Rodada #1 Estatística Professor Guilherme Neves Assuntos da Rodada ESTATÍSTICA: 1 Histogramas e curvas de frequência. 2 Distribuição de frequências: absoluta, relativa, acumulada. 3 Medidas de posição: média, moda, mediana e separatrizes. 4 Medidas de dispersão: desvio- padrão, coeficiente de variação. 5 Distribuições de probabilidade (parte 1): distribuição binomial, distribuição normal.
a. Teoria em Tópicos 1. A Teoria das Probabilidades é o ramo da Matemática que cria modelos que são utilizados para estudar experimentos aleatórios. 2. Um experimento é dito aleatório quando ele pode ser repetido sob as mesmas condições inúmeras vezes e os resultados não podem ser previstos com absoluta certeza. 3. Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento aleatório, em geral podemos descrever o conjunto que abriga todos os resultados possíveis. 4. Quando é possível fazer uma previsão do resultado de um experimento, ele é chamado de determinístico. 5. Experimentos ou fenômenos aleatórios acontecem com bastante frequência em nossas vidas. Diariamente ouvimos perguntas do tipo: Choverá próxima semana? Qual a minha chance de ganhar na Mega Sena? 6. Vejamos alguns exemplos de experimentos aleatórios: i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima. 2
O que os experimentos acima têm em comum? As seguintes características definem um experimento aleatório. Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas. Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento, somos capazes de descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. 7. Para cada experimento do tipo que estamos considerando (aleatório), definiremos o espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Denotaremos este conjunto pela letra U. 8. Vamos considerar os experimentos acima e descrever um espaço amostral para cada um deles. i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. Quando jogamos um dado, o resultado pode ser 1,2,3,4,5 ou 6. Portanto: ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima. 3
9. Resumindo: ao efetuar um experimento aleatório, o primeiro passo consiste em descrever todos os resultados possíveis, ou seja, explicitar o conjunto de possíveis resultados e calcular o número de elementos que pertencem a ele. Este conjunto é chamado de Espaço Amostral. 10. Chamaremos de evento todo subconjunto do espaço amostral. Voltemos ao lançamento do dado. 11. Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. Por exemplo, o subconjunto é o evento que acontece se o número mostrado na face de cima é um número primo. Vejamos outros eventos relativos a este espaço amostral. B: ocorrência de número menor que 5.. C: ocorrência de número menor que 8. D: ocorrência de número maior que 8. (conjunto vazio). 12. Quando o evento é igual ao espaço amostral, dizemos que o evento é certo. 4
13. Quando o evento é igual ao conjunto vazio, dizemos que o evento é impossível. 14. Passemos agora à segunda etapa: calcular a probabilidade de um evento. Consideremos o caso do evento que vimos anteriormente. Como são 6 resultados possíveis no lançamento de um dado e são 3 números primos nas faces, intuitivamente percebemos que se repetimos o experimento um grande número de vezes obteremos um número primo em aproximadamente a metade das vezes. 15. O que está por trás do nosso raciocínio intuitivo é o seguinte: i) Cada um dos elementos que compõem o espaço amostral são igualmente prováveis. ii) O número de elementos do evento é justamente a metade dos elementos do espaço amostral. Estas considerações motivam a definição de probabilidade de um evento A da seguinte forma: 16. Laplace referia-se aos elementos do evento como os casos favoráveis (ou desejados). Os elementos do espaço amostral são chamados de casos possíveis. Desta forma: 5
17. Podemos empregar as várias técnicas de combinar conjuntos (eventos) para formar novos conjuntos (eventos). 18. Considere dois eventos A e B. O evento união é denotado por e ocorre se e somente se ao menos um dos eventos ocorrerem. Podemos dizer que ocorre se e somente se A ou B (ou ambos) ocorrerem. 19. Considere dois eventos A e B. O evento interseção é denotado por e ocorre se e somente se os dois eventos ocorrerem (A e B ocorrerem). 20. Considere um evento A. O evento complementar de A é denotado por e ocorre se e somente se não ocorre A. 21. Exemplos: Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. Considere os seguintes eventos. A: ocorrência de um número ímpar.. B: ocorrência de um número par:. C: ocorrência de um número menor ou igual a 3. 6
