APOSTILA UP-GRADE MATEMÁTICA Prof. Marcelo Renato AULA 0: ANÁLISE COMBINATÓRIA. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) Se um evento pode ocorrer de n maneiras distintas e, a seguir, um segundo evento pode ocorrer de n maneiras distintas, e assim sucessivamente, até um k-ésimo evento que pode ocorrer de n k maneiras distintas, então o número de maneiras distintas em que os k eventos podem ocorrer sucessivamente é: n n...n k. Por exemplo: Lanchar um sanduíche ( opções) e um suco ( opções). O número total de maneiras distintas para o lanche ser efetuado será: T ( ) ( ) T 0. ARRANJOS & COMBINAÇÕES Na análise de um problema de contagem, quando o agrupamento formado se altera quando efetuamos alteração na ordem dos elementos que o compõem, necessariamente o agrupamento é um ARRANJO. Caso a alteração na ordem dos elementos não interfira no grupo formado, o agrupamento será uma COMBINAÇÃO. ARRANJO Numa corrida de fórmula, se a ordem de chegada foi alcançada pelos pilotos A B C...... sabemos que se for informado que a chegada ocorreu na forma A C B...... o grupo resultado ALTERA. COMBINAÇÃO Se, entre n pontos A, B, C, D, etc., dispostos num plano, formarmos um triângulo com os pontos A B C...... corresponderá ao mesmo triângulo A C B. Nesse caso a ordem dos elementos que compõem o grupo NÃO ALTERA o referido grupo. A resolução de problemas de Arranjo é efetuada, na sua esmagadora maioria, com a utilização do PFC, ou seja, T (nº opções). (nº opções)... A resolução de problemas de Arranjo é n! efetuada com o emprego C p n da fórmula, p! ( n p)!. PERMUTAÇÃO É um caso especial de Arranjo que estudaremos, o qual, em praticamente 99% das situações, será resolvido com a utilização do PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM. Temos três tipos de Permutação, ou seja, PERMUTAÇÃO SIMPLES, PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO e PERMUTAÇÃO CIRCULAR, os quais serão trabalhados detalhadamente. PERMUTAÇÃO FÓRMULA Simples P n n! C/ Repetição n,n,...,n Pn k n! n!n!...n k! EXEMPLOS RESOLVIDOS DE PFC. (UERJ adaptada) Em um salão há apenas mulheres e homens que sabem dançar. Calcule o número total de pares de pessoas de sexos opostos que podem ser formados para dançar. 9
APOSTILA - UP-GRADE Há possibilidades de se escolher uma mulher e, para cada uma dessas escolhas, existem possibilidades de se escolher um homem. Portanto, o número total T de maneiras distintas de se formar um casal é dado por T ( ) ( ). Resposta: maneiras distintas.. (FGV-SP) No sistema de numeração decimal, quantos números pares existem com algarismos distintos e maiores que 800? Lembrando que devemos iniciar a contagem priorizando as restrições. Caso : Números começando com o algarismo 8 (ª restrição) e terminando em algarismo par (ª restrição); T ( ) ( 8 ) ( ) T Caso : Números começando com o algarismo 9 (ª restrição) e terminando em algarismo par (ª restrição); T ( ) ( 8) ( ) T 0 Assim, a quantidade de números que atendem ao enunciado será T T + T T 7 Resposta: 7 números pares.. (UFGO 00) Uma senha com seis algarismos tem as seguintes características: seus algarismos são distintos; a soma dos dois últimos algarismos deve ser igual a seis. Com essas características, determine a quantidade de senhas possíveis de serem formadas. Como os algarismos são distintos não consideraremos a situação em que os dois últimos algarismos são iguais a ; assim, termos as seguintes situações para os dois últimos algarismos: a b c d ; a b c d ; a b c d ; a b c d ; a b c d 0 e a b c d 0. Pelo Princípio Fundamental da Contagem: 8 7 T (8 () 7 () () () ) 0080 Resposta: 0.080 senhas distintas.. (Unifor-CE) Em uma agência bancária, ao retirar-se o cartão de crédito, escolhe-se uma senha que deve ser composta de dígitos, escolhidos de a 9. De quantos modos pode-se escolher uma senha que tenha os três primeiros dígitos repetidos e o último dígito seja par? Como não há restrições para o º e para o º dígito, teremos: Resposta:.9 senhas distintas. 9 9 9 Par ou ímpar Igual ao º Igual ao º Sem restr. Sem restr. T 9...9.9. T. 9 EXEMPLOS RESOLVIDOS DE PFC ARRANJO PERMUTAÇÃO. (UFMG 00 adaptada) Para montar a programação de uma emissora de rádio, o programador musical conta com 0 músicas distintas, de diferentes estilos, assim agrupadas: de MPB, de Rock e de Pop. Sem tempo para fazer essa programação, ele decide que, em cada um dos programas da emissora, serão tocadas, de forma aleatória, todas as 0 músicas. Calcule o número de programas distintos em que as músicas vão ser tocadas agrupadas por estilo. ( M,M,M,M ) ( R,R,R ) ( P,P, P ) i. Poderá haver permutação dos três estilos: MRP MPR RMP RPM PMR PRM par 0
