Universidade Federal de Campina Grande - UFCG Centro de Ciências e Tecnologias Agroalimentar - CCTA Unidade Acadêmica de Ciências e Tecnologia Ambiental - UACTA Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Vetorial Professor: Paulo Pamplona RETA Lista de Eercícios 02: Reta, Plano, Cônicas e Quádricas 01) Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(2,-3,4) e B(1,-1,2) e verificar se os pontos C(/2,-4,) e D(-1,3,4) pertencem a r. 02) Escrever equações paramétricas da reta que passa por A(1,2,3) e é paralela à reta r : (, y, z) = (1, 4, 3) + t(0, 0, 1). 03) Dada a reta r : = 2 + t y = 3 t z = 4 + 2t, determinar um ponto de r tal que: a) a ordenada seja 6 b) a abscissa seja igual a ordenada c) a cota seja o quádruplo da abscissa. 04) Obter equações reduzidas na variável, da reta a) que passa por A(4,0,-3) e tem direção de v = (2, 4, ); b) que passa pelos pontos A(1,-2,3) e B(3,-1,-1); c) dada por r : = 2 t y = 3t z = 4t. 0) Dada a reta r : y = 2 + 3 z = 1, determinar o ponto de r tal que: a) a ordenada seja 9 b) a abscissa seja o dobro da cota c) a ordenada seja o triplo da cota. 06) Determinar o ângulo entre as seguintes retas: a) r 1 : = 2 t, y = t, z = 3 2t e r 2 : 2 = y + 6 = z 1 1 1 ; b) r 1 : y = 2 + 3, z = 2 e r 2 : y = z + 1 = 4; 1 07) Determine o valor de m para que as retas r 1 e r 2 sejam ortogonais, onde r 1 : = 2mt 3, y = 1 + 3t, z = 4t e r 2 : = 2y 1, z = y + 4. 08) Determinar equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(0,0,0) e é simultaneamente ortogonal às retas r 1 : 2 = y 1 = z 3 e r 2 : = 3t, y = t + 1, z = 2. 2 09) Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção: a) r 1 : y = 2 3, z = + e r 2 : y = 3 + 7, z = + 1; 3 b) r 1 : = y + 1 2 3 = z 2 e r 2 : = 1 + t, y = 4 t, z = 8 + 3t. 4 10) Determinar um ponto da reta r : = 2 + t, y = t, z = 1 + 2t, que seja equidistante dos pontos A(2,-1,-2) e B(1,0,-1). 11) Determinar os pontos da reta r : = 2 + t, y = 1 + 2t, z = 3 + 2t, a) que distam 6 unidades do ponto A(2,1,3); b) que distam 2 unidades do ponto B(1,-1,3). 12) Dados o ponto A(3,4,-2) e a reta r : = 1 + t, y = 2 t, z = 4 + 2t, a) determinar equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r; b) calcular a distância de A a r; c) determinar o ponto simétrico de A em relação a r.
2 PLANO 13) Dado o plano π : 3 + y z 4 = 0, calcular: a) O ponto de π que tem abscissa 1 e ordenada 3 b) O ponto de π que tem abscissa 0 e cota 2 c) O valor de k para que o ponto P(k,2,k-1) pertença a π d) O valor de k para que o plano π 1 : k 4y + 4z 7 = 0 seja paralelo a π. 14) Escrever uma equação geral do plano que satisfaz as seguintes condições: a) é paralelo ao plano π : 2 3y z + = 0 e contém o ponto A(4,-2,1); b) é perpendicular à reta r : = 2 + 2t, y = 1 3t, z = 4t e contém o ponto A(-1,2,3); c) possui as seguintes equações paramétricas = 1 + h 2t, y = 1 t, z = 4 + 2h 2t; d) passa pelos pontos A(-3,1,-2) e B(-1,2,1) e é paralelo à reta r : 2 = z 3, y = 4; e) passa pelos pontos A(1,-2,2) e B(-3,1,-2) e é perpendicular ao plano π : 2 + y z + 8 = 0; f) contém a reta r : = 2 + t, y = 1 t, z = 3 + 2t e é perpendicular ao plano π : 2 + 2y 3z = 0; g) contém o ponto A(4,1,1) e é perpendicular aos planos π 1 : 2+y 3z = 0 e π 2 : +y 2z 3 = 0; h) contém as retas r 1 : = 1+2t, y = 2+3t, z = 3 t e r 2 : = 1 2t, y = 2 t, z = 3+2t; i) contém o ponto A(4,3,2) e a reta r : = t, y = 2 t, z = 3 + 2t; j) passa por A(-1,2,) e é perpendicular a interseção de π 1 : 2 y+3z 4 = 0 e π 2 : +2y 4z+1 = 0; + 2y + z 1 = 0 k) que contém o ponto A(3,-2,-1) e a reta r : 2 + y z + 7 = 0. 1) Dado o plano π : 3 2y z 6 = 0, determinar um sistema de equações paramétricas de π. 16) Escrever uma equação geral e equações paramétricas do plano determinado pelos pontos: a) A(1,0,2), B(-1,2,-1) e C(1,1,-1) b) A(2,0,-1), B(-2,6,3) e C(0,3,4). 17) Determinar o ângulo entre os planos π 1 : 2y + z 6 = 0 e π 2 : 2 y z + 3 = 0. 18) Dados a reta r : = 3 + t, y = 1 + 2t, z = 4t e o plano π : m y 2z 3 = 0, determinar o valor de m de modo que: a) r//π b) r π. 19) Verificar se a reta r : y = 4 + 1, z = 2 1 está contida no plano π : 2 + y 3z 4 = 0. 20) Escrever equações reduzidas, na variável, da reta interseção dos planos π 1 : 3 y + 2z 1 = 0 e π 2 : + 2y 3z 4 = 0. 21) Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π, onde r : = 3t, y = 1 2t, z = t e π : 2 + 3y 2z 7 = 0. 22) Escrever equações paramétricas da reta que: a) passa por A(,2,3) e é perpendicular ao plano π : 2 + y + z 3 = 0; b) passa por A(-1,0,2) e é paralela a cada um dos planos π 1 : 2+y +z +1 = 0 e π 2 : 3y z = 0. 3 y z = 0 3y + z + 3 = 0 23) Mostrar que as retas r 1 : e r 2 : são paralelas e escrever uma equação geral do plano determinado por estas 8 2y 3z + 1 = 0 3 y z + = 0 retas. CÔNICAS 24) Dada a parábola abaio, determinar o foco, uma equação da diretriz e construir o gráfico. a) 2 = 4y b) y 2 = 6 c) 2y 2 9 = 0 d) y = 2 16.
3 2) Determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz, uma equação do eio e esboçar o gráfico da parábola dada abaio: a) 2 + 4 + 8y + 12 = 0 b) y 2 + 4y + 16 44 = 0 c) 4y = 2 8 4. 26) Obter uma equação e esboçar o gráfico da parábola que satisfaça as seguintes condições: a) vértice V(0,0) e diretriz y=-2; b) foco F(0,-1/4) e diretriz 4y-1=0; c) vértice V(2,-1) e foco F(,-1); d) vértice V(4,1) e diretriz y+3=0; e) foco F(-7,3) e diretriz +3=0; f) vértice V(4,-3), eio y=0 e passa por P(2,1); g) foco F(0,0), eio y=0 e passa por A(3,4); h) foco F(0,-1), eio =0 e passa por A(4,2). 27) Dada a parábola de equação y = 2 + 4 +, determinar o vértice, as interseções com os eios coordenados, o foco, uma equação da diretriz e esboce o gráfico. 28) Obter uma equação geral da parábola dada pelas equações paramétricas a) = t + 1 y = t2 3 2 b) = t2 4 + 4 y = t. 29) Uma família de parábolas tem equação y = a 2 + b + 8. Se uma delas passa pelos pontos (1,3) e (3,-1), determinar: a) os pontos de interseção com o eio dos ; b) os pontos de ordenada 1; c) equações paramétricas desta parábola. 