Estudo do Biômio de Newto or Salatiel Dias da Silva 2013
Estudo do Biômio de Newto or Salatiel Dias da Silva sob orietação da Prof a. Dr a. Elisadra de Fátima Gloss de Moraes Trabalho de Coclusão de Curso aresetado ao Coro Docete do Mestrado Prossioal em Matemática em Rede Nacioal - PROFMAT/DM- CCEN-UFPB, como requisito arcial ara obteção do título de Mestre em Matemática. Agosto/2013 João Pessoa - PB O resete trabalho foi realizado com aoio da CAPES, Coordeação de Aerfeiçoameto de Pessoal de Nível Suerior.
Agradecimetos Quero agradecer rimeiramete a Deus elo dom da vida e da sabedoria. Aos meus familiares que semre torceram em rol do meu crescimeto acadêmico. Aos meus rofessores, que ao logo de todo rocesso se mostraram disoíveis a comartilhar de seus saberes. À Prof a. Dr a. Elisadra Gloss ela sua orietação recisa a costrução deste trabalho. Aos meus colegas de turma que a todo temo se mostraram motivados, mesmo os mometos mais árduos dessa camihada. À SBM, que jutamete com a Caes e com a UFPB, acreditou este rojeto de Mestrado e os roorcioou uma oortuidade ímar de desevolver ovos cohecimetos e vivêcias.
Dedicatória Aos meus ais, Pedro Fracisco da Silva (i memoria) e Creusa Dias da Silva, que semre icetivaram o meu crescimeto itelectual.
Resumo Este trabalho vem mostrar o estudo dos desevolvimetos biomiais iiciado a 7 a série (8 o ao) do Esio Fudametal, quado tratamos de rodutos otáveis, que é comlemetado a seguda série do esio médio, a artir do estudo do Biômio de Newto. Faremos um estudo detalhado do mesmo, assado or um aahado histórico sobre o assuto, roriedades do triâgulo aritmético (triâgulo de Pascal/Tartaglia), chegado ao Teorema biomial e, or m, a algumas alicações destes a resolução de roblemas diversos, exasão multiomial e as séries biomiais. Palavras-chave: Biomiais. Biômio de Newto, Triâgulo aritmético, Alicações, Séries vi
Abstract This work deals with the study of the biomial develomets started i the late years of Elemetary School, whe we deal with otable roducts, which is comlemeted i the secod year of High School, from the study of Newto's Biomial. We will make a detailed study of the same, through a historical overview about the subject, roerties of arithmetic triagle (Pascal's triagle / Tartaglia's), reachig the biomial theorem ad, ally, some alicatios of these results i solvig various roblems, i the multiomial exadig ad i the biomial series. Keywords: Series. Newto's Biomial, Arithmetic Triagle, Alicatios, Biomial vii
Sumário Itrodução 1 1 O desevolvimeto do Biômio de Newto 6 1.1 Relembrado o estudo dos Produtos Notáveis............. 6 1.2 Números (coecietes) biomiais.................... 7 1.3 O Triâgulo Aritmético.......................... 9 1.3.1 Proriedades do Triâgulo Aritmético.............. 10 1.4 Somatório................................. 19 1.5 Desevolvimeto de (a + b)....................... 21 1.5.1 Teorema de Newto....................... 22 1.5.2 Soma dos coecietes do desevolvimeto biomial...... 26 1.6 Termo geral do biômio......................... 27 2 Alicações do Biômio de Newto 31 2.1 Exasão Multiomial - Poliômio de Leibiz............. 31 2.2 Probabilidades - Método Biomial.................... 34 2.3 Biômio de Newto alicado à Geética................ 38 2.4 Séries Biomiais.............................. 42 A Algus resultados imortates 54 A.1 Axioma da Idução............................ 54 viii
A.2 Deição de Limite............................ 55 A.3 Deição de Derivada.......................... 55 A.4 Derivação de Séries de Potêcias..................... 57 Referêcias Bibliográcas 59 ix
Itrodução As resoluções de roblemas e o uso, estas, de ferrametas algébricas, semre desertam algumas diculdades e dúvidas a grade maioria dos educados. Sedo assim, é de fudametal imortâcia que o aluo adquira habilidades ara desevolver roblemas que ecessitam de um tratameto algébrico mais aurado. Isto trará melhor comreesão sobre determiados roblemas de Matemática e de áreas as que usam o tratameto algébrico como alicerce ara suas demostrações. Iiciaremos, o rimeiro caítulo, com o estudo de elemetos relevates ara o desevolvimeto biomial, fazedo uso de ferrametas matemáticas ara a demostração de algumas roriedades oeratórias que são ertietes ao estudo do Biômio de Newto e ivestigado a alicabilidade destas e, aida, é imortate salietar que, o desevolvimeto teórico, serão ecessárias as iserções de algus tóicos que têm fudametal imortâcia ara o etedimeto das demostrações que serão feitas, uma vez que o trato algébrico utilizado as demostrações deserta o leitor a caacidade de comreesão e exercita o oder de abstração do mesmo. O estudo do Biômio de Newto abre camiho ara o estudo de vários outros tóicos matemáticos, como oliômios e equações oliomiais, como também ara o estudo do cálculo diferecial e itegral com fuções oliomiais de graus diversos, ois através das habilidades adquiridas com o trato algébrico, tora-se mais comreesível o desevolver de algumas roriedades e demostrações destas. Este estudo, basicamete literário, foi esado de forma a oferecer ao leitor 1
uma sequêcia clara sobre a costrução dos saberes ecessários ara se chegar ao desevolvimeto de (a + b) ara qualquer valor atural de. Vale salietar também que, ao logo do desevolvimeto do coteúdo, serão roostos algus exemlos, que têm como objetivo dar alicabilidade aos saberes aqui desevolvidos. Embora receba o ome de Biômio de Newto, o estudo do desevolvimeto biomial com suas roriedades e alicações, ão foi objeto de estudo do físico e matemático iglês Isaac Newto (1642-1727). Na verdade, segudo [2], Isaac Newto fez a descrição e exlicação do teorema do desevolvimeto do biômio geeralizado, ara otêcias com exoete fracioário, o qual o mesmo reresetou sob a forma (P + P Q) m/ P m/ + m AQ + m 2 BQ + m 2 CQ +..., 3 ode A rereseta o rimeiro termo ( P m/), B rereseta o segudo termo ( m AQ ), C rereseta o terceiro termo e assim sucessivamete. Os devidos ajustes, com suas devidas restrições, do desevolvimeto biomial ara qualquer valor comlexo do exoete, só foi estabelecido mais de um século e meio deois elo matemático orueguês N. H. Abel (1802-1829). O estudo do desevolvimeto biomial exige algus coceitos que foram sedo iseridos or vários matemáticos ao logo dos aos. Não se ode falar em desevolvimeto biomial sem ter cohecimeto révio de aálise combiatória, uma vez que os coecietes biomiais (coecietes dos termos do desevolvimeto do biômio), são obtidos ela fórmula que forece o úmero de combiações de objetos tomados de cada vez. Estes coecietes biomiais foram assim chamados elo matemático alemão Michael Stifel (1486-1567), e, or sua vez, foram orgaizados uma tabela em forma de triâgulo, cohecido como triâgulo aritmético, triâgulo de Yag-Hui, ou triâgulo de Pascal/Tartaglia. 2
Figura 1: Triâgulo de Yag Hui, mostrado em 1303 a caa do Eselho recioso, de Zhu Shijie.([1]-ág. 149) Segudo [1], o Eselho Precioso começa com um diagrama do Triâgulo Aritmético, ode temos os coecietes das exasões biomiais até a oitava otêcia, claramete dadas em umerais em barra e um símbolo redodo ara o zero. Em meados do século XI (or volta de 1050), o Maual de Matemática de Jia Xia, a Chia, já traz o triâgulo aritmético. Deois disso, o matemático e astrôomo ersa Omar Khayyam (1048-1122), também fez meção do triâgulo aritmético em algus de seus trabalhos, or volta de 1100. 3
Figura 2: Triâgulo de Jia Xia Um século ates de Pascal, a Euroa, algus matemáticos também trabalharam com o triâgulo aritmético. Detre estes odemos citar o matemático alemão Petrus Aiaus (1495-1552), que ublicou um livro que trazia em sua caa o deseho do triâgulo aritmético, em 1527. Um dos rimeiros matemáticos ocidetais a cofeccioar uma tabela cotedo o úmero de combiações ossíveis um laçameto de um dado foi o matemático italiao Niccolo Fotaa Tartaglia (1499-1559), sedo assim, Tartaglia reividicou a criação do triâgulo aritmético ara ele, o que exlica o fato de que em algus aíses, até os dias de hoje, o triâgulo aritmético é cohecido como triâgulo de Tartaglia. Porém, como o matemático fracês Blaise Pascal (1623-1662) foi o rimeiro descobridor cohecido do triâgulo aritmético o ocidete e devido às alicações que o mesmo fazia das roriedades deste, o triâgulo aritmético assou a ser cohecido como triâgulo de Pascal. Este recohecimeto torou-se mais otório quado, em 1739, Abraham de Moivre (1667-1754) ublicou um trabalho de muito imacto a éoca, ititulado triagulum arithmeticum ascalium sobre o triâgulo 4
aritmético. O teorema do desevolvimeto biomial também foi estudado elo matemático alemão Gottfried Wilhelm vo Leibiz (1646-1716). Leibiz, segudo [2], fez a geeralização do teorema do desevolvimeto biomial ara o teorema multiomial, o que cosiste em fazer a exasão de (a 1 + a 2 +... + a ) r. No segudo caítulo aresetaremos a geeralização do desevolvimeto biomial ara o desevolvimeto multiomial (Poliômio de Leibiz). Faremos uso do método biomial ara resolver roblemas de robabilidades, além de estudar a alicação de roriedades do desevolvimeto biomial o estudo de Geética e, or m, o uso do Teorema Biomial geeralizado o estudo das séries biomiais e a exasão de fuções como séries de otêcias. Esera-se, ortato, que este estudo seja de grade valia, uma vez que o mesmo será fudametado as reexões ara a costrução de um cohecimeto matemático cada vez mais sigicativo. 5
Caítulo 1 O desevolvimeto do Biômio de Newto Neste caítulo vamos aresetar algus coceitos que são esseciais ara fazer a exasão biomial, algus dos quais serão demostrados de modo a os roorcioar um suorte real ara a alicação dos mesmos. 1.1 Relembrado o estudo dos Produtos Notáveis Como já foi dito, o estudo dos rodutos otáveis é feito o esio fudametal, de modo que o mesmo se baseia um cojuto de regras ara o desevolvimeto de (a + b), com 3. Sedo um úmero atural, temos que: 0 (a + b) 0 1 1 (a + b) 1 a + b 2 (a + b) 2 (a + b).(a + b) a 2 + 2ab + b 2 3 (a + b) 3 (a + b).(a + b) 2 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. 6
Números (coecietes) biomiais Caítulo 1 Para valores de maiores que 3, também odemos fazer uso das regras acima e das roriedades de otêcias ara chegar ao desevolvimeto do biômio. Por exemlo: (a + b) 4 (a + b).(a + b) 3 (a + b).(a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ) a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4. De modo geral, (a + b) (a + b).(a + b) 1. Esse rocesso, orém, se tora difícil e demorado, ois os remete a cálculos muito trabalhosos. Sedo assim, durate o desevolvimeto do trabalho, mostraremos algumas ferrametas matemáticas que torarão mais rático o desevolvimeto de (a + b). 1.2 Números (coecietes) biomiais Nos temas abordados a seguir, usaremos a deição de fatorial de um úmero atural e, aida, vamos cosiderar o cojuto dos úmeros aturais N {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Deamos fatorial de um úmero atural segudo [6]: Deição 1 : Dado um úmero atural, 2, o fatorial de (idica-se or!) é o roduto dos rimeiros úmeros aturais ositivos, escritos desde até 1, isto é:! ( 1) ( 2)... 3 2 1 Por exemlo: 5! 5 4 3 2 1 120 8! 8 7 6 5 4 3 2 1 40320. 7
Números (coecietes) biomiais Caítulo 1 Valem também as seguites coveções eseciais: 0! 1 e 1! 1. Em aálise combiatória, o úmero C, rereseta o total de combiações de elemetos que odemos formar a artir de um cojuto de elemetos. Segudo [10], cada subcojuto com elemetos é chamado de uma combiação simles de classe dos objetos a 1, a 2, a 3,..., a. Vejamos, agora, a deição de coecietes biomiais. Deição 2 Cosideremos dois úmeros aturais ( e ), sedo. Chamamos de coeciete biomial sobre, e idicamos or, o úmero dado or!!( )! C,. O úmero é chamado de umerador e o úmero de deomiador de. Sedo assim, temos, or exemlo: ( ) 6 C 6,2 2 ( ) 10 C 10,3 3 6! 2! (6 2)! 6! 2! 4! 6 5 4! 2! 4! 10! 3! (10 3)! 10! 3! 7! 15. 10 9 8 7! 3 2 7! 120. Observemos algus casos articulares: Se 0, temos 0! 0!! Desse modo, temos, or exemlo, Se 1, temos 1 1, N.! 1!( 1)! ( ) 3 1 e 0 8 ( 1)! ( 1)! ( ) 17 1. 0, N.
