Revista Basileia de Ensino de ísica, v. 29, n. 2, p. 225-229, (2007) www.sfisica.og. Bola, taco, sinuca e física (Ball, cue, snooke and physics) Eden V. Costa 1 Instituto de ísica, Univesidade edeal luminense, Niteói, RJ, Basil Receido em 6/10/2006; Revisado em 23/3/2007; Aceito em 5/4/2007 A sinuca é um jogo familia ente os estudantes. Po isso, é conveniente utilizá-la como exemplo no estudo do movimento de um copo ígido, e, não apenas nos polemas de colisões, fontais e lateais, como quase sempe apaece nos textos dos livos didáticos de física ásica. Neste atigo, faemos a análise dos efeitos da tacada. Discutiemos a tacada alta, a tacada aixa e faemos a análise do movimento da ola-pojétil e da ola-alvo. Veemos que a altua do ponto onde o taco atinge a ola detemina o tipo de movimento executado. Podemos dize que a sinuca é um exemplo astante útil paa o estudo da dinâmica do copo ígido. Palavas-chave: copo ígido, colisões, sinuca, tacada alta e tacada aixa. Snooke is a familia game among students. Theefoe, it is convenient to use this game as an example fo studying the igid ody motion, and not only in the polems aout head-on and lateal collisions, as it is usually seen in the texts of asic physics in the didatic ooks. In this aticle, we ae going to analyse the effects of the cue on the all and discuss the high and the low cue and to do the analysis of the motion of the pojectile and taget alls. Then, we will show that the place on the all hit y the cue is decisive to the kind of motion which is acquied. We can say that snooke is a vey useful application to the study of igid ody dynamics. Keywods: igidy ody, collisions, snooke, high cue and low cue. 1. Intodução Os campeões de sinuca demonstam te conhecimento intuitivo da física envolvida neste jogo. Steve Davis [1], seis vezes campeão mundial, ao discuti qualitativamente o movimento da ola-pojétil e da ola-alvo, evela esse conhecimento. E mais, afima que muitos jogadoes talentosos não são vencedoes poque têm idéias confusas soe o movimento inicial da ola-alvo. Sendo assim, a análise da tacada, e a análise do movimento da ola-pojétil e da ola-alvo nos pemitem entende a física envolvida no jogo de sinuca. As equações do momento linea P e do momento angula L de uma esfea de massa m, aio e inécia otacional I em elação a um eixo que passa pelo cento de massa podem se escitas po P = mv cm e L = Iω. v cm é a velocidade de tanslação do cento de massa e ω é a velocidade angula da otação em tono de um eixo que passa pelo cento de massa. A velocidade v de um ponto da supefície petencente ao plano mediano vetical é dada po [2] 1 E-mail: eden@if.uff.. v = v cm + ω. (1) Na ig. 1 está epesentada uma ola de sinuca (ola-pojétil) inicialmente em epouso, imediatamente após se golpeada pelo taco com uma foça impulsiva hoizontal em um ponto do plano mediano vetical. O paâmeto de impacto é e a duação do contato é t. Os valoes iniciais das velocidades são v 0cm e ω 0. As intensidades do impulso tansmitido e do toque execido em elação ao cento de massa são, espectivamente, t e (- ). Saendo que e t = P, (2) = L t, (3) podemos esceve que Como I = 2m 2 /5, então t = mv 0cm, (4) t = Iω 0. (5) ω 0 = 5 2 v 0cm 2. (6) Copyight y the Sociedade Basileia de ísica. Pinted in Bazil.
