Capítulo 5 Séries numéricas e séries de potências Inicia-se o capítulo com a definição de série numérica e com oção de convergência de séries numéricas, indicando-se exemplos, em particular o exemplo da série geométrica. Considerando séries numéricas com termos não negativos e não positivos estabelece-se uma condição necessária de convergência e o critério de Cauchy bem como as suas consequências imediatas. Estabelecem-se para séries de termos não negativos critérios de convergência. Estabelece-se o critério de comparação, o critério da razão e o critério da raiz. Define-se série absolutamente convergente e analisa-se a consequência deste conceito na análise datureza de séries de termos reais. Aborda-se sumariamente a determinação aproximada da soma de uma série convergente. Introduz-se o conceito de série de potências. Estabelecem-se para estas séries condições de convergência e indica-se, quando possível, expressões para a sua soma. 5. Série numérica. Definição. Exemplos. Procurando estender oção de adição a um número infinito de parcelas e atribuir significado ao símbolo em que é uma sucessão de termos reais é natural pensar na sucessão de termos reais.
s = a s 2 = a + a 2. s n = a + a 2 +... +. Nem sempre é possível contudo atribuir significado ao símbolo considerado mas, se a sucessão s n convergir naturalmente n s n = Definição 5... Sejam as sucessões de termos reais e s n = a + a 2 +... +. Designa-se por série numérica o objecto matemático definido pelo par ordenado (, s n ) A série numérica por simplicidade representa-se por em que a sucessão é designada por sucessão dos termos da série e a sucessão s n é designada por sucessão das somas parciais. Note-se que as duas sucessões e s n são determinadas uma pela outra s n = a + a 2 +... + s n = s n s n Definição 5..2. A série numérica é uma série convergente(divergente) se e só se a sucessão s n é uma sucessão convergente(divergente). Se a série é convergente a soma da série é o ite da sucessão s n i. e. = n s n 2
Teorema 5..3. Se a série + é convergente então a sucessão é um infinitésimo Demonstração. s n = a + a 2 +... + é convergente. Tem-se é uma série convergente se e só se a sucessão + = s n+ s n. Ora sendo s n uma sucessão convergente, uma vez que s n+ é uma subsucessão de s n, + = s n+ s n = 0 n + n + n + Exemplo 5..4. Seja a série geométrica a.r n, a R Analise-se para que valores de r R a série é convergente. r = s n = a + a +... + a = n.a A série é divergente pois s n é uma sucessão divergente. r s n r.s n = a( r n ) s n = a. rn r Como + se r > n + rn = 0 se r < não existe se r. tem-se que a sucessão s n converge se e só se r <. Consequentemente a série geométrica indicada é convergente se e só se r < e a.r n = a r. 3
Exemplo 5..5. Analise-se a convergência da série n Ora Tem-se = n e s n = + 2 +... + n s n n +... + n = n n = n + consequentemente a sucessão s n é divergente e a série + n é divergente. Este exemplo mostra que a condição 0 é uma condição necessária de convergência mas não é condição suficiente, pois 0 e a série é divergente. Exemplo 5..6. Seja a série de Mengoli Analise-se se a série é convergente. n(n + ) Tem-se = n(n + ) e s n =.2 + 2.3 +... + n(n + ) Ora vindo = n(n + ) = n n + s = /2 s 2 = ( /2) + (/2 /3) = /3. s n = ( /2) + (/2 /3) +... + ( /n) + (/n /(n + )). 4
Assim a sucessão s n = /(n + ) é uma sucessão convergente que tem como ite. A série de Mengoli indicada é pois uma série convergente e n(n + ) = Mais geralmente tem-se a proposição seguinte Proposição 5..7. A série em que = u n u n+ n N e a sucessão u n são convergentes ou divergentes simultaneamente e em caso de convergência = u u n+ n + Demonstração. Considere-se a sucessão s n = a + a 2 +... + = (u u 2 ) + (u 2 u 3 ) +... + (u n u n+ ) = u u n+. As sucessões s n e u n, atendendo à expressão anterior, têm a mesmatureza. Sendo convergentes s n = u u n+. n + n + Conclui-se esta secção com resultados de operações álgebricas envolvendo séries. Teorema 5..8. i) Sejam a n e duas séries convergentes de somas respectivamente s e s. Então a série +, em que = a n + a n, é convergente de soma s = s + s. 5 a n,