O Triâgulo Aritmético Caítulo 1 Desse modo, temos, or exemlo, Se, temos!!0! Desse modo, temos, or exemlo, ( ) 8 8 e 1 1, N. ( ) 5 1 e 5 ( ) 25 25. 1 ( ) 32 1. 32 Deamos agora os úmeros biomiais comlemetares, ara fazer uso dos mesmos em algumas demostrações a seguir. Deição 3 Dois úmeros biomiais e são comlemetares se +q. q Com esta deição, ercebemos que são biomiais comlemetares, or exemlo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 15 15 31 31 e ; e ; e. 2 4 5 10 3 28 Temos uma roriedade fudametal quado se trata de biomiais comlemetares. Proriedade: Dois coecietes biomiais comlemetares têm o mesmo valor. ( ) + q. q Justicativa: Sedo, + q, odemos escrever q. Assim, segue que: ( ) ( ) ( )! q ( q)![ ( q)]!! ( q)!q!, q como desejado. 1.3 O Triâgulo Aritmético O triâgulo aritmético, cuja história já foi relatada ateriormete, cosiste em uma tabela, a qual estão disostos os coecietes biomiais, de modo que os 9
O Triâgulo Aritmético Caítulo 1 coecietes de mesmo umerador agruam-se uma mesma liha e os coecietes de mesmo deomiador agruam-se a mesma colua: ( ) 0 liha 0 ( 0)( ) 1 1 liha 1 ( 0)( 1)( ) 2 2 2 liha 2 ( 0)( 1)( 2)( ) 3 3 3 3 liha 3 ( 0)( 1)( 2)( 3)( ) 4 4 4 4 4 liha 4 0 1 2 3 4. liha ( 0 )( 1 )( 2 )( 3 )( 4 ). Percebamos que o termo liha sigica a liha de umerador. Calculado os resectivos valores dos coecietes biomiais, obtemos a seguite reresetação ara o triâgulo: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1. 1.3.1 Proriedades do Triâgulo Aritmético Proriedade 1 Em cada liha do triâgulo aritmético, o rimeiro elemeto é semre igual a 1. 10
O Triâgulo Aritmético Caítulo 1 Justicativa: ( ) De fato, o rimeiro elemeto da -ésima liha do triâgulo aritmético é 1, N. 0 Proriedade 2 Em cada liha do triâgulo, o último elemeto é semre igual a 1. Justicativa: ( ) De fato, o último elemeto de cada uma das lihas do triâgulo aritmético é 1, N. Proriedade 3. ( Por [10]) Somado dois elemetos cosecutivos de uma mesma liha obtemos o elemeto situado abaixo da última arcela. Figura 1.1: Relação de Stifel Esta roriedade é cohecida como relação de Stifel (matemático alemão já citado a itrodução deste trabalho) e arma que: ( ) ( ) ( ) 1 1 +, 1 e 2. 11
O Triâgulo Aritmético Caítulo 1 Justicativa: Utilizado a deição de coecietes biomiais, temos: ( ) ( ) 1 1 ( 1)! + 1 ( 1)![( 1) ( 1)]! + ( 1)!!( 1 )! ( 1)! ( 1)!( )! + ( 1)!!( 1)! ( 1)! ( 1)!( ) ( 1)! + ( 1)! ( ( 1)!( 1)! ( 1)! 1 ( 1)!( 1)! + 1 ) ( 1)! ( 1)!( 1)! ( ) ( )!!( )!, como armado. Proriedade 4. Numa ( ) liha, ( dois ) biomiais equidistates dos extremos têm o mesmo valor, ou seja,. Justicativa: De fato, dois coecietes biomiais equidistates dos extremos são comlemetares e, ortato, têm o mesmo valor. Sedo assim, ( ) ( )!!( )!! ( )!( ( ))!, como queríamos demostrar. Proriedade 5 (Teorema das lihas). A soma dos elemetos da -ésima liha é semre igual a 2. + 0 + 1 Justicativa: (Por idução) + 2 + 3 + + 4 2. Segudo [8], seja P () a roosição: se 0, etão ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S + + + + + + 2. 0 1 2 3 4 12
O Triâgulo Aritmético Caítulo 1 ( ) 0 0 S 0 1 2 0 0 ( ) ( ) 1 1 1 S 1 + 2 2 1 0 1 Suomos agora que a roosição P () é verdadeira ara 0, 1, 2, 3,..., k. Devemos mostrar que P () cotiua verdadeira ara k + 1, isto é, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k + 1 k + 1 k + 1 k + 1 k + 1 k + 1 S k+1 + + + + + + 2 k+1. 0 1 2 3 4 k + 1 Temos que, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k + 1 k + 1 k + 1 k + 1 k + 1 S k+1 + + + + + + 0 1 2 3 k ( ) k + 1. k + 1 Alicado ( a) relação ( ) de Stifel, ( da ) seguda ( ) arcela da soma até a eúltima e, sabedo k + 1 k k + 1 k que e, teremos 0 0 k + 1 k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k k k k k S k+1 + + + + + + + + + +. 0 0 1 1 2 2 3 k 1 k k }{{}}{{}}{{}}{{} Ou seja, S k+1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k k k + + + + + + + + + 0 1 2 k 0 1 2 k }{{}}{{} 2 S k. Como, or hiótese, S k 2 k, etão S k+1 2 2 k 2 k+1. Logo, P (k + 1) é verdadeira e cocluímos, ela deição 10, que P () é verdadeira ara todo atural, como queríamos demostrar. Outro modo de rovar essa roriedade é elo teorema do desevolvimeto biomial, que veremos em breve. 13
O Triâgulo Aritmético Caítulo 1 Proriedade 6 (Teorema das coluas). A soma dos elemetos de uma colua do triâgulo, começado do rimeiro elemeto da colua, tem o mesmo valor que o elemeto que se ecotra a liha e colua imediatamete osterior ao último coeciete biomial da soma. Figura 1.2: Teorema das coluas Temos, a forma de coecietes biomiais: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 + 2 + 3 + + + 1 + + + + +. + 1 Justicativa: Vamos alicar a relação de Stifel aos elemetos da colua + 1, a artir da liha + 2. Lembramos que ( ) 1 ara todo úmero atural, o que os forece a rimeira das igualdades a seguir. ( ) + 1 ( + 1) + 2 ( + 1) + 3 + 1 ( ) + ( + 1 ) + + 1 + 1. ( ) ( ) ( ) + 1 + 1 + ( + 1) ( ) + 2 + 2 + + 1 ( ) ( ) + 1 + 1 + ( + ) 1 ( ) + + + + 1 14
O Triâgulo Aritmético Caítulo 1 Fazedo a soma de todas as relações escritas e simlicado as arcelas iguais que aarecem em membros oostos, teremos ( ) + + 1 + 1 ( ) + como queríamos demostrar. Proriedade 7 (Teorema das diagoais). ( ) ( ) ( ) ( + 1 + 2 + 3 + + + + + ), A soma dos elemetos de uma diagoal (aralela à hioteusa) do triâgulo, começado elo rimeiro elemeto da diagoal, é igual ao elemeto que está imediatamete abaixo do último coeciete biomial da soma. Figura 1.3: Teorema das diagoais Escrevedo sob a otação de coecietes biomiais, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 + 2 + + + 1 + + + +. 0 1 2 Justicativa: Temos, ela roriedade dos biomiais comlemetares, que: 0 ; ( ) ( ) ( ) ( + 1 + 1 + 2 + 2 ; 1 2 ) ; ; ( ) ( + + ). Desse modo: ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 + 2 + + + + + 0 1 2 15 + ( ) ( + 1 + + + ).