226 Costa -0,5 igua 1 - Bola de sinuca de aio inicialmente em epouso, imediatamente após se golpeada po um taco com uma foça impulsiva hoizontal em um ponto do plano mediano vetical. O paâmeto de impacto é e a velocidade inicial de tanslação do cento de massa é v 0cm. Com as Eqs. (1) e (6) podemos detemina a velocidade inicial de deslizamento v 0 do ponto de contato da ola com a mesa, ( / ) -1,0-1,5-2,0-2,5 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 / ( v 0 = v 0cm 1 5 ). (7) 2 Na condição de olamento sem deslizamento (v 0 = 0), = 2/5. Se < 2/5 dizemos que a tacada é aixa. E ao contáio, quando > 2/5 dizemos que a tacada é alta. Com a Eq. (7) podemos detemina o intevalo de valoes possíveis paa a velocidade inicial de deslizamento: 3v 0cm /2 v 0 v 0cm (veja a ig. 2). ( ) 1,0 0,5-0,5-1,0-1,5 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 / igua 2 - Velocidade inicial v 0 de deslizamento do ponto de contato da ola com a mesa, medida em unidades de v 0cm. Paa / = 0,4, o olamento é sem deslizamento. As egiões 0 < / < 0,4 e 0,4 < / < 1 coespondem, espectivamente, à tacada aixa e à tacada alta. A velocidade angula inicial pode se deteminada po meio da Eq. (6). O intevalo de valoes possíveis é 5v 0cm /2 ω 0. No olamento sem deslizamento, ω 0 = v 0cm / (veja a ig. 3). igua 3 - Velocidade angula inicial ω 0, medida em unidades de (v 0cm /). Paa / = (0,4), o olamento é sem deslizamento. As egiões: 0 < / < 0,4 e 0,4 < / < 1 coespondem, espectivamente, à tacada aixa e à tacada alta. 2. Tacada aixa e tacada alta A tacada (alta ou aixa) ao povoca o deslizamento intoduz a foça de atito cinético µ c mg e o toque µ c mg. a) Na tacada aixa, v 0 tem o mesmo sentido de v 0cm. Potanto, a foça de atito diminui a velocidade de deslizamento e a velocidade de tanslação do cento de massa. ) Na tacada alta, o sentido de v 0 é oposto ao de v 0cm. Desta foma, a foça de atito tem o mesmo sentido da velocidade de tanslação do cento de massa. Logo, a foça de atito diminui a velocidade de deslizamento, mas, aumenta a velocidade de tanslação do cento de massa. Duante o deslizamento a esultante das foças é a foça de atito cinético. Po conseguinte, a aceleação do movimento de tanslação do cento de massa é constante e igual a µ c g. A aceleação angula α do movimento de otação em tono de um eixo que passa pelo cento de massa pode se deteminada po 2.1. Tacada aixa µ c mg = 2 5 m2 α, (8) α = 5 µ c g 2. (9) Vamos considea a ola em um instante t após uma tacada aixa. A velocidade do movimento de tanslação do cento de massa e a velocidade angula do movimento de otação em tono de um eixo que passa pelo cento de massa são dadas pelas expessões do movimento unifomemente vaiado
Bola, taco, sinuca e física 227 v cm = v 0cm µ c gt, (10) ω = ω 0 5 2 µ c g t. (11) () A velocidade v de deslizamento que pode se deteminada po meio da Eq. (1) é dada po v = v 0 7 2 µ cgt. (12) A velocidade v é nula no instante t = τ dado po (d) τ = 2v 0 7µ c g. (13) A pati deste instante a ola ola sem desliza e o atito é estático. Com as Eqs. (7), (10) e (13), podemos detemina a velocidade de tanslação do cento de massa. O esultado é v cm = 5 7 v 0cm ( + ). (14) Com as Eqs. (6), (7), (11) e (13), podemos detemina a velocidade angula da otação em tono de um eixo que passa pelo cento de massa. Otemos que ω = 5 v 0cm ( + ) 7 2. (15) Logo, paa t (2v 0 /7µ c g) podemos afima que: a) A ola ola sem desliza. A velocidade de tanslação do cento de massa e a velocidade angula de otação em tono de um eixo que passa pelo cento de massa são dietamente popocionais a (+), distância ente o ponto de impacto da tacada e o plano da mesa. ) A foça esultante é a foça de atito estático. Como ela não ealiza taalho a peda de enegia se dá devido ao atito de olamento e à esistência do a. A epesentação de algumas das possiilidades de movimento da ola-pojétil pode se vista na ig. 4. igua 4 - Velocidades iniciais de uma ola de sinuca de aio, imediatamente após se golpeada pelo taco com paâmeto de impacto. Tacada aixa ( = 0). v 0 = v 0cm e ω 0 = 0. () Rolamento sem deslizamento ( = 0, 4). v 0 = 0 e ω 0 = -v 0cm /. Rolamento sem deslizamento ( = 0, 4). v 0 = 0 e ω 0 = v 0cm /. (d) Tacada alta ( = ). v 0 = -1,5 v 0cm e ω 0 = -2,5 v 0cm /. Como uma aplicação vamos considea uma ola de sinuca de aio = 2,7 cm, uma tacada aixa extema ( = 0 e v 0 = v 0cm ), a velocidade inicial de tanslação do cento de massa v 0cm = 2,0 m/s e o coeficiente de atito cinético µ c = 0,57. Com estes dados, podemos taça o gáfico epesentado na ig. 5. Velocidade (m/s) 2,0 1,5 1,0 0,5 V cm V 0 5 0,10 0,15 0,20 Tempo (s) igua 5 - Velocidade de tanslação do cento de massa v cm e a velocidade v de deslizamento do ponto de contato com a mesa, paa uma tacada aixa extema ( = 0). 