Aula 4 Limites. Uma introdu»c~ao intuitiva Nos cap ³tulos anteriores, zemos uso de um ite especial para calcular derivadas: f 0 f(+ ) f() () =.!0 Neste cap ³tulo veremos os ites como ferramentas de estudo do comportamento de fun»c~oes reais, provendo informa»c~oes importantes sobre seus gr a cos. A de ni»c~ao formal de ite e matematicamente so sticada, requerendo muitas horas de estudo para ser entendida. O leitor interessado poder a encontr a-la em bons livros-tetos de c alculo. Ocorre por em que a de ni»c~ao de ite tem pouca ou nenhuma serventia quando queremos calcular ites. Faremos uma eplora»c~ao intuitiva do conceito de ite e de suas propriedades, atrav es de eemplos e interpreta»c~oes gr a cas. Eemplo 4. Considere a fun»c~ao f() =2 +3. Quando assume uma in nidade de valores aproimando-se mais e mais de 0, on umero 2 +3assume uma in nidade de valores aproimando-se de 2 0+3=3. Dizemos que o ite de f(), quando tende a 0, eiguala3, e escrevemos f() =3!0 Suponhamos que f() e umafun»c~ao real de nida em uma reuni~ao de intervalos, e que 0 e um ponto no interior ou no etremo de um desses intervalos. Os matem aticos dizem que f() =L (L 2 R) quando podemos fazer f() arbitrariamente pr oimo!0 de L, tomando su cientemente pr oimo de 0, mantendo 6= 0.Noeemploacima, podemos fazer f() pr oimo de 3 o quanto quisermos, bastando tomar bem pr oimo de 0. Eemplo 4.2 Aqui temos uma lista de eemplos intuitivos. 28
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 29. = a!a (a 2 R) 2. n = a n!a (n 2 N, a 2 R) 3. Sendo p() =a n n + a n n + + a + a 0,(a n ;::: ;a 0 todos reais), p() =a n n 0 + a n n 0 + + a 0 + a 0 = p( 0 )! 0 3 3 ( 3 3) 4.!2 2 + =!2!2 (2 +) = 8 3 4+ = De ni»c~ao 4. Nos eemplos acima, de ites com tendendo a 0, tivemos sempre 0 no dom ³nio de f e f() =f( 0 ). Quando isto ocorre, dizemos que f e!0 cont ³nua no ponto 0. No pr oimo eemplo, temos um ite em que! 0,mas 0 n~ao est a no dom ³nio de f. Eemplo 4.3 Calcular!2 3 8 2. Solu»c~ao. Note que, sendo f() = 3 8, temos que 2 62 D(f). Quando se aproima 2 de 2, 3 se aproima de 8. Umc alculo direto nos d a ent~ao 3 8!2 2 = 0 0 Este resultado, 0=0, e muito comum no c alculo de ites, e n~ao tem signi cado como valor de um ite. A epress~ao 0=0 e um s ³mbolo de indetermina»c~ao ocorrendo em uma tentativa de c alculo de um ite. A ocorr^encia desta epress~ao signi ca que o ite ainda n~ao foi calculado. Para evitar o s ³mbolo de indetermina»c~ao 0=0, neste eemplo fazemos 3 8!2 2 =!2 ( 2)( 2 +2 +4) 2 =!2 ( 2 +2 +4) (pois 2 6= 0) =2 2 +2 2+4=2 Eemplo 4.4 (C alculo de um ite com mudan»ca de vari avel)!0 3p + =?
