1 Módulo VI Fote: http://postcards.ig.com.br/idex.php?step=sedcard&ec_id=184 álise Combiatória Itrodução aálise Combiatória é a parte da Matemática que estuda os problemas, escolhedo os elemetos de um cojuto, mediate codições estabelecidas. Exemplos:
0 1 ) Quatas são as possibilidades de apostas a Loto? 0 ) Quatos casais podemos formar com 5 rapazes e 5 moças? ricípio Fudametal da Cotagem Se um certo procedimeto pode ocorrer de duas maeiras diferetes, sedo: Ι ) 1 a ΙΙ ) a maeira ocorredo de a modos distitos; maeira ocorredo de b modos distitos. quatidade de maeiras de ocorrer o procedimeto é dada pelo produto. Quado o procedimeto ocorrer de três modos diferetes, o total de possibilidades é. Exemplo: Uma turma é costituída de 3 moças (Carla, Ferada e aula) e rapazes (Herique e Eduardo). Quatos casais podem ser formados a turma? Cada moça pode formar dois casais; como são três moças, teremos seis casais:
3 Total: 3 = 6 casais Exercícios: 1) Uma jovem tem 4 blusas e 3 calças compridas. De quatas maeiras diferetes ela pode vestir-se? ) placa de uma moto tem duas letras e três dígitos. Quatas motos são emplacadas começado B? 3) Numa cidade, cada úmero de telefoe tem 7 algarismos. Qual é o úmero de telefoes que começam por 34? Soluções. Exercícios ricípio Fudametal da Cotagem 1) 4 3 = 1 maeiras diferetes. 10 10 10 = 1000 motos são emplacadas começado por B. 10 10 10 10 = 10000 telefoes que começam por 34.
4 Fatorial Dado qualquer úmero, sedo 0 e 1, defie-se! (que se lê: fatorial ) como sedo:! = ( 1).( )...1 Observação: 1! = 1 0! = 1 Exemplos: 1)! = 1 = ) 3! = 3 1 = 6 3) 4! = 4 3 1 = 4 4) 5! = 5 4 3 1 = 10 1. Calcular: Exercícios a)! + 4! b) 5! 3! c) 0! + 3! d) 4! + 5!
5 e) 6! f) 7! g) 8! h) 9!. Simplificar: a) 4! 3! b) 5! 3! c) 6! 4! d) 7! 4! e) 10! 8! f) 11! 9! 3. Resolver as equações: a) b) x! = 8 ( x 1)!! = 10 ( 1)! c) ( + 1)! = 7! d) ( )! = 10 ( 3)! e) x! = 0 ( x )!
6 f) x! = 30 ( x )! g) ( 1)! = 1 ( 3)! h) ( )! = 0 ( 4)! 4. Simplifique: ( x + 1)! x! ( x 1)! ( x + 1)! Soluções - Exercícios fatorial 1) a)! + 4! = 1+ 4 3 1 = 6 b) 5! 3! = 5 4 3 1 3 1 = 10 6 = 114 c) 0! + 3! = 1+ 3 1 = 6 + 1 = 7 d) 4! + 5! = 4 3 1+ 5 4 3 1 = 4 + 10 = 144 e) 6! = 6 5 4 3 1 = 70 f) 7! = 7 6 5 4 3 1 = 5040 g) 8! = 8 7 6 5 4 3 1 = 4030 h) 9! = 9 8 7 6 5 4 3 1 = 36880 ) a) 4! 4 3! 3! = 3! = 4 b) 5! 5 4 3! = = 0 3! 3!
