Análise de Algoritmos
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- Isadora Vilarinho
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1 Algoritmos p. 1/22 Análise de Algoritmos Parte destes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina.
2 Algoritmos p. 2/22 Árvore geradora mínima CLRS Cap 23
3 Algoritmos p. 3/22 Árvore geradora mínima Seja G um grafo conexo. Uma árvore T em G é geradora se contém todos os vértices de G.
4 Algoritmos p. 3/22 Árvore geradora mínima Seja G um grafo conexo. Uma árvore T em G é geradora se contém todos os vértices de G. Problema: Dado G conexo com custo c e para cada aresta e, encontrar árvore geradora em G de custo mínimo.
5 Algoritmos p. 3/22 Árvore geradora mínima Seja G um grafo conexo. Uma árvore T em G é geradora se contém todos os vértices de G. Problema: Dado G conexo com custo c e para cada aresta e, encontrar árvore geradora em G de custo mínimo. O custo de uma árvore é a soma do custo de suas arestas.
6 Algoritmos p. 3/22 Árvore geradora mínima Seja G um grafo conexo. Uma árvore T em G é geradora se contém todos os vértices de G. Problema: Dado G conexo com custo c e para cada aresta e, encontrar árvore geradora em G de custo mínimo. O custo de uma árvore é a soma do custo de suas arestas. Tal árvore é chamada de árvore geradora mínima em G.
7 Algoritmos p. 3/22 Árvore geradora mínima Seja G um grafo conexo. Uma árvore T em G é geradora se contém todos os vértices de G. Problema: Dado G conexo com custo c e para cada aresta e, encontrar árvore geradora em G de custo mínimo. O custo de uma árvore é a soma do custo de suas arestas. Tal árvore é chamada de árvore geradora mínima em G. MST: minimum spanning tree
8 Algoritmos p. 4/22 Árvore geradora mínima Seja G um grafo conexo. Uma árvore T em G é geradora se contém todos os vértices de G. Problema: Dado G conexo com custo c e para cada aresta e, encontrar árvore geradora mínima em G. 8 b c 7 d a 11 i 4 14 e h 1 g 2 f
9 Algoritmos p. 5/22 Arestas seguras Seja G = (V, E) um grafo conexo. Função c que atribui um custo c e para cada aresta e E. A E contido em alguma MST de (G,c).
10 Algoritmos p. 5/22 Arestas seguras Seja G = (V, E) um grafo conexo. Função c que atribui um custo c e para cada aresta e E. A E contido em alguma MST de (G,c). Aresta e E é segura para A se A {e} está contido em alguma MST de (G,c).
11 Algoritmos p. 5/22 Arestas seguras Seja G = (V, E) um grafo conexo. Função c que atribui um custo c e para cada aresta e E. A E contido em alguma MST de (G,c). Aresta e E é segura para A se A {e} está contido em alguma MST de (G,c). 8 b c 7 d a 11 i 4 14 e h 1 g 2 f
12 Algoritmos p. 5/22 Arestas seguras Seja G = (V, E) um grafo conexo. Função c que atribui um custo c e para cada aresta e E. A E contido em alguma MST de (G,c). Aresta e E é segura para A se A {e} está contido em alguma MST de (G,c). 8 b c 7 d a 11 i 4 14 e h 1 g 2 f
13 Algoritmos p. 6/22 Arestas seguras Seja G = (V, E) um grafo conexo. Função w que atribui um custo c e para cada aresta e E. A E contido em alguma MST de (G,c). Aresta e E é segura para A se A {e} está contido em alguma MST de (G,c). Se A não é uma MST, então existe aresta segura para A.
14 Algoritmos p. 6/22 Arestas seguras Seja G = (V, E) um grafo conexo. Função w que atribui um custo c e para cada aresta e E. A E contido em alguma MST de (G,c). Aresta e E é segura para A se A {e} está contido em alguma MST de (G,c). Se A não é uma MST, então existe aresta segura para A. GENÉRICO (G,c) 1 A 2 enquanto A não é geradora faça 3 encontre aresta segura e para A 4 A A {e} 5 devolva A
15 Algoritmos p. 7/22 Arestas seguras Corte em G: partição (S, V \ S). Aresta e cruza o corte (S, V \ S) se exatamente um de seus extremos está em S.
