ECONOMIA
O ANATOCISMO E A TABELA PRICE Eliraldo da Silva Abensur 18 Resumo Este artigo tem por finalidade demonstrar a não existência de anatocismo na Tabela Price, tendo em vista que esta questão tem sido objeto de muitas discussões nas análises periciais de contratos em litígio na Justiça Federal, e, de dúvidas levantadas nos cursos de matemática financeira. Com o apoio de um confiável referencial bibliográfico, utilizando modelos matemáticos e explorando, de forma detalhada, os conceitos de capitalização e amortização, este estudo demonstra não haver anatocismo na Tabela Price. Palavras-Chave: Anatocismo, Capitalização, Amortização, Tabela Price. Abstract The purpose of this article is demonstrate the no existence of the Price Table anatocismo, so this question has been discussed about expertise analysis in the contracts in legitimate in the Federal Justice, and questions about this in the finance mathematical course. With help of bibliography reference reliable and using mathematical methods in detail, the concepts of capitalization and amortization, this study demonstrates the no existence of the Price Table anatocismo.. Key Words: Anatocismo, Capitalization, Amortization, Price Table. Introdução Na prática de perícia judicial, na execução de analises financeiras de empréstimos bancários e no exercício do ensino da matemática financeira, ouve-se afirmações de que existe capitalização de juros em operações de 18 Engenheiro, Economista, Mestre em Engenharia da Produção e Professor de: Teoria Econômica, Matemática Financeira e Avaliação de Projetos de Investimentos. Revista de Produção Acadêmico-Científica, Manaus, v.1, n.º 1, 2014 75
empréstimos envolvendo a Tabela Price, mas sem comprovação lógica e técnico-científica. Essas afirmações são da seguinte ordem: a capitalização existe porque o cálculo do Valor Presente se faz com o uso de taxas de juros compostos, ou exponenciais. A capitalização está demonstrada pelo fato de que existe a expressão (1 + i). Essas conclusões incorrem em dois equívocos, a saber: A falta de definição precisa, ou até mesmo de conhecimento, dos conceitos de capitalização e de amortização, ou plano de pagamento de empréstimos e financiamentos, e a aplicação de fórmulas matemáticas que não dizem respeito ao que pretendem provar. É importante destacar que as fórmulas matemáticas são abstrações que precisam ser comprovadas ex-post. É a recomendável postura cartesiana no seu primeiro princípio da lógica, o conhecimento como o princípio da evidência ou princípio da dúvida sistemática. As afirmações não são verdades apenas porque foram ditas por alguém que tenha credibilidade; exigem comprovação. 1 Capitalização Tanto a capitalização como a amortização têm definições e regras próprias que as diferenciam e que não se confundem. São processos diferentes. Vieira Sobrinho (1997) omite, no seu livro - Matemática Financeira, a definição de amortização. Mas assim define a capitalização: Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido de juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo. Como consequência dessa definição, a capitalização consiste em que os saldos em determinado momento são sempre maiores que no momento anterior. De outra forma, Puccini (1999), entende que na capitalização composta, os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros no período seguinte. Para Assaf Neto (1993), a capitalização composta considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando o montante (juros mais capital) do período. Capitalização composta, de acordo com Kuhnen e Bauer (1996), significa que os juros produzidos num período serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo período produzirão juros. É também chamado de juros sobre juros, considerando-se que a base de cálculo dos juros é o valor capitalizado (montante) até o período imediatamente anterior. A quantia de R$ 10.000,00, aplicada a 8% por período, em quatro períodos, apresenta os seguintes saldos ao final de cada período considerado no regime de capitalização composta: 76 Revista de Produção Acadêmico-Científica, Manaus, v.1, n.º 1, 2014