O Triâgulo Aritmético Caítulo 1 Pelo Teorema das coluas, sabemos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 + 2 + 3 + + + 1 + + + + +, + 1 e, elo Teorema dos biomiais comlemetares, temos ( ) ( ) + + 1 + + 1. + 1 Assim cocluímos a justicativa do Teorema das diagoais, rovado que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 + 2 + + + 1 + + + +, 0 1 2 como desejado. Proriedade 8 (Sequêcia de Fiboacci o Triâgulo Aritmético). (Veja [10]) O úmero de Fiboacci F é obtido como a soma da -ésima diagoal iversa do Triâgulo de Aritmético. Figura 1.4: Sequêcia de Fiboacci o triâgulo aritmético Justicativa: Observamos ela gura dada que a soma das diagoais iversas gera a sequêcia {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...}. Queremos mostrar que esta é exatamete a sequêcia de Fiboacci que é deida através da recorrêcia: F 0 F 1 1 F +2 F +1 + F ara 0. 16
O Triâgulo Aritmético Caítulo 1 Para tato devemos vericar que esta sequêcia satisfaz esta recorrêcia. Comecemos observado o comortameto da formação da sequêcia, o triâgulo de Pascal. Vemos que: F 0 F 1 F 2 F 3 F 4. F F +1 F +2 ( ) 0 1 0 ( ) 1 1 0 ( ) ( ) 2 1 + 0 1 ( ) ( ) 3 2 + 0 1 ( ) ( ) ( ) 4 3 2 + + 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 k + + + + 0 1 2 k ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 1 + 1 + + + + 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) + 2 + 1 + 2 s + + + + 0 1 2 s ode k, e s são os maiores úmeros iteiros que satisfazem k k k /2 + 1 ou seja ( + 1)/2 s + 2 s s ( + 2)/2 (/2) + 1. Note que quado é ímar temos k ( 1)/2 e (+1)/2 ( 1+2)/2 k+1. Quado é ar temos que k /2. Aida, s k +1 ideedete da aridade de. Iremos vericar que a soma de F e F +1 é F +2. Cosideremos rimeiramete o caso em que é ímar. 17
O Triâgulo Aritmético Caítulo 1 Neste caso temos: F +1 + F ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 1 + 1 (k + 1) + + + + 0 1 2 k + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 k + + + + + 0 1 2 k ( ) [( ) ( )] [( ) ( )] + 1 1 1 + + + + 0 0 1 1 2 [( ) ( )] k k + + +. k k + 1 Alicado a relação de Stifel aos úmeros biomiais em cada colchetes vemos que ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 + 1 + 1 k F +1 + F + + + +. 0 1 2 k + 1 Usado o fato de que s k + 1 e que todo úmero biomial com deomiador 0 tem o mesmo valor, 1, obtemos ( ) ( ) + 2 + 1 F +1 + F + + 0 1 + + 2 + 2 s F +2. s Cosideremos agora o caso em que é ar. Já que k, F +1 e F terão o mesmo úmero de arcelas. Etão, como o caso aterior obtemos ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 1 + 1 k F +1 + F + + + + 0 1 2 k ( ) ( ) ( ) ( ) 1 + 1 k k + + + + + 0 1 k 1 k ( ) [( ) ( )] [( ) ( )] + 1 1 1 + + + + 0 0 1 1 2 [( ) ( )] ( ) + 1 k + 1 k k + + + +. k 1 k k Novamete alicado a relação de Stifel aos úmeros biomiais dos colchetes cocluímos que ( ) ( ) + 1 + 1 F +1 + F + + 0 1 + + 2 ( ) ( + 2 k k + k k ). 18
Somatório Caítulo 1 Lembrado que 2k e s k +1 obtemos +2 k +2 (s 1), k k e + 2 s 2k + 2 s 2s s s. Daí ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 + 2 + 2 k + 2 (s 1) 1, 0 0 k s 1 e k k ( ) k 1 k ( ) s s ( + 2 s Portato F +1 + F F +2, também o caso em que é ar. s ). 1.4 Somatório Uma imortate ferrameta ara a Álgebra é o somatório (que é reresetado ela letra grega maiúscula sigma: Σ), o qual, segudo [6], rereseta a soma de um certo úmero de arcelas com alguma característica comum. O somatório é utilizado com o roósito de reresetar de forma sucita uma soma ita ou iita, que ossua uma exressão geral ara sua formação. Ele será utilizado mais tarde, quado zermos a geeralização do teorema do desevolvimeto biomial ara qualquer otêcia iteira ositiva de. Podemos reresetar, or exemlo, a soma dos rimeiros termos de uma sequêcia a, da seguite forma: a i a 1 + a 2 + a 3 + + a 1 + a. i1 Neste caso, temos que os valores de i variam, desde i 1 (que chamamos de ídice iferior) até i (que chamamos de ídice suerior), com i atural. Vejamos algus exemlos de alicação de somatórios: Exemlo 1: Calcule o valor de: a) 5 i 2 b) i1 4 k! c) k0 10 1 ( 1 1 ) + 1 19
Somatório Caítulo 1 Solução: a)temos que 5 i 2 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 1 + 4 + 9 + 16 + 25 55 i1 b) Vamos substituir, a exressão dada, os valores aturais, de k 0 até k 4. Assim, teremos: 4 k! 0! + 1! + 2! + 3! + 4! k0 e elo que foi deido ateriormete sobre fatorial, temos: 4 k! 1 + 1 + 2 + 6 + 24 34. k0 c) Substituido, a exressão dada, os valores aturais ara, desde 1 (ídice iferior) até 10 (ídice suerior), teremos: 10 ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 + + 1 2 2 1 ) ( 1 + 3 3 1 ) ( 1 + + 4 9 1 ) ( 1 + 10 10 1 ). 11 1 Elimiado os arêteses e cacelado as arcelas oostas, obtemos: 10 ( 1 1 ) 1 1 + 1 11 10 11. 1 Exemlo 2: Calcule o valor de cada uma das somas: a) 7 i0 ( ) 7 i 19 + 1 b) 0 10 ( ) c) 2 2 Solução: a) Pelo Teorema das lihas, temos que: 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 7 7 + + + i 0 1 2 i0 20 ( ) 7 + + 3 ( ) 7 2 7 128. 7
Desevolvimeto de (a + b) Caítulo 1 b) Utilizado o Teorema das diagoais e a roriedade dos biomiais comlemetares, temos: 19 + 1 0 ( ) ( ) 1 2 + + 0 1 ( ) ( ) 21 21 19 2 c) Pelo Teorema das coluas, temos: 10 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 3 + + 2 2 ( ) 11 165. 3 ( ) 3 + 2 21.20 2 ( ) 4 + 2 1.5 Desevolvimeto de (a + b) ( ) 4 + + 3 210. ( ) 5 + + 2 ( ) 20 19 ( ) 10 2 No começo deste caítulo revisamos algus desevolvimetos de (a + b). Vamos agora observar algumas regularidades desses desevolvimetos ara algus valores de : (a + b) 2 a 2 + 2ab + b 2 3 termos, os exoetes de a decrescem de 2 até zero e os exoetes de b aumetam desde zero até 2; (a + b) 3 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 4 termos, os exoetes de a decrescem de 3 até zero e os exoetes de b aumetam desde zero até 3; (a + b) 4 a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 5 termos, os exoetes de a decrescem de 4 até zero e os exoetes de b aumetam desde zero até 4. De acordo com [6], essas observações sugerem que, ara a arte literal do desevolvimeto de (a + b), N, I. a b 0 }{{} 1 o termo ; a 1 b 1 }{{} 2 o termo ; a} 2 {{ b} 2 ; ; a} 1 {{ b 1 } 3 o termo - ésimo termo ; a 0 b }{{} (+1) - ésimo termo 21
Desevolvimeto de (a + b) Caítulo 1 II. os coecietes que aarecem os desevolvimetos ateriores corresodem, ordeadamete, às lihas do Triâgulo de Pascal: (a + b) 1 1a + 1b liha 1: 1 1 (a + b) 2 a 2 + 2ab + b 2 liha 2: 1 2 1 (a + b) 3 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 liha 3: 1 3 3 1 Dessa forma, ara determiar os coecietes do desevolvimeto de (a + b), basta cosiderar a lia (liha de umerador ) do triâgulo de Pascal. 0 }{{} coef. do 1 o termo 1 }{{} coef. do 2 o termo 1 }{{} coef. do -ésimo termo }{{} coef. do (+1)-ésimo termo Levado em cosideração os coecietes obtidos em II e a arte literal obtida em I, odemos, em euciar o Teorema de Newto ara o desevolvimeto de (a + b), ara qualquer úmero atural. 1.5.1 Teorema de Newto Sejam a e b úmeros reais e um iteiro ositivo, etão ( ) ( ) ( (a + b) a b 0 + a 1 b 1 + 0 1 2 Utilizado a otação de somatório, temos que: ) a 2 b 2 + + a 0 b. (a + b) 0 a b. (1.1) Uma outra forma de rovar o Teorema de Newto é a que [10] areseta: Justicativa: Temos (a + b) (a + b)(a + b)(a + b) (a + b) 22
Desevolvimeto de (a + b) Caítulo 1 um roduto de fatores. Cada termo do roduto é obtido escolhedo-se em cada arêtese um a ou um b e multilicado-se os escolhidos. Para cada valor de, 0, se escolhermos b em dos arêteses, a será escolhido ( ) em dos arêteses e o roduto será igual a a b. Isso ode ser feito de modos. Etão ( ) (a + b) é uma soma ode há, ara cada {0, 1,, }, arcelas iguais a a b, isto é, exatamete a soma que temos em (1.1). Observação imortate: O Teorema de Newto também é válido ara quado quisermos obter o desevolvimeto de (a b). Neste caso, basta erceber que: (a b) [a + ( b)]. Desse modo, teremos: [a + ( b)] a ( b) 0 + 0 a 1 ( b) 1 + 1 a 2 ( b) 2 + + 2 a 0 ( b). Em cada um dos termos do desevolvimeto acima, temos otêcias do tio ( b), ode: b, se é ar ( b) b, se é ímar. Percebamos que os siais dos termos do desevolvimeto de (a b) se alteram, a artir do rimeiro termo, que é ositivo. Sedo assim odemos, também, fazer a reresetação do desevolvimeto de (a b), utilizado a otação de somatório, obtedo: (a b) ( 1) a b. (1.2) 0 23
