VSTIULR UFP UFRP / 1999 2ª TP NOM O LUNO: SOL: SÉRI: TURM: MTMÁTI 2 01. O triângulo da ilustração abaixo é isósceles ( = ) e = = (isto é,, trissectam ): nalise as afirmações: 0-0) Os ângulos, e são congruentes. 1-1) Os triângulos e são congruentes. 2-2) = 3-3) Os ângulos e são congruentes. 4-4) Os triângulos, e têm mesma área. 02. Na ilustração abaixo, os segmentos,, têm mesma medida. O ângulo mede 23º. Qual a soma dos dígitos da medida em minutos do ângulo? 23 o 03. Qual o termo independente de x na expansão de 8 5 1 x + 3 x?
04. Uma senhora deseja substituir o tampo da mesa de sua sala de jantar por um tampo de vidro circular. ntretanto a porta de acesso à sala de jantar é retangular de largura 90 cm e altura 205 cm. Seja d o maior diâmetro, medido em cm, do tampo circular que passa pela porta. Indique o inteiro mais próximo de d. 4 05. onsiderando as regiões sombreadas nas figuras (), (), (), () e (), podemos afirmar que () () () () () (1) (2) (3) (4) (5) 0-0) (1) e (2) têm a mesma área. 1-1) (3) e (4) têm a mesma área. 2-2) (1) e (3) têm a mesma área. 3-3) (2) e (5) têm a mesma área. 4-4) (3) e (5) têm a mesma área. 06. Os preços por unidade de maçãs, pêras e mangas são R$0,30, R$0,70 e R$0,50, respectivamente. Júnior comprou um total de 20 unidades destas frutas e gastou R$12,00. m quanto o número de pêras excede o de maçãs? 07. figura abaixo contém seis círculos. Um designer pretende colorir as regiões em que fica dividido o círculo maior de forma que regiões tendo um mesmo arco de circunferência como fronteira sejam coloridas com cores diferentes. ssinale o número mínimo de cores a serem utilizadas.
08. Seja V o volume, em m 3, de uma piscina cujas formas e medidas são ilustradas nas figuras abaixo, indique o inteiro mais próximo de V. VIST SUPRIOR rco de circunferência com centro em P π P 3m 3m 1m 1m ORT VRTIL SGUNO π 09. Na ilustração abaixo é um losango de lado 2, FGH é um quadrado e F é um triângulo equilátero. F G H 0-0) O lado de FGH mede 3 3 1-1) F tem área 3 3 9/2. 2-2) tem área 2 3. 3-3) FG tem área 9/2 2 3. 4-4) diagonal de FGH mede 2. 10. Se a n é uma progressão geométrica de números reais positivos de razão 625 então log 5 a n é uma progressão aritmética de razão r. Indique r.
11. Um cubo com lados medindo 2 m é interceptado por um plano que corta 3 de suas arestas adjacentes à distância a cm de um dos seus vértices (veja ilustração abaixo). Sabendo que o volume do tetraedro 1 assim obtido é de do volume do cubo, 48 indique o inteiro mais próximo de 2 a a a a 12. Seja um triângulo retângulo em com = 16 cm e = 14 cm. Seja F o retângulo inscrito em com lados paralelos aos catetos (como ilustrado abaixo) e com maior área possível. Qual o inteiro que melhor aproxima esta área, em cm 2? F 13. Suponha que 1 + 3 é raiz da cúbica x 3 + ax + b = 0 com a, b inteiros. Indique a 2 + b 2. 14. figura abaixo ilustra dois retângulos, e FGH onde mede 3 cm e é o ponto médio de FG. Qual é a área do retângulo, em cm 2?
