LIMITES E DERIVADAS 7.7 Eercícios. Uma curva em por equação f. (a) Escreva uma epressão para a inclinação da rea secane pelos ponos P, f e Q, f. (b) Escreva uma epressão para a inclinação da rea angene em P. ;. Faça o gráfico da curva e nas janelas, por,,,5;,5 por,5;,5, e,;, por,9;,. Dando um zoom no pono,, o que você percebe na curva?. (a) Enconre a inclinação da rea angene à parábola no pono, (i) usando a Definição. (ii) usando a Equação. (b) Enconre a equação da rea angene da pare (a). ; Faça os gráficos da parábola e da rea angene. Como verificação, dê um zoom em direção ao pono, aé que a parábola e a rea angene fiquem indisinguíveis.. (a) Enconre a inclinação da rea angene à curva no pono, (i) usando a Definição. (ii) usando a Equação. (b) Enconre a equação da rea angene da pare (a). ; Faça um gráfico da curva e da rea angene em janelas reangulares cada vez menores cenrados no pono, aé que a curva e a angene pareçam indisinguíveis. 5 8 Enconre uma equação da rea angene à curva no pono dado. 5.,, 6.,, 7. s, (, 8.,, 9. (a) Enconre a inclinação da angene à curva no pono onde a. (b) Enconre as equações das reas angenes nos ponos, 5 e,. ; Faça o gráfico da curva e de ambas as angenes em uma mesma ela.. (a) Enconre a inclinação da angene à curva s no pono onde a. (b) Enconre as equações das reas angenes nos ponos, e (, ). ; Faça o gráfico da curva e de ambas as angenes em uma mesma ela.. (a) Uma parícula começa se movendo para a direia ao longo de uma rea horizonal; o gráfico de sua função posição esá mosrado. Quando a parícula esá se movendo para a direia? E para a esquerda? Quando esá parada? (b) Trace um gráfico da função velocidade. s (meros). São dados os gráficos das funções das posições de dois corredores, A e B, que correm meros rasos e erminam empaados. s (meros) 8 8 (a) Descreva e compare como os corredores correram a prova. (b) Em que insane a disância enre os corredores é maior? Em que insane eles êm a mesma velocidade?. Se uma bola for airada ao ar com velocidade de m/s, sua alura (em meros) depois de segundos é dada por,9. Enconre a velocidade quando.. Se uma pedra for lançada para cima no planea Mare com velocidade de m s, sua alura (em meros) após segundos é dada por H,86. (a) Enconre a velocidade da pedra após um segundo. (b) Enconre a velocidade da pedra quando a. Quando a pedra ainge a superfície? (d) Com que velocidade a pedra ainge a superfície? 5. O deslocameno (em meros) de uma parícula movendo-se ao longo de uma rea é dado pela equação do movimeno s, onde é medido em segundos. Enconre a velocidade da parícula nos insanes a,, e. 6. O deslocameno (em meros) de uma parícula movendo-se ao longo de uma rea é dado pela equação s 8 8, onde é medido em segundos. (a) Enconre as velocidades médias sobre os seguines inervalos de empo: (i), (ii),5; (iii), 5 (iv) ;,5 (b) Enconre a velocidade insanânea quando. Faça o gráfico de s como uma função de e desenhe as reas secanes cujas inclinações são as velocidades médias da pare (a), e a rea angene cuja inclinação é a velocidade insanânea da pare (b). 7. Para a função cujo gráfico é dado, arrume os seguines números em ordem crescene e eplique seu raciocínio:,,,,. A B () (segundos) 6 (segundos) ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou compuador. As Homework Hins esão disponíveis em www.sewarcalculus.com