APOSTILA UP-GRADE ii. Haverá permutação das músicas dentro e cada estilo: ( P ) e ( P ) e ( P ) Assim, o número de programas que atende ao enunciado será: N (! ) (! ) (! ) (! ) Resposta: (! ) (! ).. (UFES 000) De quantas maneiras 0 clientes de um banco podem se posicionar na fila única dos caixas de modo que as mulheres do grupo fiquem juntas? M,M,M,M H H H H H ( ) H CONSIDERA SE UMA PESSOA i. Haverá permutação dos sete pessoas: H ( ) H H M,M,M,M H H H CONSIDERA SE UMA PESSOA ii. Haverá permutação das mulheres, no bloco das mesmas: ( M,M,M, M ) Assim, o número de maneiras que atende ao enunciado será: N ( 7! ) (! ). Resposta: (! ) ( 7! ). 7. (UNESP adaptada) Considere todos os números formados por algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos,,,, e. DETERMINE: a) Quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo. b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, qual posição ocupa o número e que número ocupa a ª posição. a) No total podemos formar T P T! T 70 números; Verificando os números que se iniciam com o algarismo : T ( )P T! T 0 b) Verificamos que o número é o primeiro, em ordem crescente, que inicia com o algarismo, portanto, todos que começam com, com, com e com estão antes dele. Com os cálculos efetuados no item anterior (0 números começam com ) podemos afirmar que o número ocupa a posição 8º pois antes deles teremos ( 0 ) 80 números. A posição º será ocupada por: 0 números começando com o algarismo (do º ao 0º); 0 números começando com o algarismo (do º ao 0º); O número da posição º será ; O número da posição º será. Respostas: a) 70 números no total e 0 iniciando com o algarismo. b) 8º e -----. AULA 0 PFC, ARRANJO & PERMUTAÇÃO SÉRIE AULA. (UFG GO 008) Os computadores digitais codificam e armazenam seus programas na forma binária. No código binário, que é um sistema de numeração posicional, as quantidades são representadas somente com dois algarismos: zero e um. Por exemplo, o código 0000, no sistema binário, representa o número, do sistema de numeração decimal. Assim sendo, calcule quantos códigos binários podem ser escritos com exatamente nove algarismos, considerando que o primeiro algarismo do código binário é.. (UFPE) Os clientes de um banco devem escolher uma senha, formada por algarismos de 0 a 9, de tal forma que não haja algarismos repetidos em posições consecutivas (assim, a senha 00 é válida, mas não é). O número de senhas válidas é: a) 0.000. b) 9.000. c) 7.. d) 7.90. e) 8.00.. (FUVEST 00) Maria deve criar uma senha de dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos,,,,, podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número, isto é, o algarismo seguido imediatamente pelo algarismo. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?
APOSTILA - UP-GRADE. (PUC-SP) Para ter acesso a um certo arquivo de um microcomputador, o usuário deve realizar duas operações: digitar uma senha composta por três algarismos distintos e, se a senha for aceita, digitar uma segunda senha composta por duas letras distintas escolhidas num alfabeto de letras. Quem não conhece as senhas pode fazer tentativas. O número máximo de tentativas necessárias para ter acesso ao arquivo é:. (UFMG 00) Num grupo constituído de pessoas, cinco vestem camisas amarelas, cinco vestem camisas vermelhas e cinco vestem camisas verdes. Deseja-se formar uma fila com essas pessoas de forma que as três primeiras vistam camisas de cores diferentes e que as seguintes mantenham a seqüência de cores dada pelas três primeiras. Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode fazer tal fila? a) (!). b) (!). c) (!)! (!). d).!!. (FAAP-SP) Permutando os algarismos,, e 8, formamos números. Dispondo esses números em ordem crescente, qual o número que ocupa a ª posição? 7. (UP 0) Determine o número total de maneiras distintas que (três) alunos podem ser alocados em uma fileira de (seis) carteiras vazias de modo que, entre dois alunos próximos (seguidos), sempre tenha exatamente uma carteira vazia. 8. (FUVEST-SP adaptada) A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinalados as casas de João (A), de Maria (B), a escola ( C) e um possível caminho que João percorre para, passando pela casa de Maria, chegar à escola. Qual o número total de caminhos distintos que João poderá percorrer, caminhando somente para o Norte ou Leste, para ir de sua casa à escola, passando pela casa de Maria? AULA 0 PFC, ARRANJO & PERMUTAÇÃO SÉRIE CASA. (UFSCar-SP) Um encontro científico com a participação de pesquisadores de três áreas, sendo eles: 7 químicos, físicos e matemáticos. No encerramento do encontro, o grupo decidiu formar uma comissão de dois cientistas para representá-lo em um congresso. Tendo sido estabelecido que a dupla deveria ser formada por cientistas de áreas diferentes, o total de duplas distintas que podem representar o grupo no congresso é igual a: a) b) 9 c) 77 d) 8 e) 9. (UP 0) Quantos anagramas (com as oito letras) da palavra PAPAGAIO começam por consoante e terminam com vogal?. (IBMEC-RJ 00 adaptada) Um vagão de metrô tem 0 bancos individuais, sendo de frente e de costas. De 0 passageiros, preferem sentar de frente, preferem sentar de costas e os demais não têm preferência. Calcule de quantos modos distintos esses 0 passageiros podem sentar, respeitadas as suas preferências.. (UNESP 007) Dois rapazes e duas moças irão viajar de ônibus, ocupando as poltronas de números a, com e juntas e e juntas, conforme o esquema. O número de maneiras de ocupação dessas quatro poltronas, garantindo que, em duas poltronas juntas, ao lado de uma moça sempre viaje um rapaz, é: a). b). c) 8. d). e).
