RETA E CIRCUNFERÊNCIA

RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 1. (Unifesp 016) Na figura, as retas r, s e t estão em um mesmo plano cartesiano. Sabe-se que r e t passam pela origem desse sistema, e que PQRS é um trapézio. a) Determine as coordenadas do ponto de intersecção entre as retas r e s. b) Prove que os lados não paralelos do trapézio PQRS não possuem a mesma medida, ou seja, que o trapézio PQRS não é isósceles.. (Fuvest 016) No plano cartesiano, 0xy, a circunferência C tem centro no ponto P (, 1), e a reta t é tangente a C no ponto Q ( 1, ). a) Determine o raio da circunferência C. b) Encontre uma equação para a reta t. c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção de t com o eixo 0x.. (Unicamp 016) A figura abaixo exibe o gráfico da função f(x) 1 x, definida para todo número real x 0. Os pontos P e Q têm abscissas x 1 e x a, respectivamente, onde a é um número real e a 1. a) Considere o quadrilátero T com vértices em (0, 0), P, Q e (a, 0). Para a, verifique que a área de T é igual ao quadrado da distância de P a Q. b) Seja r a reta que passa pela origem e é ortogonal à reta que passa por P e Q. Determine o valor de a para o qual o ponto de intersecção da reta r com o gráfico da função f tem ordenada y a. Página 1 de 1

RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 4. (Ita 016) Se a reta de equação x a divide o quadrilátero cujos vértices são (0, 1), (, 0), (4, 0) e (6, 4) em duas regiões da mesma área, então o valor de a é igual a a) 1. b) 6 1. c) 4. d) 7. e) 7.. (Fac. Albert Einstein - Medicina 016) A figura abaixo ilustra as localizações de um Posto de Saúde (P) e de um trecho retilíneo de uma rodovia (AB) em um plano cartesiano ortogonal, na escala 1: 00. Pretende-se construir uma estrada ligando o Posto à rodovia, de modo que a distância entre eles seja a menor possível. Se a unidade de medida real é o metro, a distância entre o Posto e a rodovia deverá ser igual a: a) 600 m b) 800 m c) km d) 4 km 6. (Aman 016) Considere a circunferência que passa pelos pontos (0, 0), (0, 6) e (4, 0) em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Sabendo que os pontos (0, 6) e (4, 0) pertencem a uma reta que passa pelo centro dessa circunferência, uma das retas tangentes a essa circunferência, que passa pelo ponto (, ), tem por equação a) x y 1 0 b) x y 1 0 c) x y 8 0 d) x y 1 0 e) 8x y 18 0 Página de 1

RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 7. (Fuvest 016) No plano cartesiano, um círculo de centro P (a, b) tangencia as retas de equações y do ponto P é igual a a) b) c) 4 d) e) 6 x e x 0. Se P pertence à parábola de equação y x e a 0, a ordenada b 8. (Unesp 016) Uma empresa oferece frete gratuito para entregas do seu produto em um raio de até km do depósito. Para a distância que ultrapassar km, medida em linha reta desde o depósito, a empresa cobra R$ 0,00 por quilômetro que ultrapasse os km iniciais gratuitos. Essa cobrança também é feita de forma proporcional em caso de frações de quilômetros. Um consumidor do produto reside 0 km a leste do depósito e x km ao sul. Apresente uma figura representando a situação descrita e determine o valor máximo de x para que esse consumidor tenha direito ao frete gratuito na entrega do produto em sua residência. Em seguida, determine o custo do frete C (em reais), em função de x, para o caso em que C(x) 0. 9. (Mackenzie 016) A equação da circunferência concêntrica à circunferência (x ) (y1) 1 e tangente à reta 4x y 0 0 é a) b) c) d) e) (x ) (y1) 6 (x ) (y1) (x ) (y1) 0 (x ) (y1) 16 (x ) (y1) 9 10. (Ita 016) Se P e Q são pontos que pertencem à circunferência y (1 x), então o valor do cosseno do ângulo POQ é igual a x y 4 e à reta a) b) c) d).. 7. 4. e) 1. 7 Página de 1

RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 11. (Afa 016) Considere os pontos A (4, ), B (, 0) e todos os pontos P (x, y), sendo x e y números reais, tais que os segmentos PA e PB são catetos de um mesmo triângulo retângulo. É correto afirmar que, no plano cartesiano, os pontos P (x, y) são tais que a) são equidistantes de C (, 1) b) o maior valor de x é c) o menor valor de y é d) x pode ser nulo. 1. (Ita 016) Considere as circunferências 1 : x u 8x 4y 0 e : x y x 8y 8. O triângulo ABC satisfaz as seguintes propriedades: a) o lado AB coincide com a corda comum a 1 e ; b) o vértice B pertence ao primeiro quadrante; c) o vértice C pertence a 1 e a reta que contém AC é tangente a. Determine as coordenadas do vértice C. 1. (Unicamp 016) Considere o círculo de equação cartesiana x y ax by, onde a e b são números reais não nulos. O número de pontos em que esse círculo intercepta os eixos coordenados é igual a a) 1. b). c). d) 4. 14. (Pucsp 016) Na figura tem-se a representação de, λ circunferência de centro C e tangente aos eixos coordenados nos pontos A e B. Página 4 de 1

RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 Se a equação de λ é unidades de superfície, é a) 8 ( π ) b) 8 ( π 4) c) 4 ( π ) d) 4 ( π 4) x y 8x 8y 16 0, então a área da região hachurada, em Página de 1

RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 Gabarito: Resposta da questão 1: a) A reta r tem coeficiente angular igual a: 7 αr, Logo, a equação da reta r é igual a y x. A reta s tem coeficiente angular igual a: 7, 7 αs 8, 9 Logo, a equação da reta r é igual a: 7 y 7 (x 8) 7x 9y 7 0 9 O ponto de intersecção destas retas será igual a resolução do sistema formado pelas duas equações de reta. Reorganizando as equações, pode-se escrever: x y 0 14x 7y 0 14 11y 14 y 7x 9y 7 14x 18y 14 11 14 7 y x x x 11 11 O ponto de intersecção será 7 14,. 11 11 b) Sabendo que a reta t é paralela à reta s e passa pela origem, pode-se deduzir sua equação: 7 y x 9 O ponto S pertence à reta t e tem y,. Sua coordenada x será Assim, o segmento RS mede 4,, 1. O ponto P pertence à reta t e tem x 8. Sua coordenada y será 7, x x 4,. 9 7 6 y 8 x. 9 9 Assim, o segmento PQ mede 6 7 7. 9 9 Logo, como RS PQ o trapézio PQRS não é isósceles. Resposta da questão : a) Como Q é tangente à circunferência C, então o segmento PQ é igual ao raio. Logo: r ( 1) 1 9 16 r b) Como t é tangente à circunferência em Q, sabe-se então que t é perpendicular ao segmento PQ. Assim, os coeficientes angulares da reta t e do segmento PQ tem a seguinte relação: Página 6 de 1

RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 1 αt αpq 1 4 αpq αpq αt 1 4 Assim, a reta t é dada pela equação reta t y x 1 x 4y 0 4 c) Se o ponto R intercepta o eixo x, então suas coordenadas são do tipo (a, 0). Para encontrar o valor de a, basta substituir na equação da reta: a 0 a R,0 Assim, a área S do triângulo PQR pode ser escrita como: 1 1 1 1 11 1 1 1 S 1 1 10 1 S 6 0 1 Resposta da questão : a) Se a abscissa do ponto P é igual a 1, então pela função f(x) dada, P terá coordenadas (1,1). Analogamente, se a, então pela função f(x) dada, Q terá coordenadas (,1 ). Assim, a área do quadrilátero T será: 1 11 1 1 1 ST 1 1 ST 4 4 Calculando o quadrado da distância entre P e Q, tem-se: 1 dpq 1 1 1 1 dpq d PQ 4 4 4 b) Seja I o ponto de intersecção entre a reta r e a função f(x). Se sua coordenada y é igual a a, então, pela função f(x) sua coordenada x será a. Ou seja, o ponto I tem coordenadas a,a. Considerando como s a reta que passa por P e Q, tem-se que as coordenadas do ponto P são (1,1), e do ponto Q são (a, 1 a). O coeficiente angular desta reta será: α s 1 1 a 1 a 1 a Logo, o coeficiente angular da reta r que passa pela origem e é ortogonal à reta que contém P e Q será igual a αr a (condição de perpendicularidade). Assim, a equação da reta r pode ser escrita como: y 0 a (x 0) reta r y ax Como o ponto I pertence à reta r e tem suas coordenadas a, a, pode-se escrever: a y ax a a 4 a Página 7 de 1

RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 Resposta da questão 4: [D] Determinando, inicialmente, a equação da reta AB. 4 1 1 y x 1 y x 1 6 0 Como o ponto E pertence à reta AB, podemos escrever que Calculando, agora, a área do quadrilátero ABCD. A(ABCD) A(HBFO) A(AOD) A(BCF) A(ABH) 1 4 6 A(ABCD) 6 4 A 10 (ABCD) a P(a, 1). Portanto a área do quadrilátero GEBC é igual a. 1 a 4 a A(GEBC) A(EGCB) A(BCF) 1 4 (6 a) ( ) (6 a) 18 1 4 4 7 a a 1 0 a 4a 4 0 a a 7 Como a 0, temos: a 7 Resposta da questão : [D] Determinando inicialmente a equação da reta que passa pelos pontos A e B. x y 1 0 0 1 0 x 4y 0 0 0 10 1 Calculando a distância do ponto P(0, 0) à reta que passa pelos pontos A e B. Página 8 de 1

RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 0 4 0 0 100 d 0m 4 Como a escala é 1: 00 a distância real pedida é de 0 00 4000m 4km. Resposta da questão 6: [A] Centro da circunferência (ponto médio do diâmetro). 0 4 6 0 C, C, Cálculo do raio da circunferência. (4 0) (6 0) 1 r 1 Equação da reta tangente à circunferência. y m x mx y m 0 Sabendo que a distância do centro à reta tangente é o raio, podemos escrever: m m 1 ( m ) 1m 1 1m 10m 1 0 6m m 6 0 m 1 Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos: 169 m m ou m 6 Se m a equação da reta será dada por y (x ) x y 1 0 Se m a equação da reta será dada por y (x ) x y 0 Portanto, a alternativa [A] é a correta. Resposta da questão 7: [B] Considere a figura, em que PQ a e OQ b a. Página 9 de 1

RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 Sabendo que y x é bissetriz dos quadrantes ímpares e OP é bissetriz de SOQ, temos POQ 0'. Além disso, do triângulo OPQ, vem PQ tgpoq a cotg 0'. OQ Logo, sendo 1 cos 4 cotg0' 1, 1 cos 4 concluímos que a 1 e, portanto, b a. Resposta da questão 8: Considere a figura, em que N denota Norte e L denota Leste. A região para a qual o consumidor tem direito ao frete gratuito corresponde a um disco de raio km centrado na origem (depósito), isto é, X Y X Y 6. Em consequência, para X 0 Y 6 Y 1km. 0km, tem-se que Assim, o valor máximo de x para que esse consumidor tenha direito ao frete gratuito na entrega do produto em sua residência é igual a 1km. Por outro lado, sabendo que o consumidor mora no ponto (0, x), e que a distância desse ponto ao depósito é dada por C(x) 0 ( 400 x ), 400 x, segue que a resposta é Página 10 de 1

RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 com x 1km. Resposta da questão 9: [B] O centro da circunferência dada é dado por (, 1), logo a circunferência pedida terá equação da forma 4x y 0 0. (x ) (y 1) R. Sendo R a distância do ponto (, 1) à reta de equação 4 1 0 R R. 4 Portanto, a equação pedida será dada por: (x ) (y1) Resposta da questão 10: [A] Considerando que O é o centro da circunferência, iremos determinar os pontos P e Q através da resolução do seguinte sistema: x y 4 y (1 x) Substituindo a segunda equação na primeira temos: 8 x (1 x) 4 x 4 (1 x x ) 4 x 8x 0 x 0 ou x Se x 0, então y Se 8 x, então 6 y Portanto, os pontos pedidos são P(0, ) e 8 6 Q,. Temos, então, a seguinte figura: Página 11 de 1

RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 No triângulo OQM, temos: 6 cosα cos 180. Portanto, α Resposta da questão 11: [B] Se PA e PB são catetos de um mesmo triângulo retângulo, então AB será a hipotenusa do mesmo. Se AB é a hipotenusa, então sabemos que oposto a ela encontra-se um ângulo reto. Se imaginarmos um arco oposto a este ângulo reto, concluímos que tal arco deve ter um ângulo deve ter 180, pois sabe-se que a medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central (ou arco correspondente). Daí, pode-se perceber que o conjunto de pontos P(x,y) tais que os segmentos PA e PB formem catetos de um mesmo triângulo retângulo é uma circunferência cujo diâmetro é igual à hipotenusa dos triângulos retângulos possíveis. A figura a seguir dá exemplo de dois triângulos retângulos possíveis (catetos identificados em vermelho). Página 1 de 1

RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 Sabendo-se disso tudo, pode-se calcular o raio da circunferência, que será igual a metade da hipotenusa AB. A hipotenusa pode ser calculada pela fórmula de distância entre dois pontos (A e B). Assim: dist AB 4 0 () ( ) 8 Assim, o raio da circunferência será: R Do gráfico percebe-se facilmente que as coordenadas do centro da circunferência serão D(, 1). Outra maneira de se encontrar tais coordenadas seria deduzir a equação da reta e utilizar a fórmula da distância entre dois pontos, uma vez que tal distância é conhecida (no caso B e D ou A e D, que distam de R entre si). Analisando então as afirmativas da questão, temos os pontos P (x, y) são tais que: [A] Incorreto. O ponto C sugerido é um ponto qualquer dentro da circunferência e não corresponde ao centro da mesma, e portanto não é equidistante dos pontos P (x, y). [B] Correto. O maior valor de x corresponde a coordenada do centro da circunferência, ou seja D(, 1), somado ao raio da mesma, R, indicado em azul na figura apresentada. Assim, o valor máximo de x é. [C] Incorreto. O maior valor de y corresponde a coordenada do centro da circunferência, ou seja D(, 1), somado ao raio da mesma, R. Assim, o valor máximo de y é 1,41. [D] Incorreto, pois a circunferência não toca o eixo das coordenadas. Resposta da questão 1: A circunferência de equação x y 8x 4y 0 possui centro no ponto C 1(4, ) e a circunferência de equação x y x 8y 8 possui centro no ponto C (1, 4). Determinando os pontos A e B (pertencente ao primeiro quadrante) onde as circunferências se intersectam, temos o seguinte sistema. x y 8x 4y 0 x y x 8y 8 Subtraindo as equações obtemos que: x y. Substituindo o resultado acima na segunda equação do sistema, obtemos: y 0y 0. Resolvendo a equação, temos: y 0 x A(, 0) y 4 x 6 B(6, 4) (pertencente ao primeiro quadrante) Temos então a seguinte figura: Página 1 de 1

RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 Calculando o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e C, 1 temos: 4 0 4 m AC, 1 ( ) portanto, o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e C será: m AC ; 4 Determinando agora, a equação da reta AC, temos: y 0 (x ) 4 Finalmente, resolvendo um sistema com as equações da reta que passa pelos pontos A e C da circunferência de equação x y 8x 4y 0, encontraremos as coordenadas do ponto C. y (x ) 4 x y 8x 4y 0 Resolvendo o sistema temos os seguintes pontos: 8 6 (, 0) e, Como o ponto (, 0) já é o ponto A, concluímos que o ponto C é Resposta da questão 1: [C] É fácil ver que a circunferência 8 6,. x y ax by, intersecta a origem dos eixos cartesianos. Ademais, tomando x 0, obtemos y 0 ou y b. Por outro lado, fazendo y 0, encontramos x 0 ou x a. Em consequência, podemos afirmar que a resposta é. Resposta da questão 14: [C] Página 14 de 1

RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 Determinando o centro e o raio da circunferência. x y 8x 8y 16 0 x 8x 16 y 8y 16 16 (x 4) (y 4) 4 O centro é o ponto (4, 4) e o raio mede 4. Calculando a área do setor de π 4 AS 4π 4 Calculando, agora, a área do triângulo ABC. 4 4 AΔABC 8 Portanto, a área do segmento circular pedida é: A AS AΔABC A 4π 8 A 4 π 90 do círculo determinado por esta circunferência, temos: Página 1 de 1