Conhecimentos geométricos I - Ângulos Lista de Exercícios 1 Gabaritos Comentados dos Questionários 01) Calcule o valor dos ângulos suplementares A e B, sendo que, A = 3x + 40 e B = 2x + 40. a) 100 e 80. b) 110 e 70. c) 90 e 90. d) 120 e 60 e) 85 e 95. Resolução: Ângulos suplementares são ângulos que juntos formam um ângulo de 180. Portanto, A + B = 180 (3x + 40) + (2x + 40) = 180 3x + 2x + 40 + 40 = 180 5x = 180 80 5x = 100 x = 20 Substituindo em A e B A = 3. 20 + 40 = 60 + 40 = 100 B = 2. 20 + 40 = 40 + 40 = 80 ALTERNATIVA A 02) A medida de um ângulo é igual a quatro quintos do seu complemento. Encontre o valor desse ângulo. a) 37. b) 45. c) 30. d) 42. e) 40. Resolução: Considerando o ângulo pedido como sendo x e que seu complemento seja (90 - x): X = 4/5. (90 x) x = 360/5 4x/5 Fazendo mmc: 5x/5 = 360/5 4x/5 5x = 360 4x 9x = 360 x = 40 ALTERNATIVA E 03) Na figura, as retas u e v são paralelas. Calcular o valor de z.
a) 45. b) 36. c) 42. d) 39. e) 40. Resolução: Como as retas u e v são paralelas, temos a relação: z + 15 = 3x = 90 2x Assim, 90-2x = 3x 5x = 90 x = 18 Voltando, z + 15 = 3. 18 z = 54 15 z = 39 ALTERNATIVA D 04) Encontre o valor do ângulo θ na intersecção das duas retas. a) 28. b) 72. c) 46. d) 58. e) 62. Resolução: Os ângulos x + 72 e 3x 28 são opostos pelo vértice, portanto: x + 72 = 3x 28 3x x = 72 + 28 2x = 100 x = 50 Nota-se que os ângulos X + 72 = 3x 28 e θ são suplementares, assim X + 72 + θ = 180 50 + 72º + θ = 180 θ = 180-50 - 72 θ = 58 ALTERNATIVA D 05) Calcule o valor do ângulo de β, sendo que α = 0,5.(β + 60 ) a) 60 b) 45. c) 35. d) 40. e) 50. Resolução: Os ângulos α e β são complementares, portanto:
0,5.(β + 60 ) + β = 90 0,5β + 30 + β = 90 1,5β = 60 β = 40 ALTERNATIVA D 06) Sobre os ângulos A e B, julgue as afirmativas: I. São suplementares. II. São colaterais internos. III. São alternos internos. IV. São congruentes. a) I e III estão corretas. b) II e III estão corretas. c) Apenas a IV está correta. d) Apenas a I está correta. e) Nenhuma das alternativas está correta. Resolução: Observando os ângulos acima temos que A e E são ângulos correspondentes e por isso os ângulos A e B são suplementares. Os ângulos A e C são colaterais internos. Os ângulos A e D são alternos internos. Os ângulos B e C são congruentes. Portanto, a única alternativa correta é a I.
