RESUMO TEÓRICO AULA 0: NOÇÕES DE ROBABILIDADE.. INTRODUÇÃO rofessor Marcelo Renato Há certos fenômenos ou experimentos que, emora sejam repetidos muitas vezes e so condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. or exemplo, no lançamento de uma moeda perfeita, o resultado é imprevisível; não se pode determiná-lo antes de ser realizado. Não saemos se sairá cara ou coroa. Aos fenômenos (ou experimentos) desse tipo damos o nome de fenômenos aleatórios (ou casuais). Experimento aleatório é o processo cujo resultado é incerto (ou não previsível), entretanto, apresenta regularidade. elo fato de não saermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que uscamos os resultados prováveis, as chances, as proailidades de um determinado resultado ocorrer. A teoria das proailidades é um ramo da Matemática que cria, elaora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios... ESAÇO AMOSTRAL S É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. No lançamento de uma moeda perfeita (não viciada) o espaço amostral é S = { cara; coroa }; No lançamento de um dado não viciado: S = { ; ; ; ; ; 6 }; No lançamento de dois dados distintos, não viciados, o espaço amostral está representado ao lado: S = { (,); (,); (,);... ; (6,6) }, onde n (S) = 6 elementos. 6 (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) 6 (6,) (6,) (6,) (6,) (6,) (6,6)... DIAGRAMA DE ÁRVORE Exemplo: Um casal sadio pretende ter filhos (menino ou menina) em três gestações consecutivas, gerando um eê em cada gravidez. Apresente o espaço amostral para esta situação... EVENTO E É qualquer suconjunto do Espaço Amostral, ou seja, - - E S... (E está contido em S). No lançamento de um dado não viciado, o suconjunto E = { ; ; 6 } é o evento que acontece se o número mostrado na face de cima é par; No lançamento de dois dados não viciados, distintos, o suconjunto E = { (,6); (,); (6,); (,6); (6,); (6,6) }, composto por 6 elementos, é o evento que acontece se a soma dos números mostrados nas respectivas faces superiores determina uma soma maior ou igual a 0.
.. ROBABILIDADE DE UM EVENTO p(e) Supondo o espaço amostral S equiprovável: p( E ) número de casos favoráveis total de casos possíveis n( E ) n( S ) O número de casos favoráveis é o número de elementos do suconjunto E; O Total de casos possíveis é o número de elementos do espaço amostral S. todos os eventos têm a mesma chance de ocorrer. Exemplo: Considere dois dados, cada um deles com seis faces numeradas de a 6. Se os dados são lançados ao acaso, qual a proailidade das faces otidas darem soma maior ou igual a 8? (utilize o espaço amostral apresentado no item. acima) Verificamos que temos ( + + + + ) casos favoráveis em um total de 6 possíveis resultados. A proailidade que atende ao enunciado será: 6 Atenção: A unidade da grandeza presente no numerador (item.) tem que ser a mesma unidade da grandeza presente no denominador, ou seja, se no numerador fossem duplas de olas, conseqüentemente, no denominador deverá ser total de duplas de olas. Se fosse para determinar a proailidade de acertar a Mega-Sena com um único cartão com 6 dezenas marcadas, no numerador teremos o número representando um grupo de seis dezenas e no denominador teremos todos os grupos de 6 dezenas com 0 dezenas possíveis 0 0! 6. 6!! EXERCÍCIOS SÉRIE AULA ) (Darwin G) Em três lançamentos sucessivos de uma moeda perfeita: a) Apresente o espaço amostral usando o diagrama de árvore; ) Qual é a proailidade de serem otidas pelo menos caras? c) Qual é a proailidade de serem otidas exatamente caras? a) ) E {(K,K,K ), (K,K,C ), (K,C,K ), (C,K,K )} 8 ou 0% c) E c {(K,K,C ), (K,C,K ), (C,K,K )} c 8 ) (Darwin G) Numa urna temos olas verdes e olas vermelhas. Saendo-se que as olas só diferem entre si pelas cores, calcule a proailidade de, sorteando-se duas olas, numa única retirada, serem amas verdes.!!!!!! 0 0% - -