APOSTILA UP-GRADE. (UERJ 0) Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo. Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d. Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a: a) 0. b). c). d) 0. RESPOSTAS AULA 0 (COMBINATÓRIA) SÉRIE AULA SÉRIE CASA 0). 0) D. 0) senhas possíveis. 0) 70. 0) D. 0) 80. 0) 00. 0) E. 0) C. 0) 8. 07). 08) 0. 0) B. AULA 0: ANÁLISE COMBINATÓRIA (COMBINAÇÕES) AULA 0 COMBINAÇÕES SÉRIE AULA. (UFPel-RS modificada) Para realizar um bingo beneficente, uma associação solicitou a confecção de uma série completa de cartelas com 0 números cada uma, sem repetição, sendo utilizados somente números de a. Quantas cartelas foram confeccionadas? a) 00 b) 00 c) 080 d) 00 e) 00 7 8 9. (UERJ 007) Sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar, em grupos de quatro, o Manual do Candidato do Vestibular Estadual 007. Um desses grupos está representado a seguir: Considere que cada grupo de quatro figuras que poderia ser formado é distinto de outro somente quando pelo menos uma de suas figuras for diferente. Nesse caso, o número total de grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual é igual a: a) b) c) 70 d) 0. (Unifesp-SP adaptada) Em um edifício residencial de São Paulo, os moradores foram convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e quatro membros do conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita entre dez moradores. De quantas maneiras diferentes será possível fazer estas escolhas?
APOSTILA - UP-GRADE. (FUVEST-SP adaptada) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas?. (Cesgranrio-RJ adaptada) Dispondo-se de rapazes e moças, de quantas maneiras pode-se escolher pessoas para formar uma comissão tendo, pelo menos uma moça?. (UFABC-SP) Admita que, dos 0 jogadores convocados pelo técnico da seleção brasileira de futebol para as 0 posições de linha, sejam canhotos, destros e ambidestros. Nessas condições, se o técnico quiser escalar todos os jogadores que sabem chutar com a perna esquerda, o número de formas distintas com que ele poderá preencher as demais vagas da linha, não importando a ordem das posições, é igual a: a) 0 b) 78 c) 880 d) 909 e) 00 7. (Unesp-SP) Marcam-se, num plano, 0 pontos, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, dos quais estão sobre a mesma reta e três outros pontos quaisquer nunca estão alinhados, conforme a figura. O número total de triângulos que podem ser formados, unindo-se três quaisquer desses pontos, é: a) b) c) d) 0 e) 8. (UP 0) É comum confundirmos problemas de Combinação com problemas de Arranjo. Sabemos que quando se trata de problemas de Combinação a ordem dos elementos que compõem o grupo formado não altera o mesmo, por exemplo, um trio de amigos Antônio, Beatriz e Carlos é o mesmo independente de os citarmos Beatriz, Carlos e Antônio. No Arranjo isso acarreta grupos distintos (exemplo de corrida de fórmula : em º lugar Felipe Massa, em º- Kimi Raikkonen e em º- Sebastian Vettel). É interessante também utilizarmos o PFC (Princípio Fundamental da Contagem) para a maioria dos casos de Arranjo: De quantas maneiras distintas poderíamos ter os três pilotos citados, no parágrafo anterior, ocupando as três primeiras colocações de uma determinada corrida? Como se trata de um problema de Arranjo, neste caso poderemos utilizar o PFC para solucioná-lo: Temos opções para o º lugar; opções para o º e opção para o º, totalizando, pelo PFC, maneiras distintas. a) De quantos modos podemos distribuir pessoas em quartos, no município de Vila Velha-ES, abendo que no primeiro (de frente para a Praia da Costa, dormirão pessoas, no segundo (ao lado do Clube Libanês) e no terceiro (localizado nos fundos, com vista para o Convento da Penha) as restantes? b) De quantas maneiras podemos distribuir pessoas formando times de voleibol (com pessoas cada) para brincar no ponto conhecido como Beverly Hills da Praia de Itapoá (Vila Velha/ES)? QUESTÃO ESPECIAL DE COMBINAÇÃO COMPLETA (BOLA -TRAÇO). (UP 0) Deseja-se distribuir 0 brinquedos distintos entre crianças. De quantos modos distintos essa divisão poderá ser realizada, nas condições abaixo: a) Podendo haver crianças que não receba presente algum ou que receba parte deles ou ainda todos eles. b) De modo que cada uma delas receba pelo menos brinquedos. a) x + x + x + x 0 Arrumando... x + x + x + x 0 Resolvendo com a utilização do esquema bola-traço : T P!,0 T 77 a!0!
