Lista 10 Análise Combinatória e Probabilidade 1) Dada a palavra AMORECO, responda as seguintes questões: a) Quantos são seus anagramas? = 2520 b) Quantas são os anagramas que começam e terminam por consoante?. c) Quantos são os anagramas que começam por consoante e terminam por vogal?. d) Quantos são os anagramas que tem RECO nesta ordem? Considere RECO como uma só letra e sobrará apenas 4 espaços para permutar todas as letras, portanto teremos. e) Quantos são os anagramas que tem as letras M e O juntas? Mesmo raciocínio da letra d: considere M e O como uma só letra e permute o total de letras, ou seja, 6!. Mas como temos mais que uma possibilidade de formar palavras com as letras M e O, multiplicamos a permutação das letras pelo número de permutações que podemos formar com as letras M e O juntas, no caso, 2! (MO ou OM). Então teremos. 2) Informe para quais valores as igualdades a seguir são válidas: a) A n,2 =6 A igualdade é válida para quando. O valor faz sentido nesse caso? b) C 5,2 = n
A igualdade é válida para quando n=10. c) A n,n-1 = C n,n-1 ( ) ( ) A igualdade é válida para quando n=1, pois 1! = 1 e para n=2, pois 2! = 2.1= 2. 3) Calcule o Binômio nas seguintes alternativas: a) (x² + 7)² = resposta b) = resposta c) = resposta Utilize este exemplo para o cálculo dos binômios acima: dado um n, potência que eleva a equação, o binômio será escrito da seguinte forma: 4) Construa o Triângulo de Pascal, calcule a combinação e veja se a igualdade é válida: Construção:
a) a igualdade é válida. b) a igualdade não é valida. (No triângulo de pascal acima, foi marcado. 5) Em dois lançamentos sucessivos de um mesmo dado, qual a probabilidade de ocorrer um número maior que 3 e o número 2? Perceba que a ocorrência do primeiro evento não influencia na probabilidade do outro ocorrer, portanto são dois eventos independentes e teremos que calculá-los de forma independente. Seja o evento A sair um número maior que 3 : Para este, temos como possíveis resultados os números 4, 5 ou 6 e, portanto e = {4,5,6}. No lançamento de um dado, temos 6 valores possíveis, portanto e.a. = {1,2,3,4,5,6}. Portanto, a probabilidade do evento ocorrer é p(a) = ½. Seja o evento B sair o número 2. Para este, só temos um possível resultado, portanto e = {2}. Novamente temos seis valores possíveis para o lançamento do dado, e portanto portanto, e = {4,5,6}. Logo, a probabilidade do evento ocorrer é p(b) =. Seja p(a B) a probabilidade do evento A e do evento B ocorrer. Portanto, pelo principio multiplicativo, teremos ( ), 6) Em uma cartola de mágico há 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Serão retiradas dela duas bolinhas, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de sair um múltiplo de 10 na primeira e um número ímpar na segunda? Solução: Como as bolinhas são retiradas sem reposição, o primeiro evento interefere na probabilidade do segundo evento ocorrer. Portanto, esses eventos não são independentes e não podem ser calculados de forma independente. Seja o evento A sair um múltiplo de 10. Portando, e ={10, 20, 30}. Como temos 30 bolinhas, p(a) =. Seja o evento B sair um número ímpar. Portanto e ={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}. Como já foi retirada uma bolinha, teremos 29 restantes, logo p(b) = Seja ( ) a probabilidade dos dois eventos ocorrerem, logo, pelo principio multiplicativo, teremos que ( ).