ALTERNATIVA D 07) Julgue os itens a seguir sobre as afirmações. Dois ângulos são opostos pelo vértice quando: ( ) Os dois ângulos são congruentes. ( ) Os dois ângulos possuem o mesmo valor. ( ) A soma dos dois ângulos é igual a 180. ( ) Os dois ângulos são adjacentes. a) V, F, F, V. b) V, V, F, F. c) F, F, V, F. d) V, V, V, F. e) F, V, V, F. Resolução: Ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes, e por isso têm o mesmo valor. Assim, as afirmações I e II estão corretas. ALTERNATIVA B 08) A bissetriz divide um ângulo em dois ângulos A e B, sendo que A = 70 3x e B = 2x + 20. Determine o valor desses ângulos. a) 60 e 50. b) 50 e 50. c) 45 e 45. d) 40 e 40. e) 60 e 30. Resolução: A bissetriz separa o ângulo em dois iguais, portanto: A = B 70 3x = 2x + 20 5x = 50 x = 10 Assim, A = B = 2. 10 + 20 = 40 ALTERNATIVA D 09) Julgue as afirmativas: ( ) A bissetriz de um ângulo reto forma dois ângulos de 45. ( ) O ângulo obtuso é menor que o ângulo reto. ( ) Dois ângulos suplementares formam um ângulo de 180. ( ) Os ângulos opostos pelo vértice são congruentes. a) V, F, F, V. b) F, F, V, F. c) V, F, V, V. d) F, V, V, F. e) V, V, F, V. Resolução: A bissetriz divide um ângulo em dois ângulos iguais, assim um ângulo reto (90 ) se divide em dois ângulos de 45. O ângulo obtuso é um ângulo maior que 90, ou seja, maior que o ângulo reto. Dois ângulos suplementares, quando somados, formam um ângulo de 180. Ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes. Portanto a alternativa correta é a C. 10) Determine o valor do ângulo C, sendo que as retas r e s são paralelas.
a) 90. b) 70. c) 100. d) 110 e) 80. Resolução: Dividimos o ângulo C com a reta t que é paralela à reta r e s. Assim vemos que o ângulo de 30 é correspondente ao ângulo b e, o ângulo de 70 é correspondente ao ângulo a. A soma dos ângulos a e b formam um ângulo congruente ao ângulo C, pois são opostos pelo vértice. Portanto C = a + b C = 70 + 30 = 100. Lista de Exercícios 2 01) Sabendo que as retas a e b são paralelas, calcule o valor de x.
a) x = 20. b) x = 30. c) x = 40. d) x = 45. e) x = 50. Resolução: Como as retas a e b são paralelas, os ângulos são expostos são correspondentes, ou seja: 4x/3 + 70 = 3x + 20 3x 4x/3 = 70-20 9x/3 4x/3 = 150 /3 9x - 4x = 150 5x = 150 x = 30 ALTERNATIVA B 02) Sabendo que as retas m e n são paralelas, determine o valor do ângulo z. a) 100. b) 101. c) 102. d) 103. e) 104. Resolução: Como as retas m e n são paralelas, os ângulos 5y 54 e z são correspondentes, ou seja, são iguais. Como os ângulos z e 3y + 8 são opostos pelo vértice, então temos: 5y 54 = 3y + 8 2y = 62 y = 31 Substituindo em: z = 5y 54 z = 5. 31-54 z = 155-54 z = 101º
ALTERNATIVA B 03) Sendo as retas u e v paralelas, os valores de A, B e C são, respectivamente: a) 30, 60 e 120. b) 40, 50 e 130. c) 20, 50 e 130. d) 20, 60 e 120. e) 30, 50 e 130. Resolução: Os ângulos 2a + 10 e x são correspondentes, portanto são congruentes. Como os ângulos x e 5a + 30 são suplementares, temos: 2a + 10 + 5a + 30 = 180 7a = 180-40 7a = 140 a = 20 Como os ângulos 5a + 30 e c são opostos pelo vértice: 5a + 30 = c c = 5. 20 + 30 c = 130 Como os ângulos b e c são suplementares então: b + c = 180 130 + b = 180 b = 50 Assim temos: a = 20 b = 50 c = 130 04) Determine o valor do ângulo A, sendo que t e u são paralelas.
a) 90. b) 80 c) 100. d) 70. e) 110. Resolução: Traçando a reta s paralela às retas t e u temos que os ângulos b e de 60 são correspondentes, ou seja, b = 60. Os ângulos d e 150 são suplementares, portanto d = 30. Como os ângulos c e d são alternos internos, c = 30. Assim: A = b + c A = 60 + 30 A = 90 ALTERNATIVA A 05) Julgue os itens a seguir: ( ) Os ângulos alternos internos são congruentes. ( ) Os ângulos colaterais internos são congruentes. ( ) Os ângulos colaterais externos são suplementares. a) V, V, V. b) V, F, V. c) V, F, F. d) F, V, V.
