Cálculo diferencial em IR n

Cálculo diferencial em IR n (Eercícios) DMAT Abril 2003

1 Eercícios propostos 1.1 Funções de IR n em IR m Eercício 1 Determine os domínios das funções seguintes e represente-os graficamente. 2 + 2 9 ; ln(+) 1. f (, ) = ³ 2. f (, ) =tan 2 ; 3. f (, ) =ln( 2 + 2 ) ³ ³ 4. f (, ) = ln 5. f (,, ) = ³ 1 4,+ ; sin, ln ( 1), Eercício 2 Construa os conjuntos de nível das seguintes funções: 1. f (, ) = + ; 2. f (, ) = 2 2 ; 3. f (,, ) = 2 + 2 + 2. Eercício 3 Escreva a equação da curva de nível de f que contém o ponto P indicado.. 1. f (, ) = arctan, P =(1, 4); 2. f (, ) =(2 + 2 ) e, P =(0, 2). Eercício 4 Represente graficamente em IR 3 os seguintes campos escalares: 1. f (, ) = p 1 2 2 ; 2. f (, ) = 2 + 2 ; 3. f (, ) = 2 2. 1

Eercício 5 Uma chapa plana de metal está situada num plano, demodo a que a temperatura T (em o C)noponto(, ) seja inversamente proporcional à distância à origem. 1. Descreva as curvas isotérmicas; 2. Sendo a temperatura no ponto P =(4, 3) de 40 o C, determine a equação dacurvaisotérmicaparaumatemperaturade20 o C. Eercício 6 Considere a tensão V no ponto (,, ) dada por p 2 +4 V = 2 +9 2. 6 1. Descreva as superfícies equipotenciais; 2. Determine a equação da superfície equipotencial V = 120. Eercício 7 Estabeleça a correspondência correcta entre os gráficos a) - f) e os conjuntos de curvas de nível das funções dadas por = f(, ). 2

a) d) b) c) e) f) a) d) b) c) e) f) 3

1. 4. 2. 5. 3. 6. 4

1.2 Elementos Topológicos em IR n Eercício 8 Determine o interior, o eterior, a fronteira, o fecho e o derivado de cada um dos conjuntos seguintes e indique quais são abertos e quais são fechados. Represente geometricamente os conjuntos correspondentes às alíneas 4, 5 e 6: 1. A =[ 1, 1[ ]2, 4[ {10, 11} ; 2. B =[0, 1] Q; 3. C = a n = 1 n+1 : n INª ; 4. D = (, ) IR 2 : ª ; 5. E = (, ) IR 2 : 2 + 2 2 =1 ª ; 6. F = (, ) IR 2 :3 2 +2 2 < 6 ª. 1.3 Limites e Continuidade em IR n Eercício 9 Prove, por definição, que e, em caso afirmativo in- Eercício 10 Averigue se eiste dique o seu valor. 1 lim sin =0. (,) (0,0) 2 + 2 lim 2 (,) (0,0) 2 + 2 Eercício 11 Calcule, caso eistam, os seguintes limites: 1. lim ; (,) (0,0) 2 + 2 ( ) 2. lim ; (,) (0,0) 4 + 4 2 ; (,) (0,0) 2 + 2 3. lim 4. lim 3 ; (,) (0,0) 2 ++ 2 4 4+4 ; (,) (0,2) 2 +( 2) 2 5. lim 5

3 3. (,) (0,0) 2 + 2 6. lim Eercício 12 Considere a função f : D IR 2 IR definida por 1. Determine D; f (, ) = 2. 2. Mostre que é possível prolongar f por continuidade à curva = e indique esse prolongamento. Eercício 13 Considere a função f :IR 2 IR definida por ½ n se (, ) 6= (0, 0) f (, ) = 2 + 2, com n IN. 0 se (, ) =(0, 0) Prove que, para n =1,fnão é contínua no ponto (0, 0) equeécontínuano mesmo ponto para n 2. Eercício 14 Seja f (, ) = log(1+). 1. Determine o domínio de f e represente-o graficamente; 2. Calcule, caso eista, lim f (, ); (,) (0,0) 3. Justifique que a funçãof é contínua em todos os pontos do seu domínio; 4. Prolongue a função f, por continuidade, ao ponto (0, 0). Eercício 15 Considere a função f : D IR 2 IR 2 definida por µ 1 f (, ) = sin 2 + 2,2 +. 1. Justifique que f é contínua no seu domínio; 2. Prolongue f, por continuidade, ao ponto (0, 0). 6