.. ROBABILIDADE DE EVENTOS INDEENDENTES SUCESSIVOS OU SIMULTÂNEOS Aqui temos o conectivo e que tem como significado a intersecção de eventos (regra do produto). Dois eventos são ditos independentes quando a ocorrência de um não influencia a ocorrência do outro. Se dois ou mais eventos independentes ocorrem seqüencialmente, a proailidade de ocorrência deles será calculada multiplicando os resultados otidos nas proailidades de cada evento isolado. E ) ) Exemplo: Numa urna foram depositadas olas verdes e olas vermelhas. Retiradas com reposição, qual a proailidade de otermos uma ola verde seguida de uma vermelha? Considerando E a proailidade de retirada da ola verde e E da ola vermelha: 6 ), ) ) ) ) ) ).6. ROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS INDEENDENTES (ROB. DE OCORRER O EVENTO A OU B) Aqui temos o conectivo ou que tem como significado a união de eventos (regra da adição). CASO : roailidade de ocorrer E ou E sendo que E ( eventos mutuamente exclusivos). E E ) ) ) Exemplo: Um aralho completo possui cartas dispostas em naipes onde, em cada naipe, a cartas são numeradas conforme apresentado ao lado: Se utilizarmos um aralho completo, qual a proailidade de sua retirada ser um valete ou um? Uma carta nº (Ás) Nove cartas com numeração de a 0 Uma carta Valete Uma carta Dama Uma carta Rei Como E E CASO : roailidade de ocorrer E ou E sendo que E ) ) ) E E. 7 E ) E ) ) ) E ) Exemplo: Retirando aleatoriamente uma carta de um aralho completo, qual a proailidade de oter uma dama ou uma carta de espadas? Considerando o evento E (dama) e o evento E (espadas): ), ) - - Saemos que existe a carta dama que tamém é do naipe espadas, ou seja, existe a proailidade E que é igual a /. E 6 E ) Resposta:.
.6.. EVENTOS COMLEMENTARES (ROBABILIDADE DE NÃO OCORRER UM EVENTO) Quando os eventos de um espaço amostral S, E e E são tais que E E E E S, E e E são chamados de eventos complementares. e Exemplo : No lançamento de um dado os eventos E (oter número menor que ) e E (oter número maior que ), além de mutuamente exclusivos E E são complementares E E S. ) e ) E ) 6 6 6 6 De um modo geral, se E e E são eventos complementares, E ). Em outras palavras, ( E ) ( E ). Exemplo : No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual a proailidade de não sair soma? O espaço amostral para o lançamento de dados distinguíveis é composto por 6 elementos; O evento E : sair soma, { (, ), (, ), (, ), (, ) } tem proailidade ) ( E ) ; 6 9 8 A proailidade do evento E : não sair soma será: ) ) 9 9 EXERCÍCIOS SÉRIE AULA (continuação) ) (Da Vinci) Uma pessoa tem sacolas de onés: uma para times de futeol, outra para times de asquete e outra para times de voley. Na ª sacola são rancos e verdes. Na ª sacola são pretos e 0 azuis. Na ª sacola são oito vermelhos e amarelos. Retirando um oné de cada sacola, determine a proailidade de serem: ª sacola (verde), ª sacola (preto) e ª sacola (amarelo). ) (Darwin G) Ao lançar um dado vermelho e um dado ranco, qual a proailidade de oter no dado ranco ou no dado vermelho? ) (Darwin G) Num sorteio, a urna A tem olas rancas e olas pretas. A urna B tem olas rancas e olas pretas. Foi retirada uma ola da urna A, não se sae sua cor, e foi colocada na urna B ; em seguida, foi sorteada uma ola da urna B. Qual é a proailidade desta ola ser ranca? - -
.7. ROBABILIDADE CONDICIONAL Em alguns prolemas o cálculo da proailidade de um evento A está condicionado ao conhecimento da proailidade de um evento B (independente de já ter ocorrido ou não o evento B), é a chamada roailidade Condicional. Muitos prolemas de proailidade condicional podem ser resolvidos reduzindo-se adequadamente o espaço amostral, a partir de uma informação parcial do resultado do experimento. Exemplo-: (UCC-S) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma, nos dois dados, é igual a 8, calcule a proailidade de ocorrer a face em um deles. É conhecido que o espaço amostral inicial S possui 6 elementos; Como já fomos informados de que a soma dos números nos dois dados vale 8 podemos reduzir o nosso espaço amostral S para S, onde S { (,6 ), ( 6, ), (, ), (, ), (, ) } n( S ) ; Assim, a proailidade de ocorrência da face em um dos dados será:. Exemplo-: (Darwin G) Em janeiro de 008, na festa de aniversário (0 anos) do professor