7 c) 6! 6 5 4! = 4! 4! = 30 d) 7! 7 6 5 4! = 4! 4! = 10 e) 10! 10 9 8! = 8! 8! = 90 f) 3) 11! 11 10 9! = 9! 9! = 110 a) x! = 8 ( x 1)! x ( x 1)! ( x 1)! x = 8 = 8 b)! = 10 ( 1)! ( 1)! ( 1)! = 10 = 10 c) ( + 1)! = 7! ( + 1)!! + 1 = 7 = 6 = 7
8 d) ( )! = 10 ( 3)! ( ) ( 3)! ( 3)! = 10 = 10 + = 1 = 10 e) x! = 0 ( x )! x ( x 1) ( x )! ( x )! = 0 x ( x 1) = 0 x x 0 = 0 ± x = b b 4ac a 1± 1 4 1 ( 0) x = 1± 9 x = x Ι = 5 x ΙΙ = 4 (falso) Resposta: + 5 f) x! = 30 ( x )! x ( x 1) ( x )! ( x )! x x 30 = 0 = 30
9 ± x = a b b 4ac 1± 1 4 1 ( 30) x = 1± 11 x = x Ι = 6 x ΙΙ = 5 (falso) Resposta: + 6 g) ( 1)! = 1 ( 3)! ( 1) ( ) ( 3)! ( 3)! ( 1) ( ) = 1 + 1 = 0 3 10 = 0 ± = b b 4ac a 3 ± 9 4 1 ( 10) = 3 ± 7 = Ι = 5 ΙΙ (falso) = 1 Resposta: + 5
10 h) ( )! = 0 ( 4)! ( ) ( 3) ( 4)! ( 4)! ( ) ( 3) = 0 3 + 6 = 0 5 14 = 0 = 0 5 ± 5 4 1 ( 14) = 5 ± 9 = Ι = 7 ΙΙ = 0,33... (falso) Resposta: + 7 4) ( x + 1)! x! ( x 1)! ( x + 1)! ( x + 1) ( x) ( x 1)! ( x 1)! x! ( x + 1) x! x x ( x + x) = = x + 1 x + 1 x + 1 ( 1) 1 x + x + = x rrajos Simples a) Defiição Seja um cojuto com elemetos distitos. O total de grupos destes elemetos, agrupados p a p, sedo p, ode cada grupo diferete do outro pela ordem ou pela atureza de seus elemetos, chama-se arrajos simples dos elemetos, agrupados p a p.
11 represetação de arrajos simples é: p ou, p Ode: =úmero de elemetos do cojuto p=úmero de elemetos de cada grupo Que se lê: arrajos simples de elemetos agrupados p a p. b) Fórmula = ( 1).( )...( p + 1) ou p p! = ( p)! Exemplo: 8 = 8 7 = 56 ou 8 8! 8! 8 7 6! = = = = 56 (8 )! 8! 6! Exercícios 1. Calcular: a) b) c) 3 4 3 4
1 d) e) 1 3 5. Calcular, sedo = 0. 3. Calcular, dado + = 36 Soluções dos Exercícios rrajos Simples 1) a) 3 3! 3! 3 1! = = = = 6 (3 )! 1! 1! b) 4 4! 4! 4 3! = = = (4 )!!! = 1 c) 3 4 4! 4! 4 3 1! = = = (4 3)! 1! 1! = 4 d) 1 3! 3! 3! 3 = = = = 3 (3 1)!!! e) 5 5! 5! 5 4 3! = = = = 0 (5 )! 3! 3!
13 ) = 0! = 0 ( )! ( 1) ( )! ( )! 0 = 0 = 0 1± 1 4 1 ( 0) = 1± 9 = Ι = 5 ΙΙ = 4 Resposta: + 5 3) + = 36! + = 36 ( )! ( 1) ( )! + = 36 ( )! = 36 = ± Ι ΙΙ = + 6 + = 36 36 = 6 Resposta: + 6 êhhh!!!descotraiiiiidooo...
14 Caipiras e olíticos Um avião cheio de políticos caiu o campo. Três caipiras que viram o acidete foram até lá e eterraram todos. Logo apareceu um helicóptero, de ode desceu um bombeiro, que pergutou: Vocês viram os políticos que estavam esse avião? gete eterrou todos, sehor. Mas vocês verificaram se algum estava vivo? h, moço, quado a gete pergutou, eles até levataram a mão. Mas o sehor sabe como político é... Tudo metiroso! Fote: http://www5.humortadela.com/piadas/view.php?joke=6941 ermutação Simples São os agrupametos obtidos pela troca de posição de elemetos distitos, agrupados a. represetação é que se lê: permutações simples de elemetos. b) Fórmula: =!
