Funções Trigonomérias.. Função Seno e Função Cosseno Função seno é a função f:, dada por f() = sen, al que sen é a ordenada do pono do aro orienado A, no ilo rigonomério, de origem A e eremidade om medida. Função osseno é a função f:, dada por f() = os, al que os é a absissa do pono do aro orienado A, no ilo rigonomério, de origem A e eremidade om medida. sen os (os, sen ) Sendo a função seno e osseno raadas, respeivamene, omo a ordenada e a absissa do pono ese assumirá onvenienemene os sinais segundo o sisema aresiano orogonal. (os, sen ) (-, +) (+, +) (-, -) (+, -) A de a. rese de a. rigonomeria De a o seno derese de a. e de - a. De a o seno res- Observe que pode oninuar a desloar-se no ilo indefinidamene, dando um número qualquer de volas. Noemos que o seno assumirá, em qualquer uma desas volas, os mesmos valores da primeira vola, dadas as mesmas ondições, ou seja, iso signifia dizer que a função f = sen repeese periodiamene de em. Noemos iso no seu gráfio, denominado senóide. - - eríodo da função seno 5 Uma função = f ( ) é periódia se emos números reais p ais que f = f ( p), para o do perenene ao domínio da função. Desa forma, o período p da função dada por f = b asen( m n) é dado por: p = m Oura araerísia imporane da função f = sen é que essa função é impar pois sen(- ) = -sen( ), para odo real. Caraerísias da Função Seno Caraerísias da Função Cosseno A função seno nuna assumirá valores maiores que e menores que -, aja viso que o raio do ilo rigonomério é (uniário). Desa forma a imagem da função seno esá ompreendida no inervalo fehado [-, ]. ara analisarmos o omporameno da função seno, imagine um pono desloando-se no senido ane-horário a parir da origem aé omplear uma vola. A função osseno nuna assumirá valores maiores que e menores que -, devido ao fao de que o raio do ilo rigonomério é (uniário). Desa forma a imagem da função osseno esá ompreendida no inervalo fehado [-, ]. ara analisarmos o omporameno da função osseno, imagine um pono, omo feio om a função seno, desloando-se no senido ane-horário a parir da origem aé omplear uma vola. De a o seno rese De a o seno de- De a o osseno de- De a o osseno de-
rigonomeria rese de a. rese de a -. De a o osseno De a o seno rese de a. rese de - a. Observe que aqui pode oninuar a desloarse no ilo indefinidamene, dando, ambém, um número qualquer de volas. Noemos que o osseno assumirá, em qualquer uma desas volas, os mesmos valores dos da primeira vola, dadas as mesmas ondições, ou seja, iso signifia dizer que a função f = os repee-se de em. Sendo, ambém, uma função periódia. Observe iso no seu gráfio, denominado ossenóide. f() = g A função angene ambém é periódia, porém, seu período, diferenemene das funções seno e osseno ujo período é, vale, ou seja, no ilo rigonomério, em ondições idênias, ela se repee em inervalos de em, veja a seqüênia abaio. De a o angene rese de aé +. De a o angene rese de - aé. - 5 - eríodo da função osseno O período p da função f = b aos( m n) é dado por: p = m Observe, ambém, que a função osseno é uma função par, ou seja, os(-) = os(), para odo real. Observe que, da primeira meia vola em diane a angene em o mesmo omporameno anerior, ou seja, ela se repee de meia em meia vola (de em ). Aompanhando o desrio aima podemos failmene onsruir o gráfio da função angene, omo eposo abaio: Comparação Enre as Funções Seno e Cosseno Noe que o gráfio da função osseno nada mais é do que o gráfio da função seno desloado de unidades na horizonal para a esquerda. Tal araerísia pode ser, de forma simples, raduzida maemaiamene assim: os() = sen, para odo. Noe esse fao na figura abaio. - - Função Tangene 5-5 Observe que a imagem da função angene é odo onjuno dos reais. O período de uma função angene qualquer f() = g (m n) é dado por: p = m É a função definida para dada por: k, k,
