EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA

Minisério da Eduação Univrsidad Tnológia Fdral do Paraná Campus Curiiba Grênia d Ensino Psquisa Dparamno Aadêmio d Mamáia EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA Prof. a Paula Franis Bnvids

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Conúdo AULA... 5. INTRODUÇÃO... 5. DEFINIÇÃO... 6. CLASSIFICAÇÃO... 6.. Tipo:... 6.. Ordm:... 6.. Grau:... 6..4 Linaridad:... 7.4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS:... 7.5 RESOLUÇÃO:... 9.5. Curvas Ingrais:... 9.5. Solução:....6 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)....7 TEOREMA DA EISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO... AULA...4. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU...4. EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS... 4.. Rsolução:... 4 AULA...8. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS... 8.. Função Homogêna... 8.. Equação Homogênas... 8... Rsolução:...9 AULA 4.... EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS..... O drminan.. O drminan a a a a b b b b é difrn d zro... é igual a zro.... 4 AULA 5...7.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EATAS... 7.4. Faor Ingran... 9 AULA 6....5 EQUAÇÕES LINEARES:....5. Faor Ingran:....5. Subsiuição ou d Lagrang:... 4 AULA 7...7.6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES:... 7.6. Equaçõs d Brnoulli:... 7 AULA 8...4.6. Equação d Riai... 4

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 9...4. EQUAÇÕES DE A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM...4. ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES... 4.. Dfiniçõs:... 4.. Equação da Envolória... 44.. Soluçõs Singulars... 45..4 Equação d Clairau... 46 AULA...48..5 Equação d Lagrang:... 48..6 Ouros ipos d quação d a Ordm grau difrn d um:... 49 AULA...5 4. EERCÍCIOS GERAIS...5 AULA...55 5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS...55 5. MODELO MATEMÁTICO... 55 5. DINÂMICA POPULACIONAL... 56 5. MEIA VIDA... 57 5.4 DECAIMENTO RADIOTAIVO... 59 5.5 CRONOLOGIRA DO CARBONO... 59 5.6 RESFRIAMENTO... 6 5.7 MISTURAS... 6 5.8 DRENANDO UM TANQUE... 64 5.9 DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA... 64 5. CORPOS EM QUEDA... 65 5. CORPOS EM QUEDA E A RESISTÊNCIA DO AR... 66 5. CORRENTE DESLIZANTE... 66 5. CIRCUITOS EM SÉRIE... 67 AULA...7 6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE A ORDEM E ORDEM SUPERIOR...7 6. EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES... 75 6.. Caso : Raízs Rais Disinas.... 76 6.. Caso : Raízs Múliplas.... 76 6.. Caso : Raízs omplas disinas... 77 AULA 4...8 6. EULER - CAUCHY... 8 AULA 5...8 6. EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS... 8 6.. Solução por ofiins a drminar (Dsars):... 8 AULA 6...86 6.. Solução por variação d parâmros... 86 AULA 7...89 6.. Méodo do Oprador Drivada... 89 6... Dfinição...89 6... Propridads...89 6... Equaçõs Difrniais...89 6...4 Oprador Anulador...89 6...5 Cofiins indrminados - Abordagm por Anuladors...9 6...6 Rsolução d Equaçõs Linars...9

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 8...95 7. EERCÍCIOS GERAIS...95 AULA 9...97 8. MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR...97 8. EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL:... 97 8.. Sisma Massa-Mola: Movimno Livr não amorido... 97 8... ED do Movimno Livr não amorido:...98 8... Solução Equação do Movimno:...98 8.. Sisma Massa-Mola: Movimno Livr Amorido... 99 8... ED do Movimno Livr Amorido:...99 8.. Sisma Massa Mola: Movimno Forçado... 8... ED do Movimno Forçado om Amorimno:... 8... ED d um Movimno Forçado Não Amorido:... 8..4 Ciruio m Séri Análogo - Ciruios lérios RLC m séri... 8. EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO... 4 8.. Dflão d uma viga:... 4 8... Soluçõs Não Triviais do Problma d Valors d Conorno:...6 8... Dformação d uma Coluna Fina:...6 8... Corda Girando:...8 AULA... 9. SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS... 9. SISTEMA CANÔNICO E SISTEMA NORMAL:... AULA... 5 9. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMÉTRICA... 5 AULA...68 9. MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM... 68 9.. Vor solução... 9 9.. O Problma d Valors Iniiais... 9... Eisênia d uma únia solução... 9.. Sismas homogênos... 9... Prinípio da Suprposição... 9..4 Indpndênia Linar... 9..4. Criério para Soluçõs Linarmn Indpndns... 9..5 Conjuno fundamnal d solução... 9..5. Solução Gral - Sismas Homogênos... 9..6 Sismas não homogênos... 4 9..6. Solução Gral - Sismas Não-Homogênos...4 9..7 Uma Mariz Fundamnal... 5 9..7. Uma Mariz Fundamnal é Não-Singular...6 9..7. Mariz Espial...6 Ψ é uma Mariz Fundamnal...8 9..7. ( ) AULA... 9.4 SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS... 9.4. Auovalors rais disinos... 9.4. Auovalors omplos... 9.4. Auovalors d Mulipliidad dois... 4 AULA 4... 6 9.5 SISTEMAS NÃO-HOMOGÊNEOS... 6 9.5. Cofiins Indrminados... 6 9.5. Variação d Parâmros... 8

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 5... 4 9.6 SISTEMAS PLANOS AUTÔNOMOS E ESTABILIDADE... 4 9.6. Sismas auônomos, pono ríio soluçõs priódias... 4 9.6. Esabilidad d sismas linars... 47 9.6. O méodo do plano d fass... 5 AULA 6... 54. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS... 54. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS:... 54. DEFINIÇÃO:... 54.. Emplos d Equaçõs Difrniais Pariais:... 54.. Ordm Grau d uma Equação Difrnial Parial:... 55. FORMAÇÃO:... 55.. Eliminação d onsans arbirárias:... 55.4 EQUAÇÃO LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM:... 57.4. Méodo d Lagrang... 57 AULA 7... 6.5 OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO COMPLETA:MÉTODO DE CHARPIT... 6.6 EQUAÇÕES COM DERIVADAS PARCIAIS EM RELAÇÃO APENAS A UMA DAS VARIÁVEIS.... 6 AULA 8... 67.7 EQUAÇÃO DE DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM... 67.7. Equaçõs linars... 67.7.. Solução...67.7. Sparação d Variávis... 67.7. Prinípio da Suprposição... 7.7.4 Classifiação d Equaçõs... 7

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids. INTRODUÇÃO AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Ans d mais nada, vamos rordar o qu foi aprndido m Cálulo!!! A drivada d d d uma função ( ) nada mais é do qu uma oura função ( ) nonrada por uma rgra apropriada. Como por mplo, a função é difrniávl no inrvalo (, ), a sua drivada é d.. S fizrmos rmos: d d. () d Vamos supor agora qu su profssor lh dss a quação () prgunass qual é a função rprsnada por? Apsar d voê não fazr idia d omo la foi onsruída, voê sá a frn d um dos problmas básios dsa disiplina: omo rsolvr ssa quação para a dsonhida função ( )? O problma é smlhan ao familiar problma invrso do álulo difrnial, ond dada uma drivada, nonrar uma anidrivada. Não podmos diar d lado a difrnça nr a drivada a difrnial, pois, mbora a drivada a difrnial possuam as msmas rgras opraionais, sss dois opradors êm signifiados basan difrns. As difrnças mais marans são: a drivada m signifiado físio pod grar novas grandzas físias, omo por mplo a vloidad a alração; a difrnial é um oprador om propridads puramn mamáias; a drivada ransforma uma função m oura, manndo uma orrspondênia nr os ponos das duas funçõs (por mplo, ransforma uma função do sgundo grau m uma função do primiro grau); a difrnial é uma variação infinisimal d uma grandza; a drivada é uma opração nr duas grandzas; a difrnial é uma opração qu nvolv uma grandza; o rsulado d uma drivada não oném o infiniésimo m sua sruura; onsqunmn, não is a ingral d uma drivada; a ingral só pod sr apliada a um rmo qu onnha um difrnial (infiniésimo); s for fio o quoin nr os dois difrniais, m-s: d d m oal smlhança om a dfinição d drivada. A onsquênia dira dss fao é qu a drivada não é o quoin nr duas difrniais, mas ompora-s omo s foss ss quoin. Iso signifia qu a parir da rlação: d f ( ) d é possívl srvr: d f ( qu s dnomina quação difrnial. uma das apliaçõs mais imporans nvolvndo drivadas difrniais é a obnção da quação difrnial, apa fundamnal para a inrodução do Cálulo Ingral. )d 5