Desevolvimeto de (a + b) Caítulo 1 Vejamos, agora, algus exemlos de alicação do Teorema de Newto ara o desevolvimeto de biômios e ara o cálculo dos valores de algumas exressões. Exemlo 1: Utilizado o Teorema de Newto, vamos desevolver os seguites biômios: a) (x + 3) 5 b) ( x 2 1 ) 6 x Soluções: a) Temos, ara 5: ( ) ( ) 5 5 (x + 3) 5.x 5.3 0 +.x 4.3 1 + 0( ) 1( ) 5 5 +.x 1.3 4 +.x 0.3 5 4 5 ( ) 5.x 3.3 2 + 2 ( ) 5.x 2.3 3 3 1.x 5.1 + 5.x 4.3 + 10.x 3.9 + 10.x 2.27 + 5.x.81 + 1.1.243 x 5 + 15x 4 + 90x 3 + 270x 2 + 405x + 243 b) Para 6, temos: ( x 2 1 x) 6 ( ) ( 6.x 6. 1 0 ( ) ( 6 +.x 0 x) 5. 1 1 ( ) ( 6 +.x 1 x) 4. 1 2 + ( ) ( 2 x) 6 +.x 3. 1 3 ( ) ( 6 +.x 3 x) 2. 1 4 ( ) ( 6 +.x 4 x) 1. 1 5 + ( ) ( 5 x) 6 +.x 0. 1 ) 6 6 x x 6 6.x 5. 1 x + 15.x4. 1 x 2 20.x3. 1 x 3 + 15.x2. 1 x 4 6.x. 1 x 5 + 1 x 6 x 6 6x 4 + 15x 2 20 + 15 x 2 6 x 4 + 1 x 6. Exemlo 2: Utilizado o Teorema de Newto, rove o Teorema das lihas triâgulo de Pascal, ou seja: + 0 + 1 + 2 + 3 + + 4 2, N. do 24
Desevolvimeto de (a + b) Caítulo 1 Solução: Para rovar o teorema da lihas, cosideremos o desevolvimeto de (a+b), fazedo a b 1. Dessa forma temos: 2 (1 + 1) ( 0 ).1.1 0 + Como 1 1, N, etão, ( ) 2 + + 0 1 1 1.1 1 + + 1 + 2 + 3.1 k.1 k + + k + + 4, 1 0.1 como queríamos demostrar. Exemlo 3: Calcular os valores da seguites somas: 8 ( ) ( ) 8 ( ) 8 3 7 a).. 5 5 0 ( 739 ( 1). 739 b) 0 ).4 739.5 c) X (1, 3)5 + 5.(1, 3) 4.(1, 7) + 10.(1, 3) 3.(1, 7) 2 + 10.(1, 3) 2.(1, 7) 3 +5.(1, 3).(1, 7) 4 + (1, 7) 5. Soluções: a) Utilizado o Teorema de Newto (sob a otação de somatório) ara o desevolvimeto de (a + b), temos: 8 0 ( ) 8. ( ) 8 3. 5 ( ) ( 7 3 5 5 + 7 ) 8 5 ( ) 8 10 2 8 256 5 b) Utilizado o Teorema de Newto (sob a otação de somatório) ara o desevolvimeto de (a b), temos: 739 0 ( 739 ( 1). ).4 739.5 (4 5) 739 ( 1) 739 1 25
Desevolvimeto de (a + b) Caítulo 1 c) Observe que: 5 X 5 0 ( ) 5 1 ( ) 5 4 e 10 ( ) 5 2 ( ) 5. Assim: 3 ( ) 5. (1, 3) 5. (1, 7) X (1, 3 + 1, 7) 5 3 5 243. 1.5.2 Soma dos coecietes do desevolvimeto biomial Vamos levar em cosideração os dois desevolvimetos vistos ateriormete e, em seguida calcular a soma dos coecietes destes desevolvimetos. Vimos que: (x + 3) 5 x 5 + 15x 4 + 90x 3 + 270x 2 + 405x + 243. (1.3) Chamado de S (I) a soma dos coeciete do desevolvimeto (1.3), teremos: Temos, aida: S (I) 1 + 15 + 90 + 270 + 405 + 243 1024. ( x 2 1 ) 6 x 6 6x 4 + 15x 2 20 + 15 x x 6 2 x + 1 4 x. (1.4) 6 Chamado de S (II) a soma dos coeciete do desevolvimeto (1.4), teremos: S (II) 1 6 + 15 20 + 15 6 + 1 0. Porém, esses resultados oderiam ser obtidos sem a ecessidade de efetuar o desevolvimeto biomial. Como estamos iteressados a soma dos coecietes do desevolvimeto biomial, basta cosiderar que as variáveis do biômio são todas iguais a 1, e, em seguida, resolver as oerações idicadas, tedo em vista que a soma dos coecietes de um oliômio P (x) é o valor umérico deste oliômio, ara x 1. Desse modo, S (I) e S (II) oderiam ser calculadas da seguite forma: ( S (I) (1 + 3) 5 4 5 1024 e S (II) 1 2 1) 1 6 (1 1) 6 0. 26
Termo geral do biômio Caítulo 1 Vejamos algus exemlos de alicação a seguir. Exemlo 1: Determie a soma dos coecietes do desevolvimeto de: ( a) (2x 3 + 3y 2 ) 4 b) 3x 5 x) 4 341 ( ) 2ab 5 586 c) 9c3 7 7 Solução: a) S (2.1 3 + 3.1 2 ) 4 (2 + 3) 4 5 4 625 ( b) S 3.1 5 4 341 (3 4) 1) 341 ( 1) 341 1 ( 2.1.1 5 c) S 7 9.13 7 ) 586 ( 2 7 9 7 ) 586 ( 7 7 ) 586 ( 1) 586 1. Exemlo 2: Sedo 1024 a soma dos coecietes do desevolvimeto de (5x 1), determie a quatidade de termos do desevolvimeto deste biômio. Solução: Sabemos que o desevolvimeto de (a + b) ossui, exatamete, + 1 termos, ortato, vamos rimeiramete calcular o valor de. Sedo S a soma dos coecietes do desevolvimeto de biômio dado, temos que S 1024, ortato: 1024 S (5.1 1) 4 1024 5. Logo, o desevolvimeto do biômio dado ossui + 1 5 + 1 6 termos. 1.6 Termo geral do biômio Às vezes estamos iteressados em cohecer um termo esecíco do desevolvimeto biomial sem ecessariamete escrever todos os termos deste desevolvimeto. Para tato faz-se ecessário que ecotremos uma exressão que os foreça qualquer termo de (a + b). Vamos, ovamete, observar o comortameto do desevolvimeto de (a + b) : 27
Termo geral do biômio Caítulo 1 (a + b) a b 0 0 }{{} 1 o termo(t 1 ) ( ) ( ) + a 1 b 1 + a 2 b 2 +... + 1 2 }{{}}{{} 2 o termo(t 2 ) 3 o termo(t 3 ) a 0 b. }{{} (+1)-ésimo termo(t +1 ) Assim, temos: 1 o termo T 1 a b 0 ( 0) 2 o termo T 2 a 1 b 1 ( 1) 3 o termo T 3 a 2 b 2 2 (+1)-ésimo termo T +1. a b. Podemos, sem erda de geeralidade, também ecotrar a exressão que os forece qualquer termo do desevolvimeto de (a b), seguido a mesma liha de raciocíio acima descrita. Em resumo, temos que o termo geral do desevolvimeto biomial é dado or: T +1 a b ; ara o desevolvimeto de (a + b) ; ou T +1 ( 1) ( ) a b ; ara o desevolvimeto de (a b). Vejamos a seguir algus exemlos de alicação da exressão que forece o termo geral do desevolvimeto biomial. Exemlo 1: Calcule o 5 o termo do desevolvimeto de (x + 2) 5. Solução: Como o roblema esecica a osição do termo que devemos ecotrar 28
Termo geral do biômio Caítulo 1 (5 o termo), etão já deimos de imediato o valor 4 que será usado a exressão do termo geral. Desse modo: ( ) 5 T 4+1 x 5 4 2 4 5.x.16 T 5 80x. 4 Exemlo 2: Determie o 4 o termo do desevolvimeto de (3a 1) 6. Solução: Do euciado do roblema, deimos 3. Utilizado a exressão do termo geral ara o desevolvimeto de (a b), vem que: ( ) 6 T 3+1 ( 1) 3 (3a) 6 3 1 3 1.20.27a 3.1 T 4 540a 3. 3 ( Exemlo 3: No desevolvimeto de x 2 + x) 1 8, determie o termo cetral. Solução: Como o desevolvimeto de (a + b), ossui, exatamete, + 1 termos, etão o mesmo só terá termo cetral(médio) se for ar. A osição do termo cetral do desevolvimeto biomial é deida ela exressão + 1. Desse modo, o termo 2 cetral do desevolvimeto do biômio em questão será o 5 o termo, ois: 8 2 + 1 5. Deida a osição do termo cetral, teremos também deido que 4. Portato, substituido os valores a exressão do termo geral, vem: ( ) 8 (x T 4+1 ) ( 2 8 4 1 4 x ) 4 70.x 8. 1 x 4 T 5 70x 4. Exemlo 4: Calcule o termo em x 4 o desevolvimeto de Solução: ( 2x 3 + 1 x) 8. Como 8, sabemos que o desevolvimeto do biômio dado acima terá, exatamete, 9 termos. A ricíio ão odemos deir o valor de, ois ão sabemos a "osição" ocuada elo termo em x 4. Alicado a exressão do termo geral, temos: T +1 a b ( ) ( ) 8 1 (2x 3 ) 8 ( x( ) 8 1x )2 8 x 24 3 ( ) 8 2 8 x 24 4. 29
Termo geral do biômio Caítulo 1 Como o roblema ede ara que calculemos o termo em x 4, devemos fazer o exoete de x igual a 4. Assim: 24 4 4 5. Substituido a exressão do termo geral, temos: T 5+1 ( ) 8 2 3 x 4 56.8.x 4 T 6 448x 4. 5 Exemlo ( 5: ) Determie, caso exista, o termo ideedete de x do desevolvimeto 18 1 de x 4 x. 2 Solução: A ricíio, ão sabemos a osição ocuada elo termo ideedete de x o referido desevolvimeto, ortato, aida ão odemos deir o valor de. Vamos substituir a exressão do termo geral, aeas os valores que cohecemos da exressão dada. T +1 ( 1) a b ( ) ( ) 18 18 1 ( 1) ( 4 x) ( ) x 2 18 ( 1) (x 2 ) 18 ( x 1/4) ( ) 18 ( 1) x 2 36 x /4 ( ) 18 ( 1) x (9/4) 36. É sabido que o termo ideedete de x é àquele que ossui grau 0 (termo em x 0 ). 9 Igualado o exoete de x a 0, teremos: 36 0 16. Substituido a 4 exressão do termo geral, vem: ( ) 18 T 16+1 ( 1) 16 x 0 T 17 153. 16 30
