ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE ESTRUTURAS SOB A AÇÃO DE CARGAS DE MULTIDÃO DIEGO RODRIGUES TORRES

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA POLITÉCNICA ENGENHARIA CIVIL DEPARTAMENTO DE MECÂNICA APLICADA E ESTRUTURAS ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE ESTRUTURAS SOB A AÇÃO DE CARGAS DE MULTIDÃO DIEGO RODRIGUES TORRES Projeto de Fnal de Curso apresentado ao corpo docente do Departamento de Mecânca Aplcada e Estruturas da Escola Poltécnca da Unversdade Federal do Ro de Janero, como requsto para obtenção do título de Engenhero Cvl. Aprovado por: Glberto Bruno Ellwanger Prof. Adjunto, D.Sc., EP/UFRJ (Orentador) Carlos Magluta Prof. Adjunto, D.Sc., COPPE/UFRJ (Co-orentador) Ney Rotman Prof. Ttular, D.Sc., COPPE/UFRJ Eduardo de Mranda Batsta Prof. Adjunto, D.Sc., EP/UFRJ Setembro / 007

À mnha avó paterna, Wlda.

Agradecmentos Agradeço aos meus pas, Ivan Francsco Torres Muñoz e Dúna Gomes Rodrgues, por me apoarem em todos os momentos do meu camnho até aqu e por serem exemplos que segure por toda mnha vda. Aos meus rmãos, Pedro e Patríca, pela grande amzade e compreensão. Aos meus avós maternos, Abílo Gomes Rodrgues e Deolnda Gomes Rodrgues, por sempre estarem presentes e nos apoarem nos momentos dfíces. Aos grandes amgos que ganhe durante toda a graduação, que com certeza estarão presentes em outras etapas de mnha vda. Aos professores Glberto Bruno Ellwanger e Carlos Magluta por me orentarem na elaboração deste projeto, sempre com nteresse e vontade de torná-lo o mas rco possível. Ao professor Ney Rotman e ao pesqusador Anderson de Souza Matos Gadéa, que de certa forma, também tveram partcpação crucal neste trabalho.

Índce INTRODUÇÃO.... MOTIVAÇÃO.... OBJETIVOS... 3 DESCRIÇÃO DO PROBLEMA E METODOLOGIA... 4. DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA E DOS ENSAIOS REALIZADOS... 4.. Descrção da estrutura... 4.. Descrção da nstrumentação... 6..3 Descrção dos ensaos e dos resultados obtdos... 9 3 FUNDAMENTOS... 3 3.. Vbrações lvres... 7 3.. Vbração forçada no domíno do tempo... 9 3..3 Vbração forçada no domíno da freqüênca... 0 3. FORMULAÇÃO COMPUTACIONAL... 3.. Vbração lvre... 3.. Integração no domíno do tempo... 5 3..3 Análse no domíno da freqüênca... 8 4 APLICAÇÕES... 30 4. MODELO NUMÉRICO... 30 4. VERIFICAÇÃO DO PROGRAMA DIN_O... 30 4.3 SIMULAÇÕES... 3 4.3. ª Smulação carga... 3 4.3. ª Smulação cargas... 38 4.4 CARGAS EXPERIMENTAIS... 4 4.4. Análse consderando a carga gerada por pessoa... 44 4.4. Análse consderando a carga gerada por 0 pessoas... 5 5 CONCLUSÃO... 56 BIBLIOGRAFIA... 58 ANEXO... 60

Introdução. Motvação Em geral, exste uma tendênca atual de se construr estruturas cvs cada vez mas esbeltas. Desta forma, ocorre naturalmente uma redução dos valores de suas freqüêncas naturas a valores que podem chegar a serem próxmos das cargas dnâmcas geradas por atvdades humanas, tas como andar, pular e dançar, levando as estruturas a apresentarem níves de vbração elevados. Estes níves podem causar desconforto humano e até pôr em rsco a segurança da própra estrutura []. Dentre estruturas em que houve problemas devdo a carregamentos humanos, podem-se ctar no Brasl o Estádo Maracanã/RJ [], [3] e [4], o Estádo Nlson- Nélson/DF [5], o Estádo do Manguerão/PA [6] e a Igreja Unversal do Reno de Deus/RJ [7]. Além dessas estruturas, pode-se ctar fora do país o desabamento de uma passarela na Carolna do Norte/EUA durante a saída de um evento esportvo dexando mas de 00 pessoas ferdas [8]. Outro caso, que fcou bastante conhecdo, fo o problema na nauguração da Mllennum Footbrdge, na Inglaterra, lustrada nas Fg. e. Esta estrutura consste numa passarela suspensa metálca extremamente flexível. Ao ser naugurada, ela começou a apresentar osclações lateras com ampltude de 0 cm ao longo dos seus 345 m de comprmento, precsando ser nterdtada, [9] e [0]. Estudos realzados concluíram que a ação de camnhar das pessoas produza uma carga lateral. Como as pessoas possuem menos establdade na dreção lateral, elas estão mas propensas a entrar em ressonânca (e nclusve, se sncronzarem) com a estrutura nessa dreção [].

Fg. e - Mllenum Footbrdge localzada sobre o Ro Thâmsa/Londres [9] e [0].

. Objetvos O objetvo do presente trabalho é o estudo da Dnâmca Estrutural aplcada às cargas geradas por atvdades humanas, vsando um melhor entendmento da nteração homem-estrutura, ou seja, compreender como as pessoas nfluencam as característcas modas (freqüênca natural, massa, amortecmento, etc.) do sstema. Para que sso pudesse ser realzado, foram utlzados dados expermentas orundos dos ensaos da tese de doutorado de Faísca []. Para esta tese, fo construída uma estrutura msta de concreto armado e aço e realzados sobre ela város ensaos de pessoas saltando de forma a smular dversas stuações, tas como, mpacto (pulando e parando), aeróbca, show/torcda, etc. Este trabalho, também tem como objetvo elucdar as dversas formas de se atacar o problema, no que se refere à análse e ao processamento dos dados. Assm sendo, pode-se resumr o que fo realzado nas seguntes etapas: Desenvolvmento de um programa de análse dnâmca de pórtco plano va ntegração no domíno do tempo em lnguagem Fortran; Implementação de um programa de vbração forçada no domíno da freqüênca no Mathcad, utlzando técncas de processamento de snas; Smulação de casos de carga a fm de verfcar o correto funconamento dos programas: º) uma força harmônca atuando em ressonânca; º) duas forças harmôncas em ressonânca defasadas atuando em posções dstntas da estrutura; Análse de dos carregamentos expermentas: uma pessoa pulando espontaneamente, ou seja, sem estímulo e um carregamento de multdão smulando a stuação de show/torcda; Ajuste de freqüênca e da taxa de amortecmento das respostas numércas no domíno do tempo e da freqüênca a fm de comparar no domíno da freqüênca com as respostas expermentas e obter os parâmetros modas mas prováves para a stuação real. 3

