Determinantes A cada matriz quadrada de números reais, pode associar-se um número real, que se designa por determinante da matriz Definição de determinantes de primeira e segunda ordens Seja A uma matriz quadrada Representa-se o determinante de A por det(a) ou A ˆ Se A = [ a ] 1 1, tem-se det(a) = a = a ˆ Se A = [ a11 a 12 a 21 a 22 ], tem-se det(a) = 2 2 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 21 a 12 Exemplos: 1 A = [ 3] 1 1 det A = 3 }{{} = 3 não é módulo! 2 B = [ 3 5 2 4 ] 2 2 det B = 3 5 2 4 = 3 4 2 5 = 12 10 = 2 3 1 1 0 3 = 1 3 0 ( 1) = 3 0 = 3 4 2 3 1 2 = 2 ( 2) ( 1) 3 = 4 ( 3) = 7 31
Determinantes de ordem n Teorema de Laplace Seja A = [a ij ] i, j = 1, 2,, n uma matriz de ordem n Definição 1 (Menor Complementar) Designa-se por Menor Complementar de a ij ao determinante da matriz de ordem n 1 que se obtém de A por eliminação da linha i e da coluna j Definição 2 (Complemento Algébrico) Designa-se por Complemento Algébrico de a ij ao produto de ( 1) i+j pelo seu menor complementar Exemplo: A = 1 2 0 3 4 1 5 6 7 ˆ menor complementar de a 3 2 = 6 é 1 0 3 1 = 1 ˆ complemento algébrico de a 3 2 = 6 é ( 1) 3+2 1 0 3 1 ˆ menor complementar de a 2 2 = 4 é 1 0 5 7 = 7 ˆ complemento algébrico de a 2 2 = 4 é ( 1) 2+2 1 0 5 7 = 1 1 = 1 = 1 7 = 7 De notar que: menor complementar de a ij se i + j é par complemento algébrico de a ij = - menor complementar de a ij se i + j é ímpar Para se saber qual é o sinal que deve preceder o menor complementar de a ij para obter o seu complemento algébrico, pode atender-se ao quadro de sinais + + + + + + + + + + onde cada sinal ocupa a posição do elemento a ij cujo complemento algébrico se pretende obter Repare-se que, no quadro, os sinais alternam ao longo de cada linha e de cada coluna e que o sinal da entrada (1, 1) é + 32
Teorema 1 (Teorema de Laplace) O determinante de uma matriz é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma fila pelos respectivos complementos algébricos Exemplo: complemento algébrico complemento algébrico complemento algébrico do 1 do 3 do 1 1 3 1 { }} { { }} { 2 5 7 1 2 1 = ( 1) ( 1) 1+1 5 7 2 1 + 3 ( 1) 1+2 2 7 { }} { 1 1 + 1 ( 1) 1+3 2 5 1 2 + + 19 5 9 Teorema de Laplace (1ª linha) = 19 + 3 5 9 = 19 + 15 9 = 13 Notas: ˆ A ideia do teorema de Laplace para calcular um determinante de ordem n é fazê-lo recursivamente, isto é, calculá-lo através do cálculo de determinantes de matrizes de ordem n 1, e estes através do cálculo de determinantes de matrizes de ordem n 2, etc, até se chegar aos determinantes de matrizes de ordem 2 ˆ Pode aplicar-se o teorema de Laplace a uma fila (linha ou coluna) qualquer do determinante; no entanto, é vantajoso aplicar o teorema à fila do determinante que tem mais zeros, pois qualquer que seja o valor do complemento algébrico do zero, o seu produto por zero é zero, pelo que não é necessário calculá-lo menos cálculos! 33
O cálculo de determinantes de ordem superior a 3 pode ser muito fastidioso, sobretudo se houver poucos zeros na matriz No entanto, este cálculo pode ser bastante simplificado se se recorrer às Propriedades dos determinantes Seja A uma matriz quadrada de ordem n 1 O determinante de A T é igual ao determinante de A: A T = A Uma vez que A = A T e as linhas (colunas) de A são as colunas (linhas) de A T, qualquer propriedade de A que se refira às linhas de A também é válida quando aplicada às colunas, pelo que nas propriedades de A se fala, genericamente, em filas de A 2 Se A tem uma fila nula, então o determinante de A é igual a zero iguais 3 Se A tem duas filas paralelas ou, então o determinante de A é igual proporcionais a zero Exemplo: 3 9 6 18 = 0 (porque L 2 = 2 L 1, ou ainda C 2 = 3 C 1 ou L 1 = 1 2 L 2 ou C 1 = 1 3 C 2) 4 Se uma fila de A é multiplicada por um escalar λ, então o determinante da matriz resultante é igual ao produto de λ pelo determinante de A det L 1 L 2 λ L j L n L 1 L 2 L n = λ det L j det [ C 1 C 2 λ C k C n ] = λ det [ C1 C 2 C k C n ] 34
