TEMA ESPECAL DNÂMCA DAS TAÇÕES 1 s Fundamentos da Física (8 a edição) AMALH, NCLAU E TLED Tema especial DNÂMCA DAS TAÇÕES 1. Momento angula de um ponto mateial, 1 2. Momento angula de um sistema de pontos mateiais, 2 3. Consevação do momento angula, 3 1. MMENT ANGULA DE UM PNT MATEAL Momento angula ou momento da quantidade de movimento mv de um ponto mateial P, em elação a um ponto, é a gandeza vetoial L que possui as seguintes caacteísticas: Módulo: L mvd, sendo d a distância do ponto à eta s, supote da velocidade v (figua 1). s mv P d L mvd P (veto posição) Figua 1. α Dieção: da eta pependicula ao plano α definido pela eta s e pelo ponto. Sentido: dado pela ega da mão dieita, como indicado na figua 2. L mv Figua 2. dedo polega indica o sentido de L quando os demais dedos são semidobados no sentido de paa mv. α No S, a unidade do módulo do momento angula é kg m2 s.
2 S FUNDAMENTS DA FÍ SCA Momento angula de um ponto mateial em movimento cicula unifome Considee um ponto mateial P que ealiza um movimento cicula unifome de cento, com velocidade de módulo v e velocidade angula ω (figua 3). Vamos calcula o módulo do momento angula L, em elação ao cento. Temos: L mvd; d ; v ω. Assim: L mω L m 2 ω d v ω P s L Vetoialmente, sendo ω a velocidade de otação cujo sentido é o mesmo de L e cujo módulo é igual à velocidade angula ω temos: L m 2 ω. Figua 3. mv Momento de inécia de um ponto mateial A gandeza escala m 2, que apaece na conclusão anteio, é indicada pela leta e ecebe o nome de momento de inécia do ponto mateial P em elação ao ponto : m 2. No S, a unidade de momento de inécia é kg m 2. Assim, temos: L ω 2. MMENT ANGULA DE UM SSTEMA DE PNTS MATEAS momento angula L de um sistema de pontos mateiais, em elação a um ponto, é a soma vetoial dos momentos angulaes dos pontos que constituem o sistema: L L 1 L 2... L n n L i i 1 Momento angula de um copo extenso em otação unifome em tono de um eixo fixo Considee um copo em otação unifome, em tono de um eixo fixo (figua 4). Paa cada ponto P i, de massa m i e a uma distância i do eixo de otação, podemos esceve: L i m i i2 ω, sendo ω o veto de otação, suposto constante. L L momento angula total L do copo é dado po: L n i 1 L i i P i n 2 L m i i i 1 Nesse caso, o momento de inécia do copo em elação ao n i 1 eixo de otação é dado po: m i 2 i. Nestas condições, o momento angula do copo é dado pela mesma equação aplicada ao ponto mateial: L l ω ω Figua 4.
TEMA ESPECAL DNÂMCA DAS TAÇÕES 3 momento de inécia depende da massa do copo e de como ela se distibui em elação ao eixo de otação. momento de inécia mede a esistência que o copo opõe à otação. De fato, patindo da igualdade L lω, concluímos: paa o mesmo L, quanto maio fo, meno é ω. 3. CNSEVAÇÃ D MMENT ANGULA Se o momento (toque) das foças que atuam num copo em otação é nulo, então o momento angula pemanece constante. Nessas condições, esulta em módulo: L lω constante Se o copo fo defomável, sendo L lω constante, vem: se aumenta, ω diminui e, se diminui, ω aumenta. É o caso da bailaina giando em tono de seu eixo vetical de otação com os baços estendidos e com velocidade angula ω 1, sendo l 1 seu momento de inécia em elação ao eixo. Fechando os baços, o momento de inécia diminui paa l 2 (l 2 l 1 ) e sua velocidade angula passa a se ω 2. Como l 1 ω 1 l 2 ω 2, esulta ω 2 ω 1 (figua 5). l 1 ω 1 l 2 ω 2 l 1 l 2 ω 2 ω 1 Figua 5. Vejamos algumas situações envolvendo a consevação do momento angula. 3.1 Atleta ealizando um salto motal Considee o eixo hoizontal que passa pelo cento de gavidade do atleta. À medida que o atleta sobe, seu momento de inécia em elação ao eixo diminui e sua velocidade angula aumenta. Duante a descida, o momento de inécia aumenta e a velocidade angula diminui (figua 6). Figua 6.