KLOWIS, atizado KROVES, mestre em Biologia, houve um sorteio de um determinado prêmio. Os ilhetes foram numerados de a 0. Entretanto, foi anunciado que o número sorteado era par. Se o professor Marcelo Renato, convidado-irmão, só tinha ilhetes pares, qual era a proailidade, em %, do professor Marcelo Renato NÃO ser sorteado? É conhecido que o espaço amostral inicial S possui 0 elementos; Como já fomos informados de que o número sorteado é AR podemos reduzir o nosso espaço amostral S para S, onde S {,,6,, 0 } n( S ) ; pares O professor Marcelo Renato, com números pares, tinha a proailidade de ser sorteado igual a, porém, a sua proailidade de NÃO ser sorteado era de 8%. EXERCÍCIOS SÉRIE AULA (continuação) 6) (Da Vinci) Numa urna estão 00 olas, numeradas de até 00. Calcule as proailidades: a) Sortear número ímpar, saendo ser ele menor que. ) Sortear número par, saendo ser ele divisível por. - -
.8. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL (OCORRÊNCIAS REETIDAS) Seja uma experiência realizada com n tentativas independentes e com dois resultados possíveis em cada tentativa, sucesso ou fracasso (falha): Seja p a proailidade de ocorrência do evento E (sucesso) e " q p" a proailidade de ocorrência do evento E (fracasso). A proailidade de otermos r vezes o resultado desejado é dada por: Exemplo-: (Darwin G) Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a proailidade de otermos caras (K) e coroas (C)? n r nr p q r Assim, a proailidade de otermos caras (K) e coroas (C) em 6 lançamentos será: Uma das situações favoráveis pode ser representada 0 por: K K K C C C Saemos que os 6 elementos que compõem a situação favorável 6 poderão permutar entre si, fato esse que viailizará outras 0 0 condições favoráveis., 6!, K K K C C C 0 Resposta: 6!! 6 6, 6 6 Exemplo-: (Da Vinci) O professor-pesquisador Karall, médico geriatra do professor Siry (o papa da Matemática) constatou em uma pesquisa recente sore a fertilidade na ª idade que o professor Siry, num exame específico, apresentou a proailidade de gerar filhos do sexo feminino vezes maior do que a de gerar filhos do sexo masculino. Com ase na pesquisa do professor Karall, qual a proailidade de um casal (onde o homem tem as mesmas características de fertilidade que o professor Siry) gerar filhas e filhos em gestações sucessivas? Considerando H (filho) e M (filha), Considerando tamém que p é a proailidade do casal em questão gerar filho-h e p a de gera filha-m, H 6 p p 00% p p p 6 M 6 Uma das situações favoráveis pode ser representada por: M M H H H Saemos que os elementos que compõem a situação favorável poderão permutar entre si, fato esse que viailizará outras condições favoráveis.,!, M M H H H 0!!, Assim, a proailidade do nascimento de filhas (M) e filhos (H) em gestações sucessivas será: 0 6 6 EXERCÍCIOS SÉRIE AULA (continuação) 0 6 6 9,% 68 7) (FGV-S) Uma moeda é viciada de tal forma que os resultados possíveis, cara e coroa, são tais que a proailidade de sair cara num lançamento é o triplo da de sair coroa. 6 a) Lançando-se uma vez a moeda, qual a proailidade de sair cara? ) Lançando-se três vezes a moeda, qual a proailidade de sair exatamente uma cara? - 6 -
REVISÃO SÉRIE AULA R0) (FGV-S 008) Um carteiro leva três cartas para três destinatários diferentes. Cada destinatário tem sua caixa de correspondência, e o carteiro coloca, ao acaso, uma carta em cada uma das três caixas de correspondência. a) Qual é a proailidade de o carteiro não acertar nenhuma caixa de correspondência? ) Qual é a proailidade de o carteiro acertar exatamente uma caixa de correspondência? Considerando as caixas de correspondências A, B e C e as respectivas cartas a, e c, como as caixas são fixas, permutando-se as correspondências teremos as seguintes situações: A B C A B C A B C acertos acerto a c a c c a A B C A B C A B C a c acerto c a 0 acerto c a 0 acerto acerto a) a a ) 6 6 Respostas: a). ). R0) (FGV-S 008) Há apenas dois modos de Cláudia ir para o traalho: de ônius ou de moto. A proailidade de ela ir de ônius é 0% e, de moto, 70%. Se Cláudia for de ônius, a proailidade de chegar atrasada ao traalho é 0% e, se for de moto, a proailidade de se atrasar é 0%. A proailidade de Cláudia não se atrasar para chegar ao traalho é igual a: 0 0 roailidade de atrasar indo de ônius: % 00 00 70 0 roailidade de atrasar indo de moto: % 00 00 Assim, a proailidade de Cláudia chegar atrasada ao traalho, com os meios de transporte disponíveis, é: 7%. Conseqüentemente, a possiilidade de Cláudia não se atrasar para chegar ao traalho é: 00% 7% Resposta: 8%. 8% - 7 -