Exemplos: 1 1 6 2 8 = 1 6 2 1 2 4 = 2 1 6 1 4 (= 2 ( 2) = 4) 2 a λ b c λ d = λ a c b d com a, b, c, d, λ R n é a ordem da matriz Da propriedade 4, deduz-se que λ A = λ n A det λ L 1 λ L 2 λ L j λ L n n n L 1 L 2 = λ } λ {{ λ } det L j λ n det [ λ C 1 λ C k λ C n ]n n = } λ {{ λ [ } det C1 C k ] C n λ n L n Exemplo: 5 A = 5 2 A se A 2 2 5 3 A se A 3 3 5 4 A se A 4 4 5 Se se trocarem, entre si, duas filas paralelas de A, o determinante da matriz resultante é igual ao simétrico do determinante de A Ou seja: uma troca troca de sinal do determinante! 35
6 O determinante de A não se altera se se adicionar a uma fila de A o produto de outra fila, paralela, por um escalar Ou seja: as operações elementares do tipo L i L i α L j e C k não alteram o valor do determinante! C k β C p Nota importante: Tendo em conta a propriedade 6, para calcular o determinante de A pode condensar-se uma das filas de A com operações elementares do tipo L i L i α L j ou C k C k β C p e depois aplicar o teorema de Laplace a essa fila Na prática, este é o método mais utilizado no cálculo dos determinantes 7 Se uma fila de A se pode desdobrar na soma de duas filas, o valor do determinante de A é igual à soma dos determinantes de duas matrizes em que nessa fila aparece uma das parcelas e as restantes filas mantêm-se L 1 L 1 L 1 L 2 L 2 L 2 A = L j + L A = det j L + det L j j L n L n L n [ B = C 1 C 2 C ] k + C k C n [ B = det C 1 C 2 C ] [ k C n + det C 1 C 2 C ] k C n Exemplos: 1 1 2 1 + 2 2 + 4 = 1 2 1 2 + 1 2 2 4 (= }{{} 0 duas + 0 }{{} duas = 0) linhas filas iguais proporcionais 2 a b + b c d + d = a c b d + a b c d com a, b, b, c, d, d R 36
Nota: A propriedade 7 pode estender-se a filas cujos elementos estão decompostos num número qualquer (finito) de parcelas Nota importante: Em geral, tem-se A + B A + B, com B matriz de ordem n 8 Se B é uma matriz de ordem n, então A B = A B Nota: A propriedade 8 generaliza-se a produtos de três ou mais matrizes exemplo: A B C = A B C A B C D = A B C D Por 9 Se A é uma matriz triangular (inferior ou superior), então o determinante de A é igual ao produto dos seus elementos principais elementos da diagonal principal Exemplos: 1 A = 1 0 0 1 3 0 0 2 5 A = 1 ( 3) ( 5) = 15 matriz triangular inferior 2 B = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 4 B = 0 ( 1) 2 4 = 0 matriz diagonal (simultaneamente triangular superior e inferior) 3 I n = 1, n (n N) finito 37
10 O determinante de A é igual a zero se e só se a característica de A é inferior a n n é a ordem da matriz Simbolicamente: A n n A = 0 c(a) < n Note-se que esta propriedade é equivalente (por negação) a A n n A = 0 c(a) = n Cálculo do determinante por condensação de matrizes Uma matriz quadrada A n n pode ser transformada numa matriz triangular T n n através da condensação: A n n condensação T n n (matriz triangular) Pelas propriedades dos determinantes, já conhecidas, pode calcular-se det(a) a partir de det(t ), desde que se estabeleça a seguinte correspondência entre as operações elementares e as alterações no valor do determinante: ˆ Mudar o sinal do determinante quando se trocam, entre si, duas filas paralelas ˆ Multiplicar o determinante por 1 λ quando se multiplica uma fila por λ (λ 0) ˆ As operações elementares do tipo L i L i α L j e C k o valor do determinante C k β C p não alteram 38
