Processamento de Malhas Poligonais

Processamento de Malhas Poligonais Tópicos Avançados em Computação Visual e Interfaces I Prof.: Marcos Lage www.ic.uff.br/~mlage mlage@ic.uff.br Conteúdo: Notas de Aula

Curvas 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 2

Curvas Definição de Curva Consideraremos curvas planas suaves, ou seja, variedades de dimensão 1 de classe, imersas em. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 3

Curvas Definição de Curva Consideraremos curvas planas suaves, ou seja, variedades de dimensão 1 de classe, imersas em. Forma paramétrica: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 4

Curvas Definição de Curva Consideraremos curvas planas suaves, ou seja, variedades de dimensão 1 de classe, imersas em. Forma paramétrica: Obs: Como a curva é suave, suas funções coordenadas são suaves. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 5

Curvas Definição de Vetor tangente O vetor tangente, em um ponto é definido como a primeira derivada da parametrização: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 6

Curvas Definição de Vetor tangente O vetor tangente, em um ponto é definido como a primeira derivada da parametrização: Obs: Podemos interpretar a parametrização como a trajetória de um ponto em função do tempo (u = t) e o vetor tangente como a velocidade em um determinado instante t. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 7

Curvas Definição de Vetor tangente O vetor tangente, em um ponto é definido como a primeira derivada da parametrização: Obs: Podemos interpretar a parametrização como a trajetória de um ponto em função do tempo (u = t) e o vetor tangente como a velocidade em um determinado instante t. Obs: Assumiremos que a parametrização é regular, isto é: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 8

Curvas Vetor Normal O vetor normal, em um ponto é definido pode ser calculado como: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 9

Curvas Vetor Normal O vetor normal, em um ponto é definido pode ser calculado como: é a rotação do vetor tangente de 90 graus. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 10

Curvas Reparametrização de curvas Uma mesma curva pode ser parametrizada de maneiras distintas: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 11

Curvas Reparametrização de curvas Uma mesma curva pode ser parametrizada de maneiras distintas: 0 1 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 12

Curvas Reparametrização de curvas Uma mesma curva pode ser parametrizada de maneiras distintas. Obs: A geometria diferencial de curvas planas estuda propriedades das curvas que são independentes da escolha da parametrização. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 13

Curvas Comprimento de Arco O comprimento de um segmento curvo definido em um intervalo, é definido como: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 14

Curvas Comprimento de Arco O comprimento de um segmento curvo definido em um intervalo, é definido como: Obs: O vetor tangente codifica a métrica da curva. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 15

Curvas Comprimento de Arco O comprimento de um segmento curvo definido em um intervalo, é definido como: Obs: Podemos reescrever uma parametrização preservando o comprimento de arco de forma única e independe da escolha da parametrização inicial: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 16

Curvas Comprimento de Arco Contas importantes: analogamente l 0 s s 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 17

Curvas Comprimento de Arco Exemplos: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 18

Curvas Curvatura: Definição Supondo que uma curva regular esteja parametrizada por comprimento de arco, podemos definir a curvatura de um ponto como: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 19

Curvas Curvatura: Definição Supondo que uma curva regular esteja parametrizada por comprimento de arco, podemos definir a curvatura de um ponto como: Obs: Intuitivamente, a curvatura mede o quão rápido a curva se afasta de uma linha reta. Em outras palavras: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 20

Curvas Curvatura: Definição Supondo que uma curva regular esteja parametrizada por comprimento de arco, podemos definir a curvatura de um ponto como: Obs: A curvatura também pode ser definida como o inverso do raio do círculo osculador, tangente a curva em. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 21

Curvas Superfícies 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 22

Superfícies Definição de Superfície Consideraremos superfícies suaves, ou seja, variedades de dimensão 2 de classe, orientáveis imersas em. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 23

Superfícies Definição de Superfície Consideraremos superfícies suaves, ou seja, variedades de dimensão 2 de classe, orientáveis imersas em. Forma paramétrica: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 24

Superfícies Definição de Superfície Consideraremos superfícies suaves, ou seja, variedades de dimensão 2 de classe, orientáveis imersas em. Forma paramétrica: Obs: Como a superfície é suave, suas funções coordenadas são suaves. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 25