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids. DEFINIÇÃO Equação difrnial é uma quação qu rlaiona uma função suas drivadas ou difrniais. Quando a quação possui drivadas, sas dvm sr passadas para a forma são hamadas d auônomas. difrnial. As quaçõs difrniais da forma f ( ) Emplo : d ) d ) d d d d ) d d 4) "' ( " ) ' os 5) ( ") ( ') d d d d 6) 5 z z 7) z z 8) z. CLASSIFICAÇÃO.. TIPO: S uma quação onivr somn drivadas ordinárias d uma ou mais variávis dpndns m rlação a uma únia variávl indpndn, omo m () a (6), as drivadas são ordinárias a quação é dnominada quação difrnial ordinária (EDO).Uma ED pod onr mais d uma variávl dpndn, omo no aso da quação (6) Uma quação qu nvolv as drivadas pariais d uma ou mais variávis dpndns d duas ou mais variávis indpndns, omo m (7) (8), a quação é dnominada quação difrnial parial (EDP)... ORDEM: A ordm d uma quação difrnial é a ordm d mais ala drivada qu nla apar. As quaçõs (), () (7) são d primira ordm; (), (5) (6) são d sgunda ordm (4) é d rira ordm... GRAU: O grau d uma quação difrnial, qu pod sr sria, onsidrando a drivadas, omo um polinômio, é o grau da drivada d mais ala ordm qu nla apar. Todas as quaçõs dos mplos aima são do primiro grau, o (5) qu é do sgundo grau. As quaçõs difrniais pariais srão visa mais adian. 6

Equaçõs Difrnias Emplo : d d d d d d d d a ordm o grau Prof a Paula Franis Bnvids d d ln ln d d ln d. d d d a ordm o grau Obsrv qu nm smpr à primira visa, pod-s lassifiar a quação d imdiao quano a ordm grau...4 LINEARIDADE: Dizmos qu uma quação difrnial ordinária d n d n d a n( ) an ( ) a ( ) a ( ) g( ) d n K d n d d ordm n é linar quando são saisfias as sguins ondiçõs: ) A variávl dpndn odas as suas drivadas ', ",... n são do primiro grau, ou sja, a poênia d ada rmo nvolvndo é um. ) Os ofiins a, a,... a n d, ',... n dpndm quando muio da variávl indpndn. Emplo : ) ( )d 8 d d d ) 7 d d d d ) 5 4 d d são rspivamn quaçõs difrniais ordinárias linars d primira, sgunda rira ordm..4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: Uma rlação nr as variávis, nrrando n onsans arbirárias ssniais, omo 4 C ou A B, é hamada uma primiiva. As n onsans, rprsnadas smpr aqui, por lras maiúsulas, srão dnominadas ssniais s não pudrm sr subsiuídas por um númro mnos d onsans. Em gral uma primiiva, nrrando n onsans arbirárias ssniais, dará origm a uma quação difrnial, d ordm n, livr d onsans arbirárias. Esa quação apar liminando-s as n onsans nr as (n ) quaçõs obidas junando-s à primiiva as n quaçõs provnins d n drivadas sussivas, m rlação a variávl indpndn, da primiiva. 7

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Emplo 4: Obr a quação difrnial assoiada às primiivas abaio: a) 6 b) C sn C os ) C d) C C 8

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids ) a os( b) ond a b são onsans f) C C -.5 RESOLUÇÃO: Rsolvr uma ED é drminar odas as funçõs qu, sob a forma finia, vrifiam a quação, ou sja, é obr uma função d variávis qu, subsiuída na quação, ransform-a numa idnidad. A rsolução d uma quação difrnial nvolv basiamn duas apas: a primira, qu é a prparação da quação, qu onsis m fazr om qu ada rmo da quação nha, além d onsans, um únio ipo d variávl. A sgunda apa é a rsolução da quação difrnial onsis na apliação dos méodos d ingração..5. CURVAS INTEGRAIS: Gomriamn, a primiiva é a quação d uma família d urvas uma solução pariular é a quação d uma dssas urvas. Esas urvas são dnominadas urvas ingrais da quação difrnial. Emplo 5: d d 9

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids.5. SOLUÇÃO: É a função qu quando subsiuída na quaçãodifrnial a ransforma numa idnidad. As soluçõs podm sr: Solução gral: A família d urvas qu vrifia a quação difrnial, (a primiiva d uma quação difrnial)onm anas onsans arbirárias quanas form as unidads d ordm da quação. Solução pariular: solução da quação dduzida da solução gral, impondo ondiçõs iniiais ou d onorno.gralmn as ondiçõs iniiais srão dadas para o insan iniial. Já as ondiçõs d onorno aparm quando nas quaçõs d ordm suprior os valors da função d suas drivadas são dadas m ponos disinos. Solução singular: Chama-s d solução singular d uma quação difrnial à nvolória da família d urvas, qu é a urva angn a odas as urvas da família.a solução singular não pod sr dduzida da quação gral. Algumas quaçõs difrniais não aprsnam ssa solução. Ess ipo d solução srá viso mais adian. Emplo 6: As soluçõs ainda podm sr: Solução plíia: Uma solução para uma EDO qu pod sr sria da forma f ( ) é hamada solução plíia. Solução Implíia: Quando uma solução pod apnas sr sria na forma G (, ) raa-s d uma solução implíia. Considrmos a rsolução da sguin EDO: d ( ) d d d A solução gral obida é obviamn uma solução pliia. Por ouro lado, pod-s dmonsrar qu a EDO: d m omo solução: C, ou sja, uma solução implíia. d Emplo 7: 4 Vrifiqu qu é uma solução para a quação d no inrvalo (, ). 6 d Rsolução: Uma manira d omprovar s uma dada função é uma solução é srvr a quação difrnial omo d d vrifiar, após a subsiuição, s a difrnça aima é d zro paraodo no inrvalo. d d 4 6 d d 4 Subsiuindo na E.D., mos 4. 4 6 4 4 Esa ondição s vrifia para odo R 4 4 d

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids.6 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) Sja a quação difrnial d primira ordm d f (, ) sujia a ondição iniial d ( ), m qu é um númro no inrvalo I é um númro ral arbirário, é hamado d problma d valor iniial. Em rmos gomérios, samos prourando uma solução para a quação difrnial dfinida m algum inrvalo I al qu o gráfio da solução pass por um pono ( o, o ) drminado a priori. Emplo 8: Sja. a família a um parâmro d soluçõs para ' no inrvalo (, ). S spifiarmos qu (), não subsiuindo na família, mos:.. S spifiarmos qu (), não mos:... Srá qu a quação difrnial f (, ) plo pono ( o, o )? Ainda, s sa solução isir, é únia? d possui uma solução ujo gráfio passa plo d Emplo 9: 4 d As funçõs são soluçõs para o problma d valor iniial 6 d ( ) Podmos obsrvar qu o gráfio dsas soluçõs passam plo pono (,). Dsa forma, dsja-s sabr s uma solução is, quando is, s é a únia solução para o problma..7 TEOREMA DA EISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO Sja R uma rgião rangular no plano dfinida por a b, d, qu df f d oném o pono (, ) m su inrior. S (, ) são onínuas m r, não is um inrvalo I, nrado m uma únia função () dfinida m I qu saisfaz o problma d valor iniial f (, ) d, sujio a ( ) d.