8 CÁLCULO 8. Enconre uma equação para a rea angene ao gráfico de em 5 se 5 e 5. 9. Se uma equação de uma rea angene à curva f no pono onde a é 5, enconre f e f.. Se a rea angene a f em (, ) passar pelo pono (, ), enconre f e f.. Esboce o gráfico de uma função f para a qual f, f, f e f.. Esboce o gráfico de uma função para a qual,,,, lim l e lim l.. Se f, enconre f e use-o para enconrar uma equação da rea angene à curva no pono,.. Se, enconre e use-o para enconrar uma equação da rea angene à curva no pono,. 5. (a) Se F 5, enconre F e use-o para enconrar uma equação da rea angene à curva 5 no pono,. ; (b) Ilusre a pare (a) raçando a curva e a rea angene na mesma ela. 6. (a) Se G, enconre G a e use-o para enconrar uma equação da rea angene à curva nos ponos, 8 e, 9. ; (b) Ilusre a pare (a) raçando a curva e as reas angenes na mesma ela. 7 Enconre f a. 7. f 8. f 9. f. f. f s. f s 8 Cada limie represena a derivada de cera função f em cero número a. Diga o que são f e a em cada caso. h. lim. h l h 5. lim 6. l5 5 cos h 7. lim 8. h l h s 6 h lim h l h g lim lp p lim l 9 Uma parícula se move ao longo de uma rea com equação de movimeno s f, onde s é medido em meros e em segundos. Enconre a velocidade e a velocidade escalar quando 5. 9. f 5,9. f. Uma laa de refrigerane morna é colocada na geladeira. Esboce o gráfico da emperaura do refrigerane como uma função do empo. A aa de variação inicial da emperaura é maior ou menor que a aa de variação após hora?. Um peru assado é irado de um forno quando a sua emperaura ainge 85 ºC e colocado sobre uma mesa, em uma sala na qual a emperaura é C. O gráfico mosra como a emperaura do peru diminui e finalmene chega à emperaura ambiene. Por meio da medida da inclinação da rea angene, esime a aa de variação da emperaura após hora. T (ºC) 8 P 6 9 5 (min). A abela mosra o número de passageiros P que chegaram à Irlanda por avião, em milhões. Ano 5 7 9 P 8,9 9,65,78,5,8 (a) Deermine a aa média de crescimeno de P (i) de a 5 (ii) de a 5 (iii) de 5 a 7 Em cada caso, inclua as unidades. (b) Dê uma esimaiva da aa de crescimeno insanânea em 5, omando a média de duas aas médias de variação. Quais são suas unidades?. O número N de franquias de uma cera cadeia popular de cafeeiras é mosrada na abela. (São dados os números de franquias no dia de ouubro.) Ano 5 6 7 8 N 8.569.. 5. 6.68 (a) Deermine a aa média de crescimeno (i) de 6 a 8 (ii) de 6 a 7 (iii) de 5 a 6 Em cada caso, inclua as unidades. (b) Dê uma esimaiva da aa de crescimeno insanânea em 6 omando a média de duas aas médias de variação. Quais são suas unidades? Dê uma esimaiva da aa de crescimeno insanânea em 6 medindo a inclinação de uma angene. (d) Esime a aa insanânea de crescimeno em 7 e compare- -a com a aa de crescimeno em 6. O que você pode concluir? 5. O cuso (em dólares) de produzir unidades de uma cera mercadoria é C 5.,5. (a) Enconre a aa média da variação de C em relação a quando os níveis de produção esiverem variando (i) de a 5 (ii) de a (b) Enconre a aa insanânea da variação de C em relação a quando. (Isso é chamado cuso marginal. Seu significado será eplicado na Seção.7.) 6. Se um anque cilíndrico compora. liros de água, que podem escoar pela base do anque em uma hora, enão a Lei de Torricelli fornece o volume V de água que resou no anque após minuos como