Superfícies Definição de Superfície Consideraremos superfícies suaves, ou seja, variedades de dimensão 2 de classe, orientáveis imersas em. Exemplo: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 26

Superfícies Plano Tangente De forma análoga às curvas, a métrica de uma superfície é representada pelas primeiras derivadas da parametrização. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 30

Superfícies Plano Tangente De forma análoga às curvas, a métrica de uma superfície é representada pelas primeiras derivadas da parametrização. Obs: Assumiremos que a parametrização é regular, isto é: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 31

Superfícies Plano Tangente O plano tangente à superfície em um ponto é plano gerado pelos vetores 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 34

Superfícies Plano Tangente O plano tangente à superfície em um ponto é plano gerado pelos vetores 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 35

Superfícies Vetor Normal O vetor normal à superfície em um ponto dado por: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 36

Superfícies Vetor Normal O vetor normal à superfície em um ponto dado por: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 37

Superfícies Derivada Direcional Podemos definir derivadas de direção arbitrária sobre a superfície. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 38

Superfícies Derivada Direcional Podemos definir derivadas de direção arbitrária sobre a superfície. Seja um vetor direção definido no espaço de parâmetros. Considere uma reta que passe por e seja orientada por. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 39

Superfícies Derivada Direcional Podemos definir derivadas de direção arbitrária sobre a superfície. Seja um vetor direção definido no espaço de parâmetros. Considere uma reta que passe por e seja orientada por. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 40

Superfícies Derivada Direcional Podemos definir derivadas de direção arbitrária sobre a superfície. Seja um vetor direção definido no espaço de parâmetros. Considere uma reta que passe por e seja orientada por. Imagem:. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 41

Superfícies Derivada Direcional Podemos definir derivadas de direção arbitrária sobre a superfície. Seja um vetor direção definido no espaço de parâmetros. Considere uma reta que passe por e seja orientada por. Imagem:. A derivada da curva é tangente à superfície em para t = 0. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 42

Superfícies Derivada Direcional Podemos definir derivadas de direção arbitrária sobre a superfície. Seja um vetor direção definido no espaço de parâmetros. Considere uma reta que passe por e seja orientada por. Imagem:. A derivada da curva é tangente à superfície em para t = 0. Vetor tangente:. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 43

Superfícies Derivada Direcional 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 44

Superfícies Matriz Jacobiana Vetor tangente:. Pela regra da cadeia... 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 45

Superfícies Matriz Jacobiana Vetor tangente:. Pela regra da cadeia... Obs: A matriz Jacobiana transforma vetores do espaço de parâmetros em vetores sobre a superfície. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 46

Superfícies Matriz Jacobiana Vetor tangente:. Pela regra da cadeia... Obs: De forma mais geral, a matriz Jacobiana codifica como ângulos, distâncias e áreas são deformadas pela parametrização. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 47

Superfícies Forma Fundamental Sejam e direções unitárias no espaço de parâmetros. Podemos calcular o produto escalar entre seus vetores tangente correspondentes: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 48

Superfícies Forma Fundamental Sejam e direções unitárias no espaço de parâmetros. Podemos calcular o produto escalar entre seus vetores tangente correspondentes: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 49

Superfícies Forma Fundamental Podemos usar a primeira forma fundamental para: 1 Medir o comprimento de uma curva sobre a superfície. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 50

Superfícies Forma Fundamental Podemos usar a primeira forma fundamental para: 2 Medir a área de uma região U sobre a superfície. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 51

Superfícies Definição de Curvatura Curvatura Normal: É curvatura da curva plana criada pela interseção da superfície e o plano gerado pelos vetores tangente e normal em um determinado ponto p. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 52

Superfícies Definição de Curvatura Curvatura Normal: É curvatura da curva plana criada pela interseção da superfície e o plano gerado pelos vetores tangente e normal em um determinado ponto p. Notação:. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 53

Superfícies Definição de Curvatura Curvatura Normal: É curvatura da curva plana criada pela interseção da superfície e o plano gerado pelos vetores tangente e normal em um determinado ponto p. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 54

Superfícies Definição de Curvatura Variando a direção Curvatura Normal:, podemos mostrar que a curvatura normal tem dois extremos distintos, chamados curvaturas principais. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 55

