MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

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1 ANÁLISE COMBINATÓRIA ARRANJO SIMPLES PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) Importa a ordem dos elementos (PFC) n 1.n 2.n 3... total de possibilidades A p n ( n p)! Supondo que 5 colegas vão sair de carro, sentados nos 5 lugares disponíveis. De quantos modos podemos fazer isso, se: a) Todos souberem dirigir? b) Apenas três souberem dirigir? FATORIAL(!) ( n p) Oito atletas disputarão a final dos 100m rasos na Olimpíada. Desconsiderada a possibilidade de empate, então o número de maneiras diferentes de compor o podium, é de: ! 8! ! A ! 5! ( 8 3 )! n.(n 1).(n 2)...1 n N e n 2 Obs: 0! 1 e 1! 1 2! ! ! ! PERMUTAÇÃO SIMPLES (anagramas) Importa a ordem dos elementos (PFC) 01) Serão distribuídos 5 prêmios entre 5 pessoas, mas elas deverão se organizar em fila para recebê-los. De quantas maneiras distintas isto pode ser feito? Simplificação 6! 6.5.4! a) 30 4! 4! 8! ! b) 56 3!.5! ! 10! + 9! 9! 10.9! + 9! 9! c) 11 P 5 5! ) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra PEDRÃO? P 6 6! Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 1

2 PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO (anagramas) Importa a ordem dos elementos (FÓRMULA) 01) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra AMAR? 4! 4.3.2! P ! 2! 02) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra APROVAÇÃO? P, 2 α, β... α! β!... 9! ! 3! 2! 2.1 3! ! 20! ! A ! 18! ( 20 2 )! PEDRÃO ANÁLISE COMBINATÓRIA Macetão do Pedrão Não importa a ordem COMBINAÇÃO C p n p! ( n p)! PFC, ARRANJO,PERMUTAÇÃO SIMPLES (não precisa fórmula) Importa a ordem PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO α, β... α! β!... COMBINAÇÃO SIMPLES EXERCÍCIOS Não importa a ordem dos elementos (FÓRMULA) C p n p! ( n p)! ( n p) Considerando 20 times disputam o Campeonato Brasileiro da série A, calcule: 01) Três amigos irão ao teatro e seus ingressos permitem que escolham três poltronas, entre cinco pré-determinadas de uma mesma fila, para sentar-se. Nessas condições, de quantas maneiras distintas eles poderão se acomodar para assistir ao espetáculo? 02) Um cientista recebeu 5 cobaias para usar em seu estudo sobre uma nova vacina. Seus cálculos indicaram que o número de maneiras possíveis de escolher pelo menos 3 cobaias é: a) Quantos jogos de ida são disputados em uma única rodada? 03) Com o objetivo de manter a democracia, realizouse uma eleição para compor a equipe diretiva de um 20! 20! ! C ! ( 20 2! ) 2! 18! ! clube. Essa equipe deve ser composta por um diretor, um vice-diretor e um coordenador. Considerando que b) Quantos jogos são disputados, considerando as um grupo composto por 10 pessoas resolveu partidas de ida e de volta? participar desse processo e que qualquer uma delas 2.C 2 pode ocupar qualquer cargo, é correto afirmar que o número de equipes que se pode formar com esse 2 grupo é: 2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

