( ) = 0 0 Solução: De nindo u =, temos que: e u e u ( + cos (u)) L = lim u!0 cos (u) = lim u!0 cos (u) = lim u!0 e u! ( + cos (u)) sen (u) ) L = ln e z } { e u lim u!0 0 u lim ( + cos (u)) u!0 {z } B sen (u) C @lim A u!0 {z u } ) L = ( + ) a 4. lim = 0!0 0. Solução: Multiplicando e dividindo a função por a ln ( + ), temos que: ( + ) a ( + ) a ln ( + ) L = lim = lim :a!0!0 a ln ( + ) ( + ) a ln ( + ) ) L = alim!0 ) L = alim ln ( + )!0 ) L = a ln ) L = alim!0 lim ( + )!0 ( + ) a a ln ( + ) lim!0 lim!0 lim!0 a ln ( + ) ( + ) a a ln ( + ) ( + ) a a ln ( + ) De nindo: u = ( + ) a, então ln u = a ln ( + ). Se! 0, então u!. Assim, u L = alim : () u! ln u De nindo: = u. Se u!, então! 0. Dessa forma, em (), temos que:

79 L = alim!0 ln ( + ) = a:lim!0 ln(+) = a = a ln lim ( + ) ln e = a.!0 5. lim ( ) ln ( cos ( ) cos ( 4)) ln ( 4 + 4) = 0 +! + 0 0 00 Solução: L = lim! ( ) ln ( cos ( ) cos ( 4)) ln ( 4 + 4) 0 00 0 ( ) L = lim @ ln cos( ) cos(( ))! 00 0 De nindo u =. A = Se! então u! 0, temos que: lim ln cos(u) cos(u) u!0 u L = 0 u = lim ln 00 ln 0 u!0 00lim u!0 {z u } ln 0 L = ln lim 00 ln 0 u!0 0 L = 00 ln 0 ln B @! ( cos (u)) + sen (u) u lim ln cos( ) cos(( ))! ( ) lim 00 0! = ln( 0 0) 0 0 cos (u) cos (u) + sen (u) u ( cos (u)) sen (u) C lim + lim u!0 {z u } u!0 {z u A ) L = 0 } 0.6 Continuidade de uma Função Ao estudarmos limf () analisamos o comportamento da função f () para!a valores de próimos de a, pois o limf () pode eistir sem mesmo a função estar!a de nida no ponto = a. De nição : Dizemos que uma função f() é contínua no ponto a se, e somente se, satisfaz as seguintes condições: i. a pertence ao domínio de f;

80 ii. lim!a f () = f(a). Se uma destas condições não for veri cada, dizemos que a função f() tem uma descontinuidade no ponto = a. Eemplo : Determine se as funções são contínuas no ponto =. + a. f () = +, se 6= ; b. g () =, se = c. h () = +, se 6= 3, se = Assim, 3. Solução: Observe que as três funções são idênticas, eceto no ponto =. lim! f () = limg () = limh () = lim!!! + = lim! (+)( ) = lim! ( + ) = Logo, o limite bilateral da segunda condição da de nição de continuidade é satisfeita para as funções f, g e h. Para tiramos as devidas conclusões, faremos o restante da análise para cada uma das funções separadamente: a. f não está de nida em =. Portanto, f não é contínua em =, pois falha a primeira condição da de nição de continuidade. b. Para a função g, temos que: g () =, mas g () 6= lim! g (). Logo, a função g não é contínua em =, pois falha a segunda condição da de nição de continuidade. c. Para a função h, temos que: h () = 3 e h () = lim! h (). Conclusão, a função h é contínua em =. Eemplo : Estude a continuidade das funções:

8. f () =, se 0 Solução: O grá co de f é: +, se < 0 ; Gra camente, conclui-se que f não é contínua, pois a função apresenta um salto no ponto = 0. Veri cando as condições da de nição. (a) f (0) = 0; (b) Os limites laterais são: lim!0 +f () = lim!0 = 0; + lim f () = lim!0!0 Logo, como o + =. lim!0 +f () 6= lim!0 f (), então não eiste o lim!0 f () (limite bilateral). Conclusão: A função f não é contínua em = 0, pois a segunda condição da de nição de continuidade não é satisfeita. j + 5j, se 6= 5 3, se = 5 ; Solução: Aplicando a de nição de módulo, podemos reescrever f () como:. f () = 8 < f () = : ( + 5), se < 5 3, se = 5. + 5, se > 5 Veri cando se as condições da de nição são satisfeitas: 5 (a) f = 3; (b) Limites laterais: lim! 5 lim! 5 + f () = lim! 5 f () = lim! 5 ( 5) = 0; ( + 5) = 0; + Como os limites laterias são iguais, então lim f () = 0.! 5 5 Conclusão: Como lim f () 6= f! 5, então f não é contínua em = 5 :

8 Eercício 3: Mostre que a função f () = jj é uma função contínua. Há alguns casos em que a função f() não está de nida no ponto = a, mesmo assim, pode tornar-se contínua neste ponto, fato este que ca esclarecido no teorema seguinte: Teorema: Se a função f() não é de nida para = c e se o lim!a f () = b, então a função f() será contínua em = c se o valor b for atribuído à f() para = c. Isto é: f (), se 6= c f () = : b, se = c Observação: A descontinuidade a que se refere o teorema acima é dita descontinuidade removível e a qual o teorema não se aplica, ilustrada no, número, do eemplo 9, é dita descontinuidade essencial. Eemplo 4: Estude a continuidade da função f () = 4. Solução: Como a função f() não é de nida para =, então f () não é contínua neste ponto. Observe que: lim! f () = 4. A função f só será contínua em = se rede nirmos essa função da seguinte forma: f () = 4, se 6= 4, se = Conclusão: = é uma descontinuidade removível.

83 Eemplo 5: Seja f a função de nida por 8, se 3 ><, se 3 < 0 f () =, se 0 < < >: ( ), se > : (a) Represente geometricamente o grá co da função f. (b) A função f é contínua em = 3, = 0 e =? Use a de nição de continuidade para justi car sua resposta. E ainda, nos pontos em que f for descontínua, classi que as descontinuidades. (c) Encontre o lim f () :! Solução: (a) Representação geométrica de f: (b) Pela de nição, uma função f é contínua em um ponto cuja abscissa é a se, e somente se, limf () = f (a).!a * Em = 3, observe que lim f () = f ( 3) =. Logo, f é contínua em! 3 = 3. * Em = 0, a função f não é contínua, pois o limite bilateral não eiste, pois lim f () = e lim!0!0 +f () = +. A descontinuidade é do tipo essencial. * Em =, note que limf () =, mas como f () não está de nida então! f não em contínua em =. A descontinuidade é do tipo removível. (c) lim f () = e lim f () =.!!+

84 Eemplo 6: Use a de nição de continuidade para decidir se a função 8 e >< 3 sin f () = sin (), se > 0 >: 3, se 0 é contínua em = 0. Caso conclua que a função não é contínua em 0 classi que essa descontinuidade. Solução: Pela de nição de continuidade em um ponto, f é contínua em = 0 se, e somente se, limf () = f (0) :!0 (i) f (0) = 3; 3 (ii) lim f () = lim!0!0 = 3; e 3 sin e 3 sin lim!0 +f () = lim = lim!0 + sin ()!0 + sin cos = lim e 3 sin lim!0 + sin!0 + cos De nindo u = sin. Se! 0 então u! 0. Assim, lim!0 +f () = lim (e 3 ) u = u!0 + u Portanto, limf () = 3:!0 ln e3 = 3: (iii) limf () = f (0) :!0 Conclusão: f é contínua em = 0: Eemplo 7: Sejam f e g as funções de nidas por 8 asen ( 4), se < >< + f () = + ln( + b) e g () = f (), se = >: (3a b) senh ( + ), se > + Use a de nição de continuidade para determinar o valor das constante a e b para que a função g seja contínua em = : Solução: Pela de nição de continuidade, g é contínua em = se, e somente se, : lim g () = g ( ),! ( L = lim g () = g ( )! L = lim! +g () = g ( ) () Encontrando (f ) () = f () : = + ln( + b) ) = ln ( + b) ) e = e ln(+b) ) = e b Logo, temos que: f () = e b

85 Reescrevendo a função g, temos que: 8 asen ( 4), se < >< + g () = b, se = >: (3a b) Determinando os limites laterais: L = lim! ) L = a lim! ) L = 4a L = f () = lim! sen ( 4) 4 senh ( + ), se > + asen ( 4) + lim ( )! {z } = 4 = lim! = # D e nindo v=+ (3a b) senh ( + ) lim! +f () = lim! + + ) L = (3a b) lim! + e + e (+) + ) L = (3a b) lim u!0 + e u (e u ) u ) L = 3a b Por (), temos que: L = g ( ) ) L = g ( ) 4a = b 3a b = b : asen ( 4) = 0 0 + ( ) ( ) sen (v) 4a lim v!0 {z v } = = # D e nindo =+ (3a e u e u b) lim u!0 + u = (3a b) lim (e u ) lim u!0 + {z } {z u } ) u!0 +e u = =ln e a = b = 7..7 Continuidade em Intervalos Uma função é contínua em um intervalo quando é contínua para todo deste intervalo. Assim, De nição 3: Dizemos que f é contínua à direita em a se, e somente se, f (a) = lim!a +f () :

86 De nição 4: Dizemos que f é contínua à esquerda em b se, e somente se, f (b) = lim!b f () : De nição 5: Uma função f() é dita contínua em um intervalo fechado [a; b], se as seguintes condições forem satisfeitas: (i) f é contínua em (a; b); (ii) f é contínua à direita em a; (iii) f é contínua à esquerda em b. Eemplo 8: Veri car se f () = p 4 é contínua em [ ; ]: Solução: Sabemos que o domínio de f é Df = [ ; ]. Veri quemos se as condições da de nição 5 são satisfeitas. (i) Para qualquer c ( ; ), temos que f (c) = p 4 = limf ().!c contínua em (a; b). Logo, f é (ii) lim f () = lim!! p 4 = 0 = f ( ). Então, f é contínua à direita em a. (iii) lim! f () = lim! p 4 = 0 = f (). Então, f é contínua à esquerda em a. Conclusão: f() é contínua no intervalo fechado [ ; ]..8 Propriedades das Funções Contínuas Se f() e g() são funções contínuas em c, então: (i) f() g() é uma função contínua em c; (ii) f():g() é uma função contínua em c; (iii) f() g() é uma função contínua em c se g (c) 6= 0 e tem uma descontinuidade em c se g (c) = 0.

87 Teorema: Todo polinômio é uma função contínua. Demostração: Queremos mostrar que lim!c p () = p (c), onde p () é um polinômio de grau n. Seja p () = a 0 n + a n + + a n + a n. Tomando o limite para! c, temos que: limp () =lim (a 0 n + a n + + a n + a n )!c!c = lim (a 0 n ) + lim (a n + + a n + a n )!c!c = a 0 lim n + lim (a n ) + lim (a n + + a n + a n )!c!c!c Aplicando-se sucessivamente as propriedades de limites, segue que: lim p () = a 0c n + a c n + + a n c + a n = p (c).!c Portanto, limp () = p (c).!c Continuidade de Funções Racionais Uma função racional é contínua em todo seu domínio. Eemplo 9: Para quais valores de a função f () = 5 5+6 é contínua? Solução: Como f () é uma função racional, então é contínua em todo seu domínio, ou seja, em todos os pontos, eceto onde o denominador se anula. Logo, f é contínua em R f; 3g :

88 Continuidade de Funções Compostas Se f() é contínua em = c e g() é contínua em f(c) então, a função composta (g f) () é também contínua em c, isto é: lim (g f) () = g lim f () = g (f (a)).!c!c Eemplo 30: Sejam f () = cos e g () =. Então a função g f é contínua em = 0? Solução: Como limg (f ()) = limg (cos ) = g (0) = = g (f (0)), então!0!0 g f é contínua em = 0. Eemplo 3: Investigue se a função f () = sin()+cos() ln(sin ) em = 6. Solução: Note que f () pode ser escrita como: f () = f () + f () f 3 (f ()) ; onde f () = sin, f () = cos e f 3 () = ln : Em =, temos que: 6 lim f () = sin = = f 6! 6 lim f () = cos = = f 3! 6 lim f 3 (f ()) = lim! 6 contínua.! 6 6 6 ) f é contínua; f 3 cos 3 = ln cos 3 ) f é contínua; = ln = f3 f 6 ) f 3 f é Pelas propriedades (i) e (iii) de funções contínuas, concluímos que f é contínua em = 6.

89 Teorema do Valor Intermediário A gura abaio, mostra o grá co de uma função que é contínua no intervalo fechado [a; b], sugere que se traçarmos uma reta horizontal = k, onde k está entre f (a) e f (b) então essa reta irá interceptar a curva = f () pelo menos uma vez em [a; b]. f ( b ) f k ( a ) a c b Teorema do Valor Intermediário: Se f é contínua no intervalo fechado [a; b] e k é um número real tal que f (a) k f (b) ou f (a) k f (b), então eiste pelo menos um c [a; b] tal que f (c) = k. No gura abaio pode ser observado que se f (a) < f (b), mas não eiste nenhuma constante c (0; b) tal que f (c) = k. Isto não contradiz o teorema do valor intermediário, pois a função = f () apresentada na fugura abaio não satisfaz uma das hipóteses do teorema anterior, pois f não é contínua em todo o intervalo [a; b] : f = f ( ) ( b ) k f ( a ) a b c O próimo teorema é uma consequência do Teorema do Valor Intermediário. Teorema de Bolzano ou do Anulamento: Se f é contínua em [a; b] e se f (a) e f (b) tem sinais opostos, então eiste pelo menos um número c entre a e b tal que f (c) = 0.

90 Em outras palavras, o teorema do anulamento nos diz que se f é contínua em um intervalo fechado e se f aplicada nos etremos do intervalo tem sinais opostos, então eiste pelo menos uma raiz pertencente a este intervalo. Eemplo 3:. Seja f () = +. Eiste alguma raiz de f no intervalo [0; ]? Solução: Temos que f (0) = e f () = 4. Como fé contínua em [0; ], f (0) < 0 e f () > 0, então pelo teorema do valor intermediário, eiste c (0; ) tal que f (c) = 0. Determine este c!. Veri que se a função f () = e cos () possui alguma raiz no intervalo [0; ] : Justi que sua resposta com argumentos consistentes. Solução: Note que a função f é contínua em [0; ], pois é a diferença de funções contínuas e, além disso, f (0) = < 0 e f () = e + > 0. Pelo teorema de Bolzano, eiste c (0; ) tal que f (c) = 0: Observe que através do teorema de Bolzano garantimos a eistência de uma raiz no intervalo [0; ] da função f, porém para determinar os valores em que f () = 0, ou seja, e = cos () é necessário utilizar técnicas que serão estudadas em Cálculo Numérico.

9.9 Eercícios. Para a função f () cujo grá co está na gura em aneo, determine (a) lim f ()!3 (d) f(3) (e) lim!+ (b) lim!3 +f () (c) lim f ()!3 f () (f) lim f ()! 3 5 5 0. Para a função f () cujo grá co está na gura em aneo, determine (a) lim f ()! (d) f() (e) lim!+ (b) lim! +f () (c) lim f ()! f () (f) lim f ()! 0 0 3. Para a função f () cujo grá co está na gura em aneo, determine (a) lim f ()!4 (d) f(4) (e) lim!+ (b) lim!4 +f () (c) lim f ()!4 f () (f) lim f ()! 4 0 4 6 8 4. Para a função f () cujo grá co está na gura em aneo, determine (a) lim f ()!0 (d) f(0) (e) lim!+ (b) lim!0 +f () (c) lim f ()!0 f () (f) lim f ()!

9 0 5 4 4 5. Para a função f () cujo grá co está na gura em aneo, determine (a) lim! f () (b) lim! (d) f( ) (e) lim!+ +f () (c) lim f ()! f () (f) lim f ()! 3 4 0 6. Para a função f () cujo grá co está na gura em aneo, determine (a) lim f ()!3 (d) f(3) (e) lim!+ (b) lim!3 +f () (c) lim f ()!3 f () (f) lim f ()! 4 4 7. Para a função f () cujo grá co está na gura em aneo, determine (a) lim! f () (b) lim! (d) f( ) (e) lim!+ +f () (c) lim f ()! f () (f) lim f ()! 4 8 6 4 4 4 8. Para a função f () cujo grá co está na gura em aneo, determine (a) lim f ()!4 (d) f(4) (e) lim!+ (b) lim!4 +f () (c) lim f ()!4 f () (f) lim f ()!

93 0 5 4 6 8 0 9. Para a função f () cujo grá co está na gura em aneo, determine (a) lim f ()!3 (d) f(3) (e) lim!+ (b) lim!3 +f () (c) lim f ()!3 f () (f) lim f ()! 4 6 4 4 6 8 4 0. Para a função f () cujo grá co está na gura em aneo, determine (a) lim f ()!0 (d) f(0) (e) lim!+ (b) lim!0 +f () (c) lim f ()!0 f () (f) lim f ()! 0 4 4 0. Para a função f () cujo grá co está na gura em aneo, determine (a) lim f ()!0 (d) f(0) (e) lim!+ (b) lim!0 +f () (c) lim f ()!0 f () (f) lim f ()! 0 0. Para a função f () cujo grá co está na gura em aneo, determine (a) lim f ()!0 (d) f(0) (e) lim!+ (b) lim!0 +f () (c) lim f ()!0 f () (f) lim f ()!

94.0 0.5 4 4 0.5.0 3. Considere a função g () cujo grá co está na gura em aneo. Para que valores de 0 eiste lim!0 g ()? 6 4 4 0 4 4. Considere a função f () cujo grá co está na gura em aneo. Para que valores de 0 eiste lim!0 f ()? 5 6 4 4 5 5. Use a de nição de limite para mostrar que: 3 (a) lim = 5! (b) lim ( 6) = 4! (c) (d) (e) lim! lim! = 0 3 + = 0 lim p =!5 + (f) lim! + = +. p (g) lim =.! + (h) ( + 3) =. (i) lim! lim e = 0.!+

95 (j) (k) (l) lim e = +.! lim (ln ) =.!0 + lim (ln ) = +!+ 6. Dados limf () =, lim!a!a g () = 4 e limh () = 0: Obtenha os limites abaio. Justi que seu raciocínio usando as propriedades de limites. (a) lim!a [f () + g ()] (d) lim!a 3 p 6 + f ()!a (b) lim [h () 3g () + ] (c) lim [g ()]!a!a 7g () 3f () 8g () (e) lim (f) lim!a f () + g ()!a h() 7. Use os grá cos de f() e g () na gura abaio para determinar os seguintes limites: (a) lim [f () + g ()] (b) lim [f () + g ()] (c) lim [f () + g ()]!!0!0 + f() +g() (d) lim [f () + g ()] (e) lim (f) lim!0! +g()! f() p p (g) lim f () (h) lim f ()!0 +!0 6 4 4 4 = f () 4 = g () 8. Determine os limites:

96 5 + 6. lim!3 3 t 3 + 8 3. lim t! t + 4 6 ;. lim! + 6 + 5 4. lim! 3 4 4 + 4 s 6 s 3 5s + 5. lim 6. lim! + 6 s! 4s 4 3s 7. lim [ln ( + ) ln ] 8. lim!+! r p + + 3 3u 4u 5 5 9. lim 0. lim u!+ u 7 +! + 3 u 8. lim p u! 3u4 + u s 6 3. lim s!6 sp 36 + 4 5. lim!0. lim! 3 + 8 + 3 4. lim!4 4 8 6. lim p p + 3 + 3 3 7 + 0 ( + h) 4 6 7. lim 8. lim!4 p4 5 + 36 h!0 p h a + bt a + a 9. lim, a > 0 0. lim a p t!0 t!a + b b, a, b > 0 3p 8 + h 3p. lim. lim h!0 h! 4p 3p 3p + 3. lim! ( ) 4. lim 3 p 5 + p!4 5 p p 5. lim + p + 3 0 6. lim!+p!+p 3 + + 7. lim 8. lim!+ +! + 9. lim!+ p 3! 3. lim 33. lim! p 3 + + p 30. lim!+ 3. lim 5+4 3p 3 + 5!!0 0 3 p 5 + 4 5 3 + 4 + + 34. lim!4 j +j 6 9. Esboce o grá co da função f() de nida por partes e, para o valor a indicado, determine cada limite, se eistir. Justi que sua resposta. 3, se (a) f () = 4, se > ; a = ; (b) f () = 5 3, se + p +, se > ; a = ; (c) f () = ( +, se 0, se 0 < 4, se > ; a = 0 e ;

97 ( j 7j (d) f () =, se 6= 3 6, se = 3 ; a = 3: 0. Calcule os limites, usando os limites notáveis sempre que for possível. +. lim [ ( p + 3 e )];. lim!! + cos 3. lim p ; 4. lim ;!0 cos! 3 p sen 3 5. lim + ; 6. lim ( ) tg!! sen (a + ) sen (a ) 7. lim!0 ln ( + a) 9. lim ; 0. lim!0 ln ln 3. lim!3 3 tg () sen ; 8. lim ;!0 3 e a e b ;!0 ; ;. lim ( + 3tg ()) cotg () ;!0

98 sin sin ln ( ) 3. lim 4. lim!! ; sin :cotg () 5. lim 6. lim! +!0 3 + 7 7. lim ; 8. lim tg ;! +! 9. lim p q +4 ; 0. lim ( + 5) ;!0! 4. lim 5 + + e a ;. lim!+ ;! e ( ) sen 3. lim ; 4. lim! e (5 5)! ; sen 5. lim ; 6. lim!0 sen cos!0 sec p ; p p 7. lim + ; 8. lim [ (ln ( ) ln )];!+"!+ 9. lim 0 + + # +5 3sen ; 30. lim ;!!0 cos + cos () ln 3. lim ; 3. lim p ;!0! + e sen 33. lim!0 sin () ; sen 34. lim!0tg 3 () cos ; 35. lim sin [5 ( )]! 3 4 ln e cos : ln p + 37. lim!0 39. lim!0 ; 36. lim! 4 ; 38. lim! tg() ; cos sin + 3 3p + ; 40. lim (sen + cos ) sec ; e! e e e + sen 4. lim ; 4. lim ;!0 sen () sen!0 r ln ( + ) 5 43. lim :tg () ; 44. lim! +!0 sen sen 45. lim ln p e: ln sen!0 47. lim [7 ( + cotg )]!0 + senh () 49. lim!0 + 4. Estude a continuidade das funções: ; 46. lim! sen ( ) 3 3 + 3 ; e e 3 ; 48. lim!3 3 sen (5) 50. lim!0 tgh () ;

99 ( 5 +, se, se 6= 4. f () = 4 ;. f () =, se < <, se = 4, se ( (, se < 0 + 6 3. f () = 0, se = 0 ; 4. f () =, se 6= 3 + 3 ;, se > 0, se = 3 5. f () = ; 6. f () = j3 + j ; 3 ;. Determine, se possível, o(s) valor(es) da constante k para que a função f 8 < k, se f () = + k, se < <, :, se k seja contínua em R: ( + a + b + 5, se < 3. Considere a função f, de nida por f () = 5, se = b 3 a, se > Encontre os valores de a e b de tal forma que a função f () seja contínua. : 4. Represente geometricamente o grá co de uma função f que satisfaz as seguintes condições: f é uma função ímpar; lim f () = ; lim!0! 4 +f () = 5 e lim f () =! 4 +; e, lim f () = :! 5. Mostre que o teorema do valor intermediário garante que a equação e +cos 3 = 0 tem uma raiz no intervalo ; : 6. Pelo teorema de Bolzano é possível a rmar que a função f () = cos + ln + tem alguma raiz no intervalo 0;? Justi que.

00.0 Eercícios de Revisão dos Capítulos e. Sejam f () = cos e g () = p +. (a) Mostre que a função f é uma função periódica e de período. (b) A função h () = g () :g (f ()) é uma função par, ímpar ou nem par nem ímpar? Justi que.. Sejam f e g duas funções de nidas por g () = e f () = Determine lim!6 h (), onde h () = (f g) (). ( 4) cosec( 4) : e e4 3. Sejam f e g duas funções de nidas por g () = p + e f () = ln ( + ) : Determine lim!0 h (), onde h () = (g f ) (). 4. Sejam f e g duas funções de nidas por g () = p + e f () = e : Determine limh (), onde h () = (g f) ().!0 5. Sejam f () = ln p + c, 8 <, e k = lim. Encontre, se possível,!+ c o valor da constante c a m de que f (0) = k. ( a sin () + ( + ) b, se < 0 6. Considere a função f () de nida por f () = : a ( + ) + 3b, se 0 Encontre, se possível, uma relação entre as constantes a e b de tal forma que a função f () seja contínua em 0. 7. Obtenha lim! F (), sabendo que F () = h (f (g ())), onde f () = e, g () = e e h () = 8. Sejam f () = 3p ln ( + j j) e g () = e 3. cos ( ) (a) Determine o domínio da função f. (b) Estude a continuidade da função h (), sabendo que 8 >< g (f ()), se Df 0, se = 0 h () = >: sin (), se R fdfg :

0 Caso a função h não seja contínua em todos os pontos, classi que a(s) descontinuidade(s). 9. A desigualdade 3 sin 3 + 5 é válida para todo 0. Usando a 6 6 0 sin desigualdade, determine lim. Justi que sua resposta.!0 + 3 0. Considere 8 as funções g e h de nidas por g () =, 8 R, e h () = <, se 6= 0 : jj. a +, se = 0 (a) Determine f () = g (h ()); (b) Encontre o valor de a para que a função f () seja contínua em = 0.. Use a de nição de continuidade para decidir se a função 8 e 3 sin >< sin (), se > 0 f () = p p p >: lim + +, se 0!+ é contínua em = 0. Caso conclua que a função não é contínua em 0 classi que essa descontinuidade.. Sejam f () = sin 5, g () = e h () = ln ( ) : Determine limf (),! f (g ()) sabendo que F () = g () :h (h ( 3)). >< 3. Considere a função f, de nida por f () = >: 8 e b 5 5 cos, se < 0 a, se = 0 ( + ) (ln 5)=, se > 0 Encontre, se possível, o valor das constante a e b para que a função f () seja contínua em 0. 4. Um tanque contém 5000 litros de água pura. Para dentro deste tanque de água está sendo bombeada uma salmoura de 30 gramas de sal por litro a uma taa de 5 litros por minuto. Sabendo que a concentração de sal após t minutos é C (t) = 30t, use a de nição de limite para mostrar que lim C (t) = 30. 00 + t t!+ :

0 5. Considere as funções f e f g de nidas por f () = ln ( 3 ) e (f g) () = p + : Determine as funções g e g. A seguir, dê o domínio e a imagem da função g : 6. Sejam f e g as funções de nidas por 8 >< f () = + ln( + b) e g () = >: a cos ( 4), se < 3 8 f (), se = senh ( + ), se > + : Use a de nição de continuidade para determinar o valor das constante a e b para que a função g seja contínua em = :

03. Respostas.. Respostas do Capítulo. (a) (b) 3 (c) @ (d) (e) 3 (f). (a) (b) 0 (c) @ (d) (e) (f) 0 8. 3. (a) (b) (c) (d) (e) + (f) - 4. (a) 8 (b) 8 (c) 8 (d) 8 (e) + (f) + 5. (a) 0 (b) 0 (c) 0 (d) (e) + (f) + 6. (a) (b) (c) (d) 3 (e) + (f) - 7. (a) - (b) + (c) @ (d) @ (e) 0 (f) 8. (a) + (b) + (c) + (d) @ (e) 0 (f) 0 9. (a) - (b) - (c) - (d) (e) (f) 0. (a) (b) - (c) @ (d) - (e) + (f) +. (a) 0 (b) 0 (c) 0 (d) 0 (e) @ (f) @. (a) (b) (c) (d) (e) (f) @ 3. 8 0 6= 4 4. 0 R f g 5. n (a) = "; (b) = min ; " o ; 4 (c) N = " +, 8" 0; ; (d) N = " +, 8" 0; ; ( ) " (e) = min ; p 6 + p 6 ; (f) = M ; (g) = min f; "g ; (h) N = M 3; (i) N = ln ", 8" (0; ) ; (j) N = ln M; (k) = e N ; (l) N = e M : 6. (a) 6 (b) 3 (c) 6 (d) (e) (f) 7. (a) (b) @ (c) 0 (d) 3 (e) 0 (f) + (g) @ (h)

04.. 3 4 3. 4. 5 5. 0 6. + 7. 0 8. 0 p 9. 0 0. 5. p 3. 3 3. 4. 6 5. 6. 0 p 3 4 7. 8. 3 b 9. 0. a.. 4 3 3. 9 4. 3 5. 0 6. 0 7. 8. a( p ) b p a +b 9. + 30. 3. 3. 0 33. 34., se! 4 e, se! 4+ 8 8 8 9. (a) limf () não eiste; (b) lim f () não eiste;!! 4 4 4 3 4 0 4 (c) lim!0 f () = ; lim! f () não eiste (d) lim!3 f () não eiste; 4 4 0 0 0 0 0 0 0... e 3. p p p, se! 0 + ;, se! 0 4. 3 5. + 6. 7. cos a 8. ; 9. a 0. a b.. e 3 3 3. cos 4. 5. e 6. 7. ln 3 8. 7 9. e 0. e

05. (e + 5). 3. 4. 5 5. 6. 7. 8. 9. e + 0 30. 3 3. 3. 0 33. 34. 35. 0 37. 0 38. e 4 39. 40. e 4. 4. 43. 44. ln 5 45. 0 46. 47. 0 48. e 3 49. 0 50. 5.. f é contínua 8 6= 4 ;. f é contínua 8 6= ; 3. f é contínua 8 6= 0; 4. f é contínua 8 6= 3; 5. f é contínua 8 6= 0 e ; 6. f é contínua 8 6= 0: ln a. Não eiste valor de k para que f seja contínua. 3. a = e b = 7 4. Uma das possíveis soluções é: 6. Não, pois f não é continua em todo o intervalo de 0; :

06.. Resposta dos eercícios de revisão. (b) função par.. e 4 3. p e 4. p e 5. c = ln p 6. a = b 7. 0 8. (a) (0; +); (b) contínua 8 6= 0. 9. 6 0. a =. lim!0 +f () = 3; lim!0 +f () = ; descontinuidade essencial em = 0.. 5 3. a = 5 e b = 5. 4. M = 6000 " 00, para 0 < " < 30. p ++ 5. g () = e 3 ; g () = (3 ln ) ; g : 6. a = 6 e b = : h e 3 ; +! [ ; +) :

07 Derivada e Diferencial Objetivos Determinar a equação de retas tangentes a uma curva em um determinado ponto; Resolver problemas que envolvam retas paralelas e normais à reta tangente de uma curva em ponto; Calcular derivadas pela de nição; Derivar qualquer função, usando as regras de derivação; Determinar as derivadas laterais; Derivar funções compostas (regra da cadeia); Derivar implicitamente uma função; Encontrar a derivada de funções parametrizadas; Determinar derivadas de ordem superior; Interpretar geométrica e sicamente derivadas e diferenciais; Resolver problemas que envolvam diferenciais.

. Introdução O Cálculo Diferencial é o ramo da matemática que tem como foco o estudo do movimento e da variação deste movimento. Seu objeto de estudo são as funções. As idéias que usaremos aqui foram introduzidas no século XVII por Newton e Leibnitz. A intenção de Cálculo Diferencial é o de medir os incrementos ou variações de grandezas, isto é, problemas do tipo: dada uma função, medir o seu incremento. Eemplo : a. A velocidade é a variação da distância em relação ao tempo, isto é, o incremento da distância na unidade de tempo é a velocidade. b. O peso de um animal aumenta regularmente 5 quilos por mês, isto é, o seu incremento em quilos por mês é 5..3 Reta Tangente Sejam = f () uma curva do R. Sejam P e Q dois pontos distintos desta curva, cujas coordenadas são ( 0 ; f ( 0 )) e ( ; f ( )), respectivamente. = f = f ( ) ( ) 0 0 P α Q s = f ( ) 0 A inclinação da reta secante s, que passa pelos pontos P e Q, é m s = tg () = f ( ) f ( 0 ) 0 =. Sunpondo que o ponto P se mantém o e Q se move sobre a curva na direção de P. Assim, a inclinação da reta secante irá variar. À medida que Q se aproima de P a inclinação da reta secante varia cada vez menos até atingir uma posição limite. Este limite é chamade de inclinação da reta tangente (t) à curva no ponto P. 08

09 t = f ( ) Q s = f ( ) = f ( ) 0 0 P 0 De nição : Dada uma curva = f (), seja P ( 0 ; f ( 0 )) um ponto sobre ela. A inclinação da reta tangente à curva em P é dada por quando este limite eiste. m t = lim Q!P = lim f ( ) f ( 0 ),! 0 0 De nindo = 0 +. Se! 0, então! 0. Assim, podemos reescrever o coe ciente angular da reta tangente como m t = lim!0 = lim f ( 0 + ) f ( 0 ).!0 Sabemos que a equação geral de uma reta é 0 = m ( 0 ), onde m é o coe ciente angular da reta. Dessa forma, podemos escrever a equação da reta tangente à curva = f () no ponto P ( 0 ; f ( 0 )) é f ( 0 ) = m t ( 0 ). Eemplo :. Encontre a inclinação da reta tangente à curva = +6+9, no ponto P ( 0 ; 0 ). Solução: Pela de nição, sabemos que a inclinação da reta tangente à curva = + 6 + 9 no ponto P ( 0 ; 0 ) é f( m t = lim 0 +) f( 0 )!0 ( 0 +) = lim +6( 0 +)+9 ( 0 +6 0+9) =!0 m t = lim 0 +() +6 = lim (!0 0 + () + 6) = 0 + 6.!0 Logo, o coe ciente angular da reta tangente é 0 + 6.

