A Teoria de Probabilidade é responsável pelo estudo de fenômenos que envolvem a incerteza (é impossível prever antecipadamente o resultado) e teve origem na teoria de jogos, servindo como ferramenta para modelar jogos de azar, como cartas e dados.
Um experimento é dito determinístico quando repetido em condições semelhantes conduz a resultados essencialmente idênticos. Um experimento que repetido sob as mesmas condições produzem resultados geralmente diferentes são ditos experimentos nãodeterminísticos ou aleatórios. Fenômenos aleatórios ocorrem constantemente no nosso dia a dia.
Exemplo 1: O lançamento de uma moeda é um experimento aleatório, uma vez que, em cada lançamento, mantidas as mesmas condições, não podemos prever qual das duas faces (cara ou coroa) cairá para cima.
Exemplo 2: Se colocarmos uma panela com água para ferver e anotarmos a temperatura de ebulição da água, o resultado será sempre 100⁰C. Logo, este é um experimento determinístico.
A Teoria das Probabilidades é responsável por criar, desenvolver e pesquisar modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos ou fenônemos aleatórios. Antes, vejamos alguns exemplos de experimentos aleatórios:
E 1 : Joga-se um dado e observa-se o número mostrado na face de cima. E 2 : Joga-se uma moeda quatro vezes e observase o número de caras obtido. E 3 : joga-se um dado até se obter um seis e conta-se o número de lançamentos.
E 4 : Em uma linha de produção, fabrica-se peças em série e conta-se o número de peças defeituosas produzidas em um período de 24 horas. E 5 : Compra-se uma lâmpada e verifica se ela queima ou não antes de 100h de uso.
Experimentos Aleatórios Os experimentos aleatórios apresentam as seguintes características: a) cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas. b) apesar de não ser possível afirmar que resultado particular ocorrerá, podemos descrever o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento.
Experimentos Aleatórios c) quando o experimento for realizado repetidamente, os resultados individuais parecerão ocorrer de forma acidental. No entanto, quando o experimento for repetido um grande número de vezes, uma configuração definida ou regularidade surgirá. É esta regularidade que torna possível construir um modelo matemático preciso, com o qual se analisará o experimento.
Experimentos Aleatórios Definição: Denominamos de espaço amostral, o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Geralmente, representamos o espaço amostral por Ω. Quando o espaço amostral é finito ou infinito enumerável, ele é chamado espaço amostral discreto. Caso contrário, isto é, quando Ω é não-enumerável, vamos chamá-lo de espaço amostral contínuo.
Experimentos Aleatórios Definição: Os subconjuntos de Ω serão chamados de eventos. Os elementos de Ω são chamados eventos elementares. Os eventos, sendo conjuntos, serão representados por letras maiúsculas, enquanto os elementos de um evento serão representados por letras minúsculas.
Exemplo 3: Como exemplo ilustrativo, consideremos um espaço amostral com três elementos: Ω = {ω 1, ω 2, ω 3 }. O possíveis eventos aleatórios são: Ø, {ω 1 }, {ω 2 }, {ω 3 }, {ω 1, ω 2 }, {ω 1, ω 3 }, {ω 2, ω 3 }, {ω 1, ω 2, ω 3 }. Neste caso, os eventos elementares são: {ω 1 }, {ω 2 } e {ω 3 }.
Exemplo 4: Lança-se uma moeda e observa-se a face voltada para cima. Neste caso, o espaço amostral é: Ω = {cara, coroa} Temos 4 eventos possíveis: Ø, A ={cara}, B = {coroa} e Ω
Operações com eventos: Sejam A e B eventos em um mesmo espaço amostral Ω. Então: a)aubéoevento que ocorre se, e somente se, ocorre o evento A ou ocorre o evento B, isto é, ocorre pelo menos um dos eventos A e B. Note que isso significa que pode ocorrer somente A, ou somente B ou A e B simultaneamente.
b)a Béoevento que ocorre se, e somente se, ocorrem ambos os eventosaeb. c) A B é o evento que ocorre se, e somente se, ocorre o evento A mas não ocorre o evento B. d) A c, chamado de evento complementar de A, é o evento que ocorre se, e somente se, o evento A não ocorre.
e) SeA 1,A 2,...,A n for qualquer coleção finita de eventos, então n A j será o evento que ocorrerá se, e somente se, ocorrer pelo menos um dos eventosa j. j= 1 f) SeA 1,A 2,...,A n for qualquer coleção finita de eventos, então n j= 1 será o evento que ocorrerá se, e somente se, todo os eventos A j ocorrerem. A j
g) SeA 1,A 2,..., for qualquer coleção infinita (enumerável) de eventos, então j=1 A j será o evento que ocorrerá se, e somente se, ocorrer pelo menos um dos eventosa j. h) SeA 1,A 2,..., for qualquer coleção infinita (enumerável) de eventos, então será o evento que ocorrerá se, e somente se, todos os eventosa j ocorrerem. j= 1 A j
Definição: Dizemos que dois eventos A e B são mutuamente excludentes (ou mutuamente exclusivos ou disjuntos), se eles não puderem ocorrer ao mesmo tempo, ou seja, quando a ocorrência de um impossibilita a ocorrência do outro. Isto significa dizer que os eventos A e B não têm elementos em comum e escrevemos : A B =Ø.