Descrção do Problema e Metodologa Neste capítulo serão descrtos os ensaos realzados por Faísca [], mostrando como é a estrutura construída, ou seja, suas característcas físcas e geométrcas. Adconalmente também serão apresentadas a nstrumentação utlzada e as cargas meddas durante os ensaos. Todas essas nformações se encontram na referênca []. Descrção da estrutura e dos ensaos realzados.. Descrção da estrutura Fo construída no Laboratóro de Estruturas da COPPE, para a tese de doutorado de Faísca [], uma plataforma de dmensões.0 m x.0 m em concreto armado, apoada sobre duas vgas longtudnas (longarnas) e quatros vgas transversas (transversnas) metálcas. Para garantr que a estrutura metálca trabalhasse soldaramente com o concreto, foram soldados conectores do tpo studs ao longo das vgas, que posterormente foram concretados. As vgas, por sua vez, eram suportadas por apoos móves. Uma vsta geral desta estrutura pode ser observada na Fg. 3 e as prncpas dmensões são mostradas nas Fg. 4 e 5. Fg.3 Vsta geral da estrutura de ensao []. 4

B I 8"x4" 0.0 4.00 4.00 4.00 0.0 0.0.00 x Y I 8"x4" A 0.0 Meddas em metro I 8"x4" A B Fg.4 Vsta superor da estrutura msta []. Laje em concreto armado.0 0.0 0.0 Perfl em aço I 8"x4".60 Z Y 0.50 Apoo Meddas em metro corte A-A.0 Perfl em aço I 8"x4" Medda em metro corte B-B Z X Fg. 5 Detalhes da estrutura msta []. 5

.. Descrção da nstrumentação Foram montadas sobre o tabulero 6 células de carga, responsáves pela letura das forças geradas pelos voluntáros ao longo do tempo. Das 6 células, apenas 0 foram nstrumentadas. Cada célula de carga se consttuía bascamente de placas de MDF de 90 x 90 cm, entre as quas foram nstalados 9 anés dstrbuídos de forma unforme nas placas. Em cada anel, foram nstalados dos extensômetros elétrcos de resstênca (EER), responsáves por medr deformação específca, em faces opostas. Por fm, os EER s de cada célula foram lgados em ½ ponte de Wheatstone. Detalhes desta nstrumentação podem ser vstos nas Fg. 6 a 8. 6

Fg.6 Detalhe da nstrumentação das células de carga []. E, E, Fg.7 Detalhe dos EER s nas faces do anel []. L L4 L6 L8 L0 L L4 L6 L8 L0 L L4 L6 L L3 L5 L7 L9 L L3 L5 L7 L9 L L3 L5 Fg.8 Vsta superor esquemátca das células de carga (as nstrumentadas estão em vermelho) []. 7

Para a obtenção das respostas expermentas, foram fxados à estrutura quatro acelerômetros, sendo dos no meo do vão e dos a um quarto, sempre em lados opostos, dos flexímetros (um no meo do vão e um a um quarto) e dos extensômetros elétrcos de resstênca no meo do vão, também colados em lados opostos. Detalhes desta nstrumentação podem ser vstos na Fg. 9. / vão /4 vão AC3 AC4 E x Y E A AC F AC F A AC AC E F F /4 vão Z Y / vão corte A-A Fg.9 Detalhe da localzação dos sensores []. 8

..3 Descrção dos ensaos e dos resultados obtdos Conforme já menconado anterormente, foram realzados sobre a estrutura nstrumentada város ensaos com um número dstnto de pessoas:,, 6, 0, 6 e 0. Este grupo realzou atvdades de saltar de forma a smular dversas stuações de carga, tas como, mpacto (pular e parar), aeróbca, show/torcda, além de pulos sncronzados sob uma freqüênca pré-estabelecda. Nesses ensaos, foram mpostas varações na rgdez da estrutura, através da mudança da posção dos apoos móves. Nesse trabalho, será apresentada somente a stuação da estrutura mas flexível analsada em []. Esta stuação é obtda com as vgas suportadas por quatro apoos (dos em cada um dos lados) com um vão de.50 m e dos balanços de 0.35 m, conforme lustrado na Fg. 0. 0.35 m. 50 m 0.35 m Fg.0 Idealzação da estrutura na stuação analsada. No que se refere às cargas, serão utlzados somente dos casos: pessoa pulando à vontade, ou seja, sem estímulo, seja ele audtvo ou vsual e 0 pessoas pulando smulando show/torcda sob estímulo sonoro e vsual. duração. É mportante menconar que os ensaos tveram em méda de 30 a 60 s de 9

Fg. Ensao com 0 pessoas pulando sobre a plataforma []. A fm de se obter os parâmetros modas da estrutura (freqüênca natural e taxa de amortecmento), Faísca [] realzou ensaos de vbração lvre em que as pessoas davam um salto e depos permanecam paradas sobre a estrutura, conforme pode ser vsto na Fg.. voluntáros. A Fg. representa a força medda ao longo do tempo gerada por um dos Carga (N) 500 000 500 000 500 0 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 Tempo (s) Fg. Força característca de um salto []. 0

A Fg. pode ser nterpretada da segunte forma: t =4.0 a 4.5 s - Instante em que o ndvíduo encontra-se parado sobre a estrutura; t=4.5 a 5.0 s - Flexão de joelhos para dar mpulso; t=5.0 a 5.4 s - Indvíduo encontra-se totalmente no ar; t=5.4 a 5.7 s - Indvíduo aterrsando; t> 6 s - Indvíduo encontra-se totalmente parado sobre a estrutura. A Fg. 3 apresenta um resultado típco deste tpo de teste. Deslocamento (cm) 0.08 0.06 0.04 0.0 0-0.0-0.04 Pessoa -0.06 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 0 Tempo (s) Fg.3 Exemplo de resposta no ½ do vão para a carga de mpacto []. Através do cálculo do nverso da méda dos períodos estmados através da dferença de tempo assocada entre pcos consecutvos e da técnca do decremento logarítmco, Faísca [] obteve as freqüêncas naturas e taxas de amortecmento assocadas ao prmero modo de vbração para dstntos números de pessoas sobre a estrutura. Esses resultados são apresentados na Tabela, onde se pode observar que tanto as freqüêncas naturas quanto a taxa de amortecmento apresentam certa dependênca com o número de pessoas.

Tabela Valores expermentas estmados []. Nº. de pessoas Freqüênca Natural (Hz) Taxa de Amortecmento (%) 3. ± 0.. ± 0.3 3. ± 0..4 ± 0. 6.8 ± 0. 3.9 ± 0.5 0.8 ± 0. 4.5 ± 0.5 Os valores acma correspondem à méda de nove snas para cada uma das stuações analsadas em [] ± desvo padrão. Neste trabalho, portanto, será verfcado se o mesmo comportamento pode ser observado quando as pessoas estão contnuamente em atvdade.

