6ª Lista de Probabilidade I Professor: Spencer 1) Em um determinado processo de fabricação, 10% das peças são consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma, Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas em uma caixa? b) Qual a probabilidade de haver 2 ou mais peças defeituosas em uma caixa? c) Se a empresa paga uma multa de R$10,00 por caixa em que houver alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de 1.000 caixas? 2) Um dado é formado com chapas de plástico de 10x10 cm. Em média aparecem 50 defeitos em cada metro quadrado de plástico, segundo uma distribuição de Poisson. Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de uma determinada face apresentar exatamente 2 defeitos? b) Qual a probabilidade de um dado apresentar no mínimo 2 defeitos? c) Qual a probabilidade de pelo menos 5 faces serem perfeitas? d) Lançado o dado, qual a probabilidade de que a soma do ponto com o número de defeitos da face obtida ser menor do que 3? 3) Um automóvel viaja sempre equipado com dois pneus novos nas rodas dianteiras e dois pneus recauchutados nas rodas traseiras. Sabe-se que os pneus novos dessa marca costumam furar em média à razão de uma vez a cada 50.000 km rodados, ao passo que os pneus recauchutados furam, média, uma vez a cada 30.000 km. Admitindo-se que os pneus que furam são logo consertados e recolocados na mesma posição, deseja-se saber a probabilidade de que, em cada viagem de 20.000 km: a) O pneu traseiro direito fure uma única vez; b) O pneu dianteiro esquerdo fure uma única vez; c) Haja pelo menos um pneu furado.
4) A Indústria Controlada S.A. tem dois eventuais compradores de seu produto, que pagam preços em função da qualidade: a. O comprador A paga R$150,00 por peça, se em uma amostra de 100 peças não encontrar nenhuma defeituosa e R$50,00 por peça,caso contrário; b. O comprador B paga R$200,00 por peça, desde que encontre no máximo uma peça defeituosa em 120 peças e R$30,00 por peça,caso contrário. Para qual dos dois compradores o empresário deveria vender se ele sabe que na produção 3% das peças são defeituosas? 5) Suponha que a variável aleatória X possui distribuição de Poisson com média. Sabendo-se que P(X=1)=P(X=2), pede-se calcular P(X=0). 6) Se a variável aleatória possui distribuição de Poisson com média, mostre que: 7) Uma vacina contra a gripe é eficiente em 70% dos casos. Sorteamos, ao acaso, 20 dos pacientes vacinados e pergunta-se a probabilidade de: a) Pelo menos 18 imunizados. b) No máximo 4 imunizados. c) Não mais do que 3 não imunizados. 8) Em momentos de pico, a chegada de aviões a um aeroporto se dá segundo o modelo Poisson com taxa de 1 por minuto. a) Determine a probabilidade de 3 chegadas em um minuto qualquer do horário de pico. b) Se o aeroporto pode atender 2 aviões por minuto,qual a probabilidade de haver aviões sem atendimento imediato? c) Previsões para os próximos anos indicam que o tráfego deve dobrar nesse aeroporto, enquanto a capacidade de atendimento poderá ser no máximo ampliada em 50%.Como ficará a probabilidade de espera por atendimento? 9) Considere uma variável aleatória. Construa uma nova variável tal que para os valores 0,1,2,...,5 e para. Dessa forma, corresponde ao truncamento de a valores menores ou iguais a 6. Obtenha a função de probabilidade de e calcule:
a) b) O valor da função de distribuição( acumulada ) no ponto 2,5. c). d) 10) Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Tenho 5 bilhetes consecutivos numerados de 21 a 25 e meu colega tem outros 5 bilhetes com os números 1, 11, 29,68 e 93. Quem tem maior possibilidade de ser sorteado? Justifique. a) Defina a variável aleatória X em questão e o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico. 11) Uma urna contém apenas 4 bolas vermelhas e 6 brancas. Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna. Numa única extração somente dois resultados podem ocorrer: bola vermelha ou bola branca. 12) A probabilidade de um produto fabricado não atender as especificações de projeto é igual a 5% (produto não conforme). São selecionadas ao acaso 8 unidades deste produto. Qual a probabilidade de no mínimo 3 serem conforme as especificações? 13) Uma companhia de avião chegou à conclusão de que 5% das pessoas que fazem reserva num dado vôo não comparecem ao embarque. Consequentemente, adotou a política de vender 70 lugares para um aparelho de 68 assentos. Qual a probabilidade de que não haja excesso de lotação?
14) Num lote de 40 peças há três que são defeituosas. Qual a probabilidade de, em cinco peças extraídas, se encontrar pelo menos uma peça defeituosa? b) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas. c) Responda a questão do enunciado. d) Neste caso, poderíamos ter utilizado uma aproximação pelo modelo binomial, considerando constante a probabilidade de um sucesso individual como? Justifique. 15) Deve-se constituir um comitê de quatro pessoas escolhidas entre três químicos e cinco físicos.determinar a distribuição de probabilidade do número de químicos no comitê. Faça o gráfico da função de probabilidade de X e o da função distribuição de X. 16) Entre os candidatos a um certo cargo, 15% possuem as qualificações exigidas pela empresa contratante. Qual a probabilidade de se ter que entrevistar dez candidatos para encontrar um com perfil desejado? 17) Entre os candidatos a um certo cargo, 15% possuem as qualificações exigidas pela empresa contratante. Num grupo de 15 candidatos, qual a probabilidade de se ter que entrevistar dez candidatos para encontrar um com perfil desejado?
18) Dada uma máquina que produz 20% de peças defeituosas, qual a probabilidade de ter que se fabricar 8 peças para se conseguir 5 boas? 19) A probabilidade não conforme de um produto é igual a 5%. Pede-se: a) Qual a probabilidade de que um lote com dez unidades contenha três não conformes? b) Qual a probabilidade de que se tenha de inspecionar oito unidades para se encontrar duas não conformes? 20) Nos sinais de um transmissor ocorrem distorções aleatórias a uma taxa média de 1 por minuto.qual a probabilidade de o número de distorções em uma mensagem de 3 minutos ser 3 ou mais? c) Determine a função distribuição de X e seu respectivo gráfico. d) Determine a esperança e a variância de X. Interprete essas medidas. 21) O fio de uma máquina têxtil rompe-se em média 1 vez a cada 4 horas de funcionamento dessa máquina) Calcule a probabilidade de: a) numa hora o fio se romper menos de 2 vezes; b) em 8 horas de funcionamento o fio se romper menos de 2 vezes. 22) Ao decolar de um porta-aviões, determinado tipo de avião tem probabilidade p = 0,0002 de se perder por queda no mar. Qual a probabilidade de 2 ou mais acidentes desta natureza, em 500 decolagens? 23) Uma companhia recebeu uma encomenda para fundir 3 peças complicadas. A probabilidade de se conseguir um molde adequado é 0,4, sendo o molde destruído quando da retirada da peça) O custo de cada molde é de R$ 500,00 e se o molde não for adequado, a peça é refugada, perdendo-se R$ 700,00 de material. a) Qual a probabilidade de se fundir no máximo 6 peças para atender a encomenda? b) Qual o preço a ser cobrado pelo serviço para se ter um lucro esperado de R$ 1000,00 na encomenda?