0. Determine a equação da reta tangente à curva = 3 + 5, no ponto cuja abcissa é 4. Solução: Sabemos que, a equação da reta tangente à curva = f () = 3 + 5, no ponto de abcissa 4, é onde: f (4) = 3 (4) + 5 = 53; m t = lim 4. f(4+)!0 f(4) f (4) = m t ( 4), 3(4+) = lim +5 53!0 Logo, a equação da reta tangente é 53 = 4 ( 4) ) = 4 43. Geometricamente, 3(6+8+() = lim ) 48!0 4+3() = lim =!0 50 50 4 3. Considere à curva = p. Determine a equação da reta tangente a curva e paralela à reta r : 8 3 + 3 = 0 : Solução: Seja t a reta tangente à curva = f () = p e paralela à reta r : = 6 +. Como as retas t e s são paralelas, então m t = m s = 6. () Por outro lado, a inclinação da reta tangente é f( m t = lim 0 +) f( 0 )!0 = lim!0 p 0 + p 0 = 0 0 Resolvendo-se o limite acima, obtém-se: m t = p 0. () Comparando () e (), tem-se: p 0 = 6 ) 0 = : 44 Logo, a equação da reta tangente no ponto P ; f 44 t : = 6 ) t : = 6 +. 44 8 Geometricamente, 44 é 3

4. Determine a equação da reta normal à curva = 3 no ponto P (; ) : Solução: Sejam s e t as retas normal e tangente, respectivamente, à curva = 3 no ponto P (; ) : Como as retas t e s são perpendiculares, então m t :m s =. () Por outro lado, a inclinação da reta tangente em P é m t = lim!0 f(+) f() (+) = lim 3 = 0!0 0 Resolvendo-se o limite acima, obtém-se: m t = 3. () Substituindo () em (), tem-se que: m s = 3 : Dessa forma, a equação da reta normal no ponto P (; ) é s : = 3 ( ) ) s : = 4 3 Geometricamente,. 3 4 4.4 Derivadas Derivada de uma função num ponto De nição : A derivada de uma função f () num ponto 0, denotada por f 0 ( 0 ) é de nida pelo limite quando este limite eiste. f 0 f ( 0 + ) f ( 0 ) ( 0 ) = lim,!0 Lembrando que: = 0 +, podemos escrever f 0 ( 0 ) como f 0 ( 0 ) = lim! 0 f ( ) f ( 0 ) 0. Geometricamente, f 0 ( 0 ) representa a inclinação da reta tangente à curva = f () no ponto P ( 0 ; f ( 0 )).

Derivada de uma função De nição 3: A derivada de uma função = f (), denotada por f 0 () tal que seu valor em qualquer Df é de nido por quando este limite eiste. f 0 f ( + ) () = lim!0 f (), Dizemos que f é derivável quando eiste a derivada em todos os pontos de seu domínio. Observações: (i) Da de nição, temos que o coe ciente angular da reta tangente a uma curva = f (), em um ponto P ( 0 ; f ( 0 )), é m t = f 0 ( 0 ). (ii) Na de nição 3, o quociente f(+) f() é chamado Quociente de Newton. Outras notações de derivada: f 0 () = 0 = D f = d d. Eemplo 4: Seja f () = +. Determine f 0 (3). Solução: Pela de nição de derivada de uma função num ponto, em 0 = 3, temos que: f 0 (3) = lim!0 f(3+) Portanto, f 0 (3) = 6. f(3) ((3+) = lim +) (3 +)!0 0+6+() = lim 0 = 6.!0 Eemplo 5: Determine a derivada de cada uma das funções:. f () = +3 ; Solução: Pela de nição de derivada, temos que: f 0 () = lim!0 f(+) f() = lim!0 (+) (+)+3 (+ )(+3) ( )(++3) = lim!0 (+3)(++3) = lim 5!0 (+3)(++3) = lim +3 5 ) f 0 () = 5.!0 (+3)(++3) (+3)

3. f () = 3. Solução: Pela de nição de derivada, temos que: f 0 () = lim!0 f(+) f() (+) = lim 3 3 = 0!0 0 De nindo u 3 = + e a 3 =. Se! 0, então u! a. Dessa forma, f 0 a () = lim = lim u 3 a 3 u!a u mas a = 3p, então: f 0 () = 3 3p. =, u!a u +au+a 3a.5 Diferenciabilidade Como a de nição de derivadas envolve limites, a derivada de uma função eiste quando o limite da de nição 3 eiste. Esses pontos são chamado pontos de diferenciabilidade para f, e os pontos onde este limite não eist são chamados de pontos de não-diferenciabilidade para f. Geometricamente, os pontos de diferenciabilidade de f são aqueles onde a curva = f () tem uma reta tangente,e os pontos de não-diferenciabilidade são aqueles onde a curva não tem reta tangente. De modo informal, os pontos de nãodiferenciabilidade mais comumente encontrados podem ser classi cados como: picos, pontos de tangência vertical e pontos de descontinuidade. 0 0 Pico Ponto de tangência vertical Ponto de descontinuidade Intuitivamente, os picos são pontos de não-diferenciabilidade, uma vez que não há como desenhar uma única reta tangente em tal ponto. Por um ponto de tangência vertical entendemos um lugar na curva onde a reta secante tende a uma posição limite vertical. Neste pontos, o único candidato razoável para a reta tangente é uma reta vertical naquele ponto. Mas as retas verticais tem inclinação in nita; logo, a derivada (se eistisse) teria um valor nito real lá, o que eplicaria intuitivamente por que a derivada não eiste no ponto de tangência vertical. P 0 Q Q Q 0 P 0 Eercício 6: Prove que a função f () = jj não é diferenciável em = 0.

4 que: Solução: Pela de nição de derivada de uma função em um ponto, temos f 0 f (0 + ) f (0) (0) = lim!0, se > 0 f 0 (0) =, se < 0. j0 + j = lim!0 j0j jj = lim!0 Como os limites laterais são diferentes, dizemos que o limite lim!0 eiste. Conseqüentemente, f 0 (0) não eiste. jj não Observação: A função f() = jj é contínua em = 0 e no entanto não é derivável em = 0. Continuidade de funções deriváveis Vejamos um teorema que nos garante a continuidade da função nos pontos em que esta é derivável. Teorema: Se uma função = f() é derivável em = a, então é contínua em = a. Demonstração: Devemos mostrar que lim f () = f ( 0 ), ou seja, que lim (f () f ( 0 )) =!0!0 0. Note que: lim (f ( 0 + )!0 f 0 ( 0 ). Dessa forma, f (0 + ) f ( 0 ) f ( 0 )) = lim!0 = lim!0 f ( 0 + ) f ( 0 ) f ( 0 + ) f ( 0 ) Por hipótese, f é derivável então lim!0 lim (f ( 0 + ) f ( 0 )) = 0.!0 Por propriedades de limites, tem-se que: lim f ( 0 + ) = f ( 0 ).!0 : De nindo = 0 +. Se! 0, então! 0. Portanto, lim f () = f ( 0 ) :! 0 : lim.!0 {z } =0 eiste e é igual a Observações: (i) Convém notar que o recíproco deste teorema não é necessariamente correto, isto é, uma função = f() pode ser contínua em = a e, no entanto, não derivável em = a. Pode-se observar isso, no eemplo 6.

5 (ii) O teorema acima nos garante que nos pontos de descontinuidade a função não pode ter derivada. Embora com isto não se queira dizer que nos demais eista. Eemplo 7: A função = p é de nida e contínua para todo R +, mas f 0 () = p não é de nida para = 0. Portanto, não eiste 0 para R..6 Derivadas Laterais De nição 4: Seja = f () uma função de nida em = 0, então a derivada à direita de f () em 0 indica por f+ 0 ( 0 ) é de nida por f 0 + ( 0 ) = caso o limite eista. f ( 0 + ) f ( 0 ) lim!0 + De nição 5: Seja = f () f () f ( 0 ) = lim,! + 0 0 uma função de nida em = 0, então a derivada à esquerda de f () em 0 indica por f 0 ( 0 ) é de nida por f 0 ( 0 ) = lim!0 f ( 0 + ) f ( 0 ) = lim! 0 f () f ( 0 ) 0, caso o limite eista. Do teorema da unicidade dos limites teremos que, se f+ 0 ( 0 ) = f 0 ( 0 ), então f é derivável em 0. iguais. Eemplo 8: Seja f () =, se < 3 8, se 3, calcule a derivada em = 3. Solução: Sabemos que f 0 (3) eiste se as derivadas laterais eistirem e forem As derivadas laterais são: f 0 f(3+) f(3) (3) = = lim lim!0!0 6+ 6 = ; f+ 0 f(3+) f(3) 8 3 8+3 (3) = lim = lim =.!0 +!0 + Como f+ 0 (3) 6= f 0 (3), então f não é derivável em = 3 Eemplo 9: Seja f () = ( ) jj. Encontre f 0 (0) : Solução: Aplicando a de nição de módulo, podemos reescrever f como f () =, se 0 ( ), se < 0.

6 O grá co de f é: 4 Geometricamente, concluímos f não é derivável em = 0, pois apresenta um pico neste ponto. Mostremos analiticamente que f 0 (0) não eiste. As derivadas laterais são: (0+) (0+) 0!0 + f+ 0 f(0+) f(0) (0) = lim = lim!0 + f 0 f(0+) f(0) (0) = lim = lim!0!0 Conclusão: f 0 (0) não eiste, pois f+ 0 (0) 6= f 0 (0) : = ; (0+) +(0+) 0 =..7 Regras de Derivação A derivada de uma função é de nida como um limite e usamos este limite para calcular alguns casos simples. Vamos desenvolver agora alguns teoremas importantes, que possibilitaram calcular derivadas de forma mais e ciente. Derivada de uma função constante Teorema: Se f() = k, com k R, então f 0 () = 0. Demostração: Pela de nição de derivada, temos que: f 0 () = lim!0 f(+) f() = lim!0 k k = lim!0 0 = 0. Eemplo 0: Se f () = 0, então f 0 () = 0. Regra da Potência Teorema: Se f () = n, com n N, então f 0 () = n n. Demostração: Pela de nição de derivada, temos que: f 0 f(+) f() (+) () = lim = lim n!0!0 () Pelo binômio de Newton, sabemos que ( + ) n = n + n n n(n ) + n () + + n () n + () n. Substituindo em (), segue que: n n + f 0 () = lim!0 = lim n n +!0 n(n ) n () ++n() n +() n n n(n ) n () + + n () n + () n = n n.

7 Portanto, f 0 () = n n. Eemplo : (a) Se f () = 7, então f 0 () = 7 6. (b) Se f () =, então f 0 () =. Observação: Se n Q, o teorema acima continua verdadeiro. Derivada do produto de uma constante por uma função Teorema: Se f for uma função diferenciável em e c for um número real constante, então cf também é diferenciável em e d () (cf ()) = cdf d d. Demonstração: De na g () = cf (). Pela de nição de limite, temos que: g 0 g(+) g() cf(+) cf() f(+) f() () = lim = lim = c lim.!0!0!0 Como f é diferenciável em, então f 0 () eiste. Assim, Portanto, g 0 () = cf 0 () (cf ()) 0 = cf 0 () : Eemplo : (a) Se f () = 3 4, então f 0 () = 3. (b) Se f () = 3, então f 0 () = 3. Derivada de soma e diferença de funções Teorema: Se f e g forem funções diferenciáveis em, então f g também é diferenciável em e d df () dg () [f () g ()] = d d d. Demonstração: De nindo h () = f () + g (). Pela de nição de limite, temos que: h 0 () = lim!0 h(+) h() f(+)+g(+) f() g() = lim :!0 Reagrupando os termos e aplicando a propriedade do limite da soma de funções, tem-se que:

8 f(+) f() g(+) g() h 0 () = lim + lim.!0!0 Como f e g são funções diferenciáveis, segue que h 0 () = f 0 () + g 0 (). Portanto, a derivada da soma é a soma das derivadas, ou seja, (f () + g ()) 0 = f 0 () + g 0 (). Eemplo 3: Se f () = 6 3p + 3 + 7. Determine f 0 (). Solução: Aplicando a propriedade da derivada da soma, temos que: f 0 () = (6 3p + 3 + 7) 0 = (6 3p ) 0 + (3 ) 0 + (7) 0 : Pelas propriedades da derivada de uma constante por uma função e da derivada de uma função constante, segue que: 0 f 0 () = 6 3 + 3 ( ) 0 + 0: Aplicando a regra da potência, obtém-se: f 0 () = 6: 3 + 3: = 6 + = 6 + 3 3 3p. Regra do Produto Teorema: Se f e g forem funções diferenciáveis em, então f:g também é diferenciável em e d dg () df () [f () :g ()] = f () + g () d d d. Demonstração: De nindo h () = f () :g (). Pela de nição de limite, temos que: h 0 () = lim!0 h(+) h() f(+):g(+) f():g() = lim!0 Somando e subtraindo f () :g ( + ), segue que: f(+):g(+) f():g(+)+f():g(+) f():g(). h 0 () = lim!0 Rearranjando os termos e aplicando a propriedade do limite da soma de funções, tem-se que: h 0 () = lim!0 f(+):g(+) f():g(+) g(+)(f(+) f()) f():g(+) f():g()!0 f()(g(+) g()). + lim = lim + lim!0!0 Aplicando a propriedade do produto de limites, temos que: f(+) f() h 0 () = lim g ( + ) : lim + lim!0!0!0 Como f e g são funções diferenciáveis, segue que: h 0 () = g () :f 0 () + f () :g 0 (). f () : lim g(+) g().!0

9 Eemplo 4: Se f () = p. Determine f 0 (). Solução : Pela regra do produto, temos que: f 0 () = ( ) 0 p 0 p + = + p = 5 3. Solução : Reescrevendo f, temos que: f () = 5. Pela regra do produto, obtemos que: f 0 () = 5 5 ) f 0 () = 5 3. Observação: O teorema anterior é válido para mais de duas funções, vejamos para três. Se f() = u():v():w(), então e assim sucessivamente. f 0 () = u 0 ():v():w() + v 0 ():u():w() + w 0 ():u():v() Regra do Quociente Teorema: Se f e g forem funções diferenciáveis em e g () 6= 0, então f g também é diferenciável em e d d f () g () = g () :f 0 () f () :g 0 () (g ()). Demonstração: De nindo h () = f(). Pela de nição de limite, temos que: h(+) h() g() f(+) g(+) f() g() h 0 () = lim = lim!0!0 Somando e subtraindo f () :g (), segue que: = lim!0 g():f(+)+f():g() f():g() g(+)f() g():f(+) g(+)f() :g():g(+) h 0 () = lim!0 g():g(+) Rearranjando os termos e aplicando a propriedade do limite da soma de funções, tem-se que: h 0 () = lim!0 = lim g()(:f(+) f()) f()( g()+g(+)) lim g():g(+)!0 g():g(+) : lim :f(+) f() f() lim!0 g(+)!0!0 Como f e g são funções diferenciáveis, segue que: h 0 () = :f 0 f() () g 0 () = g():f 0 () g() (g()) Portanto, f():g 0 (). (g()) 0 f () = g () :f 0 () f () :g 0 () g () (g ()). g():g(+) : lim!0 g(+) g(). Eemplo 5: Se f () = +. Determine f 0 (). 3 Solução: Pela regra do quociente, temos que: f 0 () = (3 ):( +) 0 ( +)(3 ) 0 (3 ) = (3 ): ( +)3 0 (3 ) = 3 6 (3 ).

0 Eemplo 6: Seja f () = + h (). Se h () é derivável, h () = e 3 h 0 () = 0. Calcule f 0 (). A função f é contínua em =? Justi que. Solução: Como h é derivável então eiste h 0 (). Assim, pela regra do quociente, temos que = : f 0 () = 3 : ( + h ()) 0 ( + h ()) :3 6 ) f 0 () = : (h () + h 0 ()) ( + h ()) :3 4 : Em =, temos que f 0 () = h () + h 0 () 6 3h () = h 0 () 3h () 6: Sabemos que h () = e h 0 () = 0, temos que f 0 () = 0 3 ( ) 6 = 0. Como f 0 () eiste, f é derivável em então, por teorema, f é contínua em Regra da Cadeia Teorema: Sejam = f(u) e u = g(), duas funções deriváveis. A derivada da função em relação a é igual ao produto da derivada da função em relação a u pela derivada da função u em relação a, isto é, d d = d du :du d ou d d = f 0 (g()) :g 0 (). Demonstração: Formemos separadamente o quociente de Newton em ambas as funções, assim: + = f (u + u) ) = f (u + u) f (u) ) f(u+u) f(u) = ; u u () u + u = g ( + ) ) u = g ( + ) g () ) u = g(+) g(). () Notemos que, os primeiros membros de () e (), nos dão uma razão entre o acréscimo de cada função e o acréscimo da correspondente variável. Os segundos membros de () e (), nos dão as mesmas razões de outra forma. Escolhemos os primeiros membros por ser uma notação mais conveniente e façamos o produto, assim: = u : u. Fazendo! 0, então u! 0 pois, u() é derivável e portanto contínua. De onde vem que: lim!0 = lim u!0 Da de nição de derivadas vem: u : lim!0 u.

Portanto, d d =d du :du d ou d d = f 0 (g()) :g 0 (). ((f g) ()) 0 = f 0 (g()) :g 0 (). (a) = p 5 + ; Eemplo 7: Determine as derivadas das funções abaio: Solução: De nindo u = 5 +. Então, = p u. Assim, d du = p u e du d = 5. Pela regra da cadeia, temos que: d = d : du ) d = d du d d p d :5 ) = 5 u d p. 5+ (b) = 3p p ; Solução: De nindo v =, u = p v e = 3p u. Pela regra da cadeia, temos que: d d = d du : du d () mas, du = du dv. d dv d Temos que: dv = 4 d ; du dv = p v ; d d = 3 3p u. Assim, substituindo em (), segue que: d = d 3 3p : u p : (4 ) ) d = 4 v d 6 3p p = 4 : 6( ) 5 6 (c) = ( ) 4 : + 3 ; Solução: Pela regra do produto, temos que: 0 = ( ) 4 0 + + 3 + 3 0 ( ) 4 : () Pela regra da cadeia, temos que: ( ) 4 0 = 4 ( ) 3 ( ) 0 = 4 (4 ) ( ) 3 : () Pela regra do quociente, segue que: 0 + 3 = 3 6 () (3 )

Substituindo () e () em (), temos que: 0 = 4 (4 ) ( ) 3 + + 3 6 ( ) 4 3 (3 ) 0 = ( ) 3 (3 ) (54 4 35 3 + 90 50 + 8). (d) = 3p( +). Solução: Reescrevendo a função, temos que: Pela regra do produto, temos que: = + 3. 0 = ( ) 0 ( + ) 3 + ( + ) 3 0 : () Pela regra da cadeia, temos que: ( + ) 0 3 = 3 ( + ) 3 ( + ) 0 = 4 3 ( + ) 3 4 = : () 3( +) 3 Substituindo () em (), temos que: 0 = ( + ) 3 + 4 3( +) 3 0 = 3( +) 3 (3 + 5). Derivada das funções trigonométricas. Derivada da Função Seno: Se f () = sin, então f 0 () = cos. Demonstração: Pela de nição de limite, temos que: f 0 () = lim!0 = lim!0 f(+) f() = lim!0 sin cos()+sin() cos sin(+) sin sin sin [cos() ]+sin() cos = lim!0 Aplicando propriedades de limites, temos que: f 0 cos() sin() () = lim sin : lim + lim cos : lim!0!0!0!0 f 0 () = sin 0 + cos ) f 0 () = cos.

3 Portanto, f 0 () = cos : Eemplo 8: Se f () = sin p 3, determine f 0 (). Solução: De nindo u = p 3, então = f (u) = sin u. Pela regra da cadeia, temos que: 0 = f 0 (u) :u 0 = (sin u) 0 :u 0 = u 0 : cos u 0 = (3 ) 0 p : cos 3 0 = (3 ) (3 ) 0 : cos p 3 0 = p 3 cos p 3 3.. Derivada da Função Cosseno: Se f () = cos, então f 0 () = sin. Demonstração: Pela de nição de limite, temos que: f 0 () = lim!0 f(+) f() = lim!0 cos(+) cos cos() sin() sin cos = lim!0 cos cos [cos() ] sin() sin = lim!0 Aplicando propriedades de limites, temos que: f 0 cos() () = lim cos : lim!0!0 sin() lim sin : lim!0!0 f 0 () = cos 0 sin ) f 0 () = sin. Portanto, f 0 () = sin : Eemplo 9: Se f () = cos sin p +, determine f 0 (). Solução: De nindo u = sin p +, então = f (u) = cos u. Pela regra da cadeia, temos que: 0 = f 0 (u) :u 0 = (cos u) 0 :u 0 = u 0 : sin u 0 = sin p + 0 p : sin sin + 0 = cos p p 0 + : + : sin sin p + 0 = p + cos p + : sin sin p +.

4 3. Derivada da Função Tangente: Se f () =tg(), então f 0 () = sec. Demonstração: Escrevendo a função tangente como um quociente, temos que: f () = tg () = sin cos : Derivando pela regra do quociente, temos que: f 0 () = cos (sin )0 sin (cos ) 0 cos Portanto, = cos +sin cos = cos = sec. f 0 () = sec : psin Eemplo 0: Se f () =tg ( ), determine f 0 (). Solução: De nindo u = p sin ( ), então = f (u) =tg(u). Pela regra da cadeia, temos que: 0 = f 0 (u) :u 0 = (tg (u)) 0 :u 0 = u 0 : sec u 0 = (sin ( )) 0 : sec psin ( ) psin 0 = (sin ( )) (sin ( )) 0 : sec ( ) 0 = cos( ) psin psin( ) sec ( ). 4. Derivada da Função Cotangente: Se f () =cotg(), então f 0 () = cossec (). Demonstração: Escrevendo a função cotangente como um quociente, temos que: f () = cotg () = cos sin : Derivando pela regra do quociente, temos que: f 0 () = sin (cos )0 cos (sin ) 0 = sin cos sin sin = Portanto, f 0 () = cossec () : sin = cossec (). Eemplo : Se f () =cotg( + + ), determine f 0 (). Solução: De nindo u = + +, então = f (u) =cotg(u). Pela regra da cadeia, temos que: 0 = f 0 (u) :u 0 = (cotg (u)) 0 :u 0 = u 0 :cossec u 0 = ( + + ) 0 :cossec ( + + ) 0 = ( + ) :cossec ( + + ).

5 5. Derivada da Função Secante: Se f () = sec (), então f 0 () =tg() sec. Demonstração: Escrevendo a função secante como um quociente, temos que: f () = sec = cos = (cos ) : Derivando pela regra da cadeia, temos que: f 0 () = Portanto, (cos ) (cos ) 0 = sin cos = sin cos : cos f 0 () = tg () sec : =tg() sec. 6. Derivada da Função Cossecante: Se f () =cossec(), então f 0 () = cotg()cossec(). Demonstração: Escrevendo a função cossecante como um quociente, temos que: f () = cossec () = sin = (sin ) : Derivando pela regra da cadeia, temos que: f 0 () = (sin ) (sin ) 0 = cos Portanto, sin = cos : = sin sin f 0 () = cotg () :cossec () : Eemplo : Se f () =cossec 4p sec (), determine f 0 (). Solução: De nindo u = 4p sec (), então = f (u) =cossec(u). Pela regra da cadeia, temos que: 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = cotg() :cossec(). u 0 :cotg(u)cossec(u) p 0 p p 4 sec () :cotg 4 sec () 4 cossec sec () (sec ()) p p 3 4 4 (sec ()) 0 4 cotg sec () 4 cossec sec () (sec ()) p p 3 4 4 tg() sec ().cotg 4 sec () 4 cossec sec () (sec ()) p p 4 4 tg().cotg 4 sec () 4 cossec sec () : Observação: Todos os teoremas demonstrados até aqui, são generalizados, com o uso da função composta:. Se f (u) = sin u, então f 0 (u) = u 0 cos u;. Se f (u) = cos u, então f 0 (u) = u 0 sin u; 3. Se f (u) =tg(u), então f 0 (u) = u 0 sec u;

6 4. Se f (u) =cotg(u), então f 0 (u) = u 0 cossec (u) ; 5. Se f (u) = sec u, então f 0 (u) = u 0 tg(u) sec (u) ; 6. Se f (u) =cossec(u), então f 0 (u) = u 0 cossec(u)cotg(u). Eemplo 3: Encontre o(s) ponto(s) em que a(s) reta(s) tangente(s) ao grá co de = 3 tg() é(são) paralela(s) à reta = : Solução: Se t a reta tangente ao grá co de = f () que é paralela r : = +. Então: m t = m r ) m t = : Por outro lado, sabemos que: m t = f 0 ( o ) = 3 sec o ) m t = () 3 sec o = ) cos o = () o = + k ou 4 o = 3 + k, com k Z: 4 Então os pontos de tangência são: P + k; f + k e Q 3 + k, f 3 + k 4 4 4 4 Derivada da função eponencial Teorema: Se = a, com a > 0 e a 6=, então 0 = a ln a. Demonstração: Pela de nição de limite, temos que: f(+) f() 0 = f 0 () = lim = lim!0!0 Pelas propriedades de limites, temos que: 0 = lim!0 a a : lim = a ln a.!0 Portanto, 0 = a ln a. a (+) a a = lim (a ) :!0 Caso particular: Se a = e, então para = e, segue que 0 = e ln e ) 0 = e. Derivada da função logarítmica Teorema: Se = log a, com a > 0 e a 6=, então 0 = log a e. Demonstração: Pela de nição de limite, temos que: 0 = f 0 () = lim!0 = lim!0 log a (+ ) De nindo = u 0 = log a f(+) lim + u! u f() = lim!0 = lim log a!0, ou seja, u = u = log a log a (+) + log a = lim!0 = log a lim!0 log a ( + ) + :. Se! 0, então u!. Assim, lim u! + u u = log a e:

7 Portanto, 0 = log a e: Caso particular: Se a = e, então para = log e = ln, segue que = ln ) 0 =. Derivada de uma função eponencial composta Teorema: Se = u v, onde u = u () e v = v () são funções de, deriváveis em um intervalo I e u () > 0, 8 I, então 0 = v:u v :u 0 + u v : ln u:v 0. Demonstração: Usando propriedades de logaritmo, podemos escrever a função = u v, como = e ln uv ) = e v ln u. Note que: = (g f) () = g (f ()), onde g (w) = e w e w = f () = v ln u. Pela regra da cadeia, temos que: 0 = g 0 (w) :w 0 ) 0 = e w : (v ln u) 0 ) 0 = e w v 0 ln u + v u0 u ) 0 = e v ln u (v 0 ln u + v:u :u 0 ) Por propriedade de logaritmo, segue que: 0 = e ln uv (v 0 ln u + v:u :u 0 ) ) 0 = u v (v 0 ln u + v:u :u 0 ). Portanto, 0 = v:u v :u 0 + u v : ln u:v 0. obtém-se: Resumo: Aplicando a regra da cadeia para as funções compostas abaio,. Se = a u, com a > 0 e a 6=, então = u 0 :a u ln a;. Se = e u, então = u 0 e u ; 3. Se = log a u, com a > 0 e a 6=, então = u0 u log a e; 4. Se = ln u, então = u0 u ; 5. Se = u v, então 0 = v:u v :u 0 + u v : ln u:v 0. Eemplo 4: Determine a derivada das funções:

8 p. = 5 +3 ; Solução: De nindo u = p + 3, então = 5 u. Pela regra da cadeia, temos que: u 0 = ( + 3) 0 = ( + 3) : ( + 3) 0 = 4+3 p : +3 Pela regra de derivação da função eponencial composta, temos que: p 0 = 5 u ln 5:u 0 ) 0 = 4+3 p 5 +3 ln 5. +3. = ln (sin (e )); Solução: De nindo u = sin (e ), então = ln u. Pela regra da cadeia, temos que: u 0 = (sin (e )) 0 ) u 0 = (e ) 0 cos (e ) u 0 = ( ) 0 (e ) cos (e ) ) u 0 = e cos (e ). Pela regra de derivação da função logaritmo composta, temos que: 0 = u0 u ) 0 = e cos(e ) sin(e ) = e cotg(e ) : p e 3. = e ; Solução: De nindo u = p e, então = ln u. Pela regra da cadeia, temos que: 0 u 0 = e ) u 0 = e 0 e = e e u 0 = e = p e. Pela regra de derivação da função eponencial composta, temos que: 0 = u 0 e u ) 0 = p p e e 4. = sec e. 3p + +cossec + ; Solução: Aplicando propriedades de derivadas, temos que: 0 = sec 3p + + cossec + De nindo u = 3p + e v =. + Pela regra da cadeia, temos que: u 0 = ( + ) 0 3 ) u = ( + ) 3 3. 0 = sec 3 p + 0 + cossec + 0 : Pela regra do quociente, temos que: v 0 = 0 ) v 0 = (+)( )0 ( )(+) 0 =. + (+) (+) Pela regra de derivação de funções trigonométricas composta, temos que: 0 = u 0 sec (u)tg(u) v 0 cotg(v)cotg(v)

9 0 = 3p sec p 3 + tg 3p + cotg 3 (+) (+) + cotg +. 5. = (sin ) ; Solução: De nindo u = sin e v =. Pela regra de derivação de uma função eponencial composta, temos que: 0 = v:u v :u 0 + u v : ln u:v 0 0 = (sin ) (sin ) 0 + (sin ) ln (sin ) : ( ) 0 0 = (sin ) cos + (sin ) ln (sin ) 0 = (sin ) cos + ln (sin ) sin 0 = (sin ) (cotg () + ln (sin )). Derivada de funções hiperbólicas Como as funções hiperbólicas são de nidas em termos das funções eponenciais, a derivação dessas funções se resume na derivação de funções eponenciais. Eemplo 5: Mostre que se f () = sinh, então f 0 () = cosh : Solução: Lembre que: f () = sinh () = e e. Assim, f 0 () = (sinh ()) 0 = e Portanto, f 0 () = cosh : e 0 = e +e = cosh. são: Analogamente, obtemos as derivadas das demais funções hiperbólicas, que. Se f (u) = sinh u, então f 0 (u) = u 0 cosh u;. Se f (u) = cosh u, então f 0 (u) = u 0 sinh u; 3. Se f (u) =tgh(u), então f 0 (u) = u 0 sech (u) ; 4. Se f (u) =cotgh(u), então f 0 (u) = u 0 cossech (u) ; 5. Se f (u) =sech(u), então f 0 (u) = u 0 tgh(u)sech(u) ; 6. Se f (u) =cossech(u), então f 0 (u) = u 0 cossech(u)cotgh(u). Observação: A demonstração das derivadas das funções hiperbólicas ca como eercício! Eemplo 6: Determine a derivada das funções:

30. = cosh (( 3 + ) e 4 ); Solução: De nindo u = ( 3 + ) e 4. Então: = cosh u. Pela regra do produto, temos que: u 0 = ( 3 + ) (e 4 ) 0 + ( 3 + ) 0 e 4 u 0 = (4 3 + 3 + 8) e 4. ) u 0 = 4 ( 3 + ) e 4 + 3 e 4 Pela regra de derivação de funções hiperbólicas, temos que: 0 = (cosh u) 0 = u 0 sinh u ) 0 = (4 3 + 3 + 8) e 4 sinh (( 3 + ) e 4 ).. =tgh ln +3 ; 4 Solução : De nindo u = ln Derivando o ln, temos que: 0 +3 4 = +3 4 +3 4. Assim, =tgh(u). = ( +6) u 0 = 5 +3 + 3 +3 4 Pela regra de derivação de funções hiperbólicas, temos que: 0 = u 0 sech (u) ) 0 = + 3 +3 sech ln +3 4. Solução : De nindo u = ln +3. Assim, =tgh(u). 4 Aplicando as propriedades de ln para reescrever a função u, temos que: u = ln ( + 3) 4 ln ) u 0 = 4 = +. +3 3 +3 Pela regra de derivação de funções hiperbólicas, temos que: 0 = u 0 sech (u) ) 0 = + 3 +3 sech ln 3. = q cotgh (t + ) ; +3 4. Solução: De nindo u =cotgh(t + ). Então, = p u. Pela regra da cadeia, temos que: 0 = p u :u0 ) 0 = p cossech (t + ) (t + ) 0 cotgh(t+) 0 = (t+)cossech (t+) pcotgh(t+). Eemplo 7: Sejam f uma função diferenciável e g a função de nida por g () = cosh ( ) f 8 3 : Supondo que g 0 = determine o valor f 0 (). Solução: Pela regra do produto, temos que: g 0 () = ( ) 0 senh( ) f (8 3 ) + cosh ( ) f 0 (8 3 ) (8 3 ) 0

3 ) g 0 () = senh( ) f (8 3 ) + 4 cosh ( ) f 0 (8 3 ) Como g 0 =, segue que: = senh (0) f () + 4 cosh (0) f {z } 4 {z } () 0 ) = 6f 0 () ) f 0 () =..8 Derivação Implícita De nição 6: Quando a relação entre e é dada por uma equação da forma F (; ) = 0, dizemos que é uma função implícita de. Uma equação em e pode implicitamente de nir mais do que uma função de :Por eemplo, se resolvermos a equação + = 9, () para em termos de, obtemos = p 9. Assim, encontramos duas funções que estão de nidas implicitamente por (), são f () = p 9 ; f () = p 9 ; Os grá cos dessas funções são semicírculos do círculo + = 9 que estão localizados acima e abaio do eio das ordenadas. + = 9 f () = p 9 f () = p 9 4 4 4 4 0 0 3 Observe que o círculo completo não passa no teste da reta vertical, e portanto, não é o grá co de uma função de. Contudo, os semicírculos superior e inferior passam no teste da reta vertical. Nem sempre é possível de nir a forma eplícita de uma função de nida implicitamente. Por eemplos, as funções 3 + = 3, 4 + 3 + ln = 0, não podem ser epressas na forma = f (). O método da derivação implícita permite encontrar a derivada de uma função assim de nida, sem a necessidade de eplicitá-la. Derivada de uma função dada implicitamente Suponhamos que F (; ) = 0 de ne implicitamente uma função derivável = f (). A derivada de uma função na forma implícita é obtida usando a regra da cadeia. Assim, é possível determinar 0 sem eplicitar.

