Função polinomial de 2º grau

Função polinomial de 2º grau 1

Função polinomial de 2º grau Definição: Uma função chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com, tais que para todo Os coeficientes a, b, c da função quadrática ficam inteiramente determinados pelos valores que essa função assume. Noutras palavras, se para todo então. 2

Um problema muito antigo O estudo das funções quadráticas tem sua origem na resolução da equação do segundo grau. Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônios há quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois números conhecendo sua soma S e seu produto P. 3

Um problema muito antigo Em termos geométricos, este problema pede que se determinem os lados de um retângulo conhecendo o semi-perímetro S e a área P. Os números procurados são as raízes da equação do segundo grau. Achar as raízes da equação é, também, um conhecimento milenar. 4

Um problema muito antigo Até o fim do século XVI, não se usava uma fórmula para os valores das raízes, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isto começou a ser feito a partir de François Viète, matemático Francês que viveu de 1540 a 1603. Antes disso, o que se tinha era uma receita que ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numéricos. 5

Um problema muito antigo A regra para achar dois números cuja soma e cujo produto são dados era assim enunciada pelos babilônios: Eleve ao quadrado a metade da soma, subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da diferença. Some ao resultado a metade da soma. Isso dará o maior dos números procurados. Subtraia-o da soma para obter o outro número. 6

Um problema muito antigo Na notação atual, esta regra fornece as raízes para a equação. Os autores dos textos cuneiformes não deixaram registrado o argumento que os levou a esta conclusão. 7

Um problema muito antigo Como os dados S e P do problema eram sempre números positivos, os babilônios nunca tiveram preocupação com eventuais soluções negativas fornecidas por sua regra. Apesar de provavelmente ter situações que os levavam a resultados negativos, eles não inventaram os números complexos. Nestes casos eles diziam simplesmente que os números não existiam. O que é absolutamente correto no âmbito dos números reais. 8

Um problema muito antigo Os números complexos só vieram a forçar sua admissão na Matemática no século XVI, com a fórmula para as raízes da equação do terceiro grau, que fornecia as raízes reais por meio de uma expressão contendo raízes quadradas de números negativos. 9

Um problema muito antigo Se procurarmos dois números cuja soma é 6 e cujo produto é 9, encontraremos que esses números são 3 e 3. Então é um número só; não são dois. Para não ter que acrescentar ao enunciado do nosso problema a frase... Ou um número cujo dobro é S e cujo quadrado é p, prefere-se seguir o costume, que se adota em Matemática desde aqueles tempos, segundo o qual a palavra dois às vezes significa dois ou um. Quando quisermos garantir que significa dois mesmo, diremos dois números diferentes. O mesmo se aplica para três, quatro, etc. 10

Forma Canônica do Trinômio Considere o trinômio 11

Forma Canônica do Trinômio A forma apresentada abaixo do trinômio de 2º grau é conhecida como forma Canônica ou 12

Forma Canônica da função polinomial de 2º grau Se, então 13

Zeros ou raízes da função quadrática Os valores de x para os quais a função quadrática se anula, isto é,, denominam-se zeros da função quadrática. Portanto, as soluções da equação do 2º grau nos fornecem os zeros ou raízes de. 14

Zeros ou raízes da função quadrática. Recorrendo à forma canônica, temos: 15

Discriminante Se >0, a equação tem duas raízes reais e distintas, ; Se =0, a equação tem duas raízes reais e iguais, ; Se <0, a equação não raízes reais,. 16

Significado geométrico dos zeros Geometricamente, os zeros da função quadrática são os pontos onde a parábola intercepta o eixo das abscissas. 17

Vértice 18

Vértice 19

Vértice 20

Concavidade Se a>0, então c.v.c. Essa concavidade determina que a função quadrática tenha ponto de mínimo. Se a<0, então c.v.b. Essa concavidade determina que a função quadrática tenha ponto de máximo 21

Gráfico da função quadrática Para construirmos o gráfico da função quadrática, recomenda-se as seguintes informações: I) Concavidade II) Zeros (caso existam) III) Coordenadas do vértice IV) Coordenadas de outros pontos 22

Taxa de variação da função quadrática A taxa de variação de uma função afim: Num intervalo [x,x+h], com, é dado por: No caso de uma função quadrática como f(x)=ax 2 +bx+c,, temos: f(x+h)=a(x+h) 2 +b(x+h)+c=a(x 2 +2xh+h 2 )+bx+bh+c f(x+h)=ax 2 +2axh+ah 2 +bx+bh+c 23

Taxa de variação da função quadrática Então: f(x+h) - f(x)= ax 2 + 2axh + ah 2 + bx + bh + c - ax 2 bx c f(x+h) - f(x)= 2axh + ah 2 + bh Assim, temos: Quando h se aproximar de zero, a taxa de variação se aproximará de 2ax+b 24

Aplicações de função polinomial de 2º grau 1.Um ponto material se movimenta segundo a função horária a) construa o gráfico da função; b) Indique entre que instantes, o movimento é acelerado e retardado. 25

Aplicações de função polinomial de 2º grau 2.A energia potencial elástica armazenada numa mola esticada é dada pela expressão, onde k é a constante elástica da mola e x é o comprimento do alongamento da mola. a) Para k=10 u, qual o número que exprime o valor de sua energia potencial, para um alongamento de 2 u. b) De quanto está esticada a mola quando a sua energia potencial é de 125 u e k = 10u. 26