Superfícies Definição de Curvatura Variando a direção Curvatura Normal:, podemos mostrar que a curvatura normal tem dois extremos distintos, chamados curvaturas principais. Notação: curvatura máxima. curvatura mínima. e direções principais. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 56

Superfícies Definição de Curvatura Variando a direção Curvatura Normal:, podemos mostrar que a curvatura normal tem dois extremos distintos, chamados curvaturas principais. Podemos relacionar a curvatura normal com as curvaturas principais: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 57

Superfícies Definição de Curvatura Variando a direção Curvatura Normal:, podemos mostrar que a curvatura normal tem dois extremos distintos, chamados curvaturas principais. Podemos relacionar a curvatura normal com as curvaturas principais: Obs: Da equação vemos que as direções principais são ortogonais. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 58

Superfícies Definição de Curvatura Curvatura Média: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 59

Superfícies Definição de Curvatura Curvatura Média: Curvatura Gaussiana: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 60

Superfícies Definição de Curvatura Curvatura Média: Curvatura Gaussiana: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 61

Superfícies Definição de Laplaciano Laplaciano de funções reais de duas variáveis: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 62

Superfícies Definição de Laplaciano Laplaciano de funções reais de duas variáveis: Laplaciano de funções definidas sobre uma superfície S. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 63

Superfícies Definição de Laplaciano Laplaciano de funções reais de duas variáveis: Laplaciano de funções definidas sobre uma superfície S. Podemos mostrar (e veremos mais à frente no caso discreto) que: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 64

Curvas Superfícies Operadores Discretos 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 65

Operadores Discretos Os conceitos estudados até aqui exigem que a superfície seja suave. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 66

Operadores Discretos Os conceitos estudados até aqui exigem que a superfície seja suave. Ex: A curvatura é baseada na existência da segunda derivada. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 67

Operadores Discretos Os conceitos estudados até aqui exigem que a superfície seja suave. Ex: A curvatura é baseada na existência da segunda derivada. Malhas poligonais são superfícies lineares por partes... Precisamos adaptar os conceitos para este tipo de objeto!! 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 68

Operadores Discretos Ponderação Local A ideia geral dos próximos slides é calcular propriedades diferenciais de forma discreta como médias sobre uma vizinhança local de um ponto da malha. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 69

Operadores Discretos Ponderação Local A ideia geral dos próximos slides é calcular propriedades diferenciais de forma discreta como médias sobre uma vizinhança local de um ponto da malha. Existem na literatura diversas propostas: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 70

Operadores Discretos Vetor Normal O vetor Normal à um triângulo pode ser calculado como o produto vetorial normalizado entre duas arestas do triângulo: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 71

Operadores Discretos Vetor Normal O vetor Normal à um vértice é calculado através de ponderações espaciais dos vetores normais dos triângulos incidentes à. Notação para estrela 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 72

Operadores Discretos Vetor Normal O vetor Normal à um vértice é calculado através de ponderações espaciais dos vetores normais dos triângulos incidentes à. Os pesos podem ser escolhidos de diferentes formas: 1. Constante: Não leva em conta as medidas dos triângulos incidentes. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 73

Operadores Discretos Vetor Normal O vetor Normal à um vértice é calculado através de ponderações espaciais dos vetores normais dos triângulos incidentes à. Os pesos podem ser escolhidos de diferentes formas: 1. Constante: Não leva em conta as medidas dos triângulos incidentes. 2. Área do triângulo: Pode gerar resultados não intuitivos. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 74

Operadores Discretos Vetor Normal O vetor Normal à um vértice é calculado através de ponderações espaciais dos vetores normais dos triângulos incidentes à. Os pesos podem ser escolhidos de diferentes formas: 1. Constante: Não leva em conta as medidas dos triângulos incidentes. 2. Área do triângulo: Pode gerar resultados não intuitivos. 3. Ângulo do triângulo: Corresponde a tomar uma vizinhança suficientemente pequena. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 75

Operadores Discretos Vetor Normal O vetor Normal à um vértice é calculado através de ponderações espaciais dos vetores normais dos triângulos incidentes à. Os pesos podem ser escolhidos de diferentes formas. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 76

