Probabilidade e Estatística 206/ Exercícios Resolvidos de Probabilidade Um grupo é constituído de 0 pessoas, entre elas Jonas e César. O grupo é disposto ao acaso em uma fila. Qual a probabilidade de que haja exatamente pessoas entre Jonas e César? O número de maneiras possíveis de dispor 0 pessoas em fila é 0!. Vamos determinar agora, o número de resultados favoráveis. Há C8 modos de escolher as pessoas que ficarão entre Jonas e César e! modos de organizá-las entre si. Há 2 modos de dispor Jonas e César (um à direita e outro à esquerda do grupo das pessoas). Depois disso, há5! modos de organizar as pessoas restantes com o bloco formado por Jonas, César e as pessoas que estão entre eles. Logo, o número de maneiras de dispor as 0 pessoas em fila de modo que haja exatamente pessoas entre Jonas e Cásar é C8! 2 5!. Assim, a probabilidade pedida é C 8! 2 5! 0! 9. 2 Uma bolsa contém 2n moedas de prata e 2n ` moedas de cobre. Extraem-se ao acaso duas moedas sem reposição da primeira. Calcule a probabilidade de: aq a segunda moeda extraída ser de prata, sabendo que a primeira foi de cobre. bq a segunda moeda extraída ser de prata. cq pelo menos uma das moedas ser de cobre. a) Considere os eventos A ta a moeda extraída é de cobreu B ta 2 a moeda extraía é de pratau Sabendo que a a moeda é de cobre, restam na bolsa n moedas, onde 2n delas são de prata. Assim, P pb Aq 2n n 2. b) Considere os eventos M ta a moeda extraída é de cobreu M 2 ta a moeda extraída é de pratau A ta 2 a moeda extraída é de pratau
Observe que A pa XM q Y pa XM 2 q, onde os eventos A XM e A XM 2 são mutuamente exclusivos. Assim, P paq P pa XM q `P pa XM 2 q P pm qp pa M q `P pm 2 qp pa M 2 q 2n ` n ` 2n n ` 2n 2n 2np2n `q `2np2n q n ` n npn `q 2n ``2n n 2pn `q 2pn `q 2n n ` c) Considere os eventos M ta a moeda extraída é de pratau M 2 ta 2 a moeda extraída é de pratau A tpelo menos uma moeda é de cobreu Então P paq P pm XM 2 q P pm qp pm 2 M q Assim, P paq P paq 2n 8n `2 6n ` 8n `2. 2n 2n n ` n 2n 8n `2. Marina quer enviar uma carta a Verônica. A probabilidade de que Marina escreva a carta é de 8 9. A probabilidade de que o correio não a perca é de 0 0. A probabilidade de que o carteiro a entregue é de 9 0. aq Qual é a probabilidade de Marina não receber a carta? bq Dado que Verônica não recebeu a carta, qual é a probabilidade de que Marina não a tenha escrito? Considere os eventos E tmarina escreve a cartau C to correio não perde a cartau D to carteiro entrega a cartau R tverônica não recebe a cartau a) Observe que R E Y pe XCq Y pe XC XDq, onde os eventos do lado direito da igualdade são mutuamente excludentes dois a dois. Assim 2
b) P pe Rq P prq P peq `P pe XCq `P pe XC XDq P peq `P peqp pc Eq `P pe XCqP pd E XCq P peq `P peqp pc Eq `P peqp pc EqP pd E XCq 2 0 ` 8 0 0 ` 8 0 9 0 0 5 ` 2 25 ` 9 25 25 P pe XRq P prq P peqp pr Eq P prq 2 0 25 2 0 25 25 Durante o mês de agosto, a probabilidade de chuva em um dia determinado é 6. O Fluminense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade 0 0 e em um dia sem chuva com probabilidade de. Sabendo-se que o Fluminense 0 ganhou um jogo naquele dia de agosto, qual a probabilidade de que choveu nesse dia? Considere os eventos C tchoveuu e G to Fluminense ganhou um jogou. Observe que G pc X Gq Y pc X Gq, onde os eventos C X G e C XG são mutamente excludentes. Assim, P pc Gq P pc XGq P pgq P pcqp pg Cq P pc XGq `P pc XGq P pcqp pg Cq P pcqp pg Cq `P pcqp pg Cq 0 0 6 0 6 0 ` 6 0 0 6 25 6 25 ` 6 25 6 25 25 2 2 5 Três urnas I, II e III contém respectivamente, bola branca e 2 pretas, 2 brancas e preta e brancas e 2 pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é reirada uma bola, que é branca. Qual é a probabilidade condicional de que a urna escolhida foi a II? Considere os eventos U ta urna escolhida é a Iu U 2 ta urna escolhida é a IIu