F 45 O H G 15. Seja P um ponto interior do tetraedro regular de aresta 2 6. Qual a soma das distâncias de P às faces do tetraedro? 16. Qual o volume de um tronco de pirâmide sabendo que suas bases são quadrados de lados 4 e 6 situados em planos paralelos cuja distância é 3? 17. nalise as afirmações: 0-0) xiste um quadrilátero convexo com lados medindo 3, 4, 5 e 13. 1-1) ois triângulos possuindo um lado medindo 3, outro medindo 4 e um ângulo de 30º são congruentes. 2-2) Triângulos com um ângulo medindo 15º e outro medindo 75º são semelhantes. 3-3) Um quadrilátero convexo com dois ângulos internos opostos medindo 100º e 80º é inscritível numa circunferência. 4-4) Triângulos retângulos tendo hipotenusa medindo 10 e um cateto medindo 6 são congruentes. 18. onsidere uma caixa em forma de cubo cujos lados medem l cm onde pode-se colocar: 1 bola de raio l / 2 ou 8 bolas de raio l / 4 ou 64 bolas de raio l / 8 ou... 8 r bolas de raio l / 2 r+1, onde r é natural. Seja V r o volume da região da caixa não ocupada após colocarmos as 8 r bolas de raio l / 2 r+1. Podemos afirmar que:
0-0) V 0 > V r para todo r 1 1-1) V 5 < V r para todo r 5 2-2) V 1 = V 2 3-3) V r independe de r 4-4) V r < V r + 1 para todo r 19. om vértices em 10 pontos escolhidos numa circunferência constroem-se todos os polígonos convexos possíveis. Indique a soma dos dígitos do número de tais polígonos. 20. Seja N={0, 1, 2, 3,...} o conjunto dos naturais e f : N x N N (m, n) 2 m (2n+1) nalise as afirmações: 0-0) f é injetora 1-1) f é sobrejetora 2-2) f é bijetora 3-3) imagem de f consiste dos números pares 4-4) imagem de f não contém primos. 21. Seja um quadrado de lado 10 e KLM um triângulo inscrito no quadrado (ou seja, K, L, M são pontos não colineares do quadrado). nalise as afirmações: 0-0) Se K, L, M são vértices do quadrado então a área de KLM é 50. 1-1) Se L, M são vértices do quadrado então a área de KLM é 50. 2-2) Se L, M são vértices do mesmo lado do quadrado e K está no lado oposto do quadrado então a área de KLM é 50. 3-3) Se K está em, L em e M em então a área de KLM é 5KN onde N é a interseção entre o lado LM e a perpendicular a passando por K. 4-4) área de KLM é no máximo 50. 22. Seja a bissetriz do ângulo interno do triângulo. Sabendo que = 6 e os ângulos e medem 36º, assinale ( 3 1) 5 / +. 23. Sejam,,, quatro pontos no espaço tais que não existam três deles numa mesma reta. Sejam M, N, P, Q os pontos
médios de,,, respectivamente. nalise as afirmações: 0-0) O segmento MN é paralelo ao segmento. 1-1) O segmento MN é paralelo ao segmento PQ. 2-2) M, N, P, Q podem não ser coplanares. 3-3) MNPQ é um paralelogramo. 4-4) NP e QM têm a mesma medida. 24. onsidere dois quadrados idênticos, cujos lados medem 16 cm, de modo que um vértice de um deles está situado no centro do outro. Seja a área da região comum aos dois quadrados medida em cm 2. Qual é o maior valor possível de? 25. entre as circunferências contendo um setor circular de perímetro 16, qual o raio da que contém este setor com área máxima? 26. alcule a soma dos raios das circunferências com centro no ponto (1, 3) que são tangentes à circunferência com centro (7, 11) e raio 1. 27. Se r é o raio da circunferência inscrita no triângulo de lados medindo 4, 5, 7 assinale r 6. 28. Um triângulo tem lados medindo = 12, = 15 e = 18. Sejam M, N nos lados, respectivamente, tais que M = 3, N = 12. Seja P a interseção da reta por M, N com reta por,. etermine P. 29. figura abaixo ilustra um quadrilátero inscritível. Sabendo que = 6, = 8, = 7 e o ângulo mede 120º, qual o inteiro mais próximo da área de?
6 120 O 8 7 30. Sobre os lados de um triângulo constroem-se triângulos equiláteros de lados,, e as circunferências circunscritas a estes como ilustrado na figura abaixo. Sejam P e Q escolhidos nas circunferências da figura que passam por, e, respectivamente e tais que P, Q e são colineares. Seja R a interseção de P e Q. nalise as afirmações: Q 0-0) R é interno à circunferência contendo,. 1-1) R está na circunferência por,. 2-2) O triângulo PQR é equilátero. 3-3) O ângulo P mede 60º. 4-4) QR = PR. 31. Na ilustração a seguir é um quadrado de lado 10, a circunferência tem raio 5 e centro no ponto médio M de e T é tangente à circunferência em T. alcule o inteiro mais próximo da área do triângulo hachurado T. P
M T 32. ado um triângulo, considere o triângulo F onde é ponto médio de, é ponto médio de F e é ponto médio de (veja ilustração abaixo). F Podemos afirmar que: 0-0) é semelhante a F. 1-1) Se é retângulo então F é retângulo. 2-2) área de F é o quádruplo da de. 3-3) Os baricentros de e F coincidem. 4-4) Se é equilátero então F é equilátero.