UNIDADE III INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÃO PARTE de 3.0. IMAGEM DE UM ELEMENTO ATRAVÉS DO DIAGRAMA DE FLECHAS 3.. IMAGEM DE UM ELEMENTO ATRAVÉS DE Y = F(X) 3.. IMAGEM DE UM ELEMENTO ATRAVÉS DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 3.3. ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO ATRAVÉS DO GRÁFICO 3.4. RECONHECIMENTO DE UMA FUNÇÃO PELO GRÁFICO 3.5. FUNÇÃO CRESCENTE 3.6. FUNÇÃO DECRESCENTE 3.7. FUNÇÃO CONSTANTE 0. IMAGEM DE UM ELEMENTO ATRAVÉS DO DIAGRAMA DE FLECHAS Consideremos a função descrita no diagrama de flechas abaixo. Se um elemento y de B estiver associado a um elemento x de A, através de f, então diremos que y é a imagem de x, através de f. Indica-se y = f (x) (lê-se y é igual a f de x ou y é a imagem de x através de f ). Assim, temos: 6 = f () 7 = f () 8 = f (3) 8 = f (4) = f (5) 5/0/5 GST073-FUND_MAT-05b-Estudo-de-Funcao.pdf
. IMAGEM DE UM ELEMENTO ATRAVÉS DE Y = F(X) Consideremos os conjuntos A = [-3, 8], B = [-0, 0] e a função f : A B, onde cada x, x A, é associado a um único f(x), f(x) B, através da lei f(x) = x +. A lei f(x) = x + nos diz que a imagem de cada x do domínio de f é o número x + do contradomínio. Assim, temos, por exemplo: a imagem do elemento 4, através de f, é: f (4) = 4 + f (4) = 9; logo, (4, 9) f a imagem do elemento, através de f, é: f = + f = ; logo, (, ) f Note que o símbolo f (x) representa a ordenada do ponto de abscissa x. Assim, em vez de escrevermos f(x) = x + = x +, podemos escrever y = x +, ou seja, o símbolo f(x) pode ser substituído por y e vice-versa.. IMAGEM DE UM ELEMENTO ATRAVÉS DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Consideremos o gráfico de uma função y = f(x), conforme abaixo. Cada ponto (x,y) do gráfico de f deve ser interpretado como (x, f(x)), ou seja, a ordenada é a imagem da abscissa através de f. Por exemplo: 6 5 4 3 y (5,4) é ponto do gráfico; logo f(5) = 4; (-,0) é ponto do gráfico; logo f(-) = 0; (, 3) é ponto do gráfico; logo f() = 3; (0, ) é ponto do gráfico; logo f(0) = ; 0-7 -6-5 -4-3 - - - 0 3 4 5 6 7 8 9 0 - -3-4 -5-6 x 5/0/5 GST073-FUND_MAT-05b-Estudo-de-Funcao.pdf
3. ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO ATRAVÉS DO GRÁFICO Sendo f uma função de domínio D, dizemos que: f é positiva para um elemento x, x D, se, e somente se, f(x) > 0; f é negativa para um elemento x, x D, se, e somente se, f(x) < 0; f se anula para um elemento x, x D, se, e somente se, f(x) = 0. Note que o sinal da função para um elemento x, x D, é o sinal de f(x), e não o sinal de x. Exemplo: Seja o gráfico da função y = f(x) 6 5 4 3 0-7 -6-5 -4-3 - - - 0 3 4 5 6 7 8 9 0 - -3-4 -5-6 y x no intervalo < x < 7, f(x) > 0; no intervalo 6 x < - ou 7 < x 9, f(x) < 0; para x = - e x = 7, f(x) = 0. Note que essas abscissas correspondem aos pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox. 4. RECONHECIMENTO DE UMA FUNÇÃO PELO GRÁFICO Através do gráfico, podemos verificar se uma relação é ou não uma função. Se uma reta paralela ao eixo Oy interceptar o gráfico de uma relação R em mais de um ponto, então R não é função. Em outras palavras, um gráfico representará uma função de A em B se, e somente se, qualquer reta paralela ao eixo Oy, passando por um ponto qualquer de abscissa x, x A, interceptar o gráfico num único ponto. Exemplo: 5/0/5 3 GST073-FUND_MAT-05b-Estudo-de-Funcao.pdf
(a) Considere o gráfico a seguir, de uma relação R de A = {,, 3} em B = {4, 5, 6, 7}: Analisando o gráfico, percebemos que a relação R não é função de A em B, pois: (, 4) e (, 7) pertencem a R, isto é, o elemento do conjunto de partida está associado, através de R, a dois elementos do contradomínio: 4 e 7. (b) Observe o gráfico a seguir, de uma relação R de A = [, 5] em B = [; 3,3]. Note que qualquer reta paralela ao eixo Oy, passando por um ponto de abscissa x, x A, intercepta o gráfico num único ponto. Isso significa que qualquer x, x A, está associado, através de R, a um único y, y B. Logo, R é função de A em B. 5/0/5 4 GST073-FUND_MAT-05b-Estudo-de-Funcao.pdf
5. FUNÇÃO CRESCENTE Uma função F(x) é crescente em um intervalo numérico no qual é definida se, para dois valores quaisquer x e x deste intervalo, com x > x, têm-se F(x ) F(x ). Exemplo de função crescente: f(x) = x. 6. FUNÇÃO DECRESCENTE Uma função F(x) é decrescente em um intervalo numérico no qual é definida se, para dois valores quaisquer x e x deste intervalo, com x > x, têm-se F(x ) F(x ). Exemplo de função decrescente: 7. FUNÇÃO CONSTANTE Uma função F(x) é constante em um intervalo numérico no qual é definida se, para dois valores quaisquer x e x deste intervalo, com x x, têm-se F(x ) = F(x ). Isto só ocorre se F(x) = c, onde c é um número real constante, ou seja, não se verifica, na definição da função, a variável independente x. FIM 5/0/5 5 GST073-FUND_MAT-05b-Estudo-de-Funcao.pdf