3 Fundamentos Neste tem serão apresentados os prncpas concetos referentes à Análse Dnâmca Estrutural utlzados neste trabalho e os programas desenvolvdos para a realzação das análses. Consdere-se ncalmente um sstema de um únco grau de lberdade, ou seja, apenas uma coordenada é o sufcente para descrever a posção da massa em qualquer nstante de tempo. O modelo matemátco para o estudo desse sstema é mostrado na Fg. 4, onde m é a massa que representa a nérca do sstema; a restauração elástca e a energa potencal do sstema são representadas pela mola com rgdez lnear k; a perda de energa é representada pelo amortecedor de constante gual a c. As forças externas varáves no tempo são representadas por F(t). O Prncípo de D`Alembert estabelece que o equlíbro dnâmco de um sstema pode ser obtdo adconando-se às forças externas aplcadas uma força fctíca, chamada de força de nérca, proporconal à aceleração e com sentdo contráro ao do movmento, sendo a constante de proporconaldade gual à massa do sstema []. Fg.4 Sstema mecânco massa-mola-amortecedor. Consderando o dagrama de corpo lvre (DCL) mostrado na Fg. 4, onde Fk(t) é a força provenente da mola kx, Fd(t) é a força de amortecmento. Adotando-se por hpótese que a força de amortecmento é proporconal à velocdade e tem sentdo oposto 3

4 ao movmento, sto é, Fd = - x c, e escrevendo o equlíbro das forças na dreção x, temse: F(t) kx cx x m = () Adotando-se agora um sstema com n graus de lberdade, como pode ser vsto na Fg. 5: Fg.5 Sstema mecânco de n graus de lberdade. Utlzando novamente o prncípo de D`Alembert e fazendo o equlíbro do DCL de uma massa qualquer no sstema mostrado na Fg. 5, tem-se a equação: x m x x k x x c x x k x x c t F = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( () Rearranjando a equação () obtém-se a equação: ) ( ) ( ) ( t F x k x k k x k x c x c c x c x m = (3) A equação (3) pode ser escrta de forma matrcal, como mostrado na eq. (4) para três massas:

5 = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 4 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 t F t F t F x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m (4) A eq. (4) pode ser generalzada para o caso de sstemas com n graus lberdade através da eq. (5). F(t) Ku Cu u M = (5) onde: M Matrz de massa, de dmensão n n; C Matrz de amortecmento, de dmensão n n; K Matrz de rgdez, de dmensão n n; u, u e u Vetores de deslocamento, velocdade e aceleração, respectvamente, com n lnhas; F Vetor com as forças aplcadas, com n lnhas. Este conceto pode ser estenddo para um elemento de pórtco plano, adotandose que agora cada nó possu três graus de lberdade. Nesse caso, faz-se uso de coordenadas locas de cada elemento, onde a numeração dos graus de lberdade é lustrada na Fg. 6: Fg.6 Elemento de pórtco plano no referencal local.

A matrz de rgdez K de cada elemento do pórtco plano pode ser representada pela eq. (6) [3]. EA EA 0 0 0 0 L L EI 6EI EI 6EI 0 3 3 L L L L 4EI 6EI EI 0 K = L L L e EA (6) 0 0 L EI 6EI Smétrca 3 L L 4EI L Enquanto, a chamada Matrz de Massa Consstente para um elemento de pórtco plano é representada pela eq. (7) []. 40 0 0 70 0 0 56 L 0 54 3L ml 4L 0 3L 3L M e = (7) 40 40 0 0 Smétrca 56 L 4L Nas equações (6) e (7) têm-se: E Módulo de elastcdade; A Área da seção transversal; I Momento de nérca da seção; L comprmento do elemento; m - massa dstrbuída no elemento. Como essas matrzes M e K estão no referencal local, é necessáro aplcar uma transformação lnear de rotação em cada elemento, para que estas matrzes passem a ser referencadas no sstema de coordenada global, anda com a numeração orgnal. 6

Essa operação é lustrada pelas eq. (8) e (9): T K e, global = R K e, localr (8) T M e, global = R M e, localr (9) sendo R a matrz de rotação para o elemento de pórtco plano, onde θ é o ângulo formado entre o exo x local e o X global; essa matrz é lustrada na eq. (0) [3]. cosθ senθ 0 0 0 0 senθ cosθ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R = (0) 0 0 0 cosθ senθ 0 0 0 0 senθ cosθ 0 0 0 0 0 0 A montagem das matrzes de rgdez K e de massa M global da estrutura é realzada somando-se as contrbuções de rjezas e massas de todos os elementos referentes ao mesmo grau de lberdade no referencal global. 3.. Vbrações lvres Consderando o sstema de n graus de lberdade descrto pela eq. (5) com força de exctação nula e que a matrz de amortecmento C é proporconal às matrzes de massa e rgdez, sto é, C = a M bk (hpótese de Raylegh), obtém-se a eq. (). M u Ku = 0 () Esta equação representa o sstema em vbração lvre não-amortecda. É possível se demonstrar que os modos de vbração calculados com o problema amortecdo são guas aos não-amortecdos desde que C atenda a hpótese de Raylegh. Adotando-se por hpótese que o vetor de deslocamento da eq. () pode ser escrto na forma: 7

u = ϕ q(t) () onde ϕ é o vetor que representa os modos de vbração e q(t) a função que representa a resposta no tempo, pode-se demonstrar que esta resposta q(t) pode ser escrta na forma complexa como: q ωt ( t) = a e (3) onde, ω é a freqüênca angular em rad/s e a uma constante. Substtundo-se (3) em () obtém-se: ωt u = ϕ a e (4) Substtundo-se agora (4) e suas dervadas no tempo em () obtém-se: ωt ( M ω ϕ Kϕ) a e = 0 (5) Na equação (5), o termo ausênca da dnâmca do movmento. Assm, pode-se escrever: a ωt e não pode ser zero o que representara a ( K ω M) ϕ = 0 (6) que é um sstema de n equações algébrcas homogêneas com n componentes do vetor ϕ e o parâmetro ω desconhecdos. A formulação da equação (6) é um problema de autovalor. Como a solução do problema não pode ser trval ( ϕ = 0 ), o que resultara na ausênca de deslocamentos nodas, conclu-se que: det( K ω M) = 0 (7) A eq. (7) exprme um polnômo de grau n resultando em n valores de ω. Este polnômo é conhecdo como equação característca do sstema. Para cada valor de que satsfaz a equação característca, pode-se resolver a equação (6) obtendo-se os ω 8

auto-vetores. Como os valores calculados para os coefcentes ϕ são arbtráros, é necessára uma normalzação desses valores. É usual normalzar em relação à massa, conforme mostrado na eq. (8): φ ϕ j j = (8) T ϕ j Mϕ j onde ϕ j é o auto-vetor e M é a matrz de massa. Como solução do problema de autovalores, é determnado ω, as freqüêncas naturas, e seus respectvos auto-vetores assocados ϕ que representam os modos de vbração do sstema. O máxmo número de modos de vbração é gual ao número de graus de lberdade da estrutura que depende da forma como ela é dscretzada. Quanto maor a dscretzação maor será o número máxmo de modos de vbração. 3.. Vbração forçada no domíno do tempo Escrevendo-se a eq. () de forma matrcal obtém-se a segunte equação: u( t) = Φ Q( t) (9) onde, Φ = φ, φ, φ... φ ] - Matrz dos modos de vbração; [ 3 n Q )] T ( t) = [ q( t), q( t), q3( t)... qn( t - Vetor das respostas assocadas a cada um dos modos de vbração; Substtundo na eq. (5) obtém-se:... MΦ Q(t) CΦ Q(t) kφ Q(t) = F(t) (0) Pré-multplcando a eq. (0) por... T Φ, obtêm-se: T T T Φ MΦQ(t) Φ CΦQ(t) Φ kφq(t) = P(t) () T onde, P( t) = Φ F( t) é o vetor de forças modas. 9