ii) Se é uma série convergente de soma s, e b R. Então a série + b n em que b n = b é convergente de soma bs. Demonstração. i) Sejam s n e s n as sucessões de somas parciais associadas às séries de termos gerais respectivamente a n e a n. Tem-se s n = a +... + = (a + a ) +... + (a n + a n) = = (a +... + a n) + (a +... + a n) = s n + s n. Concluindo-se que a sucessão s n é convergente e s n s + s = s ii) Sendo t n a sucessão das somas parciais associada à série de termo geral b tem-se b.a +... + b. = b.(a +... + ) b.s Observação 5..9. Quando são divergentes as séries + a n e + a n, a série pode divergir ou convergir. (a n + a n), Quando uma das séries + a n ou + a n converge e a outra diverge a série diverge. (a n + a n), 6
5.2 Critério de Cauchy. Consequências Em geral a convergência de uma série não é analisada directamente a partir da sucessão das somas parciais mas recorrendo a critérios de convergência. Analisa-se nesta secção uma condição necessária e suficiente de convergência designada por critério de Cauchy. Teorema 5.2. (Critério de Cauchy). A série é convergente se e só se ɛ>0 p N r q > p a q+ +... + a r < ɛ Demonstração. A série + é convergente se e só se a sucessão s n = a +... + é uma sucessão convergente. Ora a sucessão s n é uma sucessão convergente se e só se a sucessão s n é uma sucessão de Cauchy. Por outro lado s n é uma sucessão de Cauchy se e só se ɛ>0 p N r q > p s r s q < ɛ Atendendo a que tem-se assim o critério de Cauchy. s r s q = a q+ +... + a r. Observação 5.2.2. A condição necessária de convergência obter-se a partir deste critério: 0 pode ɛ>0 p N r q > p a q+ +... + a r < ɛ a q+ < ɛ r=q+ Exemplo 5.2.3. Analise-se se a série harmónica, é uma série divergente n. 7
Tem-se para r = 2q que q + + q + 2 +... + 2q 2q +... + 2q = 2 Assim pelo critério de Cauchy a série é divergente. Corolário 5.2.4. As séries numéricas e b n em que existe p N tal que par > p, = b n, são da mesmatureza (a natureza da série não depende dos p primeiros termos) Exemplo 5.2.5. Têm a mesmatureza as séries numéricas 2 + 6 + + 2 +... + n(n + ) +... = n(n + ) 2 + 3 + + 2 +... + n(n + ) +... = 2 + 3 + n(n + ) São ambas séries convergentes ainda que com somas diferentes. Corolário 5.2.6. A natureza de uma série não é alterada se for suprimido um número finito arbitrário de termos i.e. para p N as séries n=3 e b n, em que b n = +p, são da mesmatureza. Exemplo 5.2.7. São séries simultaneamente divergentes as séries: + 2 + 3 +... + n +... = + n 3 + 4 +... + + n + 2 +... = n + 2 8
5.3 Critérios de convergência para séries de termos não negativos Teorema 5.3.. Sendo 0 a série é convergente se e só se a sucessão das somas parciais é majorada. Demonstração. A sucessão s n = n k= é uma sucessão crescente já que, como + 0, s n+ = s n + + s n. Ora uma sucessão s n crescente é convergente se e só se é majorada. Teorema 5.3.2 (Critério geral de comparação). Seja 0 b n, n N i) Se + b n é uma série convergente então + é uma série convergente. ii) Se + é uma série divergente então + b n é uma série divergente. Demonstração. i) Sejam as sucessões das somas parciais s n = a +... +, e t n = b +... + b n. Como 0 b n tem-se s n t n. Ora sendo + b n uma série convergente do teorema 5.3., t n é uma sucessão majorada consequentemente a sucessão s n é uma sucessão majorada concluindo-se que + é uma série convergente. 9
ii) Tendo presente que sendo A, B proposições, A B B Ã, tem-se de imediato ii) de i). Exemplo 5.3.3. Analise-se a convergência da série + Ora n 2. A série a analisar tem a mesmatureza que a série + (n + ) 2 n(n + ) n N (n + ) 2. em que + é uma série de Mengoli convergente. Do critério geral n(n + ) de comparação tem-se então que a série é uma série convergente. (n + ) 2 Exemplo 5.3.4. Analise-se atureza da série + é divergente a série consi- Uma vez que se tem n e a série n/3 n derada é uma série divergente. Mais geralmente tem-se que as séries de Dirichlet n p n /3 são séries convergentes se p > e séries divergentes se p Teorema 5.3.5 (Critério geral de comparação na forma de ite). Sejam 0 e b n > 0. Então i) Se existir o ite em R de /b n e for diferente de zero, as séries têm a mesmatureza. e b n 0
ii) Se = 0 n + b n tem-se que se + b n é uma série convergente então + é uma série convergente. iii) Se = + n + b n tem-se que se + é uma série divergente então + b n é uma série divergente. Demonstração. i) Seja Então concluindo-se que n > p ɛ ]0,l[ = l 0 n + b n 0 < l ɛ < b n < l + ɛ 0 < k < b n < k 2 em que k = l ɛ, k 2 = l + ɛ. Assim do critério geral de comparação tem-se que se + b n é convergente + é convergente e que, se + é divergente + b n é divergente. ii) Sendo o ite zero n > p 0 ɛ ɛb n ɛ>0 b n obtendo-se a conclusão do critério geral de comparação.