U ta urna escolhida é a IIIu B ta bola retirada é brancau Observe que B pb XU q Y pb XU 2 q Y pb XU q, onde os eventos no lado direito da igualdade são mutuamente excludentes dois a dois. Assim, P pu 2 Bq P pu 2 XBq P pbq ` ` 5 P pu 2 qp pb U 2 q P pu qp pb U q `P pu 2 qp pb U 2 q `P pu qp pb U q 2 9 ` 5 2 9 8 5 5 2 6 Uma urna contém p bolas pretas e v bolas vermelhas. Uma das bolas é retirada ao acaso e reposta na urna com c bolas de mesma cor. Retiramos uma outra bola. Dado que a segunda bola retirada foi vermelha, mostrar que a probabilidade de p que a primeira bola foi preta é p `v `c. Considere os eventos P ta primeira bola retirada é pretau V ta primeira bola retirada é vermelhau V 2 ta segunda bola retirada é vermelhau Observe que V 2 pp XV 2 q Y pv XV 2 q, onde os eventos P XV 2 e V XV 2 são mutuamente excludentes. Assim, P pp V 2 q P pp XV 2 q P pv 2 q P pp qp pv 2 P q P pp XV 2 q `P pv XV 2 q P pp qp pv 2 P q P pp qp pv 2 P q `P pv qp pv 2 V q p p `v v p `v `c p p `v v p `v `c ` v p `v v `c p `v `c p p `v v p `v `c pv `v 2 `vc pp `vqpp `v `cq pv pv `v 2 `vc p p `v `c
7 Uma urna contém moedas. Uma tem duas caras, outra é uma moeda justa, e a terceira é uma moeda viciada com probabilidade de cara igual 0,75. Uma moeda é selecionada aleatoriamente da urna, lançada com resultado cara. Qual é a probabilidade da moeda escolhida ter duas caras? Considere os eventos M ta moeda tem duas carasu M 2 ta moeda é justau M ta moeda é viciadau C to resultado é carau Observe que C pc X M q Y pc X M 2 q Y pc X M q, onde os eventos do lado direito da igualdade são mutuamente excludentes dois a dois. Assim, P pm Cq P pc XM P pcq P pm qp pc M q P pcq P pm qp pc M q P pm qp pc M q `P pm 2 qp pc M 2 q `P pm qp pc M q ` 2 ` ` 6 ` 9 8 Um médico desconfia que um paciente tem tumor no abdômen, pois isto ocorreu em 70% dos casos similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame ultra-som o detectará com probabilidade 0,9. Entretanto, se ele não tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar que tem probabilidade de 0,. Se o exame detectou um tumor, qual é a probabilidade do paciente tê-lo de fato? Considere os eventos T to paciente tem tumoru D to ultra-som detecta o tumoru Observe qued pdxt qypdxt q, ondedxt edxt são eventos mutuamente excludentes. Assim, 5
P pt Dq P pd XT q P pdq P pt qp pd T q P pd XT q `P pd XT q P pt qp pd T q P pt qp pd T q `P pt qp pd T q 0,7 0,9 0,7 0,9 `0, 0, 0,6 0,66 «0,955 9 Sabendo que P paq 2, P pbq 2 e P pa XBq, determine: a) P pa c q b) P pa YBq c) P pa c YB c q d) P pa c XBq e) P pa YB c q f) P pa c XB c q a) P pa c q P paq 2 b) P pa YBq P paq `P pbq P pa XBq 2 ` 2 5 6 c) P pa c YB c q P rpa XBq c s P pa XBq 2 d) P pa c XBq P pbq P pa XBq 2 2 6 6 e) P pa YB c q P rpa c XBq c s P pa c XBq pdq 6 5 6 f) P pa c XB c q P rpa YBq c s P pa YBq pbq 5 6 6 0 Uma montagem eletrônica é formada de dois subsistemas S e S 2. De procedimentos anteriores, as seguintes probabilidades se admitem conhecidas: P ps falheq 5, P ps 2 e S 2 falhemq 20 e P ps 2 falhe sozinhoq 20 Calcule as seguintes probabilidades: aq P ps falhe S 2 tenha falhadoq bq P ps falhe sozinhoq Considere os eventos A ts falheu e B ts 2 falheu. Então 6
a) b) P ps falhe S 2 tenha falhadoq P pa Bq P pa XBq P pbq P pa XBq P pa c XBq `P pa XBq 20 20 ` 20 2 P ps falhe sozinhoq P pa XB c q P pa XB c q P paq P pa XBq 5 20 20 Mostre que se A e B são independentes, então A c e B também são independentes. Como A e B são independentes, então P pa XBq P paq P pbq. Assim, P pa c XBq P pbq P pa XBq P pbq P paq P pbq Portanto, A c e B são independentes. r P paqs P pbq P pa c q P pbq 2 Mostre que se P pbq 0, então P pa c Bq P pa Bq. Como P pbq 0, temos P pa c Bq P pac XBq P pbq P pbq P pa XBq P pbq P pa XBq P pbq P pa Bq Mostre que se P pa Bq, então P pb c A c q. Sugestão: Use o Exercício 2. Pelo Exercício 2 temos que: P pb c A c q P pb A c q P j pac XBq P pbq P pa XBq P pa c q P pa c q j P pbq P pbq P pa Bq P pa c q Como P pa Bq, segue que j P pbq P pbq P pb c A c q P pa c q 0 P pa c q. 7
Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 5 e 0 por cento do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina, 5, e 2 por cento, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso. aq Qual a probabilidade de que o parafuso seja defeituoso? bq Sabendo que o parafuso e defeituoso, qual a probabilidade que tenha sido produzido pela máquina A? Considere os eventos: A to parafuso foi produzido pela máquina Au Então: B to parafuso foi produzido pela máquina Bu C to parafuso foi produzido pela máquina Cu D to parafuso é defeituosou a) b) P pdq P pd XAq `P pd XBq `P pd XCq P pa Dq P paqp pd Aq `P pbqp pd Bq `P pcqp pd Cq 25 00 5 00 ` 5 00 00 ` 0 00 2 00 25 00 2 ` 0 00 2 ` 80 00 2 5 00 2 69 2000 P pa XDq P pdq P paqp pd Aq P pdq 25 00 69 2000 5 00 25 5 25 69 5 Em uma cidade, as pessoas falam a verdade com probabilidade. Suponha que A faz uma armação e qued diz que C diz que B diz que A falou a verdade. Qual a probabilidade de A ter falado a verdade? Sejam os eventos A ta disse a verdadeu B tb disse que A disse a verdadeu C tc disse que B disse que A disse a verdadeu 8
D td disse que C disse que B disse que A disse a verdadeu P pa XDq Queremos calcular P pa Dq. P pdq Considere o diagrama de árvore abaixo Observação: Só pra entender a construção do diagrama, por exemplo, P paq 2 e daí a P pb Aq 2, pois neste caso B está mentindo. Analisando o diagrama acima temos P pa XDq P pa XB XC XDq `P pa XB XC XDq ` ` P pa XB XC XDq `P pa XB XC XDq ` ` ` 8 9
P pa XDq P pa XB XC XDq `P pa XB XC XDq ` Portanto, P pa Dq ` pa XB XC XDq `P pa XB XC XDq 2 ` 2 ` 2 ` 2 28 8 P pdq P pa XDq `P pa XDq 8 ` 28 8 8 P pa XD P pdq 8 8 8. 6 São escolhidas aleatoriamente três das células brancas do tabuleiro representado na figura a seguir. Qual a probabilidade de as três células escolhidas não estarem alinhadas? As três células brancas estarão alinhadas se, e somente se, elas estiverem na diagonal principal ou em duas das diagonais secundárias, como mostrado na figura abaixo. O número de modos de escolher três células brancas nessas condições é2`c 6. Por outro lado, o número total de modos de escolher três células brancas do tabuleiro é C8 56. Portanto, a probabilidade de as três células escolhidas não estarem alinhadas é 6 56 28 25 28 0
7 Uma urna tem nove bolas, numeradas de a 9. José e Maria retiram, cada um, simultaneamente, uma bola da urna. Com as bolas retiradas eles formam um número de dois algarismos, sendo que o número que está escrito na bola de José é o algarismo das dezenas e o número que está escrito na bola de Maria é o algarismo das unidades. Qual é a probabilidade desse número ser par? Sejam a e b os números escritos nas bolas retiradas por José e Maria, respectivamente. Existem, então, nove possibilidades para a e oito possibilidades para b. Desse modo, existem 9 ˆ 8 72 possibilidades para o número a b. Para contar quantos desses números a b são pares, precisamos analisar separadamente dois casos, como segue. Ambos números a e b são pares. O número a é ímpar e o número b é par. No primeiro caso, em que a e b são pares, existem quatro possibilidades para a e três possibilidades para b. Desse modo, existem ˆ 2 possibilidades ao todo. No segundo caso, em que a é ímpar e b é par, existem cinco possibilidades para a e quatro possibilidades para b. Desse modo, existem 5 ˆ 20 possibilidades. Portanto, a probabilidade de o número a b ser par é 2 `20 72 2 72 9. 