Φ T KΦ Devdo à ortogonaldade entre os modos de vbração, os produtos Φ T MΦ resultam em matrzes dagonas. Além dsso, como fo adotada a hpótese de que C = a M bk, Φ T CΦ também se torna dagonal. Portanto, o sstema representado pela eq. () fca desacoplado. Isto sgnfca que é possível resolver cada uma das n equações dferencas ndependentemente. Sendo os auto-vetores normalzados com relação à matrz de massa, tem-se para a equação modal de ordem : e onde,... q = ( t) ξ ω q ( t) ω q ( t) P ( t) () ξ - taxa de amortecmento de -ézmo modo; ω - freqüênca angular natural do -ézmo modo. 3..3 Vbração forçada no domíno da freqüênca Consderando o caso em que o sstema de n graus de lberdade é exctado somente por uma força harmônca no grau de lberdade a, sto é, a força P(t) da eq. () passa a ser escrta: P T a j ω t ( t) = φ F ( t) = φ Fae (3) onde o índce a se refere à -ézma posção dos vetores adotada é harmônca a resposta da eq. () pode ser escrta como:. q ( t ) = q q e j ω t ω 0 e j ω t 0 q ( t ) = j (4).. q ( t) = q ω 0 e j ω t φ e F(t). Como a força Substtundo (3) e (4) em (), obtém-se: Logo, j ω t a j ω t ( ω ξ ω jω ω ) q0 e = φ Fae (5) q a j ω t ( t) = Fae ω ξ ω jω ω (6) φ 0

A resposta do grau de lberdade b é dada por: = = m b b t q t ) ( ) ( φ u (7) Portanto, t j a m a b b e F j t = = ω ω ω ω ξ ω φ φ ) ( u (8) que pode ser escrta da segunte forma: t j a ba b e F H t = ω (ω ) ) ( u (9) onde, = = m a b ba j H ) ( ω ω ω ξ ω φ φ ω (30) é a Função de Resposta em Freqüênca (FRF) que correlacona o deslocamento em b devda à força em a. A resposta no domíno da freqüênca pode ser obtda através de: ) ( ) ( ) ( ω ω ω a ba b F H = u (3) onde ) (ω F - espectro da força;

3. Formulação Computaconal Apresenta-se neste tem de forma resumda o funconamento dos programas utlzados para as análses. 3.. Vbração lvre Para o cálculo das freqüêncas naturas e modos de vbração da equação () fo utlzado o programa de pórtco plano DIN_O, utlzado por Aguar [4]. A estrutura básca do programa é apresentada no fluxograma lustrado na Fg.7. MAIN PRIN INPUT SBSPACE OUTPUT ASSEM JACOB STIFF EMASS ELASS Fg.7 Fluxograma básco do DIN_O.

As prncpas rotnas deste sstema são: MAIN - rotna prncpal onde é crado o vetor que va alocar todas as varáves do programa; PRIN rotna que va comandar todas as outras, necessáras para cálculo. Ela chama as seguntes rotnas: INPUT lê os dados de entrada num arquvo que contêm: O nº. de nós, o nº. de elementos, nº. de nós apoados, o módulo de elastcdade e a massa específca; Os nós com as coordenadas em X e Y; Os elementos com as ncdêncas, e as propredades geométrcas tas como a área e o momento de nérca; As dreções restrngdas; O nº. de modos de vbração que o usuáro quer analsar. Também, nessa sub-rotna, as equações são reordenadas de acordo com as dreções globas restrngdas. ASSEM monta o K e o M. Ela faz sso chamando as seguntes sub-rotnas: STIFF monta o K e, local e em seguda, calcula o produto T K e, global = R K e, localr ; EMASS monta o M e, local e em seguda, calcula o produto T M e, global = R M e, localr ; ELASS acumula as rjezas e massas de cada elemento para montar K e M. SBSPACE projeta a matrz K e M para um subespaço com a dmensão do nº. de modos, tornando-as K e M, respectvamente [5]. Em seguda, ela 3

chama a rotna JACOB, que calcula os auto-vetores e autovalores da eq. (6) pelo Método de Jacob Generalzado [5]. Posterormente, faz-se a normalzação conforme a eq. (8). OUTPUT mprme os resultados em dos arquvos: um do tpo ASCII contendo as freqüêncas naturas e os modos de vbração, e outro contendo além destas nformações todas as nformações relatvas à estrutura. Este segundo arquvo é do tpo bnáro. 4

3.. Integração no domíno do tempo Utlzando-se as freqüêncas naturas e modos de vbração obtdos pelo DIN_O, é possível estmar as respostas no domíno do tempo através do programa DIN_TEMPO. Este programa em lnguagem Fortran, desenvolvdo para este trabalho, calcula a resposta (deslocamento, velocdade e aceleração) de uma dada dreção global de um sstema de n graus de lberdade sujeto a vbração forçada. Esse programa pode ser resumdo pelo fluxograma apresentado na Fg. 8. Programa DIN_TEMPO Letura do arquvo bnáro Letura dos dados de entrada Montagem da matrz de Força Modal Integração por Runge-Kutta Superposção Modal Impressão dos resultados Fg. 8 Fluxograma do DIN_TEMPO. 5

Cada etapa do programa é descrta a segur: Letura do arquvo bnáro a ª etapa do programa é ler o arquvo bnáro de saída do DIN_O que contém váras nformações referentes à estrutura em questão, tas como: nº. de nós, número de modos analsados (nmax), freqüêncas naturas (ω s) e modos de vbração Φ (com nmax colunas); Letura dos dados de entrada aqu o programa lê as nformações necessáras para a ntegração, que são lstadas a segur: Nº. de cargas dnâmcas; t da força (em seg.); t de ntegração (em seg); Tempo de análse (em seg.); t de mpressão (em seg.); Coef. de Amortecmento de Raylegh a e b ; Nó e dreção de saída; Nº. de modos a serem ntegrados. Montagem da Matrz de Força Modal após a letura dos dados de entrada é necessára a letura das forças. Utlzou-se como estratéga a letura de cada arquvo de força sendo que, concomtante a sso, é realzado o produto T P( t) = Φ F( t) que é armazenado numa matrz P. Nesta matrz as lnhas se referencam ao número de passos e as colunas ao número de modos que serão utlzados na ntegração. Este processo é repetdo para cada uma das forças que agem sobre a estrutura sendo acumulada as contrbuções de cada arquvo em que a força fo gravada ncalmente na matrz P; Obtda a matrz P, parte-se então para a ntegração de cada eq. (). Fo utlzado o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem. 6

Como a eq. () é uma equação dferencal de segunda ordem e o método de Runge-Kutta é para equações de prmera ordem, é necessára uma mudança de varável, conforme lustrado em Anexo. Para não acumular erros ao longo da ntegração, Battsta [6] recomenda que o t de ntegração seja da ordem de um centésmo do nverso da freqüênca do maor modo analsado, ou seja: π t = ω m, 00 (9) onde m é o maor modo. Para compatblzar o passo do carregamento e de ntegração é necessáro realzar uma nterpolação lnear dos valores armazenados na matrz P (Força Modal). Superposção Modal e mpressão dos resultados após o cálculo de q faz-se a Superposção Modal conforme a eq. (9), obtendo-se a resposta fnal do programa em termos de: deslocamento, velocdade e aceleração, para cada nstante de tempo t. Concomtantemente, o programa mprme o resultado num arquvo ASCII. Assm, ele não precsa armazenar as respostas para t s dstntos. 7