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Três prgunas imporans sobr soluçõs para uma EDO.. Dada uma quação difrnial, srá qu la m solução?. S ivr solução, srá qu sa solução é únia?. Eis uma solução qu saisfaz a alguma ondição spial? Para rspondr a sas prgunas, is o Torma d Eisênia Uniidad d solução qu nos garan rsposa para algumas das qusõs dsd qu a quação nha algumas ararísias. d p( ) q( ) Torma: Considr o problma d valor iniia d ( ) S p() q() são oninuas m um inrvalo abro I onndo, não o problma d valor iniial m uma únia solução nss inrvalo. Alramos qu dsobrir uma solução para uma Equação Difrnial é algo similar ao álulo d uma ingral nós sabmos qu ism ingrais qu não possum primiivas, omo é o aso das ingrais lípias. Dssa forma, não é d s sprar qu odas as quaçõs difrniais possuam soluçõs. Rsolva as quaçõs difrniais abaio. ) C ) C ) C ( ) 4) C os C sn 5) (C C ) C 6) C C - 7) Lg a AULA - EERCÍCIOS 8) 5 C 9) A B C ) A B C ) C C C ) ln A B ) Obr a quação difrnial da família d írulos d raio, ujos nros sjam sobr o io. é uma solução para a quação " ' 4) Vrifiqu qu no inrvalo (, ). 5) Vrifiar qu para qualqur valor d a função é uma solução da d quação difrnial d a ordm no inrvalo (, ). d 6) Vrifiar qu,, C C são odas soluçõs da quação difrnial ". 7) Vrifiar qu 4 C 4, < são soluçõs d ' 4. 4,

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Rsposas: ) d d d ) d d ) d d d 4) 4 d d d 5) d d d d d 6) d d d d d d 7) ln 8) d 5 d d 9) d ) d d d d d d ) d d d 6 6 ) d d d " ' ( ') ) d d 4) Esa ondição s vrifia para odo númro ral. 5) Variando o parâmro C, podmos gra uma infinidad d soluçõs. Em pariular, fazndo, obmos uma solução onsan. Logo a função é uma solução m qualqur inrvalo qu não onnha a origm. 6) No qu C, mas C, C não saisfaz a quação, pois, para sa família d função mos " - - C

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU São quaçõs d a ordm o grau: d F (, ) Md Nd d ou m qu M M(,) N N(,). Esas funçõs êm qu sr onínuas no inrvalo onsidrado (-, ). EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS A quação difrnial M(,).d N(,).d srá d variávis sparávis s: M N form funçõs d apnas uma variávl ou onsans. M N form produos d faors d uma só variávl. Iso é, s a quação difrnial pudr sr oloada na forma P().d Q().d, a quação é hamada quação difrnial d variávis sparávis... RESOLUÇÃO: Para rsolvrmos al ipo d quação difrnial, omo o próprio nom já diz, dvrmos sparar as variávis, iso é, dvrmos diar o ofiin da difrnial d omo sndo uma função lusivamn da variávl, não ingramos ada difrnial, da sguin forma: P ( ).d Q( ).d C Emplos: Rsolvr as sguins quaçõs: d ) d 4

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids ) d d 4 ) d d 4) g. s d g s d 5) ( ) d d 5

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids 6) d d ( ) 7) d d d d 8) Rsolva o problma d valor iniial 4, ( ) 6

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA EERCÍCIOS Rsolvr as sguins quaçõs difrniais. d ) g. d ) 4 d ( ) d ) ( ) d - ( ) d 4) d ( ) d 5) d d 4 6) ( ) d ( ) d d d 7) a d d 8) s g d s g d 9) ( a )( b )d ( a )( b )d ) ( ) d d ) ( )d d ) d os d ) d os d 4) 4 d ( ) d 5) d d Rsposas: ) os C ) ln( ) C ) ( )( ) C 4) C 5) arg C 6) ln C k a ln a 7) 8) g. g C a 9) a ln b.arg C a b ) ( ) ). C ) K sn ) sn C 4) 9 6 ( ) C 5) ( ) k 7

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS.. FUNÇÃO HOMOGÊNEA Uma função f f(, ) é dnominada homogêna d grau k s, para odo R, val a rlação f(, ) k f(, ). Uma função f f(, ) é homogêna d grau s, para odo R, val a rlação f(, ) f(, ) Emplos: ) A função f(, ) é homogêna d grau, pois f (, ) ( ) ( ) ( ) g(, ) 4 é homogêna d grau zro pois, ( ) g(, ) ( ) 4 4 4 ) f(,) 5 é homogêna d grau rês pois, f (, ) ( ) 5( ) 5 ( 4 ) 5 f (, ) f (, ) ) f (, ) S f(, ) for uma função homogêna d grau n, no qu podmos srvr n n f (, ) f, f (, ) f, são ambas homogênas d grau zro. Emplo: Sja f (, ) f (, ) f (, ) homogêna d grau. Logo,. f, f,.. EQUAÇÃO HOMOGÊNAS A quação M (, )d N(, )d srá hamada d quação difrnial homogêna s M N form funçõs homogênas d msmo grau. Emplos: ) ) d d ' 8

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids ) ' arg... Rsolução: Sja a quação homogêna Md Nd Tm-s: d M d N Dividindo-s o numrador o dnominador do sgundo mmbro por lvado a ponia igual ao grau d homognidad da quação, rsulará uma função d /. d d F () É nssário, no nano, subsiuir a função / por uma oura qu prmia sparar as variávis. Dssa forma, subsiui-s. u () por u. Drivando.u m rlação a m-s d d du u () d Subsiuindo () () m (), mos: du u F( u) d du F( u) u d du d F( u) u Qu é uma quação d variávis sparávis. Em rsumo: Pod-s rsolvr uma Equação Difrnial Homogêna, ransformando-a m uma quação d variávis sparávis om a subsiuição.u, ond u u() é uma nova função inógnia. Assim, d du ud é uma quação da forma f(,) pod sr ransformada m uma quação sparávl. 9

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Emplo: ( ) d d

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Rsolva as sguins quaçõs: ) ( ) d ( ) d ) ( ) d ( 4) d ) ( ) d ( ) d 4) ( ) d ( ) d 5) ( ) d d AULA EERCÍCIOS d d 6) 4 4 d d 7) Drmin a solução d ( )d d sujia a ondição iniial ( ). 8) Drmin a solução d ( )d 6 d sujia a ondição iniial () Rsposas: ) K ) 4 K ) k 4) 5) 6) ln C arg k ± C 7) 8 8) 9

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 4. EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS São as quaçõs qu mdian drminada roa d variávis s ransformam m quaçõs homogênas ou m quaçõs d variávis sparávis. São quaçõs da forma: d d a b F a b ond a, a, b, b, são onsans. Obsrvmos qu a quação aima não é d variávis sparávis porqu mos uma soma das variávis ambém não é homogêna pla isênia d rmos indpndns, porano dvrmos liminar ou a soma ou o rmo indpndn. O qu quival a fuar uma ranslação d ios. Para ss ipo d quação m dois asos a onsidrar:.. O DETERMINANTE Rsolução: Sja o sisma () a a b b a b a b A subsiuição a sr fia srá: u α v β É DIFERENTE DE ZERO uja solução é dada plas raízs d du d dv α β. Obsrva-s qu, gomriamn, quivalu a uma ranslação dos ios oordnados para o pono ( α, ) qu é a inrsção das ras omponns do sisma (), o β qu é vrdadiro, uma vz u o drminan onsidrado é difrn d zro.

