Programa límpico de Treinamento Curso de Geometria - Nível 3 Prof. Rodrigo ula 4 Propriedades do ortocentro ortocentro é o ponto de encontro das três alturas de um triângulo arbitrário. Se o triângulo for retângulo, é imediato que o ortocentro coincide com o vértice de ângulo reto. ortocentro é exterior ao triângulo sempre que o triângulo for obtusângulo e é interior quando for acutângulo. Teorema 1. Sejam,, o ortocentro e o circuncentro de um BC, respectivamente. Então B = C. B C Demonstração. Considere o caso em que o triângulo é acutângulo. caso em que o triângulo é obtusângulo é análogo e é um bom exercício. Tente! Seja B = α. Tem-se, BC = 90 α. Sabemos que C = 2. BC = 180 2.α. Mas, C = C, portanto C = α. Por isso, dizemos que e são isogonais (formam ângulos iguais com os lados adjacentes). Problema 1. No triângulo acutângulo BC, a distância do vértice ao ortocentro é igual ao raio da circunferência circunscrita. Determine os possíveis valores do ângulo BC. D M B C
PT 2012 - Geometria - Nível 2 - ula 4 - Prof. nofre Campos/Rodrigo Solução. Sejam e o ortocentro e o circuncentro do triângulo BC; D é o pé da altura relativa ao lado B e M o ponto médio do lado C. Então, como =, D = M, D = M, segue que os triângulos D e M são congruentes. Logo, D = M = C D 2. Logo, no triângulo DC, temos cos = C = 1 2, e como o triângulo é acutângulo temos BC = 60. Teorema 2. simétrico do ortocentro em relação a cada um dos lados do triângulo está sobre o círculo circunscrito. Demonstração. Considere o caso em que o triângulo é acutângulo. caso em que o triângulo é obtusângulo será deixado como exercício. Seja D o pé da altura relativa ao lado BC e 1 o ponto onde essa altura reencontra o circuncírculo (círculo circunscrito ao triângulo BC). Logo BC = DC = 90 C. Mas 1 BD = 1 C 2 = 1 C. Então BD 1 BD D = D 1. B D C 1 Problema 2. Usando régua e compasso, construa um triângulo BC conhecendo apenas o vértice, o ortocentro e a circunferência circunscrita. Solução. Façamos o esboço do triângulo: B C 1 prolongamento de encontra a circunferência circunscrita em um ponto 1 tal que 1 é o simétrico de em relação a BC. ssim, BC é mediatriz do segmento 1. Portanto, fazemos a seguinte construção: ligamos até encontrar a circunferência circunscrita no ponto 1. Então, construímos a mediatriz de 1, que encontra a circunferência circunscrita nos pontos B e C, e o triângulo BC é construído. 2
PT 2012 - Geometria - Nível 2 - ula 4 - Prof. nofre Campos/Rodrigo Teorema 3. s simétricos do ortocentro em relação a cada um dos pontos médios dos lados de um triângulo encontram-se sobre o círculo circunscrito. Demonstração. Considere o caso em que o triângulo é acutângulo (Veja figura a seguir). caso em que o triângulo é obtusângulo será deixado como exercício. Seja M o ponto médio do lado BC do triângulo BC. e N são o ortocentro e o simétrico de em relação ao ponto M, respectivamente. No quadrilátero BNC, as diagonais se cortam os meio (BM = MC e M = MN). Logo, BNC é um paralelogramo, do modo que BNC = BC. Mas, BC = 180, e assim, BC + BNC = +(180 ) = 180. Portanto BNC é inscritível e o ponto N encontra-se sobre o circuncírculo de BC, como queríamos demonstrar. B M C Problema 3. (Cone Sul - 1998) Sejam oortocentrodo triângulobc e M oponto médio do lado BC. reta M intersecta o círculo circunscrito de BC em X, pertencente ao arco BC que não contém, e B encontra o círculo circunscrito em Y. Mostre que XY = BC. Solução. Y B M C X Como X está sobre o arco BC que não contém e sobre a reta M, é fácil ver que X coincide com o simétrico de em relação ao ponto médio M. lém disso, o quadrilátero BXC é um paralelogramo, de modo que XC é paralelo a B. Então, BXCY é um trapézio isósceles, e portanto tem as diagonais iguais, ou seja, XY = BC. 3