LIMITES E DERIVADAS 9 V ( 6 ) 6 Enconre a aa pela qual a água esá escoando para fora do anque (a aa insanânea da variação de V em relação a ) como uma função de. Quais são suas unidades? Para os insanes,,,,, 5 e 6 minuos, enconre a aa do escoameno e a quanidade de água resane no anque. Resuma o que você achou em uma ou duas senenças. Em que insane a aa do escoameno é a máima? E a mínima? 7. O cuso da produção de quilogramas de ouro provenienes de uma nova mina é C f dólares. (a) Qual o significado da derivada f? Quais são suas unidades? (b) O que significa a afirmaiva f 5 6? Você acha que os valores de f irão crescer ou decrescer a curo prazo? E a longo prazo? Eplique. 8. O número de bacérias depois de horas em um laboraório eperimenal conrolado é n f. (a) Qual o significado da derivada f 5? Quais são suas unidades? (b) Suponha que haja uma quanidade ilimiada de espaço e nurienes para a bacéria. Qual será maior: f 5 ou f? Se a ofera de nurienes for limiada, isso afearia sua conclusão? Eplique. 9. Seja T a emperaura (em C) em Manila, horas após o meio- -dia, em 9 de julho de. A abela mosra os valores dessa função regisrados de duas em duas horas. Qual o significado de T 5? Esime o seu valor. solubilidades do oigênio varia em função da emperaura T da água. (a) Qual o significado da derivada S T? Quais são suas unidades? (b) Dê uma esimaiva do valor S 6 e inerpree-o. S (mg/ L) 5. O gráfico mosra a influência da emperaura T sobre a velocidade máima s de nado de salmões Coho. (a) Qual o significado da derivada S T? Quais são suas unidades? (b) Dê uma esimaiva dos valores de S 5 e S 5 e inerpree-os. S (cm/s) 6 8 8 6 T (ºC) Adapado de Kupchella & Hland, Environmenal Science: Living Wihin he Ssem of Naure, ª ed.; 989. Impresso e reproduzido eleronicamene com permissão da Pearson Educaion, Inc., Upper Saddle River, NJ. 5 7 9 T 7 6 5 5. A quanidade (em quilogramas) de café vendida por uma companhia para uma lanchonee ao preço de p dólares por quilogramas é dada por Q f p. (a) Qual o significado da derivada f 8? Quais são suas unidades? (b) f 8 é posiivo ou negaivo? Eplique. 5. A quanidade de oigênio que pode ser dissolvido em água depende da emperaura da água. (Logo, a poluição érmica influencia o nível de oigênio da água.) O gráfico mosra como a 5 5 Deermine se eise ou não f. 5. sen f se se 5. f sen se se T (ºC) PROJETO ESCRITO MÉTODOS INICIAIS PARA ENCONTRAR TANGENTES A primeira pessoa a formular epliciamene as ideias de limie e derivada foi Sir Isaac Newon, em 66. Mas Newon reconhecia que Se vejo mais longe do que ouros homens, é porque esou sobre os ombros de giganes. Dois desses giganes eram Pierre Ferma (6-665) e o menor de Newon em Cambridge, Isaac Barrow (6-677). Newon esava familiarizado com os méodos deles para enconrar as reas angenes, e esses méodos desempenharam papel imporane na formulação final do cálculo de Newon. As seguines referências conêm eplicações desses méodos. Leia uma ou mais referências e escreva um relaório comparando os méodos ou de Ferma ou de Barrow com os méodos modernos. Em paricular, use o méodo da Seção.7 para enconrar uma equação da rea angene à curva no pono (, ) e mosre como Ferma ou Barrow eriam resolvido o mesmo problema. Embora você enha usado as derivadas e eles não, mosre a analogia enre os méodos.. Boer C.; Merzbach U. A Hisor of Mahemaics. Nova York: Wile, 989, p. 89,.. Edwards C. H. The Hisorical Developmen of he Calculus. Nova York: Springer-Verlag, 979, p.,.. Eves H. An Inroducion o he Hisor of Mahemaics, 6. ed. Nova York: Saunders, 99, p. 9, 95.. Kline M. Mahemaical Though from Ancien o Modern Times. Nova York: Oford Universi Press, 97, p., 6.
