Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo 3A Lista Eercício : Verifique o teorema de Gauss para o campo vetorial F,,),,) no sólido limitado pelas superfícies + e. olução: O esboço do sólido está representado na figura que se segue. n n Vemos que, orientada positivamente. Logo, F nd F n d + F n d. Cálculo de F n d Temos : f,), com,) : +, n k e d +f ) +f ) dd ++dd dd. Então: Cálculo de F n d,,),,)dd A) π 6π. F n d
Cálculo 3A Lista 8 Temos : + g,), com,) : +. Um vetor normal a é dado por N g, g,),,) que está voltado para cima. Como n aponta para baio então n,, ) + +. Temos d N dd + + dd. Então: F n d,, + ),, )dd + ) dd + ) dd. Passando para coordenadas polares, temos: F n d r rdrdθ rθ π [ r 3 r dθdr π ] 8π. Então: F nd 6π +8π π. Por outro lado: 3 3 div F dv 3 dv 3 ) dd 3 ) π r r 3 dθdr 6π rθ + ddd r ) rdrdθ [r r ] 6π8 ) π. Eercício : Calcule o fluo do campo vetorial F através da superfície aberta, onde F,,) +e ) i + +sen ) j + + ) k e :,, com tendo componente positiva. olução: O esboço da superfície aberta está representado na figura que se segue.
Cálculo 3A Lista 8 Para aplicar o Teorema de Gauss, devemos considerar a superfície fechada, onde é dada por :,,) : + com k e também temos que: d + ) + ) dd ++dd dd. eja o sólido limitado por. Logo,. n Pelo Teorema de Gauss, temos F d + F d div F dv + + ) dv. Passando para coordenadas esféricas, temos: + + ) dv ρ ) ρ senφ dρdφdθ ρφθ π/ 6π [ senφ π ρ dθdρdφ π ] π/ cosφ 6π. π/ [ ρ senφ ] dφ
Cálculo 3A Lista 8 Cálculo de F d Temos: F d +e,+sen,+ ),, ) d Logo, A ) π ) π. F d 6π +π 6π. Eercício 3: Calcule F d, onde F,,) i + +e cos ) j + + ) k e é definida por 9 + ), ;, + e 8 3 + ), +, com n eterior a. olução: A superfície não é fechada e pode ser visualiada na figura que se segue. 8 3 3 Como div F +, vamos usar o teorema de Gauss. Para isso, é necessário fechar através da superfície, porção do plano com + 9, orientada com k.
Cálculo 3A Lista 83 3 3 n eja o sólido limitado por e. Como está orientada positivamente, podemos aplicar o teorema de Gauss. Temos então, F d div F ddd ddd ou F d + F d. Mas F d, +e cos, + ),, ) d d onde é dada por, com,) : + 9, e, k. Logo: ) ) dd d + + ++ dd dd. Então: F d dd em coordenadas polares) Logo: π 3 r 3 cos θ drdθ 3 3 π 8π. π F d 8π. cos θ dθ
Cálculo 3A Lista 8 Eercício : Calcule o fluo do campo 3 ) F,,) 3 +, 3 3, 3 3 + através da superfície do sólido definido por {,,) R 3 ; + +, + + ), + } com campo de vetores normais a apontando para fora de. olução: A figura que se segue mostra o sólido. Como estamos nas condições do teorema de Gauss, temos: F d div F ddd + + ) ddd ρ ρ senφ dρdφdθ ρφθ ρφθ ρ senφ dρdφdθ onde ρφθ {ρ,φ,θ) R 3 ; θ π, φ π }, ρ cosφ.
Cálculo 3A Lista 8 Então: F d π π/ cosφ ρ senφ dρdφdθ π π/ π π/ [ ρ senφ π 6 6 π π ] cosφ dφdθ cos φsenφ senφ ) dφdθ [ 6 cos6 φ+cosφ ) 6 + ] π/ 6 7 ) 8 + π ) 3 + π dθ ) π + 6 dθ ) 3 7 + 3 89+3 ). Eercício : eja T o tetraedro de vértices O,,), A,,), B,6,) e C,,). ejam a superfície lateral de T constituída pelas faces de T que não estão no plano e F,,) 3 +, +, +) um campo vetorial de R 3. Calcule rot F d, com a normal eterior a. olução: A figura que se segue mostra o tetraedro T. C A B 6 Notemos que T onde é a porção do plano, limitada pelo triângulo de vértices O, A e B. Considere o vetor unitário normal a igual a k. Como T está orientada positivamente, podemos aplicar o teorema de Gauss. Temos: rot F nd div rot F ddd T
Cálculo 3A Lista 86 B A n 6 pois divrot F conforme observação importante) ou rot F nd + rot F d. Temos: rot F i j k 3 + + +,, 3),, ). Logo: Portanto, rot F d,, ),, ) d d A ) 6. rot F d. Eercício 6: eja a superfície cônica de vértice,,h) e de base situada no plano com raio e com a componente k não negativa. eja F,,),,) i,,) j + +) k sendo f,,) de classe C. Calcule o fluo de F através de. olução: A superfície não fechada pode ser visualiada na figura a seguir.