Aplicações de função polinomial de 2º grau 3. Uma pedra é lançada verticalmente para cima. A altura (h) em relação ao solo é dada em metros e o tempo (t) após o lançamento em segundos. Nestas condições, a equação que define este movimento é: Pede-se: a) o gráfico da função; b) o instante em que a pedra atingirá sua altura máxima; c) a altura máxima que a pedra vai atingir; d) o intervalo de tempo em que o movimento será retardado; e) o intervalo de tempo em que o movimento será acelerado. 27

Aplicações de função polinomial de 2º grau 4. Determine a largura e o comprimento de uma piscina retangular, sabendo-se que o seu perímetro é 36 metros e que a área útil deve ser a máxima. 5. Determine o momento fletor máximo de uma viga, que se comporta segundo a lei num intervalo de 0 a 5 metros. 28

Aplicações de função polinomial de 2º grau 6. Para fazer um galinheiro, uma pessoa vai usar um muro existente no local e 12 m de tela, acompanhando 3 lados de um retângulo. Ela pretende que a área cercada seja a maior possível. Qual é essa área máxima e quais são as dimensões desse galinheiro? 7. Resolva o exemplo anterior supondo que uma parte da tela também será usada, perpendicularmente ao muro, para dividir o galinheiro em duas partes? 8. No exemplo anterior seria preferível usar a tela divisória paralelamente ao muro? 29

Aplicações de função polinomial de 2º grau 10.Um grupo de abelhas, cujo número era igual à raiz quadrada da metade de todo o enxame, pousou sobre um jasmim, tendo deixado para trás 8/9 do enxame; apenas uma abelha voava ao redor de um loto, atraída pelo zumbido de uma de suas amigas que caíra imprudentemente na armadilha da florzinha de doce fragrância. Quantas abelhas formavam o enxame? 30

Aplicações de função polinomial de 2º grau 11.As pessoas que participaram de um banquete trocaram apertos de mãos. Um dos serviçais notou que foram 435 cumprimentos e que 2/3 dos convidados eram mulheres. Quantos homens estavam presentes? 31

Aplicações de função polinomial de 2º grau 12. 17 m de arame são suficientes para cercar apenas 3 lados de um terreno retangular de 36 de área. Quais são as dimensões do terreno? 13. Juntos, dois quadrados ocupam uma área de 296 O lado de um deles tem 4 m a mais que o do outro. Quanto mede o lado do quadrado maior? 14. Para cobrir dois pisos são necessários 200 de azulejos. Um piso tem 3 m a mais de comprimento do que de largura. O outro piso mede de largura o mesmo que o primeiro mede de comprimento, e tem 3m de comprimento a mais do que o primeiro piso. Quais são as dimensões de cada piso? 32

Aplicações de função polinomial de 2º grau 15. De um enxame de abelhas, 1/5 dirige-se a uma flor de lótus, 1/3 a uma bananeira. Um número igual a três vezes a diferença entre os dois números precedentes, oh, bela de olhos de gazela, voa em direção a uma árvore. Por fim, uma outra abelha, indecisa, voa errante para lá e para cá nos ares, atraída ao mesmo tempo pelo delicioso perfume do jasmim e do pândano. Diga-me, oh, minha encantadora, quantas abelhas existem? 33

Aplicações de função polinomial de 2º grau 16. Gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo de energia em energia elétrica. Se a potência P (em watts) que um certo gerador lança num circuito elétrico é dada pela relação, em que i é a intensidade da corrente elétrica que atravessa o gerador, determine o número de watts que expressa a potência P quando i= 3 ampères. 34

Aplicações de função polinomial de 2º grau 17. Os diretores de um centro esportivo desejam cercar um quadra de basquete retangular e outros aparatos esportivos que estão a sua volta com tela de alambrado. Tendo recebido 200 metros de tela, os diretores desejam saber quais devem ser as dimensões do terreno a cercar com tela para que a área seja a maior possível. 35

Aplicações de função polinomial de 2º grau 18. A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola, supondo que sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por,determine: a) Em que instante a bola atinge a altura máxima? b) Qual é a altura máxima atingida pela bola? c) Quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo 36

Aplicações de função polinomial de 2º grau 19. Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L=R-C. e, que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que e. Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? 37

Aplicações de função polinomial de 2º grau 20. De acordo com a Lei de Poiseuille, a velocidade do sangue num ponto a r cm do eixo central de um vaso sangüíneo é dada pela função em cm/s, em que C é uma constante e R é o raio do vaso. Supondo, para um determinado vaso, que, Calcule: a) A velocidade do sangue no eixo central do vaso sangüíneo; b) A velocidade do sangue no ponto médio entre a parede do valor e o eixo central. 38

Aplicações 20.Um carro sai de A para B e outro de B para A, simultaneamente, em linha reta, com velocidades constantes e se cruzam em um ponto situado a 720m do ponto de partida mais próximo. Completando a viagem, cada um deles pára por 10 min e regressa, com a mesma velocidade da ida. Na volta, cruzam-se em um ponto situado a 400m do outro ponto de partida. Qual a distância de A até B? 39

A Resolução x B 10min A V A x - 720 720 m B A 10min 400 m x - 400 V B B 40

Resolução O tempo gasto para o primeiro encontro é o mesmo 41

Resolução 42

Resolução 43

Resolução 44

Aplicações de função polinomial de 2º grau 21. De acordo com a Lei de Poiseuille, a velocidade do sangue num ponto a r cm do eixo central de um vaso sangüíneo é dada pela função em cm/s, em que C é uma constante e R é o raio do vaso. Supondo, para um determinado vaso, que, Calcule: a) A velocidade do sangue no eixo central do vaso sangüíneo; b) A velocidade do sangue no ponto médio entre a parede do valor e o eixo central. 45