3..3 Análse no domíno da freqüênca Além do DIN_TEMPO fo mplementado no Mathcad um programa chamado DIN_FREQ, que calcula as respostas permanentes de uma dada estrutura de n graus de lberdade no domíno da freqüênca. O fluxograma do programa é apresentado na Fg. 0. Letura dos dados de entrada Cálculo das FRF s Multplcação da força pela função de Janela FFT da janela de força Cálculo das respostas em freqüênca da janela Méda quadrátca das janelas Fg. 0 Fluxograma do DIN_FREQ. 8

Os parâmetros utlzados no programa são apresentados a segur: Dados da estrutura: Matrz modal Ф orundo de arquvo ASCII produzdo pelo DIN_O; Vetor ω contendo as freqüêncas naturas orundo de arquvo ASCII produzdo pelo DIN_O; Coefcente de Amortecmento de Raylegh a e b - fornecdo pelo usuáro; Dados da análse: Vetores de força F com as respectvas dreções globas de aplcação; Tempo ncal e tempo fnal de análse; Freqüênca de aqusção do snal (Hz); Número de pontos por janela para a realzação dos espectros dos snas fo utlzada a FFT (Fast Fourer Transform), um algortmo otmzado da Transformada Dscreta de Fourer. O Mathcad já possu uma função que realza a FFT de um dado vetor, e portando, não fo necessára a mplementação desta rotna [7]. É mportante frsar que na FFT o nº. de pontos da janela precsa ser potênca de, ou seja, N em que N é um ntero; Superposção de janelas (%); Tpo de Janela dversas funções ao serem multplcadas pelo conjunto de pontos da janela transformam esse em outro conjunto de pontos, em que posterormente se realza a FFT. Cada tpo de snal se adequa melhor a uma determnada janela. A prncípo, trabalhou-se com a mas smples, a janela retangular, que corresponde a multplcar todos os pontos da janela por uma constante, no caso, gual a. Posterormente, fo necessára a utlzação de outro tpo de janela, a Hannng, que será elucdada mas adante [8]. 9

4 Aplcações Neste tem serão apresentados os resultados das análses de carregamentos smulados e expermentas. Os carregamentos smulados servram para verfcar o funconamento dos programas desenvolvdos. Para todas as análses fo utlzada a mesma estrutura, apresentada no tem 4.. 4. Modelo Numérco A estrutura já descrta no tem.., fo analsada pelos programas descrtos no tem 3. conforme a dscretzação proposta por Faísca [], lustrada na Fg.. 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 El El El3 El4 El5 El6 El7 El8 El9 El0 El El El3 El4 El5 El6 El7 El8 0.0 0.5 0.75 0.75 0.75 0.80 0.90 0.90 0.90 0.90 0.90 0.90 0.80 0.75 0.75 0.75 0.5 0.0 0.35.50 0.35 Fg. Dscretzação do pórtco plano []. Meddas em metro As característcas físcas e geométrcas da estrutura msta foram obtdas por Faísca [] e são apresentadas na Tabela. Tabela Propredades da estrutura []. Módulo de elastcdade do aço (E) Massa por undade de volume da seção msta (p) Área da seção transversal msta (A) Momento de nérca da seção transversal msta (I).05E N/m 743.96 Kg/m3 0.0350 m.3e-4 m4 4. Verfcação do programa DIN_O Adotando-se por hpótese que a contrbução dos balanços é desprezível se comparada com a do vão central, podem-se obter as freqüêncas naturas da estrutura através da equação teórca []: EI ω n = ( nπ ) (3) 4 ml 30

onde: - ω n é a freqüênca natural angular do modo n; - E é o modo de elastcdade; - I é o momento de nérca; - m é a massa lnear; - L é o comprmento da vga. A Tabela 3 compara os resultados teórcos com os obtdos utlzando-se o programa DIN_O. Tabela 3 Comparação entre as freqüêncas naturas teórcas e as obtdas no DIN_O. Modo de vbração Freqüêncas naturas (Hertz) Teórco DIN_O Erro Relatvo (%) º 3.753 3.748 0.057 º.704.693 0.076 3º 8.578 8.5343 0.533 Observa-se pela Tabela 3 que o programa está funconando corretamente. Além dsso, conclu-se que a dscretzação proposta por Faísca [] se adequou bem ao problema e que trabalhar com 3 modos é mas do que sufcente, uma vez que a exctação gerada pelas pessoas não ultrapassa os 0 Hz. Cabe lembrar (vde Tabela ) que a freqüênca natural do prmero modo de vbração estmada por Faísca [] para a plataforma somente com uma pessoa é de 3. Hz, o que corrobora os resultados obtdos. 4.3 Smulações Foram realzadas duas smulações de carga a fm de verfcar o pleno funconamento dos programas DIN_TEMPO e DIN_FREQ. Prmero os programas foram avalados utlzando-se uma força harmônca vertcal localzada no meo do vão. Depos a estrutura fo submetda a duas forças harmôncas vertcas defasadas, sendo uma no meo do vão e outra a aproxmadamente a um quarto. 3

4.3. ª Smulação carga A ª smulação consttu em uma carga P(t) de 40 segundos de duração no nó 0 da vga (vde Fg. ), descrta pela segunte equação: P( t) = 000 sen( ω t), em [Newton] onde: ω = 9.95 rad/seg. (3.7 Hz) Pode-se verfcar que a força se encontra em ressonânca com o º modo de vbração da estrutura. Da Resstênca dos Materas [9], sabe-se que a flecha (δ) no meo do vão para uma vga b-apoada submetda a uma carga vertcal concentrada estátca P no ½ do vão é: 3 PL δ = (33) 48EI Portanto, se a carga P(t) fosse estátca, sera obtdo: δ = 48.05 0 3 000.50 4 7.530 0 4.3 0 m Sabe-se da Dnâmca [] que o Fator de Amplfcação Dnâmca (fator que multplcado pela resposta estátca dá a ampltude da resposta dnâmca) para um sstema de um grau de lberdade submetdo a um carregamento harmônco é: D = ( β ) (ξβ ) onde ω β = ω gual a: No caso em análse, β = e, portanto, o Fator de Amplfcação Dnâmca é 3

D = ξ Arbtrando uma taxa de amortecmento de %, tem-se: D = = 50 0.0 Portanto, o deslocamento dnâmco esperado é gual a: δ = = 50 7.530 0 4 0.0363 m dn Dδ est Este valor da flecha no meo do vão fo utlzado como referênca para verfcar as respostas obtdas pelos programas DIN_TEMPO e DIN_FREQ. - Domíno do tempo Foram utlzados como dados de entrada no DIN_TEMPO: Nº. de cargas dnâmcas ; t da força (em seg.) 0.004; t de ntegração (em seg.) 0.0004; Tempo de análse (em seg.) 50; t de mpressão (em seg.) 0.004; Coef. de Amortecmento de Raylegh a e b. Arbtrando que o amortecmento é proporconal somente à massa do sstema, portanto, tem-se que: Como as massas C = am c = am = ξ ω ( =,...n º de modos) m são todas untáras, obtém-se: a = ξ ω Adotando-se que a taxa de amortecmento do º modo de vbração da estrutura é de.0 % nas smulações, tem-se que: a = 0.0 9.95 0.40 b = 0 33