Exemplo: Consideremos o experimento lançamento de dois dados e sejam os eventos A = soma das faces é ímpar e B = duas faces iguais. Então, A e B são mutuamente exclusivos porque a soma de dois números iguais é sempre um número par.
Definição: Suponha que um experimento seja repetido n vezes e seja A um evento associado a ele. Considere n A o número de vezes que o evento A ocorre nas n repetições. Denominamos frequência relativa do evento A nas n repetições do experimento como sendo o número: f A = n A n
Propriedades: A frequência relativa f A apresenta as seguintes propriedades:
Definição frequencista de probabilidade: Nosso objetivo é associar um número a cada evento A de um espaço amostral Ω, o qual nos indicará quão provável será a ocorrência de A quando o experimento for realizado. Uma maneira seria repetir o experimento um grande número de vezes, calcular a frequência relativa f A e utilizar esse número.
De acordo com a definição frequencista, a probabilidade de um evento A é definida como sendo o limite de f A quando n tende ao infinito, ou seja:
1) A definição frequencista de probabilidade pressupõe a realização de experimentos e a observação dos resultados obtidos. 2) Na definição frequencista, a probabilidade é o limite de uma frequência relativa, ou seja, a probabilidade de um evento A é o valor para o qual a freqüência relativa de A converge.
2) Isso porque, em um número grande de realizações de um experimento aleatório, a frequência relativa de um evento tende a se estabilizar. Esse valor de estabilidade é a probabilidade do evento e, é independente de quem realiza o experimento. A probabilidade assim determinada é denominada probabilidade estatística.
3) A frequência relativa de um evento é um valor associado a um evento que já ocorreu. Por outro lado, a probabilidade é um valor associado a um evento que ainda não ocorreu. Por isso, a relação entre incerteza e probabilidade (medida da incerteza).
4) Com a realização de novos experimentos (mantido invariável o conjunto de condições sob as quais o experimento é realizado) as probabilidades frequenciais podem mudar. Por exemplo, quando jogamos uma moeda equilibrada 10 vezes, é possível que venha ocorrer 9 caras e 1 coroa.
4) Neste caso, a frequência relativa do evento A={ocorrer cara} seria igual 9/10. Entretanto, é evidente que nas próximas 10 jogadas o padrão de caras e coroas pode inverter. O que desejamos é um meio de obter a probabilidade sem recorrer à experimentação.
5) A definição frequencista de probabilidade não é suficiente, pois pressupõe que o espaço amostral seja enumerável. 6) Quando dizemos que o experimento deve ser realizado um grande número de vezes, temos um problema. Quantas vezes deve-se repetir o experimento: 500, 1000, 1000000? Essa quantidade de realizações é fixa de experimento para experimento? Além disso, o número que estamos procurando não deve depender do experimentador e nem de sorte.
Definição axiomática de Probabilidade Definição: Seja Ω um espaço amostral associado a um experimento aleatório. Para cada evento A associaremos um número real denotado por P(A) e denominado probabilidade de A, que satisfaça às seguintes condições: 1) 0 P(A) 1 para todo evento A Ω. 2) P(Ω) = 1. 3) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos entãop(a UB) =P(A) +P(B).
Definição axiomática de Probabilidade Por enquanto não sabemos como calcular P(A). Antes disso, veremos algumas propriedades de P(A) que serão úteis em diversos problemas e que decorrem das condições acima e não dependem da maneira pela qual se calculap(a).
Definição axiomática de Probabilidade Propriedades:
Probabilidades para Espaços Amostrais Finitos Exemplo 1: Suponhamos que somente três resultados sejam possíveis em um experimento, a saber, a 1, a 2 e a 3. Além disso, suponha que a 1 seja duas vezes mais provável de ocorrer que a 2, o qual por sua vez é duas vezes mais provável de ocorrer que a 3. Determinep 1,p 2 ep 3.
Resultados Igualmente Prováveis Em muitos experimentos, é natural supor que todos os resultados para espaços amostrais finitos sejam igualmente prováveis, ou seja, tem a mesma chance de ocorrer. Mas essa hipótese não pode ser tomada como segura. Ela deve ser cuidadosamente justificada. Há vários experimentos para os quais tal hipótese é verdadeira, mas existem outras situações experimentais nas quais seria absolutamente errado aceitar tal suposição.
Por exemplo, não seria real supor que seja igualmente provável ocorrerem chamadas telefônicas em um centro entre 1 e 2 horas da madrugada e entre 17 e 18 horas da tarde.
Definição axiomática de Probabilidade Exemplo 2: Três moedas são jogadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de obter duas caras? Qual é a probabilidade de obter pelo menos duas caras?
Definição axiomática de Probabilidade Exemplo 3: Um número de 1 a 300 é escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que ele seja divisível por 3 ou por 5.