1 FUNÇÕES DE 1º GRAU 0) Determine f() cujo gráfico está ilustrado abaio. Uma função de 1º grau é caracterizada pela seguinte lei: Observações: 1) O fator a determina o crescimento da função: se y 1, então y a. De fato, a. Se a for positivo, a função é crescente; se for negativo, a função é decrescente. Para a nulo, a função é constante. ) O fator b corresponde à ordenada do ponto o gráfico de f() intercepta o eio y. 03) (FGV) Uma fábrica de bolsas tem um custo fio mensal de R$ 5.000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 5,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4.000,00, ela deverá fabricar bolsas. O valor de é: EXERCÍCIOS DE AULA 01) Esboce o gráfico de f() = - a) 300 b) 350 c) 400 d) 450 e) 500 Intensivo 009 - M3
04) (UFRJ) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,5. No plano B, paga-se um valor fio de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é de R$ 1,50. Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deia de ser mais vantajoso do que o plano A. O gráfico de uma função de º grau sempre será uma parábola, e, para esboçarmos seu gráfico, é preciso analisar de dois a quatro fatores: Concavidade da parábola Depende somente do sinal de a Raízes As raízes são os pontos onde o gráfico intercepta o eio das abscissas. Ou seja, tais que f() = 0. Assim, o cálculo das raízes depende da resolução da equação de º grau a² + b + c = 0, que, dependendo do sinal de b 4ac, pode ter duas raízes reais distintas, uma raiz real dupla ou duas raízes compleas conjugadas. Não é difícil entender cada caso: FUNÇÕES DE º GRAU São duas as principais formas de epressar a lei de uma função de º grau: f() = a² + b + c, com a 0. f() = a.( - R 1 ).( - R ), com R 1 e R raízes de f(). É possível observar que as duas maneiras são distintas, mas equivalentes. Ainda, o valor de a é o mesmo para ambas. Cada uma delas apresenta vantagens e desvantagens quando comparada com a outra, como veremos a seguir. Observe que quando 0 o gráfico de f() permanece sempre acima ou abaio do eio das abscissas, dependendo do sinal de a. Assim, f() será sempre positiva ou sempre negativa se e somente se < 0. Intensivo 009 - M3
3 Observações: - A soma das raízes de uma equação de º grau a² + b + c = 0 pode ser obtida a partir de b b b b R 1 + R -. a a a a - De modo análogo, o produto das raízes será dado por b b c R1 R. a a a IMPORTANTE: as parábolas que representam o gráfico de uma função são simétricas em relação à reta vertical que passa pelo vértice. A partir dessa simetria, é possível deduzir que a abscissa do vértice ( V ) de f() = a² + b + c será V -b = ou a R + R V = 1 A ordenada do vértice (y V ) será y = f. V v EXERCÍCIOS DE AULA 05) Determine m de modo que f() = ² - 6 + m não possua raízes reais. 06) Determine m de modo que f() = ² - 6 + m seja positiva para qualquer valor de. EXERCÍCIOS DE AULA: 07) Determine a função de º grau cujo gráfico está esboçado abaio. Ponto de intersecção com o eio das ordenadas O gráfico de f() intercepta o eio y quando = 0. Ou seja, a ordenada desse ponto é dada por f(0). Se a lei for dada na forma geral f() = a² + b + c, f(0) = c. Vértice da parábola O vértice da parábola é o ponto de máimo (a < 0) ou ponto de mínimo (a > 0) da função. Intensivo 009 - M3