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Assim sndo, a quação ransformada srá: b a v b u a b a b v u a F du dv β α β α Como α β são as raízs do sisma: v b u a b v u a F du dv qu é uma quação homogêna do ipo viso anriormn. Emplo: Rsolvr a quação d d

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids.. O DETERMINANTE a a b b É IGUAL A ZERO. Assim, obsrv-s qu o méodo apliado no o aso não fará snido, d vz qu as ras no sisma sriam parallas sua inrsção sria vrifiada no infinio (pono impróprio). A quação s rduzirá a uma d variávis sparávis. srvr: Como a a b b a b a b, os ofiins d são proporionais, d modo qu s pod a b () a b Chamando a rlação onsan () d m, pod-s srvr: a a b b m Assim: d d a b F m( a b ) a ma b mb Fazndo a b, sndo f(), m-s: ( a) b Drivando m rlação a : d d Equação ransformada: b d d d a b d a F m d a bg( ) d qu é uma quação d variávis sparávis. 4

Equaçõs Difrnias Emplo: Rsolvr a quação d d 6 Prof a Paula Franis Bnvids 5

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 4 - EERCÍCIOS ) ( )d ( )d ) ( 4 )d ( 5 )d ) ( )d ( 5 8 )d 4) ( )d ( )d 5) d d ( )d ( 6 )d d d 4 6) 7) Rsposas: ) 6 K ) ( ) K( ) ln 5( 4 ) 4( )( 4 ) ( ) 5( 4 ) arg ) [ ] k 4) - 9ln( 7) C 5) ln(- ) K 6) - 7ln( - - ) C 7) - 4-6 - 4 K 6

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 5.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EATAS Uma quação do ipo M(,)d N(,)d () é dnominada difrnial aa, s is uma função U(,) al qu du(,) M(,)d N(,)d. A ondição nssária sufiin para qu a quação () sja uma difrnial aa é qu: M N Dada a quação difrnial aa MdNd () sja uf(,)c sua solução, uja difrnial dada por: u u du d d (). Enão, omparando () () rmos: u M (, ) () u N(, ) (4). Para obrmos a sua solução uf(,) dvrmos ingrar, por mplo,a prssão (), m rlação à variávl, da qual rmos f (, ) M (, ) d g( ) (5). Drivando parialmn (5) m rlação à rmos: f M (, ) d g' ( ) (6). Igualando (6) (4) rsula: M (, ) d g' ( ) N(, ). Isolando g () ingrando m rlação a aharmos: M (, ) d g ( ) N(, ) d C (7). Subsiuindo (7) m (5) rmos a solução gral da quação aa, qu é: M d f M d (, ) (, ) N (, ) (, ) d C. Logo, a solução é da forma ond osuma-s dnoar P Md P U (, ) Md N d C 7

Equaçõs Difrnias Emplos: ) ( )d d Prof a Paula Franis Bnvids ) ( ) d ( ) d 8

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids 9.4. FATOR INTEGRANTE Nm smpr a ED é aa, ou sja, Md Nd não saisfaz, isso é: N M. Quando isso oorr vamos supor a isênia d uma função F(, ) qu ao mulipliar oda a ED pla msma rsula m uma ED aa, ou sja, F(,)[Md Nd], sa é uma ED aa. S la é aa, is u(, ) M F d u. N F d u. FN FM N M u Tomando a ondição d aidão FN d FM F N N F F M M F ahar F por aqui é louura!!!!!!! Vamos supor não qu F(,) F() N F N F M F dividindo udo por FN organizando, mos: N N F F M N N N M N F F N M N F F rsrvndo: d N M N df F ingrando: C d R F ) ( ln d R F ) (. ) ( ond: N M N R ) ( analogamn, supondo F(,) F() qu orn aa FMd FNd rmos: d R F ) (. ) ( ond: N M M R ) (

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Em rsumo: M N Quando a prssão Md Ndnão é difrnial aa, iso é,, mosra-s qu há uma infinidad d funçõs F (, ), ais qu F ( Md Nd) é uma difrnial aa. A sa função F (, ), dá-s o nom d faor ingran. F(): F(): M N M N R( ) R( ) N M F ( ) R( )d F ( ) R( ) d Emplos: Rsolvr as sguins quaçõs difrniais ransformando m aas aravés do faor ingran. ) d ( ) d

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids ) ( ) d d

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 5 EERCÍCIOS ) ( ) d ( os ) d ) d ( ) d ) d d 4) snh.os d osh.sn d θ 5) ( rdr r dθ ) d d d 6) 7) (os 4 ) d sn d 8) g d s d 9) sn d os d ) Enonr a solução pariular d d ( ) d ) ( )d d ) ( )d ln d para ( ) Rsposas: 4 4 ) sn K ) C ) K 4) oshos K 5) θ r K 6) K 7) os 4 C 8) g C 9) sn. C ) ) 5 k 5 ) ln k

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 6.5 EQUAÇÕES LINEARES: Uma quação difrnial linar d a ordm o grau m a forma: d P( ) Q( ) () d S Q(), a quação é dia homogêna ou inompla; nquano, s Q(), a quação é dia não-homogêna ou ompla. Analisarmos dois méodos d solução d quaçõs difrniais dss ipo a sabr:.5. FATOR INTEGRANTE: Es méodo onsis na ransformação d uma quação linar m ouro do ipo difrnial aa, uja solução já sudamos anriormn. Poso iso, vamos rornando à quação original d nosso problma: d P Q d Vamos rsrvr sa úlima sob a forma ( P Q) d d Pd Mulipliando ambos os mmbrospor Pd ( P Q) d d Pd. Aqui, idnifiamos as funçõs M N : Drivando M om rlação a N om rlação a, obmos: (faor ingran) obmos a prssão M N Pd Pd ( P Q) M P Pd N P Pd onfirmando assim, qu a quação ransformada é uma quação difrnial aa.

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids.5. SUBSTITUIÇÃO OU DE LAGRANGE: Ess méodo foi dsnvolvido por Josph Louis Lagrang (mamáio franês: 76-8) riador da Mânia Analíia dos prossos d Ingração das Equaçõs d Drivadas Pariais. O méodo onsis na subsiuição d por Z. na quação (), ond φ () Z (), sndo Z a nova função inógnia a função a drminar, assim Z.. ψ Drivando m rlação a, m-s: d dz Subsiuindo () m () vamos obr: d dz Z () d d d dz Z PZ Q d d d dz Z P Q () d d sabr: Para ingral a quação (), amina-s dois asos pariulars da quação () a i) P, não d Q, logo, Qd C (4) d ii) Q, não P (quação homogêna) qu rsula m d Pd qu d d é d variávis sparávis. Daí, Pd. Ingrando ssa úlima, rsula m ln C Pd. Apliando a dfinição d logarimo, passamos a srvr a solução C Pd C Pd C. Fazndo k, mos Pd k (5) qu rprsna a solução da quação homogêna ou inompla. Agora, vamos psquisar na quação () valors para Z, uma vz qu Z., rmos a solução da quação () qu uma quação linar ompla (não-homogêna). S igualarmos os ofiins d Z a um ro faor, o valor daí obido podrá sr lvado ao rso da quação, possibiliando a drminação d Z uma vz qu pod sr drminado a parir dsa ondição. Assim, vamos impor m (), qu o ofiin d d Z sja nulo. Fio iso, P (6), qu é da msma forma já sudada no aso ii. d Assim, Pd dz dz k. Subsiuindo s rsulado m Q obmos k Pd Q. Daí, d d dz Pd Q dz Pd Qd. Ingrando s úlimo rsulado, mos d k k Pd Z Qd C k (7). Lmbrando qu Z., vamos obr, subsiuindo Z : Pd Pd k Qd C, ond rsula, finalmn m: k (Turim, 5 d janiro d 76 Paris, d abril d 8)foi um mamáio franês d origm ialiana riador da Mânia Analíia dos prossos d Ingração das Equaçõs d Drivadas Pariais 4

