Uma medida para a vida A busca do homem pelo conforto e resolução de seus problemas originados de necessidades sempre existiu e, diante desses, seus intelectos foram postos a prova para criar as soluções, e a história da geometria não é diferente. Para medir terras as margens de rios, construir casas, prever movimentos dos astros, entre outros, é que a geometria fora conceitualizada, desde muito tempo, com os egípcios, gregos e babilônicos, tendo como pensadores, Euclides, Arquimedes, Apolônio, Pitágoras e outros. O corpo como unidade Por volta de 3500 a.c. as unidades de medida se baseavam no corpo humano, palmo, pés, passos, geralmente de um único homem, o rei. Ângulos e Figuras Tanto entre sumérios ou egípcios as bases de suas construções tinham forma retangular, desta forma, deveriam desenvolver bastante os ângulos retos, forma de encontrá-los e colocálos em prática. Não muito distante do que era hoje, os desenhistas tinham seus meios, mas o problema era traçar; utilizavam de estacas e três cordas, geralmente, tendo uns dois metros, outra três e cinco metros, onde entra o teorema de Pitágoras, cateto² + cateto² = hipotenusa², ou simplesmente utilizavam de estacas e cordas na intenção de desenhar um círculo e encontrar assim, os ângulos retos para satisfazer suas necessidades. Para medir Superfícies Provavelmente os primeiros cálculos de áreas vieram de simples golpes de vista dos sacerdotes ao verem os trabalhadores preencherem a extensão dos campos com mosaicos quadrados. Uma vez para encontrar o numero total de quadrados, bastava multiplicar um lado pela altura, e assim, nasceu à área do retângulo. Os triângulos foram à base dos retângulos ou quadrados, supondo que encontre a área de um retângulo e um quadrado, esses divididos pelo meio, nas diagonais, dão origens á dois triângulos iguais. Em terrenos irregulares, quando se desejava medir, dividiam-no em vários triângulos quaisquer e, com margem bem pequena de erro, devido ao terreno ou próprias limitações da época, encontravam a área.
Os círculos precisavam de atenção especial, pois os convencionais deixavam muitos cálculos errados. Pensaram então, em uma estaca e uma corda, a mesma, de qualquer comprimento, uma vez virando diante da estaca que seria o centro, tinha relação com a área da figura, hoje a chamamos de raio. Então concluíram que, a área era 6,28 vezes maior que o raio, portanto, bastava ter a medida da corda e multiplicá-la. Já Ahmes quando se deparou com esse problema, pensou diferente, pensou em dividir o circulo em quadrados com lados iguais ao raio, encontrou o valor 3,14, que há duzentos anos tem o nome de PI, vindo de peripheria, que significa circulo; esse número hoje é conceito óbvio e simples na matemática. Novas Figuras As primeiras universidades fundadas na Grécia, por volta de 500 a.c., contavam com Tales e Pitágoras que, pouco a pouco, foram desenvolvendo ferramentas que auxiliavam na medição das áreas como o próprio compasso e facilitando nas funções. Figuras novas surgiram, entre essas os polígonos, que do grego polygon significa muitos ângulos. Hoje em dia a geometria é usada na prática em radares e outros aparelhos que ajudam aviões e navios, antigamente, se faziam o mesmo, com altura de prédios entre outros. Para medir a distancia de um navio a margem, antigamente, deixavam-no a 90º de algum observador, melhor dizendo a linha da costa e sob outro de 45º, assim, um cateto seria igual ao outro, para completar 180º. Bastava medir o espaço entre o ângulo reto e o outro e se encontrava a área. O calculo da altura de uma construção ou de uma árvore, também é simples, crava uma estaca no chão e espera que sua sombra seja correspondente a sua altura; basta medir a projeção. A palavra perímetro provém do latim perimĕtros que, por sua vez, deriva de um conceito grego. Refere-se ao contorno de uma superfície ou de uma figura e à medida desse contorno. Convém destacar que, da mesma forma que o perímetro é o dado que permite calcular os contornos de uma superfície, a área é o dado que possibilita o conhecimento da sua superfície interior. Assim, o perímetro dir-nos-á como podemos vedar um campo, ao passo que a área nos irá fornecer a informação no que diz respeito à forma como podemos cobrir/encher o respectivo campo ou à quantidade de fertilizante que iremos utilizar.