iii) Sendo o ite + n > p ɛ ɛb n ɛ>0 b n obtendo-se a conclusão do critério geral de comparação. Exemplo 5.3.6. Analise-se atureza da série ( ) n + n Sendo tem-se = n 4 n 4 ( n + n ) = n 3 2 + 4 n 4 n n + + (n + ) n = 2 0 Assim a série + é uma série convergente pois tem a mesmatureza que a série + n 5 4, que é uma série de Dirichlet convergente. Teorema 5.3.7 (Critério da razão). Seja + uma série de termos não negativos i) Se existe r < tal que a partir de certa ordem então + é convergente. ii) Se a partir de certa ordem + r então + é divergente. + 2
Demonstração. i) Seja b n = r n. A série geométrica + b n converge quando r <. Ora Assim + b n+ b n + r = b n+ b n e a sucessão b n é decrescente tendo-se b n a b = k Recorrendo ao critério de comparação, uma vez que kb n, se a série b n é convergente é também convergente +. ii) Se a partir de certa ordem + então não tende para zero e consequentemente a série + não é convergente. Corolário 5.3.8 (Critério de D Alembert). Seja + uma série de termos positivos e suponha-se que existe n + Se l < a série + converge. Se l > a série + diverge. Se l = + a série + diverge. Demonstração. + Se l < escolhido ɛ ]0, l[ tem-se a partir de certa ordem + l + ɛ < = l vindo do critério da razão que a série + converge. 3
Nos restantes casos basta verificar que a condição necessária de convergência da série não se verifica. Exemplo 5.3.9. Considere-se a série e analise-se se é convergente. Tem-se + = n + n +, a > + (n+)! a = n + n + = 0 concluindo-se pelo critério de D Alembert que a série é convergente. Como consequência da convergência da série n + = 0 i.e. quando n +, é desprezável relativamente!, = o(). Exemplo 5.3.0. Considere-se a série + Tem-se + = n + n + (n+)! (n+) n+ = n n n + e analise-se se é convergente. nn ( ) n n = n + e < concluindo-se pelo critério de D Alembert que a série é convergente. Como consequência da convergência da série n + n = 0 n i.e. quando n +, é desprezável relativamente n, = o(n n ). Teorema 5.3. (Critério da raiz). Seja + uma série de termos não negativos. 4
i) Se existe r < tal que a partir de certa ordem n r então a série é convergente. ii) Se a partir de certa ordem n então a série + é divergente. Demonstração. i) Se par > p se tem r n em que r < então r n série convergente série convergente. ii) Se existirem infinitos números naturais tais que n, a sucessão não é um infinitésimo e consequentemente a série + não converge. Corolário 5.3.2. Seja + uma série de termos não negativos e n = l i) Se l < a série + é convergente. ii) l > a série + é divergente. iii) l = nada se pode concluir. Exemplo 5.3.3. Analise-se a convergência da série + n Tem-se n + n nan = a concluindo-se pelo critério de Cauchy que a série é convergente se a < e divergente se a >. Para a = a série é divergente uma vez que não satisfaz a condição necessária para a convergência de séries. 5
Observação 5.3.4. Tem-se n + n n 2 = e n + n n = Sendo a série + convergente e a série divergente conclui-se que n 2 n sendo l = do corolário 5.3.2 nada se pode concluir quanto à natureza da série. Teorema 5.3.5 (Critério integral). A série f(n), em que f uma função contínua, decrescente e positiva em {x R : x }, é uma série convergente se e só se existe, em R, m + m f(x) dx Demonstração. Como a função f é contínua, decrescente e positivo intervalo [k, k + ], k N, tem-se f(k + ) k+ k f(x) dx f(k) Ora considerando n desigualdades para k =,..., n, e somando termo a termo tem-se n n n s n f() = f(k) f() f(x) dx f(k) = s n k= o que permite obter de imediato o critério integral. k= Este critério integral permite estabelecer a convergência das séries de Dirichlet. Considerando f(x) dx em que f(x) = tem-se x p e se p m + n n Assim da existência em R de m dx = ln n ln x x dx = p p ( n m + ) p m f(x) dx conclui-se que as séries de Dirichlet são divergentes se p e convergentes se p >. 6
