UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA MEDIDAS DESCRITIVAS Departamento de Estatística Tarciana Liberal
As medidas de posição apresentadas fornecem a informação dos dados apenas a nível pontual, sem ilustrar outros aspectos referentes à forma como os dados estão distribuídos na amostra. As medidas de dispersão são utilizadas para avaliar As medidas de dispersão são utilizadas para avaliar o grau de variabilidade, ou dispersão, dos valores em torno da média.
Exemplo: Notas de três turmas de Cálculo das Probabilidades - UFPB Observações importantes i) As três turmas possuem a mesma média. ii) As notas estão distribuídas sob diferentes formas. iii) A média resume o conjunto de dados apenas posição central. iv) A média não fornece informações sobre a variabilidade dos dados. Solução: Apresentar junto da média uma medida que sumarize a variabilidade do conjunto de dados.
Amplitude Total: Uma forma simples de medir a dispersão em um conjunto de observações é através da amplitude total: AT = Verifica-se que a amplitude como medida de dispersão é limitada. Essa medida só depende dos valores extremos, ou seja, não é afetada pela dispersão dos valores internos EXEMPLO: Calcule as amplitudes das notas das turmas.
A variância é definida como a média aritmética do quadrado dos desvios, definidos por X i X. Dessa forma, Para dados não agrupados: Na prática não conhecemos toda a população.logo, utilizamos a variância amostral,dada por:
b) Para dados agrupados: σ ( X ) i µ = N f i Na prática não conhecemos toda a população. Logo, utilizamos a variância amostral,dada por: ou Obs: X i é o ponto médio das classes. ( X f ) EXEMPLO: Obtenha a variância das notas da turma de Cálculo das probabilidades: S = X i f i n 1 i n i
Desvio Padrão: O desvio padrão mede o desvio de cada uma das observações X i em relação à média, e é definido da seguinte forma: σ = σ (Desvio Padrão Populacional) S = S (Desvio Padrão Amostral) Esta definição vale tanto para dados agrupados como para dados não agrupados. Importante: O desvio padrão é uma medida de variabilidade expressa na mesma unidade de medida da variável. EXEMPLO: Obtenha o desvio padrão das notas das turmas.
Coeficiente de Variação: É uma medida relativa de dispersão, útil para comparar a variabilidade de observações com diferentes unidades de medida. É definida por: CV σ = 100 µ S (populacional) CV = 100 (Amostral) x É adimensional e freqüentemente expresso em percentagem. Exemplo: VALORES MÉDIA D.P. C.V. 1 - - 3 1 0,5 100-00 - 300 00 100 0,5 101-10 - 103 10 1 0,01 EXEMPLO: Obtenha o desvio padrão das notas das turmas.
Exemplo: Na tabela abaixo encontra-se a estrutura do produto interno bruto do Brasil, em bilhões de reais, segundo as atividades econômicas. a) Em qual dos setores ocorre a maior variabilidade? PERÍODO AGROPECUÁRIA INDÚSTRIA SERVIÇOS 00 6,6 7,1 66,3 003 7,4 7,8 64,8 004 6,9 30,1 63 005 5,7 9,3 65 006 5,5 8,8 65,8 007 5,6 7,8 66,6
EXEMPLO: O Diretor de uma empresa deseja analisar os salários de seus funcionários. Os salários dos funcionários do sexo feminino estão apresentados a seguir: SALÁRIO 455 700 710 730 880 005 No Funcionários 1 4 3 5 1 Sabe-se que os salários médios dos homens é de 850,00 com variância de 50000,00, salário mediano de 60,00 e salário mais freqüente de 710,00. a) Encontre os salários médio, mediano e modal das mulheres. Qual dessas medidas é mais adequada para representar este conjunto de dados? Porque? b) Encontre a variância e o coeficiente de variação dos salários das mulheres. Interprete os resultados. c) Qual classe (homens ou mulheres) ganha melhor? Justifique baseado em todas as medidas calculadas. d) O diretor resolveu conceder um abono de 80,00 para todos os funcionários devido às horas extras trabalhadas. Haverá alterações nos salários médios de homens e mulheres? Para quanto? E as variâncias serão alteradas? Para quanto? (utilize as propriedades da esperança e variância)
EXEMPLO: Uma fábrica classifica operários de acordo com os graus obtidos em testes de aptidão. Os dados estão abaixo: NOTAS No de Operários 0 --- 6 --- 4 10 4 ----6 3 6 --- 8 11 8 --- 10 8 a) Calcule o grau médio obtido pelos operários; b) O operário que tirar nota acima de receberá um prêmio. Um operário para receber esta menção deverá ter tirado quanto? c) Com base nos dados da tabela calcule a nota acima da qual se situam 50% dos operários.