e) F, V, F. Resolução: ângulos alternos internos formam ângulos opostos pelo vértice e, portanto, são congruentes. Já os ângulos colaterais não formam ângulos opostos pelo vértice e sim, ângulos suplementares. Assim, a alternativa correta é a B. ALTERNATIVA B 06) Encontre o valor do menor ângulo: a) 10. b) 11. c) 12. d) 13. e) 14. Resolução: A soma de todos os ângulos forma o ângulo de 90, ou seja, são complementares. Portanto: x + x + 9 + 2x + 14 + x + 7 = 90 5x + 30 = 90 5x = 60 x =12 Os ângulos expostos são, portanto: x = 12 x + 9 = 21 2x + 14 = 38 x + 7 = 19 Assim, o menor ângulo é o de 12. 07) Os quatro ângulos de um ângulo raso formam uma progressão aritmética de razão 10. Descubra o valor do segundo termo dessa sequência. a) 20. b) 30. c) 40. d) 50. e) 60. Resolução: Os quatro ângulos somam 180. Usando a fórmula da soma dos termos de progressão aritmética temos: S n ( a 1 an). n 2 Considerando que a n = a 1 + (n 1).r a n = a 1 + (4 1) r a n = a 1 + (3. 10 )
Então: 180 = [a 1 + (a 1 + 30 )]. 4/2 180 = (2a 1 + 40 ). 2 2a 1 = 90-30 2a 1 = 60 a 1 = 30 Logo, o segundo termo será: 30 + 10 = 40 08) A medida de um ângulo é igual a 80% do seu complemento. Encontre o valor desse ângulo. a) 50. b) 90. c) 70. d) 60. e) 40. Resolução: Como os dois ângulos são complementares e o ângulo x = 0,8y: x + y = 90 0,8y + y = 90 1,8y = 90 y = 50 Portanto: x = 0,8. 50 = 40 ALTERNATIVA E 09) Os três ângulos que formam um ângulo reto estão na razão 4:5:6. Encontre o valor do maior desses ângulos. a) 36. b) 30. c) 42. d) 24. e) 48 Resolução: Como os ângulos são complementares podemos considerar: 4x + 5x +6x = 90 15x = 90 x = 6 Portanto, os ângulos são: 4x = 4. 6 = 24 5x = 5.6 = 30 6x = 6. 6 = 36 Assim, o maior ângulo é o de 36. ALTERNATIVA A 10) Os três ângulos que formam um ângulo raso estão na razão dos três primeiros múltiplos inteiros de 5. Encontre o valor menor desses ângulos. a) 45. b) 30. c) 50. d) 35. e) 60. Resolução: Os três primeiros múltiplos de 5 são: 5, 10 e 15. Assim: 5x +10x + 15x = 180 30x = 180 x = 6 Assim os ângulos formados são: 5x = 5. 6 = 30
10x = 10. 6 = 60 15 x = 15. 6 = 90 O menor deles é o ângulo de 30. ALTERNATIVA B Lista de Exercícios 3 01) Os quatro ângulos que formam um ângulo raso formam uma progressão geométrica de razão 2. Encontre o valor do terceiro termo dessa sequência. a) 36. b) 48. c) 50. d) 60. e) 72. Resolução: A soma dos quatros ângulos em progressão geométrica forma um ângulo de 180. Assim: 180 = a 1. ( 2 4 1)/ (2 1) a 1 = 180. (2 1)/ (16 1) a 1 = 180 / 15 a 1 = 12 Os termos da progressão são: 12 12. 2 = 24 24. 2 = 48 48. 2 = 96 Portanto, o terceiro termo seria o ângulo de 48. ALTERNATIVA B 02) O valor de um ângulo é igual a um oitavo do valor de seu suplemento. Sobre esses ângulos, é possível afirmar: a) O menor ângulo mede 30. b) O maior ângulo mede 120. c) O menor ângulo mede 45. d) O maior ângulo mede 150. e) O menor ângulo mede 20. Resolução: Supondo que x = 1/8. y: x + y = 180 1/8y + y = 180 mmc: y/8 + 8y/8 = 180. 8/8 9y/8 = 1440/8 9y = 1440 y = 160 E, x = 160 /8 x = 20 Portanto, o menor ângulo é o de 20. ALTERNATIVA E 03) Sendo as retas u e v paralelas, encontre o valor do ângulo X.