4 08) Esboce o gráfico de f() = ² - 6 + 8. DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO Domínio de uma função f() é o conjunto de valores de para os quais a função está definida. Ou seja, são os valores de para os quais faz sentido aplicar a função. Esse conjunto é definido na maioria das vezes a partir de restrições, que podem ser de caráter teórico ou prático. Imagem de uma função f() é o conjunto de valores de y gerados pela aplicação dos valores de pertencentes ao domínio da função. Graficamente, são as ordenadas que estão associadas ao gráfico da função. Restrições Teóricas 09) (PUCRS) Na figura, temos a representação geométrica de uma parábola de equação y a b c. Para esta parábola, determine os sinais dos produtos ab, ac e bc. São aquelas impostas pelas condições de eistência de determinadas operações matemáticas. As mais comuns: Restrições Práticas São aquelas determinadas pelo conteto do problema. Por eemplo, medidas geométricas (lado, área, volume, etc.) devem ser positivas, o número de unidades pode ser limitado pelo estoque, dentre outras possibilidades. b < 0 f() é decrescente em = 0 b > 0 f() é crescente em = 0 b = 0 f() é máima ou mínima em = 0 É preciso muita atenção na leitura do enunciado. Intensivo 009 - M3
5 EXERCÍCIOS DE AULA 1) Resolva as inequações: 10) (UFRGS) Na figura abaio, estão representados três quadrados. A área do quadrado maior é 5, e a soma das áreas dos quadrados hachurados é A(). A função A() é crescente no intervalo: a) 9 a) (0, 3/) b) (0, 5/) c) (5 /, ) d) (3/, 5) e) (5/, 5) 11) (UFRGS) A partir de dois vértices opostos de um retângulo de dimensões 7 e 5, marcam-se quatro pontos que distam de cada um desses vértices. Ligando-se esses pontos, como indicado na figura abaio, obtém-se um paralelogramo P. Considere a função f, que a cada pertencente ao intervalo (0, 5) associa a área f() do paralelogramo P. O conjunto imagem da função f é o intervalo: b) Determine o domínio de f 1. a) (0, 10] b) (0, 18) c) (10, 18] d) [0, 10] e) (0, 18] A resolução gráfica de inequações é altamente recomendada! Intensivo 009 - M3
6 MÓDULO a, se a 0 A definição de módulo diz que a. a, se a 0 Repare que -a, no caso, não indica um número negativo, pois a já seria negativo. O sinal -, aqui, indica somente uma troca de sinal. Geometricamente, o módulo de a pode ser entendido como a distância do ponto a à origem na reta real. De acordo com essa perspectiva, é importante notar que a equação a =, por eemplo, tem duas soluções. De fato, se a =, a distância do ponto (, 0) até a origem vale. No entanto, o mesmo acontece para a = -. EXERCÍCIOS 01) (PUCSP) Um grupo de amigos "criou" uma nova unidade de medida para temperaturas: o grau Patota. Estabeleceram, então, uma correspondência entre as medidas de temperaturas em graus Celsius ( C), já conhecida, e em graus Patota ( P), mostrada na tabela abaio. Lembrando que a água ferve a 100 C, então, na unidade Patota ela ferverá a: o C o P a) 96º b) 88º c) 78º 0 40 d) 64º e) 56º 60 48 EXERCÍCIOS DE AULA Assim, equações na forma a b, b 0, possuem duas soluções: a = b e a = -b 0) (UFRGS) Um grupo de estudantes dedicado à confecção de produtos de artesanato gasta R$ 15,00 em material, por unidade produzida, e, além disso, tem um gasto fio de R$ 600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. Quantas unidades terão de vender para obterem um lucro de R$ 800,00? 