APOSTILA UP-GRADE b) Considerando x, x,x, x as quantidades de brinquedos recebidas por cada criança, teremos x + x + x + x 0 Como cada criança deverá receber pelo menos brinquedos, fazendo-se uma troca de variáveis teremos ( y + ) + ( y + ) + ( y + ) + ( y + ) 0 Arrumando... y + y + y + y 8 Resolvendo com a utilização do esquema bola-traço : T P!,8 T b!8! Respostas: a) 77 modos distintos. b) modos distintos. EXEMPLOS RESOLVIDOS COM COMBINAÇÃO. (UNESP adaptada) Um repórter perguntou ao técnico de um time de futebol de salão se ele já dispunha da escalação de sua equipe. O técnico respondeu que jogariam Fulano, a grande estrela do time, e mais jogadores. Supondo que o técnico disponha de um elenco de jogadores (incluindo Fulano) e que qualquer jogador pode ocupar qualquer posição, quantas equipes diferentes podem ser formadas de maneira que a resposta do técnico seja verdadeira? Já que Fulano está definido que jogará, restam apenas escolher outros jogadores entre os 0 que sobraram, ou seja: 0 0! T T 0!!. (UFCG PB adaptada) Com o objetivo de fazer uma boa campanha nos Jogos Olímpicos de Pequim em 008, almejando a conquista da medalha de ouro para o nosso futebol, o técnico da seleção brasileira feminina de futebol convocou 8 jogadoras para formar nossa seleção. Dentre estas estavam: goleiras, laterais, zagueiras, meio campistas e atacantes. Pensando sempre na melhor formação para representar nosso país, calcule o número de possibilidades que o técnico teve para montar um time com goleira, laterais, zagueiras, meio campistas e atacantes. Aqui temos a combinação do Princípio Fundamental da Contagem com a técnica da Combinação para a escolha de cada jogadora em suas respectivas posições. ( ) T T T 0. (Mack-SP adaptada) Em uma sala de aula há alunos, quatro deles considerados gênios. Calcule o número de grupos, com três alunos, que pode ser formado incluindo pelo menos um dos gênios. Aqui utilizaremos a Técnica do Recipiente, técnica criada pelo professor MR: x ( 00 ) ( ) x 0 x 970. (UFES adaptada) Uma lanchonete faz vitaminas com uma, duas, três, quatro ou cinco frutas diferentes, a saber: laranja, mamão, banana, morango e maçã. As vitaminas podem ser feitas com um só tipo de fruta ou misturando-se os tipos de fruta de acordo com o gosto do freguês. Desse modo, quantas opções de vitaminas a lanchonete oferece? Considerando T o total de opções que atende ao enunciado, teremos T + + + +
APOSTILA - UP-GRADE Veremos, mais adiante, na aula de Binômio de Newton, quando comentarmos sobre Triângulo de Pascal, que existe uma teoria sobre a soma de combinações conforme apresentado abaixo: Assim, no nosso exemplo, T T n n n n n + 0 + + + + n T + + + + T 0 n AULA 0 COMBINAÇÕES SÉRIE CASA. (Fatec-SP adaptada) Considere que todas as x pessoas que estavam em uma festa trocaram apertos de mão entre si uma única vez, num total de y cumprimentos. Se foram trocados mais de 990 cumprimentos, o números mínimo de pessoas que poderiam estar nessa festa é. (FGV-RJ 0 adaptada) As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão. Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e não as quantidades?. (FESP-PE adaptada) Uma turma é composta por 8 rapazes (Jorge e Júnior são dois deles) e moças (Ana e Daniela são duas delas). Calcule o número n de comissões que podem ser formadas com os componentes da turma, constituídas de rapazes e moças, de modo que delas façam parte Jorge e Júnior, e não façam parte Ana e Daniela.. (Fuvest-SP) Numa classe de 0 estudantes, um grupo de será selecionado para uma excursão. De quantas maneiras o grupo poderá ser formado se dois dos dez são marido e mulher e só irão juntos? a) 98 b) c) d) e). (Fuvest-SP) Um químico dispõe de 0 substâncias. De quantos modos poderá associar dessas substâncias se existem duas que não podem ser juntadas porque haveria explosão?. 70. 0. 8. 0. 0 DESAFIO. (FGV-SP 0) Oito garotas chegam de férias a uma pequena cidade do litoral norte. Dirigem-se a um hotel onde somente estão disponíveis dois quartos triplos e um quarto duplo. a) De quantos modos diferentes elas podem alojar-se no hotel? b) As ruas da cidade interceptam-se em ângulos retos, como mostra a figura. Certo dia, elas decidem almoçar no único restaurante da cidade. Quantos caminhos diferentes elas podem escolher para ir do hotel ao restaurante? Elas caminham somente para o norte ou para o leste. A figura indica um possível caminho.
