Árvores
Árvores Grafo Acíclico: não possui ciclos
Árvores Grafo Acíclico: não possui ciclos Uma árvore é um grafo conexo acíclico
Árvores Grafo Acíclico: não possui ciclos Uma árvore é um grafo conexo acíclico Todas as árvores com 6 vértices
Floresta Um grafo acíclico é também chamado de floresta.
Teorema: Um grafo T é uma árvore sss existir um único caminho entre cada par de vértices de T
Prova ( ) Por contradição!!! T é uma árvore v e w dois vértices quaisquer de T não existe caminho entre v e w ou P1e P2: dois caminhos-(u,v) distintos» Existem necessariamente dois vértices t1 e t2 P1 e P2 tais que entre t1 e t2, P1 e P2 são distintos
Prova ( ) Também por contradição!!! existe um único caminho entre cada par de vértices: T é conexo Sup. T não é acíclico: existe um ciclo C em T seja {v,w} uma aresta de C: Dois caminhos entre v e w em T (contradição)
Teorema: Se T é uma árvore então m=n-1 Prova: Por indução em n!!!!
Folha de uma árvore Uma folha de uma árvore é um vértice v tal que d(v) = 1
Teorema Toda árvore possui pelo menos duas folhas, n > 1.
Teorema: Um grafo conexo é uma árvore sss toda aresta é uma ponte
Distância Conceito útil para se medir a localização relativa entre diferentes vértices de uma árvore ou de um grafo Distância d(v,w) na árvore: número de arestas do caminho que liga v a w
Teorema: O centro de uma árvore possui um ou dois vértices.
Árvore enraizada Uma árvore no qual um vértice é destacado dos outros (raíz) é chamada de árvore com raíz ou enraizada. Nível de uma árvore enraizada: um vértice v i é dito estar no nível i da árvore se v i está a uma distância i da raiz. Altura: nível máximo da árvore
Teorema: Toda árvore é um grafo bipartido. Exercício!!!
Árvore binária Uma árvore estritamente binária é uma classe especial de árvore enraizada Cada vértice possui exatamente 2 filhos, ou seja, existe apenas um vértice com grau 2 (raíz) e os outros vértices possuem grau 1 ou 3
Árvore binária Propriedades: a) o número de vértices é ímpar b) o número de folhas é (n+1)/2 c) a altura mínima de uma árvore estritamente binária com n vértices é log 2 (n+1) - 1
Subgrafo gerador Relembrando: um grafo H é subgrafo de G se V(H) V(G) e E(H) E(G). Se V(H) = V(G) então H é subgrafo gerador ou de espalhamento de G.
Árvore Geradora Uma árvore geradora é um subgrafo gerador de G que é uma árvore. Uma árvore geradora em um grafo G é um subgrafo minimal que conecta todos os vértices de G;
Teorema: Todo grafo conexo possui uma árvore geradora
Corolário: Se G é conexo, então m n-1
Teorema: Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G e seja a uma aresta de G, a T. Então T+ a contém um único ciclo.
Prova: Como T é acíclico, cada ciclo de T+a contém a. C é um ciclo de T+e sse C-e é um caminho em T ligando os extremos de e. Pelo teorema, T tem um único caminho desse tipo, logo T+e contém um único ciclo.
Algoritmos Para construção de uma árvore geradora; Para construção de uma árvore geradora mínima.
Busca em Profundidade entrada: G = (V,E), Lista de Adjacência de G: A(v), v V 1. i 1; 2. F ; 3. para-todo v V faça 4. indice(v) 0; 5. fim-para-todo 6. enquanto existir u, indice(u) = 0 faça 7. PBP(u); 8. fim-enquanto saída: F PBP(v) { } 1. indice(v) i; 2. i i+1; 3. para-todo v A(v) faça 4. se indice(v ) = 0 então 5. F F U {{v,v }}; 6. PBP(v ); 7. fim-se 8. fim-para-todo
Complexidade Para cada v V, PBP(v) é chamado apenas uma vez quando o vértice ainda não foi visitado (indice(v) = 0) Tempo gasto por PBP(v): proporcional a d(v) Tempo gasto por todas as chamadas de PBP(v): proporcional a m Linhas 3 8: O(n) Construção de F: O(m) Complexidade: O(max {n,m})
Árvores geradoras em um grafo valorado O peso de uma árvore geradora T de G é definido como a soma dos valores de todas as arestas de T. Diferentes árvores geradoras de T podem ter diferentes pesos. Árvore Geradora mínima: a árvore geradora de G de menor peso.
Árvore geradora mínima Aplicações: Em problemas de interligação (comunicação, redes de luz, esgotos, etc.) Em problemas de construção de redes de menor custo (malhas rodoviárias, redes de computadores)
Teorema: Uma árvore geradora T de um grafo conexo valorado G é mínima sss não existe qualquer outra árvore geradora de G, a uma distância 1 de T, cujo peso é menor que o peso de T. Distância entre Ti e Tj de G: número de arestas de G presentes em Ti mas não presentes em Tj.
Algoritmo de Prim entrada: G = (V,E), Lista de Adjacência de G: A(v), v V, matriz de pesos 1. T ; 2. V {u}; 3. para-todo v V V faça 4. L(v) peso ({u,v}); 5. fim-para-todo 6. enquanto V V faça 7. ache um vértice w tal que L(w) = min {L(v) v V-V }; 8. u = o vértice de V, ligado a w, representando a aresta com o menor custo; 9. e = {u,w}; 10. T T U {e}; 11. V V U {w}; 12. para-todo v V V faça 13. se peso({v,w}) < L(v) então 14. L(v) p({v,w}); 15. fim-se 16. fim-para-todo 17. fim-enquanto saída: T
Complexidade Linhas 6-16: n-1 vezes Linhas 7-8: n-1 vezes Linhas 11 15: n-1 vezes Complexidade: O(n 2 )
Teorema: O algoritmo de Prim acha uma árvore geradora mínima de um grafo conexo G não orientado.
Algoritmo de Kruskal entrada: G = (V,E), Lista de Adjacência de G: A(v), v V, matriz de pesos 1. se peso (ei) > peso (ej) então 2. i > j; 3. fim-se // ordenar as arestas pelos pesos 4. T ; 5. para-todo i = 1,..., E faça 6. se T U {e} é acíclico então 7. T T U {e}; 8. fim-se 9. fim-para-todo; saída: T
Complexidade Exercício!!