CURSO: ADMINISTRAÇÃO Prof Dra. Deiby Santos Gouveia Disciplina: Matemática Aplicada FUNÇÃO RECEITA Conforme Silva (1999), seja U uma utilidade (bem ou serviço) cujo preço de venda por unidade seja um preço fixo P 0, para quantidades entre q 1 e q 2 unidades. A função dada por R T = P. q, com q 1 q q 2, é denominada função receita total ou simplesmente receita total (valor total recebido por uma quantidade de produtos vendidos). Ex.: R T = 3.q, 0 q 6 A Receita Total é o valor recebido pela venda de q produtos. No exemplo acima, observa-se que a Receita Total limita-se ao valor de R$ 18,00 quando a quantidade vendida é de 6 unidades, pois o valor unitário do produto é fixo e tem o valor de R$ 3,00.
FUNÇÃO RECEITA (Quando p não é fixo): Quando o preço de uma utilidade não é fixo, a Receita Total pode variar, pois se o preço muda, a procura pelo produto (demanda = quantidade q ) também se altera, mudando assim a Receita total. R T = P. D Esta função é denominada de Função receita total associada à venda da utilidade Ex.: Suponha que a demanda de mercado seja dada por D = 40 5P em que 0 < P < 8 e 0 < D < 40. Vamos estabelecer a expressão da Receita Total R T = P.D somente em função da variável D: Qual deverá ser o valor de D (quantidade de procura) que torna a Receita Total (R T ) máxima??? 1) Isolando P em função de D: 2) Substituindo em R T = P.D 3) Considerar R T = 0 2
4) Receita Total (R T ) máxima em função da procura (D) do determinado produto. 5) Preço correspondente à demanda que torna a receita total máxima: 6) Gráfico: Observando os cálculos e o gráfico acima, podemos dizer que, neste caso, ao preço (P) de, temos uma demanda (D) de que proporciona uma Receita Total (RT) máxima de. 3
FUNÇÃO CUSTO Com relação ao CUSTO para fabricar uma quantidade q de um certo produto, teremos que analisar os dados e tentar determinar a função que melhor se adapte aos dados. No nosso caso, trataremos de problemas lineares, portanto, nossa função custo total é dada por C T = CF + CV ou C T = CF + Cu. q onde: C T = Custo total CF = Custo fixo (custo inicial) Cv = Custo variável (custo unitário quantidade) O ponto onde as duas funções se igualam (R = C) é chamado PONTO DE NIVELAMENTO ou BREAK-EVEN POINT. Observe que para quantidades menores que a quantidade relativa ao ponto de nivelamento, haverá prejuízo para o fabricante, pois o custo será maior que a receita; mas se a quantidade produzida for maior que a quantidade relativa ao ponto de nivelamento, o fabricante terá lucro. FUNÇÃO LUCRO A função LUCRO TOTAL (LT), que está associada à produção (custo) e venda (receita) de uma certa utilidade é dada por: L T = R T C T Observe que, se o resultado dessa função for negativo, significa que, ao invés de lucro, houve prejuízo. Bibliografia BONORA Jr. e outros. Matemática complementos e aplicações nas áreas de Ciências Contábeis, Administração e Economia. São Paulo: Ed. Ícone, 2000. MORETTIN, P.A.;HAZZAN,S.;BUSSAB,W.O. Introdução ao cálculo para administração,economia e contabilidade.são Paulo. Editora Saraiva 2009 SILVA, S.M; SILVA, E.M; SILVA, Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo. Editora Atlas S.A 2008 SILVA, S.M; SILVA, E.M; SILVA, Matemática para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. São Paulo.. Editora Saraiva, 2007 4
Lista de Exercícios nº 3 Função Receita, Custo, Lucro e Ponto de Nivelamento 1. Considere a função R T = 16.q, onde o preço é fixo (R$16,00) e "q" é a quantidade de produtos vendidos (0 q 100 unidades). Qual a quantidade de produtos vendidos quando a Receita Total atinge o valor de R$ 912,00? Representar graficamente a função R=f(q). 2. O custo total de um fabricante consiste em uma quantia fixa de R$ 200,00 somada ao custo de produção, que é de R$ 50,00 por unidade. Expresse o custo total como função do número de unidades produzidas e construa o gráfico C=f(q). 