8 Tio Mané tem duas caixas, uma com sete bolas distintas numeradas de a 7 e outra com oito bolas distintas numeradas com todos os números primos menores que 20. Ele sorteia uma bola de cada caixa. Qual é a probabilidade de que o produto dos números das bolas sorteadas seja par? O produto dos números sorteados é ímpar se, e somente se, as duas bolas sorteadas têm números ímpares. A probabilidade de sortearmos da primeira caixa uma bola com número ímpar é e a probabilidade de sortearmos uma 7 bola ímpar da segunda caixa é 7, porque esta contém bolas com os números 8 t2,,5,7,,,7,9u. Assim, a probabilidade do produto dos números das caixas ser ímpar é 7 7 8 2. Portanto, a probabilidade do produto ser par é 2 2. 9 Tiago escreve todos os números de quatro algarismos não nulos distintos que possuem a mesma paridade. Qual a probabilidade de que, ao escolhermos um desses números, ele seja par? Os quatro algarismos escolhidos fazem parte dos conjuntos A t,,5,7,9u ou B t2,,6,8u. Com os elementos do conjunto A temos 5 possibilidades para
o primeiro algarismo, para o segundo, para o terceiro e 2 para o quarto, totalizando 5 20 números com algarismos distintos. Já com os elementos do conjunto B temos possibilidades para o primeiro algarismo, para o segundo, 2 para o terceiro e para o quarto, totalizando 2 2 números com quatro algarismos distintos. Assim, é possível formar 20`2 números. De todas as possibilidades calculadas, apenas as geradas pelo conjunto B são números pares. Portanto, a probabilidade pedida é 2 6. 20 Considere uma urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas e algumas bolas azuis. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, outra bola dessa urna. Para quais quantidades de bolas azuis, a probabilidade das duas bolas retiradas terem mesma cor vale 2? Sugestão: Considere n o número de bolas azuis da urna e determine as probabilidades de as duas bolas retiradas serem ambas pretas, ambas brancas e ambas azuis. Seja n o número de bolas azuis na urna. Quando retiramos as duas bolas, elas podem ser: Duas bolas pretas. A probabilidade é n `5 n `5 Duas bolas brancas. A probabilidade é n `5 Duas bolas azuis. A probabilidade é n n `5 n `5 n n `5 ˆ 2 n `5 ˆ 2 n `5 ˆ n n `5 Logo, a probabilidade das duas bolas serem da mesma cor é a soma das probabilidades individuais: ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 n `6 `n2 ` ` n `5 n `5 n `5 pn `5q 2 2. Simplificando a igualdade obtemos que n 2 0n `9 0, donde n é igual a ou 9. 2 2
2 Existem bolas azuis e bolas vermelhas em uma caixa. A probabilidade de sortear duas bolas de cores diferentes, ao retirar duas bolas ao acaso, é. Prove que o 2 número de bolas na caixa é um quadrado perfeito. Suponha que existam A bolas azuis e V bolas vermelhas na caixa. () O número de modos de escolher duas bolas de cores diferentes é A V. (2) O número de modos de escolher duas bolas quaisquer é C 2 A`V. () De () e (2), a probabilidade de sortear duas bolas de cores diferentes é AV C 2 A`V Logo, AV C 2 A`V 2 ô 2AV pa `VqpA `V q 2 AV pa `Vq 2 pa `Vq ô A `V pa Vq 2. Logo, a quantidade de bolas é um quadrado perfeito. 22 Dez pontos são dados no plano e não existem três colineares. Quatro segmentos distintos ligando pares destes pontos são escolhidos ao acaso, mas todos com a mesma probabilidade. Qual é a probabilidade de três dos segmentos escolhidos formarem um triângulo? R: 6 7. O número de possíveis segmentos entre os 0 pontos é C0 2 5 e o número de formas de escolher desses segmentos é C5. Já o número de formas de escolher segmentos de tal modo que três deles formem um triângulo é igual ao número de maneiras de escolher três vértices, que determinam os três segmentos do triângulo, multiplicado pelo número de formas de escolher o outro segmento, isto é C0 p5 q. Portanto, a probabilidade de que três dos quatro segmentos formem um triângulo é C 0 2 C 5 0 9 8 2!! 5 2 6 7. ô