EXERCÍCIOS rigonomeria. Observe o movimeno da máquina indiada na figura. O O O d d d - Q Um moor gira a manivela O em orno do pono O. A eremidade desa manivela, ao girar, desloa-se denro do vão da peça, empurrando-a para ima ou para baio. Esse movimeno de vaivém verial é o únio que a peça pode efeuar, pois ela passa pelo inerior da peça d, que funionando omo guia, lhe impede os movimenos laerais. Vamos esudar o movimeno verial do pono Q (eremidade inferior da peça ) em função do empo, supondo que a manivela O enha m de omprimeno e gire no senido ani-horário a uma veloidade onsane de 5 roações por minuo e que no insane = a ordenada do pono Q seja =, onforme india a figura anerior. Tomando omo unidade a medida de m, podemos onsiderar a irunferênia desria pelo pono omo sendo uma irunferênia rigonoméria. Com base no eo, alule o que se pede: a) Qual o desloameno angular, em radianos do pono no insane = s? b) Em que insane o pono esará em uma posição siméria em relação à horizonal à posição do iem anerior? ) Qual a ordenada do pono Q no insane =? d) Enre o primeiro e ereiro segundos a ordenada de Q aumena ou diminui? E enre o seo e o nono segundo? e) Como seria o gráfio que represena o movimeno verial do pono Q em função do empo?. Um espeialisa, ao esudar a influênia da variação da alura das marés na vida de várias espéies em ero manguezal, onluiu que a alura A das marés, dada em meros, em um espaço de empo não muio grande, poderia ser modelada de aordo om a função: A(),6, sen. Nessa função, a variá- 6 vel represena o empo deorrido, em horas, a parir da meia-noie de ero dia. Nesse oneo, onlui-se que a função A, no inervalo [,], esá represenada pelo gráfio: Q Q. represena o gráfio da função definida por f() = aosb. Os valores de a e b são, respeivamene: a) e b) - e ) e d) - e e) - e - -
. Se f() a bsen() em omo gráfio - Enão: a) a=- e b= b) a=- e b= ) a= e b=- d) a= e b=- d) a= e b=- 5. Uma equipe de mergulhadores, denre eles um esudane de iênias eaas, observou o fenômeno das marés em deerminado pono da osa brasileira e onluiu que o mesmo era periódio e podia se aproimado pela epressão: 5 () os( ) 6 onde é o empo (em horas) deorrido após o iníio da observação (=) e () é a profundidade da água (em meros) no insane. 5 a) Resolva a equação os( ) para >. 6 b) Deermine quanas horas após o iníio da observação oorreu a primeira maré ala. 6. Esudando-se o fluo de água em um pono do esuário de um rio, deerminou-se que a água flui para o oeano na vazão v, em milhões de liros por hora, em função do empo, em horas, de aordo om a equação v() A Bsen(w) em que A,B e w são onsanes reais posiivas e. A vazão na qual a água do rio flui para o oeano varia por ausadas marés. Na maré baia, a água flui mais rapidamene, om vazão máima de milhões de liros por hora, e, na maré ala, ela flui mais lenamene, om vazão mínima de milhões de liros por hora. Nessa região, o empo enre duas marés ala é igual a horas e minuos. Com base nessas informações, esolha apenas uma das opções a seguir e faça o que se pede, desonsiderando, para efeio de maração na folha de resposas, a pare fraionária do resulado final obido, após efeuar os álulos soliiados. a) Calule o valor do oefiiene A. b) Calule o período, em minuos, da função v. ) Deermine o valor de, em minuos, quando h h, para o qual v() é máima. 7. A emperaura, em graus élsius (ºC), de uma âmara frigorífia, durane um dia ompleo, das rigonomeria hora às horas, é dada aproimadamene pela função: f () os os,. 6 om em horas. Deermine: a) a emperaura da âmara frigorífia às horas e às 9 horas (use as aproimações =, e =,7); b) em quais horários do dia a emperaura aingiu ºC. 8. A função ujo gráfio esá represenada na figura abaio é definida por: - a) sen b) os( / ) ) sen( / ) d).os( / ) e).sen() 9. o gráfio, na figura, é o a função f :. definida por: - a) f().sen() b) f().sen( / ) ) f().sen( / ) d) f().sen() e) f().sen(). O gráfio a seguir represena a função real f. a) f() os() b) f() os() ) f() os( ) d) f() os( ) e) f() os( )