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 30 Um c alculo direto nos d a 0=0, uma indetermina»c~ao. Fazendo = 3p +,temos 3 = +,eportanto = 3. Quando tende a 0, tende a (em s ³mbolos: se! 0, ent~ao! ). E a ³ temos!0 3p + =! 3 =! ( )( 2 + +) =! 2 + + = 3 4. Limites in nitos. Limites no in nito Consideremos agora a fun»c~ao f() =. Temos que o dom ³nio de f e o conjunto dos 2 n umeros reais diferentes de 0: D(f) =R f0g. Observe a tabela 4.. Ali zemos uso do fato de que f e uma fun»c~ao par: f( ) = f() para todo 2 D(f). Na primeira coluna da tabela 4., temos valores de cadavezmaispr oimos de 0. Na ultima coluna, vemos que os valores correspondentes de f() tornam-se cada vez maiores. Neste eemplo, podemos fazer f() ultrapassar qualquer n umero positivo, tomando su cientemente pr oimo de 0. Dizemos que o ite de f(), quando tende a 0 e \+ in nito", e escrevemos f() =+!0 ou seja,!0 2 =+ A interpreta»c~ao geom etrica de!0 (= 2 )=+ pode ser visualizada na gura 4., onde temos um esbo»co do gr a co da curva == 2. Agora observe a tabela 4.2. Notamos agora que, µa medidaque cresce inde nidamente, assumindo valores positivos cada vez maiores, f() = torna-se cada vez mais 2 pr oimo de 0. Istotamb em e sugerido pela gura 4.. Neste caso, dizemos que o ite de f(), quando tende a \+ in nito", e iguala0, e escrevemos!+ 2 =0
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 3 Tabela 4.. 2 f() = 2 00 0; 5 0; 25 25 00 0; 2 0; 04 =25 4 0; 0; 0 00 0; 0 0; 000 0000 0; 00 0; 00000 000000 6 8 4 2-2 - 0 2 Figura 4.. = 2 =+, ouseja,µamedidaque se aproima de 0, = f()!0 torna-se cada vez maior. Tamb em!+ =2 =0,ouseja,µamedidaemque cresce, tomando valores cada vez maiores, f() aproima-se de 0. E ainda! =2 =0. Nas tabelas 4. e 4.2 tamb em ilustramos: Tamb em podemos facilmente inferir!0 2 = 0!+ 2 =+! 2 =+! 2 =0 Com estes eemplos simples damos in ³cio µa nossa algebra de ites:
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 32 Tabela 4.2. 2 f() = 2 2 4 =0; 25 4 5 25 =0; 04 25 0 00 0; 0 00 0000 0; 000 0 3 0 6 0 6 (+)+(+) =+ ( )+( ) = ( ) 2 =+ (+)( ) = (+) 3 =+ ( ) 3 = ( ) (inteiro positivo par) =+ ( ) (inteiro positivo ³mpar) = =0 + + c =+ (c constante) + c = (c constante) c (+) = + c = ( ( + se c>0 se c<0 + se c>0 se c<0 c ( ) = c = ( ( + se c<0 se c>0 + se c<0 se c>0 Mas aten»c~ao! Cautela com essa nova \aritm etica"! Os \resultados", (+) (+), ( )+(+), 0 ( ) s~ao novos s ³mbolos de indetermina»c~ao. Nada signi cam como valores de ites. Se chegarmos a algum deles no c alculo de um ite, temos que repensar o procedimento de c alculo. Eemplo 4.5 Calcular 3 2 2!+ 3 +4 Solu»c~ao. Uma substitui»c~ao direta nos d a 3 2 2 = + (+)!+ 3 +4 + +4
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 33 Para evitarmos s ³mbolos de indetermina»c~ao, fazemos 3 2 2 2 (3 2 = ) 2!+ 3 +4!+ 3 ( + 4 ) 3 3 2 = 2!+ ( + 4 ) 3 = 3 2 + + +( + 4 = + ) 3 0 + ( + 0) = 3 + =0 p() Nos ites da forma, em que p() e q() s~ao polin^omios em, prevalecem! q() os termos de maior grau de ambos os polin^omios, ou seja, se p() =a n n + a n n + + a + a 0 ; ent~ao p()! q() = q() =b m m + b m m + + b + b 0! a n n b m m. Deiamos a dedu»c~ao disto para o leitor, como um eerc ³cio. Por eemplo, no eemplo que acabamos de estudar, bastar ³amos fazer 3 2 2 3 2 =!+ 3 +4!+ = 3 3!+ = 3 + =0 Mas aten»c~ao.!. Isto s o vale para ites de quocientes de polin^omios, em que Eemplo 4.6 Calcular Temos! (5 3 )! (5 3 )=( ) 5 ( ) 3 =( ) ( ) =( )+(+), portanto chegamos a um s ³mbolo de indetermina»c~ao. Podemos no entanto fazer! (5 3 ) =! 5 ( )=+ ( 0) = +. 2 Eemplo 4.7 Calcular!0.
