Curso Wellington Matemática Arranjo e Combinação Prof Hilton Franco

Transcrição

1 1. A figura abaixo ilustra um bloco de massa igual a 8 kg, em repouso, apoiado sobre um plano horizontal. Um prato de balança, com massa desprezível, está ligado ao bloco por um fio ideal. O fio passa pela polia sem atrito. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície é µ = 0,2. Dispõe-se de 4 pequenos blocos cujas massas são: m1 = 300 g m2 = 600 g m3 = 900 g m4 = g Cada bloco pode ou não ser colocado no prato, de modo que o prato pode conter um, dois, três ou até todos os quatro blocos. Considerando-se a aceleração da gravidade com valor igual a 2 10 m / s, de quantas maneiras distintas é possível colocar pesos no prato, a fim de que o bloco entre em movimento? 2. Os alunos de uma escola realizam experiências no laboratório de Química utilizando 8 substâncias diferentes. O experimento consiste em misturar quantidades iguais de duas dessas substâncias e observar o produto obtido. O professor recomenda, entretanto, que as substâncias S 1, S 2 e S 3 não devem ser misturadas entre si, pois produzem como resultado o gás metano, de odor muito ruim. Assim, o número possível de misturas diferentes que se pode obter, sem produzir o gás metano é a) 16 b) 24 c) 25 d) 28 e) A figura abaixo ilustra um bloco de massa igual a 8 kg, em repouso, apoiado sobre um plano horizontal. Um prato de balança, com massa desprezível, está ligado ao bloco por um fio ideal. O fio passa pela polia sem atrito. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície é µ = 0,2. Dispõe-se de 4 pequenos blocos cujas massas são: Página 1 de 13

2 m m m m = 300 g = 600 g = 900 g = g Cada bloco pode ou não ser colocado no prato, de modo que o prato pode conter um, dois, três ou até todos os quatro blocos. Considerando-se a aceleração da gravidade com valor igual a 2 10 m / s, de quantas maneiras distintas é possível colocar pesos no prato, a fim de que o bloco entre em movimento? 4. As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão. Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e não as quantidades? a) 26 b) 24 c) 22 d) 30 e) Uma equipe de saúde tem 4 médicos e 6 enfermeiras. Quantas comissões de cinco profissionais, médicos e enfermeiras, podem ser formadas contendo, exatamente, dois médicos e três enfermeiras? a) 10 b) 20 c) 60 d) A prova da primeira fase de um vestibular terá 8 questões objetivas de Matemática, com 5 alternativas. Pretende-se que apenas duas dessas questões tenham a resposta correta indicada na alternativa E. O número de formas de se escolher essas duas questões é a) 28. b) 36. c) 48. d) 56. e) A cobrança do pedágio na BR-116, principal rodovia brasileira, foi iniciada na primeira semana de dezembro 2010, com postos autorizados pela Agência Nacional de Transportes Terrestres (ANTT). Suponha que entre as cidades A e B existem cinco postos de abastecimento, além de dois postos de pedágio o primeiro com quatro cabines e o segundo, com três. É possível fazer o percurso de A até B, passando pelos dois pedágios e parando três vezes para abastecimento, de n formas distintas (variando as cabines e os postos de abastecimento). O valor de n é a) 12 b) 22 c) 31 d) 120 e) Em um jogo lotérico, com 40 dezenas distintas e possíveis de serem escolhidas para aposta, são sorteadas 4 dezenas e o ganhador do prêmio maior deve acertar todas elas. Se a aposta mínima, em 4 dezenas, custa R$ 2,00, uma aposta em 6 dezenas deve custar: a) R$15,00. b) R$30,00. c) R$ 35,00. Página 2 de 13