APOSTILA UP-GRADE DESAFIO. (IME) Seja um barco com 8 lugares, numerados como no diagrama seguinte: Há 8 remadores disponíveis para guarnecê-lo, com as seguintes restrições: Os remadores A e B só podem sentar no lado ímpar e o remador C, no lado par. Os remadores D, E, F, G, H podem ocupar quaisquer posições. Quantas configurações podem ser obtidas com o barco totalmente guarnecido? DESAFIO. (UNESP 0) Em todos os finais de semana do primeiro semestre de certo ano, Maira irá convidar duas de suas amigas para ir à sua casa de praia, sendo que nunca o mesmo par de amigas se repetirá durante esse período. Respeitadas essas condições, determine o menor número possível de amigas que ela poderá convidar. Dado 0,. RESPOSTAS AULA 0 (COMBINATÓRIA) SÉRIE AULA SÉRIE CASA 0) E. 0) B. 0) 0. 0) 7. 0). 0) E. 07) C. 0). 0). 0) 8. 0) A. 0) D.!! 08) a) T a. 08) b) Tb!!!!!. ( ) Resolução da questão 08 série aula: a) 8! 8!! Ta Ta! 8!!!! 0! 8! 8!! b)! 8!!!! 0! Tb Tb!!! T a!!! T b!! (! ) Neste caso, como foi usado o PFC e sabemos que não existe permutação entre os times formados, ou seja, independente da ordem como colocamos os times lado a lado, os três sempre serão os mesmos, temos que dividir o resultado do PFC pela permutação dos três times (!). Fique atento, isso não ocorre quando os grupos ocupam lugares fixos ou cargos fixos, ou seja, como no item a desta questão e no caso de cargos de senador, deputado e vereador, etc., ou ainda de times com nomes definidos: Botafogo, Flamengo e Vasco, nesses casos existirá a permutação das pessoas nos referidos grupos claramente definidos.. RESPOSTAS DOS DESAFIOS ) a) 0 b) 0. ) 70 ) no mínimo oito amigas. 7
APOSTILA - UP-GRADE AULAS 0 E 0: PROBABILIDADE. ESPAÇO AMOSTRAL S É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. No lançamento de uma moeda perfeita (não viciada) o espaço amostral é S { cara; coroa }; No lançamento de um dado não viciado: S {; ; ; ; ; }; No lançamento de dois dados distintos, não viciados, o espaço amostral está representado Figura abaixo: S { (,); (,); (,);... ; (,) }, onde n (S) elementos. (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Figura. DIAGRAMA DE ÁRVORE Exemplo: Um casal sadio pretende ter filhos (menino ou menina) em três gestações consecutivas, gerando um bebê em cada gravidez. O espaço amostral para esta situação está representado na figura ao lado (Figura ).. EVENTO E É qualquer subconjunto do Espaço Amostral, ou seja, E S... (E está contido em S). Figura No lançamento de um dado não viciado, o subconjunto E {; ; } é o evento que acontece se o número mostrado na face de cima é par; No lançamento de dois dados não viciados, distintos, o subconjunto E {(,); (,); (,); (,); (,); (,)}, composto por elementos, é o evento que acontece se a soma dos números mostrados nas respectivas faces superiores determina uma soma maior ou igual a 0.. PROBABILIDADE DE UM EVENTO p(e) Supondo o espaço amostral S número de casos favoráveis n(e) p (E) equiprovável: total de casos possíveis n(s) O número de casos favoráveis é o número de elementos do subconjunto E; O Total de casos possíveis é o número de elementos do espaço amostral S. Exemplo: Considere dois dados, cada um deles com seis faces numeradas de a. Se os dados são lançados ao acaso, qual a probabilidade das faces obtidas darem soma maior ou igual a 8? Utilizando a representação do espaço amostral conforme a Figura apresentada no tópico acima...... verificamos que temos ( + + + + ) casos favoráveis em um total de possíveis resultados. A probabilidade P que atende ao enunciado será: P 8
APOSTILA UP-GRADE A unidade da grandeza presente no numerador (item ) tem que ser a mesma unidade da grandeza presente no denominador, ou seja, se no numerador fossem duplas de bolas, consequentemente, no denominador deverá ser total de duplas de bolas. Se fosse para determinar a probabilidade de acertar a Mega-Sena com um único cartão com dezenas marcadas, no numerador teremos o número representando um grupo de seis dezenas e no denominador teremos todos os grupos de dezenas com 0 0 0! dezenas possíveis 0,00000 %.!! Meu Deus! RESOLVER SÉRIE AULA TESTES 0 A 08. PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES SUCESSIVOS OU SIMULTÂNEOS Aqui temos o conectivo e que tem como significado a intersecção de eventos (regra do produto). Dois eventos são ditos independentes quando a ocorrência de um não influencia a ocorrência do outro. Se dois ou mais eventos independentes ocorrem seqüencialmente, a probabilidade de ocorrência deles será calculada multiplicando os resultados obtidos nas probabilidades de cada evento isolado. p ( E E ) p ( E ) p ( ) E Exemplo: Numa urna foram depositadas bolas verdes e bolas vermelhas. Retiradas com reposição, qual a probabilidade de obtermos uma bola verde seguida de uma vermelha? Considerando E a probabilidade de retirada da bola verde e E da bola vermelha: p ( E ), ( E ) p p( E ) p( E ) p( E ) p( E ). PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS INDEPENDENTES (OCORRER O EVENTO A OU EVENTO B) Aqui temos o conectivo ou que tem como significado a união de eventos (regra da adição). CASO : Probabilidade de ocorrer E ou E sendo que E E (eventos mutuamente exclusivos). ( E E ) p ( E ) p ( ) p + E Exemplo: Um baralho completo possui cartas dispostas em naipes onde, em cada naipe, a cartas são numeradas conforme apresentado ao lado: Se utilizarmos um baralho completo, qual a probabilidade de sua retirada ser um valete ou um? Uma carta nº (Ás) Nove cartas com numeração de a 0 Uma carta Valete Uma carta Dama Uma carta Rei 9