3. + = 9; Eemplo 8: Derive implicitamente as funções abaio. Solução: Derivando ambos os membros com relação a, temos que: ( + ) 0 = (9) 0 ) d d + = 0 ) d =. d d d. 3 + = 3; Solução: Derivando ambos os membros com relação a, temos que: ( 3 + ) 0 = (3) 0 ) 3 + d d = 3 ()0 ) 3 + d d ) ( 3) d d = 3 3 ) d 3. 4 + 3 + ln = 0 = 3 3. d 3 Solução: Derivando ambos os membros com relação a, temos que: ( 4 + 3 + ln ) 0 = (0) 0 ) 4 3 d d ) 4 3 + 3 + d d d + 3 + 3 + d = 0 d d = 3 ) d d = 3 4 4 +3+. = 3 + 3 d d 4. 7 + ln (sin ( )) = e 3 +. Solução: Derivando ambos os membros com relação a, temos que: 7 6 0 + (sin( )) 0 sin( ) = (6 + ) e 3 + ) 7 6 0 + ( ) 0 cos( ) sin( ) = (6 + ) e 3 + ) 7 6 0 + ( + 0 )cotg( ) = (6 + ) e 3 + ) (7 6 + cot ( )) 0 = (6 + ) e 3 + cotg( ) ) 0 = (6 +)e 3 + cot( ). 7 6 + cot( ) é horizontal. Solução: Eemplo 9: Determine o(s) ponto(s) em que a reta tangente à curva Interpretação geométrica: C : + + 3 = 9 Pela próima gura, note que eistem dois pontos em que a reta tangente a curva C é horizontal.

33 Determinando analiticamente os pontos em que a reta tangente a curva C é horizontal: Sabemos que a reta tangente é horizontal nos pontos em que m t = d = 0: d Derivando implicitamente a equação que descreve C, temos que: + 0 + + 0 3 0 = 0 ) d =. () d + 3 Se + 3 6= 0, então d = 0, =. () d Substituindo em C, temos que: 3 + 6 9 = 0 ) + 3 = 0, ou seja, = 3 ou =. Substituindo estes valores em (), obtemos: P ( 3; 6) e P (; ). Portanto, a reta tangente é horizontal nos pontos P e P, pois satisfazem a condição (). Eemplo 30: Seja C uma circunferência com centro na origem e raio igual a. Mostre que a tangente a C no ponto P ; p 3 é ortogonal a reta que passa pela origem do sistema de coordenadas e pelo ponto P. Solução: Interpretação geométrica: : Equação da circunferência C cujo centro está na origem e cujo raio é igual a C : + = 4: () Sejam t e r, respectivamente, a reta tangente à C em P e a reta que passa pela origem e polo ponto P. Objetivo do eercício: mostrar que r? t. Sabemos que m r :m t =, m r :m t = : * Coe ciente angular da reta r: m r = p 3 0 = p 3: 0 * Para obter o coe ciente angular da reta t deriva-se impliticamente a equação () com relação a, pois sabemos que o coe ciente angular de uma reta tangente é: m t = d d = P ) m t = p : P 3 Portanto, m r :m t =.

34 Observação: A técnica utilizada na demonstração da derivada de uma função eponencial composta também e a derivada implícita de uma função podem ser usadas para facilitar a derivação de algumas funções que envolvam quocientes e produtos. Isto pode ser observeado o próimo eemplo. Eemplo 3: Obtenha a derivada da função = 3p p + 5 sen 3 () : e 37 + Solução: Antes de derivar, usando a regra do quociente, iremos reescrever a função com a nalidade de que sua derivada seja obtida mais facilmente. Aplicando o logaritmo neperiano em ambos os lados, estamos que: 3p p! + 5 sen ln = ln 3 () e 37 + Aplicando as propriedades de logaritmo neperiano, temos que: ) ln = ln 3p p + 5 sen 3 () ln e 37 + ) ln = ln ( + ) 3 3 + ln (sen ()) 5 (3 7 + ) ln e ) ln = ln ( + ) + 3 ln (sen ()) 3 5 (37 + ) Derivando implicitamente com relação a, temos que: ) d d (ln ) = ln ( + ) + 3 ln (sen ()) d d 3 5 (37 + ) ) 0 cos () = + 3 6 3 5 + sen () Multiplicando ambos os lados por, obtém-se que: ) 0 = 6 + 3 + 6 5 cotg () 6 Susbtituindo a função dada inicialmente segue que: 3p p + 5 0 sen = 3 () 6 + 3 + 6 5 cotg () 6 : e 37 +.9 Derivada da função inversa Eemplo 3: Considere a função = f () = Solução: Como = d. Determine e d. + d d, derivando pela regra do quociente, obtemos que + d d = ( + ). Para determinar d, iremos escrever em função de e, a seguir, derivar d com relação a. Se = g () = Lembrando que =, então d + =. d ( ), temos que: d d ( + ) =.

35 Observe que, d d =. d d Neste eemplo, veri camos uma aparente relação que eiste entre a derivada de uma função e a derivada de sua inversa. Para determinarmos um relação entre as derivadas de f e f, suponha que ambas as funções são diferenciáveis, e seja = f (). (#) Reescrevendo esta equação como = f (), e diferenciando implicitamente com relação a, resulta que d() = d (f ()) ) = f 0 () d ) d =. d d d d f 0 () A partir de (#) obtemos a seguinte fórmula que relaciona a derivada de f com a derivada de f. d d f () = f 0 (f ()). Podemos enunciar este resultado como: Teorema: Seja = f () uma função de nida em um intervalo aberto (a; b). Suponhamos que f () admite uma função inversa = g () contínua. Se f 0 () eiste e é diferente de zero para qualquer (a; b), então g = f é derivável e g 0 () = f 0 () = f 0 (g ()). Em outras palavras, se = f () admita uma função inversa então d d =. d d Derivada das funções trigonométricas inversas. Derivada da função Arco Seno: Seja f : [ ; ]! ; de nida por f () = arcsin. Então, = f () é derivável em ( ; ) e 0 = p. Demostração: Sabemos a função arco seno é a inversa da função seno, ou seja, = arcsin, = sin. Como (sin ) 0 eiste e é diferente de zero 8 da função inversa, temos que: ;, pelo teorema da derivada

36 0 = (sin ) 0 = cos. Pela identidade trigonométrica, temos que: cos = p sin. Assim, 0 = p sin = p. Portanto, 0 = p.. Derivada da função Arco Cosseno: Seja f : [ ; ]! [0; ] de nida por f () = arccos. Então, = f () é derivável em ( ; ) e 0 = p. Demostração: Sabemos a função arco cosseno é a inversa da função cosseno, ou seja, = arccos, = cos. Como (cos ) 0 eiste e é diferente de zero 8 (0; ), pelo teorema da derivada da função inversa, temos que: 0 = (cos ) 0 = sin. Pela identidade trigonométrica, temos que: sin = p cos. Assim, 0 = p cos = p. Portanto, 0 = p. 3. Derivada da função Arco Tangente: Seja f : R! ; de nida por f () =arctg(). Então, = f () é derivável e 0 = +. Demostração: Sabemos a função arco tangente é a inversa da função tangente, ou seja, = arctg (), = tg (). Como (tg ()) 0 eiste e é diferente de zero 8 da função inversa, temos que: ;, pelo teorema da derivada 0 = (tg ()) 0 = sec.

37 Pela identidade trigonométrica, temos que: sec = tg () +. Assim, 0 = tg () + = +. Portanto, 0 = +. 4. Derivada da função Arco Cotangente: Seja f : R! (0; ) de nida por f () =arccotg(). Então, = f () é derivável e 0 = +. Demostração: Sabemos a função arco cotangente é a inversa da função cotangente, ou seja, = arccotg (), = cotg (). Como (cotg ()) 0 eiste e é diferente de zero 8 (0; ), pelo teorema da derivada da função inversa, temos que: 0 = (cotg ()) 0 = cossec. Pela identidade trigonométrica, temos que: cossec = cotg () +. Assim, 0 = cotg () + = +. Portanto, 0 = +. 5. Derivada da função Arco Secante: Seja f () = arcsec (), de nida para jj. Então, = f () é derivável para jj > e 0 = jj p. Demostração: Sabemos a função arco secante é a inversa da função secante, ou seja, = arcsec (), = sec () = ) = arccos. cos Pela regra da cadeia, nos pontos em que eiste a primeira derivada, temos que: 0 p = q = p = p p = jj p. Portanto, : q = 0 = jj p.

38 6. Derivada da função Arco Cossecante: Seja f () =arccossec(), de nida para jj. Então, = f () é derivável para jj > e 0 = jj p. Demostração: Sabemos a função arco cossecante é a inversa da função cossecante, ou seja, = arccossec (), = cossec () = ) = arcsin. sin Pela regra da cadeia, nos pontos em que eiste a primeira derivada, temos que: 0 = q p = p = jj p. Portanto, : q = 0 = jj p. Para funções compostas, usando a regra da cadeia, temos que:. Se = arcsin u, então 0 = u0 p u ;. Se = arccos u, então 0 = u 0 p u ; 3. Se =arctg(u), então 0 = u0 +u ; 4. Se =arccotg(u), então 0 = u 0 +u ; 5. Se = arcsec (u), então 0 = u 0 juj p u ; 6. Se =arccossec(u), então 0 = u 0 juj p u. Eemplo 33: Determine a derivada das funções.. f () = arcsin [ln ( )]; Solução: De nindo u = ln ( ). Então, u 0 =. 0 = p u0 u = p = (ln( )) ( ) p. ln ( ). f () = arcsec e 3 ; Solução: De nindo u = e 3. Então, u 0 = ( + 3 3 ) e 3. 0 u = 0 juj p = (+33 )e 3 u je 3 j p. e 3

39 3. f () =arccossec ln p + ; Solução: De nindo u = ln p + = ln ( + ). Então, u 0 = 0 = u 0 juj p u = ( +)jln p +j p ln p +.. + Derivada das funções hiperbólicas inversas Pelo capítulo anterior, sabemos que a função = arg sinh também pode ser escrita como = ln + p +. Assim, de nindo u = + p +, segue que: 0 = + p + 0 + p + = + p + + p + ) 0 = p + : Logo, se = arg sinh, então 0 = p +. Por desenvolvimento análogo podem ser obtidas as derivadas das demais funções hiperbólicas inversas. A seguir, apresentamos as derivadas das funções hiperbólicas inversas compostas.. Se = arg sinh u, então 0 = u0 p u + ;. Se = arg cosh u, então 0 = p u0 u, para u > ; 3. Se = arg tgh(u), então 0 = u0 u, para juj < ; 4. Se = arg cotgh(u), então 0 = u0 u, para juj > ; 5. Se = arg sech(u), então 0 = u 0 u p u, para 0 < u < ; 6. Se = arg cossech(u), então 0 = u 0 juj p +u, para u 6= 0: Eemplo 34: Determine a derivada da função = arg tgh cosh (6). Solução: Se u = cosh (6), então: u 0 = cosh (6) sinh (6) = 6 sinh (). Assim, 0 = u0 = 6 sinh(). u cosh 4 (6)

40.0 Derivada de uma função na forma paramétrica Função na forma paramétrica Considere a equação + = a. () A equação () representa um círculo de raio a. Pelos conhecimentos da Geometria Analítica, podemos epressar e como funções de um paramâmetro t, da seguinte forma: a a t a = a cos t = a sin t, com t [0; ]. () a As epressões () e () representam a mesma curva. Na equação (), a função é apresentada na forma implícita. As equações (), epressam a função na forma paramétrica. Sejam = (t) = (t), com t [a; b], (3) Então a cada valor de t correspondem dois valores e. Considerando estes valores como as coordenadas de um ponto P, podemos dizer que a cada valor de t corresponde um ponto bem determinado do plano. Se as funções = (t) e = (t) são contínuas, quando t varia de a até b, o ponto P ( (t) ; (t)) descreve uma curva no plano. As equações (3) são chamadas equações paramétricas da curva C e t é chamado parâmetro. Derivada de uma função na forma paramétrica Seja uma função de, de nida pelas equações paramétricas (3). Supondo que as funções = (t), = (t) e sua inversa t = t () são deriváveis. A função = (), através das equações (3), podem ser vista como função composta = (t ()). (4) Aplicando a regra da cadeia em (4), segue que: d d = d dt dt d. Como = (t) e t = t () são deriváveis, pelo teorema da derivada para funções inversas, temos que: dt d = d dt ) t 0 () = 0 (t).

4 Logo, d d = d dt d dt ) d d = 0 (t) 0 (t) : = t 3 Eemplo 35: Derive a função representada parametricamente por = t 4 3. Solução: Temos que: 0 (t) = 6t e 0 (t) = 4t 3. Logo, a derivada da função respresentada parametricamente é d d = 0 (t) 0 (t) = 4t3 6t = 3 t. t (). Para apresentar a derivada d d Neste caso, como = t 3, então t = 3 q + Substituindo em d, temos que: d em termos de, deve-se escrever t como t =. d 3p 4 d = 3 3p +. Eemplo 36: Considere a função representada parametricamente por p (t) = cos 3 t (t) = p sin 3 : t Determine as equações das retas tangente e normal ao grá co da função no ponto onde t =. 4 Solução: Determinando o coe ciente angular, pela derivação de funções dadas parametricamente. 0 (t) = 3 p cos t: sin t 0 (t) = 3 p sin : t cos t Então, d = 0 (t) = d 0 (t) Em t =, segue que 4 d E ainda, 3p sin cos t 3 p = sin t = cos t: sin t cos t d t= 4 tan t = : 4 = p cos 3 4 4 = p sin 3 4 ) 0 4 = 0 4 =. A equação da reta tangente no ponto ; é = ) = + : O coe ciente anguar da reta normal é m n = m tg, ou seja, m n =. Assim, a equação da reta normal é = ) = :

4 Eemplo 37: As equações paramétrica da curva C, chamada brua de Maria (t) = cotg (t) Agnesi, são de nidas por 0; (t) = sen (t), para t. Encontre a equação da reta tangente e da reta perpendicular à curva C que passam pelo ponto P (; ) : Solução: Sabemos que o coe ciente angular da reta tangente é m t = d e que o d coe ciente angular da reta normal é m n = m t : Pela derivada de uma função na forma paramétrica, temos que: d d = 0 d (t) 0 (t) = sin t dt 4 sin t cos t = ) d ( cot t) csc t d = cos t sin3 t d dt Determinando o parâmetro 8t associado com o ponto P (; ): < cos (t) = sen = cotg (t) p (t) = sen ) (t), t = : sen (t) = 4. Assim, temos que: m t = cos 4 sin 3 4 = e m n =. Logo, a equação da reta tangente é: = ( ) ) = +: E, a equação da reta perpendicular é: = ( ) ) = : P. Derivadas de Ordem Superior Se a derivada f 0 de uma função f for ela mesma diferenciável, então a derivada de f 0 será denotada por f 00, sendo chamada de derivada segunda de f. À medida que tivermos diferenciabilidade, poderemos continuar o processo de diferenciar derivadas para obter as derivadas terceira, quarta, quinta e mesmo as derivadas mais altas de f. As derivadas sucessivas de f são denotadas por f 0, f 00 = (f 0 ) 0, f 000 = (f 00 ) 0, f (4) = (f 000 ) 0, f (5) = f (4) 0, Chamadas de derivadas primeira, segunda, terceira e assim por diante. Acima da derivada terceira, ca muito estranho continuar a usar linhas para indicar derivadas. Assim sendo, denotamos por inteiros entre parênteses a indicação da ordem das derivadas. Nesta notação, a derivada de ordem arbitrária é denotada por f (n) : n-ésima derivada de _ f. Derivadas sucessivas também podem ser denotadas por 0 = f 0 () ) d = d [f ()]; d d 00 = f 00 () ) d = d d d d [f ()] = d d [f ()]; d 000 = f 000 () ) d3 = d d [f ()] = d3 [f ()]; d 3 d d d 3... Em geral, escrevemos

43 (n) = f (n) () ) dn d n = dn [f ()] : dn Eemplo 38: Obtenha a epressão da n-ésima derivada das funções abaio:. = 5 3 3 + + 5; Solução: Temos que: 0 = 5 4 9 + ; 00 = 0 3 8 + ; 000 = 60 8; (4) = 0; (5) = 0; (6) = 0;. Determinando algumas derivadas, observamos que a forma geral da n-ésima é (n) = 0, 8n 6.. = a, para a > 0 e a 6= ; Solução: Temos que: 0 = ln a:a ; 00 = ( ln a) :a ; 000 = ( ln a) 3 :a ; (4) = ( ln a) 4 :a ;. Determinando algumas derivadas, observamos que a forma geral da n-ésima é (n) = ( ln a) n :a, 8n N. 3. =sen ; Solução: Temos que: 0 = cos =sen + ; 00 = sen =sen + ; 000 = cos =sen + 3 ;

44 (4) =sen =sen + 4 ;. Determinando algumas derivadas, observamos que a forma geral da n-ésima é (n) = sen + n, 8n N. 4. = ln (3 + ); Solução: Temos que: 0 = 3 3+ ; 00 = 3:3 (3+) ; 000 = 3:3::3 (3+) 3 ; (4) = 3:3::3:3:3 (3+) 4 ;. Observamos que a forma geral da n-ésima é (n) = ( )n+ 3 n (n )! (3 + ) n, 8n N.. 5. = +a. Solução: Observe que, = ( + a). Assim, temos que: 0 = ( + a) ; 00 = ( + a) 3 ; 000 = :3: ( + a) 4 ; (4) = :3:4: ( + a) 5 ;. Observamos que a forma geral da n-ésima é (n) = ( ) n ( + a) (n+) n! = ( )n n! n+, 8n N. ( + a) Eemplo 39: Determine a constante k para que () = k cotgh().sech() seja solução da equação : 0 + cot gh () : cos sech () = 0. Solução: Reescrevendo () = k cotgh().sech(), temos que:

45 () = k cosh : = k = k (sinh ) sinh cosh sinh Assim, 0 () = k (sinh ) cosh = k cosh : sinh Observe que, : 0 + cotgh() : cossech () = k k cosh sinh + cotgh() : cossech () = ( k + ) cotgh() : cossech () sinh : Logo, : 0 + cotgh() : cossech () = 0, ( k + ) cotgh() : cossech () = 0 Dessa forma, a igualdade é satisfeita se, e somente se, k + = 0 ou cotgh() : cossech () = 0 ) k = ou cosh sinh Conclusão: Se k = então () = k cotgh().sech() é solução da equação diferencial dada. Eemplo 40: Determine o valor das constantes A e B para que a função = A sen() + B cos () satisfaça a equação 00 + 0 =sen(). Solução: Como = A sen() + B cos (), temos que: a derivada: 0 = A cos () B sin () a derivada: 0 = 4B cos () 4A sin () Substituindo na equação 00 + 0 =sen(), temos que: ( 4B cos () 4A sin ())+(A cos () B sin ()) (A sin () + B cos ()) = sin () ) (A 6B) cos (6A + B) sin = sin () Por comparação, segue que: A 6B = 0 ) A = 6A B = 3 e B = : 0 0. Diferenciais e Aproimação Linear Local.. Incrementos Seja = f () uma função. Sempre é possível considerar uma variação da variável independente. Se varia de 0 a, de nimos o incremento ou acréscimo de, denotado por, como = 0. Se = f () e se varia de 0 a, então há uma correspondente variação no valor de que vai de 0 = f ( 0 ) até = f ( ), ou seja, o incremento em produz um incremento em, onde = 0 = f ( ) f ( 0 ). ()

46 Q P 0 0 Os incrementos podem ser positivos, negativos ou nulos, dependendo da posição relativa do pontos inicial e nal. Por eemplo, na gura anterior, os incrementos e são positivos. Observe que, as epressões = 0 e = 0, podem ser reescritas como = 0 + e = 0 +. Com esta notação podemos escrever () como = f ( 0 + ) f ( 0 ). Em um ponto qualquer, omitindo-se os subscritos, temos que: = f ( + ) f (). Geometricamente, + Q P + A razão pode ser interpretada como a inclinação da reta secante que passa pelos pontos P (; f ()) e Q ( + ; f ( + ) ), e, portanto, a derivada de com relação a pode ser epressa como Gra camente, d d = lim!0 = lim f ( + )!0 = f ( ) f (). + = f ( + ) f ( ) +

47.. Diferenciais Os símbolos d e d que aparecem na derivada são chamados de diferenciais, e o nosso objetivo é de nir estes símbolos de tal forma que se possa tratar d como d uma razão. Com essa nalidade, vamos considerar como o e de nir d como uma variável independente, para a qual possa ser atribuído um valor arbitrário. Se f for diferenciável em, então de nimos d pela fórmula d = f 0 () d. Se d 6= 0, podemos dividir esta epressão por d. Assim, d d = f 0 (). Como a inclinação da reta tangente a = f () em é m t = f 0 (), as diferenciais d e d podem ser vistas como o avanço (d) e a elevação (d) correspondentes dessa reta tangente. Para ver a diferença entre o incremento e o diferencial d, vamos atribuir às variáveis independentes d e o mesmo valor (d = ). Dessa forma, temos que: (i) representa a variação ao longo da curva =f (), quando são percorridas unidades na direção ; (ii) d representa a variação ao longo da reta tangente =f (), quando são percorridas d unidades na direção. = f ( ) d d = + d ( + ) Eemplo 4: Seja =. Determine o incremento e o diferencial d em = 3 para d = = 4 unidades. Solução: Observe que d = pode ser escrita na forma diferencial como d d = d. Para = 3, temos que: d = 6d ) d = 4 unidades ao longo da reta tangente. = f (3 + ) f (3) ) = f (7) f (3) = 40 unidades ao longo da curva. Assim, d = 6 unidades. 50 40 30 0 0 d 0 0 3 4 5 6 7

48 Eemplo 4: Seja = ln. Determine o incremento e o diferencial d em = para d = = 3 unidades. Solução: Observe que d = pode ser escrita na forma diferencial como d d = d. Para =, temos que: d = d ) d = 3 = 0:75 unidades ao longo da reta tangente. 4 = f ( + ) f () ) = f 7 f () = ln 7 ln = 0:559 6 unidades ao longo da curva. Assim, d = 0:90 38 unidades...3 Aproimação Linear Local Uma função diferenciável em P é dita localmente linear em P, quando P é um ponto de diferenciabilidade de uma função f, pois quanto maior for a ampliação em P, mais o segmento da curva contendo P se parecerá com uma reta não-vertical, que é a reta tangente à curva em P. = f ( ) f ( ) 0 0 Observe que, a equação da reta tangente no ponto ( 0 ; f ( 0 )) é dada por f ( 0 ) = f 0 ( 0 ) ( 0 ). Como = f (), para valores de próimos de 0, tem-se que f () f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) ( 0 ). Esta aproimação é chamada de aproimação linear local e é melhor a medida que! 0. De nindo = 0, podemos escrever a aproimação como f ( 0 + ) f ( 0 ) + f 0 ( 0 ). Eemplo 43: Calcule um valor aproimado de 3p 65; 5. Solução: Seja a função = 3p. Assim, a aproimação linear local para f f ( 0 + ) f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) ) 3p 0 + 3p 0 + + 3 3p. (+) 0 Observe que: 65; 5 = 64 + ; 5: Assumindo 0 = 64 e = ; 5, pela aproimação dada em (+), segue que é

49 3 0 3. 3p 65; 5 3 p 64 + 3 3p (64) (; 5) = 4; 03 3. Observe que, o valor calculado diretamente é 3p 65; 5 = 4; 03. Assim, a diferença entre o valor eato e aproimado, em valor absoluto, é Eemplo 44: Calcule uma valor aproimado para tg(45 4 0 30 00 ) : Solução: Seja = f () a função de nida por f () =tg(). Assim, a aproimação linear local para f é f ( 0 + ) f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) ) tg( 0 + ) tg( 0 ) + sec ( 0 ). (#) Observe que: 45 4 0 30 00 = 45 + 4 0 30 00 : Assumindo 0 = 45 e = 4 0 30 00. Devemos transformar para radianos: Transformando 30 00 para minutos, tem-se que: 30 00 = 0 Transformando 4 0 + 0 = 9 0 para graus, tem-se que: 9 0 = 9 = 3 0 40 3 E, nalmente, transformando 40 para radianos, obtém-se: 3 =. 40 400 Portanto, pela aproimação dada em (#), tem-se que tg(45 4 0 30 00 ) tg(45 ) + sec (45 ) 400 ) tg(45 4 0 30 00 ) ; 0067. Eemplo 45: Determine uma aproimação linear local para f () = sin em torno de = 0. Use esta aproimação para encontrar sin ( ). Solução: Pela aproimação linear local, temos que: f ( 0 + ) f ( 0 ) + f 0 ( 0 ). Para 0 = 0, temos que f () f (0) + f 0 (0) ) sin () sin 0 + (cos 0) ) sin () : (I) Para determinar um valor aproimado de sin ( ), é necessário transformar para radianos. A seguir, basta aplicar a relação dada em (I). Transformando para radianos, obtém-se: = 80 90 Assim, pela aproimação dada em (I), tem-se que sin ( ) = 0; 03 490 7. 90 Note que este valor está bem próimo do valor eato, que é sin ( ) = 0; 0348995: Eemplo 46: Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 0 cm de comprimento e o ângulo oposto a este cateto foi medido como sendo rad. Sabendo 6 que ao medir o ângulo pode ter ocorrido um erro de até 5%, para mais, use diferenciais para estimar a medida da hipotenusa. Solução:

50 Interpretação geométrica: 0 cm H 30 Temos que: sin 30 = 0 H ) H = 40 cm. Observe que o cateto oposto ao ângulo de interesse é o e que foi cometido um erro de até 5% para mais ao medir este ângulo, isto signi ca que a medida da hipotenusa é maior que 40cm, pois o ângulo eato é menor que 6 rad. Por diferenciais, temos que o valor da hipotenusa será: H 6 + d H + dh () 6 Encontrando dh : Seja f () = 0 sin = 0 sin : Pela de nição de diferencial, temos que: dh = f 0 () d ) dh = 0 cos sin d Sabe-se que: = 30 o e que d = 5 = rad. 00 6 0 Substituindo estas informações em (), temos que: H 6 + d 40 0 cos 6 sin 6 0 = 40 + 3p 3 = 4: 84cm:..4 Diferenciais de ordem superior Se = f () uma função e d = f 0 () d a diferencial desta função. Se denomina diferencial segunda de = f () e se representa por d a epressão d = f 00 () d. A diferencial terceira de = f () e se representa por d 3 a epressão d 3 = f 000 () d 3. E assim sucessivamente, a epressão da diferencial n-ésima é d n = f (n) () d n. Eemplo 36: Obtenha a diferencial n-ésima da função = e. Solução: Temos que: d = e ( + ) d; d = e ( + ) d ; d 3 = e ( + 3) d 3 ;. Observamos que a diferencial n-ésima é d n = e ( + n) d n, 8n N.

5.3 Interpretação Mecânica da Derivada Velocidade Sabemos que velocidade é a variação do espaço percorrido num determinado intervalo de tempo. Supondo que um corpo se move em linha reta e que s (t) represente o espaço percorrido pelo móvel até o instante t. Então no intervalo de tempo entre t e t + t, o corpo sofre um deslocamento s = s (t + t) s (t). De nimos a velocidade média como v m = s s (t + t) s (t) ) v m =. t t A velocidade média não nos diz nada a respeito da velocidade do corpo num determinado instante t. Para determinar a velocidade instantânea, isto é, a velocidade num instante t devemos fazer t cada vez menor (t! 0). Assim, a velocidade neste instante é o limite das velocidade médias. v = v (t) = lim v s (t + t) m = lim t!0 t!0 t s (t) ) v = s 0 (t). Aceleração Lembre que a aceleração é a variação da velocidade num certo intervalo de tempo gasto. Por racicíonio análogo ao anterior, segue que a aceleração média no intervalo de t até t + t é a m = v v (t + t) v (t) ) a m =. t t Para obter a aceleração do corpo no instante t, tomamos sua aceleração média em intervalos de tempo t cada vez menores. A aceleração instantânea é a = a (t) = lim a v (t + t) m = lim t!0 t!0 t v (t) ) a = v 0 (t) = s 00 (t). Eemplo 37: No instante t = 0 um corpo inicia um movimento retilíneo e sua posição num instante t é dada por s (t) = t. Determinar: t+ (a) a posição no instante t = ; (b) a velocidade média do corpo para t [; 4]; (c) a velocidade do corpo no instante t = ; (d) a aceleração média do corpo para t [0; 4]; (e) a aceleração no instante t =. Obs: Considere o tempo medido em segundos e a distância em metros.

5 Solução: (a) A posição do corpo no instante t = é s () = 3 m. (b) Para t [; 4], temos que t =. Assim, a velocidade média do corpo é v m = s(t+t) s(t) s(4) s() = = m=s: t 5 (c) A velocidade instantânea é v (t) = s 0 (t) = (t+). Então, em t =, obtém-se v () = s 0 () = 9 m=s. (d) Para t [0; 4], temos que t = 4. A aceleração média do corpo é a m = v(4) v(0) = 6 m=s. 4 5 (e) A aceleração instantânea é a (t) = v 0 (t) = (t+) 3. Logo, em t =, temos que a () = 7 m=s..4 Taa de Variação Sabemos que a velocidade é a razão da variação do deslocamento por unidade de variação de tempo. Então, dizemos que s 0 (t) é a taa de variação da função s (t) por unidade de variação de t. Analogamente, dizemos que a aceleração a (t) = v 0 (t) representa a taa de variação da velocidade v (t) por unidade de tempo. Toda derivada pode ser interpretada como uma taa de variação. Dada uma função = f (), quando a variável independente varia de a +, a correspondente variação de será = f ( + ) f (). Assim, a taa de variação média de com relação a é dada por f ( + ) = f (). A taa de variação instantânea é de nida como d d = lim!0 ) f 0 f ( + ) () = lim!0 f (). Eemplo 37: Seja V o volume de um cubo de cm de aresta. (a) Calcule a razão da variação média do volume quando varia de 3 cm à 3; cm. (b) Calcule a razão da variação instantânea do volume por variação em centímetros no comprimento de aresta, quando = 3 cm. Solução: (a) Sabemos que o volume de um cubo é V = 3. Quando varia de 3 cm à 3; cm, temos que = 0; cm. Então, a razão da variação média do volume V = V (+) V () ) V V (3;) V (3) = = 7; 9 cm 3. 0; (b) A variação instantânea do volume é dada por V 0 () = 3. Em = 3, temos que: V (3) = 7 cm 3.

53.5 Taas Relacionadas Nos problemas de taas relacionadas busca-se encontrar a taa segundo a qual certa quantidade está variando em relação a outras quantidades, cujas taas de variação são conhecidas. Eemplo 38: O lado de um quadrado ` (em m) está se epandindo segundo a equação ` = +t, onde a variável t representa o tempo. Determine a taa de variação da área deste quadrado em t = s. Solução: Sejam: t : tempo (em s); ` : lado do quadrado (em m); A : área do quadrado (em m ): Sabemos que, a área de um quadrado é da = da d` ) da dt d` dt dt ) da A (`) = `. Como ` é uma função do tempo, pela regra da cadeia, temos que = ` d` = ( + dt t ) d` dt = (4 + t ) t = 4t 3 + 8t. dt Para t = s, temos que: A 0 () = t= ) A 0 () = 48 m =s. da dt Eemplo 39: Suponhamos que um óleo derramado através da ruptura do tanque se espalha em uma forma circular cujo raio cresce em uma taa constante de m=s. Com que velocidade a área do derramamento de óleo está crescendo quando o raio dele for 0m? Solução: Sejam: t : tempo (em s); r : raio (em m); A : área da circunferência (em m ): O óleo está se espalhando em forma circular, a área do derramamento é A (r) = r. Como r é está variando com o tempo, pela regra da cadeia, temos que da = da dr ) da = r dr. () dt dr dt dt dt Sabemos que o raio cresce em uma taa constante de m=s. Substituindo em (), temos que: da dt = r: Para o raio r = 0m, temos que: A 0 (0) = r=0 ) A 0 (0) = 0 m =s. da dr m=s, ou seja, dr dt = Eemplo 40: Uma escada de 50 cm de comprimento está apoiada em um muro vertical. Se a etremidade inferior da escada se afasta do muro na razão de 90

54 cm=s, então com que rapidez está descendo a etremidade superior no instante em que o pé da escada está a 40 cm do muro? (I), temos que: d dt Solução: Sejam: : distância do pé da escada ao muro (em cm); : distância do topo da escada ao chão (em cm); t : tempo (em s): Nosso objetivo é determinar d, para = 40 cm. dt Fazendo um esboço, pelo teorema de Pitágoras, temos que: + = (50). (I) Como e variam no tempo, derivando implicitamente com relação ao tempo d + = 0 ) d = d. (II) dt dt dt Por (I), se = 40 cm, então = 450 cm: Substituindo em (II) ; e ainda, lembrando que d dt d dt = 48 cm=s: = 90 cm=s, obtém-se Eemplo 4: Acumula-se areia em monte com a forma de um cone cuja altura é igual ao raio da base. Se o volume da areia cresce a uma taa de 0 m 3 =h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4 m. Solução: Sejam: h : altura do monte de areia (em m); r : raio da base (em m); A : área da base (em m ): V : volume de areia (em m 3 ). A área da base corresponde a área de um circulo, isto é, A = r. Pela regra da cadeia, a razão que aumenta à área da base é da = da dr ) da = r dr. (I) dt dr dt dt dt Precisamos encontrar uma relação para dr. dt Como o monte de areia tem a forma de um cone, seu volume é V = 3 r h. (II) Lembre que, o raio e a altura são iguais. Assim, substituindo r = h em (II), temos que V = 3 r3. (III) Aplicando a regra da cadeia em (III), temos que dv = dv dr ) dv = r dr ) dr = dv. dt dr dt dt dt dt r dt Como dv = 0 m 3 =h, temos que dr = 0 : dt dt r Substituindo em (I), temos que: da = r 0 = 0. dt r r Se h = r = 4, então da dt = 5 m =h.