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Pd Pd.Q.d C (8) qu é a solução gral da quação () d Emplos: Rsolvr a quação d por: a. Faor ingran b. Lagrang 5

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids d o g ) d d ) ( ) arg d d ) g. os d d 4) d d 5) d d 6) g sn d AULA 6 EERCÍCIOS 7) Ahar a solução pariular para ( ) m d d.g os d 8) Rsolvr o problma d valor iniial, ( ) d Rsposas: arg ) arg C. ) sn Cs 4 4) C 4 C 5) 6 sn 6) s C 7) os 7 8) ) [ ln( sn) C] 6

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 7.6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: Rsolvr quaçõs difrniais não linars é muio difíil, mas ism algumas dlas qu msmo sndo não linars, podm sr ransformadas m quaçõs linars. Os prinipais ipos d ais quaçõs são:.6. EQUAÇÕES DE BERNOULLI: Equação da forma: d d n P( ) Q( ) () para n n, ond P() Q() são funçõs oninuas onhidas omo quação d Brnoulli. Nss aso, a idéia é ralizar uma subsiuição na quação aima, dmodo a ransformá-la m uma EDO linar. Pois, s: n n P() g() aso anrior [P() g()] aso anrior homogêna Solução: Transformação d variávl: Subsiui por n Driva-s m rlação a : Subsiuindo (), qu é: m () mos: ( n d d ( n) () d d n) n d d d d n P Q Q n P n ( Q P) n ( n)( Q P ) d d d d Jakob Brnoulli, ou Jaob, ou Jaqus, ou Jaob I Brnoulli (Basilia, 7 d Dzmbro d 65 - Basilia, 6 d agoso d 75), foi o primiro mamáio a dsnvolvr o álulo infinisimal para além do qu fora fio por Nwon Libniz, apliando-o a novos problmas. 7

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids omo n, mos: ( n )( Q P) d d d d [( n) P] ( n) Q Emplo: Tornando-s assim uma quação linar a sr rsolvida plo méodo anrior. d d 8

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 7 EERCÍCIOS ) d d d ) d d ) d d 4) 4 d d 5) d d 6) d d 7) d Rsposas: C. ln(. ) C ) ) ) C. 4 4) ln C C 5). ln 6) 7) K C 9

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 8.6. EQUAÇÃO DE RICATTI A quação d Jaopo Franso Riai é da forma: d P( ) Q( ) R( ) d () ond P, Q R dsignam funçõs d. Obsrvamos qu, quando P() mos a quação linar, quando R() mos a quação d Brnoulli. Josph Liouvill 4 mosrou qu a solução da quação d Riai só é possívl quando s onh uma solução pariular. Caso onrário, la só é ingrávl aravés d uma função ransndn 5. Rsolução: Conhndo-s uma solução pariular da quação (), pod-s rsolvr failmn a quação fazndo a sguin mudança d variávl: z () ond z dpndm d. Como é solução, mos: d d P Q R () Por ouro lado, drivando () m-s: d d d d dz d (4) Subsiuindo () (4) na quação () : d d dz P( z) Q( z) R d Dsnvolvndo agrupando os rmos: d d dz Pz d ( P Q) z P Q R (5) (Vnza, 8 d Maio d 676 - Trviso, 5 d Abril d 754) foi um mamáio físio ialiano qu fuou rabalhos sobr hidráulia qu foram muio imporans para a idad d Vnza. El próprio ajudou a projar os diqus ao longo d vários anais. Considrou divrsas lasss d quaçõs difrniais mas é onhido prinipalmn pla Equação d Riai, da qual l faz um laborado sudo du soluçõs m alguns asos spiais. 4 (Sain-Omr, Pas-d-Calais, 4 d Março d 89 - Paris, 8 d smbro d 88) foi um mamáio franês. 5 Uma função é hamada d ransndn quando não é algébria (pod sr prssa m rmos d somas, difrnças, produos, quoins ou raízs d funçõs polinomiais). As funçõs rigonomérias, ponniais logarímias são mplos d funçõs ransdns. 4

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Subsiuindo () m (5) ragrupando, rsula m: dz d ( P Q) z Pz (6) qu é uma quação d Brnoulli na variávl z, uja solução já foi dsnvolvida. Em rsumo: Para sua rsolução algébria dvrmos onhr uma solução pariular qualqur d (), na qual a mudança d variávis z, irá liminar o rmo indpndn R() ransformando a quação d Riai numa quação d Brnoulli. Emplo: Mosrar qu - é solução pariular da quação ( ) prourar a solução gral. d d 4

Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 8 EERCÍCIOS ) Vrifiar s é solução pariular da quação. Em aso afirmaivo, alular a solução gral d ) Mosrar qu é solução pariular da quação alular a sua d solução gral. d ) Sabndo qu é solução pariular da quação ( ) alular d a sua solução gral. d 4) Calular a solução da quação sabndo qu é d solução pariular. d 5) Dar a solução gral da quação sabndo qu - é solução d pariular. d d Rsposas: 5 K ) K 4 ) k ( ) C ) ( ) C k 4) k C 5) C 4

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 9. EQUAÇÕES DE A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM. ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES.. DEFINIÇÕES: Curvas ingrais:família d urvas qu rprsna a solução gral d uma quação difrnial. Envolvida: É ada uma das urvas ingrais. Rprsna gomriamn uma solução pariular da quação. Envolória:Tomando-s omo mplo a família d urvas dpndns d um parâmro f (,,α ), dfin-s omo nvolória a urva angn a odas as linhas qu onsium a família d urvas ingrais. Assim sndo, pod-s afirmar qu is uma ou mais nvolórias para uma msma família, omo ambém podrá não havr nnhuma. Por mplo, uma família d irunfrênias onênrias não aprsna nvolória. 4

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids.. EQUAÇÃO DA ENVOLTÓRIA Sja f (,,α ) uma família d urvas dpndns do parâmro α. Dfin-s omo nvolória a urva qu é angn a oda a linha qu onsium a família d urvas. Pod-s isir uma ou mais nvolórias para uma msma família d urvas, omo ambém podrá não havr nnhuma. As urvas qu forma a família são hamadas nvolvidas. Gralmn, a nvolória é dfinida plo sisma: f (,, α) f (,, α) () α uja quação pod sr obida pla liminação do parâmro α m (). Também podmos obr a quação da nvolória sob a forma paraméria, rsolvndo o sisma para. Emplo: Obr a nvolória d uma família d irunfrênia om nro sobr o io raio igual a 5. 44

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids.. SOLUÇÕES SINGULARES Uma quação difrnial não linar d a ordm pod s sria na forma alrnaiva d F,, d Foi viso qu uma quação difrnial pod aprsnar rês ipos d solução: gral pariular singular (vnualmn) A solução gral é do ipo f (,,C ), qu rprsna uma família d urvas (urvas ingrais), a ada uma das quais sá assoiada uma solução pariular da quação dada. A nvolória dssa família d urvas (aso isa) rprsna a solução singular da quação original. D fao, o ofiin angular da ra angn m um pono d oordnadas (, ) da nvolória da urva ingral orrspond a d. Além disso, m-s qu os lmnos, d d d ada pono da nvolória saisfazm à quação aima, pois são lmnos d uma d urva ingral. Porano, a nvolória é uma solução da quação qu não rsula da fiação da onsan C, por sa razão, é uma solução singular. Emplo: Drminar a solução gral a solução singular da quação d d d d 45

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids..4 EQUAÇÃO DE CLAIRAUT A Equação d Clairau 6 m a forma d d φ. d d Rsolução: Chamando d d p a quação d Clairau fia p φ( p) Drivando a quação anrior m rlação a, rmos: () d d dp d dp d dp d p. φ'( p) ( '( p) ) dp d φ () p C A solução gral é dada subsiuindo-s m () p plo su valor C φ Assim, C (C) é a solução gral da quação d Clairau (família d ras) D (), m-s: φ '( p) () '( p) φ Eliminando-s p nr () () m-s uma rlação F(,) qu rprsna a solução singular. Emplos: Drminar a solução gral a solução singular da sguin quaçõs d Clairau: d d d d 6 (Paris, d Maio d 7 Paris, 7 d Maio d 765) foi um mamáiofranês.prursor da gomria difrnial, ralizou sudos fundamnais sobr urvas no spaço. 46