13) Esboce o gráfico de f e de g. a) 7 b) 10 c) 1 d) 15 e) 0 03) (UFRGS) Considere o gráfico abaio, que apresenta a taa média de crescimento anual de certas cidades em função do número de seus habitantes. A partir desses dados, pode-se afirmar que a taa média de crescimento anual de uma cidade que possui 750.000 habitantes é: 14) Resolva a inequação. a) 1,95% b),00% c),85% d) 3,00% e) 3,35% 04) (UFRGS) O ônibus X parte da cidade A com velocidade constante de 80 km/h, à zero hora de certo dia. Às horas da madrugada, o ônibus Y parte da mesma cidade, na direção e sentido do ônibus X, com velocidade constante de 100 km/h. O ônibus Y vai cruzar com o ônibus X, pela manhã, às: a) 6 h b) 8 h c) 10 h d) 11 h e) 1 h Intensivo 009 - M3
7 05) (UFRGS) Em março de 007, o menor preço oferecido por uma companhia telefônica para ligação do Brasil para os Estados Unidos era de R$ 0,95 o minuto. O mesmo serviço pela internet custava R$ 0,05 o minuto e mais R$ 0,10 da taa de coneão da chamada. Em ambas as situações, o pereço por segundo correspondia a 1 60 do preço por minuto. Nessas condições, para que uma ligação telefônica, do Brasil para os Estados Unidos, tivesse um custo menor via companhia telefônica do que via internet, a duração dessa ligação deveria ser, em número inteiro de segundos, no máimo, de: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 08) (UNIRIO) Considere a figura abaio, onde um dos lados do trapézio retângulo se encontra apoiado sobre o gráfico de uma função f. Sabendo-se que a área da região sombreada é 9 cm², a lei que define f é: a) b) c) d) e) 7 y 6 3 y 1 4 y 1 5 5 y 1 4 y 1 3 06) (UERJ) Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracanã 90.000 torcedores. Três portões foram abertos às 1 horas e até as 15 horas entrou um número constante de pessoas por minuto. A partir desse horário, abriram-se mais 3 portões e o fluo constante de pessoas aumentou.os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio em função do horário de entrada estão contidos no gráfico abaio. Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o relógio estava marcando 15 horas e: 09) (UNESP) Por uma mensagem dos Estados Unidos para o Brasil, via fa, a Empresa de Correios e Telégrafos (ECT) cobra R$ 1,37 pela primeira página e R$ 0,67 por página que se segue, completa ou não. Qual o número mínimo de páginas de uma dessas mensagens para que seu preço ultrapasse o valor de R$ 10? a) 8 b) 10 c) 1 d) 14 e) 16 a) 0 min b) 30 min c) 40 min d) 50 min 10) (UFPE) O preço da corrida de tái na cidade R é calculado adicionando um valor fio de R$,50 a R$ 1,30 por cada quilômetro rodado, enquanto na cidade S o preço é obtido adicionando um valor fio de R$ 3,40 a R$ 1,5 por quilômetro rodado. A partir de quantos quilômetros rodados, o tái da cidade R deia de ser mais barato que o da cidade S? 07) (UFF) Um reservatório, contendo inicialmente 400 litros de água, começa a receber água a uma razão constante de 3 litros por segundo, ao mesmo tempo em que uma torneira deia escoar água desse reservatório a uma razão, também constante, de 1 litro por segundo. Considerando o instante inicial (t = 0) como o instante em que o reservatório começou a receber água, determine uma epressão para o volume (V), em litros, de água no reservatório em função do tempo decorrido (t), em segundos, a partir do instante inicial. 11) (UFPE) Em 01/11/001 Júnior e Ricardo possuem em suas contas correntes R$ 4.500 e R$ 3.00 respectivamente. Se, no primeiro dia de cada mês subseqüente a novembro de 001, Júnior saca R$ 50 e Ricardo deposita R$ 50, quando o valor da conta corrente de Ricardo ultrapassará o valor da conta de Júnior, pela primeira vez? a) OUT/00 b) NOV/00 c) JAN/003 d) FEV/003 e) MAR/03 Intensivo 009 - M3