Período Juros Montante 0 0,00 10.000,00 1 800,00 10.800,00 2 864,00 11.664,00 3 933,12 12.597,12 4 1.007,77 13.604,89 Observa-se que tanto os juros como os saldos ao final de cada período são crescentes, o que não ocorre nos sistemas de amortização, como se verá adiante. O crescimento do saldo se faz de forma geométrica, ou exponencial, de razão igual a taxa de juros (8% neste exemplo). Para se obter o montante, ou seja, a soma do principal e juros ao final, aplica-se a conhecida fórmula M = C.(1 + i)n, onde M = montante; C = Capital; i = taxa de juros e n é o número de períodos. Esta fórmula foi deduzida da realidade prática, ou, em palavras mais simples, de como se comporta o andamento do cálculo na operação. No caso em estudo, (1+i)4 = 1,360489. Multiplicando-se o valor inicial de R$ 10.000,00 por 1,360489, encontra-se exatamente a quantia de R$ 13.604,89, como acima demonstrado no quadro. O mesmo ocorre quando se deseja aplicar, em períodos iguais e sucessivos, uma determinada quantia de juros compostos ou capitalizados. O saldo ao final de cada período também é sempre crescente. 2 Amortização Assim, como os sistemas de capitalização, os sistemas de amortização, também, se regem por regras próprias que os livros, normalmente, omitem, causando dificuldades conceituais aos estudantes. Certamente os autores imaginam que os estudantes têm capacidade de análise suficiente para não confundir os dois sistemas, por possuírem características tão claras e diferentes. Lapponi (1997) assim esclarece as regras das amortizações, ou plano de pagamentos de empréstimos e financiamentos através de duas regras que devem ser obedecidas para que o sistema seja considerado como de amortização, com os seus corolários lógicos: 1.ª Regra: O valor de cada prestação é formado por duas parcelas, uma delas é a devolução do principal ou parte dele, denominada Amortização, Revista de Produção Acadêmico-Científica, Manaus, v.1, n.º 1, 2014 77
e a outra parcela são os Juros que representam o custo do empréstimo; isto é: Prestação = Amortização + Juros = AMORT + J. 2.ª Regra: O valor dos juros de cada prestação é sempre calculado sobre o saldo devedor do empréstimo, aplicando uma determinada taxa de juros. Da segunda regra obtêm-se as seguintes conclusões: a) No pagamento de cada prestação o devedor paga juros integrais sobre o valor do saldo devedor no início do período que está pagando. b) Após o pagamento da prestação, e no mesmo dia, o saldo devedor deve ser somente a parte do capital que ainda não foi amortizado; nesse dia, os juros estão zerados. c) Em cada data de pagamento, o valor da prestação deve ser maior que o valor dos juros devidos nesta data. d) Um plano corretamente construído não pode ter nenhuma prestação com valor menor que o valor dos juros calculados sobre o saldo devedor. Portanto, o valor da primeira prestação será sempre maior que o valor dos juros sobre o valor financiado. 3 Sistemas de Amortização Os matemáticos com especialização financeira podem criar qualquer tipo de plano de amortização de empréstimos e financiamentos, dos mais simples aos mais complexos. Os mais simples e mais usuais podem ser agrupados em três classificações: - Sistema de juros constantes (conhecido como sistema americano de amortização); - Sistema de amortizações constantes, denominado SAC. - Sistema de prestações constantes, também conhecido como sistema francês de amortização ou Tabela Price. 4 A Tabela Price O Sistema Price ou Sistema Francês de Amortização, utilizado na quase totalidade das operações financeiras que envolvem pagamentos (ou recebimentos) parcelados, se deve ao nome do matemático, filósofo e teólogo inglês Richard Price, que viveu no século XVIII e que incorporou a teoria dos juros compostos às amortizações de empréstimos (ou financiamentos). A denominação Sistema Francês deve-se ao fato de 78 Revista de Produção Acadêmico-Científica, Manaus, v.1, n.º 1, 2014
o mesmo ter sido efetivamente desenvolvido na França, no Século XIX. Esse sistema, de acordo com Vieira Sobrinho (1997), consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas iguais e sucessivas. Dessa forma, o denominado Sistema Price, propõe-se a determinar o valor de uma prestação constante, ou seja, igual, para cada um dos pagamentos em cada vencimento. O valor de cada prestação é calculado pela aplicação do coeficiente Price ao valor do empréstimo, conforme fórmula seguinte. PMT = PV. coeficiente Price Onde: PMT = valor das prestações PV = valor do empréstimo (ou financiamento) Coeficiente Price = {[i.(1+1)n] / [(1+i)n 1]} i = taxa de juros (na forma unitária) n = número de períodos para amortização total do empréstimo Alerta-se que essa fórmula é válida apenas quando os períodos de vencimentos correspondem ao período da taxa. É comum a sua aplicação por períodos de 30 dias (um mês). Normalmente, o sistema financeiro fixa os vencimentos na mesma data de cada mês, sem a preocupação quanto ao número de dias decorridos entre dois vencimentos. 5 As Discussões Colocadas Inicialmente (TIR) O cálculo do Valor Presente (VP) e da Taxa Interna de Retorno Alguns peritos têm aplicado a fórmula do Valor Presente, ou Valor Atual, na tentativa de comprovar, por indução, a existência de capitalização composta. Incidem em dois erros, a saber: I - A fórmula tem aplicabilidade, apenas, para se obter o valor presente, na data inicial ou focal, no momento zero, de uma série de pagamentos periódicos, uniformes ou não. É uma fórmula usada na análise de investimentos; e II A taxa acumulada, ou geométrica, não é o mesmo que juros capitalizados. Pode-se estabelecer um plano de pagamentos com taxas geométricas, ou acumuladas, sem que ocorra capitalização de juros. Assim, se temos um plano de pagamentos cujos vencimentos ocorram Revista de Produção Acadêmico-Científica, Manaus, v.1, n.º 1, 2014 79