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 34 Solu»c~ao. Aqui podemos ser induzidos a dizer, tal como no eemplo do ite,!0 2 que e in nito. Ok, mas qual \in nito"? + ou?aresposta e, neste caso,!0 nenhum dos dois! Se se aproima de 0 por valores positivos, ent~ao = tende a +. Por em se se aproima de 0 assumindo somente valores negativos, ent~ao = tende a (j=j cacadavezmaior,por em = mant em-se sempre < 0). Neste caso, dizemos que n~ao eiste o ite!0. O comportamento da fun»c~ao f() =, nas proimidades de =0,ser amelhor estudado na pr oima aula, quando introduziremos o conceito de ites laterais. 4.2 Ilustra»c~oes geom etricas da ocorr^encia de alguns ites Na gura 4.2 temos o esbo»co de um gr a co de uma fun»c~ao de nida no conjunto R f 0 g, para a qual f() =a e f() =b = f( ).!0! a = f() b 0 0 Figura 4.2. 0 n~ao est a no dom ³nio de f,!0 f() =a, e! f() =b = f( ) Na gura 4.3 temos o esbo»co de um gr a co de uma fun»c~ao de nida em todo o conjunto R, para a qual f() =a e f() =b.!+! Na gura 4.4 temos o esboco de um gr a co de uma fun»c~ao de nida em R fag, para a qual f() =+. Na gura 4.5 temos o esboco de um gr a co de uma!a fun»c~ao de nida em R fag, para a qual f() =. Na gura 4.6 ilustramos o!a esboco de um gr a co de uma fun»c~ao de nida em R fag, para a qual f() =,!a f() =b e! f() =.!+
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 35 = f() a b 0 Figura 4.3. f() =a, e f() =b!+! = f() 0 a Figura 4.4.!a f() =+ 0 a = f() Figura 4.5.!a f() =
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 36 0 a b = f() Figura 4.6.!a f() =, 4.3 Problemas. Calcule os ites. (a)!2 2 4 2 (c) k!4 k 2 6 p k 2 (e) h! 2 h 3 +8 h +2 f() =b, e! f() =!+ (b)! 2 2 2 +5 7 (d) h!0 ( + h) 3 3 h (f) z!0 z 0 (g) (h)! ( ) 4! p ( 2 +3)( 4) 2 (i) 2. Demonstre que se! p 5 (j) 2!=2 2 2 +5 3 6 2 7 +2 3 +8 6s (k) (l)! 2 µ 4 6 s!4 2s 9 2 (m)! p 4 6 + h (n) h!0 h (4t 2 +5t 3) 3 (2 + h) 2 2 2 (o) (p) t! (6t +5) 4 h!0 h p() =a n n + a n n + + a + a 0 ; e q() =b m m + b m m + + b + b 0 ; sendo a 0 ;::: ;a n ;b 0 ;::: ;b n n umeros reais com a n 6=0e b m 6=0,ent~ao
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 37 (a) (b) p()! q() =! a n n b m m p() = a n n!! 3. Calcule os ites. (a) (c) (e) (g) (i)!+!+!+ 2 +3 + 3p 2 2 +3 3 8 5 (2 +3) 3 (2 3) 2 5 +5 (b) (d) (f)!+! 3p 2 + + 2 2 3 4 p 2 + (p + a p )!+!+ (p 2 + a ) (h)!+ ( + 3p 3 ) ( 3p +8 3 2) (j) (p 2 + )!+!+ 4. Considerando as duas primeiras colunas da tabela 4., de valores para a fun»c~ao g() = 2,Jo~aozinho argumentou que, quanto mais pr oimo de 0 e o valor de, mais pr oimo de ca g(). Eplique porqu^e Jo~aozinho est a certo. Isto quer dizer que!0 g() =? Eplique. 4.3. Respostas e sugest~oes. (a) 4 (b) =9 (c) 32 (d) 3 2 (e) 2 (f) n~ao eiste (g) + (h) 5 p 2 20 (i) 5 (j) 7 (k) 3=8 (l) 23 (m) 2 (n) =8 (o) 64 (p) =4 2. (a) p()! q() =! =! =! =! a n ³+ n a n a + + a n a n + a n 0 a n n b m ³+ m b m b + + b m b m + b m 0 b m m a n n b m m a n n b m m!! + a n a n + + a a n + a n 0 a n n + b m b m + + b b m + b m 0 b m m + a n + + a + a 0 + b m + + b + b 0 a n n b m m +0+ +0 +0+ +0 =! a n n b m m 3. (a) 2 (b) 0 (c) 0 (d) +. 2 2 3 4 2 2 3 Sugest~ao: p = 4 2 2 3 2! 2 +! q 2 + = 4 2.! jj q+ 2 2 Agora, como!,temos<0, eent~ao jj =.
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 38 (e) 72 (f) 0. Sugest~ao: p + a p = (p + a p )( p + a + p ) p p. + a + (g) a=2 (h) 0. Sugest~ao: Para contornar a indetermina»c~ao +, fa»ca + 3p 3 = ( + 3p 3 )[ 2 3p 3 +( 3p 3 ) 2 ] 2 3p 3 +( 3p, e use a identidade 3 ) 2 (a + b)(a 2 ab + b 2 )=a 3 + b 3. (i) 0. Sugest~ao: Aproveite a id eia usada na solu»c~ao do problema anterior, agora fazendo uso da identidade (a b)(a 2 + ab + b 2 )=a 3 b 3. (j) =2