55.6 Eercícios. Use a de nição de derivada para encontrar a primeira derivada de cada uma das funções abaio: (a) f () = + 3 (b) f () = 3p + (c) f () = e (d) f () = ln ( + ) (e) f () =senh(a), para a R Use a de nição de derivada para encontrar o coe ciente angular da reta tangente nos eercícios a seguir.. Seja f () = p uma curva. (a) Determine o coe ciente angular da reta tangente a curva dada, no ponto da abscissa =. (b) Dê a equação da reta tangente no ponto mencionado. (c) Dê os pontos da curva onde a tangente a curva tem inclinação de 60. 3. Considere a curva dada por f () = p 4 3. Caso eista, escreva a equação da reta tangente a curva, tal que seja paralela a reta r : + = 0: 4. Seja f () = uma curva. Caso eista, escreva a equação da reta normal a curva, tal que seja paralela a reta r : = 0. 5. Seja f () = uma curva. Se possível, determine, tanto a equação da reta tangente quanto a equação da reta normal a curva no ponto P ; 3. 6. Seja f () = 3 + uma curva. Dê as coordenadas dos pontos da curva onde a direção desta curva é paralela ao eio. 7. Mostre que as tangentes à curva f () = sin em = e =, se cortam formando ângulos retos. 8. Seja f () = + ln ( + ) uma curva. Caso eista, determine a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) a esta curva, tal que seja(m) perpendicular(es) a reta r : 3 + 3 = 6. 9. Seja f () = uma curva. Se eistir escreva a equação da reta normal a esta + curva que seja paralela a reta r : + + 3 = 0.

56 0. Dada a curva f () = p, se eistir, determine a equação da reta normal a curva onde a reta tangente é paralela a reta r : + 3 7 = 0. Nos próimos eercícios não é necessário obter o coe ciente angular através da de nição de derivadas.. Seja f () = uma curva, se eistirem determine tanto a equação da reta tangente, quanto a equação da reta normal a esta curva no ponto cuja abcissa é e =.. Seja + + = 3 uma curva, se eistir dertermine a(s) equação(s) da(s) reta(s) tangente(s) a esta curva e que seja(m) paralela(s) a reta(s) r : + =. 3. Se eiste, determine as abscissas dos pontos do grá co de = 3 cos (), nos quais a reta tangente a curva é perpendicular a reta r : + 4 = 5. 4. Se eistir, escreva a equação da reta normal a curva ( + 4) = 4 3 e que passe na origem do sistema cartesiano. 5. Dada a curva f () = p. Se possível determine a equação da reta normal a curva no ponto em que a reta tangente é paralela à reta r : + 5 = 0. 6. Dada a curva f () = 3p 3 +, determine, se possível: (a) o(s) ponto(s) da curva onde a direção é paralela a reta = ; (b) a equação da reta tangente a curva no(s) ponto(s) onde a inclinação é 45. 7. Dada a curva f () = p 4 3. Caso seja possível determine: (a) a direção da curva no(s) ponto(s) em que esta intercepta o eio das ordenadas; (b) a equação da reta normal a curva no(s) ponto(s) em que esta reta seja paralela a reta r : 3 + 6 = 0. 8. Seja f () = 5 p uma curva. Se eistir, determine a equação da reta tangente 5 a curva que também seja perpendicular a reta r : + 3 = 0. 9. Se eistir, escreva a equação da reta normal a curva f () = a reta r : + 7 = 0. +7 que seja paralela 0. Mostre que as retas tangentes às curvas 4 3 +5 = 0 e 4 4 3 +5+ = 0, na origem, são perpendiculares.. A reta = a intercepta a curva = 3 +4+3 num ponto P e a curva = 3 + num ponto Q. Para que valor(es) de a as retas tangentes a essas curvas são paralelas? Encontre a(s) equação(ões) da(s) referida(s) reta(s).

57. Determine a equação da reta normal à curva C : + 3 = + no ponto em que abcissa e ordenada tem o mesmo valor. 3. Seja P o ponto de interseção das curvas C : + 3 = 5 e C : = 3. Mostre que as retas tangentes às curvas C e C são perpendiculares no ponto P. 4. Caso eista, escreva na forma mais simples a derivada das seguintes funções: = a sin t = a (cos t + t sin t) a. = 3a cos t ; b. = a (sin t t cos t) ; ( = a (t sin t) = cos 3 t c. = a ( cos t) ; d. p cos t = p sin3 t ; ( 8 cos t = < = arccos p +t e. = t ; f. +t ; : t+ = arcsin p +t ( = 3 g. at = a( t ) ; +t 5. Veri que se a função de nida parametricamente por t ;, satisfaz a equação d + e d = 0. d d = sec t = ln (cos t), para todo = (t sen t) 6. As equações paramétricas, para t [0; ], representam uma = ( cos t) curva chamada de ciclóide. Determine a equação da reta normal a essa ciclóide que seja paralela a reta r : + = 0. 7. Em cada caso, veri que se a função dada é derivável nos pontos referidos: +, se 4 3, se < a. f () =, se > 4, em = 4; b. f () =, em = ; 3 7, se c. f () = j 3j, em = 3; d. f () = 3 3, em = p ; 9, se < e. f () =, em = :, se 3 8. Seja f a função de nida por f () =, se. Determine, se possível, a + b, se > os valores das constantes a e b para que f seja uma função derivável em =. Obs: Lembre que se f é derivável em um ponto então f também deve ser contínua neste ponto. 9. Obtenha a primeira derivada das funções abaio e escreva-as na forma mais simples, sempre que possível. 3p (a) f () = + (b) f () = 3 + 5 ( p + )

58 (c) f () = 4 (d) f () = 3p (e) f () = ( + ) 3 ( + 5) 4 (f) f () = (5 + ) 3 ( 3 ) 4 p a (g) f () =, com a R a (h) f () = sin ( p ) (i) f () = cos 3 (3 ) (j) f () = tan p r (k) f () = cot 3p (l) f () = e + csc (3 ) (m) f () = e sec ( p ) + (n) f () = ln (o) f () = ln (cos ( 3 )) (p) f () = cos (4 ln ) (q) f () = ln + p + (r) f () = sinh ln (s) f () = tanh 5 + sinh 5 + (t) f () = e b cosh (a), com a e b R (u) f () = ln 4 coth(e 5 ) arctan () (v) f () = + 4 (w) f () = ln (arcsin p ) () f () = arccos p () f () = arctan (e ) arcsin (e ) (z) f () = cos (arctan (3)) 30. Use a forma de derivação implícita para obter d d (a) + 4 + 3 = 0 (b) cos ( + ) = e 4 (c) + ln () = 5 das funções abaio.

59 (d) 7 = sin ( 3 ) (e) = e (f) = ( + ) q 7 ( 3) 3 (g) = ( + 4) 5 p 3 + ( 3 + 4) 5 (h) = cos () 3. Determine a epressão da derivada n-ésima em cada caso: a. f () = e a ; b. f () = cos ; c. f () = (a + b) m, com m Z; d. f () = + 3. Sejam f : R! R uma função diferenciável (derivável) duas vezes e g : R! R dada por g () = f ( + cos (3)). (a) Calcule g 00 (). (b) Supondo f 0 () = e f 00 () = 8, calcule g 00 (0). 33. Considere a função g () = cos : [f ()], onde f : R! R é duas vezes diferenciável (derivável), f (0) =, f 0 (0) = f" (0) =. Calcule g 00 (0). 34. Determine: (a) f 0 (0) sabendo que f sin p 3 = f (3 ) + 3 ; (b) a função g sabendo que (f g) 0 () = 4+34, f () = 3 e g 0 () = ; (c) (g f h) 0 (), sabendo que f (0) =, h () = 0, g 0 () = 5 e f 0 (0) = h 0 () = : 35. Calcule aproimadamente o valor de: (a) 4p 7 (b) 3p 30 (c) arctg(; 0) (d) log (00; ), sabendo que log (00) = ; 3003 : : : (e) sin (60 3 0 ) (f) e 0;3 (g) e tan(44), sabendo que e 8; 5 (h) cotg(3 o 5 0 ) (i) 3p ln (; 8) (j) cos(300 5 00 )

60 36. Uma janela tem o formato de um quadrado com um semicírculo em cima. A base da janela mede 60 cm com um possível erro na medida de mm:use diferenciais para estimar o maior erro possível no cálculo da área dessa janela. 37. Ao medir o raio de uma esfera, obtém-se a medida de cm. Sabendo que o erro dessa medida pode ser 0; 6mm para mais ou para menos, calcule, usando diferenciais, um valor aproimado para o erro máimo no cálculo do volume dessa esfera causado pelo erro de medida do raio. 38. Um material está sendo escoado de um recipiente, formando um monte cônico cuja altura é sempre igual ao raio. Se em dado instante o diâmetro é 4 cm, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de cm 3 no volume do monte cônico. 39. Dê os pontos onde a função f () = jj + j + j não é derivável. 40. Um ponto desloca-se sobre a hipérbole = 4 de tal modo que a velocidade é d = dt, onde é uma constante. Mostre que a aceleração da abscissa é d = dt 8 ( 3 ). 4. Seja = 3p 3 + a equação do movimento de uma particula, determine: (a) a velocidade da partícula quando trancorridos s; (b) a aceleração da partícula quando transcorrido s: 4. Na terra você pode facilmente atirar um clipe a 64 cm de altura usando um elástico. Em t segundos depois do disparo, o clipe estará s = 64t 6t acima de sua mão. Quanto tempo o clipe leva para atingir a altura máima? A que velocidade ele sai de sua mão? 43. Um carro está a s = horas. Pergunta-se: 6t 3 4t + 6 km a leste de uma parada no instante t (a) Qual é a velocidade no instante t = h e qual é o sentido que ele se move? 4 (b) Onde está o carro quando sua velocidade é nula. 44. Dois corpos têm movimento em uma mesma reta segundo as equações s = t 3 + 4t + t e s = t 3 5t + t +. Determine as velocidades e as posições desses dois corpos no instante em que as suas acelerações são iguais. Considere como unidades de s e s o metro e como unidade do tempo t o segundo. 45. Dois pontos partem da origem do eio no instante t = 0 e se movem ao longo desse eio de acordo com as equações = t t e = 8t t, e onde são medidos em metros e t é medido em segundos, pregunta-se: (a) em que instante os dois têm mesma velocidade?

6 (b) quais são as velocidades desses dois pontos nos instante em que eles têm a mesma posição. 46. A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eio varia com o tempo segundo a equação = v 0 c ( e c ), 0, onde v 0 e c são constantes positivas. Use a DEFINIÇÃO de derivadas para determinar a velocidade da partícula no instante. 47. Uma esfera aumenta de modo que seu raio cresce a razão de ; 5 cm=s. Qual a variação do volume no instante em que o raio é de 5; cm? 48. Um ponto se move sobre a parte superior da parábola semicúbica = 3 de tal maneira que sua abscissa cresce a razão de 5 unidades por segundo. Quando = 4, com que rapidez varia a ordenada? 49. Um corpo é lançado no espaço formando com a horizontal um ângulo, descreve no ar, por ação da gravidade uma curva cujas equações são = v 0 t cos e = v 0 t sin gt. Sabendo que = 60 e v 0 = 50 m=s, determine a velocidade do corpo quando t = s? 50. Dois carros, um dirigindo-se para leste com velocidade de 77 km=h, o outro dirigindo-se para sul com velocidade de 57 km=h, estão viajando em direção ao encontro das duas rodovias. A que velocidade os carros se aproimam um do outro, no momento em que o primeiro carro estiver à 477 m e o segundo carro estiver à 77 m da intersecção das rodovias? 5. Um tanque de forma cônica invertido tem altura de 8 m, raio da base m. O mesmo se enche de água à razão de 7 m 3 = min. Com que velocidade sobe o nível da água quando este se encontra a 4 m de profundidade? 5. Uma piscina tem 8 m de largura, 8 m de comprimento, m de profundidade em um etremo e 8 m no outro, o fundo tem forma de um plano inclinado. Se a água está sendo bombeada para a piscina à razão de 0; 8 m 3 = min, com que velocidade se eleva o nível da água no instante em que ele esta a ; 8 m na etremidade mais profunda? 53. Um triângulo retângulo inscrito no círculo + = 5, tem as etremidades da hipotenusa situadas nos pontos A (5; 0) e B ( 5; 0), enquanto que, o terceiro vértice, situado no ponto P (; ), se move sobre a circunferência com uma velocidade d = m=s. Calcule a velocidade com que a área deste triângulo está variando dt quando = 4 m. 54. Em que pontos da parábola 8 = 0 a ordenada cresce duas vezes mais depressa que a abscissa?

6 55. Uma criança esta empinando uma pipa e movendo-se horizontalmente a 4 m=s. Supondo que a pipa permaneça sempre a 80 m de altura, sobre o nível do solo, qual é a velocidade com que a criança está soltando a corda da pipa quando esta corda medir 00 m? Obs: Despreze a altura da criança. 56. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5 m de raio da base a 0 m de altura. No tempo t = 0s, a água começa a uir no tanque à razão de 5 m 3 =h. Então: (a) com que velocidade sobe o nível da água? (b) quanto tempo levará para o tanque car cheio? 57. Um balão está subindo verticamente acima de uma estrada a uma velocidade constante de m=s. Quando ele está a 7m acima do solo, uma bicicleta que se 3 desloca a uma velocidade constante de 5m=s passa por baio dele. A que taa a distância entre a bicicleta e o balão aumentará 3s depois? 58. Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproimadamente igual a 4 do raio da base. 3 (a) Determine a razão de variação do volume em relação ao raio da base; (b) Se a raio da base varia a uma taa de 0cm=s, qual a razão de variação do volume, quando a raio mede m? 59. O nível de café que escoa de um ltro cônico para uma cafeteira cilíndrica varia a uma taa de :0 4 cm= min. A que taa o nível do café, na cafeteira, aumentará quando a altura de café no ltro for a 5cm? 5cm 5cm 5cm 5cm 60. Uma lâmpada colocada num poste está a 4m de altura. Se uma criança de 90cm de altura caminha afastando-se do poste à razão de 5m=s, com que rapidez se alonga sua sombra? 6. Um cabo de cobre tem diâmetro de cm à 0 C. Digamos que seu comprimento seja de m e não se altera com a variação da temperatura. Sabe-se que seu diâmetro aumenta a uma velocidade de 0; 0cm= C. Calcule a taa de variação do volume desse cabo quando a temperatura está a 0 C.

63 6. Numa granja de frangos, o abastecimento de ração é automático. A ração está num reservatório que tem a forma de uma pirâmide de base quadrada de m de lado e altura de 6m, cujo vértice está voltado para baio. Se o consumo de ração é de 0; 05 m 3 =h, com que velocidade desce o nível de ração quando este está a m do vértice? 63. A altura de um triângulo cresce a razão de cm= min e sua área aumenta a razão de cm = min. Qual a taa de variação da base do triângulo quando sua altura for 0cm e sua área 00cm. 64. Uma partícula move-se ao longo da curva = ln. Encontre todos os valores de nos quais a taa de variação de é 5 vezes a de. (Suponha que d nunca é dt nula.) 65. Uma piscina tem 4m de comprimento e seus etremos são trapézios isósceles com altura de 6m, uma base menor 6m e uma base maior de 8m. A água está sendo bombeada para a piscina à razão de 0m 3 =mim. Com que velocidade o nível de água está subindo quando a profundidade da água é de m? 66. A altura de um cone é sempre igual ao dobro do raio da base. Determinar a taa de variação da área da base em relação ao volume do cone. 67. Um avião (A) voa a 4 m=s, paralelamente ao solo, a uma altitude de 0 m no sentido oeste, tomando como referência um holofote (H), ado no solo, que o focaliza e que se encontra à esquerda da projeção vertical (P) do avião (ver gura abaio). Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminando o avião, qual será a velocidade com que estará variando quando a distância entre o holofote e a projeção vertical do avião for de 60 m? A N O L θ H P S 68. Às 7 : 00 hs dois navios partem de um ponto O em rotas que formam um ângulo de 0. Os navios A e B deslocam-se a 0 km=h e 5km=h, respectivamente. Determine qual é a velocidade de afastamento desses navios às 9 : 00 hs: 69. Um reservatório tem a forma de uma pirâmide (invertida) de base quadrada. O nível de areia deste reservatório diminui com uma velocidade de 40cm=min. Esta areia forma, no chão, um monte cônico. O volume total de areia no reservatório inicialmente era 8 cm 3. Calcule a velocidade com que aumenta a altura do cone quando um terço da areia já caiu do reservatório. Use os dados fornecidos na seção transversal abaio ilustrada. Obs: Desconsidere a abertura do reservatório.

64 90 60 70. Considere uma piscina de 0 m de largura, 40 m de comprimento e profundidade máima de 9 m, cuja seção transversal está eibida na gura abaio. Supondo que esta piscina esteja sendo enchida a uma taa de 0; 8 m 3 = min, qual é a velocidade com que o nível da água está subindo quando este for igual a 5 m? 7. Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 00 m a uma velocidade constante de 7 m=s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 00 m do centro da pista. Qual a taa de variação da distância entre os dois quando esta distância era 00 m? 7. Esta vazando água de um tanque cônico invertido a uma taa de 0:000 cm 3 = min. Ao mesmo tempo está sendo bombeada a água para dentro do tanque a uma taa constante. O tanque tem 6 m de altura e o diâmetro do topo é de 4 m: Se o nível da água estiver subindo a uma taa de 0 cm= min quando a altura da água for m, encontre a taa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro do tanque. 73. Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada em uma parede e sobre um plano inclinado que faz um ângulo de 30 com a horizontal, como ilustrado na gura abaio. Sabendo que o "pé"da escada é arrastado com uma velocidade de m=s, encontre a velocidade do topo da escada quando esta estiver a 4 m de distância da parede. 30º 4 m

65.7 Respostas Eercícios:. (a) f 0 5 () = ; (b) f 0 () = ; (+3) 3(+) 3 (c) f 0 () = e ; (d) f 0 () = + (e) f 0 () = a cosh a. (a) - ; (b) + = 3; (c) não eiste. 3. = 4. 4. Não eiste. 5. Tangente: = 4 9 ; normal: = 9 + 56 3. 6. Não eistem. 7. Deve-se mostrar que o produto dos coe cientes angulares é igual a -. 8. = e = + 3 + ln. 4 9. = e =. 0. Não eiste.. Tangente: = e ( + 3); normal: = e e + e.. = e = +. 3. = 7 + k ou = + k, com k Z: 4. = ;. 5. Tangente: = ; normal: = 5. 6. (a) não eiste; (b) = + 4. 3 7. (a) ; (b) não eiste; (c) = ( ). 9. = 7 + 00.. Para a = : = 5 + 7 e = 5 3; para a = 3 : = 3 5 e 3 = 3 8:. = 7 + 8. 8. a = e b =. 9. ATENÇÃO!!! Você poderá obter resultados analogos a estes abaio apresentados, pois para obter a derivada de uma função através de regras de derivação, o caminho não é único. (a) + 4 3 (b) 5 p 3p 4 + 0 3 3p 5 + 5 3 + 3

66 (c) ( + 4) ( 4) (d) 3 ( ) 3 (e) ( + ) ( + 5) 3 ( + 4 + 5) (f) 3 ( 5 + ) ( 3 ) 5 ( 5 + 5 + 4) (g) p a (h) p cos p (i) 8 cos (3 ) sin (3 ) (j) sec p ( ) 3 r (k) 3 3p tan 3p csc 3p (l) e + (ln 3) 3 cot (3 ) csc (3 ) (m) p sec ( p ) tan ( p ) e sec ( p ) (n) (o) 3 tan 3 (p) 4 (ln + ) (sin (4 ln )) (q) p + (r) ln ln sinh ln cos ln (s) 5 (ln 5) sinh 5 + sech 5 + + (t) b (cosh a) e b + a (sinh a) e b (u) 0e 5 csc (e 5 ) ln 3 4 arctan (v) (4 + ) (w) (arcsin p ) p p () p jj () (z) e + e arcsin (e ) coth(e 5 ) 6 arctan 3 sin (arctan (3)) 9 + e p e arctan (e ) 30. d d =

67 (a) (b) 4 3 + 4 sin ( + ) + 4 e 4 sin ( + ) + e 4 (c) ( + 5) ( ) (d) 3 cos ( 3 ) :7 ( ln 7:) 3 cos ( 3 ) (e) e (ln + ) (f) ( + ) + + ln ( + ) q 7 ( 3) 3 6 0 (g) ( + 4) 5 7 ( 3) + 4 p 3 + ( 3 + 4) 5 3 (h) cos () 3 + + 5 3 + 4 + tan () 3. g 00 (0) = 0. 33. g 00 (0) = 3. 34: (a) f 0 (0) = 6 ; (b) g () = + 3; (c) 0. 5 36. da = 6; 763 cm. 37. dv = 08; 584 cm 3. 4. (a) 4 u:c:=s; (b) 6 u:c:=s 4. s; 64 cm=s. 43. (a) km=h; (b) 8km: 44. 3s; s = 65m e s = 4m; v = 5m=s e v = 5m=s 45. ; 5s; t = 0s! v = cm=s e v = 8cm=s; t = 5s! v = 8cm=s e v = cm=s: 46. v o e c u.c./u.t. 47. 55 cm 3 =s. 48. 5 u:c:=s: p 49. 3 4 5 m=s. 50. 95; 48 km=h. 5. 7 m=mim: 5. 5; 9:0 3 m= min ou 0; 05m= min. Obs: A resposta depende da sua interpretação ao montar a piscina. 0 53. 9 54. ; 9 8 55. ; 4 m=s. 3 m =s.

68 56. (a) m=h; (b) 3; 4h 57. 7 p 6 m=s: 58. (a) 4 3 r ; (b) 3; 349cm 3 =s. 59. 9 :0 4 cm=mim: 60. ; 45m=s. 6. 0; 4 cm 3 =mim: 6. 0; 5m=h. 63. 8 5 cm=mim: 64. e 4 : 65. 5 68 m=mim: 68. 5 p 6km=h: 69. 480 3p 36 cm=mim: 70. ; 387 0 3 m= min 7. 7p 3 4 m=s 7. ; 895 0 5 m 3 = min 73. 3; 3m=s

Capítulo 3 Regra de L Hôpital 3. Introdução No capítulo, discutimos limites que podem ser determinados eaminando por inspeção ou por alguma manipulação algébrica. Nesta seção, estaremos interessados com limites que não podem ser obtidos por tais métodos. Por eemplo, por algumentos geométricos, usando o Teorema do Confronto e algumas manipulações com desigualdades já provamos que sen () lim = : ()!0 Nosso objetivo aqui é desenvolver um método mais direto. O que faz o limite () problemático é o fato de que numerador e denominador tendem a zero, ou seja, temos uma forma indeterminada do tipo 0 : Este limite pode ser conjecturado de 0 aproimações locais lineares de sen() em 0. Lembre que, se uma função f for diferenciável em um ponto 0, então para os valores de próimo de 0, os valores de f podem ser aproimados por f () f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) ( 0 ) ; () onde a aproimação tende a ser cada vez melhor quando! 0 :Em particular, para f () =sen() e 0 = 0, segue que sen () : sen () Isto sugere que o valor de ca cada vez mais próimo de quando! 0 e, portanto, podemos concluir que sen () lim!0 = lim!0 = : A idéia de usar aproimações lineares locais para calcular formas indeterminadas do tipo 0 pode ser usada para motivar um procedimento mais geral para deter- 0

70 minar tais limites. Para esta proposta, suponhamos que f () lim! 0 g () é uma forma indeterminada do tipo 0, isto é, 0 lim f () = lim g () = 0: (3)! 0!0 Por simpli cação, admitiremos também que f e g são funções diferenciáveis em = 0 e que f 0 e g 0 são funções contínuas em = 0 ; ou seja, lim f 0 () = f 0 ( 0 ) e lim g () = g 0 ( 0 ) : (4)! 0!0 A diferenciabilidade de f e g implica que f e g são contínuas em = 0, e, portanto a partir de (3) segue que f ( 0 ) = lim!0 f () = 0 e g ( 0 ) = lim!0 g () = 0: (5) Assim, usando a aproimação linear local, as propriedades de limites e as equação (4), temos que: f () lim! 0 g () = lim f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) ( 0 )! 0 g ( 0 ) + g 0 ( 0 ) ( 0 ) = lim f 0 ( 0 ) ( 0 )! 0 g 0 ( 0 ) ( 0 ) = f 0 ( 0 ) g 0 ( 0 ) Através da equação (5), obtemos o seguinte resultado f () lim! 0 g () = lim f 0 ()! 0 g 0 () : 3. Forma indeterminada do tipo 0 0 Teorema: Se f e g são duas funções com primeiras derivadas contínuas em = 0, lim f () = 0 e lim g () = 0 e 8 6= 0, g 0 f () 6= 0 e lim 0 () eistir então!0!0!0 g 0 () f () lim! 0 g () = lim f 0 ()! 0 g 0 (). Podemos concluir então, pelo Teorema de L Hôpital, que para calcular um limite cuja indeterminação é do tipo 0 basta derivar o numerador e o denominador, e 0 estas derivadas serão o numerador e o denominador de uma nova função cujo valor no ponto de indeterminação da função inicial é o limite desta quando o argumento tende ao ponto de indeterminação. Eemplo : Calcule os limites: ln ( + ). lim ;!0 Solução: Observe que lim!0 ln ( + ) = 0 0.

7 Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: ln ( + ) lim!0 = lim!0 + = lim!0 + =. sin. lim! cos. sin Solução: Observe que lim = 0! 0 cos. Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: sin lim! cos = lim! cos = 0. sin Observação : Se f 0 (c) = 0 e g 0 (c) = 0, isto é, lim f 0 () = 0 e lim g 0 () =!0!0 0 e se as funções f 0 e g 0 satisfazem as condições impostas às funções f e g segundo a hipótese do teorema, então este teorema pode ser aplicado para a razão f 0 () g 0 () e nos dará como conclusão que: f () lim! 0 g () = lim f 00 ()! 0 g 00 () = f 00 ( 0 ) g 00 ( 0 ). e e Eemplo : Calcule lim.!0 sin e e Solução: Observe que lim!0 sin Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: = 0 0. e e e + e lim = lim = 0!0 sin!0 0 cos. Aplicando novamente a regra de L Hôpital, temos que: e + e e e lim = lim = 0!0 cos!0 0 sin Novamente a regra de L Hôpital, temos que: e e e + e lim = lim =.!0 sin!0 cos Observação : O processo descrito pelo Teorema de L Hôpital pode ser repetido quantas vezes se zer necessário, desde que respeitadas as condições do teorema. Para o caso geral, f (n) () e g (n) (), não demonstraremos aqui, pois eige o conhecimento da Fórmula de Talor com resíduo para f () e g (). Observação 3: O Teorema de L Hôpital pode ser aplicado quando lim f () =! f() f 0 e quando lim g () = 0 e se o que se quer é o lim, desde que eista o lim 0 ().!! g()! g 0 () Para tanto, basta fazer uma mudança de variável. De nindo =. Se!, então! 0. Assim,

7 f () f lim! g () = lim!0 g Eemplo 3: Calcule lim Solução: Observe que lim = lim!0 sin k! sin k!. f 0 g 0 = 0 0. De nindo =. Se!, então! 0. Assim, sin k sin (k) lim! = lim = 0!0. 0 Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: sin (k) k cos (k) lim = lim = k.!0!0. lim!a a n a n ; Eemplo 4: Calcule os limites a seguir. a Solução: Observe que lim!a n a = 0. n 0 Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: a lim!a n a = lim n!an =. n na n. lim!0 tan sin ; Solução: Observe que lim!0 tan sin = 0 0. Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: tan lim!0 sin = lim sec!0 cos = 0. 0 Novamente, aplicando a regra de L Hôpital, temos que: sec lim!0 cos = lim!0 sec tan sin = lim!0 cos 3 =. = lim! f 0 () g 0 () : ln (sin ) 3. lim! ( ) ; ln (sin ) Solução: Temos que lim! ( ) = 0. 0 Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: ln (sin ) lim! ( ) = lim! cos sin 4 ( ) = lim! cossec 8 = 8.

73 a b 4. lim ;!0 a b Solução: Temos que lim = 0!0 0. Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: a lim!0 b = lim!0 a ln a b ln b = ln a ln b = ln a b. 3.3 Forma indeterminada do tipo Teorema: Se f e g são funções contínuas e deriváveis em todos os pontos 6= 0 (numa vizinhança do ponto 0 ) e g 0 () 6= 0 para todo e se lim f () =,!0 f lim g () = e lim 0 ()! 0!0 g 0 () eistir, então f () lim! 0 g () = lim f 0 ()! 0 g 0 (). ln Eemplo 5: Calcule o lim!0 +. ln Solução: Temos que lim!0 + =. Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: ln lim!0 + = lim = lim ( ) = 0.!0 +!0 + Observação 4: As considerações tecidas nas observações para regra de L Hôpital para indeterminação do tipo 0 são também verdadeiras aqui no a para indeterminação do tipo e ilustraremos apenas com eemplos. 0 Eemplo 6: Calcule os limites. tan. lim! tan (3) = ; Solução: Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: tan L = lim! tan (3) = lim sec = lim cos (3) = 0.! 3 sec (3)! 3 cos 0 Novamente, pela regra de L Hôpital, temos que: sin(6) L = lim = 0:! sin() 0 Pela regra de L Hôpital novamente, temos que: 3 cos(6) L = lim = 3.! cos()

74. lim!+ e = ; Solução: Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: lim!+ e = lim!+ e =. Novamente, pela regra de L Hôpital, temos que: lim!+ = lim e = 0.!+ e e 3. lim!+ = ; Solução: Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: e lim!+ = lim e = +.!+ Observação 5: A regra de L Hôpital só pode ser aplicada para indeterminações da forma 0 0 e. Caso seja ignorada essa condição, chega-se a resultados absurdos. Veremos a seguir, como as indeterminações da forma 0:,,, 0 0 e 0 podem ser transformadas em indeterminações do tipo 0 e, com o objetivo de 0 aplicar a regra de L Hôpital para auiliar no cálculo de limites. 3.4 Aplicações da Regra de L Hôpital 3.4. Forma indeterminada 0: Se f () = g () h () e o lim!0 f () = 0:, então para levantar esta indeterminação rrescrevemos a função como segue f () = g () h() ou f () = h (). g() Desta forma, o lim!0 f () assume a forma indeterminada 0 0 ou : Eemplo 7: Calcule os limites:. lim (sec (3) cos (5))! Solução: Temos que lim (sec (3) cos (5)) = 0:.! Reescrevendo a função, temos que:

75 L = lim! sec (3) (sec (3) cos (5)) = lim! cos(5) Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: L = lim! 5 sin (5) 3 sin (3) = 5 3.. lim ( ) e = :0!+ Solução: Reescrevendo o limite, temos que: L = lim!+ ( ) e ( ) = lim =!+ e : Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: L = ( ) lim!+ ) L = lim!+ = lim e!+ e = lim!+ e = 0 ( ) e = lim 3. lim cot! + (ln ( ) ) = 0:. Solução: Reescrevendo a função, temos que: cos (5) = lim! cos (3) = 0. 0!+ 4 e L = lim cotg ln ( )! + (ln ( ) ) = lim =! + tan Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: ) L = lim =! + # lim ( ) cos! + sec Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: ) L = lim cos + ( ) sin ()! + = 0. = 0 0 3.4. Forma indeterminada Se f () = g () h () e o lim f () =, então, através de operação!0 elementares entre as funções g () e h () é sempre possível transformar o lim f ()!0 numa das formas indeterminadas 0 ou. 0 Eemplo 8: Calcule os limites:. lim (sec () tg ()).! Solução: Temos que lim (sec () tg ()) =.!

76 Reescrevendo a função, temos que: cos L = lim (sec tan ) = lim!! Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: L = lim!. lim!0 + + cos sin = 0. = cos sin cos Solução: Reescrevendo a função, temos que: + cos + L = lim!0 + ( + ) (cos ) = 0 0 Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: L = lim!0 + 3. lim!0 + ln ( + ) = lim! sin + cos + sin cos + sin + = e Solução: Reescrevendo a função, temos que: L = lim!0 e ln(+) (e ) ln(+) = # 0 0 L 0 H lim!0 e + (e ) + + e ln ( + ) e + (+) ) L = lim!0 (+)e (e ): + e + (+) + e ln ( + ) =. sin = 0 0 cos : = = # 0 0 L0 H 3.4.3 Formas Indeterminadas, 0 0 e 0 Se f () = [g ()] h() e lim!0 f () assume uma das três formas indeterminadas, 0 0 e 0, então, para qualquer uma destas três indeterminações de ne-se L = lim!0 f () = lim!0 [g ()] h() : Aplicando-se o logaritmo neperiano a função dada, temos que: ln L = ln lim [g ()] h()! 0 ) ln L = lim ln [g ()] h().!0 Por propriedade de logaritmo neperiano, temos que:

77 ln L = lim!0 [h () ln (g ())] = b: Assim, o limite passa a assumir a forma indeterminada 0:, que se resolve conforme a primeira aplicação da regra de L Hôpital vista antriormente. E ainda, como foi aplicado logaritmo na função dada, para determinar a solução nal deve-se aplicar a função eponencial (pois é a função inversa do logaritmo) do limite, isto é, L = e b ) lim!0 f () = e b. Eemplo 9: Determine os limites abaio.. lim = 0 0 ;!0 Solução: De nindo L = lim.!0 Aplicando logaritmo neperiano em ambos os membros, temos que: ln L = ln lim!0 = lim (ln ( )) = lim ( ln ) = 0:.!0!0 Reescrevendo a função, temos que: ln L = lim ln!0 =. Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: ln L = lim!0 = lim!0 ( ) = 0 ) ln L = 0. Aplicando a função eponencial a ambos os membros, obtém-se: L = e 0 ) lim!0 =.. lim ( ) tan( ) = ;! tan( Solução: De nindo L = lim ( ) ).! Aplicando logaritmo neperiano em ambos os membros, temos que: ln L = ln lim ( )tan( ) = lim tan!! ln ( ) = :0. Reescrevendo a função, temos que:! sin ln L = lim ln ( ) = lim sin! cos! lim ln( )! cos( ) ln ( ) ) ln L = lim = 0! cos. 0 Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: ln L = lim! sin = lim! ( ) sin = ) ln L =. Aplicando a função eponencial a ambos os membros, obtém-se: L = e ) lim ( ) tan( ) = e = p e.!