1.4 Cálculo Diferencial em Campos Escalares Eercício 16 Recorrendo à definição calcule as derivadas parciais das seguintes funções nos pontos indicados: 1. f (, ) = 2 + +4 3 em (0, 1); 2. g (, ) = ½ + se =0 =0 1 se 6= 0 6= 0 em (0, 0). Eercício 17 Recorrendo às regras de derivação determine as derivadas parciais das funções: 1. f (, ) =2 3 2 + 3 + ; 2. g (, ) = + 2 ; 3. h (, ) = q + ; ³ 4. w (, ) =2 sin 5. n (, ) =e 2 ; ; 6. m (, ) =ln cos 1. Eercício 18 Prove que a função f (, ) = ln ( 2 2 ) satisfa a equação 1 f + 1 f = f(,). 2 Eercício 19 Considere a função f : D IR 2 IR definida por f (, ) = 2 + 2 sin 1 p 2 + 2. 1. Faça um prolongamento por continuidade de f a IR 2 edesigne-oporg; 2. Calcule g 0 (0, 0) e g 0 (0, 0); 3. Determine g 0 e mostre que esta derivada é uma função descontínua na origem; 4. Prove que g é diferenciável na origem. 7

Eercício 20 Uma função f(, ) éharmónicase 2 f 2 + 2 f 2 =0 em todo o domínio de f. Prove que a função f(, ) =e cos + e cos éharmónica. Eercício 21 Mostre que w =cos( ) +ln( + ), satisfaaequação 2 w 2 w =0. 2 2 Eercício 22 Seja f(, ) = R 2 2 e t2 dt. Calcule f f (, ) e (, ). Eercício 23 Determine o vector gradiente dos seguintes campos escalares: ³ 1. f (, ) = arctan ; 2. f (, ) =e cos ; 3. f (,, ) =ln( 2 +2 2 3 2 ). Eercício 24 Calcule as derivadas dos seguintes campos escalares nos pontos e segundo os vectores que se indicam: 1. f (, ) = 2 + 2 sin () no ponto (π,π) e segundo o vector v =2e 1 e 2 ; 2. f (,, ) = 2 + 2 3 2 no ponto (1, 1, 0) e segundo o vector v = e 1 e 2 +2e 3. Eercício 25 Escreva as equações do plano tangente e da recta normal às seguintes superfícies nos pontos que se indicam: 1. = 2 + 2 no ponto (1, 2, 5); 2. 2 + 2 + 2 =2R no ponto (R cos a, R sin a, R), supondo R>0; Eercício 26 Em que pontos da superfície 2 ângulos iguais com os eios das coordenadas? + 2 + 2 a 2 b 2 c 2 =1a normal forma Eercício 27 Considere a superfície definida pela seguinte condição, f (, ) =4 2 2, e o ponto dessa superfície P =(1, 1, 2). 8

1. Determine e represente graficamente os conjuntos de nível f (, ) =0 e f (, ) =4; 2. Determine a equação do plano tangente e da recta normal à superfície no ponto P ; 3. Determine a equação do plano tangente e da recta normal ao gráfico de f no ponto (0, 0, 4). Eercício 28 Considere a superfície de equação 2 a + 2 2 b + 2 =1, a>2, b>2 e c>2. 2 c2 1. Determine 0, de tal forma que o ponto (1, 1, 0 ) pertença à referida superfície; 2. Determine a equação do plano tangente e da recta normal à superfície no ponto (1, 1, 0 ). Eercício 29 Suponha que uma montanha tem a forma de um parabolóide elíptico de equação = c a 2 b 2, onde a, b e c são constantes positivas, e representam a longitude e a latitude de cada ponto e a sua altitude, (,, em metros). 1. No ponto (1, 1), em que direcção aumenta mais rapidamente a altitude? 2. Se colocarmos um berlinde no ponto (1, 1), em que direcção começará a rolar? Eercício 30 Em algumas aplicações pode ser difícil calcular directamente f (, ). Usa-se às vees a aproimação seguinte para as componentes, em que h 0: f 0 f ( + h, ) f ( h, ) (, ) 2h f 0 f (, + h) f (, h) (, ). 2h 1. Mostre que essas aproimações melhoram quando h 0; 2. Se f (, ) = 3, aproime f (1, 2) tomando h =0, 01 ecomparea 1+ aproimação com o resultado eacto. 9

Eercício 31 A análise da temperatura de cada componente é fundamental para o planeamento de um chip de computador. Suponhamos que, para que um chip opere adequadamente, a temperatura de cada componente não deva eceder 78 F. Se um computador tende a aquecer, os engenheiros costumam colocar o chip numa parte fria do computador. O planeamento de chips é auiliado por simulação em computadores em que se analisam os gradientes da temperatura. Uma simulação para o novo chip resultou na tabela de temperaturas (em F ) eibida na seguinte figura: 6 62 62 65 63 61 5 62 67 69 65 64 4 63 70 70 69 67 3 65 66 72 74 76 2 61 67 73 80 75 1 60 60 71 76 72 0 60 60 63 65 69 mm 0 1 2 3 4 1. Se T (, ) éatemperaturaem(, ) utilie o eercício anterior com h =1para aproimar T (3, 3); 2. Estime a direcção da transferência máima de calor em (3, 3); 3. Estime a taa de variação instantânea de T na direcção de a = e 1 +2e 2 em (3, 3), sabendo que T é função diferenciável em (3, 3). 1.5 Cálculo Diferencial em Campos Vectoriais Eercício 32 Seja f :IR 2 IR 3 definida por Calcule f 0 (0, 1). f (, ) = 2 +2, e,+ e +. Eercício 33 Seja f :IR 2 IR 3 uma aplicação tal que f (0, 0) = (1, 0, 0) e f 0 (, ) = 2 6 sin cos. 0 1 1. Determine f (, ); 2. Calcule f 0 v(0, 0) onde v =2e 1 +3e 2. 10