Desta forma, temos os seguintes eventos. : ocorrência de um número ímpar ou número par. : ocorrência de um número ímpar ou de um número menor ou igual a 3. : ocorrência de um número par ou de um número menor ou igual a 3. : ocorrência de um número ímpar e par. O resultado foi o conjunto vazio porque não existe número que seja simultaneamente par e ímpar. Neste caso dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos. : ocorrência de um número ímpar e menor ou igual a 3. : ocorrência de um número par e menor ou igual a 3. : não ocorrer um número ímpar. : não ocorrer um número par. 7
: não ocorrer um número menor ou igual a 3. 22. A probabilidade do evento impossível é 0 e a probabilidade do evento certo é igual a 1. 23. Para ilustrar esta propriedade, vamos voltar ao exemplo do dado. Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. Considere os eventos. A: ocorrência de número menor que 8. B: ocorrência de número maior que 8. (conjunto vazio). Já sabemos que: Desta forma, 8
24. Se A é um evento qualquer, então. Esta propriedade afirma que qualquer probabilidade é um número maior ou igual a 0 e menor ou igual a 1. A probabilidade será igual a 0 se o evento for impossível e a probabilidade será igual a 1 se o evento for certo. Se o evento A nem for o evento certo nem o evento impossível, então a probabilidade é um número positivo e menor que 1. 25. Se A é um evento qualquer, então. É muito fácil ilustrar esta propriedade. Imagine que alguém te informa que a probabilidade de chover amanhã seja de 30%. Você rapidamente conclui que a probabilidade de não chover é de 70%. Isto porque a soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1. Lembre-se que o símbolo % significa dividir por 100. Desta forma, podemos dizer que a soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1 ou 100%. Já que: 26. Probabilidade do evento união. Se A e B forem dois eventos quaisquer, então Podemos ilustrar esta propriedade utilizando conjuntos. 9
O evento interseção é aquele formado pelos elementos comuns entre A e B. O evento união é o representado abaixo. Quando somamos as probabilidades dos eventos contidos em são computadas duas vezes (uma por estarem em A e outra vez por estarem em B). Para eliminar esta dupla contagem, subtraímos para que nenhum elemento seja contado mais de uma vez. 27. Falei anteriormente que quando a interseção de dois conjuntos é o conjunto vazio eles são chamados de mutuamente excludentes. 10
Neste caso, quando, tem-se que. 28. João encontrou uma urna com bolas brancas, pretas e vermelhas. Ele verificou que a quantidade de bolas pretas é igual à metade da quantidade de bolas vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas. João, então, colocou outras bolas pretas na urna, e a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta do referido recipiente tornou-se igual a 0,5. Diante disso, a quantidade de bolas colocadas por João na urna é igual a(o) A) quantidade de bolas brancas. B) dobro da quantidade de bolas brancas. C) quantidade de bolas vermelhas. D) triplo da quantidade de bolas brancas. E) dobro da quantidade de bolas vermelhas. Resolução João verificou que a quantidade de bolas pretas é igual à metade da quantidade de bolas vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas. 11
Vamos considerar que a urna contém bolas brancas. A quantidade de bolas pretas é o dobro da quantidade de bolas brancas. Desta forma, tem-se bolas pretas. Sabemos ainda que a quantidade de bolas pretas é a metade da quantidade de bolas vermelhas. Concluímos que são bolas vermelhas. Resumindo: bolas brancas. bolas pretas. bolas vermelhas. João colocar mais bolas pretas na urna. Vamos considerar que João acrescentou bolas pretas na urna. O nosso quadro com a quantidade de bolas ficará assim: bolas brancas. bolas pretas. bolas vermelhas. Total de bolas: A probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta do referido recipiente tornou-se igual a 0,5. Sabemos que probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. 12