3 d) R$ 70,00. e) R$ 140, Um colecionador deixou sua casa provido de R$5,00, disposto a gastar tudo na loja de miniaturas da esquina. O vendedor lhe mostrou três opções que havia na loja, conforme a seguir. 5 diferentes miniaturas de carros, custando R$4,00 cada miniatura; 3 diferentes miniaturas de livros, custando R$1,00 cada miniatura; 2 diferentes miniaturas de bichos, custando R$3,00 cada miniatura. O número de diferentes maneiras desse colecionador efetuar a compra das miniaturas, gastando todo o seu dinheiro, é a) 15 b) 21 c) 42 d) Uma fábrica produz sucos com os seguintes sabores: uva, pêssego e laranja. Considere uma caixa com 12 garrafas desses sucos, sendo 4 garrafas de cada sabor. Retirando-se, ao acaso, 2 garrafas dessa caixa, a probabilidade de que ambas contenham suco com o mesmo sabor equivale a: a) 9,1% b) 18,2% c) 27,3% d) 36,4% 11. O jogo da Mega-Sena consiste no sorteio de 6 números distintos entre 1 e 60. Um apostador escolhe 20 números distintos e faz todos os C 20,6 jogos possíveis de serem realizados com os 20 números. Se ele acertar os seis números sorteados, entre os vinte escolhidos, além da aposta sorteada com a sena, quantas apostas premiadas com a quina (cinco números corretos) ele conseguirá? a) 75 apostas b) 84 apostas c) C 20,5 apostas d) C 6,5 apostas e) 70 apostas 12. Um grupo de 6 alunos decide escrever todos os anagramas da palavra PERGUNTA. Esta tarefa será feita em vários turnos de trabalho. Em cada turno 3 alunos escrevem e os outros descansam. Para serem justos, decidiram escrever o mesmo número de anagramas em cada turno. Qual deve ser o número mínimo de anagramas, escrito por turno, de modo que não se repitam grupos de trabalho? a) 23 b) 720 c) 2016 d) 5040 e) TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: Uma rodovia que liga duas cidades X e Y possui telefones de emergência localizados de 4 em 4 quilômetros. Indo de X até Y por essa rodovia, Júlio passou por quatro postos de gasolina, Página 3 de 13

4 nesta ordem: P 1, P 2, P 3 e P 4. Júlio observou ainda que os quatro postos estavam localizados a 2 km de distância de um telefone de emergência. Sabe-se que: para ir de P 1 até P 4 passa-se por 15 telefones de emergência; para ir de P 1 até P 3 passa-se por 11 telefones de emergência; para ir de P 2 até P 4 passa-se por 7 telefones de emergência. 13. A distância, em quilômetros, entre os postos P 2 e P 3 é igual a a) 20. b) 18. c) 16. d) 12. e) Um funcionário da companhia responsável pela manutenção dos telefones de emergência viajará do posto P 2 até o posto P 4. Nesse trajeto, ele irá escolher dois telefones para fazer manutenção preventiva. Na volta, indo de P 4 até P 2, ele escolherá outros dois telefones para fazer manutenção preventiva. O número de maneiras distintas que esse funcionário tem para escolher como fará essa inspeção é igual a a) 35. b) 105. c) 210. d) 420. e) Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente 4 dos 9 sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro de 2009, com a condição de que não fossem utilizados 4 sábados consecutivos. Para atender às condições de reposição das aulas, o número total de conjuntos distintos que podem ser formados contendo 4 sábados é de: a) 80 b) 96 c) 120 d) No jogo da Mega Sena, um apostador pode assinalar entre 6 e 15 números, de um total de 60 opções disponíveis. O valor da aposta é igual a R$ 2,00 multiplicado pelo número de sequencias de seis números que são possíveis, a partir daqueles números assinalados pelo apostador. Por exemplo: se o apostador assinala 6 números, tem apenas uma sequencia favorável e paga R$ 2,00 pela aposta. Se o apostador assinala 7 números, tem sete sequencias favoráveis, ou seja, é possível formar sete sequencias de seis números a partir dos sete números escolhidos. Neste caso, o valor da aposta é R$ 14,00. Considerando que se trata de uma aplicação de matemática, sem apologia a qualquer tipo de jogo, assinale a única alternativa CORRETA. a) A aposta máxima custará R$ 5.005,00. b) Uma aposta com 14 números assinalados custará entre R$ 3.000,00 e R$ 3.050,00. c) Apostar dois cartões com dez números assinalados, ou cinco cartões com nove números assinalados, são opções equivalentes em termos de custo e de chance de ser ganhador do prêmio máximo. d) O custo de uma aposta com 12 números assinalados será inferior a R$ 1.830,00. e) Apostar um cartão com 13 números assinalados custará o dobro da aposta de um cartão com 12 números assinalados. Página 4 de 13