PT 2012 - Geometria - Nível 2 - ula 4 - Prof. nofre Campos/Rodrigo Triângulo Órtico Considere um triângulo não retângulo BC, e sejam D, E, F os pés das alturas de BC. triângulo DEF é chamado triângulo órtico do triângulo BC. Lema 1. ortocentro do triângulo BC é o incentro de seu triângulo Órtico DEF. Demonstração. Seja BE = α. Então FC = 90 = α. bserve que o quadrilátero BDF é inscritível (pois BD + BF = 180 ). Logo, FD = FB = α. nalogamente, ED = α. Portanto, está na bissetriz do ângulo D. Do mesmo modo, é fácil verificar que pertence a bissetriz de F; ou seja é o incentro do triângulo DEF. F E B D C Problema 4. Usando apenas régua e compasso, construa um triângulo BC conhecendo os pontos que são os simétricos do ortocentro em relação aos lados B, BC e C. Solução. Sejam X, Y e Z os simétricos do ortocentro em relação a BC, C e B, respectivamente. bserve que XY é paralelo à reta que liga os pés das alturas relativas a BC e C. Dessa forma, os lados do triângulo XY Z são paralelos, respectivamente, aos lados do triângulo órtico de BC. Então, é o incentro do triângulo XYZ. Segue a seguinte construção: Primeiro, encontramos o circuncentro do triângulo XY Z (encontro das mediatrizes dos lados) e construímos a circunferência circunscrita(com centro e raio X. Em seguida, construímos as bissetrizes dos ângulos de XYZ, que intersectam a circunferência circunscrita nos pontos, B e C, determinando o triângulo BC. Y Z B C X 4
PT 2012 - Geometria - Nível 2 - ula 4 - Prof. nofre Campos/Rodrigo Problema 5. Sejam D, E e F os pontos médios dos lados B, BC e C do triângulo BC, respectivamente. BL é a altura relativa ao lado C. Mostre que DFE = DLE. Problema 6. No triângulo BC, as alturas D e BE se cortam em ; M, N e P são os pontos médios de BC, B e, respectivamente. Mostre que MNP = 90. Problema 7. Prove que, em todo triângulo, a circunferência cujo diâmetro é um lado do triângulo passa pelos pés das alturas relativas aos outros dois lados. Problema 8. s bissetrizes internas de um triângulo BC encontram o círculo circunscrito novamente nos pontos M, N e P. Mostre que o incentro I do triângulo BC é o ortocentro do triângulo MNP. Problema 9. Sejam D e BE as alturas relativas aos lados BC e C, respectivamente, do triângulo BC, o ortocentro, M o ponto médio de B e N o ponto médio de C. Mostre que MN é perpendicular e passa pelo ponto médio de DE. Problema 10. bissetriz interna do ângulo do triângulo BC encontra o círculo circunscrito no ponto M. Verifique que M é o ponto médio do arco BC e que M é o circuncentro do triângulo BIC, em que I é o incentro do triângulo BC. Problema 11. Sejam o circuncentro e o ortocentro do triângulo BC. Seja a o simétrico de em relação ao lado BC. Mostre que a é o circuncentro do triângulo BC. Problema 12. Seja o ortocentro do triângulo BC. Mostre que os círculos circunscritos aos triângulos B, BC e C têm todos o mesmo raio, o qual é igual ao circunraio do triângulo BC. Problema 13. s alturas relativas aos lados B e C do triângulo BC encontram o circuncírculo de BC nos pontos D e E, respectivamente. Mostre que D = E. Problema 14. triângulo BC está inscrito em um círculo de centro. Seja τ a circunferência que passa pelos pontos, e B. s retas C e CB interceptam τ em D e E, respectivamente. Prove que C é perpendicular a DE. Problema 15. Construa um triângulo conhecendo apenas o circuncentro, o ponto, pé da altura relativa ao lado BC e o ponto D, pé da bissetriz interna do ângulo. Problema 16. Prove que as três retas através dos pontos médios dos lados de um triângulo e paralelas às bissetrizes dos ângulos opostos são concorrentes em um ponto. Problema 17. Seja BC um triângulo acutângulo de ortocentro e circuncentro. mediatriz do segmento corta B no ponto P e C no ponto Q. Demonstre que P = Q. Problema 18. Sejam, o ortocentro e o circuncentro do triângulo BC. D, BE e CF são as alturas relativas aos vértices, B e C. Suponha que seja paralelo a C. Mostre que os lados do triângulo DEF estão em progressão aritmética. 5