Há um total de bolas pretas (número de casos favoráveis) e um total de bolas na urna (número de casos possíveis. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. O número de bolas pretas acrescentadas por João é igual a. Como o número de bolas brancas é igual a, então o número de bolas pretas acrescentadas por João é o triplo do número de bolas brancas. Letra D. 29. Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não-fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser mulher? a) 44% b) 52% c) 50% 13
d) 48% e) 56% Resolução Para facilitar a resolução do exercício, vamos supor que a cidade tenha 100 adultos. Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher Total 100 O enunciado nos diz que 40% dos adultos são fumantes. Logo, temos 40 fumantes. Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher Total 40 100 40% dos fumantes são mulheres. São 16 mulheres fumantes. 14
Fumantes Nãofumantes Total Homem Mulher 16 Total 40 100 Se, das 100 pessoas, 40 são fumantes, então há 60 não-fumantes. Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher 16 Total 40 60 100 O enunciado informa que 60% dos não-fumantes são mulheres. Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher 16 36 Total 40 60 100 Ao todo, temos 52 mulheres. Total Fumantes Nãofumantes 15
Homem Mulher 16 36 52 Total 40 60 100 Como estamos considerando que a cidade possui 100 adultos, então o número de casos possíveis é igual a 100. Queremos calcular a probabilidade de a pessoa escolhida ser uma mulher. Como há 52 mulheres, então o número de casos desejados é igual a 52. Letra B. 30. Imagine a seguinte situação: você está sentado em um teatro assistindo a uma peça. Há 400 homens e 600 mulheres no teatro. De repente, é anunciado que será sorteado um carro entre os espectadores. Desta forma, como há 1.000 pessoas na plateia, então a probabilidade de um homem ser sorteado é igual a e a probabilidade de uma mulher ser sorteada é igual a Se eu, Guilherme, estivesse sentado neste teatro, a minha chance de ganhar este carro seria de 16
Estas são as probabilidades a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize. Suponhamos que o apresentador do sorteio realize o experimento e resolve fazer um tipo de suspense. Ele então informa que a pessoa sorteada é um homem. Ocorre uma frustração geral entre as mulheres. Por quê? Porque a chance de alguma mulher vencer agora é igual a 0. Esta é uma probabilidade a posteriori, isto é, depois de realizado o experimento. Por outro lado, os ânimos dos homens se exaltam. Suas chances aumentaram!! Ora, não temos mais 1.000 concorrentes, e sim 400. Os casos possíveis agora totalizam 400 pessoas. A minha chance que antes era de 0,1%, agora será de: A minha chance de ganhar o carro aumentou! Observe que o espaço amostral foi reduzido. 31. Vejamos outro exemplo. Consideremos o experimento que consiste em jogar um dado não-viciado. Sejam o espaço amostral e os eventos e. Temos que a probabilidade de ocorrer o evento B é igual a: Esta é a probabilidade de B a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize. Suponhamos que, uma vez realizado o experimento, alguém nos informe que o resultado do mesmo é um número par, isto é, que o evento A ocorreu. A nossa opinião 17
sobre a ocorrência do evento B se modifica com esta informação, já que, então, somente poderá ter ocorrido B se o resultado do experimento tiver sido o número 2. Esta opinião é quantificada com a introdução de uma probabilidade a posteriori ou, como vamos chamá-la doravante, probabilidade condicional de B dado A, definida por. Vamos ilustrar esta situação com um diagrama. Sabemos que ocorreu um número par. O nosso espaço amostral (casos possíveis) deixa de ser U e passa a ser A. Vamos representar o espaço amostral com a cor vermelha. O número de casos possíveis agora é igual a 3. 18
Para calcular a probabilidade de ocorrer o evento B, devemos nos restringir aos elementos comuns de A e B. Portanto, os casos desejados são os elementos da interseção entre A e B. 32. Finalmente, a expressão probabilidade de ocorrer B sabendo que A ocorreu é expressa assim: Chegamos à fórmula: A noção geral é a seguinte: 33. Que pode ser expressa da seguinte forma: Esta fórmula é chamada de Teorema da Multiplicação e pode ser lida assim: 19
A probabilidade de ocorrerem os eventos A e B é igual a probabilidade de A vezes a probabilidade de B depois que A ocorreu. 34. Se a ocorrência do evento A não influir no cálculo da probabilidade do evento B, os eventos são ditos independentes e neste caso, tem-se 35. O vírus X aparece nas formas X1 e X2. Se um indivíduo tem esse vírus, a probabilidade de ser na forma X1 é 3/5. Se o indivíduo tem o vírus na forma X1, a probabilidade desse indivíduo sobreviver é 2/3; mas, se o indivíduo tem o vírus na forma X2, a probabilidade dele sobreviver é 5/6. Nessas condições, a probabilidade do indivíduo portador do vírus X sobreviver é a) 11/15 b) 2/3 c) 3/5 d) 7/15 e) 1/3 Resolução Se o indivíduo tem o vírus X, a probabilidade de ser na forma X1 é 3/5. 20