5 17. Um cofre eletrônico possui um painel com dez teclas numéricas e pode ser aberto por meio da digitação, em qualquer ordem, de três teclas distintas dentre seis habilitadas previamente pelo fabricante. Considere n o número máximo de conjuntos distintos de três teclas que abrem o cofre. Na figura em destaque, as teclas azuis representam as habilitadas previamente. Se o fabricante reduzisse para cinco o número de teclas habilitadas, haveria entre elas um total de m conjuntos distintos de três teclas distintas para abrir o cofre. Calcule o valor de n - m. 18. Considere como um único conjunto as 8 crianças 4 meninos e 4 meninas personagens da tirinha. A partir desse conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, que apresentam um número igual de meninos e de meninas. O maior valor de n é equivalente a: a) 45 b) 56 c) 69 d) Considere que um professor de arqueologia tenha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a seguir. Museus nacionais Masp São Paulo MAM São Paulo Ipiranga São Paulo Imperial Petrópolis Museus internacionais Louvre Paris Prado Madri British Museum Londres Metropolitan Nova York De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode escolher os 5 museus para visitar? a) 6 b) 8 c) 20 d) 24 e) 36 Página 5 de 13

6 20. Três casais devem sentar-se em 8 poltronas de uma fileira de um cinema. Calcule de quantas maneiras eles podem sentar-se nas poltronas a) de modo arbitrário, sem restrições; b) de modo que cada casal fique junto; c) de modo que todos os homens fiquem à esquerda ou todos os homens fiquem à direita de todas as mulheres. 21. O Programa Nacional de Tecnologia Educacional do MEC financia e instala laboratórios de informática nas escolas públicas de Educação Básica. Suponha que, no processo de licitação para a compra dos computadores destinados aos laboratórios, o MEC tenha a sua disposição 15 consultores técnicos, sendo que 10 são consultores júnior e 5 são consultores sênior. Dois fabricantes de computadores, sendo um da marca A e outro da marca B, resolveram participar do processo de licitação. Para decidir qual marca comprar, uma equipe de consultores técnicos testou as duas marcas durante uma semana. Os técnicos concluíram que a probabilidade de que ocorra um problema em computadores da marca A é de 1 2, da marca B é de 1 4, e, em ambas, é de Com base nestas informações, responda as seguintes perguntas: a) Se o MEC deseja designar 5 consultores técnicos para compor a equipe de testes, sendo que 3 são consultores júnior e 2 são consultores sênior, de quantas maneiras distintas podem ser escolhidos os 5 consultores? b) Durante os testes realizados, qual a probabilidade de que nenhuma marca tenha apresentado problema? Página 6 de 13

7 Gabarito: Resposta da questão 1: Do ponto de vista da Matemática: Seja P o peso total dos blocos que serão colocados no prato. O sistema entrará em movimento se P fat, ou seja, P µ N = µ P = 0, = 16 N. B Portanto, a soma das massas dos blocos que devemos colocar no prato deve ser maior do que ou igual a 1600 g. Isso ocorre se colocarmos os blocos: 2 e 4; ou 3 e 4; ou 1, 2 e 3; ou 1, 2 e 4; ou 1, 3 e 4; ou 2, 3 e 4; ou 1, 2, 3 e 4 (sete maneiras). Do ponto de vista da Física: (Fat)max = μ.n = 0, 2x80 = 16N e m 1= 300 g P 1= 3N m 2 = 600 g P 2 = 6N m 3 = 900 g P 3 = 9N m 4 = 1200g P 4 = 12N Para haver movimento á preciso que P > 16 As combinações possíveis são: P + P + P = P + P + P = P + P + P = P + P = P + P = Resposta da questão 2: Há 8 8! = = 28 modos de escolher duas substâncias dentre as 8 disponíveis. Por outro 2 2!6! lado, 3 = 3 dessas escolhas recaem em duas das três substâncias S 1, S 2 e S 3. Portanto, o 2 Página 7 de 13