Eercício 34 Seja f : IR 2 IR (t,u) f(t,u) de classe C1, satisfaendo f 0 t (0,e)=e e f 0 u (0,e)= 1. Sabendo que g (, ) =f (sin ( 2 ),e ),mostrequeg 0 (0, 1) +g 0 (0, 1) = 0. Eercício 35 Dada as funções F (u, v) e w = F (, ),mostreque: w + w w =22 F u. Eercício 36 Sejam f e g duas funções de classe C 1 tais que h (, ) =f ( +2)+g ( 2). Prove que: 2 h 1 2 h 2 4 =0. 2 Eercício 37 Se w = f (, ) em que = r cos θ e = r sin θ, mostreque: 2 w + 2 w 2 2 Eercício 38 Seja f :IR 3 IR 3, tal que f (,, ) = Determine (divf)(0, 1, 1) e (rotf)(0, 1, 1). = 2 w r + 1 2 w 2 r 2 θ 2 + 1 w r r. ³ e ++, p 2, Eercício 39 Sendo r = e 1 + e 2 + e 3 e a =a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 um vector constante, com a 1,a 2,a 3 IR, prove que: 1. rot (a r) =2a; 2. div (a r) =0. 1.6 Etremos Eercício 40 Determine os etremos das funções: 1. f (, ) = 3 +3 2 15 12; 2. f (, ) = 2 4 2 +3 4 ; 3. f (, ) = 4 + 4 2 2 +4 2 2 ; 11.

4. f (, ) = ( 2) ; 5. f (, ) = 4 2 2 + 2. Eercício 41 Ache o ponto do plano 3+4 =26que está mais próimo da origem. Eercício 42 Uma caia prismática sem tampa tem capacidade 256cm 3. Calcule as suas dimensões de modo que a sua área seja mínima. Eercício 43 Determine os etremos da função f (, ) =1 2 2 no domínio fechado D = (, ) : 2 + 2 1 e 0 1 2ª. Eercício 44 Determine os etremos relativos e absolutos da função f (, ) = 2 + 2 2, no conjunto limitado do 1 o quadrante definido pelas linhas + =1, =0e =0. Eercício 45 Determine os etremos da função f (,, ) = 2 + 2 + 2 condicionados pela relação 2 2 =1. Interprete geometricamente o problema. 12

2 Eercícios Complementares 2.1 Funções de IR n em IR m Eercício 46 Construa os conjuntos de nível das seguintes funções: 1. f (, ) = ; 2. f (,, ) = + + ; 3. f (,, ) = 2 + 2 2. Eercício 47 De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão P,ovolume V, e a temperatura T de um gás confinado estão relacionados pela fórmula PV = kt, para uma constante k. Epresse P como função de V e T e descreva as curvas de nível associadas a esta função. Qual o significado físico dessas curvas de nível? Eercício 48 A potência P gerada por um rotor eólico é proporcional ao produtodaáreaa varridapelaspásdorotoreàterceirapotênciadavelocidade v do vento. 1. Epresse P como função de A e v; 2. Descreva as curvas de nível de P e eplique o seu significado físico; 3. Quando o diâmetro da área circular varrida pelas pás é de 2m ea velocidade do vento é de 30Km/h então P = 3000 watts. Determine a equação da curva de nível P = 4000W. 2.2 Elementos Topológicos em IR n Eercício 49 1 Considere os seguintes conjuntos S IR n. Determine o interior, a fronteira, o eterior, o fecho e o derivado de S. Diga se S é aberto, fechado, limitado, compacto ou coneo. 1. S =]1, 5] ; 2. S = IR : = 1 n n INª ] 1, 0] ; 3. S = (, ) IR 2 : > 1 ª ; 1 pág. 85 do Cálculo Diferencial e Integral, Acilina Aenha e Maria Gerónimo, McGraw- Hill, 1995. 13

4. S é o domínio da função f (, ) =ln( 2 ); 5. S é o domínio da função f (, ) = p 2 sin 2 ; 6. S = (, ) IR 2 : π <<π / Q Q ª ; 7. S = (, ) IR 2 : π <<π / Q Q ª ¾ ½(, ) IR 2 : 2 < 2. 4 Eercício 50 Determine o interior, o eterior, a fronteira, o fecho e o derivado de cada um dos conjuntos seguintes e indique quais são abertos e quais são fechados. Represente geometricamente os conjuntos correspondentes às alineas 4, 5, 6 e 7: 1. A = { IR : 3 >} ; 2. B = 1+( 1) n n+1 n : n INª ; 3. C = { Q: +3 < 5} IR : é irracional 2 13 ª 4. D = (, ) IR 2 :1 2e3 4 ª ; 5. E = (, ) IR 2 : < 1e < 1 ª ; 6. F = (, ) IR 2 : = 2ª ; 7. G = (,, ) IR 3 : 2 + 2 + 2 1 < 0 ª. Eercício 51 Mostre que em IR as bolas abertas são intervalos abertos. Eercício 52 1. Mostre que a união de dois conjuntos abertos é ainda um conjunto aberto; 2. Mostre que a intersecção de dois conjuntos abertos é ainda um conjunto aberto; 3. Mostre que a intersecção infinita de abertos pode não ser um aberto; 4. Mostre que a união infinita de fechados pode não ser um fechado. 14