4 S FUNDAMENTS DA FÍ SCA 3.2 Cadeia giatóia jovem da figua 7 enconta-se sentado numa cadeia giatóia, sem encosta os pés no chão e com os baços estendidos. Uma outa pessoa gia a cadeia em tono do eixo vetical. A segui, o jovem fecha os baços. momento de inécia do sistema, em elação ao eixo, diminui; conseqüentemente, ele passa a gia mais depessa, isto é, sua velocidade angula aumenta. efeito obsevado é mais acentuado quando o jovem segua um pa de haltees. Figua 7. 3.3 Cadeia giatóia e oda de bicicleta Considee uma cadeia que pode gia em tono de seu eixo vetical, paticamente sem atito. Uma pessoa enconta-se sentada na cadeia, sem encosta os pés no chão e seguando o eixo de uma oda de bicicleta. A oda, com seu eixo disposto hoizontalmente, é colocada em otação (figua 8a). A componente vetical do momento angula do sistema é nula. Como o toque exteno vetical é nulo, há consevação da componente vetical do momento angula, isto é, a componente vetical do momento angula pemanece nula. Po outo lado, se a pessoa mantive o eixo da oda na vetical, com a oda giando num ceto sentido, a cadeia passa a gia em sentido oposto: os momentos angulaes L e L se anulam (figua 8b). L L (a) Figua 8. (b)
TEMA ESPECAL DNÂMCA DAS TAÇÕES 5 3.4 Helicópteo e a hélice lateal taseia Considee um helicópteo dotado, além da hélice pincipal, de uma hélice meno na lateal taseia (figua 9a). Figua 9a. Quando o moto é ligado, a hélice pincipal gia, impulsionando o a paa baixo. Pelo pincípio da ação-e-eação, o a aplica na hélice uma foça vetical paa cima e, assim, o helicópteo sobe. Qualque vaiação da velocidade angula da hélice poduz uma vaiação de seu momento angula. Seja T o toque das foças populsoas, esponsável po essa vaiação de momento angula da hélice e T a eação do toque T, agindo no copo do helicópteo (figua 9b). T T Figua 9b. toque T tende a gia o copo do helicópteo em sentido oposto ao da hélice pincipal. Paa que isso não ocoa, é necessáia a existência da hélice lateal. Esta, ao gia, empua o a e, pelo pincípio da ação-e-eação, o a empua a hélice com uma foça F, que se tansmite à cauda do helicópteo. toque T que a foça F poduz no copo do helicópteo anula o toque T, o que dá estabilidade ao apaelho (figua 9c). T F Figua 9c.
6 S FUNDAMENTS DA FÍ SCA Execícios esolvidos.1 Um ponto mateial de massa m 3,0 kg ealiza um movimento cicula unifome de aio 0,5 m e velocidade escala v 10 m/s. Seja o cento da cicunfeência descita. Calcule, em elação ao ponto : a) o momento de inécia do ponto mateial; b) o módulo do momento angula do ponto mateial. Solução: a) De m 2, sendo m 3,0 kg e 0,5 m, vem: 3,0 (0,5) 2 0,75 kg m 2 b) módulo do momento angula é dado po: L mv L 3,0 10 0,5 L 15 kg m 2 /s espostas: a) 0,75 kg m 2 ; b) L 15 kg m 2 s.2 Calcule o módulo do momento angula de um sistema constituído de duas patículas, 1 e 2, em elação ao ponto, no instante indicado na figua. As massas e as velocidades das patículas 1 e 2 são, espectivamente: m 1 1,0 kg; m 