Múltiplos e Submúltiplos do Metro Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro: Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro Km hm dam m dm cm mm 1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Transformação de Unidades A medida que as unidades seguem a orientação da direita os valores são multiplicados por 10. E a medida que seguimos para a esquerda os valores são divididos por 10. Essa tabela de conversão existe para que os valores estejam sempre na mesma unidade. NÃO ESQUEÇA Para transformar uma medida expressa em uma unidade em outra não podemos esquecer que : De uma unidade para a unidade imediatamente maior, dividimos por 10. De uma unidade para a unidade imediatamente menor, multiplicamos por 10. Veja alguns exemplos
a) Transformar 2 m em centímetros: 2 m = ( 2 x 100) cm = 200cm Para converter 2 m em cetímetros escrevemos a unidade na casa correspondente e acrescentamos dois zeros a direita do mesmo. b) transformar 50 cm em metros: 50 cm = ( 50 : 100 ) m = 0,50 m Para converter 50 cm em metros escrevemos a unidade na casa correspondente ao centímetro e acrescentamos um zero a esquerda do mesmo. Neste caso acrescentamos a virgula na unidade para a qual queremos transformar c) Transformar 5,589 km em metros: 5,589 km = (5,589 x 1000) m = 5589 m Para converter 5,589 km em metros escrevemos a unidade na casa correspondente ao quilômetro e acrescentamos os numeros a direita do mesmo e deslocamos a virgula até a unidade que queremos transformar. d) Transformar 0,082 hm em metros: 0,082 hm = (0,082 x 100 ) m = 8,2 m Para converter 0,082 hm em metros escrevemos a unidade na casa correspondente ao hectômetro e acrescentamos os numeros a direita do mesmo e deslocamos a virgula até a unidade que queremos transformar. e) Transformar 92,8 dm em metro: 92,8 dm = ( 92,8 : 10 ) m = 9,28 m Para converter 92,8 dm em metros escrevemos a unidade na casa correspondente ao decímetroo e acrescentamos os numeros a direita e a esquerda do mesmo e deslocamos a virgula até a unidade que queremos transformar.
EXERCÍCIOS 1) Transforme em metros: a) 7 Km b) 3,4 km c) 8,16 km d) 4 dam e) 6,8 hm f) 0,3 km g) 39 dm h) 98,7 dm i) 746,3 cm j) 59,4 cm l) 43,8 dm m) 380 mm n)315 cm o)0,025km p)81 hm q)6mm r)17 mm s)3,895dam t)4,833 hm u)231,4 cm v)15dm w)3,3dam x)3,45dm y)13km z)183 dam 2) Faça a conversão de: a) 7,3 km em m b) 8,9 m em cm c) 74 dm em cm d) 2,3 cm em mm e) 681 cm em dm f) 4786 m em km g) 836 cm em dm h) 2,73 dm em cm i) 154 cm em m j) 0,94 m em cm l) 0,81 cm em dm m) 3,97 cm em m n)3 km em cm o)6 cm em km p)5mm em dm q)8mm em km r)0,1m em km s)0,1 km em m t)3 dam em dm u)15 dm em dam v)31 cm em hm w)43 dam em km
GEOPLANO
Construa no Geoplano 1. Um retângulo cujos lados medem 3 unidades e 7 unidades. Em seguida, calcule sua área e perímetro. 2. Um quadrado cujos lados medem 7 unidades. Em seguida, calcule sua área e perímetro. 3. Um quadrado em que sua área seja igual a 16 unidades quadradas. Em seguida, descubra quanto medem os lados deste quadrado. 4. Um retângulo cujo perímetro seja igual a 24 unidades. 5. Um quadrado cujo perímetro seja igual a 24 unidades. 6. Um retângulo cuja área seja igual a 48 unidades quadradas. 7. Um quadrado cuja área seja maior que 25 unidades quadradas. 8. Um retângulo cuja área seja maior que 21 unidades quadradas. 9. Um quadrado cujo perímetro seja menor que 32 unidades e maior que 12 unidades. 10. Um retângulo cuja área seja menor que 45 unidades quadradas e maior que 20 unidades quadradas. 11. Um retângulo e um quadrado que tenham a mesma área. 12. Um retângulo e um quadrado que tenham o mesmo perímetro. 13. Um quadrado em que sua área e perímetro sejam iguais. 14. Um retângulo em que sua área e perímetro sejam iguais. Bom trabalho!!