Eercício 53 1. Mostre que a união de dois conjuntos fechados é ainda um conjunto fechado; 2. Mostre que a intersecção de dois conjuntos fechados é ainda um conjunto fechado. Eercício 54 Mostre que a éaderenteas sse a qualquer bola de centro a pertencer um elemento de S. Eercício 55 Mostre que S é fechado sse S = S. Eercício 56 Mostre que A 0 Ā. 2.3 Limites e Continuidade em IR n Eercício 57 Considere a função f : D IR 2 IR definida por f (, ) = + 2. 1. Determine o domínio de f represente-o geometricamente; 2. Prove que não eiste lim f (, ). (,) (0,0) Eercício 58 Determine, justificando, o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções: 1. f (, ) = 2 5 +sin 2 +2; 2. f (, ) = ; 1 2 2 3. f (, ) = ½ 3 2 + 2 se (, ) 6= (0, 0) 0 se (, ) =(0, 0). Eercício 59 Considere a função definida em IR 2 \{(0, 0)} por f (, ) = 2 2 2 + 2. 1. Mostre que f não tem limite no ponto (0, 0) ; 15

2. Sendo g :IR 2 \{(0, 0)} IR 2 o campo vectorial cujas componentes escalares são definidas por g 1 (, ) =f (, ) e g 2 (, ) =e +,mostre que g é contínuo em todo o seu domínio e que não é possível prolongar g por continuidade ao ponto (0, 0). Eercício 60 Considere a função g : D IR 2 IR 3 definida por Ã! 2 g (, ) = p 2 +, 2 2 22 +5,. 2 + 2 1. Justifique que g é contínua no seu domínio; 2. Mostre que não é possível prolongar g, por continuidade, ao ponto (0, 0). Eercício 61 Considere o campo escalar definido por ( ³ 1 f (, ) = e 2 + 2 1 se 2 + 2 < 1 0 se 2 + 2 1. Calcule (,) lim ³ 2 2, 2 2 f(,) 2 + 2 1. Eercício 62 Estabeleça uma relação entre os números reais positivos p e q, de modo que a função f dada por ½ p q se (, ) 6= (0, 0) f (, ) = 2 ++ 2 0 se (, ) =(0, 0), seja contínua em (0, 0). Eercício 63 Considere a função f :IR 2 IR definida por ½ se 6= 0 f (, ) = 3 0 se =0. 1. Determine as curvas de nível da função f correspondentes aos valores 1 e 1, representando-as geometricamente; 2. Calcule o limite de f quando (, ) (0, 0) segundo a direcção da linha de equação = 3 ; 3. Que pode concluir sobre a continuidade da função f na origem? 16

Eercício 64 Considere o campo escalar definido por ( 0 se =0 =0 f (, ) = p 2 + 2 se 6= 0 6= 0. 1 arctan 1. Determine o seu maior domínio; 2. Determine o limite de f (, ) quando (, ) (0, 0) sobre as rectas = m; 3. Mostre que f (, ) não é contínua em (0, 0). Eercício 65 Seja f :IR 2 \{(0, 0)}, definida por f (, ) = 2 + 2. 1. Justifique a continuidade de f no domínio D e calcule o limite de f quando (, ) (0, 0); 2. Determine o prolongamento por continuidade de f ao ponto (0, 0); 3. Mostre que = 2 + 2 representa a equação do plano tangente à 4 4 ³ superfície = f (, ) no ponto 1, 1, 2. 2 2.4 Cálculo Diferencial em Campos Escalares Eercício 66 Considere o seguinte campo escalar f :IR 2 IR definido por f (, ) =5 2. 1. Mostre aplicando a definiçãoqueécontínuoem(0, 0); 2. Calcule as suas derivadas parciais a partir da definição; 3. Justifique a diferenciabilidade de f; 4. Calcule f 0 (1, 1); 5. Calcule a derivada de f segundo o vector (2, 3) no ponto (1, 1); 6. Calcule o gradiente de f em (1, 1); 7. Indique a direcção de maior crescimento de f em (1, 1); 8. Determine as equações do plano tangente e da recta normal à superfície do gráfico de f no ponto (1, 1, 5). 17