LIMITES E DERIVADAS 7 para odos os valores de. Assim, f é uma função consane e seu gráfico é uma rea horizonal. Porano, para odos os valores de, f Podemos inerprear fisicamene a erceira derivada no caso em que a função é a função posição s s de um objeo que se move ao longo de uma rea. Como s s a, a erceira derivada da função posição é a derivada da função aceleração e é chamada jerk: j da d d s d Assim, o jerk j é a aa de variação da aceleração. O nome é adequado (jerk, em poruguês, significa solavanco, sacudida), pois um jerk grande significa uma variação súbia na aceleração, o que causa um movimeno abrupo em um veículo. Vimos que uma aplicação da segunda e erceira derivadas ocorre na análise do movimeno de objeos usando aceleração e jerk. Invesigaremos mais uma aplicação da segunda derivada na Seção., quando mosraremos como o conhecimeno de f nos dá informação sobre a forma do gráfico de f. No Capíulo, no Volume II, veremos como a segunda derivada e as derivadas de ordem mais ala nos permiem represenar funções como somas de séries infinias..8 Eercícios Use os gráficos dados para esimar o valor de cada derivada. Esboce enão o gráfico de f.. (a) f (b) f f (d) f (e) f (f) f (g) f. (a) f (b) f f (d) f (e) f (f) f 5 (g) f 6 (h) f 7 Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Assuma que os eios possuem escalas iguais.) Use, enão, o méodo do Eemplo para esboçar o gráfico de f abaio.. I III II IV. Associe o gráfico de cada função em (a)-(d) com o gráfico de sua derivada em I IV. Dê razões para suas escolhas. (a) (b) 5. 6. (d) ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou compuador. As Homework Hins esão disponíveis em www.sewarcalculus.com
8 CÁLCULO 7. 8. F (mi/gal) 9.. 5 6 7 (mi/h). 5. O gráfico mosra como a idade média dos homens japoneses quando se casam pela primeira vez variou na úlima meade do século XX. Esboce o gráfico da função derivada M. Em quais os anos a derivada foi negaiva? M 7 5. O gráfico mosrado corresponde ao da função população P de culura em laboraório de células de levedo. Use o méodo do Eemplo para ober o gráfico da derivada P. O que o gráfico de P nos diz sobre a população de levedo? P 5. Uma pilha recarregável é colocada no carregador. O gráfico mosra C(), a porcenagem de capacidade oal que a pilha alcança conforme a função de empo passa (em horas). (a) Qual o significado da derivada C? (b) Esboce o gráfico de C. O que o gráfico diz? porcenagem da carga complea (células de levedo) 5 5 C 8 6 6 8 (horas) (horas). O gráfico (do Deparameno de Energia dos EUA) mosra como a velocidade do carro afea o rendimeno do combusível. O rendimeno do combusível F é medido em milhas por galão e a velocidade v é medida em milhas por hora. (a) Qual o significado da derivada F v? (b) Esboce o gráfico de F v. Em qual velocidade você deve dirigir se quer economizar combusível? 96 97 98 6 8 Faça um esboço cuidadoso de f e abaio dele esboce o gráfico de f, como foi feio nos Eercícios. Você pode sugeir uma fórmula para f a parir de seu gráfico? 