78 3. lim!0 (cotg ()) sin = 0. Solução: De nindo L = lim (cotg ()) sin.!0 Aplicando logaritmo neperiano em ambos os membros, temos que: ln L = ln lim (cotg!0 ())sin = lim (sin ln(cotg ())) = 0:.!0 Reescrevendo a função, temos que: ln(cotg ()) ln L = lim = lim!0!0 sin ln(cotg ()) cossec () Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: cossec () cotg() =. ln L = lim!0 cotg () cossec () = lim sin = 0 ) ln L = 0.!0cos Aplicando a função eponencial a ambos os membros, obtém-se: L = e 0 4. lim! ) lim!0 (cotg ()) sin =. p 4 cos (3) + cos (3) Solução: De nindo L = lim! ln L = ln lim! ) ln L = lim! ( + cos (3)) p 4 cos (3) + cos (3), temos que: 4 cos (3) = lim! ln ( + cos (3)) 4 cos (3) = # 0 0 L0 H 6 cos(3) sin(3) +cos (3) 4 cos (3) sin (3) = lim 4! + cos (3) =. 4 ) ln L = 4, L = 4 p e :

79 3.5 Eercícios. Calcule os limites, aplicando a regra de L Hôpital, quando possível: arcsen sen sen. lim ;. lim ;!0! e sen sec 3. lim ; 4. lim!0 ln ( + )! sec (3) ; ln 5. lim!0 cossec ; n 6. lim, para n N;!e tg () ln 7. lim ; 8. lim, para n N;! tg (3)!+ n 9. lim!0 cotg () cotg () ; e!0 +. lim + ln cotg () ; 0. lim ( )cos( ) ;! ln (sen). lim!0 + ln (sen ) ; tg () 3. lim [ ln (sin )]; 4. lim!0 +!0 a 5. lim sin! ; 6. lim! [( ; ) tg ()]; h 7. lim [( tg) sec ()]; 8. lim (a ) tg! 4!a 9. lim p 3 3 ; 0. lim 3!+! i ; a tg( ) cos ( ) ;. lim ;. lim ;!0 sen cos! ln 3. lim ; 4. lim ;!0 sen!0 tg () 4 5. lim ; 6. lim tg ;!0 4 (e + )!0 4 7. lim e + e ; 8. lim cos ;!! 9. lim! + ; 30. lim ;! 3. lim ( + sen ) cotg() ; 3. lim (e + ) ;!0!0 33. lim (e + ) 4 ; 34. lim ( + )ln ;!0!0 + sen tg( 35. lim ; 36. lim tg ) ;!0! 4 tg 37. lim p 38. lim! 4 sen (e + ) ln ;!0 + sen sen cotg () 39. lim!0 3tg 3 40. lim ; cos!0 4. lim! ln + ; 4. lim!0 ln(e ) ;

80 tg( 43. lim a )!a a ; 44. lim e 45. lim! arctg ( ) ; 46.lim!0 47. lim (e + ) ; 48. lim!0 p 49. lim ; 50. lim 5. lim!! 3 53. lim! ln (cotg ()) tg ;!0 p p p ; + ;! ( 3)!4 arccos 3 p ; 5. lim!0 e ; ln (e + ) ; 54. lim! ( + ) 4 4 4 ; ; + a. Determine o valor da constante a para que lim = 4.!+ a 3. Determine todos os valores das constantes a e b para que lim!0 a + cos (b) = 8: + e a= 4. Determine o valor da constante a para que lim = p e:!+ 5. Determine, se possível, o valor da constante a para que p ln(+) sen () lim + a ln ( + ) = lim!0 +!0 3tg 3 () cos () :

8 3.6 Respostas Eercícios.. 0. cos 3. 0 4. 9 5. 0 6. 7. 3 8. 0 9. 0.. +. 3. 0 4. 5. a 6. 4 7. 8. a 9. 0 0. 6.. 3. 4. 3 3 5. 8 6. 7. e 8. e 9. e 30. e 3. e 3. e 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 3 40. 4. 4. 43. e 44. 0 45. 46. 47. 48. 0 49. 50. e 8 p 5. 5. 0 53. 0 54. e. c = ln 3. a = e b =. 4. a = 4 : 5. a = ln 3:, para! 0, para! +

Capítulo 4 Análise da Variação das Funções Objetivos Interpretar geometricamente e aplicar o teorema de Rolle; Interpretar geometricamente e aplicar o teorema do Valor Médio; Determinar intervalos de crescimento e decrescimento de uma função; Encontrar os pontos críticos; Determinar os intervalos em que uma função é côncava e/ou convea; Obter os pontos de in eão; Encontrar os máimos e mínimos relativos; Analisar os máimos e mínimos de uma função mediante o teste (ou critério) da primeira derivada; Analisar os máimos e mínimos de uma função mediante o teste (ou critério) da segunda derivada; Determinar as assíntotas do grá co de uma função; Construir grá cos de funções; Aplicar a teoria de máimos e mínimos das funções na resolução de problemas; Analisar o grá co de uma função (máimos e mínimos relativos e absolutos, pontos críticos, pontos de in eão, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, assíntotas).

83 4. Introdução O aspecto quantitativo no estudo dos fenômenos da natureza se resume em estabelecer e analisar a dependência funcional entre as grandezas variáveis que tomam parte em cada fenômeno. Se conseguirmos estabelecer esta dependência funcional de modo analítico, isto é, mediante uma ou várias fórmulas, podemos eplorar esta dependência servindo-nos dos métodos de análise matemática. O nosso objetivo é estabelecer um método geral para a análise da variação de funções de uma variável real e construção do seu grá co. 4. Funções Crescentes e Decrescentes I. De nição : Seja f uma função de nida em um intervalo I e sejam, (i) f é crescente em I se f ( ) < f ( ) para < ; (ii) f é decrescente em I se f ( ) > f ( ) para < ; (iii) f é constante em I se f ( ) = f ( ) para todos os pontos e. f f ( ) ( ) f f ( ) ( ) ( ) f ( ) f = f crescente f decrescente f constante Se uma função é só crescente ou só decrescente em um intervalo, dizemos que é monótona neste intervalo. 4.3 Máimos e Mínimos Considere a função = f () como abaio ilustrada. = f ( ) 0 3 4 5

84 Os pontos de abcissas 0,,, 3, 4 e 5 são chamados pontos etremos. Os valores das ordenadas, f ( 0 ), f ( ) e f ( 4 ) são chamados de máimos relativos; e, f ( ), f ( 3 ) e f ( 5 ) são chamados de mínimos relativos. De nição : Uma função f tem um máimo relativo em c, se eistir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f (c) f () ; 8 I \ Df: De nição 3: Uma função f tem um mínimo relativo em c, se eistir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f (c) f () ; 8 I \ Df: Eemplo : A função f () = 3 3 4 tem um máimo relativo em c = e um mínimo relativo em c =. 5 4 4 5 Teorema: Supondo que f () eiste para todos os valores de (a; b) e que f tem um etremo relativo em c, com a < c < b. Se f 0 (c) eiste, então f 0 (c) = 0. Demostração: Supondo que f tem um ponto de máimo relativo em c e que f 0 (c) eiste. Então, pela de nição de derivadas, temos que f 0 f(c) f(c) f() (c) = lim = lim = lim c c!c f()!c + f()!c f(c). c Como c é um ponto de máimo relativo de f, se estiver su cientemente próimo de c, temos que f (c) f () ) f (c) f () 0. Se! c +, então c! 0. E ainda, f 0 f () (c) = lim!c + Se! c, então c! 0. E ainda, f 0 (c) = lim!c f () De () e (), segue que f 0 (c) = 0. f() f(c) c 0. Assim, f (c) 0. () c f() f(c) c 0. Assim, f (c) 0. () c Geometricamente, está proposição nos a rma que se f tem um etremo relativo em c e se f 0 (c) eiste, então o grá co de = f () tem um reta tangente horizontal no ponto = c.

85 A proposição, nos permite concluir que se f 0 (c) eiste, a condição f 0 (c) = 0 é necessária para a eistência de um etremo relativo em c, mas não é su ciente. Em outras palavras, se f 0 (c) = 0, então a função f pode ter ou não um etremo relativo no ponto c. Isto pode ser observado nas funções f () = 3 e g () = jj. Veri que!!! De nição 4: O ponto c Df tal que f 0 (c) = 0 ou f 0 (c) não eiste é chamado de ponto crítico ou valor crítico. Observe que uma função de nida num dado intervalo pode admitir vários pontos etremos. Ao maior e ao menor valor da função num intervalo denominamos máimo absoluto e mínimo absoluto, respectivamente. Teorema de Weierstrass: Se f é uma função contínua, de nida em um intervalo fechado [a; b]. Então f assume seu máimo e mínimo absoluto em [a; b]. Obs: Esta demonstração será omitida. 4.4 Teoremas sobre derivadas O próimo teorema a rma que se o grá co de uma função deferenciável cruza a reta = k em dois pontos, a e b, então entre eles deve eistir ao menos um ponto c onde a reta tangente horizontal. Observe a gura abaio: k a c c b No eemplo acima ilustrado, em cada um dos pontos cujas abscisaas são c e c o coe ciente angular da reta tangente a curva é zero. Portanto, f 0 (c) = 0. Teorema de Rolle Seja f uma função tal que i. f é contínua em [a; b] ; ii. f é derivável em (a; b); iii. f (a) = f (b). Então, eiste pelo menos um c (a; b) tal que f 0 (c) = 0. Demonstração: Consideremos dois casos. o Caso: Se f () = k, 8 [a; b].

86 Então f 0 () = 0, 8 (a; b). Logo, qualquer número entre a e b pode ser escolhido como c. o Caso: Se f () 6= f (a) = f (b), para algum (a; b). Como f é contínua em [a; b], pela proposição, f atinge seu máimo e seu mínimo em [a; b]. Sendo f () 6= f (a) = f (b) eiste um valor etremo em algum c (a; b). E ainda, como f é derivável, pela proposição, conclui-se que f 0 (c) = 0: Rolle? Eemplo : A função f () = 3, 8 [ ; ], veri ca o teorema de Solução: Veri quemos se as hipóteses do teorema de Rolle são satisfeitas: i. f é de nida e contínua sobre o intervalo fechado [ ; ]; iii. f 0 () = 3 é de nida e contínua em [ ; ]. Logo, f é derivável em ( ; ); iii. f ( ) = f () = 0; Como as hipóteses estão satisfeitas, então eiste c ( f 0 (c) = 0 ) 3c = 0 ) c = p 3 ( ; ). 3 ; ) tal que Rolle? Eemplo 3: A função f () = cos, 8 Solução: Temos que: ; 4 4, veri ca o teorema de i. f é de nida e contínua em 4 ; 4 ; ii. f 0 () = sin cos = sin () é derivável em 4 ; 4 ; iii. f 4 = f 4 = ; Observe ainda que, se f 0 (c) = 0 ) sin (c) = 0 ) c = n Para c = 0, temos que c ; 4 4. Logo, veri ca-se o teorema de Rolle., com n = 0; ; ; : : :. Rolle? Eemplo 4: A função f () = 3 q( ), 8 [0; 4], veri ca o teorema de Solução: Veri quemos se as hipóteses do teorema de Rolle são satisfeitas: i. f é de nida e contínua sobre o intervalo fechado [0; 4]; iii. f (0) = f (4) = 3p 4; ii. f 0 () = 3 3p ( ) não é de nida para = (0; 4).

87 Logo, não veri ca o teorema sobre o intervalo [0; 4]. 5p Eemplo 5: A função f () = 4 se anula nos etremos do intervalo [ ; ]. Demonstre que sua derivada não se reduz a zero em nenhum ponto do segmento [ ; ] : Solução: Observe que (i) f é de nida e contínua sobre o intervalo fechado [ ; ]; (iii) f ( ) = f () = 0; (iii) f 0 () = 4 5 5p não é de nida para = 0 ( ; ). Portanto, f não satisfaz o teorema de Rolle sobre o intervalo [ não é possível a rmar que eiste um ponto tal que f 0 (c) = 0: ; ] então Eemplo 6: Comprove que entre as raízes de f () = 3p também as raízes de sua derivada. Solução: As raízes de f são e 3. Note ainda que, 5 + 6 eiste (i) f é de nida e contínua sobre o intervalo fechado [; 3]; (iii) f () = f (3) = 0; (iii) f 0 5 () = 3p é derivável para todo (; 3). 3 ( 5+6) Logo, pelo teorema de Rolle, concluímos que eiste um c (; 3) tal que f 0 (c) = 0, ou seja, entre e 3 eiste também a raiz da derivada. Analisemos agora o primeiro teorema do valor médio para derivadas, ou seja, sobre os incrementos nitos de uma função. O teorema de Rolle é um caso especial do Teorema do Valor Médio, o qual a rma que entre dois pontos quaisquer A e B sobre um grá co de uma função diferenciável, deve haver pelo menos um lugar onde a reta tangente à curva é paralela à reta secante que passa por A e B. Note que o coe ciente angular da reta secante, que passa pelos pontos A (a; f (a)) e B (b; f (b)), é f (b) f (a) b a e que a inclinação da reta tangente em c é f 0 (c). Geometricamente, f f ( b ) ( a ) a c b

88 Teorema do Valor Médio (ou de Lagrange) Seja f uma função tal que i. f é contínua em [a; b] ; ii. f derivável em (a; b); Então, eiste pelo menos um c (a; b) tal que f 0 (c) = f(b) f(a). b a Demonstração: A equação da reta que passa pelos pontos A e B é f (a) = f (b) f (a) b a ( a). Se = h (), então: h () = f (a) + f (b) b f (a) ( a). a Observe que h () é uma função polinomial. Sendo assim, h é uma função contínua e diferenciável para todo. De na a função g () = f () h (). Assim, f (b) f (a) g () = f () f (a) ( a). b a Esta função representa a distância vertical entre um ponto do grá co e o ponto correspondente da reta secante. Note que: (i) g (a) = g (b) = 0; (ii) g é uma função contínua em [a; b]; (iii) g é derivável em (a; b); Portanto, como a função g satisfaz as condições do Teorema de Rolle, eiste um c (a; b) tal que g 0 (c) = 0 ) f 0 (c) = f (b) f (a). b a médio: Eemplo 7: Veri que se as funções abaio veri cam o teorema do valor. f () = 3 em [ ; ]; Solução: Veri cando as hipóteses do teorema do valor médio: (a) i. f é de nida e contínua em [ ; ]; ii. f 0 () = 3 é de nida para todo ( ; );

89 Logo, satisfaz as condições do teorema. Assim, temos que 9c ( ; ) tal que f 0 (c) = f(b) f(a) ) 3c = ) c =. b a Observe que, apenas ( ; ) :. f () = 3 sobre [ ; ]. Solução: Veri cando as hipóteses do teorema do valor médio: (a) i. f é de nida e contínua em [ ; ]; ii. f 0 () = 3 3p não é de nida em = 0 ( ; ); Vejamos, no entanto, se veri ca o Teorema. f 0 (c) = f(b) f(a) ) b a 3 3p = 0. Conclusão: não eiste c ( ; ). Portanto, não veri ca o teorema sobre [ ; ]. Eemplo 8: Em que ponto da curva f () = ln a tangente é paralela à corda que une os pontos A (; 0) e B (e; ). Solução: Como as hipóteses do Teorema de Lagrange são satisfeitas para f () = ln sobre [; e] (veri que!!!), temos que f 0 (c) = f(b) f(a) ) = ) c = (e ) ) c (; e). b a c e Lembre que f 0 (c) é o coe ciente angular da reta secante que passa pelos pontos A e B. Portanto, o ponto em que a tangente a curva é paralela a corda que une os pontos A e B é P (e ; ln (e )). Eemplo 9: Aplique o Teorema de Lagrange para demonstrar a desigualdade > ln ( + ) se > 0. Solução: Como > 0 tomemos um número c tal que 0 < c < : Se f () = ln ( + ) e os etremos do intervalo são a = 0 e b =, então: f 0 (c) = f(b) f(a) ) = ln(+) 0 ) ln ( + ) = : b a c+ 0 c+ Oberve que, <, pois c > 0 ) ln ( + ) < : c+ Com o auílio do estudo das derivadas podemos aprimorar este conceito de função crescente, decrescente ou nula. O próimo teorema esta baseado no teorema do Valor Médio. Teorema : Seja f uma função contínua sobre o intervalo fechado [a; b] e derivável no intervalo aberto (a; b). (i) Se f 0 () > 0, 8 (a; b), então f é crescente em [a; b]; (ii) Se f 0 () < 0, 8 (a; b), então f é decrescente em [a; b]; (iii) Se f 0 () = 0, 8 (a; b), então f é constante em [a; b].

90 Demonstração: Sejam ; [a; b] com <. Como f é contínua em [a; b] e derivável em (a; b), então f é contínua em [ ; ] e derivável em ( ; ), pois [ ; ] [a; b]. Pelo Teorema do valor médio, 9c ( ; ) tal que f 0 (c) = f ( ) f ( ) ) f ( ) f ( ) = f 0 (c) ( ). Observe que > 0, então: (i) Se f 0 (c) > 0, então f ( ) f ( ) > 0 ) f ( ) > f ( ). Logo, pela de nição, f é crescente em [a; b]. (ii) Se f 0 (c) < 0, então f ( ) f ( ) < 0 ) f ( ) < f ( ). Portanto, pela de nição, f é decrescente em [a; b]. (iii) Se f 0 (c) = 0, então f ( ) = f ( ). Dessa forma, pela de nição, f é constante em [a; b]. Geometricamente, no(s) intervalo(s) em que f é crescente, a incilinação da reta tangente à curva em cada ponto é positiva, pois forma com o eio um ângulo agudo ; decrescente, a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto é negativa, pois forma com o eio um ângulo obtuso. E ainda, a reta tangente é paralela ao eio nos pontos em que a derivada é nula. α α 0 4 Eemplo 0: Determinar os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das funções:. f () = 5 5 3 3 ; Solução: O domínio da função f é: Df = R. Temos que: f 0 () = 4 = ( ) ) Df 0 = R. Assim, f 0 () = 0, ( ) = 0 ) = 0 ou =. Os pontos críticos da função são:, 0 e. Analisando o sinal da derivada nos intervalos ( ; ), ( ; 0), (0; ) e (; +), pelo teorema anterior, conclui-se que: f é crescente para ( ; ] [ [; +); f é decrescente para [ ; ].

9 Gra camente, temos que:. f () = + Solução: O domínio da função f é: Df = R f g. Temos que: f 0 () = (+) ) Df 0 = R f g. Observe que f 0 não eiste em =. Assim, f 0 () = 0, (+) = 0 ) = 0 Absurdo! Temos que, f 0 não eiste em =. Como = Df, não pode ser considerado um ponto crítico. Apesar disso, devemos considerá-lo na análise do sinal da derivada. Analisando o sinal da derivada nos intervalos ( ; ) e ( ; +), conclui-se que f é decrescente para ( ; ) [ ( ; +). Gra camente, temos que: 4 3. f () = p ; Solução: O domínio da função f é: Df = [ ; ]. Temos que: f 0 () = p ) Df 0 = ( ; ). Note que f 0 não está de nida em =. Assim, f 0 () = 0, p = 0 ) = 0. Analisando o sinal da derivada somente nos intervalos ( parte do domínio da função, conclui-se que: ; 0) e (0; ), pois fazem f é crescente para ( ; 0]; f é decrescente para [0; ).

9 Gra camente, con rma-se a conclusão acima..0 0.5.0 0.5 0.0 0.5.0 4. f () = 4, se, se >. Solução: O domínio da função f é: Df = R. Temos que: 4, se < f 0 () =, se > ) Df 0 = R fg. Para <, temos que: f 0 () = 0, 4 = 0 ) = 0. O único ponto crítico, neste intervalo, é 0. Analisando o sinal da derivada somente nos intervalos ( que: f é crescente para [0; ]; f é decrescente para ( ; 0]. ; 0) e (0; ), conclui-se Para >, temos que: f 0 () = 0, = 0 Absurdo!!! Logo, não há ponto crítico neste intervalo. Como f 0 () = < 0 para todo >, então f é decrescente para todo (; +). Conclusão: f é crescente para [0; ]; f é decrescente para ( ; 0] [ (; +). Observação: Como uma função f () pode ter valor etremo num ponto no qual a abscissa não pertença ao seu campo de de nição, embora esta abscissa não possa ser considerada como um valor crítico, ao estabelecer os intervalos para a análise do crescimento e decrescimento da função = f () estes valores devem ser considerados, pois são etremos destes intervalos. Nos itens e 3, do eemplo, esta consideração foi feita.

93 4.5 Critérios para determinação dos etremos de uma função Os etremos relativos podem ser vistos como pontos de transição, separando regiões onde o grá co é crescente ou decrescente. Conforme a gura abaio, os etremos relativos de uma função contínua ocorrem ou em bicos (pontos de não-diferenciabilidade) ou em pontos em que a reta tangente é horizontal. Pontos de não diferenciabilidade 0 3 4 5 Os pontos etremos relativos de uma função, se houver, ocorrem em pontos críticos em que f 0 muda de sinal. A seguir, veremos alguns teoremas que estabelecem critérios para determinar os etremos de uma função. Critério da derivada primeira para determinação dos etremos Teorema (Teste da primeira derivada): Seja = f () uma função contínua num intervalo fechado [a; b] que possui derivada em todo o ponto do intervalo (a; b), eceto possivelmente num ponto c. i. Se f 0 () > 0 para todo < c e f 0 () < 0 para todo > c, então f tem máimo relativo em c; ii. Se f 0 () < 0 para todo < c e f 0 () > 0 para todo > c, então f tem mínimo relativo em c; iii. Se f 0 () > 0 para todo < c e f 0 () > 0 para todo > c, então f não tem ponto nem de máimo nem de mínimo relativo em c; iv. Se f 0 () < 0 para todo < c e f 0 () < 0 para todo > c, então f nem de máimo nem de mínimo relativo em c; não tem ponto Demonstração do caso (i): Como f 0 () > 0 para todo (a; c), então f é crescente em [a; c] (por teorema da seção anterior). Analogamente, concluímos que f é decrescente em [c; b]. Portanto, f () < f (c) para todo 6= c em (a; b), então f tem um máimo relativo em c. A demonstração dos casos (ii), (iii) e (iv) é semilar a do caso(i).

94 Podemos concluir deste teorema que: se ao passar pelo ponto crítico da esquerda para a direita o sinal da primeira derivada muda de mais (+) para menos (-) então, em a função tem um valor máimo e se muda de menos (-) para mais (+) então, em a função tem valor mínimo. Eemplo : Determine os valores etremos da função, se eistirem:. f () = 3 6; 3 Solução: O domínio da função f é: Df = R. Temos que: f 0 () = 6 ) Df 0 = R. Assim, f 0 () = 0, 6 = 0 ) = e = 3. Logo, os pontos críticos da função são: e 3. Analisando o sinal da derivada nos intervalos ( ; ), ( ; 3) e (3; +), concluise que: f 0 () > 0 para ( ; ) [ (3; +); f 0 () < 0 para ( ; 3). Pelo teste da primeira derivada conclui-se que: Em =, a função f tem um ponto de máimo em P ; 3 ; 5 Em = 3, a função f tem um ponto de mínimo em P 3;.. f () = 3p 3 ; Solução: O domínio da função f é: Df = [ ; ]. Temos que: f 0 () = p 3 3 ) Df 0 = [ ; 0) [ (0; ]. A função f 0 não está de nida em = 0. Temos que, f 0 () = 0, p 3 3 f 0 () não está de nida em = 0: = 0 ) 3 = ) =, mas = ( ; ). Logo, o único ponto cítico ocorre em = 0. Analisando o sinal da derivada nos intervalos ( ; 0) e (0; ), conclui-se que: f 0 () > 0 para ( ; 0); f 0 () < 0 para (0; ). Pelo teste da primeira derivada conclui-se que, em = 0 a função f ponto de máimo em P (0; ). tem um

95. f () = ( ) 3p ; Solução: O domínio da função f é: Df = R. Temos que: f 0 () = 5 3 3p ) Df 0 = R. Assim, f 0 () = 0, 5 3 3p = 0 ) 5 = 0 ) = 5. f 0 () não está de nida em = 0 Logo, os pontos críticos da função ocorrem em = 0 e = 5. Analisando o sinal da derivada nos intervalos ( ; 0), 0; 5 e 5 ; +, conclui-se que: f 0 () > 0 para ( ; 0) [ 5 ; + ; f 0 () < 0 para 0; 5. Pelo teste da primeira derivada conclui-se que: Em = 0, a função f tem um ponto de máimo em P (0; 0); Em =, a função f tem um ponto de mínimo em P ; 3 5 5 5 q 3 4 5.. f () = ( ) ( + ) 3 ; Solução: O domínio da função f é: Df = R. Temos que: f 0 () = ( ) ( + ) (5 ) ) Df 0 = R. Assim, f 0 () = 0, ( ) ( + ) (5 ) = 0 ) =, = e 3 = 5. Logo, os pontos críticos da função são: e 5. Analisando o sinal da derivada nos intervalos ( ; ), ; 5, 5 ; e (; +), conclui-se que: f 0 () > 0 para ( ; ) [ ; 5 [ (; +); f 0 () < 0 para 5 ;. Pelo teste da primeira derivada conclui-se que: Em =, a função f tem não tem valor máimo nem mínimo; Em = 5, a função f tem um ponto de máimo em P 5 ; 3456 35 ; Em =, a função f tem um ponto de mínimo em P (; 0).

96 Roteiro para determinar os valores etremos o Passo: Determinar o campo de de nição de f; o Passo: Encontrar a primeira derivada; 3 o Passo: Determinar os pontos críticos; 4 o Passo: Analisar o sinal de f 0 (); 5 o Passo: Aplicar o teste da primeira derivada. Critério da derivada segunda para determinação dos etremos Seja = c um valor crítico do domínio de f () tal que f 0 (c) = 0, se eistir a segunda derivada f 00 () e se esta é contínua numa vizinhança de = c podemos então averiguar se f (c) é um valor máimo ou mínimo relativo de f () através da segunda derivada, segundo o teorema seguinte: Teorema 3 (Teste da segunda derivada): Sejam f uma função derivável num intervalo aberto (a; b) e c um ponto crítico de f neste intervalo tal que f 0 (c) = 0, para c (a; b). Se f admite a derivada f 00 em (a; b) e se i. f 00 (c) < 0, então f tem um valor máimo relativo em c; ii. f 00 (c) > 0, então f tem um valor mínimo relativo em c; Demonstração do caso (i ): Por hipótese f 00 (c) eiste e f 00 (c) < 0. Então, pela de nição de derivada segunda, temos que: f 00 f 0 () f 0 (c) (c) = lim < 0.!c c Eiste um intervalo aberto I contendo, contendo c, tal que f 0 () f 0 (c) < 0, 8 I. c Seja A o intervalo aberto que contém todos os pontos I tais que < c. Então, c é o etremo direito do intervalo aberto A: Seja B o intervalo aberto que contém todos os pontos I tais que > c. Então, c é o etremo esquerdo do intervalo aberto B: Como f 0 (c) = 0, concluímos que: se A ) f 0 () > 0; se B ) f 0 () < 0.

97 Pelo teste da primeira derivada, conclui-se que f tem um valor máimo relativo em c. A demonstração de (ii) é análoga. Observação: Se f 00 (c) = 0 ou f 00 (c) não eistir, então o teste da segunda derivada é inconclusivo, isto é, f pode ter um máimo, um mínimo ou nem de máimo nem de mínimo em c. Neste caso, para proceder a análise dos máimos e mínimos devemos recorrer ao critério da primeira derivada. Eemplo : Determine os valores etremos de cada função mediante o critério da segunda derivada.. f () = 3 3 9 + 5; Solução: O domínio da função f é: Df = R. Temos que: f 0 () = 3 6 9 ) Df 0 = R. Assim, f 0 () = 0, 3 6 9 = 0 ) = e = 3. Os pontos críticos da função são: e 3. f f 00 () = 6 6 ) ( ) = < 0 f 00. (3) = > 0 Pelo teste da segunda derivada, conclui-se que: Em =, a função f tem um ponto de máimo em P ( ; 0); Em = 3, a função f tem um ponto de mínimo em P (3; ).. f () = 4 ; Solução: O domínio da função f é: Df = R. Temos que: f 0 () = 4 3 ) Df 0 = R. Assim, f 0 () = 0, 4 3 = 0 ) = 0. O único ponto crítico da função é o 0. f 00 () = ) f 00 (0) = 0. Logo, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Neste caso, recorrendo ao critério da derivada primeira, temos que: f 0 () > 0 para ( ; 0); f 0 () < 0 para (0; +). Conclusão: Pelo teste da primeira derivada, tem-se que em = 0 a função f tem um ponto de máimo em P (0; ).

98 4.6 Concavidade O sinal da derivada de f revela onde o seu grá co é crescente ou decrescente, ele não revela a direção da curvatura. Por eemplo, na próima gura, vê-se que ambos os lados do ponto P o grá co é crescente, mas à esquerda a curvatura está para cima e à direita a curvatura está para baio. Nos intervalos onde o grá co de f tem a curvatura para cima dizemos que f é côncava para cima, e se a curvatura é para baio, dizemos que f é côncava para baio naqueles intervalos. P Côncava para cima Côncava para baio Para funções diferenciáveis,a direção da curva pode ser caracterizada em termos das retas tangentes. Nos intervalos em que f é côncava para cima seu grá co está acima das retas tangentes. Nos intervalos em que f é côncava para baio seu grá co está abaio das retas tangentes. = f ( ) P P = f ( ) a c b f côncava para cima a c b f côncava para baio De nição 5: Se f for diferenciável num intervalo I então: i. f é côncava para cima se f 0 for crescente em I; ii. f é côncava para baio se f 0 for decrescente em I; Observação: Por comodidade, um arco côncavo para cima dizemos apenas côncavo e um arco côncavo para baio dizemos apenas conveo. Para obter os intervalos de concavidade e conveidade, isto é, os intervalos em que f 0 cresce e decresce é através analisando a segunda derivada de f. Teorema 4: Seja f uma função duas vezes diferenciável em um intervalo aberto I = (a; b). Se: i. f 00 ( 0 ) > 0 quando 0 I então, o grá co de f é côncavo sobre I; ii. f 00 ( 0 ) < 0 quando 0 I então, o grá co de f é conveo sobre I. Demonstração: Omitiremos a demonstração tanto de (i) quanto de (ii), faremos apenas algumas considerações:

99 a Este teorema nos diz que se em I a segunda derivada é positiva (caso (i)) ou negativa (caso (ii)) eceto em alguns pontos nos quais ela é zero, então a curva f () é côncava para o caso (i) ou convea para o caso (ii). a Se ocorrer que f 00 () = 0 não só em alguns pontos senão em todo o intervalo I, então f () será uma função linear, onde não faz sentido tratar de concavidade e conveidade. curva. Eemplo 3: Determine os intervalos de concavidade e/ou conveidade da. f () = 3 ; Solução: Temos que: f 0 () = 3 ; f 00 () = 6. Assim, f 00 ( 0 ) = 0, 6 0 = 0 ) 0 = 3. Analisando os intervalos ; 3 e 3 ; +, conclui-se que: f 00 () < 0, 8 ; 3 ) o grá co de f é conveo; f 00 () > 0, 8 3 ; + ) o grá co de f é côncavo.. f () = e ; Solução: Domínio de f: Df = R. Temos que: f 0 () = e ; f 00 () = e ( ) : Assim, f 00 ( 0 ) = 0, e ( 0 ) ) 0 = p. Analisando os sinais da segunda derivada concluímos que: f 00 p p () > 0, 8 ; [ ; + ) o grá co de f é côncavo; f 00 () < 0, 8 p ; p ) o grá co de f é conveo.