Eercício 67 Considere a função f :IR 2 IR definida por: ( 3 cos() se (, ) 6= (0, 0) f (, ) = 2 + 2 0 se (, ) =(0, 0). 1. Determine o seu domínio e verifiquequeécontinuanaorigem; 2. Calcule as derivadas parciais de f na origem; 3. Estude a função quanto à diferenciabilidade na origem; 4. Determine a derivada de f no ponto (0, 0) segundo um vector arbitrário; Eercício 68 Considere o seguinte campo escalar de IR 2 IR f (, ) = ln (). 1. Determine o seu domínio D e represente-o graficamente. Indique, justificando se é aberto, fechado ou nem aberto e nem fechado; 2. Será possível prolongar por continuidade f (, ) aos pontos dos eios coordenados? Justifique a resposta; 3. Calcule por definição f 0 (1, 2). Eercício 69 Escreva as equações do plano tangente e da recta normal às seguintes superfícies nos pontos que se indicam: 1. 2 + 2 2 =0no ponto (4, 3, 4); 16 9 8 2. 3 3 = a 3 em que =0e = a, coma 6= 0. Eercício 70 Determine a e b de modo que o plano +2 + =3seja tangente à superfície a + +3 2 + b 2 =2no ponto (1, 1, 0). Indique em seguida as equações cartesianas da recta normal à referida superfície no mesmo ponto. Eercício 71 Prove que a equação do plano tangente no ponto P 0 ( 0, 0, 0 ) da quádrica 2 + 2 + 2 =1é 0 + 0 + 0 =1. a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 Eercício 72 Seja f :IR IR contínua com f (3) = 4. Considere g (,, ) = Z 2 + 2 + 2 Calcule g g g (1, 1, 1), (1, 1, 1) e (1, 1, 1). 0 18 f (t) dt.

Eercício 73 Quando um poluente tal como o óido nítrico é emitido por uma chaminé de h metros de altura, a concentração C(, ) (em µg/m 3 )do poluente num ponto a km da chaminé e à altura de metros (ver figura) pode ser representada por C (, ) = a ( h)2 b e 2 2 + e (+h)2 b 2 em que a e b são constantes positivas que dependem das condições atmosféricas e da taa de emissão do poluente. Considere a = 200, b =0, 02 e h =10. Calcule e interprete C e C no ponto (2, 5). m ( ) (, ), h ( Km ) 2.5 Cálculo Diferencial em Campos Vectoriais Eercício 74 Considere os campos vectoriais diferenciáveis f (, t) =(u (, t),t) e g (u, t) =( (u, t),t), ambos definidos em IR 2 ecomvaloresemir 2. 1. Calcule a matri Jacobiana das aplicações f e g; 2. Calcule a matri Jacobiana da aplicação h = g f; 3. Calcule a derivada parcial h 2 (, t) e h 2 (, t). t Eercício 75 Seja f : D IR 2 IR definida por f (, ) = 1 ln( 2 + 2 ). 1. Determine D e faça a sua representação gráfica. Justifique cuidadosamente se f é prolongável por continuidade ao ponto (0, 1); 2. Represente graficamente as curvas de nível de f; 3. Indique a direcção de maior crescimento de f no ponto (1, 1) ecalcule f 0 v(1, 1) em que, v =(1, 1); 19

³ 1 4. Considere a função g (, ) = 1.Calcule(f g) 0 (2, 1). Eercício 76 Seja a função vectorial seguinte f : D IR 2 IR 2,definida por f (, ) =(e, cos ( 2 )). 1. Calcule a matri Jacobiana de f no ponto (1, 0); 2. Calcule a derivada dirigida de f no ponto (1, 0), segundo a direcção do vector v = e 1 + e 2 ; 3. Considerando g : IR 2 IR, diferenciável no ponto (1, 1) etalque g g h h (1, 1) = (1, 1) = 5, calcule (1, 0) e (1, 0), sabendo que u v h = g f. Eercício 77 Seja = 2 ln com = u v e =3u 2v. Calcule u e v. Eercício 78 Dada a função F (u, v), suponha w = F (, que 2 w + 2 w + 2 w =0. ). Mostre Eercício 79 Sejam f e g duas funções de classe C 1. Considerando h (, ) =f + g,proveque: h + h + 1 ³ g h (, ) =. Eercício 80 Considere o campo escalar diferenciável F (u, v) easeguinte função composta w = F (, ). Mostreque w + w =0. Eercício 81 Seja f : IR 2 IR uma função de classe C 1. Prove que u = 3 f, verifica a equação: u + u + u =3u. Eercício 82 Supondo que as funções envolvidas são suficientemente regulares, mostre que: 1. rot(f + g) =rot(f)+rot(g); 2. rot(fg) =(5f) g+frot(g); 3. div(f g) =g rotf f rotg; 4. rot(5f) =0; 5. div(rotg) =0. 20

3 Soluções 1.1: 1.2: D f = (, ) IR 2 : 2 + 2 9 > 6= 1 ª ; D f = ½ (, ) IR 2 : 6= 0 6= ¾ 2 (2k +1)π 2, com k ZZ ; 1.3: D f =IR 2 \{(0, 0)} ; 1.4: 1.5: D f = (, ) IR 2 :(>1 >4) ( <1 <4) ª ; D f = (,, ) IR 3 : >1 6= kπ, com k ZZ ª ; 2: -. 3.1: f(, ) =π; 3.2: f(, ) =4. 4: -. 5.1: círculos com centro na origem; 5.2: 2 + 2 =100. 6.1: 2 36c 2 + 42 36c 2 + 92 36c 2 =1,c6= 0e (0, 0, 0),c=0;6.2: 2 +4 2 +9 2 = 120 2. 7: 1-d); 2-e); 3-a); 4-c); 5-f); 6-b). 8.1: inta =] 1, 1[ ]2, 4[ ; eta =], 1[ ]1, 2[ ]4, 10[ ]10, 11[ ]11, + [; fra = { 1, 1, 2, 4, 10, 11} ; A =[ 1, 1] [2, 4] {10, 11} ; A 0 =[ 1, 1] [2, 4] ; A não é aberto nem fechado. 8.2: intb = ; etb =IR\ [0, 1] ; frb =[0, 1] ; B = B 0 =[0, 1] ; B não é aberto nem fechado. 21

