1 MATEMÁTICA II Aula 13 Sistemas Lineares Professor Luciano Nóbrega 3º Bimestre
2 INTRODUÇÃO Em uma partida de basquete, dois jogadores marcaram juntos 42 pontos. Quantos pontos marcou cada um? Para responder a essa pergunta, considere x e y, respectivamente, o número de pontos que cada jogador marcou. Então, escreva, no espaço reservado, uma equação com duas incógnitas: Na equação que você escreveu: Se x = 30, qual o valor de y? Se y = 18, qual o valor de x? A situação anterior admite várias soluções, pois os dados da questão não são suficientes para determinar o número total de pontos marcados por cada jogador. EX: Dizemos que EQUAÇÕES LINEARES De modo geral, denomina-se 3x + 5y z = 23 é uma equação linear toda equação que pode ser escrita na equação linear com três forma: a 1.x 1 + a 2.x 2 + a 3.x 3 +... + a n.x n = b 1 incógnitas. Escreva uma equação Na qual: x 1, x 2, x 3,..., x n são as incógnitas de grau 1; linear qualquer com: a 1, a 2, a 3,..., a n são números reais denominados por a) DUAS INCÓGNITAS coeficientes das incógnitas ; b) CINCO INCÓGNITAS b1 é o termo independente, ou seja, quenão tem a incógnita como fator.
3 Denomina-se Sistema Linear m x n (lê-se: m por n), o conjunto S de m equações lineares com n incógnitas, que pode ser representado assim: a 11.x 1 + a 12.x 2 + a 13.x 3 +... + a 1n.x n = b 1 a 21.x 1 + a 22.x 2 + a 23.x 3 +... + a 2n.x n = b 2 S = a 31.x 1 + a 32.x 2 + a 33.x 3 +... + a 3n.x n = b 3............ a m1.x 1 + a m2.x 2 + a m3.x 3 +... + a mn.x n = b m 2x +3y = 13 SISTEMA 4 x 4 3x 5y = 10 é um sistema linear 2 x 2, com incógnitas x e y. Escreva um sistema linear 4 x 4, com incógnitas x, y, z e w. SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Dizemos que a n-upla (r 1, r 2, r 3,..., r n ) é solução de um sistema linear quando ela é, simultaneamente, solução de cada uma das equações lineares do sistema. Observe que (5,1) é solução do sistema abaixo. 2x +3y = 13 2.(5) +3.(1) = 13 3x 5y = 10 3.(5) 5.(1) = 10 27 Verifique se a tripla ordenada (1, 3, 2) é solução do sistema x + 2y + 3z = 1 4x y z = 3 x + y z = 6
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA O par ordenado que é solução de um sistema linear determina, num gráfico, o ponto de interseção das retas dadas pelas equações lineares. Em outras palavras, se fizermos o esboço do gráfico das retas dadas pelas equações, poderemos interpretar graficamente a solução do sistema linear, ou mesmo a inexistência dessa solução, ou ainda, as infinitas soluções. Equações que representam duas retas que se interceptam podem ser facilmente identificadas porque possuem diferentes coeficientes angulares. Exemplo: y = 2x 3 Coef. Ang. = 2 y = x +3 Coef. Ang. = 1 Equações que representam duas retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular e coeficientes lineares diferentes. Exemplo: y = 2x 3 Coef. Ang. = 2 y = 2x + 1 Coef. Ang. = 2 Equações que representam a mesma reta são equações com mesmo coeficiente angular e mesmo coeficiente linear ou são múltiplas. Exemplo: y = 2x 3 Se dividirmos a segunda equação por 3, 3y = 6x 9 veremos que são iguais. Faça a representação gráfica dos três sistemas lineares anteriores. 4
5 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Os sistemas lineares podem ser classificados de acordo com sua representação gráfica da seguinte maneira ao lado: Considere o sistema: 2x + y = 3 2x + y = 3 2x + y = 3 a 1 x +b 1 y = k 1 x + y = 3 4x + 2y = 6 4x + 2y = 1 a 2 x +b 2 y = k 2 Se NÃO há proporcionalidade entre os coeficientes das mesmas incógnitas, então temos um S.P.D (Sistema Possível e Determinado); Se há proporcionalidade entre os coeficientes das mesmas incógnitas e ela SE MANTÉM nos termos independentes, então temos um S.P.I. (Sist. Possível e Indeterminado); Se há proporcionalidade entre os coeficientes das mesmas incógnitas e ela NÃO SE MANTÉM nos termos independentes, então temos um S.I. (Sistema Impossível). Em resumo: a 1 b 1 SPD a 1 = b 1 = k 1 SPI a 1 = b 1 k 1 SI a 2 b 2 a 2 b 2 k 2 a 2 b 2 k 2 28 Classifique, justificando, os sistemas lineares abaixo: 4x 6y = 2 9x 6y = 1 x y = 3 6x 9y = 3 6x 9y = 3 3x 9y = 1