Nó e dreção de saída 0, respectvamente (vde Fg. ); Cabe ressaltar que ao longo deste trabalho foram sempre utlzados os três prmeros modos de vbração. Desta forma, o tempo de ntegração recomendável sera de: π t 3.50 0 79.56 00 4 No entanto, verfcou-se que a utlzação de um passo um pouco maor (da ordem de 5 %) não afetara a ntegração numérca. Em resumo, a análse fo realzada com 40 segundos de vbração forçada mas 0 segundos de vbração lvre, totalzando 50 segundos de análse. A fm de se comparar a resposta do DIN_TEMPO com algum programa comercal, fo realzada a mesma análse com os mesmos parâmetros no SAP000. A Fg. apresenta a comparação entre as respostas obtdas com o programa DIN_TEMPO e o SAP000. 0.04 DIN_TEMPO SAP000 0.03 Deslocamento (m) 0.0 0.0 0.00-0.0-0.0-0.03-0.04 0 0 0 30 40 50 Tempo (s) Fg. Resposta em deslocamento da ª smulação. 34

Pode-se notar na Fg. que a resposta obtda (0.0356 m) tende ao valor estmado teorcamente, e que ambos os programas apresentaram respostas dêntcas. Isto fca mas fácl de vsualzar na Fg. 4. Nesta fgura é apresentado em detalhe um trecho do snal. 0.04 DIN_TEMPO SAP000 0.03 Deslocamento (m) 0.0 0.0 0.00-0.0-0.0-0.03-0.04 36 36.5 37 37.5 38 38.5 39 39.5 40 Tempo (s) Fg. 3 Detalhe da resposta em deslocamento da ª smulação. Também é nteressante observar a resposta em aceleração, vsto que as comparações com as medções expermentas serão realzadas com as respostas meddas pelos acelerômetros. Para tanto, é apresentado na Fg. 4 um trecho das respostas obtdas com os dos programas. 5.00 DIN_TEMPO SAP000 0.00 Aceleração (m/s²) 5.00 0.00-5.00-0.00-5.00 36 36.5 37 37.5 38 38.5 39 39.5 40 Tempo (s) Fg. 4 Detalhe da resposta em aceleração da ª smulação. 35

Percebe-se na Fg. 4 que a dferença de resultados entre o DIN_TEMPO e o SAP000 é pratcamente mperceptível. Isso comprova que o DIN_TEMPO está funconando adequadamente. - Domíno da freqüênca Para a estmatva dos espectros de força fo utlzado o snal entre 0 t 40 com freqüênca de aqusção de 50 Hz, adotando-se uma superposção de 65 %. Isto conduz a análse em 5 janelas, sendo cada uma das janelas formada por pontos, sto é, aproxmadamente 8 segundos pra cada janela. Os espectros foram estmados realzando-se as médas quadrátcas dos valores obtdos em cada uma das janelas. A Fg. 5 lustra o resultado obtdo. Ampltude (Newton) Freqüênca (Hz) Fg. 5 Espectro da força. O gráfco mostrado na Fg. 5 demonstra que o programa está realzando corretamente o espectro da força, pos a abscssa nos dá a freqüênca ( 3.7 Hz), e as ordenadas o valor de 000 N, que é a ampltude da força. 36

Em seguda, assm como fo feto no tem anteror, comparou-se a resposta numérca obtda no domíno do tempo no DIN_TEMPO com a resposta numérca calculada pelo DIN_FREQ, utlzando o mesmo janelamento das forças. É mportante frsar que para o caso em que a estrutura está submetda a apenas uma carga pode-se fazer a méda dos espectros da força e posterormente obter a resposta, dferentemente do caso em que exstem váras cargas, onde é necessáro calcular o espectro de resposta de cada janela ndependentemente e depos fazer a méda dos valores desses vetores. A Fg. 6 apresenta a comparação entre os espectros de resposta obtdos através dos programas DIN_FREQ e DIN_TEMPO. Ampltude (m) DIN_TEMPO DIN_FREQ Freqüênca (Hz) Fg. 6 - Espectros de deslocamento. A Fg. 6 mostra que através do DIN_FREQ fo estmada uma flecha de 3.56 cm ao passo que o espectro do DIN_TEMPO conduz a 3.55 cm. Ambos os valores estão muto próxmos do valor da flecha estmado teorcamente de 3.63 cm, sendo o erro relatvo de aproxmadamente.0 %. Conclu-se com sso que o DIN_FREQ e a 37

metodologa de estmatva dos espectros das forças e das respostas estão funconando corretamente. Resultados semelhantes a estes foram obtdos para as acelerações, conforme pode ser vsto na Fg. 7. Ampltude (m/s²) DIN_TEMPO DIN_FREQ Freqüênca (Hz) Fg. 7 - Espectros de aceleração. 4.3. ª Smulação cargas A segunda etapa de verfcação do funconamento dos programas DIN_TEMPO e DIN_FREQ fo realzada utlzando duas forças stuadas em dferentes posções. As forças utlzadas são defndas segundo as seguntes expressões: P ( t) = 000 sen( ω ), em [Newton] nó 7; t π P ( t) = 000 sen( ω t ), em [Newton] nó 0; 3 Onde: ω = 9.95 rad/seg. 38

- Domíno do tempo Nesta etapa a verfcação do programa será realzada através da comparação entre as respostas obtdas pelo DIN_TEMPO e pelo SAP000. As Fg. 8 e 9 lustram, respectvamente, um trecho típco dos deslocamentos e acelerações na dreção vertcal do nó 0, obtdas pelos dos programas. 0.06 DIN_TEMPO SAP000 0.04 Deslocamento (m) 0.0 0.00-0.0-0.04-0.06 36 36.5 37 37.5 38 38.5 39 39.5 40 Tempo (s) Fg. 8 Detalhe da resposta em deslocamento da ª smulação. Aceleração (m/s²) DIN_TEMPO SAP000 5 0 5 0 5 0-5 -0-5 -0-5 36 36.5 37 37.5 38 38.5 39 39.5 40 Tempo (s) Fg. 9 Detalhe da resposta em aceleração da ª smulação. 39

Pode-se observar nestas fguras que as respostas do programa desenvolvdo DIN_TEMPO são pratcamente guas às obtdas pelo SAP000. Este resultado demonstra mas uma vez que o DIN_TEMPO está funconando adequadamente. - Domíno da freqüênca Utlzando os mesmos parâmetros do tem 4.3., foram obtdas as respostas no domíno da freqüênca. Nas Fg. 30 e 3 são apresentadas as comparações dos espectros de deslocamento e aceleração no nó 0, respectvamente, obtdos pelos dos programas desenvolvdos. Ampltude (m) DIN_TEMPO DIN_FREQ Freqüênca (Hz) Fg. 30 - Espectros de deslocamento. 40

Ampltude (m/s²) DIN_TEMPO DIN_FREQ Freqüênca (Hz) Fg. 3 - Espectros de aceleração. Cabe lembrar que as respostas do DIN_TEMPO apresentadas nestas fguras foram obtdas estmando os espectros dos snas calculados e apresentados nas Fg. 8 e 9. Por outro lado, as respostas do DIN_FREQ foram obtdas a partr da análse em freqüênca apresentada no tem 3..3, sendo necessáro para esta análse estmar os espectros das forças e as FRF s assocadas a cada um dos pontos de exctação. Pode-se observar nas Fg. 30 e 3 que as comparações entre os espectros de resposta de deslocamento e aceleração obtdos com os dos procedmentos são pratcamente guas. Portanto, pode-se afrmar que o programa DIN_FREQ e a metodologa para a estmatva dos espectros estão funconando de manera adequada quando a estrutura é exctada por váras forças. 4