8 1) (UNB) Cada bilhete vendido em um parque de diversões dá direito à utilização de apenas um brinquedo, uma única vez. Esse parque oferece aos usuários três opções de pagamento: I. R$,00 por bilhete; II. valor fio de R$ 10,00 por dia, acrescido de R$ 0,40 por bilhete; III. valor fio de R$ 16,00 por dia, com acesso livre aos brinquedos. 15) (UFES) Um fabricante de bonés opera a um custo fio de R$ 1.00 por mês (correspondente a aluguel, seguro e prestações de máquinas). O custo variável por boné é de R$. Atualmente são comercializadas 1.000 unidades mensalmente, a um preço unitário de R$ 5. Devido à concorrência no mercado, será necessário haver uma redução de 30% no preço unitário de venda. Para manter seu lucro mensal, de quanto deverá ser o aumento na quantidade vendida? Com base nessa situação, julgue os itens a seguir. ( ) ( ) ( ) Se uma criança dispõe de R$ 14,00, a opção I é a que lhe permite utilizar o maior número de brinquedos. Se representa o número de vezes que uma pessoa utiliza os brinquedos do parque, a função f que descreve a despesa diária efetuada, em reais, ao se utilizar a opção III, é dada por f()=16. É possível a um usuário utilizar determinado número de brinquedos em um único dia, de modo que a sua despesa total seja a mesma, independente da opção de pagamento escolhida. 13) (UFRGS) Considerando A = { / 1 10}, e sendo R a relação em A formada pelos pares (, y) tais que y = - 1, o domínio e a imagem dessa relação correspondem, respectivamente, a: a) {0, 1,, 3} e {1, 3, 5, 7} b) {1,, 3, 4} e {3, 5, 7, 9} c) {0, 1,, 3, 4} e {0,, 4, 6, 8} d) {1,, 3, 4, 5} e {1, 3, 5, 7, 9} e) {1,, 3, 4, 5} e {0,, 4, 6, 8} 14) (UNICAMP) Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaio. A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é o mais vantajoso? PLANO CUSTO FIXO MENSAL CUSTO ADICIONAL POR MINUTO A R$ 35 R$ 0,50 B R$ 0 R$ 0,80 C 0 R$ 1,0 16) (UFRGS) Na figura ao lado, a região sombreada do plano y é descrita pelas desigualdades da alternativa: a) 0 4 e 0 y 5 b) 0 5 e 0 y 5 c) 1 4 e 0 y 5 d) 1 4 e 0 y 5 e) 1 4 e 0 y 5 17) (UFRGS) Se o gráfico tem a epressão y = a² + b + c, os valores de a, b e c são, respectivamente, a) -3/, -1 e 3 b) 1, -3/ e 3 c) 1, -1 e 3/ d) 1, 8 e 3 e) 4, 8 e 3 18) (UFRGS) A parábola na figura abaio tem vértice no ponto (-1, 3) e representa a função quadrática f a b c. Portanto, a + b é: a) -3 b) - c) -1 d) 0 e) 1 Intensivo 009 - M3
9 19) (PUCPR) O gráfico de uma função do segundo grau tem seu eio de simetria na reta = 3, tem uma raiz igual a 1 e corta o eio dos y em y = 5. Então, seu conjunto imagem é: a) 0, b) 0, c), 0 d), 0 e), 5 0) (UDESC) Seja ABCD um quadrado de área unitária. São tomados dois pontos P e Q, com AP + AQ = AD. Calcule o maior valor para a área do triângulo APQ. 1) (UFRGS) Considere o gráfico de y = f() ao lado. O gráfico de g() =.f() é: a) b) 4) (PUCRS) Se e y são números reais, com - y =, então o valor mínimo de z = ² + y² é: a) - 1 b) 0 c) 1 d) e) 4 5) (PUCCAMP) Seja R um retângulo que tem 4 cm de perímetro. Unindo-se sucessivamente os pontos médios dos lados de R obtém-se um losango. Qual deve ser a medida do lado desse losango, em