30) Determinar os vértices, os focos, a ecentricidade e esboce o gráfico das elipses abaio: a) 2 2 + y2 4 = 1 b) 2 + 2y 2 = 2 c) 4 2 + 9y 2 = 2. 31) Determinar a equação reduzida, o centro, os vértices A 1 e A 2, os focos a ecentricidade e esboçar o gráfico da elipse dada em cada caso abaio: a) 9 2 + 16y 2 36 + 96y + 36 = 0 b) 4 2 + 9y 2 24 + 18y + 9 = 0. 32) Obter uma equação e esboçar o gráfico da elipse que satisfaça as seguintes condições: a) focos F (±4, 0) e eio maior igual a 10; b) focos F (0, ±) e eio menor igual a 10; c) focos F (±3, 0) e vértices A(±4, 0); d) focos F (0, ±3) e ecentricidade 3/2; e) centro C(1,4), um foco F(,4) e ecentricidade 2/3; f) focos F 1 (2, 1) e F 2 (2, ) e eio maior igual a 10; g) vértices A 1 ( 7, 2) e A 2 ( 1, 2) e eio menor igual a 2; h) centro C(0,1), um vértice A(0,3) e ecentricidade 3/2. 33) Obter equações paramétricas da elipse de equação dada: a) 2 + 4y 2 = 4 b) 9( 1) 2 + 2(y + 1) 2 = 22. 34) Obter uma equação geral da elipse dada pelas equações paramétricas a) = cos θ y = senθ b) = 2 + 4 cos θ y = 3 + 2 senθ. 3) Determinar os vértices, os focos, a ecentricidade, as equações das assíntotas e esboce o gráfico das hipérboles abaio: a) 2 4 y2 9 = 1 b) 162 2y 2 400 = 0 c) 4 2 y 2 + 20 = 0 d) 2 9y 2 = 1. 36) Determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos a ecentricidade, as equações das assíntotas e esboçar o gráfico da hipérbole dada em cada caso abaio: a) 9 2 4y 2 18 16y 43 = 0 b) 2 4y 2 + 6 + 24y 31 = 0. 37) Obter uma equação e esboçar o gráfico da hipérbole que satisfaça as seguintes condições: a) focos F (±, 0) e vértices A(±3, 0); b) focos F (0, ±4) e eio real de medida 2; c) vértices A(0, ±2) e assíntotas y = ±/4; d) centro C(3,2), um foco F(-1,2) e um vértice A(1,2); e) vértices em (3,-2) e (,-2) e um foco em (7,-2); f) focos F 1 ( 6, 1) e F 2 (0, 1) e eio real medindo 4.
4 38) Obter equações paramétricas da hipérbole de equação dada: a) 2 4y 2 = 4 b) 3 2 y 2 + 18 + 18 = 0. 39) Obter uma equação geral da hipérbole dada pelas equações paramétricas a) = 4 sec θ y = 2 tan θ b) = 2 + 3 tan θ y = 1 + 4 sec θ. QUÁDRICAS 40) Determine a equação geral e esboce o gráfico da superfície esférica de centro C(2, 3, 1) e raio 2. 41) Determine o centro, o raio e esboce o gráfico da superfície esférica cuja equação geral é 2 + y 2 + z 2 2 + 6y + 9 = 0. 42) Coloque as equações das quádricas em sua forma canônica e diga qual o tipo de superfície é representada pela quádrica. Esboce o gráfico. a) 36 2 + 9y 2 + 16z 2 144 = 0 b) 2 + 4y 2 z = 0 c) 2 + y 2 z 9 = 0 d) 4 2 y 2 + 4z = 0 e) 9 2 + 9y 2 4z 2 36 = 0 f) 3 2 2y 2 + 3z 2 6 = 0 g) 2 + y 2 z 2 = 0.