Aplicações da teoria dos determinantes Inversão de matrizes Anteriormente, através do estudo da inversa, tinha-se visto que A n n é regular c(a) = n Por outro lado, pela propriedade 10 dos determinantes, tem-se que A n n c(a) = n A = 0 Então, pode concluir-se o seguinte teorema: Teorema 2 Uma matriz quadrada é regular se e só se o seu determinante é diferente de zero Simbolicamente: A n n A é regular A = 0 Por negação, obtém-se: A n n A é singular A = 0 Tendo em conta o teorema anterior e a propriedade 8 dos determinantes, pode deduzir-se que se A é regular, então A A 1 = I n A A 1 = I n = 1 A A 1 = 1 A 1 = 1 A ( A = 0, pois A é regular) ou seja, tem-se a propriedade 11 Se A é regular, então A 1 = 1 A (e também A = 1 A 1 ) Nota: Sendo A e B matrizes quadradas da mesma ordem, A = B A = B mas o contrário em geral não se verifica: A = B A = B 39
Para calcular a inversa de uma matriz A, utilizando determinantes, é necessário conhecer-se o seu determinante (que deve ser diferente de zero) e a matriz que se vai definir de seguida: Definição 3 (Matriz Adjunta) Chama-se Adjunta da matriz A à transposta da matriz que se obtém de A por substituição de cada um dos seus elementos pelo respectivo complemento algébrico Representa-se por adj A Exemplo: A = 1 3 2 0 1 5 2 6 7 adj A = 1 5 6 7 3 2 6 7 3 2 1 5 0 5 2 7 1 2 2 7 1 2 0 5 0 1 2 6 1 3 2 6 1 3 0 1 T = 37 10 2 9 3 0 17 5 1 T = 37 9 17 10 3 5 2 0 1 Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, prova-se que A 0 0 A Adj A = 0 A 0 = A I n (1) 0 0 A e A 0 0 Adj A A = 0 A 0 = A I n (2) 0 0 A 40
Assim, no caso de A ser regular, A = 0 e, a partir da relação (1), tem-se A Adj A = A I n (A Adj A) 1 A = ( A I n) 1 A A ( 1 A adj A) = I n 1 A De igual modo, a partir da relação (2), prova-se que Logo, por definição de inversa, vem que ( 1 A adj A) A = I n A 1 = 1 adj A A }{{} A 1 Nota: Também se verifica A = 1 adj A 1 A 1 A Exemplo: Relativamente à matriz A do exemplo da adjunta, tem-se que 1 3 2 A = 0 1 5 = 3 ( 0) 2 6 7 e portanto A 1 = 1 3 adj A = 1 3 37 9 17 10 3 5 2 0 1 = 37 3 10 3 2 3 3 17 3 1 5 3 0 1 3 41
Resolução de sistemas de equações lineares (Sistemas de Cramer) Definição 4 (Sistema de Cramer) Um sistema de n equações e n incógnitas, representado na forma matricial por A X = b (com A matriz quadrada de ordem n) diz-se um Sistema de Cramer se A 0 Um sistema de Cramer é um sistema sempre possível determinado, isto é, admite uma única solução (porque A = 0 A é regular e portanto c(a) = n; então, pelo teorema de Rouché, sabe-se que o sistema é possível determinado) Existe uma regra prática para resolver este tipo de sistemas: nº de incógnitas Regra de Cramer Se A é uma matriz de ordem n e invertível, então a solução do sistema (de Cramer) A X = b com n equações nas n incógnitas x 1, x 2,, x n é dada por x 1 = A 1 A, x 2 = A 2 A,, x n = A n A, onde, para cada k = 1, 2,, n, A k é a matriz que se obtém de A por substituição da coluna k por b Exemplo: { 3 x1 + 4 x 2 = 9 2 x 1 x 2 = 1 forma matricial x 1 x 2 [ ] 3 4 2 1 A [ x1 x 2 X ] [ = ] 9 1 b A = 3 4 2 1 = 3 8 = 11 0, pelo que se trata de um sistema de Cramer Usando a regra de Cramer para resolver o sistema (que é, portanto, possível determinado), vem que 9 4 1 1 x 1 = = 9 + 4 A 11 = 5 11 = 5 11 e 3 9 2 1 3 18 x 2 = = = 21 A 11 11 = 21 11 42
Cálculo do determinante por condensação de matrizes Uma matriz quadrada A n n pode ser transformada numa matriz triangular T n n através da condensação: A n n condensação T n n (matriz triangular) Pelas propriedades dos determinantes, já conhecidas, pode calcular-se det(a) a partir de det(t ), desde que se estabeleça a seguinte correspondência entre as operações elementares e as alterações no valor do determinante: ˆ Mudar o sinal do determinante quando se trocam, entre si, duas filas paralelas ˆ Multiplicar o determinante por 1 λ fila por λ (λ 0) quando se multiplica uma ˆ As operações elementares do tipo L i L i α L j e C k C k β C p não alteram o valor do determinante