3 04) Considere todos os números inteiros positivos que podem ser escritos permutando-se os algarismos do número Quantos dos números considerados são menores que 2341? 13) Considere um grupo formado por 7 homens e 5 mulheres do qual se quer extrair uma comissão constituída por 4 pessoas. Quantas são as comissões formadas por 2 homens e 2 mulheres? 05) Uma prova de matemática consta 8 questões das quais o aluno deve escolher 6. De quantas formas ele poderá escolher as 6 questões? 06) Com os algarismos 2, 3, 4, 6, 7 e 8, quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar? 07) Utilizando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números ímpares de 3 algarismos distintos podem ser formados? 08) A Copa do Mundo de Futebol, que foi realizada na Alemanha a partir de junho de 2006, contou com a participação de 32 seleções divididas em 8 grupos com 4 equipes cada, na primeira fase. Dado que, em cada grupo, as seleções jogaram entre si uma única vez, qual o total de jogos realizados na primeira fase? 09) A senha de acesso a um jogo de computador consiste em quatro caracteres alfabéticos ou numéricos, sendo o primeiro necessariamente alfabético. O número de senhas possíveis será: 10) De quantas formas podemos permutar as letras da palavra ELOGIAR de modo que as letras A e R fiquem juntas em qualquer ordem? 14) Três ingleses, quatro americanos e cinco franceses serão dispostos em fila (dispostos em linha reta) de modo que as pessoas de mesma nacionalidade estejam sempre juntas. De quantas maneiras distintas a fila poderá ser formada de modo que o primeiro da fila seja um francês? 15) A prova de um concurso é composta somente de 10 questões de múltipla escolha, com as alternativas A, B, C e D por questão. Sabendo-se que, no gabarito da prova, não aparece a letra A e que a letra D aparece apenas uma vez, quantos são os gabaritos possíveis de ocorrer? 16) Para colocar preço em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de código de barras formado por cinco linhas separadas por quatro espaços. Podem ser usadas linhas de três larguras possíveis e espaços de duas larguras possíveis. O número total de preços que podem ser representados por esse código é: 17) Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de vitaminas e 3 tipos de sais minerais e deseja combinar 3 desses nutrientes para obter um composto químico. O número de compostos que poderão ser preparados usando-se, no máximo, 2 tipos de sais minerais é: 11) Calcule o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR aparecem juntas e nesta ordem. 12) O número de permutações da palavra ECONOMIA que não começam nem terminam com a letra O é 18) O corpo clínico da pediatria de um certo hospital é composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto a crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas comissões distintas podem ser formadas nestas condições? 2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 3

4 19) A boa e velha Loteria Federal é a que dá ao apostador as maiores chances de ganhar, mas por não pagar grandes fortunas não está entre as loterias que mais recebe apostas. As mais populares são Mega-Sena, Quina, Loto-fácil e Lotomania. Na Lotofácil, o apostador marca 15 dos 25 números que constam na cartela e tem uma em chances, de acertar. Se fosse criada uma nova loteria, em que o apostador marcasse 10 dos 16 números disponíveis numa cartela, a chance de acertar uma aposta passaria a ser de uma em: 20) Aconteceu um acidente: a chuva molhou o papel onde Pafúncio marcou o telefone de Emingarda e apagou os três últimos algarismos. Restaram apenas os dígitos Observador, Pafúncio lembrou que o número do telefone da linda garota era um número par, não divisível por 5 e que não havia algarismos repetidos. Apaixonado, resolveu testar todas as combinações numéricas possíveis. Azarado! Restava apenas uma possibilidade, quando se esgotaram os créditos do seu telefone celular. Até então, Pafúncio havia feito quantas ligações? 21) Antônio e Bruno são membros atuantes do Grêmio Estudantil e estão se formando numa turma de 28 alunos. Uma comissão de formatura, com 5 membros, deve ser formada para a organização dos festejos. Quantas comissões podem ser formadas de modo que Antônio e Bruno sejam membros? 22) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Arthur e Felipe, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão? 23) De um grupo de 10 pessoas, entre as quais, Maria, Marta e Mércia, deseja-se escolher uma comissão com 4 componentes. Quantas comissões podem ser formadas, das quais participem Maria e Marta, mas Mércia não participe? 24) De quantas maneiras podemos classificar os 4 empregados de uma micro-empresa nas categorias A ou B, se um mesmo empregado pode pertencer às duas categorias? 25) Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de estado. Ao chegar ao local da reunião, descobriu que havia terminado. Ao perguntar ao porteiro o número de ministros presentes, ele disse: "Ao saírem, todos os ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão". Com base nessa informação, qual foi o número de ministros presentes ao encontro? 26) Num avião, uma fila tem sete poltronas dispostas como na figura abaixo: Os modos de Pedro e Ana ocuparem duas poltronas dessa fila, de modo que não haja um corredor entre eles, são em número de 27) Existem quantos números pares, de três algarismos, maiores do que 500? 28) Sobre uma reta são marcados 7 pontos, e sobre uma outra reta, paralela à primeira, 3 pontos. O número de triângulos, com vértices em três desses pontos, é: 29) Num camping existem 2 barracas disponíveis. O número de modos como se pode alojar 6 turistas, ficando 3 em cada uma, é: Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

5 30) Um campeonato de futebol de salão é disputado por várias equipes, jogando entre si, turno e returno. Sabendo-se que foram disputadas 272 partidas, determine o número de equipes participantes. GABARITO ANÁLISE COMBINATÓRIA 01) 60 02) 16 03) ) 09 05) 28 06) ) 48 08) 48 09) ) ) 24 12) ) ) ) ) ) 34 18) ) ) 23 21) ) 55 23) 21 24) 81 25) 06 26) 10 27) ) 84 29) 20 30) Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 5