5.4 Séries absolutamente convergentes Os critérios de convergência para séries em que 0 permitem analisar evidentemente a convergência das séries b n em que b n =, par p com p N. O conceito de série absolutamente convergente, que se introduz nesta secção vai permitir alargar o conjunto das séries cujos critérios de convergência de séries de termos não negativos se podem aplicar. Definição 5.4.. A série + é uma série absolutamente convergente se + é uma série convergente; e + é uma série convergente. A série + diz-se uma série simplesmente convergente se for uma série convergente e a série + for uma série divergente. Observação 5.4.2. Qualquer série convergente que tenha todos os termos com o mesmo sinal é absolutamente convergente. Uma série simplesmente convergente tem infinitos termos positivos e infinitos termos negativos. Note-se que muitas das propriedades da adição não são verificadas para as séries simplesmente convergentes mas apenas para as séries absolutamente convergentes. Teorema 5.4.3. Se + é uma série convergente então + é também uma série convergente tendo-se 7
Demonstração. Convergindo a série +, do critério de Cauchy, ɛ>0 p N r q > p a q+ +... + a r < ɛ Ora como a q+ +... + a r a q+ +... + a r (5.4.) pode concluir-se, se + for convergente, que a q+ +... + a r < ɛ o que pelo critério de Cauchy permite concluir a convergência da série +. Finalmente passando ao ite em (5.4.) tem-se a relação entre as somas das séries indicada. Observação 5.4.4. Se + é uma série divergente, a série + pode ser convergente ou divergente. Exemplo 5.4.5. Analise-se quanto à convergência a série + r n cos(nπ), em que 0 < r <. Esta série é absolutamente convergente, uma vez que a série do módulos r n cos(nπ) = r n ( ) n = é uma série geométrica convergente já que 0 < r <. r n 5.5 A soma de séries Conhecida a convergência de uma série numérica prática apenas em casos particulares é fácil o cálculo da soma da série por passagem ao ite da sucessão das somas parciais. Em geral opta-se por obter valores aproximados da soma. Considerando a série convergente 8
do corolário 5.2.6 a série n=p+ é uma série convergente designada por resto de ordem p. Fixando p N o termo de ordem n + p da sucessão das somas parciais da série pode escrever-se Passando ao ite em n tem-se s n+p = s p + (a p+ +... + a p+n ) s = s p + r p em que r p, o resto de ordem p, é a soma da série série + pode ser aproximada por s p = a + a 2 +... + com erro r p = s s p. + n=p+. Assim a soma da Vai-se indicar de seguida majorantes para o erro que se comete ao aproximar a soma de séries absolutamente convergentes, cuja convergência foi estabelecida pelo critério da raiz e pelo critério da razão. Seja + em que /n r <. Tem-se e r p = n=p+ = Assim se r = /2, p = 0 tem-se p + r p n=p+ r n = r p+. r. r 0 2. /2 = 2 0 < 0, 00 9
Seja Tem-se r p = + r < e n=p+ = p + n=p+ 0. ( = a p+ + a p+2 +... = a p+ + a p+2 + a ) p+3 +... a p+ a p+ e uma vez que a p+3 a p+ = a p+3 a p+2. a p+2 a p+ Exemplo 5.5.. Seja em que r p a p+ ( + r + r 2 +...) a p+ r = + + 2! +... + + +... = + def = e. + = (n+)! = n + < Considerando p = 5 o erro que se comete na aproximação e = + + 2! + 3! + 4! + 5! é majorado por 0, 002 já que /(n + ) = n + n a p+ = (p + )! e consequentemente r p 7 6. 6! < 0, 002 20