2 2,0 kg; v 1 5,0 m/s e v 2 10 m/s. 1 1,0 m v 1 ; m 1 v 2 ; m 2 2,0 m 2 Solução: s módulos dos momentos angulaes L 1 e L 2 das patículas 1 e 2 são dados po: L 1 m 1 v 1 d 1 1,0 5,0 1,0 L 1 5,0 kg m 2 /s L 2 m 2 v 2 d 2 2,0 10 2,0 L 2 40 kg m 2 /s Aplicando a ega da mão dieita, deteminamos o sentido de L 1 : entando no plano do papel. Pela mesma ega, concluímos o sentido de L 2 : saindo do mesmo plano. Assim, o módulo do momento angula do sistema de patículas é dado pela difeença dos módulos: esposta: 35 kg m 2 /s L L 2 L 1 L 40 5,0 L 35 kg m 2 /s.3 Um hamste é colocado numa gaiola cilíndica, que pode gia sem atito em tono de seu eixo. hamste, de massa m, começa a se desloca com velocidade escala constante igual a v, em elação ao solo. aio da gaiola é e seu momento de inécia, em elação ao eixo, é. Detemine: a) o módulo do momento angula do hamste em elação ao eixo (considee o hamste um ponto mateial); b) a velocidade angula da gaiola. Solução: a) momento angula do hamste tem módulo dado po: L H mvd v Sendo d, vem: L H mv Pela ega da mão dieita concluímos que o sentido do veto L H é o do eixo. b) módulo do momento angula da gaiola é dado po: L G ω toque das foças que agem no sistema, em elação ao eixo de otação, é nulo. Logo, há consevação do momento angula. nicialmente o sistema está em epouso e o momento angula total é nulo. Paa que o momento angula continue nulo, devemos impo que L H e L G tenham mesma dieção, mesmo módulo e sentidos opostos. Note, então, que o sentido de L G é oposto ao do eixo e, po isso, o cilindo gia no sentido indicado na figua. mpondo L H L G (módulos iguais), esulta: espostas: a) L H mv; b) ω mv mv ω ω mv
TEMA ESPECAL DNÂMCA DAS TAÇÕES 7 Execícios Popostos P.1 Um ponto mateial de massa m 1,0 kg ealiza um movimento cicula unifome de aio 2,0 m. Sendo o cento da cicunfeência descita, calcule: a) momento de inécia do ponto mateial, em elação ao ponto. b) módulo da velocidade do ponto mateial, sabendo que o módulo de seu momento angula, em elação ao ponto, é de 10 kg m 2 /s. P.2 Calcule o módulo do momento angula de um sistema constituído de duas patículas, 1 e 2, em elação aos pontos B e, no instante indicado na figua. B 20 cm 20 cm v 2 v 1 10 cm 10 cm 1 2 m 1 m 2 As massas e as velocidades das patículas 1 e 2 são, espectivamente: m 1 2,0 kg; m 2 3,0 kg; v 1 4,0 m/s e v 2 6,0 m/s. P.3 Ao longo da boda de uma platafoma hoizontal, de foma cicula de massa M e aio, são dispostos tilhos. A platafoma e um pequeno tem de massa m, colocado sobe os tilhos, estão em movimento de otação em tono do eixo vetical, com velocidade angula ω 0 (figua a). Num ceto instante o tem começa a se desloca sobe os tilhos com velocidade de módulo u, em elação à platafoma. sentido de movimento do tem é o mesmo sentido de otação da platafoma (figua b). ω 0 Figua a. u Figua b. Despeze os atitos. Detemine a nova velocidade angula ω da platafoma (o momento de inécia da platafoma em elação ao eixo é dado po: M 2 2.