Caítulo 2 Alicações do Biômio de Newto Veremos o trascorrer deste caítulo algumas alicações do desevolvimeto biomial e de suas resectivas roriedades oeratórias em roblemas diversos de Matemática e de outras áreas de cohecimeto, o que torará aida mais relevate o cohecimeto sobre Biômio de Newto. 2.1 Exasão Multiomial - Poliômio de Leibiz Acabamos de ver algumas roriedades que toram ossível fazer o desevolvimeto biomial ara qualquer otêcia atural. Agora vamos utilizar raciocíio semelhate ara obter o desevolvimeto de qualquer oliômio do tio (x 1 + x 2 + x 3 + + x ), com N. Segudo [10], odemos obter uma geeralização da fórmula do biômio. Teorema 4 : Cosidere os úmeros reais x 1, x 2, x 3,, x e um úmero atural. Etão (x 1 + x 2 + x 3 + + x )! α 1!α 2!α 3! α! xα 1 1 x α 2 2 x α estededo-se o somatório a todos os valores aturais de α 1, α 2,..., α tais que α 1 + α 2 + + α. 31
Exasão Multiomial - Poliômio de Leibiz Caítulo 2 Justicativa: (x 1 + x 2 + + x ) (x 1 + + x ). (x 1 + + x ) (x 1 + + x ). O termo geérico do roduto é obtido escolhedo-se em cada arêteses um x i e multilicado-se os escolhidos. Ora, se em α 1 dos arêteses escolhermos x 1, em α 2 dos arêteses escolhermos x 2, etc... obteremos x α 1 1 x α 2 2 x α (α 1, α 2,, α aturais e α 1 + α 2 + + α ). O termo x α 1 1 x α 2 2 x α aarece tatas vezes quatos são os modos de escolhermos os arêteses α 1 deles ara egarmos o x 1 ara fator, α 2 detre os que sobraram ara egarmos o x 2 como fator, etc... ; mas isso ode ser feito de ( ) ( ) ( ) α1 α1 α 1!. α 1!α 2! α! α 1 α 2 α modos. Logo, x α 1 1 x α 2 2 x α aarece o desevolvimeto! α 1!α 2! α! vezes. Exemlo 1: Efetue o desevolvimeto de (x 2 + 2x 1) 4. Solução: Pela exasão multiomial temos (x 2 + 2x 1) 4 4! α 1!α 2!α 3! (x2 ) α 1 (2x) α 2 ( 1) α 3 24 α 1!α 2!α 3! 2α 2 ( 1) α 3 x 2α 1+α 2, ode α 1, α 2, α 3 são úmeros aturais tais que α 1 + α 2 + α 3 4. A seguir temos uma tabela dos ossíveis valores de α 1, α 2, α 3 e os corresodetes termos do desevolvimeto. 32
Exasão Multiomial - Poliômio de Leibiz Caítulo 2 α 1 α 2 α 3 T 4 0 0 x 8 0 4 0 16x 4 0 0 4 1 3 1 0 8x 7 3 0 1 4x 6 1 0 3 4x 2 1 3 0 32x 5 0 1 3 8x 0 3 1 32x 3 2 1 1 24x 5 1 2 1 48x 4 1 1 2 24x 3 2 2 0 24x 6 2 0 2 6x 4 0 2 2 24x 2 Efetuado a soma e fazedo a redução dos termos semelhates, temos: (x 2 + 2x 1) 4 x 8 + 8x 7 + 20x 6 + 8x 5 26x 4 8x 3 + 20x 2 8x + 1. Exemlo 2: Determie o coeciete do termo em x 5 do desevolvimeto de (1 + x + x 2 ) 10. Solução: Temos que (1 + x + x 2 ) 10 10! α 1!α 2!α 3! (1)α 1 (x) α 2 (x 2 ) α 3 10! α 1!α 2!α 3! xα 2+2α 3, 33
Probabilidades - Método Biomial Caítulo 2 ode, ara que o exoete de x seja 5, devemos ter α 1 + α 2 + α 3 10 α 2 + 2α 3 5. As soluções ossíveis são α 1 α 2 α 3 T 7 1 2 360x 5 6 3 1 840x 5 5 5 0 252x 5 Somado, o termo em x 5 será, ortato, 1452x 5. Logo o coeciete do termo em x 5 é 1452. 2.2 Probabilidades - Método Biomial O método biomial é uma técica utilizada ara calcular robabilidades em exerimetos que se tratam de uma sequêcia de tetativas ideedetes, de modo que a robabilidade de um certo resultado em cada uma dessas tetativas, tato ideede do resultado obtido as tetativas ateriores, quato ideede dos resultados das tetativas osteriores. Em cada uma dessas tetativas ode ocorrer aeas dois resultados, os quais chamaremos de sucesso ou fracasso. Idicado or a robabilidade de ocorrer sucesso em uma certa tetativa, etão a robabilidade de obter fracasso esta é q 1. Estes exerimetos são cohecidos como Esaios de Beroulli, ois, segudo [5], os rimeiros estudos a esse reseito devem-se a Jacques Beroulli, matemático do século XVII. Vejamos a seguir algus exemlos de esaio de Beroulli: Uma moeda é laçada 5 vezes. Cada um dos laçametos é um esaio, ode dois resultados odem ocorrer: cara ou coroa. Cosideremos sucesso 34
Probabilidades - Método Biomial Caítulo 2 o resultado cara e fracasso o resultado coroa. Em cada um dos esaios, 1 2 e q 1 2. Uma ura cotém 3 cartões retos e 7 cartões bracos. Um cartão é retirado ao acaso, sua cor é observada e o mesmo é devolvido ara a ura; este rocedimeto é reetido 6 vezes. Cada uma dessas extrações é um esaio de Beroulli, ois aeas dois resultados odem ocorrer: cartão reto ou cartão braco. Cosideremos sucesso o resultado cartão reto e fracasso o resultado cartão braco. Em cada caso 3 10 e q 7 10. Problemas desse tio odem ser resolvidos utilizado o desevolvimeto biomial como, or exemlo, o caso do rimeiro, ode foram realizados 5 laçametos. Se quisermos saber a robabilidade de obtermos 2 caras(k) e 3 coroas(c), o cálculo dessa robabilidade seria iiciado com o desevolvimeto de (K + C) 5, ode K é a robabilidade de obtermos cara em qualquer laçameto, C é a robabilidade obtermos coroa e, elo fato de serem 5 laçametos, fazemos o desevolvimeto do biômio com exoete 5. Desse modo teríamos: (K + C) 5 K 5 + 5K 4 C + 10K 3 C 2 + } 10K{{ 2 C} 3 +5KC 4 + C 5. valor rocurado Substituido K 1 2 e C 1 2, vem: P 10 ( ) 2 ( ) 3 1 1 5 2 2 16. Este rocesso, orém, se tora muito comlicado quado a quatidade de esaios assa a ser cada vez maior, se torado iviável sua alicação. Ates de euciar um teorema que ossibilite resolver roblemas como o que foi descrito acima, vamos, rimeiramete, eteder a regra do roduto o cálculo de robabilidades. Segudo [3], se um acotecimeto é comosto de evetos sucessivos e ideedetes, de tal modo que: 35
Probabilidades - Método Biomial Caítulo 2 o rimeiro eveto é A e a sua robabilidade é 1, o segudo eveto é B e a sua robabilidade é 2, o terceiro eveto é C e a sua robabilidade é 3,. o k-ésimo eveto é K e a sua robabilidade é k, etão a robabilidade P de que os evetos A, B, C,..., K ocorram, esta ordem é: P 1 2 3... k. Euciaremos agora o teorema que facilita o cálculo da robabilidade em exerimetos os quais acotecem, a cada tetativa, esaios de Beroulli. Teorema Biomial das Probabilidades : A robabilidade de ocorrerem exatamete k sucessos em uma sequêcia de esaios ideedetes, a qual a robabilidade de sucesso em cada esaio é, é P k (1 ) k. k Justicativa: Segudo [10], o roblema que queremos resolver é o seguite: Qual é a robabilidade de obtermos k sucessos essas rovas(esaios)? Cosideremos que a robabilidade de essas rovas obtermos k sucessos(s) e, cosequetemete, k fracassos(f) em uma ordem redetermiada, or exemlo, os sucessos as k rimeiras rovas e os fracassos as demais SSS...S }{{} F} F{{ F...F} k vezes k vezes é P.... (1 )(1 )...(1 ) }{{} k (1 ) k, }{{} k fatores k fatores 36
Probabilidades - Método Biomial Caítulo 2 ois as rovas são ideedetes. A robabilidade de obtermos k sucessos e k fracassos em qualquer ordem é k (1 ) k multilicado elo úmero de ordes ossíveis que é dado ela combiação de resultados com k resultados de sucesso ( ) e, cosequetemete, k! resultados de fracasso: C,k C, k k!( k)!. Desse modo termiamos k a rova do Teorema Biomial das Probabilidades. Vejamos a seguir algus exemlos de alicação do Teorema Biomial das Probabilidades. Exemlo 1: Laçado uma moeda ão-viciada 10 vezes, qual a robabilidade de obtermos exatamete 4 caras? Solução: Fazedo sucesso cara, temos 1 em cada esaio(laçameto) e os 2 esaios são ideedetes. Queremos determiar a robabilidade de k 4 sucessos em 10 esaios. Pelo Teorema Biomial, temos: ( ) ( ) 4 ( 10 1 P 1 1 ) 6 210 4 2 2 1024 105 512. Exemlo 2: Cosideremos que a chace de um atirador acertar o alvo quado o mesmo efetua um disaro é de 60%. Se este atirador efetuar 7 disaros, qual a robabilidade de ele acertar o alvo 3 vezes? Solução: Fazedo sucesso acertar, temos 60% 60 100 3 em cada esaio 5 (disaro) e os esaios são ideedetes. Vamos determiar a robabilidade de k 3 sucessos em 7 esaios. Alicado o Teorema Biomial, vem: ( ) ( ) 3 ( 7 3 P 1 3 ) 4 15120 0, 1935 19, 35% 3 5 5 78125 Exemlo 3: [10] Um aluo marca ao acaso as resostas em um teste múltilaescolha com 10 questões e cico alterativas or questão. Qual a robabilidade dele 37