16 Algoritmos p. 7/22 Arestas seguras Corte em G: partição (S, V \ S). Aresta e cruza o corte (S, V \ S) se exatamente um de seus extremos está em S. 8 b c 7 d a 11 i 4 14 e h 1 g 2 f
17 Algoritmos p. 7/22 Arestas seguras Corte em G: partição (S, V \ S). Aresta e cruza o corte (S, V \ S) se exatamente um de seus extremos está em S. 8 b c 7 d a 11 i 4 14 e h 1 g 2 f
18 Algoritmos p. 8/22 Arestas seguras Corte em G: partição (S, V \ S). Aresta e cruza o corte (S, V \ S) se exatamente um de seus extremos está em S.
19 Algoritmos p. 8/22 Arestas seguras Corte em G: partição (S, V \ S). Aresta e cruza o corte (S, V \ S) se exatamente um de seus extremos está em S. Corte respeita A E: nenhuma aresta de A o cruza. 8 b c 7 d a 11 i 4 14 e h 1 g 2 f
20 Algoritmos p. 8/22 Arestas seguras Corte em G: partição (S, V \ S). Aresta e cruza o corte (S, V \ S) se exatamente um de seus extremos está em S. Corte respeita A E: nenhuma aresta de A o cruza. 8 b c 7 d a 11 i 4 14 e h 1 g 2 f Teorema: Se A está contida em MST de (G,c), então e com c(e) mínimo em corte que respeita A é segura para A.
21 Algoritmos p. 9/22 Arestas seguras Corte em G: partição (S, V \ S). Aresta e cruza o corte (S, V \ S) se exatamente um de seus extremos está em S. Corte respeita A E: nenhuma aresta de A o cruza. Teorema: Se A está contida em MST de (G,c), então e com c(e) mínimo em corte que respeita A é segura para A.
22 Algoritmos p. 9/22 Arestas seguras Corte em G: partição (S, V \ S). Aresta e cruza o corte (S, V \ S) se exatamente um de seus extremos está em S. Corte respeita A E: nenhuma aresta de A o cruza. Teorema: Se A está contida em MST de (G,c), então e com c(e) mínimo em corte que respeita A é segura para A. Prova: Seja T uma MST em (G,c) que contém A. Se e está em T, não há nada mais a provar.
23 Algoritmos p. 9/22 Arestas seguras Corte em G: partição (S, V \ S). Aresta e cruza o corte (S, V \ S) se exatamente um de seus extremos está em S. Corte respeita A E: nenhuma aresta de A o cruza. Teorema: Se A está contida em MST de (G,c), então e com c(e) mínimo em corte que respeita A é segura para A. Prova: Seja T uma MST em (G,c) que contém A. Se e está em T, não há nada mais a provar. Se e não está em T, seja C o único circuito em T +e, e seja f C com c(f) máximo que cruza o mesmo corte (distinta de e em caso de empate).
24 Algoritmos p. 9/22 Arestas seguras Corte em G: partição (S, V \ S). Aresta e cruza o corte (S, V \ S) se exatamente um de seus extremos está em S. Corte respeita A E: nenhuma aresta de A o cruza. Teorema: Se A está contida em MST de (G,c), então e com c(e) mínimo em corte que respeita A é segura para A. Prova: Seja T uma MST em (G,c) que contém A. Se e está em T, não há nada mais a provar. Se e não está em T, seja C o único circuito em T +e, e seja f C com c(f) máximo que cruza o mesmo corte (distinta de e em caso de empate). Então T := T +e f é MST e contém A {e}.
25 Algoritmos p. 10/22 Árvore geradora mínima Os dois próximos algoritmos se enquadram no genérico.
26 Algoritmos p. 10/22 Árvore geradora mínima Os dois próximos algoritmos se enquadram no genérico. O primeiro é o algoritmo de Kruskal que, em cada iteração, escolhe uma aresta segura mais barata possível. O algoritmo de Kruskal vai aumentando uma floresta.
27 Algoritmos p. 10/22 Árvore geradora mínima Os dois próximos algoritmos se enquadram no genérico. O primeiro é o algoritmo de Kruskal que, em cada iteração, escolhe uma aresta segura mais barata possível. O algoritmo de Kruskal vai aumentando uma floresta. O segundo é o algoritmo de Prim, que mantém uma árvore T que contém um vértice s, acrescentando em cada iteração uma aresta segura a T.
28 Algoritmos p. 10/22 Árvore geradora mínima Os dois próximos algoritmos se enquadram no genérico. O primeiro é o algoritmo de Kruskal que, em cada iteração, escolhe uma aresta segura mais barata possível. O algoritmo de Kruskal vai aumentando uma floresta. O segundo é o algoritmo de Prim, que mantém uma árvore T que contém um vértice s, acrescentando em cada iteração uma aresta segura a T. Os dois produzem uma MST de (G,c). n := V(G) e m := E(G).