00 4.7 Pontos de In eão Quando sobre o grá co de uma função eistir um ponto, no qual o sentido de concavidade pode mudar então, a reta tangente atravessa o grá co neste ponto. Este ponto é chamado ponto de in eão. De nição 6: Um ponto P (c; f (c)) do grá co de uma função contínua f é chamado um ponto de in eão, se eiste um intervalo (a; b) contendo c, tal que uma das situações ocorra: i. f é côncava para cima em (a; c) e côncava para baio em (c; b); ii. f é côncava para baio em (a; c) e côncava para cima em (c; b). f ( c ) P a c b Estabeleceremos agora uma condição necessária para a eistência de pontos de in eão. Teorema 5: Seja f () uma função diferenciável sobre (a; b) onde c (a; b), se P (c; f (c)) é um ponto de in eão do grá co de f () e se eiste f 00 (c), então f 00 (c) = 0. Demonstração: Do fato de P (c; f (c)) ser um ponto de in eão, eiste então um intervalo (a; b) onde c (a; b) tal que: i. f 0 () é crescente sobre (a; c) e decrescente sobre (c; b), ou ii. f 0 () é decrecente sobre (a; c) e crescente sobre (c; b). Do fato que eiste f 00 (c) sabemos que f 0 será contínua em c e considerando o caso (i) concluímos que f 0 (c) é um valor máimo relativo de f 0 () e f 00 (c) = 0. Agora, considerando o caso (ii) concluímos que f 0 (c) é um valor mínimo relativo de f 0 () e f 00 (c) = 0. Estabeleceremos agora uma condição su ciente para a determinação e análise de f () quanto aos pontos de in eão. Teorema 6: Seja f () uma função contínua sobre um conjunto I onde (a; b) I, se c (a; b) tal que f 00 (c) = 0 ou f 00 (c) não eistir e se: i. f 00 () > 0 quando (a; c) e f 00 () < 0 quando (c; b), então P (c; f (c)) é um ponto de in eão do grá co de f (); ii. f 00 () < 0 quando (a; c) e f 00 () > 0 quando (c; b), então P (c; f (c)) é um ponto de in eão do grá co de f ();

0 iii. f 00 () < 0 quando (a; c) e f 00 () < 0 quando (c; b) (ou f 00 () < 0 quando (a; c) e f 00 () < 0) então P (c; f (c)) não é um ponto de in eão do grá co de f (). Demonstração do caso (i): Como f 00 () > 0 para (a; c), pelo teorema 4 (i) o grá co da curva f () é côncavo sobre (a; c) e como f 00 () < 0 para (c; b), pelo teorema 4 (ii) o grá co da curva é conveo sobre (c; b). Assim, o ponto P (c; f (c)) onde pela de nição 3 é um ponto de in eão do grá co de f () sobre (a; b). A demonstração dos caos (ii) e (iii) é análoga. Roteiro para determinar os pontos de in eão do grá co de f o Passo: Determinar f 00 (); o Passo: Determinar c tal que f 00 (c) = 0 e/ou f 00 (c) não eista; 3 o Passo: Analisar o sinal de f 00 () conforme o teorema 6. Eemplo 4: Determine os intervalos de concavidade e/ou conveidade bem como os pontos de in eão da curva.. f () = 3 6 + + 4; Solução: Temos que: f 0 () = 3 + ; f 00 () = 6. Determinando os possíveis pontos de in eão: f 00 ( 0 ) = 0, 6 0 = 0 ) 0 =. Analisando os intervalos ( f 00 () < 0, 8 ( ; ) e (; +), conclui-se que: ; ) ) o grá co de f é conveo; f 00 () > 0, 8 (; +) ) o grá co de f é côncavo. Portanto, como há mudança de concavidade em =, este ponto é um ponto de in eão.. f () = ln ; Solução: Domínio de f: Df = R +. Temos que: f 0 () = ; f 00 () = ) Df 00 = R +. Determinando os possíveis pontos de in eão: f 00 ( 0 ) = 0, = 0 ) = 0. Absurdo!

0 Como f 00 ( 0 ) = 0 não ocorre para nenhum valor de, então o único ponto a ser analisado é o ponto em que f 00 não está de nida, ou seja, = 0. Como f 00 () < 0, 8 (0; +) então o grá co de f é conveo. Portanto, como não há mudança de concavidade em = 0 então não eiste ponto de in eão. 3. f () = ( ) 3 ; Solução: Domínio de f: Df = R. Temos que: f 0 () = 3 ( ) 3 ; f 00 () = 9 ( ) 5 3 ) Df 00 = R fg. Determinando os possíveis pontos de in eão: f 00 ( 0 ) = 0, 9 ( ) 5 3 = 0 ) = 0. Absurdo! Como f 00 ( 0 ) = 0 não ocorre para nenhum valor de, então o único ponto a ser analisado é o ponto = pois neste ponto f 00 não está de nida. Analisando os intervalos ( f 00 () > 0, 8 ( ; ) e (; +), conclui-se que: ; ) ) o grá co de f é côncavo; f 00 () < 0, 8 (; +) ) o grá co de f é conveo. Portanto, como há mudança de concavidade em =, o ponto P (; 0) é um ponto de in eão. 4. f () = sin ; Solução: Domínio de f: Df = R. Temos que: f 0 () = cos ; f 00 () = sin ) Df 00 = R. Determinando os possíveis pontos de in eão: f 00 ( 0 ) = 0, sin = 0 ) = n, com n Z Analisando alguns intervalos, temos que:. Se < <, f 00 () < 0 ) o grá co de f é conveo; Se < < 0, f 00 () > 0 ) o grá co de f é côncavo; Se 0 < <, f 00 () < 0 ) o grá co de f é conveo; Se < < : : :, f 00 () > 0 ) o grá co de f é côncavo;

. Como há mudança de concavidade em : : :, 0,, : : :, os pontos P ( ; 0), P (0; 0), P 3 (; 0) : : : são pontos de in eão. Portanto, cada ponto de f onde = n, com n Z é um ponto de in eão. 5. f () = 3 + ; Solução: Domínio de f: Df = R. Temos que: f 0 () = 4 +36 ( +) ; f 00 () = 4(36 ) ( +) 3 ) Df 00 = R. Determinando os possíveis pontos de in eão: f 00 ( 0 ) = 0, 4(36 ) ( +) 3 = 0 ) 4 (36 ) = 0 ) = 0 ou = 6. Analisando os intervalos, temos que: 8 ( ; 6), f 00 () > 0 ) o grá co de f é côncavo; 8 ( 6; 0), f 00 () < 0 ) o grá co de f é conveo; 8 (0; 6), f 00 () > 0 ) o grá co de f é côncavo; 8 (6; +), f 00 () < 0 ) o grá co de f é conveo Portanto, como há mudança de concavidade em 6, 0 e 6 os pontos P 6; 9, P (0; 0) e P 3 6; 9 são pontos de in eão. 4.8 Assíntotas do grá co de uma função Em aplicações práticas, encontramos com muita frequência grá cos que se aproimam de uma reta à medida que cresce ou decresce. Essas retas são chamadas de assíntotas. Veja alguns eemplos: De nição 7: Seja = f () uma função, A (; f ()) um ponto do grá co de f () e r uma reta, quando a distância d entre a reta e o ponto A tende a zero enquanto o ponto A tende ao in nito, esta reta r é dita assíntota da curva. 03

04 As assíntotas podem ser classi cadas como assíntotas verticais e oblíquas, como veremos a seguir. 4.8. Assíntotas Verticais De nição 8: A reta = a é uma assíntota vertical do grá co de = f () se pelo menos uma das seguintes a rmações for verdadeira: i. lim!a +f () = +; ii. iii. iv. lim!a +f () = ; lim!a lim!a f () = +; f () =. função: Eemplo 5: Determine, se eistir(em), as assíntotas verticais de cada. f () = 5 Solução: Geometricamente, observe que: lim!5 +f () = + e lim f () = +.!5 4 0 4 5 0 Portanto, pela de nição 5, segue que a reta = 5 é uma assíntota vertical.. f () = tan. Solução:

05 As assíntotas verticais da função f () = tan = sin correspondem as retas cos = (k + ) com k Z, pois nestes pontos cos 6= 0. Geometricamente, observe que: lim f () = e lim!(k+) +!(k+) f () = +. 4 4 4.8. Assíntota Oblíquas De nição 6: A curva f () tem uma assíntota oblíqua, cuja equação é da forma = k + b, onde os valores dos coe cientes k e b, se eistirem os limites: Observações: k = lim! f () e b = lim! (f () k). i. Se um dos limites acima não eistir, então a curva não tem assíntota oblíqua. ii. Se k = 0 e b eistir, então a equação da assíntota será = b e é chamada de assíntota horizontal.. f () = ; Eemplo 6: Escreva as equações de todas as assíntotas, em cada caso: Solução: Domínio de f: Df = R. Candidata a assíntota vertical: = 0. Como lim!0 +f () = + e lim f () =, pela de nição 5, conclui-se que = 0!0 é uma assíntota vertical. Se eiste(m) assíntota(s) oblíquas, elas são da forma = k + b. Veri quemos se é possível determinar os coe cientes k e b. Temos que: f() k = lim! b = lim = lim = 0;! (f () k) = lim = 0.!! Como k = 0 e b eiste, então a assíntota oblíqua é a reta = 0. Conclusão:

06 assíntota vertical: = 0; assíntota horizontal: = 0.. f () = + ; Solução: Domínio de f: Df = R. Candidata a assíntota vertical: = 0. Como lim f () = + e lim!0!0 +f () =, pela de nição 5, conclui-se que = 0 é uma assíntota vertical. Se eiste(m) assíntota(s) oblíquas, elas são da forma = k + b. Determinando, se possível, os coe cientes k e b. Temos que: f() k = lim! = lim! + = ; b = lim (f () ) = lim + = lim =.!!! Como k = e b eiste, então a assíntota oblíqua é a reta = +. Conclusão: assíntota vertical: = 0; assíntota oblíqua: = +. 5 4 4 3. f () = e sin +. Solução: Domínio de f: Df = R. Como eiste o limite lim!a f () = e a sin a + a entãonão há assíntota vertical, pois não satisfaz as condições da de nição 5. Se eiste(m) assíntota(s) oblíquas, elas são da forma = k + b. Determinando, se possível, os coe cientes k e b. Temos que: k = lim ) k = f()! lim! = lim e e sin +! lim sin! = lim e lim!! + sin + lim!

07 Como a função sin é periódica, lim! sin não eiste, mas sabemos que sin, ou seja, esta função é limitada. Podemos representar então que lim! sin = m. Assim, segue que: se! +, então: k =. f() se!, então não eiste k, pois k = lim =.! Dessa forma, para! +, temos que: b = lim (f () ) = lim (e sin ) = lim e lim (sin ) = 0.!+!+!+!+ Como k = e b eiste, então a assíntota oblíqua é a reta =. Conclusão: assíntota vertical: @; assíntota oblíqua: =. 0 4 4 0 Esquema Geral Para Analisar Funções e Construir Grá cos O grá co de uma função é construído baseado na investigação. Segundo as análises realizadas nos itens anteriores, podemos estabelecer um método prático que o resumimos nos seguintes passos: o Passo: Determinar o campo de de nição da função; o Passo: Encontrar os pontos críticos de f; 3 o Passo: Análise dos sinais de f 0, para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f; 4 o Passo: Determinar os pontos de máimos e/ou mínimos, se eistirem (usa-se teste da primeira derivada ou teste da segunda derivada); 5 o Passo: Calcular os possíveis pontos de in eão; 6 o Passo: Determinar os intervalos de concavidade, conveidade e pontos de in eão; 7 o Passo: Determinar as equações de todas as assíntotas; 8 o Passo: Construir o grá co.

08 Eemplo 7: Analise e contrua o grá co de cada uma das funções abaio:. f () = + ; Solução: ) Domínio: R; ) Determinando os pontos críticos: f 0 () = (+ ) : Observe que, f 0 está de nida 8 R. f 0 () = 0, (+ ) = 0 ) =. 3) Analisando os sinais de f 0, tem-se que: f é crescente 8 [ ; ] ; f é decrescente 8 ( ; ] [ [; +) : 4) Pelo teste da a derivada conclui-se que: f tem um ponto de mínimo em P ; ; f tem um ponto de máimo em P ;. 5) Determinando os pontos de in eão: f 00 () = ( 3) (+ ) 3 ; Note que, f 00 está de nida 8 R. f 00 ( o ) = 0, 0( 3) 0 = 0 (+ 0) 3 ) o = 0 ou o = p 3. 6) Analisando os sinais de f 00 ; tem-se que: f é côncava 8 f é convea 8 ; p 3; 0 [ p 3; + ; p 3 [ 0; p 3. p3; p Dessa análise, conclui-se que os pontos A 3 p3; p, A 4 (0; 0) e A 3 3 4 são pontos de in eão de f. 7) Determinando as assíntotas: verticais: lim!a f () = lim!a (4 3 5 + ) = 4a 3 a 5 + Logo, não há assíntotas verticais. oblíquas: = k + b, onde

09 f() k = lim = lim! = 0;! + b = lim (f () 0) = lim = 0.!! + Portanto, = 0 é assíntota oblíqua. 8) Construção do grá co: 0.5 6 4 4 6 0.5. f () = 3 9 + 4 7; Solução: ) Domínio: R; ) Determinando os pontos críticos: f 0 () = 3 8 + 4; Domínio de f 0 : Df 0 = R; f 0 () = 0, 3 8 + 4 = 0 ) = e = 4. 3) Analisando os sinais de f 0, tem-se que: f é crescente 8 ( ; ] [ [4; +); f é decrecente 8 [; 4]. 4) Pelo teste da a derivada conclui-se que: f tem um ponto de máimo em P (; 3); f tem um ponto de mínimo em P (4; 9). 5) Determinando os pontos de in eão: f 00 () = 6 8; Domínio de f 00 : Df 00 = R; f 00 ( o ) = 0, 6 0 8 = 0 ) o = 3. 6) Analisando os sinais de f 00 ; tem-se que: f é convea 8 ( ; 3) ; f é côncava 8 (3; +) : Portanto, o pontos A (3; ) é o ponto de in eão de f. 7) Determinando as assíntotas: verticais: lim!a f () = a 3 9a + 4a 7.

Logo, não há assíntotas verticais. oblíquas: = k + b, onde f() k = lim = lim!! 7 9 + 4 = +; Portanto, como não eiste k então não há assíntota oblíqua. 8) Construção do grá co: 0 0 0 4 6 8 3. f () = 3p ; ) Domínio: R f ; g; ) Determinando os pontos críticos: f 0 () = 3 3 3p ( ) 4 : Observe que, f 0 não está de nida em =. f 0 () = 0, 3 3 3p ( ) 4 = 0 ) = p 3. Pontos a serem considerados na análise dos sinais de f 0 : = e = p 3. 3) Analisando os sinais de f 0, tem-se que: f é crescente 8 ; p 3 [ p 3; + ; f é decrecente 8 p 3; [ ( ; ) [ ; p 3. 4) Pelo teste da a derivada conclui-se que: f tem um ponto de máimo em P p3; p 3 3p ; em = 0, f não tem ponto nem de máimo nem de mínimo; f tem um ponto de mínimo em P p3; p 3 3p. Comentário: Observe que, pelo teste da a derivada somos levados a concluir que em =, f não tem pontos nem de máimo nem mínimo. Deve-se tomar cuidado com essa conclusão, pois estes pontos cujas abcissas são nem fazem parte do domínio da função. Portanto, não poderão ser pontos de máimos e/ou mínimos. 5) Determinando os pontos de in eão: f 00 () = (9 ) 9 3p ( ) 7 ; 0

Note que, f 00 não está de nida em =. f 00 ( o ) = 0, 0(9 0) 9 3 q ( 0 ) 7 = 0 ) o = 0 ou o = 3. os pontos a serem analisados são: 0, e 3. 6) Analisando os sinais de f 00 ; tem-se que: f é côncava 8 ( ; 3) [ ( ; 0) [ (; 3); f é convea 8 ( 3; ) [ (0; ) [ (3; +). Logo, os pontos A 3; 3, A (0; 0) e A 3 3; 3 são pontos de in eão de f. Em =, apesar do valor da ordenada correspondente não estar de nida, pois f não é de nida nestes pontos, também há mudança de concavidade. Portanto, também são pontos de in eão. 7) Determinando as assíntotas: verticais: As retas candidatas a serem assíntotas verticais são =. Veri cando se realmente essas retas são assíntotas verticais. ( lim lim f () )! +f () = +! lim f () = ; lim f () )!! ( lim! lim! Logo, as retas = e = k = +f () = + f () =. oblíquas: = k + b, onde f() lim = lim! 3p = 0;! são assíntotas verticais. b = lim (f () 0) = lim 3p = +.!! Portanto, não eiste assíntota oblíqua. 8) Construção do grá co:

Eemplo 8: Seja f um função contínua para todo real. Sabe-se f (0) = 0, f (6) = 0 e que o grá co de f possui a reta = + como assíntota oblíqua para!. Usando as informações que podem ser etraídas dos grá cos da primeira e da segunda derivada de f, que estão abaio ilustrados, esboce o grá co da função f. Justi que seu raciocínio com argumentos consistentes. 5 5 4 4 6 8 5 4 6 8 5 Solução: Dados: = f 0 () = f 00 (). Domínio de f : Df = R; f (0) = 0 e f (6) = 0; a reta = + é assíntota oblíqua para! ; O grá co da primeira derivada nos fornece as seguintes informações: a f 0 não eiste em = 0 e em = 6 ) os pontos P (0; f (0)) e P (6; f (6)) são pontos críticos; f 0 (4) = 0 ) o ponto P 3 (4; f (4)) é um ponto crítico; f 0 () < 0; 8 ( ; 0) [ (4; 6) [ (6; +) ) f é uma função decrescente 8 ( ; 0] [ [4; +) f6g ; f 0 () > 0; 8 (0; 4) ) f é uma função crescente 8 [0; 4] ; pelo teste da primeira derivada: o ponto P é um ponto de mínimo relativo; o ponto P não ponto de máimo nem de mínimo relativo; e, o ponto P 3 é um ponto de máimo relativo. O grá co da segunda derivada nos fornece as seguintes informações: a f 00 não eiste em = 0 e em = 6 ) os pontos P (0; f (0)) e P (6; f (6)) são candidatos a pontos de in eão; f 00 () 6= 0 para todo real; f 00 () < 0; 8 ( ; 0) [ (0; 6) ) f é uma função convea 8 ( ; 0) [ (0; 6); f 0 () > 0; 8 (6; +) ) f é uma função côncava 8 (6; +) ; A partir destas informações, temos que um esboço do grá co de f é:

3 5 4 4 6 8 0 4 5 0 Eemplo 9: Seja f uma função contínua em R cujo grá co de sua primeira derivada está ilustrado na gura abaio. f. Sabendo que f (0) = 4 e que lim (f () ) =, esboce o grá co da função Solução: Pelo grá co de f 0, temos que: f 0 () > 0, 8 ( ; 0) [ (; +) ) f é crescente 8 ( ; 0] [ [; +) ; f 0 () < 0, 8 (0; ) ) f é decrescente 8 [0; ] ; fé decrescente 8 ( ; ] ) f é convea 8 ( ; ) ; fé crescente 8 [ ; ) f0g ) f é côncava 8 ( ; ) f0g ; Como lim (f () ) = ; concluímos que a reta = + é asíntota oblíqua de f para! : Pelas informações acima, segue que um esboço para o grá co da função f é: 4

4 4.9 Aplicações da Teoria dos Máimos e Mínimos de Funções na Solução de Problemas Os problemas de determinação de valores máimos e mínimos se encontram entre as aplicações mais comuns do Cálculo Diferencial e Integral I. Certamente, você já deve ter ouvido falar em lucro máimo, custo mínimo, tempo mínimo, diferença de potencial máimo, tamanho ótimo, potência máima ou distância máima. A teoria desenvolvida para a determinação de etremos de funções pode ser aplicada na resolução de tais problemas. Estes, podem ser enunciados por escrito e podem ser resolvidos sempre que for possível equacionar o fenômeno em estudo, mediante fórmulas matemáticas. Vejamos eemplos nesse sentido. Eemplo 0: A diferença de dois números é a. Determine esses números para que o seu produto resulte o menor possível. Solução: Sejam e os números tais que = a ) = a +. () Seja P a função produto de nida por P = : () Substituindo () em (), temos que: P = (a + ) = + a, com R: Determinando os pontos críticos: P 0 () = + a ) P 0 () = 0 () + a = 0 ) = a: Logo, o único ponto crítico é em = a: Aplicando o teste da segunda derivada: P 00 () =. P 00 a = > 0: Portanto, = a minimiza o produto. Substituindo em (), conclui-se que: = a e = a. Eemplo : Um pacote pode ser enviado pelo reembolso postal desde que a soma de seu comprimento mais o perímetro de sua base não eceda m. Determine as dimensões do pacote de volume máimo que pode ser enviado, se a base é quadrada. Solução: Sejam V : volume do pacote (m 3 ); a : lado da base (m); c : comprimento (m). c a a Objetivo: Determinar as dimensões a e c que minimizam o volume do pacote. Sabemos que a soma de seu comprimento mais o perímetro de sua base (que é quadrada) não pode eceder m, ou seja,

5 c = 3 : c + 4a = ) c = 4a: () O volume do pacote é V = a :c ) V = a ( 4a) = a 4a 3, com a 0; : Determinando os pontos críticos: V 0 (a) = 0 ) 4a (3a ) = 0 () a = 0 ou a = 3. Como 0 = 0;, o único ponto crítico é em a = 3. Aplicando o teste da segunda derivada: V 00 (a) = 4 4a ) V 00 3 < 0: Portanto, a = 3 maimiza o volume do pacote. Assim, por (), segue que Eemplo : Uma janela consiste de um retângulo com um semicírculo em cima e deve ter um perímetro P. Determine o raio do semicírculo para que a área da janela seja máima. Solução: Sejam P : perímetro da janela; A : área da janela; r : raio do semicírculo; h : altura do retângulo; r h Objetivo: Determinar r para que a área da janela seja máima. Para tanto, devemos determinar r que maimize a área da janela. A área da janela é 0; P 4+ : A =(área do retângulo) + (área do semicírculo) ) A = rh + r () O perímetro da janela é P = h + r + r = h + r + r ) h = P r(+) () Substituindo () em (), temos que: A = r P r(+) + r = P r r r = r (4r P + r), com r Como a área é uma função contínua e o intervalo é fechado então eiste etremo absoluto neste intervalo. Determinando os pontos críticos: A 0 (r) = P r 4r ) Vc 0 (r) = 0 () P r (4 + ) = 0 ) r = P Logo, o único ponto crítico é r = P : 4+ Aplicando o teste da segunda derivada: A 00 (r) = 4 A 4+ 00 P = 4 < 0: Portanto, r = P 4+ maimiza a área da janela. Eemplo 3: Deve-se construir um tanque para armazenamento de um gás propano em forma de um cilindro circular reto com dois hemisférios nas etremidades. O custo do metro quadrado dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica. Se a capacidade do tanque deve ser de m 3, que dimensões minimizaram o custo da construção? Solução: Sejam 4+ :

6 tanque em dimensões C : função custo; r : raio do hemisfério raio do cilindro; h : altura do cilindro. r Objetivo: Determinar as dimensões r e h que minimizam o custo na contrução do tanque. Como o custo está associado com a área lateral, temos que: C = [área de uma esfera( área de hemisférios)] + (área lateral do cilindro) ) C = (4r ) + rh = 8r + hr: () O volume total do tanque é dado por V = (volume de uma esfera) + (volume de um cilindro) V = 4 3 r3 + r h: Como V = m 3, temos que = 4 3 r3 + r h ) h = 4 r 3 r: () Substituindo () em (), temos que: C = 8r + 4 r r = 4 + 6 r 3 r 3 r, com r (0; +) : Determinando os pontos críticos: q C 0 (r) = 4 + 3r ) C 0 (r) = 0 () r = 3 9 : r 3 4 Aplicando o teste da segunda derivada: C 00 (r) = 48 + 3 ) C 00 3 r 3 3 q Portanto, r = 3 9 4 r () para obter h: h q 9 4 > 0: minimiza a área da janela. Basta substituir este valor de Eemplo 4: Dado o volume V de um cilindro, quais devem ser as suas dimensões para que seja mínima a área total? Solução: Interpretação geométrica: r h Objetivo: Determinar r e h para que a área do cilindro seja mínima. A área do cilindro é A =(área do retângulo) + ( área do círculo) ) A = r + rh () Sabemos que o volume do cilindro é V, assim: V = r h ) h = V () r Substituindo () em (), temos que: A = r + V = r r + V r, com r (0; +) : Determinando os pontos críticos:

7 A 0 V (r) = r r ) A 0 V (r) = 0 () r r = 0 ) q r = 3 V : Aplicando o teste da segunda derivada: A 00 (r) = + V q A 00 3 V = > 0: q Portanto, r = 3 V minimiza a área da janela. Logo, as dimensões são r 3 r = 3 r V e h = 3 r V. Eemplo 5: A distância percorrida (no vácuo), por um projétil, lançado com uma velocidade v 0 desde uma canhão de artilharia com ângulo de elevação é dada por = v 0 sin(). Determine para que seja máima. g Solução: Sabemos que a distância percorrida por um projétil é dada por = v 0 sin () : g Consideremos 0;. Determinando os pontos críticos: 0 () = v 0 cos() ) 0 () = 0 () v 0 cos() g g = 0 ) = : 4 Aplicando o teste da segunda derivada: 00 () = 4v 0 sin() g A 00 4v 4 = 0 < 0: g Portanto, = é o ângulo de elevação cujo alcance será o máimo possível. 4 Logo, para = 4 temos que = v 0 g. Eemplo 6: Uma estação de rádio fez um levantamento dos hábitos dos ouvintes entre 7hs e meia-noite. A pesquisa mostra que a porcentagem de adultos sintonizados na estação horas após as 7hs é f () = ( 8 3 + 7 08 + 40). Em que instantes, entre 7hs e meia-noite, eistem mais e menos ouvintes sintonizados na estação? Qual é a porcentagem de ouvintes nestes momentos? Solução: Objetivo: Determinar que maimiza e minimiza a função f. Como a pesquisa mostra que a porcentagem de adultos sintonizados na estação horas após as 7hs é f () = ( 8 3 + 7 08 + 40), temos que [0; 7]. Determinando os valores críticos: f 0 () = 3 4 ( 9 + 8) ) f0 () = 0, = 3 ou = 6. Aplicando o teste da segunda derivada, temos que: f f 00 () = 3 ( 9) ) 00 (3) > 0 é um ponto de mínimo relativo 4 f 00 (6) < 0 é um ponto de máimo relativo. Como f é uma função contínua em no intervalo fechado [0; 7], pode ser que os máimos e mínimos estejam nos etremos. Analisando o valor da função nos etremos e nos pontos críticos, temos que:

8 f (0) = 40 = 30% f (6) = 33 = 6: 5% 8 f (3) = 05 = 3: 5% f (7) = = 5: 5% 8 8 Conclusão: Às 7hs ( = 0), o maior número de adultos está sintonizado na rádio; corresponde a 30% dos ouvintes: Às 0hs ( = 3), o menor número de adultos está sintonizado na rádio; corresponde a 3% dos ouvintes:

9 4.0 Eercícios. Em cada caso, eamine se as funções satisfazem as condições e veri cam o Teorema de Rolle. (a) f () = + sobre o intervalo ; ; 3p (b) f () = sobre o intervalo [ ; ]; (c) f () =tg() sobre o intervalo [0; ]; (d) f () = ( ) ( ) ( 3) sobre o intervalo [; 3]; (e) f () = sin () sobre o intervalo [0; ].. Sabendo que f () = 4 3 4 + tem raízes e, pelo teorema de Rolle para veri car é possível a rmar que a derivada tem alguma raiz entre e? Justi que. 3. Em cada caso, eamine se as funções satisfazem as condições e veri cam o Teorema deo Valor Médio (de Lagrange). (a) f () = 3p 5 + 6 sobre o intervalo [ 3; 4]; 5p (b) f () = 4 sobre o intervalo [0; ]; (c) f () = 4 3 sobre o intervalo [ ; ]; (d) f () = sin sobre o intervalo [0; ]; (e) f () = sobre o intervalo [ ; ]; (f) f () = sobre o intervalo [0; ]. ( ) 4. Através do teorema de Rolle é possível a rmar que a função f () = j3 j possui um ponto crítico no intervalo [; 5]? Justi que. 5. Use algum dos teoremas estudados para determinar em que ponto da curva f () = 3 a reta normal a esta curva é perpendicular a reta que passa pelos pontos A (; ) e B (0; ). 6. Utilize o Teorema de Lagrange para demonstrar as desigualdades: (a) e +, para 0; (b) arctg() <, para > 0; (c) b n a n < nb n (b a), para b > a, n N; (d) jsin sin j j j, para e R.

0 ( 3, se = 0 7. Para que valores de a, m e b a função f () = + 3 + a, 0 < < m + b, se o teorema do Malor Médio no intervalo [0; ]? satisfaz 8. Em que ponto da curva f () = n a tangente a curva é paralela a corda que une os pontos A (0; 0) e B (a; a n )? 9. Seja g a função de nida por g () = p 4. (a) Usando um dos teoremas estudados, determine o ponto em que a reta normal à curva = g () também é normal a reta que passa pelos pontos A ( ; 0) e B (0; ). (b) A função = f () = p 6 4 :g 0 (), veri ca o teorema de Rolle entre as raízes da função g? Justi que. 0. Seja p () = A + B + C, onde A, B e C são constante reais e A 6= 0. Mostre que para qualquer intervalo [a; b], o valor de c cuja eistência é garantida pelo Teorema de Lagrange, é o ponto médio do intervalo.. A rma-se que f (0) = 3 e f 0 () 5, para todo real, então pelo Teorema do Valor Médio (ou de Lagrange) o maior valor possível para f () é 7. Pergunta-se: é verdade? Justi que.. Em cada caso, determine os intervalos onde f () é crescente e decrescente bem como todos os pontos de valor máimo e mínimo:. f () = ( 8)(+) ;. f () = + ; 3. f () = + sin ; 4. f () = ln ; 5. f () = arcsin ( + ); 6. f () = e + ; 7. f () = e ; 8. f () = 6 (4 ) ; 9. f () = 3 ; 0. f () = sin + cos (); +3 ( )(8 ). f () = ;. f () = cos ; 3. f () = p. 3. Em cada caso, determine todos os intervalos de concavidade e conveidade bem como os pontos de in eão. a. f () = cos ; b. f () = sin ; c. f () = ( + ) 4 ; d. f () = 3p a 3 ; e. f () = e. 4. Em cada caso, determine a equação de todas as assíntotas: a. f () = p ; b. f () = ; ( ) c. f () = ; d. f () = + 4+3 e. f () = + e ; f. f () = ln ( + ); g. f () = e ; h. f () = sin. p +9 ;

5. Faça a análise e construa o grá co de cada uma das funções:. f () = ln ;. f () = 6 4 ; 9 3. f () = 4 3 ; 4. f () = 4 4 ; 5. f () = 3p 3 ; 6. f () = e ; 7. f () = e + ; 8. f () = e ; 9. f () =sen(); 0. f () = ( ) ;. f () = e ;. f () = + ; 3. f () = cosh (); 4. f () = + + e ; 5. f () = e ; 6. f () = + ; 7. f () = p ; 8. f () = + ; 9. f () = 6 3 3 + ; 0. f () = ( ) e ;. f () = p + p p ;. f () = 3. f () = 3p e ; 4. f () = 3 + ( + ) 3 5 ; 5. f () = e ; 6. f () = e + e ; 7. f () = + ln ; 8. f () =cotg(), 8 ( ; ) 9. f () = sec (), 8 ( ; ); 30. f () =arctg(); 3. f () = ln (cos ()), 8 (0; ) 3. ; 6. Dada a função f () = ln ( + ), eplique, usando o Teorema de Rolle, porque é possível a rmar que eiste um possível ponto de in eão no grá co da curva de = f (), no intervalo ;. 7. Seja f () = a 3 + b c + d uma função. (a) Determine uma relação entre as constantes a, b, c e d para que f () tenha pontos críticos em = 0 e =. (b) Se a > 0 em qual dos pontos críticos a função terá máimo e/ou mínimo? 8. Considere a função f () = 8 + 7 8 6 + 5 4 + 3 + 4. A rma-se que no intervalo (0; ) esta função tem pelo menos um ponto crítico. Pergunta-se: é verdade? Justi que sua resposta. 9. Determinar os coe cientes a e b de forma que a função f () = 3 + a + b tenha um etremo relativo no ponto ( ; ). 0. Esboce o grá co da função f () que satisfaz as seguintes condições: i. f (0) = ; ii. = é uma assíntota horizontal de f;

iii. f não possui assíntota vertical. iv. f 0 () > 0 para todo ( ; ) [ (; +) ; v. f 0 () < 0 para todo ( ; ) ; p p vi. f 00 () > 0 para todo ; 3 [ 0; 3 ; p p vii. f 00 () < 0 para todo 3; 0 [ 3; + : Determine os pontos de máimo(s) e/ou mínimo(s) e o(s) ponto(s) de in eão. Justi que cada um desses itens.. Construa o grá co de uma função que satisfaz as seguintes condições: f 0 ( ) = f 0 () = 0; f 0 () < 0 se jj < ; f 0 () > 0 se < jj < ; f 0 () = se jj > ; f 00 () < 0 se < < 0; o ponto P (0; ) é um ponto de in eão.. Considere o grá co da função abaio: 4 6 4 4 6 4 Faça a análise grá ca de f, observando, se eistir(em), assíntota(s) vertical(is), assíntota(s) horizontal(is), os intervalos em que f 0 () > 0 e f 0 () < 0, os intervalos em que f 00 () > 0 e f 00 () < 0, pontos de máimo(s) e/ ou mínimo(s) relativos e o(s) ponto(s) de in eão. Justi que cada item. 3. Sabe-se que f é uma função contínua em R. Construa o grá co de f de tal forma que sua primeira e sua segunda derivada apresentem o comportamento abaio ilustrado 6 4 4 6 = f 0 () 4 4 = f 00 () 4. Construa o grá co de uma função contínua em R que satisfaz as seguintes condições: i. f 0 () > 0 se jj < ; f 0 () < 0 se jj > ; f 0 () = 0; ii. lim f () = e f ( ) = f () ;!+ iii. f 00 () < 0 se 0 < < 3; iv. P (3; f (3)) é ponto de in eão.