6. f sen 7. f e 8. f ln 9. Seja f. (a) Esime os valores de f, f ( ), f e f fazendo uso de uma ferramena gráfica para dar zoom no gráfico de f. (b) Use a simeria para deduzir os valores de f ( ), f e f. Uilize os resulados de (a) e (b) para conjecurar uma fórmula para f. (d) Use a definição de derivada para demonsrar que sua conjecura em esá correa.. Seja f. (a) Esime os valores de f, f ( ), f, f e f fazendo uso de uma ferramena gráfica para dar zoom no gráfico de f. (b) Use simeria para deduzir os valores de f ( ), f, f e f. Empregue os valores de (a) e (b) para fazer o gráfico de f. (d) Conjecure uma fórmula para f. (e) Use a definição de derivada para demonsrar que sua conjecura em (d) esá correa. Enconre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.. f. f m b. f 5 9. f,5,7 5. f 5 6. 99 f s
LIMITES E DERIVADAS 9 7. s9 8. f 9. G. f. f 9... (a) Esboce o gráfico de f s6 começando pelo gráfico de s e usando as ransformações da Seção.. (b) Use o gráfico da pare (a) para esboçar o gráfico de f. Use a definição de derivada para enconrar f. Quais os domínios de f e f? ; (d) Use uma ferramena gráfica para fazer o gráfico de f e compare-o com o esboço da pare (b).. (a) Se f, enconre f. ; (b) Verifique se sua resposa na pare (a) foi razoável, comparando os gráficos de f e f.. (a) Se f, enconre f. ; (b) Verifique se sua resposa na pare (a) foi razoável, comparando os gráficos de f e f. 5. A aa de desemprego U varia com o empo. A abela fornece a porcenagem de desempregados na força de rabalho ausraliana em meados de 995 a. f s ;. Faça o gráfico da função. Dê zoom primeiro em direção ao pono (, ) e, enão, em direção à origem. Qual a diferença enre os comporamenos de f próimo a esses dois ponos? O que você conclui sobre a diferenciabilidade de f? ;. Dê zoom em direção aos ponos (, ), (, ) e (, ) sobre o gráfico da função. O que você observa? Eplique o que você viu em ermos da diferenciabilidade de.. A figura mosra os gráficos de f, f e f. Idenifique cada curva e eplique suas escolhas. b c a U U 995 8, 6, 996 8, 6,9 997 8, 6,5 998 7,9 6, 999 6,7 5,6 (a) Qual o significado de U? Quais são suas unidades? (b) Consrua uma abela de valores para U. 6. Seja P a porcenagem da população das Filipinas com idade maior que 6 anos no insane. A abela fornece projeções dos valores desa função de 995 a.. A figura mosra os gráficos de f, f, f e f. Idenifique cada curva e eplique suas escolhas. a b c d P P (a) Qual o significado de P? Quais são suas unidades? (b) Consrua uma abela de valores para P. Faça os gráficos de P e P. 7 O gráfico de f é dado. Indique os números nos quais f não é diferenciável. 7. 8. 995 5, 6,7 5,5 5 7,7 5 6, 8,9 5. A figura mosra os gráficos de rês funções. Uma é a função da posição de um carro, oura é a velocidade do carro e oura é sua aceleração. Idenifique cada curva e eplique suas escolhas. a b c 6. A figura mosra os gráficos de quaro funções. Uma é a função da posição de um carro, oura é a velocidade do carro, oura é sua aceleração e oura é seu jerk. Idenifique cada curva e eplique suas escolhas.