8 número possível de misturas diferentes que se pode obter, sem produzir o gás metano, é 28 3 = 25. Resposta da questão 3: Do ponto de vista da Matemática: Seja P o peso total dos blocos que serão colocados no prato. O sistema entrará em movimento se P fat, ou seja, P µ N = µ P = 0, = 16 N. B Portanto, a soma das massas dos blocos que devemos colocar no prato deve ser maior do que ou igual a 1600 g. Isso ocorre se colocarmos os blocos: 2 e 4; ou 3 e 4; ou 1, 2 e 3; ou 1, 2 e 4; ou 1, 3 e 4; ou 2, 3 e 4; ou 1, 2, 3 e 4 (sete maneiras). Do ponto de vista da Física: (Fat)max = μ.n = 0, 2x80 = 16N e m 1= 300 g P 1= 3N m 2 = 600 g P 2 = 6N m 3 = 900 g P 3 = 9N m 4 = 1200g P 4 = 12N Para haver movimento á preciso que P > 16 As combinações possíveis são: P + P + P = P + P + P = P + P + P = P + P = P + P = Resposta da questão 4: [A] Seja n a quantidade de saladas de frutas que podem ser feitas considerando apenas os tipos de frutas. Segue que n = Página 8 de 13

9 Segue pelo teorema das linhas do triângulo de Pascal que = n = 32 n = 26. n 5 Resposta da questão 5: [D] C 4,2.C 6,3 =. = 6.20 = 120 2! 3! Resposta da questão 6: [A] Utilizando combinação simples, temos: 8! C8,2 = = 28 2!.6! Resposta da questão 7: [D] 4 5 5! Há = 4 modos de passar pelo primeiro pedágio, = = 10 maneiras de escolher !2! 3 postos para abastecer e = 3 modos de passar pelo segundo pedágio. 1 Portanto, pelo PFC, n = = 120. Resposta da questão 8: [B] Uma aposta em 6 dezenas abrange 6 6! = = !2! apostas mínimas de 4 dezenas. Portanto, o custo dessa aposta deve ser de R$ 2,00 15 = R$ 30,00. Resposta da questão 9: [B] Só poderá comprar: 1 carro e 1 livro C5,1 C3,1 = 5 3 = 15 2 livros e 1 bicho C3,1 C2,1 = 3 2 = 6 Somando: = 21. Resposta da questão 10: C 4,2 = escolhendo dois sucos de mesmo sabor. C 12,2 = escolhendo dois sucos aleatoriamente. Página 9 de 13

10 3. C P = C 4,2 12,6 = = 3 11 = 0,273 = 27,3% Resposta da questão 11: [B] Escolhendo jogos de 5 números na cartela premiada: C6,5 = 6. Para cada jogo com exatamente 5 números premiados(quina), temos 14(20 6) opções para o sexto número. Logo,14 6 = 84. Resposta da questão 12: Total de anagramas da palavra PERGUNTA: 8! = ! Número de grupos com 3 alunos(turnos): C6,3 = = 20. 3!.3! Número de anagramas escrito por turno: : 20 = Resposta da questão 13: [D] Supondo que cada posto esteja a 2km de distância do telefone mais próximo, considere a figura abaixo. Assim, P 2 dista = 12km de P 3. Resposta da questão 14: Supondo que cada posto esteja a 2km de distância do telefone mais próximo, considere a figura abaixo. 7 De P 2 a P 4 o funcionário poderá escolher dois telefones de 2 maneiras. De P 4 a P 2 ele 5 terá cinco telefones para fazer a manutenção. Logo, essa escolha poderá ser feita de 2 modos. Portanto, no trajeto de ida e volta, a manutenção poderá ser feita de 7 5 7! 5! = = = 210 maneiras distintas !2! 3!2! Resposta da questão 15: Sejam S 1, S 2, K, S9 os sábados de outubro e novembro de Há exatamente seis conjuntos distintos com quatro sábados consecutivos: Página 10 de 13