5.6 Séries de potências Definição 5.6.. Sendo uma sucessão, chama-se série de potências de x R com coeficientes à série x n. A série + x n identifica-se com um polinómio se todos os coeficientes forem nulos a partir de certa ordem. As séries de potências podem encarar-se como generalizações de polinómios em x: a 0 + a x +... + x n. Designa-se por domínio de convergência de + x n o subconjunto de R para o qual a série é convergente. Tal como um polinómio define uma função de variável real em R, uma série de potências define uma função no subconjunto de R onde a série é convergente, precisamente a função que em cada ponto desse conjunto tem por valor a soma da série no ponto considerado. Teorema 5.6.2. Seja a série de potências + x n em que existe n n +. A série é absolutamente convergente para x ] r, r[, em que r = n + n. Em x ], r[ ]r, + [ a série é divergente. Demonstração. Seja a série a 0 + a x +... + x n +.... Tem-se para x R n an x n = x n n = x an. n + n + n + Assim pelo critério da raiz para x R fixo se x n + n < a série é absolutamente convergente. Consequentemente sempre que x < n + n a série é absolutamente convergente i.e. a série de potências é absolutamente convergente para x ] r, r[. 2
Se x / [ r, r] tem-se n n + x n > e + x n é divergente o que leva a concluir que a série dadão é absolutamente convergente. Por outro lado como n n + x n > têm-se infinitos valores de n para os quais n an x n > concluindo-se que a sucessão ã n = x n não tende para zero e consequentemente a série considerada é divergente para x ], r[ ]r, + [. Observação 5.6.3. Designa-se ] r, r[ por intervalo de convergência e r por raio de convergência. Se n + n = + tem-se r = 0 e a série é divergente excepto em x = 0. Se n + n = 0 tem-se r = + e a série é convergente em R. O teorema anterior esclarece a convergência da série de potências + x n se x r e x r extremos do intervalo de convergência. Não existe nenhum resultado geral para x = ±r. Exemplo 5.6.4. Analise-se em R a convergência da série x n = + x + x 2 +... + x n +... e determine-se quando possível a sua soma. Tem-se r = n = Assim se x < a série é absolutamente convergente e se x > a série é divergente. x n = + x + x 2 +... + x n +... = x, O domínio de convergência da série de potências + x n pode ser obtido também partindo do critério de D Alembert. 22
Corolário 5.6.5. O raio de convergência da série + x n, sempre que exista o ite de é dado por: + Demonstração. Como n + r = n + n an = + n + + a expressão para r obtém-se de imediato do teorema anterior. Note-se que directamente, do critério de D Alembert, se + x n+ n + x n = x + n + < conclui-se que x pertence ao domínio de convergência da série o que permite obter, de modo alternativo, uma expressão para r. Exemplo 5.6.6. Analise-se em R a convergência da série x n e determine-se quando possível a sua soma. Do corolário 5.6.5 tem-se para o raio de convergência: r = = (n + ) = +. n + n + + Assim a série é absolutamente convergente em R e x n = f(x) = exp(x), x R. Exemplo 5.6.7. Analise-se em R a convergência da série ( ) n x 2n = x 2 + x 4 x 6 +... + ( ) n x 2n +.... e determine-se quando possível a sua soma. 23