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 9 EERCÍCIOS ) Dar a nvolória das sguins famílias d urvas: a) 4α α ( α ) α b) d ) Obr a solução singular da quação d d d ) Ahar a solução gral a solução singular da quação: d d 4) Drminar a solução gral a solução singular das sguins quaçõs d Clairau: d d a. ln d d Rsposas b. d d d d d d. d d d d d. 5 4 d d. d d d 4 d ) a ) 7 b) 4 ) ± ) C C (solução gral) (solução singular) 4 4) a. C ln C (gral) ln (singular) b.. C (gral) C C (gral) C (singular) 4 7 (singular) C ( 5 C ) 4 d. (gral). ( 5 ) 6 (singular) C 4 C (gral) 4(± ) (singular) 47

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids..5 EQUAÇÃO DE LAGRANGE: AULA s A quaçõs da Lagrang m aforma d d F φ () d d Obsrvamos qu a quação d Clairau é um aso pariular da quação d Lagrang, d d F. d d Rsolução: A solução da quação d Lagrang, gralmn é dada sob a forma paraméria. Chamando d p a quação d Lagrang fia F( p) φ ( p ). d Drivando a quação anrior m rlação a, rmos: dp dp p F ( p) F' ( p) φ' ( p) d d dp dp p F( p) F' ( p) φ' ( p) d d d Mulipliando por dividindo por [p F(p)], m-s: dp D ond s pod srvr d P Q dp d dp F' ( p) p F( p) φ'( p) p F( p) Como m gral não srá possívl isolar p na solução da quação linar anrior, a solução gral da quação d Lagrang srá dada na forma paraméria: ( p) ( p) Emplo: Rsolvr a quação d d d d 48

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids..6 OUTROS TIPOS DE EQUAÇÃO DE A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM: Rsolvr as sguins quaçõs: a) d 4 d 49

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids b) d sn d ln d d ) ) ) 4) d d d d d d d d d d d d d d d d d d 5) d 6) 7). d d d ln d d d d d d AULA - EERCÍCIOS 5

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 5 Rsposas ) [ ] ( ) [ ] p C p p p C p p p p ln ) ln( ) ln ln p C p p K p ) C p C p C 4) arsnp p p p ln 5) p p p p p 6) p p p ln p 7) p arg p p p ln ln

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 4. EERCÍCIOS GERAIS Calul as Equaçõs Difrniais abaio: ) d ( ) d ) d d ) ( ) d d 4) os snd sn os d d 5) os( ) d 6) ( ) d ( ) d 7) d d d 8) ( ) d d 9) d ( ) d ) ( 4) d ( 5) d d ) d 4 ) ( ) d (9 ) d AULA ) os( ) d os( ) d d d 4 4) 5) ( 6 ) d (6 4 ) d 6) d d ( sn ) d ( os ) d (s. g ) d (s. g ) d 7) 8) 9) ( os ) d snd, drminar a solução pariular para. ) d d d ) d d d ) d ( ln ) d d )Ahar a solução pariular para b a m d 4) d ( ) d d 5) d 6) d ( ) d d 7) ( ) d 5

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 8)Conhndo-s a solução pariular da quação sua solução gral. d ( ) d alular Calular a solução gral a singular das sguins quaçõs: 9) d d d ) d d ) d ) d d d d d d d sn d d d Rsolvr as sguins quaçõs d Lagrang: d d ) d d d d 4) d d ) 6 ln( C) ) C ln C( ) ln s s os s( ) o g( ) ) 4) C 5) C 6) C 7) C 8) ln( ) C 9) ln C ) ( ) C( ) ) ln( 4 8 5) 8 4 C ) 6 C ln(6 ) ) sn ( ) ln C 4) C 4 5) C 6) ( ) C 7) os C 8) s s ( - ) C Rsposas: 5

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 9) os ) C ) C ) ln C ) 4) ab C 5) C C C C C C C C 7 4 6) 7) 8) 9) ) C ± ( ) C ) C a C Não há solução singular ) ) 4) C snc aros ( Cp p) ( Cp p 6 C p p C p p 54

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS 5. MODELO MATEMÁTICO É frqunmn dsjávl dsrvr o omporamno d algum sisma ou fnômno da vida ral m rmos mamáios, qur sjam ls físios, soiológios ou msmo onômios. A dsrição mamáia d um sisma ou fnômno, hamada d modlos mamáios é onsruída lvando-s m onsidração drminadas mas. Por mplo, alvz quiramos omprndr os manismos d um drminado ossisma por mio do sudo do rsimno d populaçõs animais nss sisma ou daar fóssis por mio da anális do daimno radioaivo d uma subsânia qu sja no fóssil ou no rao no qual foi dsobra. A onsrução d um modlo mamáio d um sisma omça om: i. a idnifiação das variávis rsponsávis pla variação do sisma. Podmos a prinipio opar por não inorporar odas ssas variávis no modlo. Nsa apa, samos spifiando o nívl d rsolução do modlo. A sguir, ii. laboramos um onjuno d hipóss razoávis ou prssuposiçõs sobr o sisma qu samos nando dsrvr. Essas hipóss dvrão inluir ambém quaisqur lis mpírias apliávis ao sisma. Para alguns propósios, pod sr prfiamn razoávl nos onnarmos om um modlo d baia rsolução. Por mplo, voê provavlmn já sab qu, nos ursos básios d Físia, a força rardadora do ario om o ar é às vzs ignorada, na modlagm do movimno d um orpo m quda nas proimidads da suprfíi da Trra, mas voê for um inisa ujo rabalho é prdizr prisamn o prurso d um projéil d longo alan, rá d lvar m ona a rsisênia do ar ouros faors omo a urvaura da Trra. Como as hipóss sobr um sisma nvolvm frqünmn uma aa d variação d uma ou mais variávis, a dsrição mamáia d odas ssas hipóss pod sr uma ou mais quaçõs nvolvndo drivadas. Em ouras palavras, o modlo mamáio pod sr uma quação difrnial ou um sisma d quaçõs difrniais. Dpois d formular um modlo mamáio, qu é uma quação difrnial ou um sisma d quaçõs difrniais, sarmos d frn para o problma nada insignifian d nar rsolvê-lo. S pudrmos rsolvê-lo, julgarmos o modlo razoávl s suas soluçõs form onsisns om dados primnais ou faos onhidos sobr o omporamno do sisma. Porém, s as prdiçõs obidas pla solução form pobrs, podrmos lvar o nívl d rsolução do modlo ou lvanar hipóss alrnaivas sobr o manismo d mudança no sisma. As apas do prosso d modlagm são não rpidas, onform disposo no sguin diagrama. 55