Cálculo 3A Lista 87 h Como tem a componente k não negativa, então é eterior a. Temos: div F f f + pois f é de classe C e portanto, vale aqui o teorema de chwart. Para aplicarmos o teorema de Gauss, devemos considerar o sólido limitado por e porção do plano, com +, orientada com k. Temos então: F d + F d div F ddd Mas: V) 3 π h πh 3. F d Logo: ),,),,,), +),, )d )d A ) π. F d π 3 h+3). Eercício 7: eja Q uma carga elétrica localiada na origem. Pela Lei de Coulomb, a força elétrica F,,) eercida por essa carga sobre uma carga q localiada no ponto,,) com vetor posição
Cálculo 3A Lista 88 X é F X) εqq 3X onde ε é uma constante. Considere a força por unidade de carga εq EX) F X) q 3X εq,,) + + ) 3/ que é chamada campo elétrico de Q. Mostre que o fluo elétrico de E é igual a πεq, através de qualquer superfície fechada que contenha a origem, com normal apontando para fora se. Esta é a Lei de Gauss para uma carga simples. olução: eja uma superfície fechada contendo a origem. eja a região sólida limitada por. Como não está contida no domínio de E, R 3 {,,)}, então não podemos aplicar o Torema de Gauss no cálculo de E d. Então consideremos uma esfera : + + a, com a > tal que. n eja a região sólida limitada por e. Logo dom E. Temos. eja a normal a apontando para o interior de. Como está orientada positivamente, podemos aplicar o Teorema de Gauss. Temos então, E d div E ddd
Cálculo 3A Lista 89 ou E d + E d div E ddd. Verifique que div E. Então: E d E d E ) d. Cálculo de E ) d e aponta para o interior de então aponta para o eterior de. Logo,,). a Então: E εq,,),,) n ) d d + + ) 3/ a εq a + + + + ) 3/ d εq a εq a A) εq a πa πεq. a εq d d a ) 3/ a Eercício 8: eja f : R 3 R de classe C, tal que f + +. Calcule onde é a esfera + + com eterior a. olução: eja a região sólida limitada por. Pelo Teorema de Gauss, temos: f n d f ddd f ddd f d, + + ) ddd. Passando para coordenadas esféricas, temos: ρsenφcosθ ρsenφsenθ ρcosφ ddd ρ senφdρdφdθ + + ρ e ρφθ é dado por ρ ρφθ : φ π θ π
Cálculo 3A Lista 9 Então: π π f n d ρφθ ρ senφ dρdφdθ ρφθ ρ ρ senφ dρdφdθ π ρ senφ dφdθ π [ ρ ρ dρ π ] π. ρ π [ ρ π senφ ] π cosφ dθdφdρ dρ Eercício 9: eja f : R 3 R de classe C, tal que f + e,,), para todo 3,,) R 3. Calcule d, onde é a lata ciĺındrica com fundo e sem tampa dada por n +,, + e, com normal n apontando para fora de. olução: eja, onde é a tampa da lata. Logo, é dada por :, com,) : + e com n k e d dd. n eja o sólido limitado por. Pelo teorema de Gauss, temos n d f nd f dv π f dv [ r 3 r drddθ + ) dv ] π π ddθ π π. r rdrddθ
Cálculo 3A Lista 9 Mas n d n d + n d. Cálculo de n d Temos: Logo: d n f n d ),,),,,),,,),,)d,,)d 3 d 3 A) 3 π π 3. n d π π 3 π 6. Eercício : ejam c F,,) +e, c ) e,, com c > um campo vetorial em R 3 e a superfície aberta, união do hiperbolóide de uma folha +, c com o disco +,. Calcule o valor de c sabendo que rot F d 6π, onde é o campo de vetores normais apontando para fora de. olução: e + e c temos + +c. Logo, a interseção do hiperbolóide com o plano c é a circunferência + +c ), contida no plano c. O esboço de está representado na figura a seguir. c
Cálculo 3A Lista 9 Para aplicar o teorema de Gauss, devemos fechar com, porção do plano c, limitada pela circunferência + +c ). eja a região compacta do R 3 tal que. O esboço de está representado na figura a seguir. c n o teorema de Gauss, temos que: rot F n d + rot F d div rot ) F dv. Levando em conta que rot F d 6π e div rot F ), então rot F d 6π ) Mas rot F c i j k +e c e ) +e,e,c) +e,e, c + c e é dada por : c,,) : + +c ) com k e d dd. Então: rot F d +e,e,c),,) dd c dd ca) c [ +c ) ] π πc+c). ubstituindo em ), temos: πc+c) 6π c +c 6 c ou c 3. Como c > então c.