Física Módulo 1
Nesa aula... Movimeno em uma dimensão Aceleração e ouras coisinhas
O cálculo de x() a parir de v() v( ) = dx( ) d e x( ) x v( ) d = A velocidade é obida derivando-se a posição em relação ao empo; geomericamene, a velocidade é o coeficiene angular da rea angene à curva da posição versus empo no insane considerado. O deslocameno é obido pela ani-derivação (ou inegração) da velocidade; geomericamene, o deslocameno é a área sob a curva da função velocidade versus empo.
Algumas inegrais imporanes f () a f ( ) + b g( ) a=consane F ( ) a F( ) + bg( ) a n, n 1 n+ 1 / ( n + 1) sinω cosω / ω ω cosω e λ 1 sinω / e λ / ln λ
Aceleração Quando a velocidade insanânea de uma parícula se alera com o empo, diz-se que a parícula esá acelerada. A aceleração média sobre um cero inervalo de empo = - 1, se define como a razão v/, onde v=v -v 1 a m v v v 1 = = 1 As dimensões da aceleração são as de comprimeno dividido por (empo). No SI, a unidade é dada em m/s. Se a velocidade for consane (não se alerar com o empo), a aceleração é nula, pois v = para qualquer.
Aceleração média v() Aceleração média enre e + é dada por θ v( ) a m = = gθ v() a m θ v = gθ = v +
Aceleração Insanânea A aceleração insanânea é o limie da razão v/, quando ende a zero v() θ v dv a = lim = gθ d rea angene à curva da velocidade A aceleração insanânea é a derivada da velocidade em relação ao empo, ou seja, a axa de variação da velocidade (v) em relação ao empo ()
Aceleração insanânea Conceio a = lim v = dv d Derivada Lembrando que v = dx d Subsiuindo v em a, emos a dv d dx d x = = d d = d d Derivada segunda Se a velocidade for consane (não se alerar com o empo), a aceleração é nula, pois v = para qualquer.
Aceleração consane O movimeno de uma parícula com aceleração consane (uniformemene acelerado) é um movimeno comum na naureza. Um exemplo é a aceleração da gravidade (9,81 m/s ) Uma aceleração consane significa que o coeficiene angular da curva de v conra é consane, ou seja varia linearmene com o empo. Assim, podemos escrever que a = v v Se = e v( ) = v, a velocidade pode ser escria como: v = v + a
Aceleração consane Se a parícula esiver em x, no insane =, o deslocameno da parícula x = x x, é dado por x = v Noe que nese movimeno (aceleração consane) a velocidade média pode ser escria como 1 vm = ( v + v ) Subsiuindo v m, o deslocameno é enão m 1 x = vm = ( v + v )
Aceleração consane 1 x = vm = ( v + v ) Podemos eliminar v da equação acima subsiuindo Assim, eremos que Que simplificando fornece v = v + 1 x = ( v + v + a ) x = x + v + a a Função posição
Aceleração consane x = x + v + a Podemos ainda eliminar da equação acima uilizando = ( v v ) / a O que nos dá v v a v v x = x + v + a a Rearranjando e resolvendo* para v, podemos ober que v = v + a( x x ) Equação de Torricelli* Para que serve? Calcular v final de uma parícula quando não possuímos o, mas x. Exemplo: Calcular v final de uma pedra que cai de uma cera alura x.
Resumo: aceleração consane Resumindo, se a aceleração for consane, podemos aplicar as seguines equações ao movimeno de parículas: v = v + a 1 x = v ( ) m = v + v 1 x = x x = + v + a v = v + a x x ( )
A aceleração da gravidade O exemplo mais comum de aceleração (aproximadamene) consane é a queda (ou a subida) de um corpo próximo a superfície da Terra. Próximo à superfície da Terra a inensidade de g é de g = 9,8 m/s As equações com aceleração consane podem ser aplicadas a queda livre, considerando subsiuindo a aceleração a por g, o que implica que a aceleração para baixo é negaiva (no eixo y).
Corpos em queda livre Galileu mosrou que os corpos caem com a mesma velocidade, independenemene de sua massa: conseqüências de uma aceleração consane! Enreano, é necessário levar em cona ouras forças, como por exemplo, a resisência do ar. Pense no caso de um pára-quedas. : )
Resumo: aceleração consane (-g) As equações de movimeno para o caso de aceleração da gravidade -g são (ao longo do eixo y): ( ) ( ) v v y y y y g v v g v y y g v v + + = = + = = 1 1 g y
O cálculo de v() a parir de a() Ese é novamene o problema inverso. Ele é análogo ao cálculo do deslocameno a parir da velocidade. Considere inicialmene o caso de aceleração consane. Enão, v v = a( ) Noe que a(- ) é a área sob a curva da aceleração a() = consane em função do empo. Ese ambém é um resulado geral. Para demonsrá-lo, usaremos que para inervalos de empo muio curos podemos escrever v = a( ) onde a() é a aceleração insanânea no insane. a ( ) a v = Área = a.
O cálculo de v() a parir de a() Dividimos o inervalo (- ) em um número grande N de pequenos inervalos. a() a( i ) v a( ) i i i i i v = a( ) No limie N e : i a() i v v = a ( ) d
O cálculo de v() a parir de a() a( ) dv( ) = = gθ d e v( ) v a( ) d = A aceleração é obida derivando-se a velocidade; geomericamene, a aceleração é o coeficiene angular da rea angene à curva da velocidade versus empo no insane considerado. A velocidade é obida pela ani-derivação (ou inegração) da aceleração; geomericamene, a variação de velocidade é a área sob a curva da função aceleração versus empo.
Passeios de carro como exercício... a) Um carro poene acelera de aé 9km/h, num inervalo de 5s. Qual é a aceleração média nese período? Compare com a aceleração da gravidade (9,81 m/s ) b) Um carro se move a 45 km/h no insane =. A sua aceleração é consane e igual a 1km/h.s. Qual a sua velocidade no insane =s? c) Um carro, com velocidade de 3m/s (aproximadamene 1km/h), dá uma freada para parar. Se a aceleração na freada for -5m/s, qual a disância (disância de frenagem) que o carro percorrerá anes de parar? d) Ouro carro (não o mesmo de cima...) colide conra um muro de concreo a uma velocidade de 1 km/h. Quano empo leva o carro para ficar em repouso e qual sua aceleração durane a colisão? Assuma que a disância de frenagem foi de,75m. Compare com g. p.s. Ninguém foi ferido durane a realização deses problemas...
Próxima reunião... hp://www.gpcmb.ufma.br/seimacher