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Nauralmn, aumnando a rsolução aumnarmos a omplidad do modlo mamáio, assim, a probabilidad d não onsguirmos obr uma solução plíia. Um modlo mamáio d um sisma físio frqunmn nvolv a variávl mpo. Uma solução do modlo ofr não o sado do sisma; m ouras palavras, os valors da variávl (ou variávis) para valors apropriados d dsrvm o sisma no passado, prsn fuuro. 5. DINÂMICA POPULACIONAL Uma das primiras naivas d modlagm do rsimno populaional humano por mio d mamáia foi fio plo onomisa inglês Thomas Malhus, m 798. Basiamn, a idéia por rás do modlo malhusiano é a hipós d qu a aa sgundo a qual a população d um pais rs m um drminado insan é proporional a população oal do pais naqul insan. Em ouras palavras, quano mais pssoas houvr m um insan, mais pssoas isirão no fuuro. Em rmos mamáios, s P() for a população oal no insan, não ssa hipós pod sr prssa por: d k d, ( ) k. () ond k é uma onsan d proporionalidad, srv omo modlo para divrsos fnômnos nvolvndo rsimno ou daimno. Conhndo a população m algum insan iniial arbirário, podmos usar a solução d () para prdizr a população no fuuro, iso é, m insans >. O modlo () para o rsimno ambém pod sr viso omo a quação ds d rs, a qual dsrv o rsimno do apial S quando uma aa anual d juros r é omposa oninuamn. Emplo: Em uma ulura, há iniialmn baérias. Uma hora dpois,, o númro d baérias passa a sr /. S a aa d rsimno é proporional ao númro d baérias prsns, drmin o mpo nssário para qu o númro d baérias ripliqu. Rsolução: ( o ) ( ) o d k d d kd Ingrando om rlação a a quação aima,mos: d kd ln k ln ln k ln k k. k 56

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids ( ) quação anrior fia da sguin forma: Para Volando para a quação subsiuindo o valor d k Para dsobrirmos o valor d k, uilizamos (). k ln k k,455 k. volando novamn a quação, mos para qu o númro d baérias ripliqu, k,455 ln,455,455,986,455,455, 79 srão nssários,7 horas aproimadamn. 5. MEIA VIDA Em físia, mia-vida é uma mdida d sabilidad d uma subsânia radioaiva. A mia-vida é simplsmn o mpo gaso para mad dos áomos d uma quanidad A s dsingrar ou s ransmuar m áomos d ouro lmno. Quano maior a mia-vida d uma subsânia, mais sávl la é. Por mplo, a mia do ulra radioaivo rádio, Ra-6, é ra d 7 anos. Em 7 anos, mad d uma dada quanidad d Ra-6 é ransmuada m Radônio, Rn-. O isóopo d urânio mais omum, U-8, m uma mia-vida d aproimadamn 4.5.. d anos. Nss mpo, mad d uma quanidad d U-8 é ransmuada m humbo, Pb-6. da K.A () d A() A A ( ) A A A. k 57

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Emplo: Um raor onvr urânio 8 m isóopo d pluônio 9. Após 5 anos foi dado qu,4% da quanidad iniial A d pluônio s dsingrou. Enonr a mia vida dss isóopo s a aa d dsingração é proporional à quanidad rmansn. Rsolução: 5 A A,4 A,99957 A Rsolvndo a quação: Sabndo qu da ka d da kd A ln A k A ln k A k A. k A ( ) A, mos: k A A A A (5 ),99957A, logo Para drminar k, usamos o fao d qu qu A() A. k A(5) A. 5k A() ( ),99957 A A. 5k,8867. A A Ln,99957 ln 5, 867 A A. A.,867 -,4 5 k K -,8667. - 5 -,69 -,867 4,8 4,8 anos 5 Volando a quação, mos qu: A A( ) A( ) A 5,8667 58

Equaçõs Difrniais Para dsobrir a mia vida basa fazr: A A,5 5,8667 ln,5,8667,695,8667 4.79,7,8667 5 Prof a Paula Franis Bnvids 5 5 Logo o mpo d mia vida é d aproimadamn 4.8 anos 5.4 DECAIMENTO RADIOTAIVO O núlo d um áomo onsis m ombinaçõs d próons nêurons. Muias dssas ombinaçõs são insávis, iso é, os áomos dam ou ransmuam m áomos d oura subsânia. Esss núlos são hamados d radioaivos. Por mplo, ao longo do mpo, o alamn radioaivo lmno rádio, Ra-6, ransmua-s no gás radônio radioaivo, Rn-. Para modlar o fnômno d daimno radioaivo, supõ-s qu a aa d da/d sgundo a qual o núlo d uma subsânia dai é proporional a quanidad (mais prisamn, ao númro d núlos) A() d subsânias rmansn no insan : da K.A () d Nauralmn as quaçõs () () são iguais, a difrnça rsid apnas na inrpração dos símbolos nas onsans d proporionalidad. Para o rsimno, onform spramos m (), k>, para o daimno, omo m (), k<. O modlo () para o daimno ambém oorr om apliaçõs biológias, omo a drminação d mia vida d uma droga o mpo nssário para qu 5% d uma droga sja liminada d um orpo por rção ou mabolismo. Em químia, o modlo d daaimno () apar na dsrição mamáia d uma ração químia d primira ordm, iso é, uma ração uja aa ou vloidad d/d é diramn proporional à quanidad d uma subsânia não ransformada ou rmansn no insan. A qusão é qu: Uma únia quação difrnial pod srvir omo um modlo mamáio para vários fnômnos difrns. 5.5 CRONOLOGIRA DO CARBONO Por vola d 95, o químio Willard Libb 7 invnou um méodo para drminar a idad d fóssis usando o arbono radioaivo. A oria da ronologia do arbono s basia no fao d qu o isóopo do arbono 4 é produzido na amosfra pla ação d radiaçõs ósmias no nirogênio. A razão nr a quanidad d C-4 para arbono ordinário na amosfra para sr uma onsan, omo onsquênia, a proporção da quanidad d isóopo prsn m odos os organismos é a msma proporção da quanidad na amosfra. Quando um organismo morr, a absorção d C-4, aravés da rspiração ou alimnação, ssa. Logo, omparando a quanidad proporional d C-4 prsn, 7 Willard Frank Libb(Grand Vall, 7 d Dzmbro d 98 Los Angls, 8 d Smbro d 98) foi um químiosadunidns.é ronhido pla dsobra do méodo d daamno onhido por daação por radioarbono (arbono-4), rbndo por iso o Nobl d Químia d 96. 59

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids digamos,m um fóssil om a razão onsan na amosfra, é possívl obr uma razoávl simaiva da idad do fóssil. O méodo s basia no onhimno da mia-vida do arbono radioaivo C-4, ra d 5.6 anos. O méodo d Libb m sido usado para daar móvis d madira m úmulos gípios, o ido d linho qu nvolvia os prgaminhos do Mar Moro o ido do nigmáio sudário d Turim. Emplo: Um osso fossilizado oném um milésimo da quanidad original do C-4. Drmin a idad do fóssil. Rsolução: A() A. k A A. ln ln 56k k.56 56k -,69 K -,776 A quação fia da sguin forma: A() A. -,776,776 A A.,776 ln ln -,776-6,977 55.88 A idad do fóssil é d aproimadamn 55.88 anos. 5.6 RESFRIAMENTO D aordo om a Li mpíria d Nwon do sfriamno/rsfriamno, a aa sgundo a qual a mpraura d um orpo varia é proporional a difrnça nr a mpraura d um orpo varia proporionalmn a difrnça nr a mpraura do orpo a mpraura do mio qu o rodia, dnominada mpraura ambin. S T() rprsnar a mpraura d um orpo no insan, T m a mpraura do mio qu o rodia dt/d a aa sgundo a qual a mpraura do orpo varia, a li d Nwon do sfriamno/rsfriamno é onvrida na snnça mamáia dt K(T Tm ) () d k T Tm ond k é uma onsan d proporionalidad. Em ambos os asos, sfriamno ou aquimno, s T m for uma onsan, é lógio qu k<. 6

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Emplo: Um bolo é rirado do forno, sua mpraura é d ºF. Três minuos dpois, sua mpraura passa para ºF. Quano mpo lvará para sua mpraura hgar a 75 graus, s a mpraura do mio ambin m qu l foi oloado for d aamn 7ºF? Rsolução: T() F dt k( T Tm ) d T() F dt k( T 7) d dt kd ( T 7) ln( T 7) k ( T 7 ln k T 7 k T(?) 75 T m 7 A solução gral da ED é dada por: Sabndo qu T ( ) mos qu: T k. 7 Logo: T. k 7 T() C. k. 7 C Tmos ainda qu T ( ), om isso: A quação fia da sguin forma:. k 7 k k ln k ln k,57544858 k,9869 T( ) Para qu a mpraura do bolo hgu m 75 graus,,98 7 ],98 75. 7,98 75 7 5 -,98 ln om isso, srá nssário, minuos., 6