PT 2012 - Geometria - Nível 2 - ula 4 - Prof. nofre Campos/Rodrigo Problema 19. Sejam D, BE e CF as alturas do triângulo acutângulo BC. reta por D paralela a EF encontra os lados C e B nos pontos Q e R respectivamente. reta EF intersecta BC no ponto P. Prove que a circunferência circunscrita ao triângulo PQR passa pelo ponto médio de BC. Problema 20. Sejam o ortocentro do triângulo BC, não retângulo, e M o ponto médio do lado BC. circunferência de diâmetro M encontra a circunferência circunscrita ao BC em um segundo ponto P. Mostre que os pontos P, e M são colineares. Problema 21. Seja BC um triângulo acutângulo. Três retas L, LB, LC são construídas através dos vértices, B e C respectivamente de acordo com as seguintes regras: seja o pé da altura traçada do vértice para o lado oposto BC, seja S o círculo com diâmetro ; S encontra os lados B e C em M e N respectivamente, onde M e N são distintos de ; então L é a reta através de perpendicular a MN. s retas LB e LC são construídas analogamente. Prove que L, LB, LC são concorrentes. Problema 22. É possível construirmos um triângulo sendo conhecidos apenas o ortocentro e dois dos pontos médios dos lados? Problema 23. Considere três círculos congruentes concorrentes em um ponto P. Sejam, B, C os outros pontos de interseção dos círculos. Então o raio comum destes três círculos é igual ao raio do círculo circunscrito de BC, e P é o ortocentro de BC. Problema 24. Sejam e o ortocentro e o circuncentro do triângulo BC. Mostre que a distância do ortocentro a um vértice é o dobro da distância do circuncentro ao lado oposto a este vértice. Problema 25. Mostre que, em todo triângulo, o ortocentro, o baricentro G e o circuncentro são colineares. ( reta que contém estes pontos é chamada reta de Euler). Mostre ainda que, G e estão sempre na razão G : G = 2 : 1. Problema 26. (Círculo dos Nove Pontos) Sejam o ortocentro e o circuncentro do triângulo BC. M, N e P são os pontos médios dos lados BC, C e B, respectivamente; D, E e F são os pés das alturas relativas aos lados BC, C e B, respectivamente; R, S e T são os pontos médios de, B e C, respectivamente. s nove pontos M, N, P, D, E, F, R, S, T estão sobre uma circunferência, com centro no ponto médio de e cujo raio é metade do raio do círculo circunscrito a BC. círculo que contém estes pontos é chamado círculo de Euler ou círculo dos nove pontos do triângulo BC. Problema 27. Prove que o raio do círculo dos nove pontos é igual a metade do raio do círculo circunscrito. Problema 28. Seis diferentes pontos são escolhidos sobre uma circunferência. ortocentro do triângulo formado por três destes pontos é ligado ao baricentro do triângulo formado pelos outros três. Prove que os 20 segmentos que podem ser determinados desta maneira são todos concorrentes. 6
PT 2012 - Geometria - Nível 2 - ula 4 - Prof. nofre Campos/Rodrigo Problema 29. Seja o ortocentro do BC. Prove que as retas de Euler dos triângulos BC, BC, C, B são todas concorrentes. Em que notável ponto BC estas retas concorrem? Problema 30. Seja o ortocentro de um triângulo BC, tal que C BC. segmento que une os pontos médios de C e B intercepta a bissetriz do ângulo CB no ponto N. Sabendo que o circuncentro do triângulo BC pertence à reta que liga os pontos e N, determine a medida do CB. Problema 31. (CSF) BCD é um paralelogramo, é o ortocentro de BC e é o circuncentro de CD. Prove que, e D são colineares. 7