Respostas Questão 01: (,y,z)=(2,-3,4)+t(-1,2,-2), C r e D r. Questão 02: =1, y=2, z=3+t. Questão 03: a) (-1,6,-10), b) (/2,/2,-3), c) (-4,9,-16). Questão 04: a) y=2-8 e z=/2-13, b) y=/2-/2 e z=-2+ c) y=-3+6 e z=-4+3. Questão 0: a) (3,9,2) b) (2,7,1) c) (6,1,). Questão 06: a) 60 o b) 30 o. Questão 07: m=-7/4. Questão 08: =2t, y=6t, z=-t. Questão 09: a) (2,1,3) b) (1,2,-2). Questão 10: (7/4,-1/4,-3/2). Questão 11: a) (4,,7) e (0,-3,-1) b) (17/9,7/9,2/9) e (1,-1,1). Questão 12: a) =3-2h, y=4, z=-2+h b) 20 c) (-,4,2). Questão 13: a) (1,3,2) b) (0,6,2) c) k=1/2 d) k=-12. Questão 14: a) 2-3y-z-13=0 b) 2-3y+4z- 4=0 c) 2-2y-z+4=0 d) 3-12y+2z+2=0 e) -12y-10z-=0 f) -7y-4z+17=0 g) +y+z-6=0 h) -2y+4z-21=0 i) -9y-z+33=0 j) 2-11y-z+49=0 k) 2+3y+z+1=0. Questão 1: Eistem infinitos. Um deles é =t, y=h, z=-6+3h-2t. Questão 16: a) 3+6y+2z-7=0 e =1-2h, y=2h+t, z=2-3h-3t b) 3+2y-6=0 e =2-4h-2t, y=6h+3t, z=-1+4h+t. Questão 17: π/3. Questão 18: 10 e -1/2. Questão 19: sim. Questão 20: y=-11+11, z=-7+6. Questão 21: (6,-3,-2). Questão 22: a) =+2t, y=2+t, z=3+t b) =2t-1, y=3t, z=-7t+2. Questão 23: 4+2y-3z+=0. Questão 24: a) F(0,-1) e y=1 b) F(3/2,0) e 2+3=0 c) F(9/8,0) e 8+9=0 d) F(0,4) e y+4=0. Questão 2: a) 2 = 8y, V(-2,-1), F(-2,-3), y=1, =-2 b) y 2 = 16, V(3,-2), F(-1,-2), =7, y=-2 c) 2 = 4y, V(4,-), F(4,-4), y=-6, =4. Questão 26: a) 2 = 8y b) 2 = y c) y 2 + 2y 12 + 2 = 0 d) 2 8 16y + 32 = 0 e) y 2 6y + 8 + 49 = 0 f) y 2 + 6y + 8 23 = 0 g) y 2 4 4 = 0 h) 2 4y 8 = 0. Questão 27: V(2,9); (-1,0), (,0), (0,); F(2,3/4); 4y-37=0. Questão 28: a) 2 2 3y = 0 b) y 2 4 + 16 = 0. Questão 29: a) (2,0) e (4,0) b) (-1,1) e (7,1) c) =t+3 e y = t 2 1. Questão 30: a) A(±, 0), F (± 21, 0) 21 e e = b) A(±, 0), F (±2 6, 0) e e = 2 6 c) A(±/6, 0), F (± /6, 0) e e = 3. Questão 31: a) 2 16 + y 2 9 = 1, C(2,-3), A 1( 2, 3), A 2 (6, 3), F (2 ± 7 7, 3) e e = b) 2 4 9 + y 2 4 = 1, C(3,-1), A 1 (6, 1), A 2 (0, 1), F (3 ±, 1) e e = 3. Questão 32: a) 92 + 2y 2 = 22 b) 2 2 + y 2 0 = 0 c) 7 2 + 16y 2 112 = 0 d) 4 2 + y 2 12 = 0 e) 2 + 9y 2 10 72y 31 = 0 f) 2 2 + 16y 2 100 64y 236 = 0 g) 2 + 9y 2 + 8 36y + 43 = 0 h) 4 2 + y 2 2y 3 = 0. Questão 33: a) = 2 cos θ, y = sen θ b) = 1 + cos θ, y = 1 + 3 sen θ. Questão 34: a) 2 + y 2 2 = 0 b) 2 + 4y 2 4 24y + 24 = 0. Questão 3: a) A(±2, 0), F (± 13, 0), 13 e = e y = ± 3 41 2 2 b) A(±, 0), F (± 41, 0) e e = e y = ± 4 c) A(0, ±2), F (0, ±3), e = 3 2 e y = ± 2 10 d) A(±1, 0), F (± 10/3, 0), e = e y = ± 1 2. Questão 36: a) 3 3 4 y 2 9 = 1, C(1,-2), A 1 ( 1, 2), A 2 (3, 2), F (1 ± 13 2 13, 2), e =, 3-2y-7=0 e 3+2y+1=0 b) 2 4 y 2 1 = 1, C(-3,3), A 1 (, 3), A 2 ( 1, 3), F ( 3 ±, 3), e =, -2y+9=0 e +2y-3=0. Questão 37: a) 2 16 2 9y 2 144 = 0 b) 1y 2 2 1 = 0 c) 16y 2 2 = 64 d) 3 2 y 2 18 + 4y + 11 = 0 e) 8 2 y 2 64 4y+116 = 0 f) 2 4y 2 +30+8y+21 = 0. Questão 38: a) = 2 sec θ, y = tan θ b) = 3+ 3 sec θ, y = 3 tan θ. Questão 39: a) 2 4y 2 16 = 0 b) 16 2 9y 2 64+18y+199 = 0. Questão 40: 2 + y 2 + z 2 4 + 6y z + 10 = 0 Questão 41: C(1, 3, 0) e r = 1 Questão 42: a) Elipsóide b) Parabolóide Esférico c) Parabolóide Elíptico d) Parabolóide Hiperbólico e) Hiperbolóide de uma folha f) Hiperbolóide de duas folhas g) Cone Elíptico.