11 {S 1, S 2, S 3, S 4}, {S 2, S 3, S 4, S 5}, K, {S 6, S 7, S 8, S 9}. Além disso, podemos formar 9 9! = = !5! conjuntos distintos com quaisquer quatro sábados. Portanto, o resultado pedido é: = 120. Resposta da questão 16: a) Errada. C 15,6 = 5005, logo custará R$10.010,00 b) Errada. C 14,6 = 3003, logo custará R$ 6.006,00 c) Correta, 2.C 10,6 = = 420, e 5.C 9,6 = 5.84 = 420 (420.2 = 840,00) d) Errada. C 12,6 = 924, logo custará R$1848,00 e) Errada. C 13,6 = 1716, logo custará R$3432,00 ( x 1848,00) Resposta da questão 17: n = = m = = Logo: n m = = 10 Resposta da questão 18: 8 crianças ( 4meninos e quatro meninas) 1 menino e uma menina C 4,1. C 4,1 = 4.4 = 16 2 meninos e 2 meninas C 4,2. C 4,2 = 6.6 = 36 3meninos e 3 meninas C 4,3. C 4,3 = 4.4 = 16 4 meninos e 4meninas C 4,4. C 4,4 = 1.1 = 1 Somando, temos: = 69 Resposta da questão 19: [D] O professor pode escolher 3 museus no Brasil de 4 = 4 modos distintos e pode escolher 2 3 museus no exterior de 4 4! = = 6 2 2!2! maneiras. Portanto, pelo PFC, o professor pode escolher os 5 museus para visitar de 4 6 = 24 maneiras diferentes. Resposta da questão 20: 8! a) A8,6 = = ! ( ) Página 11 de 13

12 b) C 5,2. P = = 480 c) Cadeiras que ficarão vazias: C 8,2 = !.3!.2 = 2016 Resposta da questão 21: 10! 5! a) C10,3; C5, 2 =. = = !.7! 2!.3! b) Probabilidade de A ou B apresentar problema. P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A U B) = = Logo a probabilidade de não ocorrer problema será: P = 1 - = = 26% Página 12 de 13

13 Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 19/09/2011 às 00:31 Nome do arquivo: Arranjo e Combinação Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro Q/prova Q/DB Matéria Fonte Tipo Matemática...Cesgranrio/ Analítica Matemática...Espcex (Aman)/ Múltipla escolha Matemática...Cesgranrio/ Analítica Matemática...Fgv/ Múltipla escolha Matemática...Eewb/ Múltipla escolha Matemática...Uftm/ Múltipla escolha Matemática...Uesc/ Múltipla escolha Matemática...Unesp/ Múltipla escolha Matemática...Epcar (Afa)/ Múltipla escolha Matemática...Uerj/ Múltipla escolha Matemática...Uel/ Múltipla escolha Matemática...Uel/ Múltipla escolha Matemática...Insper/ Múltipla escolha Matemática...Insper/ Múltipla escolha Matemática...Uerj/ Múltipla escolha Matemática...Pucpr/ Múltipla escolha Matemática...Uerj/ Analítica Matemática...Uerj/ Múltipla escolha Matemática...Enem 2ª aplicação/ múltipla escolha Matemática...Ufes/ Analítica Matemática...Ufu/ Analítica Página 13 de 13