8.3: intc = ; etc =IR\{C {0}} ; frc = {C {0}} ; C = C {0} ; C 0 = {0} ; C não é aberto nem fechado. 8.4: intd = (, ) IR 2 : > ª ; etd = (, ) IR 2 : < ª ; frd = (, ) IR 2 : = ª ; D = D 0 = D; D éfechadoenãoéaberto. 8.5: inte = ; ete = (, ) IR 2 :( 1) 2 + 2 6=2 ª ; fre = E = E 0 = E; E éfechadoenãoéaberto. 8.6: intf = F ; etf = (, ) IR 2 :3 2 +2 2 > 6 ª ; frf = (, ) IR 2 :3 2 +2 2 =6 ª ; F = F 0 = (, ) IR 2 :3 2 +2 2 6 ª ; F éabertoenãoéfechado. 9: -. 10: 0. 11.1: não eiste; 11.2: não eiste; 11.3: não eiste; 11.4: não eiste; 11.5: não eiste; 11.6: 0. 12.1: D = (, ) IR 2 : 0 6= ª ½ ; f (, ) se 0 6= 12.2: g (, ) = + se = ; 13: - 14.1: (, ) IR 2 : 6= 0 6= 0 > 1 ª ½ ; 14.2: 1; 14.3: -; f (, ) se (, ) Df 14.4: g (, ) = 1 se (, ) =(0, 0). 15.1: -; 15.2: g (, ) = ½ f (, ) se (, ) 6= (0, 0) (0, 0) se (, ) =(0, 0) 16.1: f 0 (0, 1) = 1 e f 0 (0, 1) = 2; 16.2: g 0 (0, 0) = 1 e g 0 (0, 0) = 1; 17.1: f 0 (, ) =6 2 2 + 3 e f 0 (, ) =4 3 +3 2 +1; 22

17.2: g 0 = 2 e g 0 (+ 2 ) 2 = 2 ; (+ 2 ) 2 17.3: h 0 = 2 +1 e h 0 = (2 1) 2 + ³ 17.4: w 0 =2sin 17.5: n 0 = 2e 2 17.6: m 0 = 1 18: -. 19.1: 2 + 2 cos ³ e n 0 = 2 tan 1 g (, ) = 2 ; 5 + 3 2 e 2 ; e w 0 = 22 2 e m 0 = 1 tan 1. ³ cos ; ½ f (, ) se (, ) 6= (0, 0) 0 se (, ) =(0, 0) ; 19.2: g 0 (0, 0) = 0 e g 0 (0, 0) = 0; 19.3: Ã! Ã! g 0 1 (, ) =2 sin p p 2 + 2 2 + cos 1 p ; 2 2 + 2 19.4: -. 20: -. 21: -. 22: f 0 (, ) = 2e 4 e f 0 (, ) =2e 4. 23.1: µ µ 5f (, ) = arctan + 2 +, 2 23.2: 5f (, ) =(e cos, e sin ); 23.3: µ 5f (,, ) = 2 2 +2 2 3 2, 4 2 +2 2 3 2, 2 2 + 2 ; 6. 2 +2 2 3 2 24.1: f 0 v (π, π) =4π + π 3 cos (π 2 ) 2π sin (π 2 ); 24.2: f 0 v (1, 1, 0) = 0. 25.1: 25.2: = 2 4 5 (eq. plano) 1 = 2 =5 (eqs. recta normal); 2 4 cos a + sin a = R (eq. plano) R cos a = R sin a e = R (eqs. recta normal). 2R cos a 2R sin a 23