cm, para que sua área seja máima? a) 3 b) 3 c) 6 d) 6 e) 9 6) (UFRN) O Sr. José dispõe de 180 metros de tela para fazer um cercado retangular, aproveitando, como um dos lados, parte de um etenso muro reto.o cercado compõe-se de uma parte paralela ao muro e três outras perpendiculares a ele. Para cercar a maior área possível, com a tela disponível, os valores de e y são, em metros, respectivamente: a) 45 e 45 b) 30 e 90 c) 36 e 7 d) 40 e 60 e) 0 e 10 c) d) 7) (UFF) Um muro, com 6 metros de comprimento, será aproveitado como parte de um dos lados do cercado retangular que um criador precisa construir. Para completar o contorno desse cercado, ele usará 34 metros de cerca. Determine as dimensões do cercado retangular de área máima que ele poderá construir. e) 8) (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja epressão é: ) (UFPE) Qual o maior valor assumido pela função f : [ 7, 10] definida por f() = ² - 5 + 9? 3) (UFRGS) Uma das dimensões de certo retângulo é o dobro da outra. A epressão algébrica da área A, desse retângulo, em função do seu perímetro P, é: a) P 18 b) P 9 c) P 6 d) P 4 e) P a) y = - 5 b) y = ² - 10 c) y = ² + 10 d) y = e) y = - 10 5 + 10 5 Intensivo 009 - M3
10 9) (PUCRJ) O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = ² e y = ² - 1 é: a) 0 b) 1 c) d) 3 e) 4 30) (UFMG) A função f() do segundo grau tem raízes -3 e 1. A ordenada do vértice do gráfico de f(), é igual a 8. A única afirmativa VERDADEIRA sobre f() é: a) f() = -( - 1)( + 3) d) f() = ( - 1)( + 3) b) f() = -( - 1)( + 3) e) f() = ( + 1)( - 3) c) f() = -( + 1)( - 3) 31) (UFPA) O vértice da parábola y = a² + b + c é o ponto (-, 3). Sabendo que 5 é a ordenada onde a curva corta o eio vertical, podemos afirmar que: a) a > 1, b < 1 e c < 4 d) a < 1, b > 1 e c > 4 b) a >, b > 3 e c > 4 e) a < 1, b < 1 e c < 4 c) a < 1, b < 1 e c > 4 3) (UFPE) O gráfico da função y = a² + b + c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c são, respectivamente: a) 1, - 6 e 0 b) - 5, 30 e 0 c) - 1, 3 e 0 d) - 1, 6 e 0 e) -, 9 e 0 33) (UFPE) Na questão a seguir escreva nos parênteses (V) se for verdadeiro ou (F) se for falso. Se a é um número real positivo, então o gráfico de y = a(² + ), real: ( ) é uma parábola que passa pela origem (0,0). ( ) é simétrico em relação à reta = -1. ( ) é uma parábola cujo vértice é o ponto (-1, a). ( ) está contido na reunião do 1º, º e 3º quadrantes ( ) não intercepta a reta y = -a. 35) (UFRGS) Um menino chutou uma bola. Esta atingiu altura máima de 1 metros e voltou ao solo 8 segundos após o chute. Sabendo que uma função quadrática epressa a altura y da bola em função do tempo t de percurso, esta função é: t a) y = - t² + 8t d) y = + t 4 b) y = 3t t 16t + 3t e) y = 8 3 3 3t c) y = + 6t 4 36) (PUCMG) Na parábola y = ² - (m - 3) + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 37) (UFMG) O ponto de coordenadas (3,4) pertence à parábola de equação y = a² + b + 4. A abscissa do vértice dessa parábola é: a) 1 b) 1 c) 3 d) 38) (PUCCAMP) Na figura a seguir tem-se um quadrado inscrito em outro quadrado. Pode-se calcular a área do quadrado interno, subtraindo-se da área do quadrado eterno as áreas dos 4 triângulos. Feito isso, verifica-se que A é uma função da medida. O valor mínimo de A, em cm², é: a) 16 b) 4 c) 8 d) 3 e) 48 34) (PUCCAMP) A soma e o produto das raízes de uma função do º grau são, respectivamente, 6 e 5. Se o valor mínimo dessa função é -4, então seu vértice é o ponto: 11 a) (3, -4) b), 4 c) (0, -4) d) (-4; 3) e) (-4, 6) Intensivo 009 - M3