Biômio de Newto alicado à Geética Caítulo 2 acertar: a) exatamete 4 questões? b) elo meos 4 questões? Solução: Cosiderado sucesso acerto, temos 1 em cada esaio(questão), 5 e os esaios são ideedetes. Chamemos de P k a robabilidade dele acertar k questões, ou seja, dele obter k sucessos em 10 esaios. Alicado o Teorema Biomial, P k ( 10 k ) ( 1 5 ) k ( 1 1 5) 10 k ( ) 10 4 10 k k 5. 10 a) A robabilidade dele acertar exatamete k 4 questões é: ( ) 10 4 10 4 P 4 172032 0, 088. 4 5 10 1953125 b) A robabilidade dele acertar elo meos 4 questões é: P (4 k 10) 1 P 0 P 1 P 2 P ( ) ( ) 3 10 4 10 10 4 9 1 0 5 10 1 5 10 1180409 0, 121. 9765625 ( ) 10 4 8 2 5 10 ( ) 10 4 7 3 5 10 2.3 Biômio de Newto alicado à Geética Cohecer o triâgulo de Pascal e algumas de suas roriedades, como também o desevolvimeto biomial é de fudametal imortâcia ara o estudo de Geética, uma vez que os cálculos de robabilidades feitos em geética são em sua maioria voltados à exerimetos biomiais. Segudo [9], a Geética é a área da Biologia que estuda a trasmissão do material geético ao logo das gerações, a atureza química do material hereditário e seu modo de ação. Esse material geético (DNA) 38
Biômio de Newto alicado à Geética Caítulo 2 comorta as características hereditárias, que são assadas de geração em geração, as quais são resosáveis elas semelhaças etre idivíduos de uma mesma esécie. Comecemos aalisado os casos de heraça quatitativa, que se trata de um caso de iteração gêica esecial. Este tio de iteração estuda, segudo [11], caracteres de variação cotíua, como a estatura a esécia humaa, a cor da ele, a iteligêcia, a rodutividade de leite o gado, a rodução de ovos elas galihas e a de semetes ou frutos elas latas. Aida segudo [11], a heraça quatitativa, os caracteres variam de forma suave. Há muitos feótios itermediários. Etre idivíduos com 1,50 m de altura e outros com 2,10 m, há um grade úmero de feótios ossíveis: 1,51 m, 1,52 m,..., 1,76 m, 1,77 m, etc. Vamos aalisar o caso da cor da ele. Admitamos que a quatidade de melaia roduzida deeda de dois ares de gees, que se segregam de forma ideedete. Imagie que qualquer um dos alelos (A ou B) acrescete ao feótio básico a mesma quatidade de melaia, sedo chamados de gees aditivos, equato os gees (a ou b) ada acrescetam ao feótio básico. Vejamos os ossíveis geótios e feótios corresodetes a tabela abaixo: Geótios Feótios N o de gees aditivos AABB Negro 4 AABb e AaBB Mulato escuro 3 AAbb, aabb, AaBb Mulato médio 2 Aabb e aabb Mulato claro 1 aabb Braco 0 Observação imortate: Na heraça quatitativa o úmero de feótios é igual ao úmero de gees +1. Iversamete, se soubermos o úmero de feótios de um caso de heraça quatitativa, etão o úmero de gees evolvidos será igual ao úmero de feótios 1. 39
Biômio de Newto alicado à Geética Caítulo 2 Vejamos agora o cruzameto etre dois heterozigotos AaBb x AaBb: Gametas AB Ab ab ab AB AABB AABb AaBB AaBb Ab AABb AAbb AaBb Aabb ab AaBB AaBb aabb aabb ab AaBb Aabb aabb aabb Observamos que aarecem todos os feótios ossíveis, do braco ao egro. 1 Note que a meor roorção obtida é semre a dos feótios extremos: 16 de egros (AABB) e 1 de bracos (aabb), sedo que os idivíduos itermediários, 16 6 mulatos médios (AAbb, aabb, AaBb), aarecem em maior roorção: 16. Estes feótios se distribuíram segudo os coecietes do desevolvimeto do biômio de Newto ( + q), em que rereseta os gees aditivos (A e B), q rereseta os gees que ão codicioaram acréscimo ao feótio (a e b) e rereseta o úmero de gees evolvidos( 4). Desse modo, temos: ( + q) 4 1 4 + 4 3 q + 6 2 q 2 + 4q 3 + 1q 4. Ou seja: Número de idivíduos Feótio N o de gees aditivos 1 Negro 4 4 Mulato escuro 3 6 Mulato médio 2 4 Mulato claro 1 1 Braco 0 Sedo assim, ara calcular o úmero total de idivíduos (combiações) a role resultate do cruzameto de heterozigotos ara k ares de alelos ( 2k gees evolvidos), basta fazer a soma dos elemetos da liha do triâgulo de Pascal que, segudo a roriedade da soma dos elemetos de uma certa liha é dada or 40
Biômio de Newto alicado à Geética Caítulo 2 2. Cada liha do triâgulo de Pascal corresode à distribuição feotíica da role resultate do cruzameto etre idivíduos heterozigotos. No caso do exemlo dado acima, temos um total de: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 2 4 16 idivíduos. Exemlo:[11] Numa determiada esécie vegetal, a altura do é varia de 150 cm a 180 cm, de 5 em 5 cm. Sabedo que se trata de um caso de heraça quatitativa, resoda: a) Quatos ares de gees estão evolvidos essa heraça? b) Quais são os geótios dos idivíduos com feótios extremos? c) Qual é o resultado feotíico (altura) do cruzameto etre dois tios extremos? d) Qual o úmero de idivíduos (combiações), resultates do cruzameto de dois heterozigotos? e) Se dois heterozigotos forem cruzados etre si, que roorções feotíicas se eseram? Solução: a) Como foi visto, o úmero de gees é igual ao úmero de feótios -1; é útil, ortato, determiar rimeiro os feótios, que variam de 5 em 5 cm. Serão eles: 150 cm, 155 cm, 160 cm, 165 cm, 170 cm, 175 cm, 180 cm. Há, ortato, 7 feótios ossíveis; assim, o úmero de gees evolvidos é 6 (3 ares). b) Para o feótio de 150 cm, o geótio é: aabbcc. Para o feótio de 180 cm, o geótio é: AABBCC. Reare que cada gee (A,B ou C) acresceta 5 cm ao feótio básico de 150 cm. c) Cruzam-se os idivíduos AABBCC e aabbcc. Obtemos como resultado idivíduos AaBbCc, ortato triíbridos com 3 gees aditivos, que acrescetarão 15 cm(3x5 cm) ao feótio básico. Esses idivíduos terão, assim, 165 cm. d) Para saber o úmero de idivíduos, recorremos à liha liha 6 ( 6) do 41
Séries Biomiais Caítulo 2 triâgulo de Pascal, ortato: o de idivíduos 2 2 6 64. e) O cruzameto etre dois heterozigotos roduzirá todas as classes feotíicas existetes. Para saber as roorções, basta recorrer aos elemetos da liha 6 do triâgulo de Pascal. Teremos etão: Altura 150 cm 155 cm 160 cm 165 cm 170 cm 175 cm 180 cm Proorção 1/64 6/64 15/64 20/64 15/64 6/64 1/64 2.4 Séries Biomiais Ates de chegar à deição de série biomial, rimeiramete temos que eteder o que é uma série. Segudo [12], se tetarmos somar todos os termos de uma sequêcia iita {a } 1, obtemos heuristicamete uma exressão da forma a 1 + a 2 + a 3 + + a + que é deomiada uma série iita (ou aeas série) e é deotada, or simlicidade, elo símbolo 1 a ou a. Deição 5 Dada uma série a, deote or s sua -ésima soma arcial: 1 s a i a 1 + a 2 + a 3 +... + a. i1 42
Séries Biomiais Caítulo 2 Se a sequêcia {s } for covergete, ou seja, lim s s existir como um úmero real, etão a série a é dita covergete, e escrevemos a 1 + a 2 + a 3 + + a + s ou a s. O úmero s é chamado soma da série. Caso cotrário, a série é dita divergete. Desse modo, a soma de uma série é o limite da sequêcia formada elas somas arciais, ou seja, somado um úmero sucietemete grade de termos da série, odemos chegar tão erto quato quisermos do úmero s. Um exemlo imortate de uma série iita é a série geométrica a + ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + + ar 1 + ar 1 ; a 0. Essa série é covergete se r < 1 e sua soma é série geométrica é divergete. 1 1 ar 1 1 a. Se r 1, a 1 r Geralmete ão é tão simles calcular lim s, ortato disomos de algus testes que os ermitem determiar se uma série é covergete ou divergete, sem ecessariamete ter que ecotrar sua soma. eteder um desses testes que é chamado de Teste da razão. Para efeito de osso estudo vamos Iiciemos com qualquer série a, ode odemos cosiderar a série corresodete a a 1 + a 2 + a 3 + 1 cujos termos são valores absolutos dos termos da série origial. Deição 6 Uma série a é dita absolutamete covergete se a série de valores absolutos a for covergete. Um exemlo de série absolutamete covergete é a série ( 1) 1 1 1 2 2 + 1 2 3 1 2 4 +, 2 1 43