26: P 1 = 1 a2 + b 2 + c 2 a 2,b 2,c 2 e P 2 = 1 a2 + b 2 + c 2 a 2,b 2,c 2. 27.1: L (0) = (, ) IR 2 : 2 + 2 =4 ª, L (4) = {(0, 0)}; 27.2: 2 +2 + =6(eq. plano); 1 = 1 = 2 (eqs. recta normal); 27.3: 2 2 q =4; =0 =0. 28.1: 0 = ±c 1 1 1 ; a 2 b 2 28.2: 1 a 2 + 1 b 2 + 0 c 2 = 1 (eq.plano), a 2 ( 1) 2 = b2 ( 1) 2 29.1: ( 2a, 2b); 29.2: (2a, 2b); 30.1: -. 30.2: = c2 ( 0 ) 2 0 f (1, 2) 1.00003333e 1 0.111112345e 2 ; f (1, 2) = e 1 1 9 e 2. (eqs.recta normal). 31.1: T (3, 3) 2, 11 2 ; 31.2: v = 2, 11 0 2 ; 31.3: T e a (3, 3) = 13 5. 32: f 0 (0, 1) = 2 0 e 0. e 1+e 33.1: f (, ) =( 2 3 2 +1,sin,); 33.2: fv 0 (0, 0) = 3e 3. 34: -. 35: -. 36: -. 37: -. 38: (divf)(0, 1, 1) = e 2 + 1 e (rotf)(0, 1, 1) = 2 (0,e2 1, e 2 ). 39: -. 40.1: (2, 1) é ponto de mínimo de f e ( 2, 1) é ponto de máimo de f; 40.2: nãoeistemetremos;40.3: 2, 2 e 2, 2 são pontos de mínimo de f; 40.4: a, a 1, a IR\{0} são pontos de mínimo de f; 40.5: (a, a 2 ), a IR são pontos de mínimo de f. 41: (3, 4, 1). 42: 8 8 4 cm 3. 24

43: (0, 0) é ponto de máimo de f e a, 1 a 2 i, a são pontos de mínimo de f. 44: (0, 0) é ponto de máimo de f. 45: ( 1, 0, 0) e (1, 0, 0) são pontos de mínimo de f. 1, 3 2 h i 3 h, 1 2 25

4 Soluções Eercícios Complementares 46.1: L (c) = (, ) IR 2 : >0 = c, c IR ª ; 46.2: L (c) = (,, ) IR 3 : + + = c, c IR ª ; 46.3: L (c) = (,, ) IR 3 : 2 + 2 2 = c, c IR ª. 47: P (V,T) = kt,v 6= 0;L(c) = (V,T) IR 2 : kt = c, V 6= 0,c IRª ; a V V pressão é constante, sendo a temperatura directamente proporcional ao volume. 48.1: P = kav 3,k > 0; 48.2: A pressão é constante, sendo a temperatura directamente proporcional ao volume; 48.3: Av 3 =36 10 3 π. 49.1: ints =]1, 5[ 6= S S não é aberto; frs = {1, 5} ; ets =], 1[ ]5, + [; S =[1, 5] = S 0 ; S 6= S S não é fechado; S é limitado, não é compacto e é coneo. 49.2: ints =] 1, 0[ 6= S S não é aberto; frs = { 1, 0} IR : = 1 n (n IN)ª ; ets =IR\ [ 1, 0] IR : = 1 n (n IN)ª ; S =[ 1, 0] IR : = 1 n (n IN)ª ; S 6= S S não é fechado; S 0 =[ 1, 0] S é limitado, não é compacto nem coneo. 49.3: ints = (, ) IR 2 : > 1 ª = S S éaberto; frs = (, ) IR 2 : =1 ª ; ets = (, ) IR 2 : < 1 ª ; S = S 0 = (, ) IR 2 : 1 ª ; S 6= S S não é fechado; S não é limitado, não é compacto nem coneo. 49.4: ints = (, ) IR 2 : 2 >0 ª = S S éaberto; frs = (, ) IR 2 : 2 =0 ª ; ets = (, ) IR 2 : 2 <0 ª ; S = S 0 = (, ) IR 2 : 2 0 ª ; S 6= S S não é fechado; S não é limitado, não é compacto e é coneo. 49.5: ints = (, ) IR 2 : 2 sin 2 >0 ª 6= S S não é aberto; frs = (, ) IR 2 : 2 sin 2 =0 ª ; ets = (, ) IR 2 : 2 sin 2 <0 ª ; 26

S = S 0 = (, ) IR 2 : 2 sin 2 0 ª ; S = S S é fechado; S não é limitado, não é compacto e é coneo. 49.6: ints = 6= S S não é aberto; frs = (, ) IR 2 : π π ª ; ets = (, ) IR 2 : < π >π ª ; S 0 = S = frs; S 6= S S não é fechado; S não é limitado, não é compacto e é coneo. 49.7: n o ints = (, ) IR 2 : 2 4 <2 < 2 6= S S não é aberto; n h ³ i frs = (, ) IR 2 : π 0 0 π 2 2 4 h ³ io >π = 2 = 2 ; 4 ets = (, ) IR 2 : < π ª n (, ) IR 2 : >π S = ints n frs 6= S S não é fechado; ³ S 2 o = S 0 = (, ) IR 2 : π π >π 2 4 2 ; S não é limitado, não é compacto mas é coneo. 50.1: inta =] 1, 0[ ]1, + [; eta =], 1[ ]0, 1[ ; fra = { 1, 0 1} ; A = A 0 =[ 1, 0] [1, + [; A éabertoenãoéfechado. 50.2: intb = ; etb =IR\ (B {0, 2}); frb = B {0, 2} ; B = B {0, 2} ; B 0 = {0, 2} ; B não é aberto nem fechado. 50.3: intc = 2, 2 ; etc =], 8[ 13, + ; frc = 8, 2 2, 13 ; C = C 0 = 8, 13 ; C não é aberto nem fechado. 50.4 D = (, ) IR 2 :(1 2) (3 4) ª intd = (, ) IR 2 :(1<<2) (3 <<4) ª ; ³ < 2 4 >2 o ; 27

