Exper. 2 Sinais Elementares e Operações Básicas Objetivo Esta prática descreve como utilizar o Matlab para representar e manipular alguns sinais elementares: Estudar os sinais elementares de tempo contínuo e discreto Desenvolver programas Matlab para gerar sinais elementares Realizar operações básicas com sinais elementares Fundamentação Teórica SINAIS ELEMENTARES Os sinais elementares aparecem com maior freqüência no estudo dos sistemas lineares, dentre os quais destacam-se: o sinal degrau unitário, o sinal impulso unitário, o sinal rampa e os sinais exponenciais e senoidais. Esses sinais são usados na construção de sinais mais complexos. Sinal Impulso Unitário (Delta de Dirac) A função Impulso Unitário de tempo contínuo, denotada por δ(t) (delta minúsculo), é definida pelas seguintes relações: δ(t) = 0, para t 0 E para tempo discreto, denotado por δ[n]: δ(t) = 1 1, n = 0 δ[n] = { 0, n 0 Sinal degrau unitário (Função de Heaviside): 1
O sinal Degrau Unitário de tempo contínuo, comumente representado por u(t), é definido por: 1, t 0 u(t) = { 0, t < 0 E em tempo discreto, denotado por u[n]: 1, n 0 u[n] = { 0, n < 0 Este sinal pode representar o fechamento de uma chave, colocada em série com uma carga e uma fonte de alimentação de valor Vs, conforme mostra a Figura 4. Se o fechamento ocorre no instante t = 0, então: Sinal rampa: O sinal rampa de tempo contínuo é geralmente denotado por r(t), e é definido por: t, t 0 r(t) = { 0, t < 0 E em tempo discreto: r[n] = { n, n 0 0, n < 0 2
Sinal senoidal: O sinal senoidal de tempo contínuo de período T = 2π/ω, pode ser descrito por: x(t) = A. cos (ωt + ) Em tempo discreto, por: x[n] = A. cos (Ωn + ) O período de um sinal de Tempo Discreto pode ser medido em número de amostras tomadas a cada segundo. Assim, para que x[n] seja periódico com um período de N amostras, ele deve satisfazer a equação dada a seguir, para todo número inteiro n e algum número inteiro N, ou seja: x[n + N] = Acos(Ω(n + N) + ) Onde: Ω = m 2π é a frequência discreta medida em radianos, e m, N são constantes inteiras. N Sinal senoidal exponencialmente amortecido A multiplicação de um sinal senoidal por outro sinal exponencial decrescente resulta no sinal denominado Sinal Senoidal Exponencialmente Amortecido. x(t) = e αt cos(wt + ), α > 0 A Figura 8 mostra a forma de onda do sinal correpondente a A = 60, α = 6, e = π/2. Para o tempo crescnte t, a amplitude da oscilação senoidal decresce de maneira exponencial, aproximando-se d ezero no tempo infinito. 3
Sinal exponencial Um sinal exponencial real, em sua forma mais geral, é descrito por: x(t) = Be αt Onde B e α são parâmetros reais. O parâmetro B é a amplitude do sinal exponencial medido no instante t = 0. O parâmetro α é o inverso da constante de tempo da exponnecial (quantidade de tempo necessário para a função crescer/decair um número natural e), e tem-se que se α > 0 a exponencial é crescente e se α < 0 é decrescente. Em termos de tempo discreto, um sinal exponencial é definido por: x[n] = Be αn 4
Operações básicas com sinais Operações realizadas nas variáveis dependentes: Mudança de escala de amplitude: y(t) = cx(t) Os amplificadores eletrônicos realizam este tipo de operação nos sinais. Um resistor também realiza essa operação quando x(t) é a corrente, c é a resistência e y(t) é a tensão nos terminais do resistor. Adição: y(t) = x(t) + z(t) Mixadores de áudio realizam essa operação, combinando sinais de instrumentos musicais e microfones. Multiplicação: y(t) = x(t). z(t) Sinais de rádio FM são obtidos a partir da multiplicação de um sinal de áudio (música, por exemplo) multiplicado por uma onda portadora (de alta frequência, a frequência da emissora de rádio sintonizada pelo receptor). Diferenciação: y(t) = dx(t) dt A tensão nos terminais de um indutor é obtida através da diferenciação da corrente que o atravessa em relação ao tempo: v(t) = L di(t) dt. Integração: A tensão nos terminais de um capacitor é obtida através da integração da corrente que o atravessa em relação ao tempo: v(t) = 1 C i(τ)dτ Operações realizadas nas variáveis independentes: Mudança de escala de tempo: y(t) = x(a. t) 5
Reflexão (eixo vertical): y(t) = x( t) Deslocamento (eixo horizontal): y(t) = x(t t 0 ) Se t 0 > 0, o sinal será deslocado para a direita, e se t 0 < 0 o sinal será deslocado para a esquerda. Lembre-se que existe a regra de precedência. 6
Procedimento Prático Desenvolva programas para traçar os seguintes sinais de tempo contínuo (t) e de tempo discreto [n]: 1. y(t) = 30e 3t 2. y(t) = 30e 3t 3. y[n] = 30e 0,3n 4. y[n] = sen(5n) para 30 amostras 5. y[n] = sen(6n) para 30 amostras 6. y(t) = 60sen(18πt)e 6t para o intervalo de tempo de 0 a 1 7. u[n], 10 n 20 8. Seja o sinal x[n] dado a seguir, trace o gráfico de y[n] = x[n] + x[ n] 1, n = 1 x[n] = { 1, n = 1 0, n = 0 e n > 0 9. Idem para: 1, n = 1 e n = 1 x[n] = { 0, n = 0 e n > 0 10. Trace o gráfico do sinal y[n] = x[n 3], com x[n] definido no item 8. 11. Trace o gráfico de z[n] = y[2n 3] com y[n] obtido no item 3, trocando a ordem de realização das operações de deslocamento e de temudança de escala temporal, para verificar a regra de precedência. 12. Admitindo que a chave do cricuito da Figura 4 tenha sido acionada no tempo t = T, como seria a expressão do sinal usando a função degrau unitário, e o seu gráfico? Exemplo: t = -1:0.1:3; % base temporal (variável independente) y = 30*exp(-3*t); % sinal exponencial plot(t, y); % experimente usar posteriomente: grid, title, xlabel, ylabel, axis 7