R0) (UFG-GO 007) Um grupo de 0 pessoas é formado por 8% de crianças, enquanto o restante é composto de adultos. Classificando esse grupo por sexo, sae-se que / dentre os de sexo masculino é formado por crianças e que / entre os de sexo feminino tamém é formado por crianças. Escolhendo-se ao acaso uma pessoa nesse grupo, calcule a proailidade dessa pessoa ser uma criança do sexo feminino. 8 Sendo C o número de crianças do grupo analisado, C 0 C crianças. 00 Considerando M o número total de pessoas (crianças ou adultos) do sexo masculino e F o número total de pessoas (crianças ou adultos) do sexo feminino, teremos: M F 0 M F Resolvendo o sistema acima encontramos M 90 e F 60 ; 60 O número de crianças do sexo feminino C F será: C F C F crianças. 6 A proailidade que atende ao enunciado será: ou 8%. 0 6 Resposta: 8%. R0) (UFG-GO 006) Em uma festa junina, com a finalidade de arrecadar fundos, uma comunidade vendeu 00 ilhetes, cada um com dois números distintos, totalizando mil números. Serão sorteados três prêmios, escolhendo-se ao acaso, sucessivamente, três números distintos entre esses mil números. Calcule a proailidade de uma pessoa, que comprou dois ilhetes, ganhar: a) o prêmio correspondente ao primeiro número sorteado; ) os três prêmios (deixe os cálculos indicados). a) ). 000 0 000 999 998 0 99 Respostas: a) /0 ) /(0..99). - 8 -
R0) (ITA-S 008 modificada) Considere o conjunto D { n IN ; n 6 } e H (D) formado por todos os suconjuntos de D com elementos. Escolhendo-se ao acaso um elemento B H, calcule a proailidade de a soma de seus elementos ser 8. Sendo E o conjunto formado por todas as duplas de números cuja soma é igual a 8, E {,8 }, {,8}, {,8 }, {,8},, { 90,9 }, { 9,9 } 9 SUBCONJUNTOS n(e ) 9 elementos. 6 6! n ( H ) n ( H )! 6! n ( H ) A proailidade que atende ao enunciado será: n(e ) n(h ) Resposta: /70. 9 6 6. 70 6 6 n(e ) n(h ) E H : R06) (FUVEST-S 008) Em um jogo entre edro e José, cada um deles lança, em cada rodada, um mesmo dado honesto uma única vez. O dado é cúico, e cada uma das suas 6 faces estampa um único algarismo de maneira que todos os algarismos de a 6 estejam representados nas faces do dado. Um participante vence, em uma certa rodada, se a diferença entre seus pontos e os pontos de seu adversário for, no mínimo, de duas unidades. Se nenhum dos participantes vencer, passa-se a uma nova rodada. Dessa forma, determine a proailidade de: a) edro vencer na primeira rodada. ) nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada. c) um dos participantes vencer até a quarta rodada. Considerando o espaço amostral representado pela taela aaixo: edro 6 (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) 6 (6,) (6,) (6,) (6,) (6,) (6,6) José a) ) a 0 a. 6 8 6. 6 9 NÃO há vencedor c) O jogo não tem vencedor após quatro rodadas se, e somente se, nenhum dos dois jogadores vencer em cada uma das quatro rodadas, o que ocorre com a proailidade aaixo; 6 N N N 9 9 9 9 9 6 6 Assim, a proailidade de um dos jogadores vencer até a quarta rodada (evento complementar do evento não haver vencedor nas quatro primeiras rodadas ), ou seja: c N 6 6 6 c 6 0 6 6 6 0 Respostas: a). ). c). 8 9 6 6-9 -
RESOSTAS SÉRIE AULA a) 6 (,) (,) (,) (,) (,) (,6) ) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) 6 (6,) (6,) (6,) (6,) (6,) (6,6) ) a) Moeda ) E {( K,K,K );( K,K,C );( K,C,K );( C,K,K )} 8 0% c) E {( K,K,C );( K,C,K );( C,K,K )} c c 8 Moeda Moeda ) % ) 6 ) 7 6a) 0% 6) 0% 7a) 7% 9 7) 6 RESOSTAS REVISÃO SÉRIE AULA R0) a). ). R0) 8%. R0) 8%. R0) a) /0 ) /(0..99). R0) /70. 6 0 R06) a). ). c). 8 9 6 6-0 -