a) 40. b) 50. c) 60. d) 70. e) 80. Resolução: Traçando as duas linhas paralelas t e s, os ângulos a e 20 são opostos pelo vértice, ou seja, a = 20. Como a é alterno interno de b, então b = 20. Se b + c = 30, então c = 10 e d, seu alterno interno, também é igual a 10. Como e e o ângulo de 50 são alternos internos também, e = 50. Se X = d + e, então: X = 10 + 50 X = 60 04) O complemento de um ângulo é igual a um terço do valor de seu suplemento. Determine o valor do ângulo. a) 30. b) 40. c) 45. d) 50. e) 60. Resolução: De acordo com o que se pede e sendo o ângulo x: 90 - x = 1/3. (180 x) 90 - x = 60 - x/3 x x/3 = 90-60 Por mmc: 3x/3 x/3 = 90 /30 2x = 90 x = 45. 05) Encontre o valor dos ângulos opostos pelo vértice na figuras.
a) 105. b) 110. c) 120. d) 130. e) 140. Resolução: Como os ângulos são opostos pelo vértice: 150-3x = 2x + 100 5x = 50 x = 10 Substituindo: 2x + 100 = 2. 10 + 100 = 120. 06) Sabendo que as retas x e y são paralelas, julgue as afirmativas sobre os ângulos A e B: I. São congruentes. II. São colaterais externos. III. São alternos internos. IV. São alternos externos. a) I e II estão corretas. b) I e III estão corretas. c) II e IV estão corretas. d) I e IV estão corretas. e) Apenas a IV está correta. Resolução: Os ângulos A e B são alternos externos e por isso podem ser considerados opostos pelo vértice sendo assim, congruentes. ALTERNATIVA D
07) Sendo a e b retas paralelas, calcule o valor de x. a) 50. b) 60. c) 70. d) 80. e) 90. Resolução: Nota-se que A e 120 + x/4 são correspondentes, portanto A = 120 + x/4. Como os ângulos A e x/2 são suplementares: 120 + x/4 + x/2 = 180 x/4 + x/2 = 180-120 Por mmc: x/4 + 2x/4 = 60 /4 3x/4 = 240 /4 3x = 240 x = 80 ALTERNATIVA D 08) Sabendo que as retas r e s são paralelas. Descubra o valor de X. a) 20.
b) 30. c) 40. d) 45. e) 50. Resolução: Traçando a linha t, paralela às linhas r e s, se observa que o ângulo a e o de 50 são alternos internos, ou seja, a = 50. Como os ângulos a e b são complementares temos que b = 40. O ângulo b e o (x + 50 )/2 são alternos internos, assim: x/2 + 50 /2 = 40 x/2 = 40-25 x = 15. 2 x = 30. ALTERNATIVA B 09) Duas retas cortadas por uma transversal, formam ângulos alternos externos expressos em graus pelas equações 3x + 18 e 5x + 10. O valor de x de modo que estas retas sejam paralelas é: a) 4. b) 5. c) 8. d) 10. e) 12. Resolução: Considerando as retas paralelas, desenhamos: Como eles são alternos externos: 3x + 18 = 5x + 10 5x 3x = 18-10 2x = 8 x = 4. ALTERNATIVA D 10) A partir da figura, calcule o valor dos ângulos adjacentes.
a) 120 e 60. b) 130 e 50. c) 135 e 45. d) 140 e 40. e) 150 e 30. Resolução: Os ângulos adjacentes são suplementares, assim: (3x + 60 ) + (x + 20 ) = 180 4x + 80 = 180 4x = 100 x = 25 Substituindo: 3x + 60 = 3. 25 + 60 = 75 + 60 = 135 x + 20 = 25 + 20 = 45