INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE SAÚDE EAME DE ESTATÍSTICA / ESTATÍSTICA I Cursos: Licenciatura em Enfermagem e Licenciaturas Bi-etápicas em Fisioterapia e em Terapia da Fala Época de Recurso o Ano/3 o Semestre 007/08 Data: 3 a feira, 9 de Setembro de 008 Duração: 10h às 1h30m Instruções: 1. Leia atentamente o teste antes de começar.. Justifique convenientemente todas as respostas. 3. É permitida a utilização individual de tabelas e de máquina de calcular. 4. O abandono da sala por desistência só deverá ocorrer depois de decorridos 45 minutos a partir do início da prova. O abandono da sala implica a entrega definitiva do teste/exame. Questões: 1. A distribuição do número de consultas anuais de medicina familiar, numa amostra de 140 utentes de um dado centro de saúde, é a seguinte: Número de Consultas [0; 4[ [4; 8[ [8; 1[ [1; 16[ [16; 0] Frequência Absoluta 63 4 1 7 7 [1.0] (a) Complete a tabela através das frequências relativas e das frequências relativas acumuladas; [1.5] (b) Determine os valores aproximados da média e da mediana, para o número de consultas anuais de medicina familiar dos utentes da amostra. Com base nestes resultados e sabendo que a moda é aproximadamente 4, interprete a simetria dos dados; [1.5] (c) Determine um intervalo de confiança a 95%, para a proporção de utentes do centro de saúde com pelo menos 1 consultas anuais.. Para avaliar a relação entre a massa muscular e a idade de um grupo de mulheres, um investigador selecionou aleatoriamente 3 mulheres de cada subgrupo etário em faixas de idade de 10 anos, com início nos 40 anos e terminando nos 80 anos. Os resultados são apresentados abaixo, sendo a idade e Y uma medida da massa muscular: M assa muscular 100 116 105 100 87 76 91 84 78 73 65 77 Idade 43 45 49 53 56 58 64 65 68 73 76 78 xi 78 yi 105 xi y i 6108 x i 45718 y i 94730 [1.0] (a) Determine o coeficiente de correlação linear empírico e comente o resultado; [.0] (b) Determine a massa muscular previsível numa mulher de 60 anos; [1.0] (c) Mostre que o desvio padrão amostral da massa muscular é aproximadamente 15.09; [.0] (d) Considere o intervalo de confiança (IC) obtido para a média da massa muscular, com uma amplitude l 3.7. Determine o grau de confiança do IC; [1.5] (e) Qual deve ser a dimensão da amostra para que possa obter um intervalo com 1 4 da amplitude do intervalo anterior? (Obs.: Considere que o grau de confiança e a variância se mantiveram e que t (n 1);1 α.36).
[.5] (f) A bibliografia de referência consultada pelo investigador aponta para um valor médio da massa muscular de 90. Pressupondo a normalidade dos dados, poder-se-á concluir para um nível de significância de 1%, que a amostra recolhida provém de uma população com um valor médio semelhante? Justifique. (Obs.:Use o valor p). 3. O teste de Stanford-Binet para o QI está concebido para fornecer uma pontuação média de 100 e um desvio padrão de 16. Considerando que a distribuição da pontuação é uma variável aleatória normal: [1.5] (a) Qual a probabilidade de uma criança ter um QI inferior a 80? E um QI superior a 145? [1.5] (b) Sabendo que as crianças com QI inferior a 80 ou com QI superior a 145 necessitam um acompanhamento especializado, determine num grupo de 000 crianças, o número esperado das que requerem este tipo de acompanhamento. [3.0] 4. Uma equipa de investigadores consultou os ficheiros de 10 pacientes de ambos os sexos, sujeitos a exames ultrasónicos das carótidas, tendo verificado que alguns tinham doenças relacionadas com a arterioesclerose cerebral (AC). Com os dados obtidos elaboraram a seguinte tabela: Homens Mulheres com AC 6 38 sem AC 5 31 Teste, ao nível de significância de 5%, se existe independência entre as doenças relacionadas com a arterioesclerose cerebral e o sexo dos indivíduos. Fim.