Como o vírus só aparece nas formas X1 e X2, então a probabilidade de aparecer na forma X2 é: Isto porque a soma das probabilidades deve ser igual a 1. Se o indivíduo tem o vírus na forma X1, a probabilidade desse indivíduo sobreviver é 2/3; mas, se o indivíduo tem o vírus na forma X2, a probabilidade dele sobreviver é 5/6. Queremos calcular a probabilidade de um portador do vírus X sobreviver. Há dois casos a considerar. Os portadores na forma X1 e os portadores na forma X2. Probabilidade de ser portador do vírus na forma X 1 Probabilidade de sobreviver com o vírus na forma X 1 Probabilidade de ser portador do vírus na forma X 2 Probabilidade de sobreviver com o vírus na forma X 2 Letra A. 21
36. Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes? a) 20% b) 27% c) 25% d) 23% e) 50% Resolução A probabilidade de sair 6 é 20% Sobram 80%. Para calcular a probabilidade de sair cada um dos números restantes, devemos dividir os 80% por 5. 80% 5 16% 0,16 Queremos calcular a probabilidade de, em um dado lançamento, sair par. Os eventos sair 2, sair 4 e sair 6 são mutuamente excludentes. A probabilidade da união é a soma das probabilidades. Queremos que dois números pares ocorram em dois lançamentos. 22
Seja A o evento que ocorre quando, no primeiro lançamento, o resultado é par. Seja B o evento que ocorre quando, no segundo lançamento, o resultado é par. Para que tenhamos dois números pares, A e B devem ocorrer. P ( A B)? Ora, o resultado do primeiro lançamento não interfere no resultado do segundo lançamento, portanto os eventos são independentes. Como os dois eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades. Letra B. 37. A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: a) 2/25 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/25 e) 4/5 Resolução 23
Se os eventos são independentes, a probabilidade de os dois eventos acontecerem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades. Lembre-se que, onde é o evento complementar do evento Por exemplo, se a probabilidade de chover é 40% = 0,4, então a probabilidade de não chover é 60% = 0,6, pois 0,4+0,6 =1. Calcular a probabilidade de somente o cão estar vivo é o mesmo que calcular a probabilidade de o cão estar vivo e o gato estar morto (coitado!). Se a probabilidade de o gato estar vivo daqui a 5 anos é igual a 3/5, então a probabilidade de ele não estar vivo é igual a 2/5. Assim, Letra B. 38. Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas pretas, todas de mesmo tamanho e peso. Sacando ao acaso duas bolas da urna, a probabilidade de que sejam da mesma cor é de: a) 20% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60% Resolução 24
São 5 bolas das quais 2 são brancas e 3 são pretas. Queremos calcular a probabilidade de sacar ao acaso duas bolas e as duas serem brancas ou as duas serem pretas. A probabilidade de a primeira bola ser branca é igual a 2/5 (pois são 2 bolas brancas num total de 5 bolas). A probabilidade de a segunda ser branca é igual a 1/4 (pois agora há apenas uma branca e 4 bolas no total). A probabilidade de a primeira bola ser preta é igual a 3/5 (pois são 3 bolas pretas num total de 5 bolas). A probabilidade de a segunda ser preta é igual a 2/4 (pois agora há 2 bolas pretas e 4 bolas no total). Letra C. 25
b. Revisão 1 CESPE/UNB 2015 TCE/RN Para fiscalizar determinada entidade, um órgão de controle escolhera 12 de seus servidores: 5 da secretaria de controle interno, 3 da secretaria de prevenção da corrupção, 3 da corregedoria e 1 da ouvidoria. Os 12 servidores serão distribuídos, por sorteio, nas equipes A, B e C; e cada equipe será composta por 4 servidores. A equipe A será a primeira a ser formada, depois a equipe B e, por último, a C. A respeito dessa situação, julgue os itens subsequentes. 01. A probabilidade de um servidor que não for sorteado para integrar a equipe A ser sorteado para integrar a equipe B e igual a 0,5. 02. A probabilidade de a equipe A ser composta por quatro servidores da secretaria de controle interno e inferior a 0,01. 03. Se, após a formação das 3 equipes, as quantidades de servidores das unidades mencionadas forem iguais nas equipes A e B, então a equipe C será formada por 1 servidor de cada unidade. 04. A chance de a equipe A ser composta por um servidor de cada unidade e superior a 10%. 26