APOSTILA - UP-GRADE Como E ( E E ) p ( E ) + p ( ) E E p ( E E ) + p 7 CASO : Probabilidade de ocorrer E ou E sendo que E E. p ( E E ) c + p ( E ) p ( E ) E Exemplo: Retirando aleatoriamente uma carta de um baralho completo, qual a probabilidade de obter uma dama ou uma carta de espadas? Considerando os eventos E (dama) e E (espadas): p ( E ), ( E ) p Sabemos que existe a carta dama que também é do naipe espadas, ou seja, existe a probabilidade E E que é igual a /. ( E E ) p + Resposta:. RESOLVER SÉRIE AULA TESTES 09 A.. EVENTOS COMPLEMENTARES (PROBABILIDADE DE NÃO OCORRER UM EVENTO) Quando os eventos de um espaço amostral S, E e E são tais que E E e E E S, E e E são chamados de eventos complementares. Exemplo : No lançamento de um dado os eventos E (obter número menor que três) e E (obter número maior que dois), além de mutuamente exclusivos E E são complementares E E S. p ( E ) e p ( E ) ( E E ) + p. De um modo geral, se E e E são eventos complementares, p ( E E ) Em outras palavras, p ( E ) p ( ). E Exemplo : No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual a probabilidade de não sair soma cinco? O espaço amostral para o lançamento de dados distinguíveis é composto por elementos; O evento E : sair soma, {(,), (,), (,), (,) } tem probabilidade p ( E ) p ( E) 8 A probabilidade do evento E : não sair soma será: p ( E ) p ( E ) 9 9 ; 9 0
APOSTILA UP-GRADE RESOLVER SÉRIE AULA TESTES A 7. PROBABILIDADE CONDICIONAL Em alguns problemas o cálculo da probabilidade de um evento A está condicionado ao conhecimento da probabilidade de um evento B (independente de já ter ocorrido ou não o evento B), é a chamada Probabilidade Condicional. Muitos problemas de probabilidade condicional podem ser resolvidos reduzindo-se adequadamente o espaço amostral, a partir de uma informação parcial do resultado do experimento. Exemplo: (PUCC-SP) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma, nos dois dados, é igual a 8, calcule a probabilidade de ocorrer a face em um deles. É conhecido que o espaço amostral inicial S possui elementos; Como já fomos informados de que a soma dos números nos dois dados vale 8 podemos reduzir o nosso espaço amostral S para S, onde S { (,), (,), (,), (,), (,) } n(s) ; assim, a probabilidade será: P. RESOLVER SÉRIE AULA TESTES 7 e 8 8. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL (OCORRÊNCIAS REPETIDAS) Seja uma experiência realizada com n tentativas independentes e com dois resultados possíveis em cada tentativa, sucesso ou fracasso (falha): Seja p a probabilidade de ocorrência do evento E (sucesso) e " q ( p)" a probabilidade de ocorrência do evento E (fracasso). A probabilidade de obtermos r vezes o resultado desejado é dada por: Exemplo-: Uma moeda é lançada vezes. Qual a probabilidade de obtermos caras (K) e coroas (C)? Assim, a probabilidade de obtermos caras (K) e coroas (C) em lançamentos será: Uma das situações favoráveis pode ser P 0 representada por: K K K C C C Sabemos que os elementos que compõem a situação favorável poderão permutar entre si, fato esse que P 0 P 0 P viabilizará outras condições favoráveis.,!, K K K C C C P P 0 Resposta:!! P, Exemplo-: (MRUP) O médico geriatra do professor Júnior Bola (o papa da Geografia) constatou em uma pesquisa recente sobre a fertilidade na ª idade que Júnior Bola, num exame específico, apresentou a probabilidade de gerar filhos do sexo feminino vezes maior do que a de gerar filhos do sexo masculino. Com base na pesquisa do geriatra, qual a probabilidade de um casal (onde o homem tem as mesmas características de fertilidade que o professor Júnior Bola) gerar filhas e filhos em gestações sucessivas? Considerando H (filho) e M (filha), e que p é a probabilidade do casal em questão gerar filho-h e p a de gerar filha-m, p + p 00% p + p p PH e PM Uma das situações favoráveis pode ser representada por: M M H H H Sabemos que os elementos que compõem a situação favorável poderão permutar entre si, fato esse que viabilizará outras condições favoráveis.
APOSTILA - UP-GRADE, M M H H H P P,!!! P, 0 Assim, a probabilidade do nascimento de filhas (M) e filhos (H) em gestações sucessivas será: P 0 P 0 P P 9,% 8 RESOLVER SÉRIE AULA TESTES 9 e 0 AULAS 0 e 0 SÉRIE AULA. (PUC-RJ 009 adaptada) Jogamos dois dados comuns, distintos e honestos. Qual a probabilidade de que o total de pontos seja igual a 0?. (Cesgranrio-RJ) Num jogo com um dado, o jogador X ganha se tirar, no seu lance, um número de pontos maior ou igual ao do lance do jogador Y. A probabilidade de X ganhar é: a) / b) / c) 7/ d) / e) 9/. (FUVEST 009 adaptada) Dois dados cúbicos, distintos e não viciados, com faces numeradas de a, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de:. (PUC-RJ 007) A probabilidade de um dos cem números,,,,, 00 ser múltiplo de e de 0 ao mesmo tempo é:. (Fuvest-SP) Uma urna contém bolas numeradas de a 9. Sorteiam-se, com reposição, duas bolas. A probabilidade de que o número da segunda bola seja estritamente maior do que o da primeira é: a) 7/8. b) /9. c) /8. d) 0/8. e) /8.. (Mack-SP) Num grupo de 0 pessoas estão A e B. Escolhidas ao acaso pessoas do grupo, a probabilidade de A e B serem escolhidas é: a) /. b) /0. c) /9. d) /9. e) 9/0. 7. (PUC-PR 00) Há em um hospital 9 enfermeiras (Karla é uma delas) e médicos (Lucas é um deles). Diariamente, devem permanecer de plantão enfermeiras e médicos. Qual a probabilidade de Karla e Lucas estarem de plantão no mesmo dia? a) /. b) /. c) 8/. d) /. e) /. 8. (UPE) A caixa A contém 8 peças das quais são defeituosas, e a caixa B contém peças das quais são defeituosas. Uma peça é retirada aleatoriamente de cada caixa. Sabendo-se que os eventos são independentes, a probabilidade de ambas não serem defeituosas é: a) / b) / c) 7/8 d) /8 e) / 9. (Fuvest-SP 00) Um recenseamento revelou as seguintes características sobre a idade e a escolaridade da população de uma cidade.