Operadores Discretos Vetor Gradiente Para definir o operador Laplaciano (das cotangentes) sobre em malhas poligonais, precisaremos do gradiente de uma função definida sobre uma malha. Suponha que uma função está definida sobre os vértices da malha: Vértice da malha Vértice do triângulo Parametrização 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 77

Operadores Discretos Vetor Gradiente Para definir o operador Laplaciano (das cotangentes) sobre em malhas poligonais, precisaremos do gradiente de uma função definida sobre uma malha. Podemos interpolar linearmente dentro de um triângulo: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 78

Operadores Discretos Vetor Gradiente Para definir o operador Laplaciano (das cotangentes) sobre em malhas poligonais, precisaremos do gradiente de uma função definida sobre uma malha. Podemos interpolar linearmente dentro de um triângulo: Onde: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 79

Operadores Discretos Vetor Gradiente Para definir o operador Laplaciano (das cotangentes) sobre em malhas poligonais, precisaremos do gradiente de uma função definida sobre uma malha. Podemos interpolar linearmente dentro de um triângulo: Logo: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 80

Operadores Discretos Vetor Gradiente Para definir o operador Laplaciano (das cotangentes) sobre em malhas poligonais, precisaremos do gradiente de uma função definida sobre uma malha. Como: Temos: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 81

Operadores Discretos Vetor Gradiente Para definir o operador Laplaciano (das cotangentes) sobre em malhas poligonais, precisaremos do gradiente de uma função definida sobre uma malha. Como: Temos: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 82

Operadores Discretos Vetor Gradiente Para definir o operador Laplaciano (das cotangentes) sobre em malhas poligonais, precisaremos do gradiente de uma função definida sobre uma malha. Pela ilustração, vemos que a direção de maior crescimento da função base ortogonal a aresta oposta ao vértice. é 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 83

Operadores Discretos Vetor Gradiente Para definir o operador Laplaciano (das cotangentes) sobre em malhas poligonais, precisaremos do gradiente de uma função definida sobre uma malha. Pela ilustração, vemos que a direção de maior crescimento da função base ortogonal a aresta oposta ao vértice. é 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 84

Operadores Discretos Vetor Gradiente Para definir o operador Laplaciano (das cotangentes) sobre em malhas poligonais, precisaremos do gradiente de uma função definida sobre uma malha. Finalmente, temos: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 85

Operadores Discretos Operador Laplaciano Para definir o operador Laplaciano (das cotangentes) sobre em malhas poligonais, precisaremos do gradiente de uma função definida sobre uma malha. Pelo teorema de Stokes... 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 86

Operadores Discretos Operador Laplaciano Para definir o operador Laplaciano (das cotangentes) sobre em malhas poligonais, precisaremos do gradiente de uma função definida sobre uma malha. Pelo teorema de Stokes... 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 87

Operadores Discretos Operador Laplaciano Para definir o operador Laplaciano (das cotangentes) sobre em malhas poligonais, precisaremos do gradiente de uma função definida sobre uma malha. Logo, temos... 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 88

Operadores Discretos Operador Laplaciano Para definir o operador Laplaciano (das cotangentes) sobre em malhas poligonais, precisaremos do gradiente de uma função definida sobre uma malha. Como a região de integração passa pelos pontos médios da aresta do triângulo e o gradiente é constante no triângulo... 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 89

Operadores Discretos Operador Laplaciano Para definir o operador Laplaciano (das cotangentes) sobre em malhas poligonais, precisaremos do gradiente de uma função definida sobre uma malha. Finalmente... 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 90

Operadores Discretos Operador Laplaciano Para definir o operador Laplaciano (das cotangentes) sobre em malhas poligonais, precisaremos do gradiente de uma função definida sobre uma malha. Temos: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 91

Operadores Discretos Operador Laplaciano Para definir o operador Laplaciano (das cotangentes) sobre em malhas poligonais, precisaremos do gradiente de uma função definida sobre uma malha. Temos: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 92

Operadores Discretos Curvaturas Média e Gaussiana Vimos anteriormente que a curvatura média é: Podemos aproximar a curvatura Gaussiana por: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 93

Operadores Discretos Curvaturas Principais Usando as curvaturas média e gaussiana, podemos escrever as curvaturas principais: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 94