QUESTÃO 05 - CESPE/UNB 2015 STJ Determinada faculdade oferta, em todo semestre, três disciplinas optativas para alunos do quinto semestre: Inovação e Tecnologia (INT); Matemática Aplicada (MAP); Economia do Mercado Empresarial (EME). Neste semestre, dos 150 alunos que possuíam os requisitos necessários para cursar essas disciplinas, foram registradas matrículas de alunos nas seguintes quantidades: 70 em INT; 45 em MAP; 60 em EME; 25 em INT e MAP; 35 em INT e EME; 30 em MAP e EME; 15 nas três disciplinas. Com base nessas informações, julgue o item que se segue. Ao se escolher um aluno ao acaso, a probabilidade de ele estar matriculado em apenas duas das três disciplinas será maior que a probabilidade de ele estar matriculado apenas em INT. QUESTÃO 06 - CESPE/UNB 2015 TRE/GO As prestações de contas das campanhas dos 3 candidatos a governador de determinado estado foram analisadas por 3 servidores do TRE desse estado. 27
Considerando que um servidor pode analisar nenhuma, uma ou mais de uma prestação de contas e que, por coincidência, cada um dos 3 candidatos é parente de um dos 3 servidores, julgue o item que se segue. Se as prestações de contas forem distribuídas para análise de forma aleatória e independente, então a probabilidade de que cada servidor analise as contas de seu parente é inferior a 1/30. QUESTÃO 07 - CESPE/UNB 2015 PF Um batalhão e composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região atendida pelo batalhão e composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, uma dupla de policiais policia cada uma das quadras. Com referência a essa situação, julgue o item subsequente. Caso as duplas de policiais sejam formadas aleatoriamente, então a probabilidade de que em determinado dia os policiais que policiarão determinada quadra sejam do mesmo sexo será superior a 0,5. QUESTÃO 08 - CESPE/UNB 2014 ANTAQ Uma pesquisa sobre o objeto de atividade de 600 empresas apresentou o seguinte resultado: 5/6 dessas empresas atuam no mercado de transporte fluvial de cargas; 1/3 dessas empresas atuam no mercado de transporte fluvial de passageiros; 50 dessas empresas não atuam com transporte fluvial, nem de cargas, nem de passageiros; 28
Com base nessa situação hipotética e sabendo-se que as 600 empresas pesquisadas se enquadram em, pelo menos, uma das 3 opções acima, julgue o item a seguir. Selecionada, ao acaso, uma dessas empresas, a probabilidade de que ela não atue com transporte fluvial de cargas nem de passageiros é inferior a 10%. CESPE/UNB 2014 TJ/SE O rito processual de análise de determinado tipo de processo segue as três seguintes fases: instrução: após a apresentação da representação e das provas, o juiz decide pela admissibilidade ou não do caso; julgamento: admitido o caso, o juiz analisa o mérito para decidir pela culpa ou não do representado; apenac aõ: ao culpado o juiz atribui uma pena, que pode ser ou o pagamento de multa, ou a prestação de serviços a comunidade. A partir das informações acima, considerando que a probabilidade de que ocorra erro de decisão na primeira fase seja de 10%, na segunda, de 5% e, na terceira, de 3%, e que a ocorrência de erro em uma fase não influencie a ocorrência de erro em outras fases, julgue os próximos itens. 09. A probabilidade de que ocorram erros de decisão em todas as fases do processo e inferior a 0,1%. 29
10. A probabilidade de que haja erro de decisão na análise de um processo em que se inocente o representado e inferior a 14%. 11. Para cada processo do referido tipo, desconsiderando os possíveis erros de decisão, a quantidade de possíveis decisões durante o rito processual e superior a 5. 30