15 c) ermutações com repetição α, β,...! = α! β!... Exemplo: Calcular o úmero de aagramas (permutações com letras), obtidas com as letras da palavra BNN. 3 6! 6 5 4 3! 6 = = = 60 3!! 3! 1 Exercícios 1. Calcule: a) + 3 b) 4 + 3 c) 5 + d) 6 5. Calcular o úmero de aagramas (permutações com letras), formados com as letras de: a) boa b) bola c) amigo d) pelota e) bala
16 f) carro g) macaca h) macacada Soluções Exercícios ermutação Simples 1) a) + 3 =! + 3! = 1+ 3 1 = + 6 = 8 b) 4 + 3 = 4! + 3! = 4 3 1+ 3 1 = 4 + 6 = 30 c) 5 + = 5! +! = 5 4 3 1+ 1 = 10 + = 1 d) 6 5 = 6! 5! = (6 5 4 3 1) (5 4 3 1) = 70 10 = 600 ) a) boa 3 = 3 1 = 6 b) bola 4 = 4! = 4 3 1 = 4 c) amigo 5 = 5! = 5 4 3 1 = 10 d) pelota 6 = 6! = 6 5 4 3 1 = 70
17 e) bala 4 4! 4 3! = =!! = 1 f) carro 5 5! 5 4 3! = =!! = 60 g) macaca 3, 6 6! 6 5 4 3! = = 3!! 3!! 0 = = 60 1 h) macacada 4, 8 8! 8 7 6 5 4! = = 4!! 4! 1 = 840 Combiação Simples a) Defiição O total dos grupos de elemetos distitos, agrupados p a p, sedo p, ode os grupos diferem etre si, apeas pela atureza de seus elemetos, chamamos combiações simples. sua represetação é: p C ou, p C ou ( ) p : úmero de elemetos do cojuto p : úmero de elemetos de cada grupo Que se lê: combiações simples de elemetos agrupados p a p.
18 ( p ) é chamado de úmero biomial ou combiatório. b) Fórmula p! = C = p p!( p)! ou p C = p p Exemplo: ( ) 8! 8 7 6! = C = = = 8!6! 6! 8 8 ou C 8 8 7 = = 8 1 c) Taxas complemetares C = ou ( p ) = ( p ) p p C Exemplo: C = C ou ( 10 ) ( 10 8 = ) 8 10 10 1. Calcular: Exercícios a) b) c) C 3 C 4 C 5
19 d) 3 C 6 7 e) ( ). Calcular, se C = 8 3. Calcular, se + C = 30. Soluções - Exercícios Combiação Simples 1) a) b) C C 3 4 3! 3! = = 3!(3 )!! 1! = 4! 4 3! = =!(4 )!! 1 = 6 c) C 5 5! 5 4 3! = =!(5 )!! 3 1 =10 d) 3 6! 6 C 6 = = 3!(6 3)! 5 4 3! 3! 3 1 = 0 e) ( ) 7! 7 6 5 4 3! = C = =!(7 )!! 5 4 3 7 7 4 1 = = 1 ) C = 8
0! = 8!( )! ( 1) ( )! 1( ) = 8 = 8 56 = 0 1± 1 4 1 ( 56) = 1± 15 = Ι ΙΙ = 8 = 7 Resposta: + 8 3) + C = 30 (arrajo e combiação)!! + = 30 ( )!!( )! ( 1) ( )! ( 1) ( )! + ( )! 1 ( )! + = 30 60 + = = 30
1 + 60 = 0 3 3 60 = 0 3 0 = 0 1± 1 4 1 ( 0) = 1± 9 = Ι = 5 ΙΙ = 4 Resposta: + 5 Fote: http://postcards.ig.com.br/idex.php?step=sedcard&ec_id=5396 Difereça etre arrajo e combiação ara idetificar se um agrupameto é arrajo ou combiação, você verifica se a mudaça de ordem altera ou ão o agrupameto.