8 S FUNDAMENTS DA FÍ SCA Testes Popostos (s testes T.1 a T.10 foam popostos pela Fuvest nas povas de tansfeência paa a USP.) T.1 Um copo de massa 3 kg move-se a uma velocidade escala constante de 4 m/s sobe um cículo de aio 5 m. Após algumas evoluções sobe o cículo, o copo escapa e se movimenta em linha eta, mantendo o mesmo valo de velocidade e a mesma dieção do instante de escape. momento angula do copo antes de escapa e o momento angula do copo após o escape, calculados em elação ao cento do cículo são (em kg m 2 /s), espectivamente, de: a) 12 e 0 c) 60 e 60 e) 60 e 0 b) 12 e 12 d) 60 e 12 T.2 Dois objetos estão se movendo como mosta a figua abaixo. 1,0 m 30 v 1 2 m/s m 1 3 kg 1,5 m 60 v 2 2 3 m/s m 2 6 kg momento angula total em tono do ponto é (no S) de: a) 12 b) 10 c) 6 d) 2 e) 0 (Use este enunciado paa esolve as questões T.3 e T.4.) Um copo de massa m pecoe, com velocidade angula constante ω, em sentido anti-hoáio, uma tajetóia cicula de aio, cujo cento C dista d da oigem do sistema de coodenadas xy, como mosta a figua. y a) (d cosωt) i senωt j b) ( d) cosωt i senωt j c) i j d) ( d) senωt i ( d) cosωt j e) (d ) i j T.4 Duante o movimento, o valo máximo do módulo do momento angula do copo em elação à oigem do sistema de coodenadas é: a) mω 2 d) mω(d ) 2 b) mω(d ) e) mωd c) mω(d ) T.5 Uma platafoma cicula, de massa M e aio, gia livemente, com velocidade angula ω, em tono de um eixo fixo, pependicula a ela, passando pelo seu cento. Seu momento de inécia em elação a esse eixo é M 2 2. Uma pequena bola de mateial viscoso, de massa m, cai veticalmente sobe a platafoma, à distância do seu cento, gudando-se nela instantaneamente. A velocidade angula final da platafoma é: 2 M m a) M ω d) 2M m ω 2M M m 2M b) ω e) M 2M m ω c) M M m ω T.6 No instante t 0, uma patícula de massa m é abandonada, em epouso, no ponto ai bk, sob a ação da gavidade, cuja aceleação é epesentada po g gk. toque e o momento angula da patícula, em elação à oigem do sistema de coodenadas e em função do tempo t são, espectivamente: a) mga k; mgat k d) zeo; zeo b) mgaj; mgat j e) mgb k; zeo c) zeo; mgat j d T.3 Sabendo que o copo está passando pelo ponto P no instante t 0, a equação que desceve sua posição em elação à oigem do sistema de coodenadas, em função do tempo t, é dada po: C P x T.7 Um sistema é fomado po dois copos A e B, ambos com massa m e ligados po uma haste de compimento L. Num dado instante, as velocidades dos dois copos são paalelas ente si e pependiculaes A v A à baa, sendo v A v v B B e v B 2v, como mosta a figua. módulo do momento angula do sistema em elação ao seu cento de massa vale: a) mlv c) 3mLv 2 e) 2mLv b) mlv 2 d) zeo
TEMA ESPECAL DNÂMCA DAS TAÇÕES 9 T.8 Uma pessoa de massa m está paada na boda de uma platafoma hoizontal, de foma cicula, com aio e momento de inécia, que pode gia livemente em tono de um eixo vetical que passa pelo cento desse cículo. nicialmente, a platafoma está em epouso em elação ao solo. Num dado instante, a pessoa começa a anda ao longo da boda da platafoma, até atingi uma velocidade de módulo v em elação ao solo. Nesse instante, a velocidade angula da platafoma vale: mv v a) zeo c) e) m v v b) d) m 3 T.9 Uma patícula de massa m 2,0 kg move-se no plano xy ao longo de uma eta paalela ao eixo y, em x 5,0 m, com velocidade v 3,0t j m/s. módulo do momento angula da patícula, em kg m 2 /s, e o toque da foça esultante sobe a patícula, em N m, ambos em elação à oigem, no instante t 2,0 s, são iguais, espectivamente, a: a) 60 e 30 d) 60 e 100 b) 60 e 60 e) zeo e zeo c) 30 e 100 T.10 João enconta-se em pé, em epouso, sobe uma platafoma hoizontal que pode gia livemente, sem atito, em tono de um eixo vetical. A platafoma está paada e João está seguando uma oda de bicicleta, de momento de inécia, que gia com velocidade angula constante ω, em tono do eixo vetical, em sentido hoáio, quando vista de cima. Em ceto instante, João