c. Revisão 2 CESPE/UNB 2014 TJ/SE Um grupo de 15 turistas que planeja passear pelo rio São Francisco, no Canyon do Xingo, em Sergipe, utilizara, para o passeio, três barcos: um amarelo, um vermelho e um azul. Cada barco tem capacidade máxima para 8 ocupantes e nenhum deles deixara o porto com menos de 3 ocupantes. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens seguintes. 12. Considere que 8 turistas tenham ocupado o barco amarelo, que os demais tenham sido distribuídos, de maneira aleatória, entre os outros 2 barcos e que nenhum barco tenha permanecido no porto. Nesse caso, a probabilidade de o barco vermelho ter deixado o porto com 4 turistas e superior a 0,47. 13. Considere que esse grupo seja formado por 9 turistas do sexo feminino e 6 do masculino e que as mulheres tenham se dividido em 3 grupos de 3 mulheres, tendo cada grupo ocupado um barco diferente. Nesse caso, se os turistas homens se distribuíram nos barcos de maneira aleatória, a probabilidade de o barco vermelho ter deixado o porto com 5 turistas homens e superior a 0,04. QUESTÃO 14 - CESPE/UNB 2014 SUFRAMA Em um campeonato de futebol, a pontuação acumulada de um time e a soma dos pontos obtidos em cada jogo disputado. Por jogo, cada time ganha três pontos por 31
vitória, um ponto por empate e nenhum ponto em caso de derrota. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. Se um time disputou 4 jogos, então a probabilidade de a pontuação acumulada desse time ser maior ou igual a 4 e menor ou igual a 7 será superior a 0,35. CESPE/UNB 2014 SUFRAMA Uma pesquisa na qual os 40 alunos de uma disciplina deveriam responder SIM ou NA O às perguntas P1 e P2 apresentadas a eles, mostrou o seguinte resultado: 28 responderam SIM a pergunta P1; 22 responderam SIM a pergunta P2; 5 responderam NAÕ às 2 perguntas. Com base nessas informações, julgue os itens subsecutivos. 15. Selecionando-se ao acaso um desses alunos, a probabilidade de ele ter respondido SIM a pelo menos uma das perguntas será superior a 0,9. 16. Mais de 10 alunos responderam SIM às duas perguntas. QUESTÃO 17 - CESPE/UNB 2014 MDIC Em um grupo de 2.000 empresas, 1/9 das que encerraram as atividades este ano foram abertas em anos anteriores, 1/10 das que foram abertas em anos anteriores 32
encerraram as atividades este ano e 200 empresas não encerraram as atividades este ano e não foram abertas em anos anteriores. Com base nessas informações, julgue os próximos itens. Se, do grupo de 2.000 empresas, for selecionada uma ao acaso, e se ela tiver sido aberta em anos anteriores, então a probabilidade de ela ter encerrado suas atividades este ano será superior a 10%. QUESTÃO 18 - CESPE/UNB 2013 FUNASA Os convênios celebrados por um órgão enquadram-se em uma das seguintes situações: em execução: quando o convenente ainda não está obrigado a prestar contas ao concedente; aguardando prestação de contas: quando, após o período de vigência do convênio, o convenente tem determinado prazo para prestar contas; prestação de contas em análise: quando, após a entrega da prestação de contas pelo convenente, o órgão concedente tem determinado prazo para analisar; concluído: quando a prestação de contas foi analisada e aprovada; em instrução de tomada de contas especial (TCE): quando a prestação de contas foi analisada e rejeitada. Considere que, dos 180 convênios celebrados pelo referido órgão neste ano, 21 estão concluídos, 10 estão em fase de instrução de TCE, 35 estão com a prestação de contas em análise, 80 estão em execução e o restante está aguardando prestação de contas. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 33
Se dois convênios entre aqueles celebrados pelo órgão neste ano forem selecionados ao acaso, a probabilidade de que ambos estejam em instrução de TCE será superior a 0,35%. CESPE/UNB 2013 STF O colegiado do Supremo Tribunal Federal (STF) e composto por 11 ministros, responsáveis por decisões que repercutem em toda a sociedade brasileira. No julgamento de determinados processos, os ministros votam pela absolvição ou pela condenação dos réus de forma independente uns dos outros. A partir dessas informações e considerando que, em determinado julgamento, a probabilidade de qualquer um dos ministros decidir pela condenação ou pela absolvição do réu seja a mesma, julgue os itens seguintes. 19. A probabilidade de todos os 11 ministros votarem pela absolvição do réu e superior a probabilidade de que os votos dos 6 primeiros ministros a votar sejam pela condenação do réu e os votos dos 5 demais ministros sejam pela absolvição do réu. 20. Se, no julgamento de determinado réu, 8 ministros votarem pela absolvição e 3 ministros votarem pela condenação, a quantidade de maneiras distintas de se atribuir os votos aos diferentes ministros será inferior a 170. 21. Se os votos dos 5 primeiros ministros a votar forem pela condenação do réu, a probabilidade de o voto do sexto ministro a votar também ser pela condenação do réu será inferior a 0,02. 34