29 Algoritmos p. 11/22 Algoritmo de Kruskal KRUSKAL (G,c) 1 A 2 sejam e 1,...,e m as arestas de G ordenadas por c 3 para cada u V(G) faça MAKESET(u) 5 para i 1 até m faça 6 sejam u e v as pontas de e i 7 se FINDSET(u) FINDSET(v) 8 então A A {e i } 9 UNION(u, v) 10 devolva A
30 Algoritmos p. 11/22 Algoritmo de Kruskal KRUSKAL (G,c) 1 A 2 sejam e 1,...,e m as arestas de G ordenadas por c 3 para cada u V(G) faça MAKESET(u) 5 para i 1 até m faça 6 sejam u e v as pontas de e i 7 se FINDSET(u) FINDSET(v) 8 então A A {e i } 9 UNION(u, v) 10 devolva A MAKESET(x): cria conjunto unitário com elemento x; FINDSET(x): devolve identificador do conjunto da partição que contém x; UNION(x,y): substitui os conjuntos da partição que contêm x e y pela união deles.
31 Algoritmos p. 12/22 Algoritmo de Kruskal KRUSKAL (G,c) 1 A 2 sejam e 1,...,e m as arestas de G ordenadas por c 3 para cada u V(G) faça MAKESET(u) 5 para i 1 até m faça 6 sejam u e v as pontas de e i 7 se FINDSET(u) FINDSET(v) 8 então A A {e i } 9 UNION(u, v) 10 devolva A Correção: Note que e i na linha 8 é uma aresta segura para A.
32 Algoritmos p. 13/22 Union-Find ED boa para representar uma partição de um conjunto, e as seguintes operações sobre a partição:
33 Algoritmos p. 13/22 Union-Find ED boa para representar uma partição de um conjunto, e as seguintes operações sobre a partição: MAKESET(x): cria conjunto unitário com elemento x; FINDSET(x): devolve identificador do conjunto da partição que contém x; UNION(x,y): substitui os conjuntos da partição que contêm x e y pela união deles.
34 Algoritmos p. 13/22 Union-Find ED boa para representar uma partição de um conjunto, e as seguintes operações sobre a partição: MAKESET(x): cria conjunto unitário com elemento x; FINDSET(x): devolve identificador do conjunto da partição que contém x; UNION(x,y): substitui os conjuntos da partição que contêm x e y pela união deles. Custo de pior caso de cada operação: O(lgn).
35 Algoritmos p. 13/22 Union-Find ED boa para representar uma partição de um conjunto, e as seguintes operações sobre a partição: MAKESET(x): cria conjunto unitário com elemento x; FINDSET(x): devolve identificador do conjunto da partição que contém x; UNION(x,y): substitui os conjuntos da partição que contêm x e y pela união deles. Custo de pior caso de cada operação: O(lgn). Custo amortizado de cada operação: O(lg n).
36 Algoritmos p. 13/22 Union-Find ED boa para representar uma partição de um conjunto, e as seguintes operações sobre a partição: MAKESET(x): cria conjunto unitário com elemento x; FINDSET(x): devolve identificador do conjunto da partição que contém x; UNION(x,y): substitui os conjuntos da partição que contêm x e y pela união deles. Custo de pior caso de cada operação: O(lgn). Custo amortizado de cada operação: O(lg n). Análise amortizada: tópico a ser visto depois da prova.
37 Algoritmos p. 14/22 Algoritmo de Kruskal KRUSKAL (G,c) 1 A 2 sejam e 1,...,e m as arestas de G ordenadas por c 3 para cada u V(G) faça MAKESET(u) 5 para i 1 até m faça 6 sejam u e v as pontas de e i 7 se FINDSET(u) FINDSET(v) 8 então A A {e i } 9 UNION(u, v) 10 devolva A Consumo de tempo do union-find: MAKESET : O(1) FINDSET e UNION : O(lg n)
38 Algoritmos p. 14/22 Algoritmo de Kruskal KRUSKAL (G,c) 1 A 2 sejam e 1,...,e m as arestas de G ordenadas por c 3 para cada u V(G) faça MAKESET(u) 5 para i 1 até m faça 6 sejam u e v as pontas de e i 7 se FINDSET(u) FINDSET(v) 8 então A A {e i } 9 UNION(u, v) 10 devolva A Consumo de tempo do union-find: MAKESET : O(1) FINDSET e UNION : O(lg n) Consumo de tempo do Kruskal: O(mlgn)
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