4.4 Cargas expermentas Neste tem apresentam-se as análses da estrutura realzadas utlzando as cargas meddas expermentalmente por Faísca []. Essas respostas obtdas foram em seguda correlaconadas com as respostas expermentas. O objetvo destas análses era verfcar como os parâmetros modas (freqüênca natural e taxa de amortecmento) são afetados pelas pessoas em movmento. Para esta análse foram utlzadas duas stuações de carregamento: pessoa pulando espontaneamente no ½ do vão; 0 pessoas pulando sobre as 0 células de cargas centras smulando uma stuação de show/torcda. A dsposção das pessoas é lustrada na Fg. 3. Fg.3 Localzação das pessoas nas células de carga []. Como fo menconado anterormente, o prncpal nteresse desta análse era o ajuste de freqüênca e da taxa de amortecmento. Isso é mas fácl de se realzar no domíno da freqüênca. Uma vez ajustados os parâmetros, as respostas numércas e expermentas também foram analsadas no domíno do tempo. Como resposta expermental, fo utlzada a aceleração obtda pelo acelerômetro (AC. ) como pode ser vsto na fg. 9. O fluxograma da Fg. 33 lustra o procedmento utlzado. 4

Fg. 33 Fluxograma elucdatvo dos ajustes de freqüênca natural e da taxa de amortecmento. No procedmento adotado a comparação entre as respostas no domíno da freqüênca para os ajustes de freqüênca natural e da taxa de amortecmento fo realzada vsualmente. Fo escolhdo como parâmetro de ajuste da freqüênca natural o módulo de elastcdade (E), sendo que estes ajustes foram focados prncpalmente no º modo de vbração, uma vez que as forças geradas pelas atvdades só conseguram exctar este modo de vbração, conforme será mostrado nos próxmos tens. 43

4.4. Análse consderando a carga gerada por pessoa O prmero caso analsado é o mas smples, porém servu de base para as análses posterores com a multdão. Conforme já menconado anterormente, esse carregamento se caracterza por ser de uma pessoa pulando no meo do vão espontaneamente, ou seja, sem estímulos sonoros ou vsuas. A escolha pela utlzação desse snal ao nvés de snas sncronzados também dsponblzados por Faísca [] se justfca pelo fato da tendênca deste ser mas randômco que os ensaos sncronzados, sendo que esta característca se mostrou mas favorável para a dentfcação dos parâmetros modas. Isto é, há maor possbldade de haver energa na freqüênca natural, onde a nfluênca da taxa de amortecmento se mostra mas predomnante na resposta. Após a aqusção da força, esse snal sofreu uma translação em relação aos valores das ordenadas de forma que o níco do snal começasse num valor próxmo de zero. Isto fo realzado com o ntuto de evtar um fenômeno chamado Heavsde. Se este cudado não fosse tomado exstra uma resposta transente gerada por uma varação abrupta do snal. A Fg. 34 lustra o snal da força medda, sendo possível observar que o voluntáro somente começou a pular quando t 5 s e parou em t 40 s. Cabe ressaltar que este fo o trecho utlzado do snal nas análses realzadas. Tempo (s) 500 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 0-500 Força (N) -000-500 -000-500 Fg. 34 Força aqustada para pessoa pulando no ½ do vão. 44

A Fg. 35 lustra um trecho deste snal, no qual se podem perceber os detalhes do carregamento gerado pelos saltos do voluntáro em atvdades contnuadas. Outras característcas deste snal podem ser observadas na Fg. 36. Nesta fgura é apresentado o espectro estmado da força. Este espectro fo estmado utlzando pontos por janela, o que equvale a aproxmadamente 6 segundos por janela, usando superposção de 65 %. Estes parâmetros permtem realzar esta estmatva através da méda de 4 amostras. 0 Tempo (s) 500 36 36.5 37 37.5 38 38.5 39 39.5 40-500 Força (N) -000-500 -000-500 Fg. 35 Detalhe da força aqustada para pessoa pulando no ½ do vão. Ampltude (Newton) Freqüênca (Hz) Fg. 36 Espectro da força. 45

Realzando-se uma análse prelmnar no DIN_TEMPO e no DIN_FREQ, com os parâmetros modas não ajustados e utlzando os mesmos parâmetros de entrada utlzados nas smulações obtêm-se os espectros de aceleração no meo do vão apresentados na Fg. 37. Nesta fgura também é mostrado o espectro estmado a partr dos resultados expermentas. Ampltude (m/s²) Expermental DIN_TEMPO DIN_FREQ Freqüênca (Hz) Fg. 37 - Espectros de aceleração. Observa-se na Fg. 37 que os espectros de aceleração estmados através dos programas DIN_TEMPO e DIN_FREQ apresentam valores coerentes com a resposta expermental nas regões dos pcos de força (vde Fg. 36). Porém, na regão próxma à ressonânca onde a parcela de força é pequena, a resposta obtda com o DIN_FREQ apresenta valores bem superores aos do DIN_TEMPO e da resposta expermental. Isto se deve ao fato de que a estmatva da resposta através do DIN_FREQ é bastante sensível aos ruídos exstentes no snal da força. Isso sgnfca que a estmatva da força não está adequada. Esse problema pode ser mnmzado através da utlzação da janela Hannng [8]. Ela consste em multplcar cada janela do snal pela função: 46

Onde: T - é o tempo total da janela (em seg.); t - tempo ncal da janela (em seg.). π Hannng( t) = 0.5 0.5 cos ( t t ) (34) T A Fg. 38 lustra o snal da força gerado após o janelamento utlzando Hannng do trecho assocado à prmera amostra, sto é, o trecho entre 5 t do snal. Força (N) Tempo (s) Fg. 38 Janela de força entre 5 t. A Fg. 39 lustra a comparação entre os espectros de força estmados com a janela retangular e Hannng. 47

Ampltude (Newton) Freqüênca (Hz) Fg. 39 Espectros da força estmados com as janelas Hannng e retangular. Observa-se na Fg. 39 que as ampltudes dos pcos do espectro da força estmado com a janela Hannng apresentam valores razoavelmente menores que os estmados com a janela retangular. Também se pode observar que os valores das ampltudes na regão em torno da faxa de freqüênca de.5 a 3.5 Hz tornam-se bem menores quando comparadas com os valores do espectro orgnal. A Fg. 40 apresenta os resultados obtdos (vde Fg. 37) estmando-se todos os espectros com janelas do tpo Hannng. Este procedmento fo estenddo a todos os snas a fm de garantr uma maor consstênca. 48