3 5. Esboce o grá co de função f, contínua em R, sabendo que grá co da primeira derivada de f está abaio ilustrado. = f ' ( ) 3 3/ 4 6 6. A resistência de uma viga retangular é diretamente proporcional ao produto de sua largura pelo quadrado de sua altura da secção transversal. Determine as dimensões da viga mais resistente que pode ser cortada de um toro cilíndrico de raio a. h a b seção transversal 7. Quer-se construir uma residência retangular que tenha 36 m de área. Quais devem ser as dimensões para que seu perímetro seja o menor possível? 8. Tem-se um terreno retangular de 438 m de área. Pretende-se murá-lo e sabe-se que o vizinho de um dos lados paga a metade do muro que faz limite com sua propriedade. Para tanto, quais devem ser as dimensões deste terreno para que se gaste o mínimo possível ao murá-lo? 9. Dentre todos os retângulos de área 49 cm, qual tem perímetro mínimo? 30. Um fazendeiro tem 4 m de cerca para construir três chiqueiros retangulares adjacentes (de mesma área), conforme gura. Quais devem ser as dimensões totais dos chiqueiros de modo a maimizar sua área total? 3. Num sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto de altura h e raio r uma semi-esfera também de raio r. Deseja-se que a área da superfície do sólido seja de 5. Determine os valores de r e h para que o sólido tenha volume máimo. 3. Num arame de comprimento L é cortado em dois pedaços, sendo que um pedaço é dobrado em forma de quadadro cujo lado é `, e o outro pedaço é dobrado em forma de circulo cujo raio é R. Como devemos cortar o arame para que a soma das áreas englobadas pelos dois pedaços seja máima? (Considere L = m:)

4 33. Há várias semanas, o Departamento de Estradas vem registrando velocidade do tráfego uindo numa rodovia após uma saída. Os dados sugerem que a velocidade do tráfego na saída é aproimadamente f (t) = t 3 0; 5t + 30t + 0 km=h, onde t é o número de horas após o meio dia. A que horas entre 5 : 00 e 8 : 00 hs, o tráfego se move mais rápido, e a que horas ele se move mais lentamente? 34. Considere três números positivos tais que sua soma é 5. Sabendo-se que o dobro do primeiro mais três vezes o segundo, mais quatro vezes o terceiro é 45, determine então esses números de modo que o produto dos três seja o maior possível. 35. Determine o comprimento da maior vara que pode ser transportada horizontalmente, através das quina de um corredor de m de largura, para outro de 4 m de largura. m 4 m 36. Considere o retângulo, da gura, cujo perímetro é 6. Determine os lados do retângulo para que a área do trângulo ABC seja a maior possível. B A b a C 37. Determine, se eistir, um número positivo tal que a soma de seu cubo com 4 vezes o inverso de seu quadrado seja o menor possível. 38. Considere um semi-círculo de raio. Determine: (a) as dimensões do retângulo com máima área que seja inscrito neste semicirculo; (b) a área deste retângulo. 39. Quer-se contruir um galpão retangular com área de :00 m. Eige-se que eista um espaço livre de 5 m na frente, 0 m nos fundos e m em cada lado. Determine as dimensões do terreno que tenha área mínima, na qual possa ser contruído este galpão.

5 40. Quer se pendurar um peso mediante um o em forma da gura a abaio ilustrada, a 6 metros abaio de uma viga AB. Sabe-se que a distância entre os pontos A e B é de 8 m. Calcular o comprimento mínimo do o a ser empregado. A B 4. Um recipiente com a forma de um paralelepípedo de base quadrada tem um volume de :000 cm 3. Sabendo-se que o custo da base e da tampa é o triplo do custo dos lados, determine as dimensões do recipiente de menor custo possível. 4. Duas cidades estão localizadas ao sul de um rio, distantes 0 km, conforme a gura. Uma estação bombeadora de água será instalada para servir as duas cidades. A tubulação seguirá as retas que ligam cada cidade à estação. De na o ponto onde a estação bombeadora deve ser instalada para minimizar o custo da tubulação. N 0km S km A estação 5 km B 43. Determine as dimensões de um cilindro reto inscrito em uma esfera de raio R a m de que tenha seu volume o maior possível. 44. Um campo retangular está limitado por uma cerca em três de seus lados e por um córrego reto no quarto lado. Determine as dimensões do campo com área máima que pode ser cercado com :000 m de cerca. 45. Uma pista de atletismo com comprimento total 400m, consiste em semi-círculos e dois segmentos retos, conforme a gura abaio. Determine as dimensões da pista de tal forma que a área retangular, demarcada na gura, seja máima. r 46. Uma folha de papelão quadrada com 6 cm é usada para fazer uma caia aberta, retirando quadrados do mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados que resulta na caia com o maior volume possível? 47. Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio, de 900m de largura, até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3000m rio abaio. O custo para estender um cabo pelo rio é de R$5; 00 por metro, enquanto que para

6 estendê-lo por terra custa R$4; 00 o metro. Qual é o percurso mais econômico para o cabo? 48. Quando um pessoa tosse, o raio da traquéia diminui, afetando a velocidade do ar na traquéia. Se r 0 é o raio normal da traquéia, a relação entre a velocidade v do ar e o raio r da traquéia é dada por uma função da forma v (r) = ar (r 0 r), onde a é uma constante positiva. Determine o raio para o qual a velocidade do ar é máima. 49. Uma pesquisa de opinião revela que meses após anunciar sua candidatura, certo político terá o apoio de S () = ( 9 3 + 6 + 63 + 080) % de eleitores, sendo 0. Se a eleição estiver marcada para novembro, qual o melhor mês para anunciar a candidatura? Se o político necessita de pelo menos 50% dos votos para vencer, quais são as chances de ser eleito? 50. Considere um trapézio isósceles de área A. Sabendo que é com um ângulo da base, determine a medida da lateral l para que o perímetro seja mínimo. α l 5. Determine o volume máimo de um cilindro circular reto que pode ser inscrito em um cone de altura H e raio da base R, sabendo que a base do cilindro esta contida na base do cone. 5. O custo total para fazer unidades de um certo artigo é dado por C () = 0; 005 3 + 0; 45 + ; 75. Todas as unidades feitas são vendidas a R$ 36; 75 por unidade. Determine o número de unidades que devem ser feitas de modo a obter o lucro máimo. 53. A carga transmitida através de um circuito varia de acordo com a euação q (t) = t 4 4t 3 coulombs: Determinie o tempo t quando a corrente i = dq atinge um dt mínimo. 54. O trabalho realizado por um solenóide ao mover um induzido varia de acordo com W (t) = t 3 3t 4 joules. Determine a maior potência desenvolvida, sabendo que a potência p = dw : dt 55. Determine a maior corrente num capacitor com capacitância C igual a 4 3 0 6 farads, se a voltagem aplicada for dada por V (t) = 50t 00t 3 volts. Dado: i = C dv dt : 56. Um gerador produz uma tensão V in = 0 Volt para alimentar uma carga resistiva R: A linha de transmissão de energia possui uma resistência r 0 = 0; 8k/km e 5000km de etensão entre a fonte e a carga. Sabendo que a potência sobre uma carga é dada por P = V R ; calcule o valor de R para que a potência (R + r)

7 transmitida pelo gerador seja máima. dados: A epressão para potência é obtida pelos Lei de Ohm V = RI Lei de Jaule P = V I Associação em série: R eq = R + R + + R n Associação em paralelo: = + + + R eq R R R n 57. Um circuito RLC paralelo sobreamortecido com o capacitor de capacitância C = 3; 8mF = F, inicialmente descarregado, e o indutor de indutância L = 7H, 4 inicialmente carregado com corrente de -0A, gera uma tensão de saída no resistor de resistência R = 6 regida pela Equação (). Calcule o tempo para que a corrente que passa pelo resistor seja máima. Calcule também o valor da tensão e da corrente no resistor nesse instante e esboce o grá co da tensão de saída do circuito. Dados: V = K e st + K e s t V = RI () K = K = 84V s = p! 0 s = + p! 0 = RC! 0 = p LC 58. Uma bateria de voltagem a V e resistência interna a r está ligada a um circuito de resistência variável R: Pela Lei de Ohm, a corrente I no circuito é I = V R + r : Se a potência é dada por P = I R; mostre que a potência máima ocorre quando R = r:

8 4. Respostas. (a) não; (b) não; (c) não; (d) sim; (e) sim.. Sim. 3. (a) não; (b) sim; (c) sim; (d) sim; (e) não; (f) sim. 4. Não. f 0 não eiste em = 3. 5. ; 3 3 7 7. a = 3, b = 4 e m =. a 8. p n n ; a n p n n n 9. (a) p ; p ; (b) não.. A rmação verdadeira. 5.. f () = ln. f () = 6 4 9 0 4 6 4 4 3. f () = 4 3 4. f () = 4 4 00 0. 4 4 00 4 4 0. 5. f () = 3p 3 6. f () = e 4 4 7. f () = e + 8. f () = e 0 4 0 4 4 0 4

9 9. f () = sin 0. f () = ( ) 4 4 5 0 5. f () = e. f () = + 0 5 4 4 0 4 4 5 3. f () = cosh 4. f () = + + e 5 0 4 0 4 4 0 4 5. f () = e 6. f () = + 0 0 0 4 6 4 4 0 7. f () = p 8. f () = + 0 4 5 5 9. f () = 6 3 3 + 0. f () = ( ) e 0 6 0 4 0

30. f () = p + p p. f () = 0.4 0. 0.0 0 4 5 4 4 5 3. f () = 3p e 4. f () = 3 + ( + ) 3 5 0 4 0 4 4 5. f () = e 6. f () = + ln 4 4 5 0 5 0 4 7. f () = ln 8. f () =cotg() 0 0 0 4 5 5 9. f () = sec () 30. f () =arctg() 5 5 5 5 3. f () = ln (cos ()) 4 4 0 0 4 6 8 6. Sugestão: Aplique o Teorema de Rolle para a função g () = f 0 () : 7. (a) b = 3a, c = 0 e d R. (b) P (0; f (0)) e P (; f ()) são pontos de máimo e mínimo relativo, respectivamente; 8. A rmação verdadeira. 9. a = 3 e b = 3. 6. b = p 3 3 a u:c: e h = p 6 3 a u:c: 7. p 59 e p 59 8. 75; 96 m e 56; 97 m. 9. O retângulo que tem perímetro mínimo é o quadrado. Dimensão: 7cm.

3 30. m e 3 m. 3:r = h = u:c: 6 3. = 0:840 5 m e 3 3 4+ +4 = : 680 3 m: 33. Velocidade máima: 5 hs; velocidade mínima: 7 hs. 34. 5, 5 e 5. 35. 8; 3m 36. 4 u:c: e 4 u:c: q 5 37. 8. 3 38. (a) p u:c: e p u:c:; (b) 4 u:a: 39. 80; 33 m e 50; 6 m. 4. 5 3p 44 cm e 0 3p cm. 4. ; 8 km após o ponto N. q 43. R e p 3 R. 3 3 44. 50 m e 500 m. 45. 00 m e 00 m: 46. 3 cm 47. 98 m pelo rio e 607 m por terra. 48. r 3 o. q 50: A. sen 53. t = s: 54. 0; 5W: 55. i = 50 4 8 A 56. R = 4M 57. t = ln 6 70 s; V = 5 5p 6 V ; I = 35 3 5p A 6

Capítulo 5 Integral Inde nida Objetivos Determinar a primitiva de uma função, mediante a de nição; Interpretar geometricamente a integral inde nida; Aplicar as propriedades relativas à integral inde nida; Resolver integrais através de integração imediata; Resolver integrais pelo método da integração por partes; Resolver integrais de funções trigonométricas; Resolver integrais elementares que contém um trinômio quadrado; Resolver integrais por substituições trigonométricas; Resolver integrais por decomposição em frações parciais.

33 5. Introdução O estudo desenvolvido neste capítulo visa o problema inverso ao que desenvolvemos no capítulo 3, ou seja, agora será dada uma função e deveremos calcular uma outra função, cuja derivada é igual à função dada. Neste sentido, serão apresentados os métodos mais comuns para que isto possa ser alcançado. Para tanto, precisamos do conceito de primitiva de uma função. De nição : Uma função F () é chamada de primitiva ou antiderivada da função f () em um intervalo I se F 0 () = f (), 8 I. Eemplo : (i) F () = 3 3 é uma primitiva de f () = ; (ii) F () = cos é uma primitiva de f () = sin ; (iii) F () = e é uma primitiva de f () = e. Observação : Em qualquer um dos eemplos acima podemos perceber que se acrescentarmos uma constante qualquer na função F () sua derivada continuará sendo igual a função dada, isto é, ela continuará sendo uma primitiva. Vejamos algumas proposições neste sentido. Proposição : Seja F () uma primitiva da função f (). Então, se c é uma constante qualquer, a função G () = F () + c também é primitiva de f (). Demonstração: Como F () é uma primitiva da função f (), pela de nição, F 0 () = f (). Assim, G 0 () = (F () + c) 0 = F 0 () = f (). Portanto, G é uma primitiva de f. O teorema no garante que para uma função contínua dada não eiste uma única primitiva, mas sim, uma in nidade delas. Proposição : Se f 0 () se anula em todos os pontos do intervalo I, então f é constante em I. Demonstração: Sejam, I, com <. Como f é diferenciável em I, então f é contínua em [; ] e diferenciável em (; ). Pelo Teorema do Valor Médio, eiste c (; ) tal que f 0 (c) = f () f () :

34 Por hipótese, f 0 (c) = 0, pois c I. Assim, segue que f () f () = 0 ) f () = f (). Sendo e dois pontos quaisquer de I, concluímos que f é constante em I. Proposição 3: Se F () e G () são funções primitivas de f no intervalo I, então eiste uma constante c tal que F () G () = c. Demonstração: Seja H () = F () G (). Como F () e G () são primitivas de f () em I, então F 0 () = G 0 () = f (), 8 I. Logo, H () é derivável em I e seja, H 0 () = F 0 () G 0 () = f () f () = 0. Pela proposição, segue que, eiste uma constante c, tal que H () = c, ou F () G () = c ) F () = G () + c: Dos teoremas acima podemos escrever que tendo-se determinado uma primitiva F () obtém-se outra primitiva qualquer da função dada, somando-se a F () uma constante c e a epressão F () + c representa o conjunto de todas as funções primitivas para a função f() dada. Com isto podemos estabelecer a de nição de integral inde nida. De nição : Se F () é a primitiva ou antiderivada de f (), a epressão F () + c é de nida como sendo a integral inde nida da função f () e é denotada por Z f () d = F () + c. Na igualdade estabelecida na de nição, temos que: o símbolo R é chamado sinal de integração; f () é dita função subintegral ou integrando; a epressão f()d é dita elemento de integração; a função F () é dita, parte funcional da integral inde nida; o número c é dito, constante arbitrária da integral inde nida. Observações : i. A integral inde nida é também conhecida como anti-diferencial. ii. Na notação da de nição, o termo d não tem signi cado próprio, somente a epressão completa R f () d = F () tem sentido. iii. Quando queremos obter todas as primitivas de uma função f() dada, escrevemos R f () d:

35 Eemplo :. R d = 3 3 + c;. R cos d = sin + c; 3. R e d = e + c. Interpretação Geométrica A integral inde nida, geometricamente, representa uma família de curvas e se obtém cada uma delas mediante o deslocamento de uma curva paralela a si mesma ao longo do eio das ordenadas. Os grá cos dessa família das primitivas (ou antiderivadas) de f são chamados de curvas integrais. Eemplo 3: O grá co a seguir representa uma família de curvas da função integrando f () = cos. As curvas integrais abaio gura apresentada assumiu os valores c = ; ; 0; ;. 4 4 4 4 5. Propriedades da Integral Inde nida Proposição 4: Sejam f; g : I! R e c uma constante qualquer. Então: i. R cf () d = c R f () d; ii. R (f () g ()) d = R f () d R g () d. Demonstração: i. Como F () é primitiva de f () então cf () é primitiva de cf (). Assim, temos que: R cf () d = cf () + k = cf () + ck = c (F () + k ) = c R f () d.

36 ii. Provaremos para a soma, a demonstração para a diferença é análoga. Sejam F () e G () as primitivas das funções f () e g (). De nindo H () = F () +G () e h () = f () + g (), temos que: H 0 () = F 0 () +G 0 () = f () + g () = h (). Assim, R h () d = H () + c = F () +G () + c + c = = F () +c + G () + c = R f () d + R g () d. Observação 3: A proposição (ii) é válida para um número nito de funções, isto é, a integral da soma é igual a soma de integrais. Resumiremos a seguir algumas propriedades da integral inde nida, cujas demonstrações serão omitidas aqui: i. R d (F ()) = F () + c, onde d (F ()) representa é a diferencial da função F (); ii. R f () d 0 = f () ; iii. d R f () d = f () d; iv. R f (a) d = F (a) + c, onde a é uma constante; a v. R f ( + b) d = F ( + b) + c, onde b é uma constante; vi. R f (a + b) d = F (a + b) + c, onde a e b são constantes. a Através das derivadas das funções elementares é possível obter uma tabela de integrais, conhecidas como integrais imediatas. 5.3 Tabela de Integrais Imediatas. R u n du = un+ n+. R du u = ln juj + c; + c, n 6= ; 3. R a u du = au + c, a > 0 e a 6= ; ln a 4. R e u du = e u + c; 5. R sin (u) du = cos u + c; 6. R cos (u) du = sin u + c; 7. R sec (u) du =tg(u) + c; 8. R cossec (u) du = cotg(u) + c; 9. R du u + a = arctg u a a + c.

37 A veri cação destas integrais pode ser feita segundo a de nição de integral inde nida, ou seja, através da de nição de primitiva de uma função. Observação: As integrais abaio não são imediatas, porém elas sugem várias vezes nas integrações. Como, por enquanto, não temos condições de demonstrálas iremos utilizar este resultado. Para demostrá-las é necessário utilizar além do método da substituição (próima seção) a técnica de decomposição em frações parciais, que é a última técnica de integração a ser utilizada.. R sec (u) du = ln jsec (u) + tg (u)j + c;. R cossec(u) du = ln jcossec (u) cotg (u)j + c; Eemplo 4:. R sec udu =tg(u) + c Solução: De nindo F (u) =tg(u) + c e f (u) = sec u: Devemos mostrar que F 0 (u) = f (u) : F 0 (u) = (tg (u) + c) 0 = sec u = f (u) :. R du u u + a = arctg + c a a Solução: De nindo F (u) = arctg u a a + c e f (u) = : u +a Devemos mostrar que F 0 (u) = f (u) : F 0 (u) = arctg u 0 a a + c = a + u a u a 0 = a + u a! = u +a = f (u) : Vejamos agora, alguns eemplos usando a tabela e as propriedades. Eemplo 5: Resolva as integrais inde nidas:. R ( 3 3 sin + 5 p ) d; Solução: Pelas propriedades de integrais, temos que: R ( 3 3 sin + 5 p ) d = R R R p 3 d 3 sin d + 5 d = R 3 d 3 R sin d + 5 R d = 4 + 3 cos + 0 3 + c 3. R 4 + 3 + 4p p d; Solução: Pelas propriedades de integrais, temos que: R 3 4 5 + 4p p d = R 3 7 d + R 5 d + R 8 d

38 = 3 R 7 d 5 R d + R 8 d = 3 9 5 ln + 8 9 9 8 + c. 3. R e + 3 7 tg () cossec () d. Solução: Pelas propriedades de integrais, temos que: R e + 3 7 tg () cossec () d = R e d+3 R 7 d R tg () cossec () d = e + 3 6 + c R sen 6 cos sen d = e + 3 6 + c R 6 cos d = e + 3 6 6 + c R sec () d = e 6 tg() + k: 5.4 Técnicas de Integração Com o objetivo de usar alguma das integrais imediatas, faz-se necessário utilizar alguns métodos para transformar a integral dada em uma integral conhecida. A seguir, estudaremos alguns métodos de integração que irão nos auiliar neste procedimento. 5.4. Integração Por Substituição O método da substituição, também conhecido como troca de variáveis, pode ser motivado eaminando-se a regra da cadeia do ponto de vista da antiderivação. Com este propósito, suponha que F () seja uma primitiva de f () e que g () seja uma função diferenciável. Pela regra da cadeia, sabemos que: Z d d [F (g ())] = F 0 (g ()) g 0 (). Integrando com relação a a epressão acima, temos que: Z d [F (g ())] d = F (g ()) + c ) F 0 (g ()) g 0 () d = F (g ()) + c. d Como F () é primitiva de f (), temos que: Z f (g ()) g 0 () d = F (g ()) + c. De nindo u = g (). Então du = g 0 () d. Dessa forma,

39 Z f (u) du = F (u) + c.. R p d; Eemplo 6: Resolva as integrais inde nidas. Solução: De nindo u =. Então du = d: Pelo método da substituição, temos que: R p R p d = d = R p udu R u du = u 3 + c: 3 = Voltando para a variável, obtemos que: R p q d = ( ) 3 3 + c = ( ) 3 + c. 3. R 3 + d; Solução: De nindo u = +. Então du = d: Pelo método da substituição, temos que: R 3 d = R 3 d = R 3 du = 3 ln juj + c: + + u Retornando para a variável, obtemos que: R 3 d = 3 ln + j + j + c. Este método é um dos mais importantes para o cálculo de integrais inde nidas. O sucesso desta integração depende da habilidade para escolher a substituição adequada. A seguir, apresentamos um roteiro para realizar o integração, usando o método da substituição. Roteiro para integração por substituição Passo : Escolha u = g (); Passo : Calcule du d = g0 (); Passo 3: Substitua u = g () e du = g 0 () d; Passo 4: Calcule a integral resultante; Passo 5: Substitua u por g () novamente. Eemplo 7: Resolva as integrais inde nidas.

40. R 4 3p d; 7 5 Solução: De nindo u = 7 5. Então du = 0 4 d: Pelo método da substituição, temos que: R 3p 4 d = R 0 4 7 5 0 3p d = 7 5 5 = 5 R du 3p u R u 3 du = 3 0 u 3 + c = 3 0 (7 5 ) 3 + c.. R 3 d e 4 ; Solução: Reescrevendo o integrando, temos que: R 3 d e 4 = R 3 e 4 d De nindo u = 4. Então, du = 8 3 d. Pelo método da substituição, temos que: R R R 3 e 4 d = 8 e 4 ( 8 3 ) d = 8 e u du = 8 eu + c = 8 e 4 + c. 3. R sin (3 + 5) cos (3 + 5) d; Solução: De nindo u = sin (3 + 5). Então, du = 3 cos (3 + 5) d. Pelo método da substituição, temos que: R R sin (3 + 5) cos (3 + 5) d = 3 u du = 9 u3 + c = 9 sin3 (3 + 5) + c. 4. R p + cotg ( + ) sin d ( + ) Solução: Reescrevendo o integrando, temos que: R p+cotg( +) sin ( +) d = R cossec ( + ) p + cotg ( + )d De nindo u = +cotg( + ). Então du = Pelo método da substituição, temos que: R p+cotg( +) R d = p sin ( +) udu = = 3 u 3 + c = 3 ( + cotg ( + )) 3 + c: cossec ( + ) d Observação 4: Se diz Integração por Decomposição, ao método por meio do qual a integral dada se apresenta em forma de soma de integrais. Eemplo 7: Resolva as integrais inde nidas.

4. R 4 + d; Solução: Reescrevendo o integrando, temos que: R 4+ d = R R R + 4 d = d + 4 d De nindo u =. Então du = d. Dessa forma, R 4+ d = R d + R du u = + ln j j + c.. R 3 (sin (3 ) + cos (3 )) d. = + ln juj + c Solução: De nindo u = 3, temos que du = 3 ln 3d. Assim, R R 3 (sin (3 ) + cos (3 )) d = ln 3 (sin (3 ) + cos (3 )) 3 ln 3d R R R = ln 3 (sin u + cos u) du = ln 3 sin udu + ln 3 cos udu = sin ln 3 (3 ) cos ln 3 (3 ) + c 5.4. Integração Por Partes A técnica de integração por partes é a formulação antiderivada da fórmula para diferenciação do produto de duas funções. Sejam u = u () e v = v () são funções deriváveis, então pela regra do produto, temos que: d d [ u () :v ()] = u () v0 () + v () u 0 (). Integrando R com relação a, temos que: d [ u () :v ()] d = R u () v 0 () d + R v () u 0 () d d ) u () :v () = R u () v 0 () d + R v () u 0 () d ) R R u () v 0 () d = u () :v () v () u 0 () d. Da de nição de diferenciais, lembre que dv = v 0 () d e du = u 0 () d. Assim, Z udv = uv Z vdu, é chamada de fórmula de integração por partes. Eemplo 8: Resolva as integrais inde nidas.. R ln d; u = ln ) du = Solução: Escolhendo d dv = d ) v = Pela integração por partes, temos que: :

4 R ln d = ln R d = ln R d = ln + c. Observação 5: No eemplo acima, quando calculamos a função v, desprezamos a constante k, isto é: Z Z dv = d ) v = + k, uma vez que interessa somente uma função primitiva e não o conjunto todo. Neste caso é comum dizer que escolhemos a constante k = 0.. R sen() d; u = ) du = d Solução: De nindo dv =sen() d ) v = cos () Pela integração por partes, temos que: R sen() d = cos () + R cos () d =sen() + cos () + c. : 3. R arcsin d; u = arcsin ) du = Solução: De nindo dv = d ) v = d p Pela integração por partes, temos que: R R arcsin d = arcsin p d Por substituição trigonométrica, fazendo u = R R arcsin d = arcsin + u du = arcsin + p u + c = arcsin + p + c : ) du = d, temos que: 4. R ln + p + p d + Solução: De nindo ( p u = ln + + ) du = p + d dv = p + d ) v = p, + Pela integração por partes, temos que: R ln(+ p + ) p + d = p + ln + p + R p + p + d = p + ln + p + R d = p + ln + p + + c:

43 O problema na integração por partes está em saber qual a epressão subintegral que se toma como u e qual a que se toma por dv. Recomenda-se substituir por dv aquela diferencial para a qual é conhecida a integral ou então, que seja fácil de se calcular. Há casos em que se pode tomar como dv qualquer uma das funções da epressão subintegral. No entanto, é bom lembrar que, a diferenciação em uma série de casos, simpli ca a epressão, isto é, as derivadas de algumas funções transcendentes são algébricas, é o caso das funções logarítmicas e das funções circulares inversas. Portanto, nas integrais do tipo: o Caso: R f () (função transcendental) d, onde é um polinômio real em, para realizar a integração por partes, é necessário fazer a seguinte escolha u = função transcendental dv = f () d. o Caso: R f () (função circular) d, onde é um polinômio real em, para aplicar o método da integração por partes, de nimos u = f () dv = (função circular )d. Nestes dois casos, as funções transcendentais ou as funções circulares têm derivadas não-algébricas. Eemplo 9: Resolva as integrais inde nidas.. R e cos d; Solução: Neste caso, as duas funções da epressão subintegral são transcendentes cujas derivadas não são algébricas. u = e Escolhendo ) du = e d dv = cos d ) v = sin : Pela integração por partes, temos que: Z R e cos d = e sin e sin d {z } (I) Para resolver a integral (I) devemos aplicar novamente a integração por partes. u = e De nindo ) du = e d dv = sin d ) v = cos : () Substituindo em (), temos que: R e cos d = e sin e cos + R e cos d ) R e cos d = e sin + e cos + k

44 ) R e cos d = e (sin + cos ) + c. Neste eemplo, podemos notar que, ao aplicarmos pela segunda vez a integração por partes, o método nos levou a uma igualdade com a integral dada, o que possibilitou a sua resolução. Poderíamos, no início, ter escolhido qualquer uma das funções subintegrais como u e o resultado se manteria.. R e 5 d; Solução: De nindo u = ) du = d dv = e 5 d ) v = 5 e5 : Pela integração por partes, temos que: R R e 5 d = e5 5 5 e 5 d = 5 e5 5 e5 + c. 3. R arcsin d; Solução: De nindo u = arcsin ) du = p d dv = d ) v = : Pela integração por partes, temos que: R arcsin d = arcsin R p d = arcsin + R p + d = arcsin + R p d = arcsin + Z p d {z } Resolvendo, por partes, a integral (I): R p d = p R (I) p + d R d p R = p R p d + R d p ) R p d = p + arcsin () Substituindo () em (), temos que: R arcsin d = = arcsin + 4 p d () p u = ) du = p d dv = d ) v = p + arcsin arcsin + c arcsin + 4 p + c. 4. R (ln )4 + 5 (ln ) d 7(ln ) Solução: De nindo u = ln, temos que = e u e d = e u du. Assim, pelo método da substituição, temos que:

45 R (ln ) 4 + 5 (ln ) d = R (ln ) 4 +5(ln ) = R u 4 +5u e u du = R 7(ln ) 7(ln ) 7u 7 u + 7 5 e u du Z R = u e u du + 5 7 7 e u du () {z } (I) Resolvendo a integral (I): De nindo t = u ) dt = udu R dv = R e u du ) v = e u, pela integração por partes, temos que: R u e u du = u e u R ue u du De nindo w = u ) dw = du R dv = R e u du ) v = e u, e, novamente, usando a integração por partes, temos que: R u e u du = u e u ue u R e u du = e u + u e u ue u () Substituindo () em (), obtemos: R (ln ) 4 + 5 (ln ) d = 9 7(ln ) 7 eu + 7 u e u 4 7 ueu + c = 7 ln 4 7 ln + 9 7 + c. Uma estratégia para integrar por partes Poderíamos dizer que o propósito da integração por partes é transferir o cálculo de uma integral R udv para o cálculo de uma integral R vdu (a qual espera-se que saibamos calcular), pela fórmula de integração por partes, R R udv = uv vdu. Ao integrar por partes, uma integral da forma R f () g () d, devemos sempre escolher, dentre as duas funções da epressão f () g () d, uma delas como sendo o fator u e a outra como parte de uma diferencial dv. Em outras palavras, podemos fazer u = f () e dv = g () d, ou u = g () e dv = f () d, ou u = f () g () e dv = d:mas, esta escolha não pode ser feita de modo R aleatório. Temos R que ser espertos em nossa escolha para que, ao passarmos da udv para a integral vdu, passemos a uma integral tecnicamente mais simples de ser calculada. Uma sugestão que funciona bem na grande maioria das vezes é escolher as funções u e v segundo o critério que descreveremos abaio. Ele foi publicado como uma pequena nota em uma edição antiga da revista American Mathematical Month. Considere o seguinte anagrama de funções elementares: L I A T E Logarítmicas Inversas de Algébricas Trigonométricas Eponenciais trigonométricas

46 Neste esquema, as letras do anagrama LIATE são iniciais de diferentes tipos de funções. Uma estratégia que funciona bem é: ao realizar uma integração por partes, escolher dentre as funções que aparecem no elemento de integração, como função u: a função cuja inicial de caracterização posiciona-se mais à esquerda no anagrama; como diferencial dv: a função cuja inicial de caracterização posiciona-se mais à direita no anagrama. Resumindo, u deve caracterizar-se pela letra mais próima de L, e dv pela letra mais próima de E. Observa que já usamos esta estratégia nos eemplos desenvolvidos anteriormente: Na integral R ln d zemos u = ln (logarítmica) e dv = d (algébrica); Na integral R sen() d zemos u = (algébrica) e dv =sen() d (trigonométrica); Na integral R arcsen() d zemos u =arcsen() (inversa de trigonométrica) e dv = d (algébrica); Na integral R e 5 d zemos u = (algébrica) e dv = e 5 d (eponencial); Na integral R arcsen() d zemos u =arsen() (inversa de trigonométrica) e dv = d (algébrica); Observações: (i) Para calcular integrais cuja resolução é pelo método da integração por partes você poderá utilizar o anagrama LIATE para facilitar a escolha de u e de dv, mas tenha sempre o cuidado para não utilizá-lo de forma errada, em integrais que seu uso é impossível. Por eemplo, na integral R e d, temos uma função algébrica (f() = ) e uma função que é resultado da composição de uma função algébrica com eponencial (g () = e ). Neste eemplo, o anagrama LIATE não funciona! Além disso, está integral você poderá obter sua solução depois que estudar séries de funções em Cálculo. (ii) Para resolver R ln(+ p + ) p + d não utilizamos o anagrama LIATE, pois as funções envolvidas não se enquadram nos tipos de funções do anagrama. (iii) A integral R e cos d é um dos poucos casos em que é indiferente qual das funções do elemento de integração você escolherá por u e por dv:neste integral, poderia ser utilizado o anagrama. (iv) Na integral R (ln )4 + 5 (ln ) d primeiramente zemos uma mudança de 7(ln ) variável, depois deste procedimento foram aplicadas as propriedades de integrais e, nalmente, em uma das integrais obtidas foi utilizado o anagrama.

47 5.5 Integração de Funções Trigonométricas 5.5. Integrais do tipo R sin n d e R cos n d, onde n N Com o objetivo de facilitar a utilização do método da substituição na integração, utilizam-se as identidades trigonométricas sin + cos = se n for ímpar; sin = cos () cos = + se cos () n for par. Eemplo 0:. R sin 3 d; Solução: Reescrevendo a função do integrando, temos que: R sin 3 d = R sin sin d = R ( cos ) sin d = R R sin d cos sin d = cos + 3 cos3 + c.. R sin d; Solução: Temos que: R sin d = R cos () d R R = d cos () d = sin + c. 4 3. R cos 4 d; Solução: Reescrevendo a função do integrando, temos que: R cos 4 d = R (cos ) d = R + cos () d R R R = 4 d + cos () d + 4 cos () d R = 4 + c + 4 sin () + c + 4 + cos () d = + c 4 + sin () + c R R 4 + 8 d + 8 cos (4) d = 3 + sin + sin 4 + c. 8 4 3

48 5.5. Integrais do tipo R sin m cos n d, onde m ou n é um número inteiro positivo ímpar Neste caso, quando m ou n é um número inteiro positivo ímpar não nos importamos com o que o outro possa ser. Por eemplo, se m é ímpar escrevemos sin m = sin m sin, onde m é par. Portanto, é uma potência de sin e pode ser epressa em potências de cos pela substituição sin = cos e a integral será Z (soma dos termos envolvendo cos ) sin d e como sin = (cos ) 0 cada termo é da forma u n du, sendo u = cos. O procedimento é análogo se n for ímpar. Eemplo : Calcule as integrais:. R sin 0 cos 3 d; Solução: Reescrevendo a função do integrando, temos que: R sin 0 cos 3 d = R sin 0 cos cos d = R sin 0 sin cos d = R R sin 0 cos d sin cos d De nindo u = sin ) du = cos d. Assim, pelo método da substituição, temos que: R sin 0 cos 3 d = R R u 0 du u du = u 3 u3 + c = sin 3 sin3 + c.. R sin 5 cos d. Solução: Reescrevendo a função do integrando, temos que: R sin 5 cos d = R sin 4 sin cos d = R sin sin cos d = R ( cos ) sin cos d = R cos 6 sin d R cos 4 sin d + R sin cos d De nindo u = cos ) du = sin d. Pelo método da substituição, temos que: R sin 5 cos d = R u 6 du + R R u 4 du u du = 7 u7 + 5 u5 3 u3 = 7 cos7 + 5 cos5 3 cos3 + c.