etd = (, ) IR 2 : <1 >2 <3 >4 ª =IR 2 \S; frd = (, ) IR 2 :( =1 =2) 3 4 ª (, ) IR 2 :( =3 =4) 1 2 ª ; D = D 0 = D; D éfechadoenãoéaberto. 50.5: E = (, ) IR 2 : 1 <<1 1 <<1 ª inte = E; ete = (, ) IR 2 : < 1 >1 < 1 >1 ª ; fre = (, ) IR 2 :( = 1 =1) 1 1 ª (, ) IR 2 :( = 1 =1) 1 1 ª ; E = E 0 = (, ) IR 2 : 1 1 ª ; E éabertoenãoéfechado. 50.6: F = (, ) IR 2 : = 2ª intf = ; etf = (, ) IR 2 : 6= 2ª ; frf = F = F 0 = F ; F éfechadoenãoéaberto. 50.7: G = (,, ) IR 3 : 2 + 2 + 2 < 1 ª intg = G; etg = (,, ) IR 3 : 2 + 2 + 2 > 1 ª ; frg = (,, ) IR 3 : 2 + 2 + 2 =1 ª ; G = G 0 = (,, ) IR 3 : 2 + 2 + 2 1 ª ; G éabertoenãoéfechado. 51: -. 52.1: -; 52.2: -; 52.3: -; 52.4: -. 53.1: -; 53.2: -; 54: -. 55: -. 56: -. 57.1: D = (, ) IR 2 : + 2 6=0 ª = (, ) IR 2 : 6= 2ª ; 28

57.2: Sugestão: Considere = m. 58.1: IR 2 ; 58.2: (, ) IR 2 : 2 + 2 < 1 ª ; 58.3: IR 2 \{(0, 0)}. 59.1: Sugestão: Considere a recta = m; 59.2: -. 60.1: -; 60.2: -; 61: 0. 62: p + q>2. 63.1: (, ) IR 2 : = 3ª, (, ) IR 2 : = 3ª ; 63.2: 1; 63.3: descontínua. 64.1: IR 2 ; 64.2: 0; 64.3: -. 65.1: lim (,) (0,0) f (, ) =0; 65.2: g (, ) = 65.3: -. 66.1: -; 66.2: 66.3: -; 66.4: f =52 e f =10; f 0 (1, 1) = 5 10 ; ½ f (, ) se (, ) 6= (0, 0) 0 se (, ) =(0, 0) ; 66.5: f 0 v (1, 1) = 40; 66.6: 5f (1, 1) = (5, 10); 66.7: Direcção do vector (5, 10); 66.8: 5 +10 =10 e 1 5 = 1 10 = 5. 67.1: D f =IR 2 ; 67.2: f 0 (0, 0) = f 0 (0, 0) = 0; 67.3: f é diferenciável em (0, 0); 67.4: f 0 v (0, 0) = 0, v IR 2. 68.1: D = (, ) IR 2 : 6= 1 > 0 ª ; D éabertoenãoéfechado; 68.2: Éprolongável,pois lim f (, ) = (,) (0,) 68.3: f 0 (1, 2) = 69.1: 69.2: ln 2 1 ln 2 2. lim f (, ) = (,) (,0) lim f (, ) =0; (,) (0,0) 2 + 2 = 0 (eq. plano), 3 2 8 = 3 9 =4 (eqs. recta normal); 2 + = a (eq. plano), = + a = a (eqs. recta normal). 29

70: a = b =1;eqs. da recta: 1= 1 =. 2 71: -. 72: g g g (1, 1, 1) = (1, 1, 1) = (1, 1, 1) = 8. 73: C 36, 58 (µg/m3 ) /m é a taa segundo a qual a concentração varia na direcção horiontal no ponto (2, 5); C 0, 229 (µg/m3 ) /m éataa segundo a qual a concentração varia na direcção vertical no ponto (2, 5). 74.1: u u J f (, t) = t 0 1 J g (u, t) = u t ; 0 1 74.2: J h (, t) = u u u u t + t 0 1 74.3: h 2 =0e h 2 =1. 75.1: D = (, ) IR 2 : 2 + 2 6=1 2 + 2 6=0 ª e f não é prolongável; 75.2: -; 75.3: Direcção do vector v = µ 1 ln 2 (2), 1 ln 2 (2) 75.4: (f g) (2, 1) = (0, 0). 76.1: J f (1, 0) = ³ 2 0 76.2: fv 0 (1, 0) =, ; 76.3: h 2 77: u v 78: -. 79: -. 80: -. 81: -. 82: -. ; e f 0 v (1, 1) = 2 ln 2 (2) ; 0 1 0 0. h (1, 0) = 0 e (1, 0) = 5. 2u ln (3u 2v) 3u 2 = + v 2 3uv 2 2v ; 3 = 2u2 ln (3u 2v) v 3 + 2u 2 3uv 2 2v 3. 30