. Na figura abaio se em represenada pare do gráfio de uma função rigonoméria f, de em. + rigonomeria - - - - Usando as informações dadas nesse gráfio, analise as afirmaivas seguines. () Tal gráfio é o da função dada por f() =.sen. () O período de f é. () f admie duas raízes no inervalo -,. () Se - < <, enão f() <. (5) O onjuno imagem de f é o inervalo -,.. Os dados relaivos aos rimos biológios podem, frequenemene, ser aproimados por urvas de funções rigonomérias. De modo a se ajusar aos dados, a função osseno (gráfio A) sofre algumas ransformações, omo as mosradas nos gráfios B, C e D. (A) (B) (C) = os p A parir dessas informações, julgue os iens. () A função represenada pelo gráfio B é: os ; () O período da função represenada pelo gráfio C é igual ao período da função = os aresido de. () O onjuno imagem da função represenada pelo gráfio D é [, + ].. Uma equipe de agrônomos oleou dados da emperaura (em ºC) do solo em uma deerminada região, durane rês dias, a inervalos de hora. A medição da emperaura omeçou a ser feia às horas da manhã do primeiro dia (=) e erminou 7 horas depois (=7). Os dados puderam ser aproimados pela função. H() 5 5sen( ), onde india o empo (em horas) deorrido após o iníio da observação e H() a emperaura (em ºC) no insane. a) Resolva a equação sen( ), para, b) Deermine a emperaura máima aingida e o horário em que essa emperaura oorreu no primeiro dia da observação. A função U, definida por U() = ros (ω - θ), desreve o desloameno no empo, de um bloo de massa m, preso na eremidade de uma mola, em relação à posição de equilíbrio, onforme a figura adiane. A posição de equilíbrio, nesse aso, é aquela em que U() =. A onsane ω depende apenas da mola e da massa m. As onsanes r e θ dependem da maneira omo o sisema é oloado em movimeno. Com base na siuação apresenada, julgue os iens que se seguem. equilíbrio posição iniial movimeno m m U() U( ) (D) m 5
rigonomeria () A função U em período igual a ( - θ). () No insane, o bloo esá novamene na ω posição iniial. () O maior desloameno do bloo, em relação à posição de equilíbrio, é igual a r. () Em qualquer inervalo de empo que enha duração igual a, o bloo passa pela posição ω de equilíbrio. 5. As figuras abaio, om seus respeivos esquemas, ilusram rês das posições assumidas pelo gingar feminino, mosrando que o balançar da pélvis feminina obedee a um ilo osilaório. ) e) d) GABARITO ) A) 6 Tal movimeno osilaório pode ser observado a parir da rea imaginária (r) que passa pelas duas risas ilíaas perpendiular à semi-rea imaginária (s) que, na ilusração, represena a oluna verebral. Quando a mulher se desloa no seu andar, a rea (r) osila em orno do enro C para ima e para baio, aompanhando o rimo da pélvis, onforme mosram as figuras om os respeivos esquemas. Admiindo que o movimeno se omplea a ada,5 segundo e que a função ( ) os represena a variação do ângulo em função do empo, assinale o esboço do gráfio dessa função no inervalo [ ;,5 ]. a) B) segundos. C) m D) subiu E) senoide ) A ) B ) D k 5 5) a),k b) hmin. 6) a) b)7 ) 9 7) a) para =,5 ºC para = 9,7 ºC b) = 8 = hora, = 8 = 8 horas, = 8 = 6 horas e = 8 = horas. 8) E 9) C ) B ) E E C E C ) E E C b) 6