Tem-se r = n + + =. Assim se x < a série é absolutamente convergente e Se x > a série é divergente. ( ) n x 2n = f(x) = + x 2 x ], [. Definição 5.6.8. Sendo uma sucessão de termos reais a série de potências de x a, a R, é por definição a série (x a) n A série de potências + (x a) n, converge em x 0 se e só se a série u n, em que u = x 0 a, é convergente. Assim o domínio de convergência da série de potências de x a pode obter-se a partir do domínio de convergência da série de potências de u. Se r = +, o domínio de convergência é R e se r = 0 é {a} = [a, a]. Para 0 < r < + o domínio de convergência contém ]a r, a + r[ e está contido em [a r, a + r] sendo a convergência absoluta em qualquer ponto do primeiro intervalo. Exemplo 5.6.9. Determine-se o intervalo em que a série de potências é absolutamente convergente. Tem-se = ( )n 2n + ( ) n (x 3)n 2n + + = 2n + 3 2n + r = A série é absolutamente convergente no intervalo aberto ]2, 4[ sendo em ], 2[ ]4, + [ divergente. 24
Exemplo 5.6.0. Determine-se, se possível a soma da série de potências ( ( ) n + ) (x 2) n = ( ) n (x 2) n + (x 2)n Uma vez que os raios de convergência das séries parcelas são repectivamente r = n + = ( ) n n + ( ) n+ = e r 2 = / n + /(n + )! = + + a série é absolutamente convergente em < x 2 < < x < 3 x ], 3[ ) Em x =, a série + ( + ( )n é divergente. ( Em x = 3, a série + ( ) n + ) é divergente. Finalmente determinando a somo domínio de convergência tem-se: ( ( ) n + ) (x 2) n = x + ex 2, x ], 3[. 5.7 Exercícios 5.7. Exercícios resolvidos Exerc 5.7.. Analise atureza das séries numéricas indicadas e determine a soma de uma delas n 3 e n i) 3 ii) n2 + 5 3 n Resolução. com o mesmo com- i) Sejam as sucessões = n 3 e b n 2 +5 n = n 3 = n 2 n 6 portamento quando n +. Tem-se n 3 n 2 +5 n 3 n 2 = = R +, + 5n 2 3 25
Do critério de comparação as séries e têm a n 6 é uma série de Dirichlet di- mesmatureza. Como a série vergente, com p <, a série + ii) A série + n p n 6 n 3 n 2 +5 n 3 n 2 +5 é também divergente. 3 e n 3 n é uma série convergente pois é a adição de duas séries geométricas convergentes + ( 3) n e ( e 3) n A soma da série é obtida a partir da soma das anteriores séries geométricas 3 e n = 3 n ( ) n ( e ) n = 3 3 /3 e/3 e/3 = 3/2 e 3 e Exerc 5.7.2. Analise atureza das séries numéricas i) n n 3 + n 7/2 ii) n n cos(nπ). Resolução. i) Seja n n 3 + n 7 2 < n n 7 2 = n 3 Do critério geral de comparação a série vez que a série p >. n 3 ii) Seja cos(nπ) = n n Tem-se n n 3 +n 7 2 é convergente, uma é uma série Dirichlet convergente, + (n + )! =.nn (n + ) n+. n n n p com = (n + )nn (n + ) n (n + ) = ( + n )n = e <, Assim pelo critério de D Alembert a série n é convergente e consequentemente a série n n cos(nπ) é uma série absolutamente convergente. n n 26
Exerc 5.7.3. Determine, se possível, o valor da soma das séries i) 2 n+ e n ii) n 2 + n 2 Resolução. i) A série 2e ( 2 e ) n é uma série geométrica convergente uma vez que tem razão inferior a um (2/e). O valor da sua soma é: 2 n+ e = 2e 2/e n 2/e = 4e e 2 ii) A série não satisfaz a condição necessária da convergência de séries já que n 2 n + n = 0 2 consequentemente a série + n 2 é uma série divergente não tendo + n2 soma. Exerc 5.7.4. Analise atureza das séries i) Resolução. 3 n + 3 2n ii) n n 2 n iii) ( ) π cos( n + ) cos(π n ) i) Tem-se Ora 3 n 3n + 32n 3 = 2n 3 n ( 3 ) n 27
é uma série geométrica convergente consequentemente, do critério geral de comparação a série + 3 n é uma série convergente. + 32n ii) A série n n 2 n é uma série divergente, já que do critério de D Alembert: e + = (n+) n+ 2 n+ (n+)! n n 2 n = (n + )n (n + ) n n 2 n 22 n (n + ) + = n + n + 2 (n + n ) n = e 2 >. iii) ( ) π cos( n + ) cos(π n ) é uma série de Mengoli convergente já que é um caso particular da classe de séries + ( + ) com a π sucessão = cos( n + ) convergente. Exerc 5.7.5. Considere a série n ( ) n n 3 n 2 + i) A série é absolutamente convergente? Justifique. ii) A sucessão u n = 2 + é convergente? Justifique. Resolução. 2 n 8... + ( )n 5 n 3 n 2 + 28