49 5.5.3 Integração de funções envolvendo seno e cosseno de arcos diferentes As integrais do tipo R sin (m) cos (n) d, R sin (m) sin (n) d e R cos (m) cos (n) d, onde m 6= n, são resolvidas utilizando-se as fórmulas relacionadas à adição de arcos: i: sin (m) cos (n) = [sin ((m + n) ) + sin ((m n) )]; ii: sin (m) sin (n) = [cos ((m n) ) cos ((m + n) )]; iii: cos (m) cos (n) = [cos ((m + n) ) + cos ((m n) )]. Eemplo : Calcule as integrais:. R sin () cos (4) d; Solução: Usando as fórmulas de arcos, temos que: R R sin () cos (4) d = (sin (6) + sin ( )) d R R = sin (6) d sin () d = cos (6) + cos () + c. 4. R cos (4) cos (3) d; Solução: Usando as fórmulas de arcos, temos que: R R cos (4) cos (3) d = (cos (7) + cos ( )) d R R = cos (7) d + cos d = sin (7) + sin + c. 4 5.5.4 Integrais do tipo R tg n d e R cotg n d, onde n é inteiro positivo Essas integrais se resolvem mediante sucessivas aplicações das identidades trigonométricas tg = sec e cotg = cossec, que tem por nalidade obter integrais da forma R tg m sec d e R cotg m cossec d, que são calculadas pelo método da substituição. Eemplo 3: Calcule as integrais inde nidas:

50. R tg 3 d; Solução: Reescrevendo a função do integrando, temos que: R tg 3 d = R tg () :tg() d = R (sec )tg() d = R R sec :tg() d tg() d De nindo u =tg() ) du = sec d. Assim, R tg 3 d = R R udu tg() d. R cotg 4 d. = u ln jsec j + c = tg () ln jsec j + c. Solução: Reescrevendo a função do integrando, temos que: R cotg 4 d = R cotg ()cotg () d = R cotg () : (cossec ) d = R R cotg () :cossec d cotg () d = R R cotg () :cossec d (cossec ) d = R R cotg () :cossec d cossec d + R d De nindo u =cotg() ) du = cossec d. Assim, R cotg 4 d = R R u du cossec d + R d = u3 3 +cotg() + + c = cotg3 () 3 +cotg() + + c. 5.5.5 Integrais do tipo R sec n d e R cossec n d, onde n é um número inteiro positivo Nestes casos, basta fazer: sec n = sec n sec ou cossec n = cossec n.cossec e utilizar as identidades trigonométricas sec = tg + e cossec = cotg +. Eemplo 4: Calcule as integrais inde nidas:

5. R cossec 4 () d; Solução: Reescrevendo a função do integrando, temos que: R cossec 4 () d = R cossec ()cossec () d = R (cotg () + )cossec () d = R cotg ()cossec () d + R cossec () d De nindo u =cotg() ) du = cossec d. Assim, R R cossec 4 () d = u du + R cossec () d = u3 6 = cotg3 () 6 cotg() + c cotg() + c.. R sec 3 d. Solução: Reescrevendo o integrando, temos que: R sec 3 d = R sec sec d u = sec ) du = sec :tg() d De nindo dv = sec d ) v =tg() Pela integração por partes, temos que: R R sec 3 d = sec :tg() tg () sec d. R = sec :tg() (sec ) sec d R = sec :tg() sec 3 d + R sec d ) R sec 3 d = sec :tg() + R sec d ) R sec 3 d = (sec :tg () + ln jsec + tg ()j) + c. Observação 5: Neste caso, sempre que n é número inteiro positivo ímpar deveremos usar integração por partes. 5.5.6 Integrais do tipo R tg m () sec n d e R cotg m ()cossec n () d, onde m e n são inteiros positivos Quando m for par e n for ímpar, a integral deve ser resolvida usando a integração por partes. Nos demais casos, usa-se o método da substituição. Eemplo 5: Calcule as integrais inde nidas:. R tg 6 () sec 4 d; Solução: Como n é par, iremos usar a identidade trigonométrica sec =tg +. R tg 6 () sec 4 d = R tg 6 () sec sec d = R tg 6 () (tg + ) sec d

5 De nindo u =tg() ) du = sec d. = R tg 8 () sec d + R tg 6 () sec d Pelo método da substituição, temos que: R tg 6 () sec 4 d = R u 8 du + R u 6 du = 9 u9 + 7 u7 + c = 9 tg9 () + 7 tg7 () + c.. R tg 3 () sec 3 d; Solução: Como m é ímpar, iremos usar a identidade trigonométrica tg = sec. R tg 3 () sec 3 d = R tg () :tg() : sec 3 d = R (sec ) :tg() : sec 3 d = R R tg() sec 5 d tg() : sec 3 d = R R tg() sec sec 4 d tg() : sec : sec d De nindo u = sec ) du = sec :tg() d. R tg 3 () sec 3 d = R R u 4 du u du = 5 u5 = 5 sec5 3 sec3 + c. 3 u3 + c 3. R tg () sec 3 d; Solução: Observe que m é par e n é ímpar. R tg () sec 3 d = R (sec ) sec 3 d Z Z = sec 5 d {z } (I) sec 3 d {z } (II) () Ambas integrais são resolvidas através da integração por partes. Pelo eemplo 4, item 3, temos que a integral (II) é R sec 3 d = sec :tg() + ln jsec + tg ()j + c () Resolvendo a integral (I), temos que: R sec 5 d = R sec 3 : sec d u = sec De nindo 3 ) du = 3 sec : sec :tg() d dv = sec d ) v =tg() Por partes, temos que: R sec 5 d = tg() sec 3 3 R sec : sec :tg () d = tg() sec 3 3 R sec : sec : (sec ) d = tg() sec 3 3 R sec 5 d + 3 R sec 3 d ) 4 R sec 5 d = tg() sec 3 + 3 R sec 3 d ) R sec 5 d = tg() R 4 sec3 + 3 4 sec 3 d + c (3). Substituindo () e (3) em (), temos que:

53 R tg () sec 3 d = tan 4 sec3 sec :tg() ln jsec + tan ()j + k. 8 8 5.6 Integrais Por Substituição Trigonométrica Se o integrando contém uma epressão da forma p a u, p u + a ou p u a, onde a > 0, por meio de uma substituição trigonométrica podemos transformá-la numa integral envolvendo funções trigonométricas. Analisemos cada um dos casos cujas formas foram citadas acima. o Caso: O integrando contém a epressão p a u com a > 0: Introduzindo uma variável tal que u = a sin : Então, du = a cos d e supondo que, temos que: p a u = p a a sin = qa sin = p a cos = a cos. Como sin = u a, então = arcsin u a. Gra camente, temos que: a θ u a u o Caso: O integrando contém a epressão p a + u com a > 0: Introduzindo uma variável tal que u = atg: Então, du = a sec d e supondo que < <, temos que: p a + u = p a + a tg = p a ( + tg ) = p a sec = a sec. Como tg = u a, então =arctg u a. Gra camente, temos que:

54 u + a u θ a 3 o Caso: O integrando contém a epressão p u a com a > 0: Introduzindo uma variável tal que u = a sec : Então, du = a sec :tgd e supondo que 0 < ou < 3, temos que: p u a = p a sec a = p a (sec ) = p a tg = atg. Como sec = u a, então = arcsec u a. Gra camente, temos que: u θ a u a Eemplo 6: Calcule as integrais inde nidas abaio:. R p 9 d; Solução: De nindo = 3 sin ) d = cos d: Temos que: p q 9 = 9 (3 cos ) = 3 cos. Assim, R p 9 d = R 3 cos :3 cos d = R cotg d 9 sin = R (cossec ) d = R R cossec d d = cotg + c. () Devemos retornar a variável. Para isso, observe que: 3 θ = 3 sin ) = arcsin 3 cotg() = p 9 : 9 Substiuindo em (), temos que:

55 R p 9 d = p 9 + arcsin 3 + c.. R p + 5d; Solução: De nindo = p 5tg ) d = p 5 sec d. Temos que: p + 5 = p 5 ( + tg ) = p 5 sec. Assim, R p + 5d = R p 5 sec : p 5 sec d = 5 R sec 3 d Integrando por partes, usando resultado do eemplo 4, item, temos que: R p + 5d = 5tg sec + 5 ln jtg + sec j + c. (#) Devemos retornar a variável. Para isso, observe que: + 5 θ 5 ( p = 5tg ) tg = p5 sec = p p +5 : 5 Substiuindo em (#), temos que: R p + 5d = p +5 + 5 ln p5 + p p +5 5 + c = p +5 + 5 ln + p +5 p 5 5 ln p 5 + c = p +5 + 5 ln + p +5 p 5 + k. 3. R d 3p 9 ; Solução: De nindo = 3 sec ) d = 3 sec tgd: Temos que: p q 9 = (3 sec ) 9 = 3tg. Assim, R d 3p = R 3 sec :tgd :d = R 9 7 sec 3 :3tg 7 R R cos d = = 7 = 54 R d + 54 7 d sec R cos () d + cos () d = + sin () + c 54 08 = + sin cos + c. (++) 54 54 Observe que: θ 3 9 = arcsec 3 ; sin = p 9 cos = 3 :

56 Substiuindo em (++), temos que: R d 3p = arcsec p 9 54 3 + 3 9 + c: 54 4. R p 4 5 d; 4 Solução: De nindo u = 5 ) du = 5d, temos que: R p 4 5 d = 5 R p 4 u 4 u 4 du Por substituição trigonométrica, u = sin ) du = cos d p 4 u = p 4 4 sin = cos : Assim, R p 4 5 d = 5 R R cos 5 cos d = 4 6 sin 4 4 cotg :cossec d: Se v =cotg, então dv = cossec d. Dessa forma, R p 4 5 R d = 5 4 4 v dv = 5 v3 + c = 5 cotg3 + c Do triângulo retângulo, temos que: sin = u ) cos = p 4 u ) cotg = p 4 u u : Logo, R p 4 5 d = 5 4 p4 u u 3 + c = (4 5 ) 3 3 + c: 5.7 Integrais Elementares que Contém um Trinômio Quadrado Nesta seção, estudaremos integrais que contém um trinômio quadrado, ou seja, integrais da forma Z Z Z Z m + n a + b + c d; m + n p a + b + c d; d pa (m + n) p a + b + c e + b + cd; onde a, b, c, m e n são constantes reais, com a 6= 0, b ou c 6= 0, m ou n 6= 0. Para resolver qualquer uma destas integrais será necessário completar quadrados, mudar de variável e, a seguir, utilizar alguma das técnicas de integração que já foram estudadas. d 5 + 7. Solução: Pelo método de completar quadrados, temos que: Eemplo 7: Calcule a integral inde nida R 5 + 7 = 5 + 7 = 5 + 3 6.

57 Assim, R d 5+7 = R d. ( 5 ) + 3 6 ) du = d. 5 De nindo u = Pelo método da substituição e substituição trigonométrica, temos que: R R du = p 4 5 3 arctg p 3 + c. d 5+7 = u p + 3 4 Eemplo 8: Calcule a integral inde nida R d. Solução: Pelo método de completar quadrados, temos que: R d = R ( ) d = R = ln j j + c d R d Z d. () {z } (I) Resolvendo a equação (I): Completando R quadrados, temos que: d = R d ( ) 5 4 De nindo t = ) dt = d. Pelo método da substituição e substituição trigonométrica, temos que: R d = R dt = p 5 p ln u 5 t 5 5 4 u+ + c Retornando em () segue que: R d = ln j j p 5 p 5 0 p 5j j + p 5j + c. ln j Eemplo 9: Calcule a integral inde nida R p d +3. Solução: Pelo método de completar quadrados, temos que: R p d +3 = p R p d = p R q d. + 3 5 6 ( 3 4) 3 De nindo u = ) du = d. Então, R R 4 p d +3 = p p du 5 u 6 Pelo R método da substituição trigonmétrica, temos que: p d +3 = p arcsin 4u + c 5 = p arcsin 4 3 5 + c. Eemplo 0: Calcule a integral inde nida R p +3 d. ++ Solução: Reescrevendo o integrando, temos que: R p +3 d = R p (+)+ d ++ ++ De nindo R = p d R ++ = p d (+) + u = + + ) du = ( + ) d p + d + R ++ p + d + R ++ t = + ) dt = d.

58 Pelo R método da substituição e substituição trigonométrica, temos que: p +3 d = R p du ++ u + R p dt t + = p u + ln p t + t + + c = p + + + ln + + p + + + c. Eemplo : Calcule a integral inde nida R d (+) p. + Solução: De nindo u = ) + = du ) d =, temos que: + u u R d (+) p = R du u = R R r du du + Se u > 0, temos que: R u q ( u ) + d (+) p = R p du = p R + u u+ De nindo t = u ) dt = du. Assim, R R d (+) p = p + p dt t + 4 = p ln u + = p q ln + + u = ( u) +u u p du u u+ = p Pelo R método da substituição trigonométrica, temos que: d (+) p = p ln t + p 4t + + + c q 4 u + + c Como u > 0 então > ) Logo, R d (+) p = p + + (+) + c q ( + ) = j + j = +. ln + p + + + c. u juj p u u+ Se u < 0, por desenvolvimento análogo ao anterior, obtemos que: R d (+) p = R p du = p ln p + + u u+ + + k: R du q (u ) + 4 Eemplo : Calcule a integral inde nida R p d. Solução: Completando quadrados, temos que: R p d = R q ( + ) d RFazendo p u = + ) du = d, temos que: d = R p u du Pelo método da substituição trigonométrica, temos que: R p d = up u + arcsin up + c = +p + arcsin + p + c:

59 5.8 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Toda função racional pode ser representada na forma de uma fração racional, isto é, como a razão de dois polinômios da forma f () = p () q () = p 0 + p + p + + p m m q 0 + q + q + + q n n. Se o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador a fração é dita própria, do contrário é dita imprópria. No caso das impróprias, ao dividir o numerador pelo denominador, segundo divisão de polinômios, p() q() ; R() Q() podemos reescrever a função f () como onde Q () é um polinômio e R() q() f () = Q () + R () q () ; é uma fração própria. Como a primeira parcela, Q (), é um polinômio, integrá-lo é uma tarefa simples. Vejamos o caso da segunda parcela, R() q() o próimo método a ser apresentado., que é uma fração própria, conforme 5.8. Método dos Coe cientes Indeterminados Neste método é útil escrever a fração própria F () = R() como uma soma de q() frações parciais. Os denominadores destas frações são obtidas fatorando-se o polinômio q () em um produto de fatores lineares e ou quadráticos. Às vezes isto pode não ser fácil, porém há um teorema que nos diz que: Qualquer polinômio com coe ciente reais pode ser epresso como um produto de fatores lineares e ou quadráticos, de tal forma que cada um dos fatores tenha coe cientes reais. Depois de feita a fatoração, o método para determinar as frações parciais depende da natureza desses fatores. Vamos considerar vários casos, para tanto, tomemos o polinômio q () de grau n cujo coe ciente de termo n é, caso contrário, seremos obrigados a dividir tanto o numerador quanto o denominador por este coe ciente. o Caso: Os fatores de q () são todos lineares e distintos. Neste caso, podemos escrever q () da forma q () = ( a ) ( a ) : : : ( a n ),

60 onde os a i, com i = ; ; : : : ; n são números reais distintos. A função racional F () = R() pode ser decomposta em frações mais simples, q() da forma: F () = A + A + + A n, a a a n onde A i, com i = ; ; : : : ; n são constantes a serem determinadas. É comum dizer, neste caso, que estas frações racionais possuem o denominador com raízes reais e simples. Eemplo 3: Calcule a integral inde nida R d. 3 Solução: R Note que: d = R d 3 ( )(+) Decompondo em frações parciais, temos que = A + B + C A( )(+)+B(+)+C( ) =, ( )(+) + ( )(+) que é uma identidade para todo real eceto 0, e. ) = (A + B + C) + ( A + B C) A. Por comparação, tem-se que: ( A + B + C = 0 A + B C = ) A = Assim, R d = R d + R d ( )(+) 6 8 < : A = B = 6 C = 3 R d 3 + = ln jj ln j + j + 3 6 = 4 3 ln jj 6 = 6 ln 3 ( ) + ln j j + c ln j + j + ln j j + c 3 + c.. o Caso: Os fatores de q () são todos lineares e alguns se repetem. Admitindo que ( a ) seja um fator que se repete r vezes, correspondente a este fator, eiste a soma de r frações parciais do tipo: A A ( a ) r + ( a ) r + + A r ( a ), onde A i, com i = ; ; : : : ; n são constantes a serem determinadas. Neste caso dizemos que as frações parciais possuem denominadores com raízes reais múltiplas. Eemplo 4: Calcule a integral inde nida R 3 d. ( ) 3 Solução: Decompondo em frações parciais, temos que: 3 = A + B + C + D + E, ( ) 3 ( ) 3 ( ) que é uma identidade para todo real eceto 0 e. Assim, 3 = A( )3 +B( ) 3 +C +D ( )+E ( ) ( ) 3 ( ) 3 ) 3 = (B + E) 4 +(A 6B + D 4E) 3 +( 6A + B + C D + 4E) + (A 8B) 8A.

6 Por comparação, tem-se que: 8 B + E = 0 >< A 6B + D 4E = 6A + B + C D + 4E = 0 >: A 8B = 0 8A = Assim, R R 3 d = d R + 3 d R 7 ( ) 3 8 6 4 = 3 ln jj 3 6 = 3 6 ln ) R d + 5 ( ) 3 4 ln j j 5 6 3+4 + c. 8( ) 4( ) + 7 8 A = 8 >< B = 3 6 C = 7. 4 D = >: 5 4 E = 3 6 R d 3 d ( ) 6 + c 8( ) 8 3 o Caso: Os fatores de q () são lineares e quadráticos e os fatores quadráticos não se repetem. A fração parcial correspondente a cada fator quadrático a + b + c no denominador é da forma A + B a + b + c, onde, o fator quadrático não pode ser decomposto num produto e fatores lineares. Do contrário teríamos os casos anteriores. Eemplo 5: Calcule as integrais inde nidas.. R +3 ( )( ++) d; Solução: Decompondo em frações parciais, temos que: +3 = A+B + C = (A+B)( )+C( ++) ( )( ++) ++ ( )( ++) ) + 3 = (A + C) + (B A + C) + (C B). Por comparação, tem-se que: ( A + C = B A + C = ) C B = 0 8 < : A = 9 5 B = 7 5 C = 4 5 Assim, R +3 d = R 9 ( )( 5 + 7 5 d R 4 d ++) ++ 5 = R 9 0 (+) 5 d 4 ++ 5 R = 9 + d R 0 ++ 5. R d = 9 ln 0 j + + j 5 d ++ R d (+) + R 4 d 5 4 ln j j + c 5 = 9 ln 0 j + + j arctg( + ) 4 ln j j + c 5 5 = ln ( ++) 9 arctg( + ) + c. 0 ( ) 4 5

6. R d e (e +)(e ). Solução: Reescrevendo o integrando, temos que: R d = R e d e (e +)(e ) (e +)(e ) De nindo u = e, temos que = ln u e d = du. Assim, u R e d = R u : du = R du (e +)(e ) (u +)(u ) u (u +)(u ) Decompondo em frações parciais, temos que: = Au+B + C = (Au+B)(u )+C(u +) (u +)(u ) u + u (u +)(u ) ) = C B + Au + Cu Au + Bu Por comparação, temos que: ( A + C = 0 ( A = B A + B = 0 B + C = ) B + C = 0 B + C = ) 8 < : A = B = C = : Assim, R du = R (u +)(u ) du (u ) R u du R u + du u + = ln ju j ln 4 ju + j arctan u + c = ln je j ln 4 je + j arctan (e ) + c: 4 o Caso: Os fatores de q () são lineares e quadráticos e alguns fatores quadráticos se repetem. Se o fator quadrático a + b + c se repete r vezes, então, correspondente a este fator teremos uma soma das r seguintes frações parciais: A + B A + B (a + b + c) r + (a + b + c) r + + A r + B r (a + b + c) r, onde A i e B i, com i = ; ; : : : ; n são constantes a serem determinadas. O fator quadrático a + b + c não pode ser decomposto num produto de fatores lineares. Eemplo 6: Calcule a integral inde nida R ++ d. ( +4+5) Solução: Decompondo em frações parciais, temos que: Decompondo em frações parciais, temos que ++ = A+B + C+D = A+B+(C+D)( +4+5), ( +4+5) ( +4+5) +4+5 ( +4+5) ) + + = C 3 + (4C + D) + (A + 5C + 4D) + (B + 5D). Por comparação, tem-se que:

63 8 >< >: C = 0 4C + D = A + 5C + 4D = B + 5D = Assim, R ++ d = ( +4+5) ) 8 >< >: Z 3 + 4 ( + 4 + 5) d {z } (II) A = 3 B = 4 C = 0 D = Z +. d + 4 + 5 {z } (I) Resolvendo R a integral (I): d = R d = arctan ( + ) + c +4+5 (+) +. () Resolvendo R a integral (I): 3+4 d = 3 R d + 4 R d ( +4+5) ( R +4+5) ( +4+5) = 3 +4 d + R d ( +4+5) ((+) +) = De nindo + 4 + 5 ) du = ( + 4) d. z = + ) dz = d Pelo R método da substituição, R temos que: 3+4 d = 3 d + R dz ( +4+5) (z +) R d + R z + z = 3 R d + R R z z + Z + arctg(z) + c = 3 = 3 dz (z +) dz Resolvendo, por partes, a integral (III): u = z ) du = dz De nindo dv = z dz ) v =. (z +) (z +) Assim, R z z dz = + R dz (z +) (z +) z + z = + arctan z + c (z +) 3 (3) Substituindo R (3) em (), temos que: 3+4 d = 3 +arctg(z) + z + c ( +4+5) z + 4. (4) (z +) dz z (z + ) dz {z } (III) Substituindo R () e (4) em (#), temos que: ++ d = 3 + :arctg(z) + z + k ( +4+5) z + 3 + = + :arctg(z) + + k ( +4+5 ) (+) + = +7 + + :arctg( + ) + + k. ( +4+5) (+) + (#) ()

64 5.9 Eercícios. Calcule as integrais inde nidas abaio usando integração imediata ou o método da substituição. (a) R + 3 R d (b) d (+) 3 (c) R p d (d) R 3p + 3d (e) R ln 3 d (f) R p d (g) R p sin cos d (h) R sin 3 d + cos 3 (i) R p 7 3p 6 4p d (i) R e p p + p p e d (k) R e + d (l) R p arctg ( + ) p d (m) R sec p tg p p d (n) R e 4 ( + 3e 4 ) d (o) R d (p) R ln + cos + 4 ln d (q) R senh(3) d (r) R tgh(ln (cos )) tg d. Use o método de integração por partes para calcular as integrais inde nidas abaio: (a) R cos d (b) R 3 d e (c) R e a cos (b) d, onde a e b R (d) R ln + p + d (e) R sen(3 ) d (f) R sec d (g) R n ln ( 3 ) d, n N (h) R arcsen() d (i) R arctg p d (j) R cos (ln ) d 3. Resolva as integrais de funções trigonométricas abaio: (a) R sin 4 (a) d, a R (b) R sen cos 5 d (c) R sen cos d (d) R (sen 3 + cos 3) d (e) R sen(3)sen() d (f) R ( sen ()) d (g) R cotg 3 ()cossec() d (h) R tg 3 () sec 4 () d (i) R cotg 3 () d (j) R tg sec 3 d 4. Calcule as integrais inde nidas, a seguir, pelo método da substituição trigonométrica. (a) R p R 9 d (b) d + 4 3 (c) R p a d, a R (d) R d p 5

65 (e) R d 4 + ln (f) R + 4 4 + 5 d (g) R d a sin (h) R d + b cos ( + p ) 3 (i) R d 3p 4 5. Resolva as integrais inde nidas elementares, que contém um trinômio quadrado, abaio: (a) R + 3 5 d (b) R ( ) + 3 + 4 d (c) R 5 + 3 p + 4 + 0 d (d) R ( + + 3) d (e) R ( + ) p + d (f) R d p + + (g) R e + e 5 d (h) R p + d e 6 (i) R cos sen 6sen + d 6. Use o método da decomposição em frações parciais para resolver as integrais inde nidas abaio: (a) R 5 4 d (b) R + 6 d (c) R 4 3 d (d) R d 3 + 3 (e) R 4 ( + 4) ( ) d (f) R + ( ) ( + ) d (g) R 3 + 4 ( 3 + + ) d (h) R 5 + 9 3 + d 3 + 9 (i) R 3e + e d (j) R 3 +d e 3 ( +) (l) R 3 + 3 ( ) ( 4 + ) d 7. Use alguma das técnicas de integração estudadas para provar que: Z du (a) u + a = arctg u a a + k Z du (b) p u a = ln p u + u a + k (c) R sec u du = ln jsec u + tg uj + k 8. Resolva as integrais inde nifas abaio pelo método que julgar conveniente:

66 (a) R ln + ln d (b) R sen cos 3 + p d + (d) R p p 3 3p d (c) R e e + d (e) R sec d (f) R cos sen p sen 4 d (tg + 9) 3 (g) R p + e d (h) R ln + p ln d (i) R p + d (j) R d p (k) R d p (l) R (ln ) d + e (m) R ln (ln ) ln d (n) R d + e (o) R ln 3 ( + 3 ) + 3 d (p) R ln p d (q) R sin 4 (e ) cos (e ) e d (r) R ( p + ) 3 p d (s) R (ln (cos )) tg d (t) R d 3 + p + (u) R ln ( + ) d (v) R e sec tan d cos (w) R e p e + d () R arcsen p d () R ln [ln (ln )] ln d (z) R tg 3p p d 9. Resolva as integrais inde nifas abaio pelo método que julgar conveniente: (a) R p p + 4 + d (b) R ln ( + 3) p d Z p p Z + 3 cotg(4) 3 cotg(4) (c) p cossec d (4) d (d) cotg(4) cossec 8 sec 3 Z Z p tg () sec (e) cos + 9 d (f) ln ln + 0 d Z Z (g) sin (4) e cos (3 cos ) sin d (h) Z cos 3 cos + cos d (i) e cos (3e ) d (j) R 5 + 9 3 + d 3 + 9 (k) R 3 (sin (3 ) + cos (3 )) d (l) R Z e p + e ln ( + e ) d 3p (m) 4 ( 3p +) d (n) R tg 3 cos e +sec d

67 5.0 Respostas OBS: Ao resolver essas questões você poderá obter resultados equivalentes. Eercício : (a) (6 ln 6 + 3 ) + k (b) ( + ) + k (c) (3 + ) ( 5 ) 3 + k (d) 5 ( ) ( + 3) 3 + k (e) 4 ln4 + k (f) ln + k (g) sin 3 3 + k (h) 3 ln cos + + k 3 (i) p 3 4 5 7 3 + k 3 p (j) e p e + k (k) e + + k (l) arctan p + k (n) 36e 4 + + k (o) cos () + k sen () (p) ln ln + + k 8 4 (q) cosh (3) + k 3 (r) ln jcosh (ln (cos ))j + k Eercício : (a) sin sin + cos + k (b) e (4 3 + 6 + 6 + 3) + k 8 a cos b + b sin b (c) e a + k a + b (d) ln + p + p + + k (e) sin (3 ) cos (3 ) + k 9 3 (f) (cos ln ( cos + ) + sin ) + k cos (g) n+ ln ( 3 ) + k n + n + (h) p 4 + arcsin + k (i) p + arctan p + k

68 (j) (cos (ln ) + sin (ln )) + k Eercício 3 (a) (sin 4a 3a (b) sin7 8 sin a + a) + k sin 5 + sin3 + k 7 5 3 (c) sin + k 8 6 (d) 7 + sin3 (3) sin (6) + 8 9 48 (e) sin sin (5) + k 0 (f) 9 + 4 cos sin () + k 4 csc () csc 3 () (g) + k 6 (h) tan6 + tan4 + k sin 3 (3) cos (3) + k 6 4 cot () ln (sin ()) (i) + k 4 (j) (tan 8 sec3 tan sec ln jtan + sec j) + k Eercício 4 (a) arctan ( ) + k p p 9 (b) + 3 3 9 ln + k 6 (c) p a a ln + p a + k (d) ln + p 5 + k ln (e) arctan + k (f) ln 8 + 4 5 + p 5 arctan p 5 + k 5 5 a tan (g) arctan + k ab p b + (h) 4p p + k p + 4 (i) 8 arctan p + k 6 4 Eercício 5 p! (a) ln p 6 + ( 5) + 3 6 ln + k 5 5 (b) ln p + 3 ( + 3 + 4) + 9 7 7 arctan p + k 7 (c) 5 p p! + 4 + 0 + + + 4 + 0 7 ln p + k 6

69 (d) ( + + 3) 3 + (e) p + + k (f) 8 4 p + + + p arctan p + k (g) ln (e + e 5) + p 6 6 ln e + p 6 + e p 6 + (h) 3 arcsin p 6 3 + k (i) p p3 3 arctan sin p 3 3 3 + k Eercício 6 p ln + 4 + p 8 ( + + ) + p ln + k! (a) ln ( ) + 3 ln ( + ) + k (b) + 4 ln ( ) 9 ln ( + 3) + k 5 5 (c) ln ( ) ln ( + ) + k (d) ( ln ln ( + 3) + 3) + k 9 (e) ln ( + 4) ln + k ln( (f) +) arctan + ln( )+ arctan ln( )+ ln( +)+ + k ( ) (g) 4 (7 4 arctan ( + ) 5 ln ( + + ) + 0 ln + 8) + k (h) ln ln 9 8 ( + 9) + 3 3 + k (i) 3 ln (e + e + ) ln (e ) + p 3 arctan p 3e + p! 3 + k 3 3 + k (j) 4 ln 6 ln( +)+ arctan ln( +) +4 ln + arctan 4( +) + k (l) 4 [6 ln ( ) 6 arctan + ln ( + ) 8 ln 4] + k Eercício 8 (a) ln ln + + k p (b) + ln + p + + sec + k (c) ln (e + ) + k (d) 6 ( + 3p ) 5 4 ( + 3p ) 3 + k 5 tan (e) 9 p 9 + tan + k h (f) arcsin sin + p i sin 4 sin 4 (g) p p e + e + + ln p + k e + + (h) 3 ln + 3 3 ln3 4 3 + k 9 (i) p arctan ( p ) + k (j) p + ln j p j + k + k

70 p e + (k) ln p + k e + + (l) 4 ln ln + + k (m) ln (ln ) + k (n) ln (e + ) + k (o) ln4 ( 3 + ) + k (p) p (ln ) + k (q) 0 sin5 (e ) + k (r) 3 (p + ) 4 3 + k (s) 3 ln3 (cos ) + k (t) p + 3 ln 3 + p + + k (u) arctan + ln ( + ) + k (v) esec + k (w) ln e + p e + + k p () arcsin + k () ln (ln ) [ln (ln (ln )) ] + k (z) p sec + ln cos p + k Eercício 9 (a) ( + ) 3 3 + 4 ( + ) 5 4 5 + 4 ( + ) 3 4 3 + + k (b) (ln ( + 3) ) p + 3 + k (c) 6 cot 5 6 (4) 5 cot (4) + k 0 (d) sin 8 sin9 + k (e) sec arctan (3 sec ) + k 9 p 7 p (f) (+ln ) ln ln +0+9 ln ln ln +0+ln + k (g) e cos ( cos 4) + k ou e cos (6 4 cos ) + k 5 (h) ln 4 (cos 5 + ) arctan (cos ) ln (cos ) + k 4 (i) e ( e cos (6e ) + 6e sin ( 6e ) + 8) + k 7 (j) 54 ln (7 6 + arctan (3 )) + k 3 + sin (3 ) + k (k) ln 3 (l) 9 (e + ) 3 [3 ln (e + ) ] + k (m) 6 ln + 3p 4 ln jj + p 3 arctan p 3p + k (n) etan (tan ) + k

Referências Bibliográ cas [] ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, vol., 6 a ed.., 000. [] FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 6 a ed. rev. e ampl., 006. [3] LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo. Editora HARBRA ltda, 3 a ed., 994. [4] NOLLI, Dario. Apostila utilizada nos semestres anteriores a 007/. (base desta). [5] PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral. Moscu, Editorial Mir, 4 a ed., 977. [6] SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo. Makron Books Ltda, a ed., 994. [7] THOMAS, G. E. Cálculo. São Paulo. Pearson Addison Wesle, São Paulo, vol., 0 a ed, 00. [8] KÜHLKAMP, N. Cálculo. Florianópolis. Editora UFSC, 3 a ed. rev. e ampl. 006. [9] SAMPAIO, J. C. V. Cálculo : Integração por Partes. UFSCAR. [Acesso: 06/0/0]. http://www.dm.ufscar.br/~sampaio/calculo_aula6.pdf

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