ATIVIDADES NO PAPEL QUADRICULADO
PERÍMETRO DE UMA FIGURA Perímetro de uma figura é a soma das medidas de seus lados,ou a medida do comprimento do seu contorno. Observe um campo de futebol, o perímetro dele é o seu contorno que está de vermelho. Pra fazermos o cálculo do perímetro devemos somar todos os seus lados: P = 100 + 70 + 100 + 70 P = 340 m O perímetro da figura ao lado é o contorno dela, como não temos a medida de seus lados, para medir o seu perímetro devemos contorná-la com um barbante e depois esticá-lo e calcular a medida. Por exemplo: O perímetro da figura é a soma de todos os seus lados: P = 10 + 8 + 3 + 1 + 2 + 7 + 2 +3 P = 18 + 4 + 9 + 5 P = 22 + 14 P = 36 cm
As medidas de superfície estão diretamente ligadas ao nosso cotidiano, ao comprar um lote, pintar uma parede, ladrilhar um piso ou azulejar uma parede, o primeiro fato que precisamos saber é a medida da área das superfícies. As medidas de área são derivadas das medidas lineares, expressando uma grandeza bidimensional. A unidade-base para medida de área é derivada do metro, sendo denominada metro quadrado. O metro quadrado tem como símbolo m 2 e herda os prefixos e convenções adotadas para o metro. Para saber quais são estas convenções, veja o quadro abaixo: A área de uma superfície é calculada através do produto entre o comprimento e a largura. O metro quadrado é a medida da superfície de um quadrado de um metro de lado. Como na medida de comprimento, na área também temos os múltiplos e os submúltiplos: Múltiplos: Quilômetro quadrado (km²) Hectômetro quadrado (hm²) Decâmetro quadrado (dam²) Submúltiplos Decímetro quadrado (dm²) Centimetro quadrado (cm²) Milímetro quadrado (mm²) As unidades de medidas de superfície podem aparecer em qualquer uma das unidades citadas, de modo que podem ser transformadas de uma unidade para outra. Isto deve ocorrer com base na tabela de transformações. Transformando 2 m² em cm² = 2 x 100 x 100 = 20000cm²
Transformando 1 km² em m² = 1 x 100 x 100 x 100= 1000000 m² Transformando 3 hm² em dm² = 3 x 100 x 100 x 100= 3000000 dm² Transformando 4 km² em mm²= 4x100x100x100 x100x100x100= 4000000000000mm² Transformar 4 m² em dam² = 4 : 100 = 0,04 dam² Transformando 100 cm² em m²= 100 : 100 : 100 = 0,01 Transformando 55 000 000 m² em km²= 55 000 000: 100 :100:100 = 55 km² 8) Efetue as seguintes transformações: a) 5 m² em dm² b) 12 km² em dam² c) 13,34 dam² em m² d) 457 dm² em m² e) 655 dam² em km² f) 4,57 m² em dam² g) 4,44 dm² em mm² h) 0,054dam² em dm² i) 3,1416m² em cm² j) 0,081 mm² em cm²
ÁREA DO RETÂNGULO O retângulo é um quadrilátero, pois possui 4 lados que podem ou não ser iguais. Quando os lados forem diferentes ela continua recebendo o nome de retângulo, agora quando os 4 lados forem iguais o retângulo poderá ser chamado de quadrado. No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área. A área do quadrado e do retângulo é calculada multiplicando a medida do comprimento pela medida da largura. Todas as medidas devem estar na mesma unidade de comprimento. O cálculo da área desses dois tipos de retângulos é calculado da mesma forma. Como possuem duas dimensões: base e altura, o cálculo da sua área é o produto da base pela altura. Pra compreender melhor como chegamos à conclusão de que a fórmula do cálculo da área de um retângulo é base x altura, veja a explicação abaixo: Considere o retângulo com a superfície dividida em quadradinhos de lados iguais a um centímetro. Nesse retângulo obtivemos 5 colunas de quadradinhos e 3 linhas de quadradinhos, assim para saber a quantidade de quadrados que essa figura possui em sua superfície basta multiplicarmos 5 x 3 = 15 quadradinhos. Como cada lado do quadradinho é igual a 1centímetro, podemos dizer que as dimensões desse retângulo são iguais a:
Aplicando o mesmo raciocínio do cálculo da quantidade de quadradinhos iremos encontrar a área da superfície desse retângulo da seguinte forma: A = 5 cm x 3 cm A = 15 cm 2 Assim, provamos que o cálculo da área de um retângulo é: A = BASE x ALTURA Representando a base como b e a altura como h, simplificamos a fórmula: A = b x h Caso esse retângulo seja um quadrado (todos os lados iguais), podemos dizer que a base e a altura terão mesmo valor, assim iremos representá-las como sendo os lados do quadrado, representados pela letra l. Portanto, a área de um quadrado pode ser indicada da seguinte forma: A = l x l A = l 2
ATIVIDADES COM O TANGRAN
1)CALCULE A ÁREA E O PERÍMETRO DAS FIGURAS. Considere como unidade de medida: 2)Mostre que as figuras 2, 3,4 e 5 tem a mesma área da figura 1.