i) Seja n ( ) n n 3 n 2 + = n n 3 n 2 + e as sucessões n = n 3 e b n = n 2 + n 7 2 com o mesmo comportamento quando n +. Tem-se =, n + b n ii) e as séries + e + b n, do critério de comparação, têm a mesma natureza. A série + b n é uma série de Dirichlet convergente e consequentemente + n n 3 n 2 + A série + ( )n n n 3 n 2 + é uma série convergente. é pois absolutamente convergente. Como n ( ) n n 3 n 2 + é uma série absolutamente convergente é uma série convergente. Assim a sucessão das somas parciais u n = 2 n + 2 8... + ( )n 5 n 3 n 2 + é uma sucessão convergente. Exerc 5.7.6. Analise atureza das séries numéricas indicadas e determine o valor da soma de uma delas. i) 3 (2n+) ii) n + n 4 + n iii) n 2 + e n Resolução. 29
i) A série 3 (2n+) = /3 ( 9 ) n é uma série geométrica de termos positivos convergente uma vez que tem razão inferior a um (/9). O valor da sua soma é : ii) A série /3 ( 9 ) n = /3 /9 /9 = 24 n + n 4 + n é uma série convergente pelo critério de comparação já que para as sucessões com o mesmo comportamento quando n + n + = e b n 4 n = + n n 7 2 se tem =, n + b n e a série + b n é uma série de Dirichlet convergente. iii) A série n 2 + e n é uma série convergente pelo critério de D Alembert. + = n + n + (n + ) 2 + e n+ n 2 + e n ( = + ) 2 /e n+ + /e n + n /e n+ + = e < Exerc 5.7.7. Considere a série de potências 3 n ( 2x)n+3 5n+ 30
i) Indique o maior intervalo aberto onde a série é absolutamente convergente ii) Determine no intervalo indicado em i) a soma da série. Resolução. i) Tem-se para o raio de convergência ii) r = + = 3n.5 n+2 5 n+.3 n+ = 5 3 Assim série converge absolutamente se 2x < 5/3. O maior intervalo aberto onde a série de potências é absolutamente convergente é: ] /3, 4/3[ 3 n 5 n+ ( 2x)n+3 = ( 2x)3 5 ( ) n 3 6x = 5 ( 2x)3 5 3 6x 5 3 6x 5 = ( 2x)4 5 + 5x Exerc 5.7.8. Determine o intervalo de R onde é convergente a série de potências ( ) n 2 n n (x 2 )n+2, x R. Resolução. Tem-se para o raio de convergência r = + = 2 n n 2 2 n+ (n+) 2 = 2 Assim a série converge absolutamente se x < 2 i.e. se x ], 3[. Para x =, a série + é uma série de Dirichlet convergente. Para x = 3, n 2 a série + ( )n = + é uma série de Dirichlet convergente. n 2 n 2 Em conclusão a série de potências converge absolutamente para x [, 3]. 3
5.7.2 Enunciados de exercícios Exerc 5.7.9. Analise atureza das séries numéricas + n n 2 + ; 2 n + n( 2 n ) ; 3 n + Exerc 5.7.0. Considere as séries numéricas 5 n n 5 n n2 (n + ) e 2n ( + e 2 ) n i) As séries são convergentes? Justifique. ii) Determine a soma de uma delas. Exerc 5.7.. Seja a sucessão de termos reais não nulos convergente para a 0. A série é convergente? Justifique. Exerc 5.7.2. Sendo + ( ) uma série de termos positivos convergente, qual atureza da série (+ + ) a 2 n 4 + Justifique. Exerc 5.7.3. Considere a série de potências (2x + ) n n 2 2 n, x R Indique o maior intervalo aberto de R em que a série é absolutamente convergente. Exerc 5.7.4. Considere a série 5 n (x ) n+, x R 32
i) Determine o intervalo de R, onde a série é absolutamente convergente. ii) Determine a soma da série quando x = 3. Exerc 5.7.5. Considere a série ( 2 (x + n+2 3)n+ + (n + )! ) x R. i) Indique o intervalo de convergência da série. ii) Indique a soma da série no intervalo de convergência indicado. Exerc 5.7.6. Determine o intervalo de R onde é convergente a série n 2 n (x + 2)n + n 3 x R. 33
Bibliografia [] J. Campos Ferreira, Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005. [2] W. Trench, Introduction to Real Analysis, Trinity University, 2003. [3] A. Ferreira dos Santos, Análise Matemática I e II, Texto de apoio às aulas, AEIST, 994-95. 34