5 CÁLCULO ; 7 8 Use a definição de derivada para enconrar f e f. A seguir, race f, f e f em uma mesma ela e verifique se suas resposas são razoáveis. ; 9. Se f, enconre f, f, f e f. Trace f, f, f e f em uma única ela. Os gráficos são consisenes com as inerpreações geoméricas desas derivadas? 5. (a) É mosrado o gráfico da função posição de um veículo, onde s é medido em meros e, em segundos. Use-o para raçar a velocidade e a aceleração do veículo. Qual é a aceleração em segundos? s a 7. f 8. f (b) Use a curva da aceleração da pare (a) para esimar o jerk em segundos. Qual a unidade do jerk? 5. Seja f s. (a) Se a, use a Equação.7.5 para enconrar f a. (b) Mosre que f não eise. Mosre que s em uma rea angene verical em,. (Relembre o formao do gráfico de f. Veja a Figura na Seção..) 5. (a) Se, mosre que não eise. (b) Se a, enconre a. Mosre que em uma rea angene verical em,. ; (d) Ilusre a pare fazendo o gráfico de. b c d 5. Mosre que a função não é diferenciável em 6. Enconre uma fórmula para f e esboce seu gráfico. 5. Onde a função maior ineiro f não é diferenciável? Enconre uma fórmula para f e esboce seu gráfico. 55. (a) Esboce o gráfico da função. (b) Para quais valores de é f diferenciável? Enconre uma fórmula para f. 56. As derivadas à esquerda e à direia de F em a são definidas por e f 6 f a lim h l f a lim h l se esses limies eisirem. Enão f a eise se, e somene se, essas derivadas unilaerais eisirem e forem iguais. (a) Enconre f e f para a função f 5 (b) Esboce o gráfico de f. Onde f é desconínua? (d) Onde f não é diferenciável? f f a h f a h f a h f a h 5 se se se 57. Lembre-se de que uma função f é chamada par se f f para odo em seu domínio, e ímpar se f f para cada um deses. Demonsre cada uma das afirmaivas a seguir. (a) A derivada de uma função par é uma função ímpar. (b) A derivada de uma função ímpar é uma função par. 58. Quando você abre uma orneira de água quene, a emperaura T da água depende de quano empo a água esá fluindo. (a) Esboce um gráfico possível de T como uma função do empo que decorreu desde que a orneira foi abera. (b) Descreva como é a aa de variação de T em relação a quando esá crescendo. Esboce um gráfico da derivada de T. 59. Seja a rea angene à parábola no pono,. O ângulo de inclinação de é o ângulo que faz com a direção posiiva do eio. Calcule com a precisão de um grau. Revisão Verificação de Conceios. Eplique o significado de cada um dos limies a seguir e ilusre com um esboço. (a) (e) lim f L la lim la (b) f L (d) lim f lim f L l lim f L la. Descreva as várias siuações nas quais um limie pode não eisir. Ilusre-as com figuras. la. Enuncie cada uma das seguines Propriedades dos Limies. (a) Propriedade da Soma (b) Propriedade da Diferença Propriedade do Múliplo (d) Propriedade do Produo Consane (e) Propriedade do Quociene (f) Propriedade da Poência (g) Propriedade da Raiz. O que afirma o Teorema do Confrono? 5. (a) O que significa dizer que uma rea a é uma assínoa verical da curva f? Trace curvas que ilusrem cada uma das várias possibilidades.