5) Calcular a área e o perímetro dos seguintes figuras: Colocar em todos os exercícios as fórmulas utilizadas para resolução. a) b) 8 m 12m c) d) 18 m 22m e) f) 8,5 m 6,8m g) h) 1,8 m 14,8m i) 5m j) 6m 8m 24 m
15m 29 m k) 12m l) 17m 9m m) 15,8m n) 2,9 m 9,5m 1,7m o) 25,8m p) 5,4 m 12,5m 2,5m 6) Calcular o lado dos quadrados, sendo dado o Perímetro: a) P = 36m b) P= 100cm c) P= 81m d) P=144m 7) Calcular a área dos retângulos tendo a área e um dos lados. a) 21m b) 24,5 m A= 420m² l=? l=? A= 490 m² c) c=? d) c=? A= 780 m² 26m 2,5m A= 45 m²
8) Calcule a área e o perímetro das figuras
1)O quarteirão onde Luis mora é um retângulo de 200m de comprimento e 150m de largura. Todos os dias Luis faz caminhada ao redor do quarteirão, dando 10 voltas por dia. a) Qual a distância percorrida em cada dia? b) Qual a distância percorrida em uma semana? c) qual a distância percorrida em um mês? 2)O Sr. José possui um terreno retangular com 300m de comprimento e 150m de largura. Qual a o perímetro e a área do terreno? Quantos metros de arame serão gastos para fazer uma cerca com 5 fios de arame? 3)Os azulejos colocados nas paredes das salas de aula medem 50 cm de comprimento e 35 cm de largura. Calcule a área e o perímetro de cada azulejo. 4)Os azulejos colocados no piso das salas de aula são quadrados e medem 30 cm em cada lado. Calcule a área e o perímetro de cada azulejo. 5) Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo? 6) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro? 7)É necessário um certo número de pisos de 25 cm x 25 cm para cobrir o piso de uma cozinha com 5 m de comprimento por 4 m de largura. Cada caixa tem 20 pisos. Supondo que nenhum piso se quebrará durante o serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o piso da cozinha? 8)Quantos metros de tecido, no mínimo, são necessários para fazer uma toalha para uma mesa que mede 300 cm de comprimento por 230 cm de largura? 9)Na minha sala de aula, o piso é coberto com pisos sintéticos que medem 30 cm x 30 cm. Contei 21 lajotas paralelamente a uma parede e 24 pisos na direção perpendicular. Qual a área dessa sala? 10) Um pintor foi contratado para pintar uma sala retangular que mede 5,5 mx 7 m. Para evitar que a tinta respingue no chão ele vai forrar a sala com folhas de jornal. Quantos metros de folha de jornal ele vai precisar? 11) Nos Estados Unidos, a altura de uma pessoa é medida em pés e polegadas. Um pé corresponde a aproximadamente 30 cm enquanto uma polegada corresponde a aproximadamente 2,5cm. Qual é a altura de uma pessoa que tem 5 pés e 8 polegadas de altura? Em cm e em metros.