Séries Biomiais Caítulo 2 ois ( 1) 1 2 1 1 + 1 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 + 2 1 é uma -série covergete ( 2). 1 Com esses elemetos chegamos ao teste que é muito útil ara casos em que queremos determiar se uma série dada é absolutamete covergete. Teste da Razão a +1 (i) Se lim L < 1, etão a série a é absolutamete a 1 covergete e, ortato, coverge. a +1 a +1 (ii) Se lim L > 1 ou se lim, etão a série a a a é divergete. 1 a +1 (iii) Se lim 1, o Teste da Razão ão é coclusivo; isto a é, ehuma coclusão ode ser tirada sobre a covergêcia ou divergêcia de a. Observação: A demostração deste resultado ode ser vista elo leitor as ág. 679 e 680 de [12]. Uma outra deição imortate ara odermos eteder as séries biomiais é a deição de séries de otêcias. Segudo [12], uma série de otêcias é uma série da forma c x c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + 0 ode x é uma variável e c s são costates chamadas coecietes da série. Para cada x xo a série assa a ser aeas de costates e ode ser testada quato a covergêcia ou divergêcia. Quado a série é do tio c (x a) c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) 3 + 0 44
Séries Biomiais Caítulo 2 ela é chamada de série de otêcias em (x a) ou série de otêcias cetrada em a ou, aida, série de otêcias em toro de a. Observe que, este caso, quado x a, todos os termos são 0 ara 1 e assim a série de otêcias semre coverge quado x a. Teorema 7 Para uma dada série de otêcias ossibilidades: (i) A série coverge aeas quado x a. (ii) A série coverge ara todo x. c (x a), existem aeas três (iii) Existe um úmero ositivo R tal que a série coverge se x a < R e diverge se x a > R. 0 Por [12] o úmero R em (iii) é chamado de raio de covergêcia da série de otêcias. Por coveção, o raio de covergêcia é R 0 o caso (i) e R o caso (ii). O itervalo de covergêcia de uma série de otêcias é aquele que cosiste em todos os valores de x ara os quais a série coverge. No caso (i) o itervalo cosiste em aeas um úico oto a. No caso (ii) o itervalo é (, ). No caso (iii) observe que a desigualdade x a < R ode ser escrita como a R < x < a+r. Quado x é extremidade do itervalo, isto é, x a±r, qualquer coisa ode acotecer a série ode covergir em uma ou ambas as extremidades ou divergir em ambas as extremidades. Etão, o caso (iii) existem quatro ossibilidades ara o itervalo de covergêcia: (a R, a + R) (a R, a + R] [a R, a + R) [a R, a + R]. Vamos agora ivestigar quais fuções têm reresetações em séries de otêcia. Comecemos suodo que f seja qualquer fução que ossa ser reresetada or uma série de otêcias: f(x) c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) 3 + c 4 (x a) 4 + (2.1) 45
Séries Biomiais Caítulo 2 ara x a < R. Agora vamos determiar quais coecietes c devem aarecer os termos de f. Perceba que se colocarmos x a a equação acima, os termos deois do rimeiro cam todos iguais a 0, obtedo f(a) c 0. Derivado a equação (2.1) termo a termo (elo Teorema 15), obtemos: f (x) c 1 + 2c 2 (x a) + 3c 3 (x a) 2 + 4c 4 (x a) 3 + (2.2) ara x a < R, e substituido x a a equação (2.2), teremos f (a) c 1. Agora vamos derivar ambos os lados da equação (2.2), obtedo f (x) 2c 2 + 2.3c 3 (x a) + 3.4c 4 (x a) 2 + (2.3) ara x a < R e, mais uma vez substituido x a a equação (2.3), temos f (a) 2c 2. Alicado o rocedimeto ovamete, a derivação da equação (2.3) resulta f (x) 2.3c 3 + 2.3.4c 4 (x a) + 3.4.5c 5 (x a) 2 + (2.4) ara x a < R e, substituido x a a equação (2.4), obtemos f (a) 2.3c 3 3!c 3. Desse modo odemos observar o adrão. x a, obteremos f () (a) 2.3.4..c!c. Isolado o -ésimo coeciete c essa equação, teremos c f () (a).! 46 Se cotiuarmos a derivar e substituir
Séries Biomiais Caítulo 2 Essa fórmula ermaece válida mesmo ara 0 se forem adotadas as coveções de que 0! 1 e f (0) f. Desse modo demostramos o seguite teorema: Teorema 8 Se f tiver uma reresetação em série de otêcias em a, isto é, se f(x) c (x a) ara x a < R 0 etão seus coecietes são dados ela fórmula c f () (a).! Substituido essa fórmula ara c de volta a série, ercebemos que, se f tiver uma exasão em série de otêcias em a, etão ela deve ser da seguite forma: f(x) 0 f () (a)! (x a) f(a)+ f (a) 1! (x a)+ f (a) 2! (x a) 2 + f (a) (x a) 3 + 3! Essa série ecotrada é chamada série de Taylor da fução f em a (ou em toro de a ou cetrada em a). Para o caso esecial a 0, a série de Taylor tora-se f(x) 0 f () (0)! x f(0) + f (0) 1! x + f (0) 2! x 2 + f (0) x 3 + 3! Segudo [12], esse caso surge com frequêcia e lhe foi dado o ome esecial de série de Maclauri. Desse modo mostramos que, se f uder ser reresetada como uma série de otêcias em toro de a, etão f é igual à soma de sua série de Taylor. Nota: De acordo com [12], a série de Taylor recebeu esse ome em homeagem ao matemático alemão Brook Taylor (1685-1731) e a série de Maclauri tem esse ome em homeagem ao matemático escocês Coli Maclauri (1698-1746), aesar do fato de a série de Maclauri ser aeas um caso esecial da série de Taylor. Mas a ideia da reresetação de fuções articulares como somas de séries 47
Séries Biomiais Caítulo 2 de otêcias remota a Newto, e a série de Taylor era cohecida elo matemático escocês James Gregory em 1668 e elo matemático suíço Joh Beroulli a década de 1690. Taylor aaretemete ão sabia do trabalho de Gregory e Beroulli quado ublicou suas descobertas sobre séries em 1715 o livro Methodus icremetorum directa et iversa. A série de Maclauri recebeu essa deomiação or causa de Coli Maclauri, que a oularizou em seu livro-texto de cálculo Treatise of Fluxios, ublicado em 1742. Vamos agora determiar a série de Maclauri de f(x) (1 + x) k, ode k é um úmero real qualquer. Temos: f(x) (1 + x) k f(0) 1 f (x) k(1 + x) k 1 f (0) k f (x) k(k 1)(1 + x) k 2 f (0) k(k 1) f (x) k(k 1)(k 2)(1 + x) k 3 f (0) k(k 1)(k 2). f () (x) k(k 1) (k + 1)(1 + x) k f () (0) k(k 1) (k + 1) Desse modo, temos que a série de Maclauri de f(x) (1 + x) k é 0 f () (0) x! 0 k(k 1) (k + 1) x! Essa série é chamada série biomial. Escrevedo a f () (0) x, temos! a +1 k(k 1) (k + 1)(k )x +1!. a ( + 1)! k(k 1) (k + 1)x k 1 k + 1 x 1 + 1 x x quado. Portato, elo Teste da Razão, a série biomial coverge se x < 1 e diverge se x > 1.. 48
Séries Biomiais Caítulo 2 A otação tradicioal ara os coecietes a série biomial é ( ) k k(k 1)(k 2) (k + 1)! (2.5) e estes são chamados coecietes biomiais. Teorema 9 (O Teorema Biomial-Geeralizado) Se k for um úmero real qualquer e x < 1, etão ( ) k (1 + x) k x 1 + kx + 0 k(k 1) x 2 + 2! k(k 1)(k 2) x 3 + 3! Este teorema arma que (1 + x) k é igual à soma de sua série de Maclauri. Justicativa: Para demostrar este teorema vamos seguir algus assos (de acordo com [12]). ( ) k 1 o asso: Pelo que vimos acima a série x é covergete ara x < 1. 0 ( ) k Deido g(x) x, armamos que ara x < 1, tem-se g (x) kg(x) 1 + x. 0 De fato, segue da deição dos coecietes biomiais dada em (2.5) e do Teorema 15 que g é derivável e que g (x) 1 ( ) k x 1. Etão: (1 + x)g (x) (1 + x) 1 ( k ) ( ) k x 1 ( ) k x 1 + x. 1 1 49
Séries Biomiais Caítulo 2 Substituido or + 1 a rimeira série, teremos: ( ) k ( ) k (1 + x)g (x) ( + 1)x + x + 1 0 0 k(k 1)(k 2) (k + 1)(k ) ( + 1) x + ( + 1)! 0 [ ] k(k 1)(k 2) (k + 1) + () x! 0 ( + 1)k(k 1)(k 2) (k + 1)(k ) [(k ) + ]x ( + 1)! 0 k(k 1)(k 2) (k + 1)(k ) k x! 0 ( ) k k x kg(x). 0 Portato, temos que g (x) kg(x) 1 + x. 2 o asso: Deido h(x) (1 + x) k g(x) armamos que h (x) 0 em ( 1, 1). De fato, h(x) (1 + x) k g(x) h (x) k(1 + x) k 1 g(x) + (1 + x) k g (x) [or (A.2)] k(1 + x) k 1 k kg(x) g(x) + (1 + x) 1 + x k(1 + x) k 1 g(x) + k(1 + x) k 1 g(x) 0. 3 o asso: Por m, vamos deduzir que g(x) (1 + x) k. Devemos observar que, o 2 o asso, h(x) deve ser costate ara x ( 1, 1), como temos o Teorema 13. Desse modo h(x) h(0) 1 ara x ( 1, 1). Logo, h(x) 1 (1 + x) k g(x) g(x) (1 + x) k ara x ( 1, 1), termiado, assim, a rova do Teorema Biomial. A seguir temos exemlos de alicação do Teorema Biomial ara exadir fuções como uma série de otêcias. 50