Ampltude (m/s²) Expermental DIN_TEMPO DIN_FREQ Freqüênca (Hz) Fg. 40 - Espectros de aceleração estmados com janela Hannng. Verfca-se na Fg. 40 que os valores numércos obtdos pelo DIN_TEMPO e pelo DIN_FREQ utlzando janelas Hannng tornam-se bem próxmos. Isso comprova que a janela Hannng se adequou bem melhor que a janela retangular para esta análse. Concluídas as análses prelmnares, fo dado níco a fase de ajuste dos parâmetros modas. O objetvo prncpal era fazer concdr as ampltudes e freqüêncas dos pcos dos resultados numércos com os expermentas. No prmero ajuste que fo realzado buscou-se ajustar a freqüênca natural do sstema homem-estrutura. Analsando a Fg. 40, verfca-se que a resposta expermental possu a freqüênca natural um pouco nferor que as freqüêncas naturas calculadas numercamente, ou seja, é necessára a redução das freqüêncas naturas do modelo numérco. Isso fo feto medante a redução do módulo de elastcdade em aproxmadamente 5 %. O segundo passo de ajuste consstu em varar a taxa de amortecmento de manera que as ampltudes dos pcos fossem as mas próxmas possíves. Após uma sére de tentatvas obteve-se o valor de ξ =. %, valor bem próxmo ao estmado 49

expermentalmente por Faísca [] (vde Tabela ). Este resultado comprova que o procedmento desenvolvdo para esta análse apresenta uma boa coerênca com os métodos clásscos de dentfcação de parâmetros modas utlzados por Faísca []. Pode-se observar na Fg. 4 a boa coerênca obtda entre os resultados numércos e expermentas. A Fg. 4 lustra a comparação entre a resposta numérca do DIN_TEMPO após os ajustes e a resposta expermental no domíno do tempo. Ampltude (m/s²) Expermental DIN_TEMPO DIN_FREQ Freqüênca (Hz) Fg. 4 - Espectros de aceleração com janela Hannng após ajuste de freqüênca e taxa de amortecmento. Aceleração (m/s²) Expermental Tempo (s) DIN_TEMPO 0.4 0.3 0 3 4 5 6 7 8 0. 0. 0-0. -0. -0.3-0.4-0.5-0.6 Fg. 4 Detalhe das respostas numércas e expermentas no tempo. 50

4.4. Análse consderando a carga gerada por 0 pessoas Neste tem apresenta-se a análse utlzando os snas de força gerados por 0 voluntáros realzando a atvdade de saltar contnuamente smulando um carregamento típco de multdão em shows ou em torcdas. Semelhante ao caso de pessoa, a stuação de show/torcda fo escolhda por dos motvos: ) Esse é o caso mas próxmo do real, dferentemente do caso de saltos sncronzados; ) Os saltos da smulação show/torcda, têm por característca serem snas com uma randomcdade maor que os snas sncronzados, o que aumenta a probabldade de haver uma parcela de energa exctando a regão de ressonânca do º modo de vbração da estrutura, que faclta a análse. A Fg. 43 lustra o snal da força medda para duas células de carga, as placas e 7. A Fg. 44 lustra um detalhe desses snas. Força (N) placa Tempo (s) 000 placa 7 500 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 000 500 0-500 -000-500 -000-500 -3000 Fg. 43 Força aqustada para as placas. 5

Força (N) placa Tempo (s) 000 placa 7 500 8 8.5 9 9.5 30 30.5 3 3.5 3 000 500 0-500 -000-500 -000-500 -3000 Fg. 44 Detalhe da força aqustada. A estmatva dos espectros de força fo realzada utlzando-se três janelas Hannng de aproxmadamente 6 s cada com superposção de 65 %, no ntervalo 4 t 47 s. A Fg. 45 lustra valores desses espectros para cada célula de carga. 5

Ampltude (Newton) Freqüênca (Hz) Fg.45 - Espectros de força com janela Hannng. Pode-se ver na Fg. 45 que há uma parcela representatva da energa contda na regão do ª modo de vbração (.8 f 3. Hz), o que faclta a análse. Trabalhando ncalmente com os mesmos parâmetros modas utlzados a prncípo no tem anteror e com o mesmo ntervalo e janelamento aplcado para as forças, obtemos os espectros de resposta em aceleração. Isto está lustrado na Fg. 46. 53

Ampltude (m/s²) Expermental DIN_TEMPO DIN_FREQ Freqüênca (Hz) Fg. 46 - Espectros de aceleração com janela Hannng. Na Fg. 46 pode-se perceber que na faxa de 3. f 3.3 Hz a resposta expermental é menor que ambas as respostas numércas. É razoável então, se afrmar que a freqüênca do º modo se encontra nesta faxa, vsto que a varação da taxa de amortecmento é mas sensível nessa regão. Entretanto não é possível afrmar qual o seu valor exato. Então, nesse caso não fo feto o ajuste de freqüênca, ou seja, fo suposto que a freqüênca natural não varou, sendo gual a 3. Hz. Fazendo-se o ajuste só em termos de taxa de amortecmento obtém-se como melhor valor, ξ = 3.0 %. A Fg. 47 lustra os espectros de aceleração obtdos após esse ajuste. 54

Ampltude (m/s²) Expermental DIN_TEMPO DIN_FREQ Freqüênca (Hz) Fg. 48 - Espectros de aceleração com janela Hannng após ajuste. A Fg. 49 lustra a comparação entre a resposta numérca do DIN_TEMPO após os ajustes e a resposta expermental no domíno do tempo. Expermental Tempo (s) DIN_TEMPO 6 30 3 3 33 34 35 36 37 38 4 Aceleração (m/s²) 0 - -4-6 Fg. 49 - Detalhe das respostas numércas e expermentas. 55

5 Conclusão Após as mplementações e análses realzadas para este trabalho, obteve-se a Tabela 4, tabela comparatva entre os parâmetros modas obtdos por Faísca [] para a stuação de mpacto e os calculados para o caso de saltos contínuos. Tabela 4 Comparação entre os parâmetros modas estmados. N. de Impacto [] Saltos Contínuos pessoas Freqüênca natural (Hz) Taxa de amortecmento (%) Freqüênca natural (Hz) Taxa de amortecmento (%) 3.. 3.. 0.8 4.5 3. 3.0 Pela Tabela 4, conclu-se que a stuação de carregamento humano altera os parâmetros modas do sstema homem-estrutura. Isso ocorre porque as pessoas não se comportam apenas como carga, mas sm como um sstema massa-mola-amortecedor. No caso que em que as pessoas pulam e param, há um acréscmo de massa ao sstema, e, portanto, há uma redução das freqüêncas naturas, dferentemente do caso de saltos contínuos, onde não se perceberam mudanças sgnfcatvas na freqüênca natural do ª modo de vbração. No que se refere à taxa de amortecmento, verfcou-se que o valor estmado para a stuação de mpacto (4.5 %) é razoavelmente superor à estmatva que melhor se ajustou para o caso de saltos contínuos (3.0 %). Podem-se justfcar essas dferenças pelo fato das pessoas estarem em parte do tempo sem contato com a estrutura, o que faz com que o caso de saltos contínuos seja um meo termo entre a confguração da estrutura lvre sem cargas e o caso de mpacto. Isso sgnfca que ao se projetar uma estrutura para resstr a solctações de cargas de multdão tas como de show/torcda pode-se utlzar taxas de amortecmento superores à taxa de amortecmento orgnal da estrutura, reduzndo o nível de tensões e 56

deslocamentos tornando, por consegunte, o projeto mas vável economcamente. Entretanto, a adoção de taxas de amortecmento supondo as pessoas como massas acrescdas na estrutura deve ser conservatva, ou seja, apenas parcela da massa das pessoas deve ser consderada como contrbunte para o aumento da taxa de amortecmento do sstema homem-estrutura. Qual percentagem da massa das pessoas a ser acrescda à estrutura sera o escopo de trabalhos posterores a este. No que se refere à freqüênca natural da estrutura, torna-se claro o porquê de algumas normas nternaconas recomendarem que em estruturas tas como estádos, a freqüênca natural do prmero modo de vbração seja superor a 0 Hz. Deve-se ressaltar que esta recomendação leva a um projeto extremamente conservatvo e oneroso. 57