TÓPICOS DE RESOLUÇÃO 1. A distribuição do número de consultas anuais de medicina familiar, numa amostra de 140 utentes de um dado centro de saúde, é a seguinte: Número de Consultas [0; 4[ [4; 8[ [8; 1[ [1; 16[ [16; 0] Frequência Absoluta 63 4 1 7 7 [1.0] (a) Complete a tabela através das frequências relativas e das frequências relativas acumuladas; Classe [0; 4[ [4; 8[ [8; 1[ [1; 16[ [16; 0] x I i 6 10 14 18 f a 63 4 1 7 7 f r 0.45 0.3 0.15 0.05 0.05 F r 0.45 0.75 0.9 0.95 1 [1.5] (b) Determine os valores aproximados da média e da mediana, para o número de consultas anuais de medicina familiar dos utentes da amostra. Com base nestes resultados e sabendo que a moda é aproximadamente 4, interprete a simetria dos dados; Média: x ' f ri x I i Mediana: Classe Mediana - l [4 8[ 0.45 +0.3 6+... +0.05 18 5.8 ex ' x min l + l 0.5 F rl 1 f rl 0.5 0.45 4+4 ' 4.67 0.3 Sendo Mo 4tem-se Mo 4< ex ' 4.67 < x ' 5.8 pelo que os dados apresentam uma distribuição enviesada à esquerda ou assimétrica positiva. [.0] (c) Determine um intervalo de confiança a 95%, para a proporção de utentes do centro de saúde com pelo menos 1 consultas anuais. IC para p : # r " p p q z 1 α/ n com p 14 140 0.1 e z 1 α/ z 0.975 1.96 # r " 0.1 0.9 0.1 1.96 ]0.05; 0.15[ 140. Para avaliar a relação entre a massa muscular e a idade de um grupo de mulheres, um investigador selecionou aleatoriamente 3 mulheres de cada subgrupo etário em faixas de idade de 10 anos, com início nos 40 anos e terminando nos 80 anos. Os resultados são apresentados abaixo, sendo a idade e Y uma medida da massa muscular: M assa muscular 100 116 105 100 87 76 91 84 78 73 65 77 Idade 43 45 49 53 56 58 64 65 68 73 76 78 xi 78 yi 105 xi y i 6108 x i 45718 y i 94730 3
[1.0] (a) Determine o coeficiente de correlação linear empírico e comente o resultado; r P xi y i nxy q P x i nx P y i ny r r h 45718 1 78 1 6108 1 78 i h 1 105 1 94730 1 105 1 i ' 0.87 [.0] (b) Determine a massa muscular previsível numa mulher de 60 anos; Determinação da recta de regressão linear y a + bx, sendo ½ b n x i y i x i yi n x i ( x i) a y bx logo pelo que sendo x 60se tem ½ b 1 6108 78 105 1 45718 78 1.1035 a 105 78 1 +1.1035 1 154.61 y 154.61 1.1035x y 154.61 1.1035 60 88.4 [1.0] (c) Mostre que o desvio padrão amostral da massa muscular é aproximadamente 15.09; s s s P y i ny n 1 s 94730 1 105 1 ' 15.09 11 [.0] (d) Considere o intervalo de confiança (IC) obtido para a média da massa muscular, com uma amplitude l 3.7. Determine o grau de confiança do IC; Amplitude de um IC para μ com σ desconhecido e n 30 : s l t n 1;1 α/ n 3.7 t 11;1 α/ 15.09 1 t 11;1 α/.7 1 α 0.99 1 α 0.98 [1.5] (e) Qual deve ser a dimensão da amostra para que possa obter um intervalo com 1 4 intervalo anterior? da amplitude do 4
(Obs.: Considere que o grau de confiança e a variância se mantiveram e que t (n 1);1 α.36). 3.7 4.36 15.09 n n ' 144 [.5] (f) A bibliografia de referência consultada pelo investigador aponta para um valor médio da massa muscular de 90. Pressupondo a normalidade dos dados, poder-se-á concluir para um nível de significância de 1%, que a amostra recolhida provém de uma população com um valor médio semelhante? Justifique. (Obs.:Use o valor p). Vamos efectuar um teste de hipóteses, para μ : n H0 : μ 90 H 1 : μ 6 90 Estatística teste: T Y μ t n 1 S n T 87.67 90 15.09 ' 0.535 1 Valor-p : p v P (T 0.535) + P (T 0.535) P (T 0.535) (1 P (T 0.535)) P (T 0.535) F (0.535) Como se tem para t 11 0.60 < 0.535 < 0.540 F (0.60) <F(0.535) <F(0.540) 0.6 <F(0.535) < 0.7 1.4 < F (0.535) < 1. 0.6 <p v < 0.8 p v > 0.01 Logo não se rejeita H 0 : μ 90. 3. O teste de Stanford-Binet para o QI está concebido para fornecer uma pontuação média de 100 e um desvio padrão de 16. Considerando que a distribuição da pontuação é uma variável aleatória normal: [1.5] (a) Qual a probabilidade de uma criança ter um QI inferior a 80? E um QI superior a 145? Pontuação no teste de Stanford-Binet para o QI. N (μ 100; σ 16) P ( <80) P µ Z< 80 100 16 Φ ( 1.5) 1 Φ (1.5) 1 0.8944 0.1056 5
µ P ( >145) 1 P Z 145 100 16 1 Φ (.81) 1 0.9975 0.005 [1.5] (b) Sabendo que as crianças com QI inferior a 80 ou com QI superior a 145 necessitam um acompanhamento especializado, determine num grupo de 000 crianças, o número esperado das que requerem este tipo de acompanhamento. P ({ <80} { >145}) Acontecimentos incompatíveis P ( <80) + P ( >145) 0.1056 + 0.005 0.1081 Y n o de crianças, em 000, que necessitam de um acompanhamento especializado. Y B (n 000; p 0.1081) E (Y ) np 000 0.1081 ' ' 16 [.5] 4. Uma equipa de investigadores consultou os ficheiros de 10 pacientes de ambos os sexos, sujeitos a exames ultrasónicos das carótidas, tendo verificado que alguns tinham doenças relacionadas com a arterioesclerose cerebral (AC). Com os dados obtidos elaboraram a seguinte tabela: com AC Homens 6 Mulheres 38 sem AC 5 31 Teste, ao nível de significância de 5%, se existe independência entre as doenças relacionadas com a arterioesclerose cerebral e o sexo dos indivíduos. Formulação do teste: ½ H0 : p ij p i. p.j H 1 : p ij 6 p i. p.j (as doenças relacionadas com a AC são independentes do sexo dos indivíduos ) (as doenças relacionadas com a AC não são independentes do sexo dos indivíduos ) Estatística teste: Q i1 j1 (O ij E ij ) E ij χ (r 1)(c 1) χ (1) Sujeitos examinados Género M F Total com AC 6 38 64 sem AC 5 31 56 Total 51 69 10 frequências observadas Sujeitos examinados Género M F Total com AC 7. 36.8 64 sem AC 3.8 3. 56 Total 51 69 10 frequências esperadas Q (6 7.) 7. +... + (31 3.) 3. 0.197 6
Regra de decisão: Como Q 0.197 <χ (1;0.95) 3.84, nãoserejeitah 0, isto é, de acordo com os dados da amostra, as doenças relacionadas com a AC são independentes do sexo dos indivíduos. Fim da resolução do teste 7