30 Resolva o sistema do exercício 29 utlizando a REPRESENTAÇÃO MATRICIAL O sistema linear Regra de Cramer a 1 x +b 1 y = k 1 pode ser escrito na a 1 b 1 x k 1 a 2 x +b 2 y = k 2 forma matricial como: a 2 b 2. y = k 2 Se fizermos o determinante da matriz dos coeficientes, obtemos D = a 1.b 2 a 2.b 1 Se D 0, então a 1.b 2 a 2.b 1 0 e a 1.b 2 a 2.b 1, logo a 1 b 1 então o sistema é SPD. Portanto, basta D 0 para que tenhamos um SPD. a 2 b 2 EXEMPLO: Represente o seguinte sistema na sua forma matricial: 29 Dado o sistema: 2x + 2y + 2z = 20 Verifique se o sistema é SPD; 2x 2y + 2z = 8 Verifique se as n-uplas ordenadas são 2x 2y 2z = 0 soluções: a) (2, 3, 5) b) (5, 3, 2) REGRA DE CRAMER Um sistema linear n x n, cujo determinante é D, é possível e determinado se, e somente se, D 0 e sua única solução é dada por: x = Dx / D ; y = Dy / D ; z = Dz / D... n = Dn / D Onde D x, D y, D z e D n são os determinantes obtidos substituindo-se, respectivamente a coluna dos coeficientes de x, y, z e n pela coluna dos termos independentes (coluna do 2º membro). Esse procedimento para solução de um sistema linear é denominado regra de Cramer. 6
REGRA DE CRAMER (continuação) Se D = 0, então o sistema é impossível (nenhuma solução) ou é possível e indeterminado (infinitas soluções), a diferença é que: no primeiro caso temos D x D y D z D n, enquanto que no segundo, temos D x = D y = D z = D n. 31 Sendo assim, verifique se o sistema é possível, em caso afirmativo, encontre o valor de y : 32 Utilize a Regra de Cramer para resolver o x + y + z = 6 sistema linear abaixo 4x + 2y z = 5 x + 3y + 2z = 13 33 Utilize a Regra de Cramer para resolver o sistema linear abaixo x + 10y 12z = 120 4x 2y 20z = 60 x + y + 5z = 10 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Significa determinar se um sistema é SPD ou SPI ou SI 34 Discuta os sistemas lineares abaixo: 7
Sistemas Equivalentes Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. Verifique que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S 1 e S 2 são equivalentes: S 1 ~ S 2. Propriedades Operatórias P1) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente. Exemplo: e e 8 P2) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K real, K 0, obtemos um sistema equivalente ao anterior. Exemplo: P3) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k real, K 0, obtemos um sistema equivalente ao anterior. Exemplo: *Substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por 1 com (II), obtemos: *Teorema de Jacobi Observe que S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas.
Sistemas escalonados A técnica do escalonamento facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares. Dizemos que um sistema está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Ou seja: Na 2ª equação temos 0.x e na 3ª equação tem 0.x + 0.y Para escalonar um sistema devemos utilizar as propriedades de sistemas equivalentes (de preferência P3, o Teorema de Jacobi), procurando anular todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações; Repetimos o processo com as demais incógnitas, procurando tornar o sistema na forma triangular. 35 Escalone os seguintes sistemas: x + y = 3 x y = 1 x + y + z = 10 x y + z = 4 2x 2y 2z = 0 x + y + z = 6 x + 2y z = 5 x + 3y + 2z = 13 9
10 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 36 (UFCE) A soma dos quadrados das soluções do sistema é: A) 34 B) 16 C) 4 D) 64 E) 25 37 (UFRN) Se a, b, e c são as soluções do sistema, então a. b. c vale: A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100 38 (UFPR) Se os sistemas e são equivalentes, então a 2 +b 2 é igual a: A) 1 B) 4 C) 5 D) 9 E) 10 39 (FGV SP) Seja ( a, b, c, d ) a solução do sistema então o produto a. b. c vale: A) 0 B) 12 C) 12 D) 24 E) 24 40 (UFMG) O sistema de equações terá uma única solução se: A) a = 5b B) 5ab = 0 C) a + 5b = 0 D) a 5b = 0 E) 5ab 0
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