APOSTILA UP-GRADE Se for sorteada, ao acaso, uma pessoa da cidade, a probabilidade de esta pessoa ter curso superior (completo ou incompleto) é a),% b) 7,7% c) 8,% d) 9,7% e) 0,% 0. (FGV-SP 008) Há apenas dois modos de Cláudia ir para o trabalho: de ônibus ou de moto. A probabilidade de ela ir de ônibus é 0% e, de moto, 70%. Se Cláudia for de ônibus, a probabilidade de chegar atrasada ao trabalho é 0% e, se for de moto, a probabilidade de se atrasar é 0%. A probabilidade de Cláudia não se atrasar para chegar ao trabalho é igual a:. (ADVISE 009 adaptada) O quadro funcional de uma empresa é composto de pessoas efetivas e pessoas prestadoras de serviços. Do pessoal efetivo 0 são homens e do pessoal prestador de serviço são mulheres. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa dessa empresa, a probabilidade dessa pessoa ser homem ou prestar serviço é:. (FGV-SP) Num sorteio, a urna A tem bolas brancas e bolas pretas. A urna B tem bolas brancas e bolas pretas. Foi retirada uma bola da urna A, não se sabe sua cor, e foi colocada na urna B ; em seguida, foi sorteada uma bola da urna B. Qual é a probabilidade desta bola ser branca?. (UERJ 00) Numa sala existem cinco cadeiras numeradas de a. Antônio, Bernardo, Carlos, Daniel e Eduardo devem se sentar nestas cadeiras. A probabilidade de que nem Carlos se sente na cadeira, nem Daniel na cadeira, equivale a: a) % b) % c) % d) 9%. (PUC-SP 00) Um aluno prestou vestibular em apenas duas Universidades. Suponha que, em uma delas, a probabilidade de que ele seja aprovado é de 0%, enquanto na outra, pelo fato de a prova ter sido mais fácil, a probabilidade de sua aprovação sobe para 0%. Nessas condições, a probabilidade deque esse aluno seja aprovado em pelo menos uma dessas Universidades é de:. (Unicamp-SP 007) Dois prêmios iguais serão sorteados entre dez pessoas, sendo sete mulheres e três homens. Admitindo que uma pessoa não possa ganhar os dois prêmios, responda às perguntas abaixo. a) De quantas maneiras diferentes os prêmios podem ser distribuídos entre as dez pessoas? b) Qual é a probabilidade de que dois homens sejam premiados? c) Qual é a probabilidade de que ao menos uma mulher receba um prêmio?. (UFMG 007 adaptada) Um grupo de pessoas é formado por crianças (entre elas Paulinho) e adultos, dos quais possuem habilitação para dirigir automóvel. Com um automóvel de lugares ( na frente e atrás), tendo a restrição de que criança não pode viajar no banco da frente, escolhida ao acaso uma das maneiras de se efetuar a lotação do automóvel, a probabilidade de Paulinho não fazer parte da lotação é de: a) /7. b) /7. c) /. d) /. e) /. 7. (UP 0) Em janeiro de 00, na festa de aniversário (0 anos) do professor VALADARES, houve um sorteio de um SKATE. Os bilhetes foram numerados de a 0. Entretanto, foi anunciado que o número sorteado era par. Se o professor BORGINHO, convidado-irmão, só tinha bilhetes pares, qual era a probabilidade, em %, do professor BORGINHO NÃO ser sorteado? 8. (UFABC-SP) Uma firma realizou um concurso para selecionar alguns universitários que pretendem fazer estágio. A tabela apresenta as escolhas das carreiras dos estudantes inscritos, por sexo. Um desses estudantes é escolhido ao acaso, e sabe-se que ele é do sexo masculino. A probabilidade de este carreira masculino feminino estudante ter escolhido computação é de a) %. b) %. c) %. d) 0%. e) %. engenharia 8 computação matemática
APOSTILA - UP-GRADE 9. (UFMG 008) Considere uma prova de Matemática constituída de quatro questões de múltipla escolha, com quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma é correta. Um candidato decide fazer essa prova escolhendo, aleatoriamente, uma alternativa em cada questão. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de esse candidato acertar, nessa prova, exatamente uma questão é: 0. (PUC-RIO 00) Quatro moedas são lançadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa em uma só moeda? AULAS 0 e 0 SÉRIE CASA. (Vunesp 00) Duas máquinas A e B produzem juntas 000 peças em um dia. A máquina A produz 000 peças, das quais % são defeituosas. A máquina B produz as restantes 000 peças, das quais % são defeituosas. Da produção total de um dia, uma peça é escolhida ao acaso, e examinando-a, constatou-se que ela é defeituosa. Qual a probabilidade de que essa peça escolhida tenha sido produzida pela máquina A?. (FEI-SP) Em um exame de seleção com 800 candidatos, 00 ficaram reprovados em Matemática, 0 ficaram reprovados em Português e 0 ficaram reprovados