11 39) (UNESP) Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas de um determinado hotel para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é R$ 0,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de R$ 1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa de ônibus, em cada viagem, é dado pela função f() = (40 - ).(0 + ), onde indica o número de lugares vagos (0 40). Determine quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a empresa obtenha faturamento máimo. 40) (CESGRANRIO) O diretor de uma orquestra percebeu que, com o ingresso a R$ 9,00 em média 300 pessoas assistem aos concertos e que, para cada redução de R$ 1,00 no preço dos ingressos, o público aumenta de 100 espectadores. Qual deve ser o preço para que a receita seja máima? a) R$ 9 b) R$ 8 c) R$ 7 d) R$ 6 R$ 5 1 44) (UFRGS) A função f é positiva se, e somente se, pertence ao intervalo: a) (-1, 1) b) (-1, 1] c) [-1, 1] d), 1 1, e), 1 1, 45) (FGV) A função f, de IR em IR, dada por f() = a² - 4 + a tem um valor máimo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f(-) é igual a: a) 4 b) c) 0 d) -0,5 e) - 46) (FGV) O lucro mensal de uma empresa é dado por L = -² + 30-5, onde é a quantidade mensal vendida. Entre que valores deve variar para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195? 41) (UFMG) Observe a figura, que representa o gráfico de y = a² + b + c. Assinale a única afirmativa FALSA em relação a esse gráfico. a) ac é negativo. b) b² - 4ac é positivo. c) b é positivo. d) c é negativo. 47) (PUCMG) O gráfico da função f() = ² -m + m está todo acima do eio das abscissas. O número m é tal que: a) m < 0 ou m > 1 d) -1 < m < 1 b) m > 0 e) 0 < m < 1 c) -1 < m < 0 4) (UFRGS) O gráfico da função quadrática f p 1 intercepta o eio das abscissas em dois pontos distintos, se e somente se: 48) (UFRGS) A equação m m 0 possui raízes reais distintas. Então: 1 a) m = 0 b) m > 0 c) m < 4 d) m < 0 ou m > 4 e) 0 < m < 4 a) p < - b) p < 0 c) - < p < d) p < 0 ou p > e) p < - ou p > 43) (UFRGS) O domínio da função real de variável real definida por f() (1 )(3 ) é o intervalo: a) (, 3] b) [-3, -1) c) (-3, 0) d) [-3, 1] e) [1, ) 49) (UNESP) O gráfico da função quadrática definida por y = ² - m + (m - 1), com m real, tem um único ponto em comum com o eio das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a = é: a) - b) -1 c) 0 d) 1 e) Intensivo 009 - M3
1 50) (PUCRS) A função real f é definida por g f. A representação gráfica de g está na figura abaio. O domínio da função f é: a) [-1; 4] b) [0; 4] c) (0; 4) d) (-; ) e) [-; ] 51) (UFRGS) Na figura ao lado, a equação da reta é y = + 1, e, a da parábola, y = ² - - 3. A região hachurada é, então, formada pelos pontos (, y) tais que: a) b) 1 3 e 3 y 1 1 4 e 3 y 1 c) 1 3 e 3 y 1 d) 1 3 e 4 y 1 e) 1 4 e 1 y 3 5) (PUCRS) A representação que segue é da função f, dada por f() = a² + b + c, a 0. O valor de b 4ac a b c é: a) 0 b) 1 c) d) - e) -1 GABARITO 01 E 0 E 03 C 04 C 05 A 06 B 07 V(t) = 400 + t 08 E 09 D 10 18 11 C 1 F F F 13 D 14 51 15 1.000 16 C 17 E 18 A 19 A 0 1 8 1 E 93 3 A 4 D 5 B 6 B 7 10m 8 A 9 C 30 A 31 D 3 D 33 V V F V F 34 A 35 C 36 A 37 C 38 D 39 10 lugares vagos 40 D 41 C 4 E 43 D 44 A 45 E 46 10 0 47 E 48 D 49 D 50 E 51 B 5 A Intensivo 009 - M3