invete a posição da oda de bicicleta de tal foma que ela passa a gia com a mesma velocidade angula ω, mas em sentido anti-hoáio quando vista de cima. Nessa situação final, o sistema fomado pela platafoma e po João, quando visto de cima, tem momento angula de módulo igual a: a) zeo. b) ω e gia em sentido hoáio. c) ω e gia em sentido anti-hoáio. d) 2ω e gia em sentido hoáio. e) 2ω e gia em sentido anti-hoáio. (s testes T.11 a T.16 foam popostos no Exame Nacional de Física paa acesso ao Ensino Supeio em Potugal.) T.11 Uma haste, de massa despezível e compimento d, oda, no plano xy, em tono de um eixo fixo que passa pelo ponto médio da haste e é pependicula ao efeido plano. Nas extemidades da haste encontam-se pesas duas esfeas de massas m 1 e m 2. módulo do momento angula do sistema, em elação ao ponto, num instante em que a velocidade das esfeas, supostas pontos mateiais, tem módulo v, é: a) zeo d) (m 1 m 2 )vd b) ( m 1 m 2 ) v d c) ( m 1 m 2 ) v 2d e) ( m 1 m 2 ) vd 2 T.12 Dois patinadoes, cada um de massa m, movemse numa pista de gelo em tajetóias paalelas, sepaadas ente si po uma distância d, com velocidades de igual módulo v e de sentidos opostos. módulo do momento angula do sistema constituído pelos dois patinadoes, em elação a qualque ponto, é: a) mvd d) zeo b) 2mvd e) mvd 2 c) mv T.13 Uma ciança senta-se num banco giatóio com os baços encostados ao copo e pede que façam gia o banco em tono de um eixo vetical que passa pelo cento do sistema ciança banco. Num dado instante, com o sistema ciança banco a gia solidaiamente, a ciança abe os baços e volta a encostá-los ao copo. Considee despezível o efeito do atito ente o banco e o eixo vetical. Selecione a afimação vedadeia. a) Quando a ciança abe os baços, o momento de inécia do sistema, em elação ao eixo de otação, diminui. b) Quando a ciança abe os baços, o módulo da velocidade angula do sistema diminui. c) Quando a ciança fecha os baços, o momento de inécia do banco, em elação ao seu cento de massa, diminui. d) Que a ciança aba ou feche os baços, o módulo da velocidade angula do sistema mantém-se. e) Que a ciança aba ou feche os baços, o momento angula do banco, em elação ao eixo de otação, mantém-se.
10 S FUNDAMENTS DA FÍ SCA T.14 Uma bailaina, com os baços cuzados sobe o peito, odopia com velocidade angula ω, numa pista de gelo hoizontal. Quando a bailaina abe os baços, fazendo vaia o seu momento de inécia em elação ao eixo de otação, que se mantém fixo, a sua velocidade angula diminui. gáfico que taduz como vaia o módulo da velocidade angula ω em função do momento de inécia da bailaina é: a) X d X d Y Y b) Qual das expessões taduz o módulo do momento de inécia do sistema X Y em elação ao eixo vetical? a) 9m X d 2 X b) 2m X d 2 X c) 5m X d 2 X d) 3m X d 2 X e) 8m X d 2 X c) T.16 Um disco de massa M e aio pode oda com atito despezível em tono de um eixo que lhe é pependicula e passa pelo seu cento. momento de inécia do disco, em elação ao eixo de otação, é 1 2 M 2. disco, inicialmente em epouso, é atingido po um pedaço de plasticina, de massa m e velocidade v i, que se cola no ponto A de sua peifeia, como indica a figua. d) A v i e) T.15 Dois copos, X e Y, de massas espectivamente m X e m Y 2 m X, estão fixos numa haste que pode oda em tono de um eixo vetical que passa pelo ponto. As distâncias do cento de massa dos copos X e Y ao ponto são, espectivamente, d X e d Y 2d X. A massa da haste é despezível em elação à massa de cada um dos copos. módulo da velocidade do pedaço de plasticina, imediatamente após se te colado ao disco, é: 2mv a) i 2m M b) c) mv i 2m M 2mv i M d) v i e) zeo