em Matemática e Português. Se um dos participantes for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter sido reprovado em Matemática e aprovado em Português? a) / b) / c) / d) / e) /0. (UFRS 00) Em um jogo, dentre dez fichas numeradas com números distintos de a 0, duas fichas são distribuídas ao jogador, que ganhará um prêmio se tiver recebido fichas com dois números consecutivos. A probabilidade de ganhar o prêmio neste jogo é de: a) % b) % c) 0% d) % e) %. (Vunesp-SP) Um baralho consiste em 00 cartões numerados de a 00. Retiram-se cartões ao acaso (sem reposição). A probabilidade de que a soma dos dois números dos cartões retirados seja igual a 00 é: a) 9/90 b) 0/90 c) % d) 9/000 e) /8. (UERJ) Uma pesquisa realizada em um hospital indicou que a probabilidade de um paciente morrer no prazo de um mês, após determinada operação de câncer, é igual a 0%. Se três pacientes são submetidos a essa operação, calcule a probabilidade de, nesse prazo: a) todos sobreviverem; b) apenas dois sobreviverem.. (UFPE) Numa sala há 0 homens e 0 mulheres; metade dos homens e metade das mulheres têm olhos azuis. Uma pessoa, entre eles, é escolhida aleatoriamente. Podemos afirmar que a probabilidade dessa pessoa ser homem ou ter olhos azuis é: a) /. b) /. c) /. d) /. e) 0,. 7. (Unesp-SP) Dois dados perfeitos e distinguíveis são lançados ao acaso. A probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja ou é: a) 7/8. b) /8. c) 7/. d) 7/. e) /9. 8. (FEI-SP) Numa moeda viciada a probabilidade de ocorrer face cara num lançamento é igual a quatro vezes a probabilidade de ocorrer coroa. A probabilidade de ocorrer cara num lançamento desta moeda é: a) 0%. b) 80%. c) %. d) 0%. e) 0%. 9. (Mack-SP) Uma caixa contém bolas brancas, vermelhas e pretas. Retiradas, simultaneamente, três bolas, a probabilidade de pelo menos uma ser branca é: a) /. b) 7/. c) /9. d) /7. e) /
APOSTILA UP-GRADE 0. (FGV-SP) Uma moeda é viciada de tal forma que os resultados possíveis, cara e coroa, são tais que a probabilidade de sair cara num lançamento é o triplo da de sair coroa. a) Lançando-se uma vez a moeda, qual a probabilidade de sair cara? b) Lançando-se três vezes a moeda, qual a probabilidade de sair exatamente uma cara? DESAFIO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE. (UP 0) O professor ÊMIERRI elaborou uma prova de Matemática com questões, sendo de Análise Combinatória, de Probabilidade e de Funções. Diferentes versões da prova poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas questões. a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas? (0, ponto) b) O professor ÊMIERRI definiu as versões classe A da prova como sendo aquelas que seguem o seguinte padrão: as primeiras questões são de Análise Combinatória, a última deve ser uma questão de Probabilidade e, ainda mais: duas questões de Probabilidade não podem aparecer em posições consecutivas. Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas? (,0 ponto) c) KALANGO é um dos alunos que receberá uma prova que começa com questões de Análise Combinatória, qual é a probabilidade de que ele NÃO receba uma versão classe A? (0, ponto) (Questão modificada prova: http://www.fuvest.br/vest0/provas/fuv0_fase_dia.pdf) AULAS 0 e 0: RESPOSTAS SÉRIE AULA 0 / 0 C 0 /9 0 % 0 C 0 C 07 C 08 D 09 B 0 8% 70% 7/ C 8% (*) A 7 8% 8 C 9 7/ 0 % (*) ) a). b) /. c) /. AULAS 0 e 0: RESPOSTAS SÉRIE CASA 0 / 0 A 0 C 0 A 0 (*) 0 A 07 C 08 B 09 B 0 (**) (*) 0) a),%. b) 8,%. (**) 0) a) 7%. b) 9/. RESOLUÇÃO DO DESAFIO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE a) Considerando " Na " a quantidade que atende ao enunciado: N a P N a!. b) Análise Combinatória (AC): questões, Probabilidade (P): questões e, Funções (F): questões. 7 8 9 0 AC AC AC AC AC F P! F e P (não podem P juntas) Cálculo do número de maneiras distintas de dispormos as questões (nº a nº 0) tendo as questões de Probabilidade separadas:
APOSTILA - UP-GRADE Assim, teremos: (P P )! (! ()! ) P (P P ) 0 8 P (P P ) 7 P Resumindo, a quantidade "N " b de versões da classe A distintas da prova será: (! 7 ) c) Considerando " p" a probabilidade de o aluno KALANGO RECEBER a prova na versão classe A, num universo de [!) (7!)] ( provas que começam com questões de Análise Combinatória: (! 7 ) (! 7 ) p p p (! () 7! ) (! )7 Considerando " p" a probabilidade de o aluno KALANGO NÃO RECEBER a prova na versão classe A, no referido universo de provas que começam com questões de Análise Combinatória: N b p p p 9 p 9 Respostas: a)!. b)! 8. c).