APÊNDICES A65 EXERCÍCIOS.6. (a) Quando se orna grande, f () aproima-se de 5. (b) Quando se orna um negaivo grande (em módulo), f () aproima-se de.. (a) (b) (d) (e) (f),,, 5. 7. =5 =_5 =. (a) (b) 6 5. 8 7. 9. (a) 8a 6a (b), 8 9 _ 5 9. = =.. 5. 7. 9... 5. 6 7. a b 9... p/ 5. 7. 9. (a), (b).,. ;, 5. 5 7. 9. f 5 5. (a) (b) 5 5., 55.,. (a) Direia: e 6; esquerda: ; esá parada: e (b) v (m/s) (segundos). 9,6 m s 5. a m s ; m s ; m s ; 7 m s 7.,,,, 9. f () ; f (). 57. (a) (b) Um número infinio de vezes. 5. (a) 5; 5 6 5 (b) 59. (a) (b) 6. 5 6. (a) v* (b),,7 s 65. N 5 67. N 6, N 69. (a) EXERCÍCIOS.7 f f. (a) (b) -5 5 lim l _,5 f f 7. 6a 9. 5. a s a. f, a ou f, a 5. f, a 5 7. f cos, a ou f cos, a 9. m s; m s. Temperaura Maior (em módulo) (em ºC) Tempo (em horas) 6
A66 CÁLCULO. (a) (i),8 (ii),7 (iii),8 (b), milhão de passageiros por ano 5. (a) (i) $,5 unidade (ii) $,5 unidade (b) $ unidades 7. (a) A aa na qual o cuso esá variando por quilograma de ouro produzido; dólares por quilograma (b) Quando o 5º quilograma de ouro é produzido, o cuso da produção é de $ 6/kg Decresce a curo prazo; cresce a longo prazo 9. A aa em que a emperaura esá variando às 7h;,5 ºC/h 5. (a) A aa em que a solubilidade do oigênio varia com relação à emperaura da água; (mg/l)/ºc (b) S 6,5; à medida que a emperaura aumena após 6 ºC, a solubilidade do oigênio esá decrescendo a uma aa de,5 mg L C. 5. Não eise EXERCÍCIOS.8. (a), (b) (d) (e) (f) (g), _ 7. f, 9. (a),,, (b),, f e f. f,,. f 5 8,, 5. f,, 7.,, 9,, 9 s9 9. G 7,,,,,,. f,,. (a) f 5. (a) A aa em que o índice de desemprego esá variando, em porcenagem de desempregados por ano (b) U U 995, 996,5 997,5 998,75 999,85,,5,5,5,6. (a) II (b) IV I (d) III 5. 7. 7. (cano); (desconinuidade) 9. (angene verical); (cano). _ Derivável em ; não derivável em 9... (a) A aa insanânea de variação da porcenagem da capacidade oal com relação ao empo decorrido em horas (b) A aa de variação da porcenagem da capacidade oal esá decrescendo e se aproimando a. =Cª(). a f, b f, c f 5. a aceleração, b velocidade, c posição 7. 6 ; 6 _ 9. f, f f f 6, 6 f 6, f f _ 7 _ ªª f 6 8 5. (a) a 7 5. 96 a 97 =Mª(), 5. f se 6 se 6,5 _, ou f 6 6 _ 6 95 96 97 98 99
APÊNDICES A67 55. (a) (b) Todo 57. 6 CAPÍTULO REVISÃO Tese Verdadeiro-Falso. Falso. Verdadeiro 5. Falso 7. Verdadeiro 9. Verdadeiro. Verdadeiro. Falso 5. Verdadeiro 7. Verdadeiro 9. Falso. Falso. Verdadeiro Eercícios. (a) (i) (ii) (iii) Não eise (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (b),, (d),,,. 5. 7. 9.. 7. 5. 7. 9..,. 9. (a) (i) (ii) (iii) Não eise (iv) (v) (vi) (b) Em e. 5. (a) 8 (b) 8 7 7. (a) (i) m s (ii),75 m s (iii),65 m s (iv),55 m s (b),5 m s 9. (a) (b) 6. (a) A aa em que o cuso varia com relação à aa de juros; dólares/(% ao ano) (b) À medida que a aa de juros aumena após %, o cuso esá aumenando a uma aa de $ /(% ao ano). Sempre posiivo. f 7. (desconinuidade), (cano), (desconinuidade), 5 (angene verical) 9. A aa em que o valor do euro esá variando no meio do ano de em ermos de dólares americanos por ano; $,5/ano 5. PROBLEMAS QUENTES.. 5. (a) Não eise (b) 7. a s5 9.. (b) Sim Sim; não. (a) (b) f CAPÍTULO EXERCÍCIOS.. (a) Veja a Definição do Número e (b),99,,;,7 e,8. f 5. f 5 7. f 9. () 6. 5 7 5. A (s) 6/s 6 5. R (a) 8a 6 7. S (p) p 9. e. h (u) Au Bu C. s s s 5. j (),, 7. 9. H u 5 5. z A/ Be. 5. Tangene: ; normal: 7. 9. f () 6. (a) 9 7 5 5. 5. f 9 5 ; f 9 8 f 5, f 5 6 5 7. (a) v, a 6 (b) m s a 6m s 9. (a) V 5,/P (b),; aa insanânea de variação do volume com relação à pressão em 5 C; m /kpa 5. 55.,,, 6 5, 7 57. 59., 6. P 65. 6 9 67. Não 5 5. (a) f 5 5 (b) (, 5 ], (, 5 ) 6 f =f() (, ) =() _ 69. (a) Não derivável em ou _6 f se se