2.2. Tacada alta Nas condições de = 2,7 cm, tacada alta extema ( = e v 0 = - 3 v 0cm /2), v 0cm = 2,0 m/s e µ c = 0,57, a vaiação da velocidade de tanslação do cento de massa
228 Costa e a vaiação da velocidade de deslizamento do ponto de contato da ola com a mesa está epesentada na ig. 6. 3 V cm 2 Velocidade (m/s) 1 0-1 V () -2-3 0 5 0,10 0,15 0,20 Tempo (s) igua 6 - Velocidade de tanslação do cento de massa v cm e a velocidade v de deslizamento do ponto de contato com a mesa, paa uma tacada alta extema ( = ). 3. Colisões As olas de sinuca têm massas iguais. Então, em uma colisão fontal, elas tocam ente si as velocidades de tanslação do cento de massa. Como as olas são polidas e ígidas, podemos considea o coeficiente de atito ente elas despezível. Desta foma, duante a colisão, a ola pojétil não poduz toque soe a ola-alvo. Po isso, as velocidades angulaes não se alteam duante a colisão [3]. É impotante sae que no jogo de sinuca, a ola-alvo inicialmente está em epouso. A epesentação dos movimentos das olas (pojétil e alvo) imediatamente antes, imediatamente depois e ao atingi o olamento sem deslizamento pode se vista nas igs. 7 e 8. () igua 7 - Movimento das olas (pojétil e alvo) em uma colisão fontal. A ola-alvo, inicialmente, está em epouso. Imediatamente antes da colisão. () Imediatamente depois da colisão. Ao atingi o olamento sem deslizamento. O sentido de otação da ola-pojétil detemina o sentido da sua velocidade de tanslação. igua 8 - Movimento das olas (pojétil e alvo) em uma colisão fontal. A ola-alvo, inicialmente, está em epouso. Imediatamente antes da colisão. () Imediatamente depois da colisão. Ao atingi o olamento sem deslizamento. O sentido de otação da ola-pojétil detemina o sentido da sua velocidade de tanslação. 4. Conclusões Como a sinuca é um jogo comum ente os estudantes, entendemos se poveitoso tê-la como exemplo em algumas situações estudadas no movimento de um copo ígido. Sendo assim, podemos utilizá-la como exemplo de olamento sem deslizamento, olamento com deslizamento, deslizamento no mesmo sentido da tanslação do cento de massa e deslizamento em sentido contáio à tanslação do cento de massa. Estas possiilidades de movimentos são conseqüências da tacada aixa ou da tacada alta, isto é, dependem da altua do ponto onde a ola é golpeada. Tanto na tacada aixa quanto na tacada alta, o movimento da ola divide-se em dois egimes: o tansiente e o pemanente. Duante o egime tansiente, o olamento é com deslizamento até alcança o egime pemanente, quando a ola ola sem desliza. O caso paticula de tansiente nulo ocoe quando o taco atinge a ola no ponto onde a distância até o plano da mesa é igual a 1,4 vezes o aio da ola. Um fato que supeende e estimula poveitosas discussões é na tacada alta, quando o atito aumenta a velocidade de tanslação do cento de massa. Esta situação é incomum ente as apesentadas nos livos didáticos de física ásica. Nosso ojetivo foi a análise detalhada e cuidadosa dos conceitos ásicos envolvidos no movimento de uma ola de sinuca. Entendemos que a discussão apesentada, com o exame das possíveis implicações e com ênfase na compeensão dos aspectos essenciais, é poveitosa paa o entendimento da dinâmica de um copo ígido. E, cetamente, daá até as ases físicas necessáias paa um melho desempenho no jogo de sinuca.
Bola, taco, sinuca e física 229 Refeências [1] Steve Davis, The Successful Snooke (Chales Lettes Books, London, 1982). [2] H. Moysés Nussenzveig, ísica Básica - Mecânica (Editoa Edgad Blüche, São Paulo, 1996). [3] Alao Chaves, Mecânica (Reichmann & Affonso Editoes, Rio de Janeio, 2001).