grupameto ode importa apeas a mudaça de atureza são combiações. grupametos ode importa a mudaça de ordem e/ou atureza são arrajos. Faça sempre a seguite perguta: Mudado a ordem, muda o agrupameto? Sim, etão é arrajo. Não, etão é combiação. Exercícios 1) Uma moça dispõe de 4 blusas e 3 saias. De quatos modos distitos ela pode se vestir? escolha da blusa pode ser feita de 4 maeiras diferetes, equato que a da saia, de 3 maeiras diferetes. 4 3 = 1 modos diferetes ) Existem 4 camihos ligado os potos e B, e 5 camihos ligado os potos B e C. ara ir de a C, passado pelo poto B, qual o úmero de trajetos diferetes que podem ser realizados?
3 Escolher um trajeto de a C sigifica escolher um camiho de a B e depois outro, de B a C. ercurso B 4 possibilidades ercurso BC 5 possibilidades 4 5 = 0 trajetos diferetes 3) Quatos úmeros de três algarismos podemos escrever com os algarismos ímpares? 1 3 5, 7, 9 = úmeros ímpares Etão, 5 possibilidades para a cetea 5 possibilidades para a dezea 5 possibilidades para a uidade 5 5 5 = 15 úmeros de três algarismos. 4) Quatas placas poderão ser cofeccioadas se forem utilizados três letras e três algarismos para a idetificação de um veículo? (cosiderar 6 letras, supodo que ão existe ehuma restrição).
4 Letras temos 6 letras, 6 possibilidades algarismos dez algarismos (0,1,3,4,5,6,7,8,9) Serão cofeccioadas 14 576 000 placas. 5) Quatos úmeros de algarismos distitos podemos formar com os algarismos 1,,3 e 4? Temos 4 possibilidades para o 0 1 algarismo e, para cada uma delas, 3 possibilidades para o segudo, visto que ão é permitido a repetição. Doze úmeros de algarismos distitos podemos formar. 6) Quatos úmeros de 3 algarismos distitos podemos formar com os algarismos 1,,3,4,5,6,7,8 e 9? 9 8 7 = 504 úmeros
5 7) Quatos são os úmeros de 3 algarismos distitos? - lgarismos: 0,1,,3,4,5,6,7,8,9. - ara escolha do pode ser igual a zero. -ara o 0 1 algarismo, temos ove possibilidades, pois ele ão 0 algarismo, também temos ove possibilidades, pois um deles foi usado ateriormete. 8) Quatos úmeros etre 000 e 5000 podemos formar com os algarismos pares, sem os repetir? ares: 0,,4,6,8 Os úmeros devem estar compreedidos etre 000 e 5000, etão o algarismo só pode ser ou 4. ssim, temos possibilidades para o primeiro algarismo e 4 para o segudo, 3 para o terceiro e para o quarto. 0 1 9) Quatos úmeros de 3 algarismos distitos podemos escrever com os algarismos 1,,3,4,5,6,7,8 e 9?