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 5.7 MISTURAS A misura d dois fluidos algumas vzs dá origm a uma quação difrnial d primira ordm para a quanidad d sal onida na misura. Vamos supor um grand anqu d misura onnha galõs d salmoura (iso é, água na qual foi dissolvida uma drminada quanidad d libras d sal). Uma oura salmoura é bombada para dnro do anqu a uma aa d rês galõs por minuo; a onnração d sal nssa sgunda salmoura é d libras por galão.quando a solução no anqu sivr bm misurada, la srá bombada para fora a msma aa m qu a sgunda salmoura nrar. S A() dnoar a quanidad d sal (mdida m libras) no anqu no insan, a aa sgundo a qual A() varia srá uma aa liquida: da d Taa d nrada Taa d saída d sal d sal R R s (4) A aa d nrada R d sal (m libras por minuo) é: Taa d nrada d salmoura Connraç ão d sal no fluo d nrada aa d nrada d sal R ( gal / min). ( kb / gal ) 6lb / min Uma vz qu a soluçãoo sá sndo bombada para fora para dnro do anqu a msma aa, o númro d galõs d salmoura no anqu no insan é onsan igual a galõs. Assim sndo, a onnração d sal no anqu no fluo d saída é d A()/ lb/gal, a aa d saída d sal R s é: Taa d saída d salmouraa Connração d sal no fluo d saída aa d saida d sal R s (gal / min). A lb / gal A lb / min Emplo: A quação (4)orna-s não: da A 6 d (5) Dos dados do anqu aima onsidrado da quação (4), obmos a quação(5). Vamos oloar agora a sguin qusão: s 5 libras d sal fossm dissolvidas nos galõs iniiais, quano sal havria no anqu após um longo príodo? 6

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Rsolução: da A 6 d da A 6 d Pd Pd A. Qd C A.6d C A 6 C A 6 C. Para A ( ) 5 mos: 5 6 C. C 55 Logo, a solução fia da sguin forma: A 6 55 A solução aimafoi usada para onsruir a sguin abla: Além disso podmos obsrvar qu A 6 quando. Nauralmn, isso é o qu spraríamos nss aso; duran um longo príodo, o númro d libras d sal na solução dv sr ( gal).(lb/gal) 6 lb. Ns mplo supusmos qu a aa sgundo a qual a solução ra bombada para dnro ra igual à aa sgundo a qual la ra bombada para fora. Porém isso não prisa sr assim; a misura salina podria sr bombada para fora a uma aa maior ou mnor do qu aqula sgundo a qual é bombada para dnro. Por mplo, s a solução bm misurada do mplo aima for bombada para fora a uma aa mnor, digamos d gal/min, o liquido aumulará no anqu a uma aa d ( ) gal/min gal/min. Após minuos, o anqu onrá galõs d salmoura. A aa sgundo a qual o sal sai do anqu é não: A R gal lb gal s ( / min). / (min) A(lb) 5 66,4 97,67 5 477,7 55,57 57,6 4 589,9 Logo, a Equação (4) orna-s: da A da 6 ou A 6 d d Voê dv vrifiar qu a solução da úlima quação, sujia a A()5, é: A ( ) 7 6 (4,95 )( ) 6

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 5.8 DRENANDO UM TANQUE Em hidrodinâmia, a Li d Torilli sabl qu a vloidad v do fluo d água m um burao om bordas na bas d um anqu hio aé a uma alura h é igual a vloidad om qu um orpo (no aso, uma goa d agua) adquiriria m quda livr d uma alura h, iso é, v gh, ond g é a alração dvida a gravidad. Essa úlima prssão origina-s d mv om a nrgia ponial mgh rsolvr para v. Suponha qu igualar a nrgia inéia um anqu hio om água sja drnado por mio d um burao sob a influênia da gravidad. Gosaríamos d nonrar a alura h d água rmansn no anqu no insan. Considr o anqu ao lado: S a ára do burao for A h (m pés quadrados) a vloidad d saída da água do anqu for v gh (m pés/s), o volum d saída d água do anqu por sgundo é A h gh (m pés úbios/s). Assim, s V() dnoar o volum d água no anqu no insan, dv d A gh (6) ond o sinal d subração india qu V sá drsndo. Obsrv aqui qu samos ignorando a possibilidad d ario do burao qu possa ausar uma rdução na aa d fluo. Agora, s o anqu for al qu o volum d água m qualqur insan possa sr srio omo V ( ) Awh, ond A w (m pés quadrados) é a ára onsan da suprfíi d água, não dv dh Aw. d d Subsiuindo ssa úlima prssão m (6), obmos a quação difrnial dsjada para a alura d água no insan : dh d h Ah gh (7) A É inrssan noar qu (7) prman válida msmo quando A w não for onsan. Nss aso, dvmos prssar a suprfíi suprior da água omo uma função d h, iso é, A w A(h). 5.9 DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA Uma donça onagiosa, por mplo, um vírus d grip, spalha-s m uma omunidad por mio do onao nr as pssoas. Sja () o númro d pssoas qu onraíram a donça () o númro d pssoas qu ainda não foram posas. É razoávl supor qu a aa d/d sgundo a qual a donça s spalha sja proporional ao númro d nonros ou inraçõs nr sss dois grupos d pssoas. S supusrmos qu o númro d inraçõs é onjunamn proporional a () a (), iso é, proporional ao produo, não: d k (8) d w 64

Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids ond k é a onsan d proporionalidad usual. Suponha qu uma pquna omunidad nha uma população fia d n pssoas. S uma pssoa infadaa for inroduzida na omunidad, pod-s argumnar qu () () são rlaionadas por n. Usando ssa úlima quação para liminar m (8), obmos o modlo d k( n ) (9) d Uma ondição óbvia qu aompanha a quação (9) é (). 5. CORPOS EM QUEDA Para onsruir um modlo mamáio do movimno d um orpo m um ampo d força, m gral iniiamos om a sgunda li do movimno d Nwon. Lmbr-s da físia lmnar qu a primira li do movimno d Nwon sabl qu o orpo prmanrá m rpouso ou oninuará movndo-s a uma vloidad onsan, a não sr qu sja agindo sobr l uma força rna. Em ada aso, isso quival a dizr qu, quando a soma das forças F F iso é, a força liquida ou rsulan, qu ag sobr o k orpo for difrn d zro, ssa força líquida srá proporional a sua alração a ou, mais prisamn, F m.a, ond m é a massa do orpo. Suponha agora qu uma pdra sja jogada par aima do opo d ilusrado na figura abaio: um prédio, onform Qual a posição s() da pdra m rlação ao hão no insan? A alração da pdra é a drivada sgunda d s d S assumirmos omo posiiva a dirção para ima qu nnhuma oura força além da gravidad ag sobr a pdra, obrmos a sgunda li d Nwon d s m d d s mg ou d g () Em ouras palavras, a força liquida é simplsmn o pso F F - Wda pdra próimo á suprfíi da Trra. Lmbr-s d qu a magniud do pso é W mg, ond m é a massa g é a alração dvida a gravidad. O sinal d subração foi usado m (), pois o pso da pdra é uma força dirigida para baio, oposa a dirção posiiva. S a alura do prédio é s a vloidad iniial da pdra é v, não s é drminada, om bas no problma d valor iniial d sgunda ordm d s d g s ( ) s, s' () v (), Embora não sjamos nfaizando a rsolução das quaçõs obidas, obsrv qu () pod sr rsolvida ingrando-siniiais drminam as duas onsans d ingração. Voê podrá ronhr a solução d a onsan g duas vzs m rlação a. As ondiçõs (), da físia lmnar, omoo a fórmula s ( ) g v s. 65