d. Revisão 3 CESPE/UNB 2013 TRT/17 Os alunos de uma turma cursam 4 disciplinas que são ministradas por 4 professores diferentes. As avaliações finais dessas disciplinas serão realizadas em uma mesma semana, de segunda a sexta-feira, podendo ou não ocorrerem em um mesmo dia. A respeito dessas avaliações, julgue os itens seguintes. 22. Se cada professor escolher o dia em que aplicara a avaliação final de sua disciplina de modo independente dos demais, a probabilidade de que todos escolham aplicar as avaliações em um mesmo dia será inferior a 1%. 23. Se cada professor escolher o dia em que aplicara a avaliação final de sua disciplina de modo independente dos demais, a probabilidade de que haja mais de uma avaliação em determinado dia será superior a 80%. 24. Se cada professor escolher o dia em que aplicara a avaliação final de sua disciplina de modo independente dos demais, haverá mais de 500 maneiras de se organizar o calendário dessas avaliações. 25. Se em cada dia da semana ocorrer a avaliação de no máximo uma disciplina, então, nesse caso, a quantidade de maneiras distintas de se organizar o calendário de avaliações será inferior a 100. 35
QUESTÃO 26 - CESPE/UNB 2013 SEGESP/AL Nas investigações, pesquisadores e peritos devem evitar fazer afirmações e tirar conclusões errôneas. Erros de generalização, ocorridos ao se afirmar que certas características presentes em alguns casos deveriam estar presentes em toda a população, são comuns. É comum, ainda, o uso de argumentos inválidos como justificativa para certas conclusões. Acerca de possíveis erros em trabalhos investigativos, julgue o item a seguir. Se determinado evento for impossível, então a probabilidade de ocorrência desse evento será nula. QUESTÃO 27 - CESPE/UNB 2013 BACEN A numeração das notas de papel-moeda de determinado país é constituída por duas das 26 letras do alfabeto da língua portuguesa, com ou sem repetição, seguidas de um numeral com 9 algarismos arábicos, de 0 a 9, com ou sem repetição. Julgue os próximos itens, relativos a esse sistema de numeração. Considere o conjunto das notas numeradas da forma #A12345678&, em que # representa uma letra do alfabeto e &, um algarismo. Nessa situação, retirando-se, aleatoriamente, uma nota desse conjunto, a probabilidade de # ser uma vogal e de & ser um algarismo menor que 4 é inferior a 1/10. QUESTÃO 28 - CESPE/UNB 2013 MTE Um auditor do trabalho deve analisar 20 processos: 5 a respeito de segurança no trabalho, 7 a respeito de FGTS e 8 a respeito de jornada de trabalho. Considerando que 36
esses processos sejam colocados sobre a mesa de trabalho do auditor, de maneira aleatória, formando uma pilha, julgue os itens que se seguem. Considere que uma pilha com os 20 processos seja formada de maneira aleatória. Nesse caso, a probabilidade de o processo que está na parte superior tratar de assunto relativo a FGTS será superior a 0,3. QUESTÃO 29 - CESPE/UNB 2013 MPOG Uma entrevista foi realizada com 46 empregados de uma empresa, entre os quais 24 eram do sexo masculino e 22, do feminino. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. Se exatamente 5 entre os empregados do sexo masculino tiverem idade inferior a 20 anos e se 2 empregados forem escolhidos ao acaso entre os 46 empregados dessa empresa, então a probabilidade de esses dois empregados escolhidos serem do sexo masculino e terem idade inferior a 20 anos será maior do que 1/100. QUESTÃO 30 - CESPE/UNB 2013 PF Dos 5.000 candidatos inscritos para determinado cargo, 800 foram eliminados pelos procedimentos de investigação social; 4.500 foram desclassificados na primeira etapa; 50 foram reprovados no curso de formação (segunda etapa), apesar de não serem eliminados na investigação social;350 foram nomeados; todos os classificados na primeira etapa e não eliminados na investigação social até o momento da matrícula no curso de formação foram convocados para a segunda etapa; todos os aprovados no curso de formação e não eliminados na investigação social foram nomeados. Tendo como referência esses dados hipotéticos, julgue os itens a seguir. 37
Se um candidato inscrito para o referido cargo for selecionado ao acaso, então a probabilidade de ele ter sido eliminado no processo de investigação social será inferior a 20%. 38
c. Gabarito 1 2 3 4 5 C E C E C 6 7 8 9 10 E E C C E 11 12 13 14 15 E C E C E 16 17 18 19 20 C E E E C 21 22 23 24 25 E C C C E 26 27 28 29 30 C C C E C 39