6 9,3 = 9 8 7 = 504 úmeros 10) Cosidere a palavra atrevido: a) Quatos aagramas (permutações simples) podemos formar? b) Quatos aagramas começam por? c) Quatos aagramas começam pela sílaba TRE? d) Quatos aagramas possuem a sílaba TRE? e) Quatos aagramas possuem as letras T, R e E jutas? f) Quatos aagramas começam por vogal e termiam em cosoate? Soluções: 8 = 8! = 8 7 6 5 4 3 1 = 4030 aagramas 7 = 7! = 7 6 5 4 3 1 = 5040 aagramas
7 5 = 5! = 5 4 3 1 = 10 aagramas d) Cosideramos a sílaba TRE como um úico elemeto. 6 = 6! = 6 5 4 3 1 = 70 aagramas e) Devemos permutar etre si 6 elemetos, tedo cosiderado as letras T, R, E como um úico elemeto: 6 = 6! Devemos permutar as letras T, R, E, pois ão foi especificada a ordem: 3 = 3! 6 3 = 6! 3! = (6 5 4 3 1) (3 1) = 70 6 = 430 aagramas f) palavra atrevido possui 4 vogais e 4 cosoates
8 16 6! = 16 70 = 1150 aagramas 11) Obter a quatidade de úmeros de 4 algarismos formados pelos algarismos e 3 de maeira que cada um apareça duas vezes a formação do úmero. Os úmeros: 33 33 33 33 33 33 (,) 4 4! 4 3! = = 6!!! 1 = úmeros 1) Quatos aagramas podemos formar com as letras da palavra MD? (3,1,1) 5 5! 5 4 3! = = 0 3!1!1! 3! 1 1 = aagramas
9 13) Quatos aagramas da palavra GRRF coheçam pela sílaba R? (,1,1) 5! 5 4 3! = =!1!1!! 1 1 = 60 aagramas 14) Numa circuferêcia marcam-se 8 potos, a distitos. Obter o úmero de triâgulos que podem formar com vértice os potos idicados. Escolhemos 3 potos ão importado a ordem = triâgulo. C 8,3 = 8! 8 7 6 5! 3!5! = = 56 triâgulos 3 1 5! 15) Em uma reuião estão presetes 6 rapazes e 5 moças. Quatas comissões de 5 pessoas, 3 rapazes e moças, podem ser formadas? escolher 3 rapazes
30 C 6,3 6! 6 5 4 3! = = 0 3!3! 3! 3 1 = modos escolher moças C 5, 5! 5 4 3! = = 10 3!! 3! 1 = modos Como para cada uma das 0 triplas de rapazes temos 10 pares de moças para compor cada comissão, etão, o total de comissões é: C6,3 C5, = 0 10 = 00 Resposta 16) Sobre uma reta são marcados 6 potos, e sobre uma outra reta, paralela à primeira, 4 potos. a) Quatas retas esses potos determiam? b) Quatos triâgulos existem com vértices em três desses potos? a) C10, C6, C4, + = 6 retas, ode C 6, é o maior úmero de retas possíveis de serem determiadas por seis potos C 4, é o maior úmero de retas possíveis de serem determiadas por quatro potos. 1 3 4 5 6 b) C10,3 C6,3 C4,3 = 96 triâgulos, ode C 6,3 é o total de combiações determiadas por três potos alihados em uma das retas, pois potos colieares ão determiam triâgulos C 4,3 é o total de combiações determiadas por três potos alihados a outra reta.
31 7 8 9 10 17) Uma ura cotém 10 bolas bracas e 6 pretas. De quatos modos é possível tirar 7 bolas das quais pelo meos 4 sejam pretas? s retiradas podem ser: 4 pretas e 3 bracas C6,4 C10,3 = 1800 ou 5 pretas e bracas C6,5 C10, = 70 ou 6 pretas e 1 braca C6,6 C10,1 = 10 Logo, 1800 + 70 + 10 = 080 modos. Observação: os exercícios 1 ao 17 tem como fote bibliográfica: ( Opção 006 rocesso Seletivo IBGE) 18) (CEF/1998 FCC/ CESGRNRIO) Desejado limpar uma prateleira a arrumadeira retirou de lá uma coleção de livros umerados de 1 a 9. Depois ela recolocou aleatoriamete os livros a prateleira. É claro que ela pode tê-lo colocado a ordem ormal, ou seja, 1,,3, etc. No etato, a chace de isso ocorrer é apeas uma em: a) 16600 b) 4030 c ) 36 880 d) 368 040 e) 406 036