Séries Biomiais Caítulo 2 Exemlo 1: Usado a série biomial, exada cada uma das fuções abaixo como séries de otêcias e em seguida determie o raio de covergêcia. a) 1 + x b) 1 (2 + x) 3 Solução: a) Temos aqui k 1/2, ortato, segue elo Teorema 9: ( ) 1/2 (1 + x) 1/2 x 0 ( ) ( 1 ( ) 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( 3 ) 1 2 2 1 + x + x 2 2 2 2 + x 3 + 2 2! 3! 1 + x 2 x2 2 2.2! + 1.3.x3 1.3.5.x4 + 2 3.3! 2 4.4! 1 + x 2 + ( 1) 1.1.3.5..(2 3)x, 2.! 2 ara x < 1, ortato R 1. b) Temos que: Pelo Teorema 9, temos: O coeciete biomial é: ( ) 3 Portato, 1 (2 + x) 1 3 [2(1 + x/2)] 1 ( 1 + x ) 3. 3 8 2 1 ( 1 + x ) 3 1 8 2 8 ( ) 3 (x ). 2 0 ( 3)( 4)( 5)..( 3 + 1)! ( 1).2.3.4.5..( + 1)( + 2) 2.! 1 (2 + x) 3 1 8 0 ( 3)( 4)( 5)..[ ( + 2)]! ( 1) ( + 1)( + 2). 2 ( 1) ( + 1)( + 2). x 2 2 ( 1) ( + 1)( + 2)x, 2 +4 0 51
Séries Biomiais Caítulo 2 ara x < 1 x < 2, etão R 2. 2 No exemlo que segue, veremos uma alicação das séries biomiais ara estimar raízes com recisões tão equeas quato desejarmos. Exemlo 2: Utilizado o Teorema Biomial Geeralizado, Teorema 9, faça o que se ede. a) Exada 1/ 4 1 + x como uma série de otêcias. b) Utilize a arte (a) ara estimar 1/ 4 1, 1 com recisão de três casas decimais. Solução: a) Temos que 1/ 4 1 + x (1 + x) 1/4 ( 1 4 ( ) 1/4 x 0 ) ( 5 ) 4 1 1 4 x + x 2 + 2! 1 1 4 x + 1.5.9..(4 3) ( 1) 4.! 2 b) Do resultado obtido em (a), temos: ( 1 ) ( 5 ) ( 9 ) 4 4 4 x 3! x 3 + 1/ 4 1 + x 1 1 4 x + 5 32 x2 15 128 x3 + 195 2048 x4 Como 1/ 4 1, 1 1/ 4 1 + 0, 1, temos que x 0, 1. A soma dos quatro rimeiros termos é, ortato, 1 1 4 (0, 1) + 5 32 (0, 1)2 15 128 (0, 1)3 0, 976 O quito termo é 195 2048 (0, 1)4 0, 0000095, o qual ão afeta a terceira casa decimal da soma. Desse modo, cocluímos que 1/ 4 1, 1 0, 976. (Note que a terceira casa 52
Séries Biomiais Caítulo 2 decimal da soma dos três rimeiros termos é afetada elo quarto termo, or isso recisamos usar mais de três termos ara a soma.) 53
Aêdice A Algus resultados imortates Trazemos aqui resultados de comlemetação do texto. A.1 Axioma da Idução De acordo com [7], o axioma da idução é a base de um eciete método de demostração de roosições referetes a úmeros aturais (demostrações or idução, ou or recorrêcia). Euciado sob a forma de roriedades, ele se formula assim: Deição 10 Seja P () uma roriedade relativa ao úmero atural. Suohamos que i) P ( 0 ) é válida, ode 0 é um certo atural iicial; ii) Para todo N, a validez de P () imlica a validez de P ( + 1), ode + 1 é o sucessor de. Etão P () é válida qualquer que seja o úmero atural 0. 54
Deição de Derivada Aêdice A.2 Deição de Limite Dada uma fução f : (a, b) R e x [a, b], dizemos que o limite de f(x) quado x tede a x 0 é L se os valores de f(x) toram-se arbitrariamete róximos de L quado x se aroxima de x 0. Segudo [4], é razoável eserar que se f estiver deida em x 0 e for cotíua (ver deição de fução cotíua em [4], ág.60) em x 0, etão, lim x x0 f(x) f(x 0 ), e recirocamete. Com isto, odemos euciar o teorema a seguir. Teorema 11 Para toda fução oliomial, tem-se que lim x x0 f(x) f(x 0 ). Exemlo: Sedo f(x) x 2 + 1, temos que lim x 2 f(x) 2 2 + 1 4 + 1 5. A.3 Deição de Derivada Dizemos que f : (a, b) R é derivável em x 0 (a, b) se existe o limite: Neste caso deotamos lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ). h f (x 0 ) lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h e dizemos que f (x 0 ) é a derivada de f em x 0. A seguir euciaremos duas regras básicas ara a derivação, as quais vamos alicar sem demostração. Regra da soma: A derivada de uma soma é a soma das derivadas. Mais recisamete, se f e g são fuções deriváveis em x etão f + g é derivável em x e tem-se (f + g) (x) f (x) + g (x). (A.1) 55
Deição de Derivada Aêdice Regra do roduto: A derivada do roduto de duas fuções é a rimeira fução vezes a derivada da seguda fução mais a derivada da rimeira fução vezes a seguda fução. Mais recisamete, se f e g são fuções deriváveis em x etão o roduto f.g é derivável em x e tem-se (f.g) (x) f(x).g (x) + f (x).g(x) (A.2) Vejamos agora o teorema do valor médio, o qual utilizaremos em um resultado a seguir. A demostração do mesmo ode ser vista elo leitor a ágia 460 de [4]. Teorema 12 (do valor médio - TVM) Se f for cotíua em [a, b] e derivável em (a, b), etão existirá elo meos um c em (a, b) tal que f(b) f(a) f (c)(b a). Teorema 13 Seja f uma fução derivável em um certo itervalo I. Se f (x) 0 em todo x do itervalo I, etão existirá uma costate k tal que f(x) k ara todo x em I. Justicativa: (Por [4]) Seja x 0 um oto xo em I. Vamos rovar que, ara todo x em I, f(x) f(x 0 ), o que sigicará que f é costate em I. Para todo x em I, x x 0, existe, elo Teorema (12), um x ertecete ao itervalo aberto de extremos x e x 0 tal que f(x) f(x 0 ) f (x)(x x 0 ). Como x é iterior a I, ela hiótese f (x) 0, logo f(x) f(x 0 ) 0 ou f(x) f(x 0 ) ara todo x em I. Tomado-se k f(x 0 ), resulta o teorema. Proosição 1 Para cada N, 1, a fução f : R R dada or f(x) x é derivável em todo x R e f (x).x 1. 56
Derivação de Séries de Potêcias Aêdice Justicativa: Para x R, temos f(x + h) f(x) h (x + h) x. h Usado o Teorema de Newto, como visto em (1.1), temos Daí e f(x + h) f(x) h ( (x + h) 0 ( x + 1 x + h como queríamos demostrar. 1 f (x) lim h 0 f(x + h) f(x) h ) x h 1 ) x h ( ) x h 1. x h 1.x 1 + 2.x 1 + 0.x 1 x h 1 Como cosequêcia desta roosição e das regras de derivação, temos o seguite teorema. Teorema 14 Toda fução oliomial f(x) a x + + a 1 x + a 0 é derivável em R e f (x).a x 1 + + a 1. A.4 Derivação de Séries de Potêcias Vimos que a soma de uma série de otêcias é uma fução f(x) c (x a), cujo domíio é o itervalo de covergêcia da série. O Teorema a seguir (o qual ão faremos demostração) diz que odemos derivar fuções desse tio, fazedo a derivação de cada termo idividual da série, como faríamos ara um oliômio. Segudo [12], isso é chamado de derivação termo a termo. 57 0
Derivação de Séries de Potêcias Aêdice Teorema 15 Se a série de otêcias R > 0, etão a fução f deida or c (x a) tiver um raio de covergêcia 0 f(x) c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 + c (x a) é derivável (e ortato cotíua) o itervalo (a R, a + R) e 0 f (x) c 1 + 2c 2 (x a) + 3c 3 (x a) 2 + c (x a) 1. 1 (A.3) O raio de covergêcia da série de otêcias a equação (A.3) é R. Aida segudo [12], embora o teorema acima diga que o raio de covergêcia ermaece o mesmo quado uma série de otêcias é derivada, isso ão sigica que o itervalo de covergêcia ermaeça o mesmo. Pode acotecer de a série origial covergir em uma extremidade equato a série derivada diverge esse oto. A ideia de derivação de uma série de otêcias termo a termo é base ara um método muito ecaz ara resolver equações difereciais. 58
Referêcias Bibliográcas [1] Boyer, Carl B., Merzbach, Uta C. História da Matemática - Tradução da terceira edição americaa. Ed. Blucher, (2012). [2] Eves, Howard., Itrodução à História da Matemática, Ed. UNICAMP, (2008-4 a reimressão). [3] Giovai, José Ruy., Bojoro, José Roberto., Matemática Comleta-2 a Série 2. ed. reov. São Paulo FTD, 2005. [4] Guidorizzi, Hamilto Luiz. Um curso de cálculo, volume 1 5. ed. [reimr.]. Rio de Jaeiro - LTC, 2008. [5] Hazza, Samuel., Fudametos de Matemática Elemetar, 5, São Paulo - Atual, (2004). [6] Iezzi, Gelso., Dolce, Osvaldo., Degeszjz, David., Périgo, Roberto. Matemática: Volume Úico, São Paulo - Atual, (2002). [7] Lima, Elo Lages., Carvalho, Paulo Cezar Pito., Wager, Eduardo., Morgado, Augusto César., A Matemática do Esio Médio - Volume 1-9.ed., Rio de Jaeiro - SBM (2006). [8] Loes, Luís. Maual de idução matemática, Rio de Jaeiro - Iterciêcia, (1998). 59
Referêcias Bibliográficas [9] Loes, Sôia., Ross, Sergio., Biologia-Volume úico. São Paulo - Saraiva, (2005-1.ed.). [10] Morgado, Augusto César., Carvalho, João Bosco Pitombeira de., Carvalho, Paulo Cezar Pito., Feradez, Pedro. Aálise Combiatória e Probabilidades, Rio de Jaeiro - SBM (1991). [11] Silva Júior, César da., Sasso, Sezar., Biologia-volume 3-geética, evolução e ecologia, São Paulo - Saraiva, (2005-7.ed.). [12] Stewart, James. Cálculo, volume 2. Tradução técica Atoio Carlos Moretti, Atoio Carlos Gilli Martis; revisão técica Helea Maria Ávila de Castro. São Paulo - Cegage Learig, 2012. 60