7) Um professor de física gostaria de fazer um experimento com nitrogênio líquido para mostrar aos alunos que quando se põe nitrogênio liquido em um lugar comprimido, e em contato com o ar atmosférico, ao passar do estado liquido para o gasoso, ele explode. Para fazer isso ele utilizou uma garrafa pet e colocou a garrafa com o nitrogênio dentro de uma lixeira opaca e fechou ela com 10 bolinhas, distribuídas metade a metade entre as cores azul e branca, mas percebeu que 10 bolinhas eram demais para a lixeira, e teve que retirar duas. Qual a probabilidade de ele retirar 2 bolinhas brancas ao acaso, uma após a outra? Solução: Como as bolinhas são retiradas ao acaso uma após a outra, o primeiro evento interfere na probabilidade do segundo evento ocorrer. Portanto, esses eventos não são independentes e não podem ser calculados de forma independente. Seja o evento A tirar a primeira bolinha branca. No total temos 10 bolinhas, portanto a cardinalidade do espaço amostral é 10. Dentre essas 10, temos 5 brancas, portanto a cardinalidade do evento é 5. Portanto p(a) =. Seja o evento B tirar a segunda bolinha branca. Como já foi retirada uma bolinha, temos que a cardinalidade do espaço amostral é 9. A bolinha retirada foi uma branca, portanto a cardinalidade do evento é 4. Portanto p(b) =. Seja ( ) a probabilidade dos dois eventos ocorrerem, logo, pelo principio multiplicativo, teremos que ( ). 8) (PUC-RIO 2010) Quatro moedas distintas são lançadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa em uma só moeda? Solução: Lembre-se que temos probabilidade de cair coroa para as 4 moedas, portanto ao fazer os cálculos temos que levar isso em conta. Para cada moeda temos duas possibilidades, cara ou coroa. Portanto, pelo raciocínio da combinatória e pelo principio multiplicativo, para as 4 moedas teremos possibilidades e, portanto a cardinalidade do espaço amostral é 16. Para a primeira moeda temos que a cardinalidade do evento é 1, portanto p(a) = 1/16. Para a segunda moeda temos que a cardinalidade do evento é 1, portanto p(b) = 1/16. Para a terceira moeda temos que a cardinalidade do evento é 1, portanto p(c) = 1/16. Para a quarta moeda temos que a cardinalidade do evento é 1, portanto p(d) = 1/16. Seja ( ) a probabilidade de cair coroa em uma só moeda. Como o evento é cair cara em somente uma das moedas, temos a probabilidade do evento ocorrer para a primeira moeda ou para a segunda moeda ou para a terceira moeda ou para a quarta moeda, portanto pelo principio aditivo ( ) 9) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima?
Solução: Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de agrupamentos ao lançarmos três moedas. Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2. 2. 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos e este é o nosso espaço amostral. Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa e, portanto, a probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a ¼. 10) Em uma caixa há 2 correntes amarelas, 5 correntes azuis e 7 correntes verdes. Se retirarmos uma única corrente, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela? Solução: A cardinalidade do espaço amostral é 14. Como a ocorrência de um evento não interfere no outro, pois são eventos distintos, podemos calcular as probabilidades separadamente. Seja o evento A o evento de se obter uma corrente verde. A cardinalidade do evento é 7, portanto a probabilidade do evento ocorrer é igual a 7/ 14: Seja o evento B...qual evento?. A cardinalidade do evento é 2, portanto a probabilidade do evento ocorrer é igual a 2/ 14: Seja ( ) probabilidade de um ou outro evento ocorrer, portanto pelo principio aditivo ( ). 11) Uma turma de amigos está em um bar. Sobre a mesa há duas travessas, e em uma delas há 3 pastéis e 5 coxinhas, na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se José quiser pegar um pastel, qual a probabilidade dele pegar um pastel e qualquer uma das travessas? Solução: a cardinalidade do espaço amostral é 14, a cardinalidade do evento é 7, portanto p(a)=. 12) De um total de 6 pratos à base de carboidratos e 4 pratos à base de proteínas, pretendo fazer o meu prato com 5 destes itens, itens diferentes, de sorte que contenha ao menos 2 pratos à base de proteínas. Qual é o número máximo de pratos distintos que poderei fazer? Solução: Se não houvesse a restrição das duas proteínas, o cálculo seria simplesmente C 10, 5., mas como há tal restrição, devemos descontar deste total o número de pratos que só contém carboidratos, que é igual a C 6, 5. Não podemos nos esquecer de que também podemos montar pratos contendo apenas um item de proteína, então devemos desconsiderá-los também. Estes pratos são o produto de C 6, 4, referentes aos quatro itens de carboidrato, por C 4, 1, referentes ao único item de proteína: Multiplicando as combinações:
Podemos formar então 6 pratos sem qualquer item de proteína e mais 60 pratos com somente um item de proteína. Então de 252 que é o número total de combinações possíveis sem a restrição, devemos subtrair 66 pratos para obtermos a resposta do exercício, ou seja, 186. 13) Em um pequeno galinheiro há 12 aves, dentre um galo, galinhas, frangos e frangas, no entanto só existe espaço para 10 aves no poleiro. De quantas maneiras distintas elas podem ser empoleiradas, sabendo-se que o poleiro sempre ficará lotado? Solução: Para a primeira ave a subir no poleiro tem-se 12 possibilidades, para a segunda temse 11, para a terceira tem-se 10 e assim por diante, até a décima ave onde teremos apenas 3 possibilidades, já que apenas duas ficarão de fora. Multiplicando tudo temos: 12. 11. 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3 = 239500800 maneiras distintas, em outras palavras fizemos A 12, 10 = = 12. 11. 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3 = 239500800 Se não importasse a ordem das aves no poleiro, iríamos dividir 239500800 por 10! para anular a permutação das 10 aves no poleiro, mas a ordem das aves empoleiradas distingue um agrupamento do outro.