TEMA ESPECAL DNÂMCA DAS TAÇÕES 11 Execícios (Popostos no Exame Nacional de Física paa acesso ao Ensino Supeio em Potugal.) P.4 Uma haste homogênea de compimento d e momento de inécia pode oda, sem atito, em tono de um eixo fixo que passa pelo seu cento P e é pependicula m v ao plano xy. nicialmente a haste está em epouso na 1 Md 2 posição vetical. Um pojétil de massa m e velocidade 12 hoizontal v colide com a haste, ficando incustado na extemidade desta. P P y a) Qual é o momento esultante das foças aplicadas ao M 3m sistema haste pojétil duante a colisão? M M b) Estabeleça uma expessão paa a velocidade angula da haste, logo após a colisão, em função de v e d. P.5 Um caossel começa a oda e adquie, ao fim de 1 minuto, velocidade constante igual a 0,5 volta po segundo. Uma ciança de pé sobe o caossel, à distância de 2,0 m do espectivo eixo de otação, tem um momento angula igual a 100π J s. Consideando g 10 m/s 2, detemine: a) o valo do peso da ciança; b) o valo da foça de atito que se deve exece sobe a ciança paa que ela não deslize sobe a platafoma, supondo que não tem qualque outo supote. P.6 A figua epesenta uma placa etangula homogênea e de espessua constante, que oda em tono do eixo hoizontal AB, com velocidade angula ω 0 7,0 ad s 1, no sentido indicado. momento de inécia da placa em elação ao eixo efeido é de 2,0 10 2 kg m 2. Despeze os atitos. Esfea 40 cm Uma pequena esfea, de massa igual a 50 g, deslocando-se na hoizontal no B P instante em que colide pependiculamente à placa, incusta-se nela no ponto P; este ponto é o cento de massa da metade supeio da placa. A velocidade 40 cm angula do sistema, logo após a incustação, eduz-se paa 1,8 ad s 1, continuando a placa a oda no mesmo sentido. a) Detemine o momento de inécia do sistema, em elação ao eixo AB, após A a incustação da esfea. b) Calcule o módulo da velocidade da esfea, imediatamente antes do impacto com a placa. c) Detemine o módulo da vaiação do momento linea da esfea ente os instantes imediatamente antes do choque e logo após a incustação na placa. P.7 Um disco homogêneo, de massa M e aio, oda numa supefície plana e hoizontal com velocidade angula constante de módulo ω, no sentido indicado na figua, em tono de um eixo fixo, que passa pelo cento do disco. momento de inécia do disco em elação ao eixo efeido é 1 2 M 2 e o módulo da velocidade de qualque dos pontos da sua peifeia é v. x Um copo de massa m M 2 é lançado hoizontalmente segundo uma tajetóia etilínea tangente ao disco com uma velocidade v vi, de módulo igual ao da velocidade de um ponto da peifeia do disco. m Tajetóia do copo y z i x Admita que, imediatamente após a colisão, o copo segue na mesma dieção e sentido que tinha antes da colisão. Despeze os efeitos do atito no eixo do disco, ente o copo e a supefície hoizontal e ente o disco e essa supefície. a) epesente as foças de inteação ente o disco e o copo, duante a colisão. Tenha atenção no tamanho elativo dos vetoes. b) Moste que é nulo o momento angula do sistema disco copo, imediatamente antes da colisão, em elação ao ponto. c) Qual é a elação ente o módulo, a dieção e o sentido do momento angula do disco e o módulo, a dieção e o sentido do momento angula do copo, imediatamente após a colisão, elativamente ao ponto?
12 S FUNDAMENTS DA FÍ SCA espostas Complemento Dinâmica das otações Execícios popostos P.1 a) 4,0 kg m 2 b) 5,0 m/s P.2 L B 0; L 0,5 3 kg m 2 /s P.3 mu ω ω 0 (0,5M m) P.4 a) momento esultante é nulo. b) ω v d F DC : foça execida pelo disco sobe o copo F CD : foça execida pelo copo sobe o disco F DC F CD : (ação-e-eação) b) Módulo do momento angula do copo em elação ao ponto : L C M 2 v (1) Módulo do momento angula do disco em elação ao ponto : L D ω L D 1 2 M2 v L D M 2 v (2) P.5 a) 2,5 10 2 N b) 4,9 10 2 N P.6 a) 2,2 10 2 kg m 2 b) 10,04 m/s c) 5,2 10 1 kg m/s P.7 a) F DC F CD De (1) e (2), esulta: L C L D Pela ega da mão dieita, pode-se conclui que L C e L D têm mesma dieção e sentidos opostos. Logo: L C L D 0 c) s momentos angulaes do copo e do disco apesentam mesmo módulo, mesma dieção e sentidos opostos. Testes popostos T.1 c T.2 e T.3 a T.4 c T.5 e T.6 b T.7 b T.8 c T.9 a T.10 d T.11 e T.12 a T.13 b T.14 a T.15 a T.16 a