Tópico 4. Derivadas (Parte 1) 4.1. A reta tangente Para círculos, a tangencia é natural? Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da circunferência até tocá-la num único ponto. Na situação da figura 4, dizemos que a reta r é tangente a circunferência no ponto P. Exemplos de retas tangentes (no ponto P) a algumas curvas: Na figura 7, apesar da reta tocar a curva em dois pontos, ela tangencia a curva em P, como na figura 4. Estas retas tocam suavemente as curvas nos pontos P indicados. Exemplos de retas que não são tangentes (no ponto Q) a algumas curvas: Estas retas não tocam suavemente as curvas nos pontos indicados como no exemplo da circunferência (fig. 4). Elas cortam, penetram as curvas.
4.1.1 Obtendo uma reta tangente a um dado ponto de um gráfico de uma função Vamos determinar a equação da reta tangente a uma função (uma curva) num ponto do seu domínio. Seja y = f (x) uma curva definida num intervalo aberto I. Considere P( x o, y o), sendo y o = f(x o), um ponto fixo e Q(x, y) um ponto móvel, ambos sobre o gráfico de f. Seja s a reta que passa pelos pontos P e Q e considere β o ângulo de inclinação de s. Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto P e considere α o ângulo de inclinação de t. 2
Considerando o triângulo retângulo PTQ, obtemos o coeficiente angular da reta s como Suponha que o ponto Q mova-se sobre o gráfico de f em direção ao ponto P. Desta forma, a reta s se aproximará da reta t. O ângulo β se aproximará do ângulo α, e então, a tg(β) se aproximará da tg(α). Usando a notação de limites, é fácil perceber que 3
onde h = Δx = x x 0. Exemplo: Coeficiente angular e tangente para y = 1/x. Solução: 4
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4.2. Taxa de variação: A derivada de uma função num ponto Teorema: Toda função derivável num ponto é contínua neste ponto. 6
Exemplo: Dada a função f(x)= x 2 x + 1, determine por definição f '(2). Onde h = Δx. Observação: a derivada é uma operação que transforma uma função numa outra função. Dada a função: y = f(x) operação Dada derivada: y = dy d dx dx 7
4.3 Representando graficamente a derivada de uma função y = f(x) 8
Figura anterior: 4.4. Regras de derivação Vamos apresentar algumas regras que irão facilitar o cálculo das derivadas das funções sem recorrer a definição. 1. Derivada de uma função constante Se f (x) = c, c é uma constante real, então f (x) = 0. Exemplo: Calcule as derivadas das funções abaixo: a) f(x) = 5 f (x) = 0 b) f(x) = ½ f (x) = 0 2. Derivada da função potência Exemplo. Calcule as derivadas das funções abaixo: 9
3. Derivada do produto de uma constante por uma função Exemplo: 4. Derivada de uma soma de funções Se f (x) e g(x) são função deriváveis, então a função h(x) = f (x)+ g(x) tem derivada dada por h' (x) = f ' (x)+ g' (x). Exemplo: Se f (x) = 4x 3 + 3x 2 x + 5 então f ' (x) = 12x 2 + 6 x 1. 5. Derivada de um produto de funções Se f (x) e g(x) são função deriváveis, então a função h(x) = f (x) g(x) tem derivada dada por h' (x) = f ' (x) g(x)+ f (x) g' (x). Exemplo 1: Se f (x) = (x 3 x)(2 x) então f ' (x) = (3x 2 1)(2 x)+ (x 3 x)(0 1) = 4x 3 + 6 x 2 + 2x 2. Exemplo 2: 10
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OBS. Em geral, se o gráfico de uma função tem um bico, não há tangente nesse ponto e f não é derivável nesse ponto. Então ser derivável é uma condição de suavidade. 6. Derivada de um quociente de funções Exercícios: 4.5 Regra da derivação da função composta (Regra da Cadeia) Como veremos nas aulas seguintes, várias aplicações do cálculo na engenharia envolvem a busca de uma função com alguma derivada. Às vezes identificamos este tipo de função imediatamente. Por exemplo, sabemos que cosx é a derivada de senx ou que 2x é a derivada de x 2 e que a soma cosx + 2x é a derivada de senx + x 2. Mas e se utilizarmos o produto de duas derivadas em vez da soma? Sabemos que o resultado não vem do produto das funções derivadas porque a derivada de seus produtos não é o produto de suas derivadas. Então de onde vem o produto de derivadas? A resposta está em uma regra para derivação de funções compostas, chamada Regra da Cadeia. Esta seção descreverá essa regra, mostrando como usá-la. Derivada de uma função composta Começaremos com exemplos, 12
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Exercício: Dados y = f(u) e u = g(x), determine dy/dx = f (g(x))g (x). 4.6 Potências racionais de funções deriváveis 14
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4.7 Derivada de funções elementares (parte 1) Vamos agora apresentar as derivadas das funções elementares do cálculo. São elas as funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e trigonométricas inversas (As duas últimas serão abordadas no próximo tópico). 1. Derivada da função exponencial O mesmo é válido quando a base a e. 16
2. Derivada da função logarítmica 17
4.8 Derivadas sucessivas Em algumas aplicações precisamos derivar uma função mais de uma vez. Se uma função y = f (x) for derivável, isto é, existe f (x), podemos pensar na derivada de f (x) e assim sucessivamente. Definimos e denotamos as derivadas sucessivas de uma função y = f (x) de acordo com a tabela abaixo: Exemplo: 18
Exercício: Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada. a) y = 3x 4 2x 9, n = 4. b) y = ax 3 + bx 2 + cx+d, n = 3. Referências 1. Apostila Limites e Derivadas, site: http://pt.scribd.com/doc/65521769/211220100802-calculo- Diferencial-e-Integral-1-Engenharia-Civil, acessado em 01/05/2013. 2. Apostila Prof. Sérgio Pilling, http://www1.univap.br/spilling/c1/c1.htm (acesso em 01/03/2013). 3. Fleming, Diva Maria; Gonçalves, Mirian Buss, Cálculo A, 6a Edição, Pearson Prantice Hall, 2009. 19