RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 07/08/10 PROFESSORES: CARIBÉ E ROBERTO CIDREIRA Observe a tabela abaixo. Seja n o número da quadrícula em que, pela primeira vez, o número abaixo é maior que o de cima. Determine a soma dos algarismos de n. 1 4... n 1000 1004 1008 101...... 0 7 4 41...... Na linha que começa por 1000 temos uma P.A. de razão 4. Logo, cada um de seus termos é da forma 1000 + (n 1). 4 Na outra linha, também temos uma P.A., mas de razão 7, e seus termos são da forma 0 + (n 1). 7 Para que os números da segunda linha sejam maiores que os da primeira devemos ter: 0 + (n 1). 7 > 1000 + (n 1). 4 Daí, vem: 0 + 7n 7 > 1000 + 4n 4 n > 98 n > 7,666 Como n Z, o primeiro valor que satisfaz o problema é 8, cuja soma dos algarismos é 1.
Considere três trabalhadores: A, B e C. Trabalhando juntos, A e B executam certo trabalho em 10 dias. Trabalhando juntos, A e C levam 1 dias para realizar o mesmo trabalho; e, ainda trabalhando juntos, B e C precisam de 15 dias para realizá-lo. Se C executasse sozinho esse trabalho, levaria, aproximadamente: (Determine o valor mais próximo do resultado encontrado) Seja T a tarefa que eles realizam, e x, y e z os tempos que A, B e C levam, respectivamente, T T T para realizar tal tarefa. Em um dia, A, B e C realizam as seguintes frações da tarefa:, e. x y z Daí e do enunciado do problema podemos concluir três equações que formam o sistema. T x T x T y + T y = T 10 T T + = z 1 T T + = z 15 1 1 1 + = x y 10 1 1 1 + = x z 1 1 1 1 + = y z 15 I II III Fazendo I II, obtemos 1 1 1 = e somando esta equação com III, encontramos y z 60 1 = e y 1 y = 4. Substituindo ainda x 17 e z = 40 Resp.: 40 dias. Observe e classifique as afirmações abaixo como sendo verdadeiras ou falsas: I) Se um plano intercepta dois outros planos paralelos, então as interseções são retas paralelas. II) Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela a qualquer reta do outro. III) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos. IV) Se dois planos são paralelos, uma reta de um deles pode ser reversa a uma reta do outro. I) Verdadeiro II) Falso III) Falso IV) Verdadeiro Marque a alternativa correta: Resposta: Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras.
A figura a seguir representa a planificação de um poliedro convexo. O número de vértices deste poliedro é: O poliedro em questão tem 6 faces quadradas e 8 faces triangulares e, portanto, 14 faces ao todo. Número de arestas: 6 x 4 + 8 x A = = 4 Usando a relação de Euler, temos: V A + F = V 4 + 14 = V = 1 Portanto o poliedro tem 1 vértices. Resposta:.
Nesta figura, estão representados o cubo ABCDEFGH e o sólido OPQRST: Cada aresta do cubo mede 4 cm e os vértices do sólido OPQRST são os pontos centrais das faces do cubo. Então, é correto afirmar que a área lateral, total do sólido OPQRST mede: Aplicando Pitágoras ao triângulo QMT, temos: M QT = + QT = Vamos calcular a área do triângulo equilátero PQT: l 4 4 ( ) S = = = Como o sólido OPQRST tem 8 faces e todas são triângulos equiláteros congruentes entre si, então sua área lateral total será igual a 8 x cm, ou seja, 16 cm. Resposta: 16 cm.
Um prisma triangular reto cujas arestas da base medem 9 m, 10 m e 11 m, tem 0 m de altura e contém no seu interior água até o nível de 10 m. Neste prisma, será colocado um cubo maciço de aresta m, que ficará completamente submerso. Calcule, em metros, qual será o aumento no nível da água do prisma. Volume do cubo: V cubo = ( ) = 54 m Área da base do prisma: 9 + 10 + 11 p = = 15 S b = p.(p a). (p b). (p c) S b = 15. (15 11). (15 10). (15 9) S b =. 5. 4. 5.. S b = 0 m Sendo h o aumento no nível da água, temos que: S b. h = V cubo 0. h = 54 h = 1,8 m Resposta: 1,8
Uma esfera cuja superfície total tem x π cm de área, está inscrita num cone reto cujo diâmetro da base mede 10 cm e a área lateral mede 65 π cm. Sendo assim é correto afirmar que: h g R cone R cone = 5 S lcone = πrg = 65π π. 5. g = 65 π g = 1 h + R cone = g h + 5 = 1 h = 1 SECÇÃO MERIDIANA A Como os triângulos ACM e AOT são semelhantes, temos que: 1 8 R 8 10 = R = cm 5 1 T 0 R R 5 B M 5 C ÁREA TOTAL DA ESFERA S t = 4πR 10 = 4π = 400π 44,4π 9 cm S t = 44,4 cm Resposta: x é menor que 50.
Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência maior e mede 1 cm. A B Determine a área da região hachurada. ( + x) = (6 x) + 9 + 6x + x = 6 1x + x + 9 18x = 6 x = ÁREA HACHURADA S HAC = π. 6 π. π. π. = 6π 9π 9π 4π = 14π cm Resposta: 14π cm 6 x
O triângulo ABC (figura) tem área igual a 6 cm. Os pontos M e N são pontos médios dos lados AC e BC. Assim, a área da região MPNC, em cm, vale: BC S = NC S ABC MNC () 6 = S MNC S MNC = 9 cm S AMN = S MNC = 9 cm S PMN = 1. S AMN = cm S PMCN = S MNC + S PMN = 9 + = 1 cm Resposta: 1