3 9 = 9! = 9 8 7 6 5 4 3 1 = 36880 19) (IBGE 000 NCE UFRJ) soma do úmero de aagramas que se pode fazer com as letras da palavra MOR com o úmero de aagramas que se pode fazer com as letras da palavra Z, é um úmero: a ) divisível pelo míimo múltiplo comum etre e 15 b) ímpar c) múltiplo de 4 d) primo e) divisível por 9 4 + 3 = 4 3 1+ 3 1 = 4 + 6 = 30 30 é divisível pelo MMC (, 15) 0) (TFC 001 ESF) Em uma circuferêcia são escolhidos 1 potos distitos ligam-se quatro quaisquer destes potos, de modo a formar um quadrilátero. O úmero total de diferetes quadriláteros que podem ser formados é:
33 a)18 b ) 495 c) 545 d) 1485 e) 11880 1! 8!4! 3 4,9 C 1,4 = = 1 5 11 10 9 8! 8! 4 3 1 = 495 diferetes quadriláteros 1) Quatos úmeros de dois algarismos distitos podemos escrever com os dígitos 1,,3,4,5,6,7,8,9. 9, 9! 9! 9 8 7! = = = (9 )! 7! 7! = 7 úmeros podem ser escritos ) Quatos úmeros de 3 algarismos distitos podemos formar com os dígitos do sistema decimal de modo que: a) comecem por 1. b) comecem por e termiam em 5. a) Sistema decimal = 0,1,,3,4,5,6,7,8,9
34 9, 9! 9! 9 8 7! = = = (9 )! 7! 7! = 7 algarismos b) 8,1 8! 8! 8 7! = = = (8 1)! 7! 7! = 8 algarismos 3) Com os algarismos 0,1,,3,4,5,6, quatos úmeros de 4 algarismos distitos podemos formar de modo que: a) comecem por 4. b) comecem por 5 e termiem em 1 a) 0,1,,3, 4,5,6 6,3 6! 6! 6 5 4 3! = = = (6 3)! 3! 3! = 10 úmeros b) 0, 1,,3,4, 5,6
35 5, 5! 5! 5 4 3! = = = (5 )! 3! 3! = 0 úmeros 4) Com os algarismos 0,1,,4,5 sem os repetir, quatos úmeros de três algarismos distitos podemos formar: 4! 4! 4 (4 3!) 4 4, = 4 = 4 = (4 )!!! = 48úmeros 5) Com a, Elisa, Rose, Felipe, Gustavo, Carolia, quatas equipes de duas pessoas podemos formar? C 6, 6! 6! 6 5 4! = = = (6 )!!4! 14! = 15 odemos formar 15 equipes. 6) Com as professoras Elza, Izabel, atrícia, Fátima, Clarissa, Liziae, Rosa, quatos grupos de três professoras podemos formar?
36 C 7,3 7! 7! 7 6 5 4! = = = 3!(7 3)! 3!4! 3 1 4! = 35 grupos 7) Quatos úmeros ímpares de quatro algarismos ão repetidos podemos escrever com os dígitos de 1 a 9. 8! 8 7 6 5! 5 8,3 = 5 = 5 =1680 5! 5! úmeros 8) Um estudate tem 5 lápis de cores diferetes e quer pitar uma badeira de 3 listras, cada listra de uma cor, de quatas formas isto pode ser feito? 5,3 5! 5 4 3! = = (5 3)!! = 60 formas. 9) Quatos são os aagramas da palavra BRNCO: a) que comecem por b; b) que comecem por cosoate; c) que comecem por b e termiem em vogal;
37 d) as letras bra aparecem jutas essa ordem; e) bra aparecem jutas. a) 5 = 5! = 5 4 3 1 = 10 aagramas b) 5 ( ) 4 = 4 5! = 4 5 4 3 1 = 480 aagramas c) 4 ( ) = 4! = 4 3 1 = 4 = 48 aagramas d) 4 = 4 3 1 = 4 aagramas
38 e) 3 4 = 3!4! = 144 aagramas 30) Quatos são os aagramas da palavra dezessete. 4, 9 9! 9 8 7 6 5 4! = = 4!! 4! 1 = 7560 aagramas 31) Quatos são os aagramas da palavra dezessete que começam por s. 4 8! 8 = = 1680 aagramas 4!