3. Marcos fabrica um determinado produto com um custo fixo de R$ 3,00 e custo variável de R$ 0,60. Sabendo-se que este produto é vendido a R$ 0,80 a unidade, Marcos precisa vender, pelo menos, q unidades do produto para não ter prejuízo. Qual o valor de q? 4. O custo variável médio (custo unitário) de produção de certo bem é de R$ 12,00 e o custo fixo associado à produção é de R$ 60,00 para quantidades variáveis na faixa de zero a 1000 unidades. Se o preço de venda na mesma faixa é de R$ 20,00/unidade, identificar: a) A função Custo Total (CT) b) A função Receita Total (RT) c) O break-even point (ponto de nivelamento). d) Representar graficamente no mesmo plano as funções Receita e Custo e faça análise econômica e) A função Lucro Total (LT) f) Representar graficamente e fazer análise econômica g) A produção necessária para um lucro total de R$ 3.940,00 5. Uma mercadoria tem seu preço de custo de 10 reais e seu preço de venda sofre um acréscimo de 40%. Sendo o custo fixo de produção igual a 4000 obtenha: a) As funções Receita e Custo e represente graficamente as duas funções no mesmo plano. b) O ponto de nivelamento e faça uma análise com detalhes. c) Função lucro e seu gráfico. d) Se você fosse um empresário estaria seguro se sua produção fosse de 200 unidades? Por que? 5
6. Pesquisas mercadológicas determinaram que a quantidade x de um certo eletrodoméstico damandada por semana relacionava-se com seu preço unitário pela função x = 1000 100p, em que 4 p 10. a) Obtennha a função receita b) Que preço deve ser cobrado para maximizar a receita semanal? Material de Apoio 1. Representar a função que descreve cada fato abaixo: Faça a representação gráfica a) Uma locadora A aluga carro popular nas seguintes condições: uma taxa fixa de R$ 50,00 e mais R$ 0,30 por quilômetro rodado b) A receita R resultante da venda de uma quantidade x a preço unitário de R$ 20,00. c) O custo C, em função de uma quantidade x, que um comerciante compra a preço unitário de $15,00, tendo um custo fixo de $50,00; d) O salário mensal S, em função da quantidade t de horas trabalhadas, de um trabalhador que ganha $500,00 fixos, mais $3,00 por hora extra; e) O salário S de um vendedor, em função do valor total x que vendeu em um mês, sabendo que tem salário fixo de $300,00 e comissões de 5% sobre o total de vendas. 2. Considere a função R T = 10.q, onde o preço é fixo (R$10,00) e "q" é a quantidade de produtos vendidos (0 q 120 unidades). Qual o valor recebido pela metade dos produtos vendidos? 3. Sabe-se que a função custo total C T = 2000 + 25.q está associada à produção de um determinado bem. Qual a produção necessária para se ter um Custo Total de R$ 5000,00? 4. Considerando D = 24 2P, determine a expressão da Receita Total R T = P.D (somente em função da variável D), além do valor de D (Demanda) que torna a Receita Total (R T ) máxima. (Represente graficamente) 5. A receita total das vendas de rádios é dada por R t = 200.q (onde q é a quantidade de rádios) e o custo total é dado por Ct = 160.q + 2.000. Determinar: a) o ponto de nivelamento ( break-even point ) de mercado; b) esboçar o gráfico das funções receita e custo totais no mesmo sistema de coordenadas e fazer a análise econômica. 6
6. Um motorista de táxi cobra R$ 3,20 de bandeirada mais R$0,80 por quilômetro rodado. Determine: a) a lei da função que representa essa situação; b) quanto custa uma corrida de 8 km; c) quanto poderia rodar um passageiro com R$ 20,00; d) o gráfico da função. 7. Um fabricante consegue vender a unidade de um produto por $80. O custo total consiste em um custo fixo de $4.500 somado ao custo da produção de $50 por unidade. a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para existir o nivelamento? b) Qual será o lucro ou prejuízo do fabricante, se forem vendidas 200 unidades? c) Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de $900? d) Esboçar o gráfico da função lucro total e fazer a análise econômica. 7. O custo variável médio (custo unitário) de produção de certo bem é de R$ 12,00 e o custo fixo associado à produção é de R$ 60,00 para quantidades variáveis na faixa de zero a 100 unidades. Se o preço de venda na mesma faixa, é de R$ 20,00/unidade, identificar: a) a função custo total (C T ) b) a função receita total (R T ) c) a função Lucro (L T ) d) Esboçar o gráfico da função receita e custo e fazer análise econômica. 8. A função de demanda de um produto é p = 10-x, e a função custo é C = 20+ x. Determinar: a) A função receita e o preço que a maximiza. Representar graficamente a função. b) A função Lucro e o preço que o maximiza. Representar graficamente a função. 7