a 45 dias, 50 dias e 38 dias de cada vencimento a partir da data inicial, e a taxa de juros de 3% para cada período de 30 dias, as taxas nesses períodos serão: Primeiro vencimento Segundo vencimento Terceiro Vencimento Vencimento Taxa Juros Saldo Devedor 45 dias a contar da contratação. 50 dias do 1 o vencimento. 38 dias do 2 o vencimento. 4,53% 453,00 10.000,00 5,05% 505,00 10.000,00 3,82% 382,00 10.382,00 São taxas aplicáveis pro rata temporis, por dias corridos. O fato de se aplicar taxas diversas calculadas de forma geométrica não implica, necessariamente, na prática do anatocismo. Utilizando o sistema americano de amortizações, para um financiamento de R$ 10.000,00, utilizando os prazos acima mencionados, pode-se comprovar esse fato. Não ocorreu a prática do anatocismo, pois os juros foram pagos e não capitalizados. Os juros foram contados, sempre, sobre o principal do financiamento. O anatocismo, de acordo com Sandroni (1996), é o termo que designa o pagamento de juros sobre juros, isto é, a capitalização de juros que foram acumulados, por não terem sido liquidados no vencimento respectivo, consiste, pois, na capitalização de juros, vencendo novos juros. É a contagem de juros sobre juros já produzidos pelo capital empregado. É a clássica definição de juros compostos. É a prática de cálculo de juros sobre juros e não de taxas sobre taxas. De acordo com Puccini (1999) no regime de juros compostos, os juros de cada período, quando não são pagos no final do período, devem ser somados ao capital. Desse modo, se os juros foram pagos no vencimento, não há o que capitalizar. Não são as taxas de juros e nem os períodos de vencimentos que caracterizam a capitalização composta. Os contratos, salvo melhor juízo, podem estabelecer livremente tanto as taxas aplicáveis em cada período de vencimento, como os vencimento, que não têm a obrigação de ser a cada 30 dias. O importante é não adicionar juros ao principal e, sobre o montante (principal + juros), calcular novos juros. 80 Revista de Produção Acadêmico-Científica, Manaus, v.1, n.º 1, 2014
6 O Sistema Price e a Prova Real Tomemos um caso hipotético de aplicação prática com as seguintes características: - Valor do empréstimo (PV): R$ 10.000,00 - Taxa de Juros (i): 2% ao mês = 0,02 ao mês - Prazo (n): 4 meses - O pagamento da 1ª prestação deverá ocorrer um mês após a contratação do empréstimo. O valor das prestações será de R$ 2.626,24, obtida pela multiplicação do valor do empréstimo (R$ 10.000,00) pelo coeficiente Price (0,262624), de acordo com desenvolvimento a seguir. PMT = PV. {[i.(1+1)n] / [(1+i)n 1]} PMT = 10.000,00.{[0,02.(1,02)4] / [(1,02)4 1]} PMT = 10.000,00. 0,262624 PMT = 2.626,24 Pode-se determinar, antecipadamente, as parcelas de juros e amortizações contidas em cada prestação, cujas parcelas não são absolutamente iguais em cada vencimento. Na Tabela Price (sistema francês de amortizações) os juros são decrescentes, assim como o saldo devedor, enquanto as amortizações são crescentes. Isso ocorre exatamente porque os juros não são capitalizados, mas contados apenas sobre o principal reduzido de amortizações crescentes. No exemplo apresentado, as parcelas de juros e amortizações em cada parcela são as seguintes: Período (n) Juros (J) Amortização (Amort) Prestação (PMT) Saldo Devedor (SDV) 0 0,00 0,00 0,00 10.000,00 1 200,00 2.426,24 2.626,24 7.573,76 2 151,48 2.474,76 2.626,24 5.099,00 3 101,98 2.524,26 2.626,24 2.574,74 4 51,50 2.574,74 2.626,24 0,00 A construção dessa tabela pode ser facilmente efetuada através do uso das seguintes fórmulas: Revista de Produção Acadêmico-Científica, Manaus, v.1, n.º 1, 2014 81
PMT = PV. {[i.(1+1)n] / [(1+i)n 1]} J = i. SDV do período anterior Amort = PMT J SDV = SDV do período anterior - Amort Através de uma calculadora financeira HP-12C, é possível construir a tabela, como segue: Teclar Visor da calculadora Significado CLx 0,00 Limpa o visor da máquina. f FIN 0,00 Limpa os registradores financeiros da máquina. g END 0,00 Habilita o modo póstecipado de pagamento. 10000 CHS PV - 10.000,00 Valor do empréstimo com sinal negativo. 2 i 2,00 Introduz a taxa de juros. 4 n 4,00 Introduz o período de amortização. PMT 1.626,24 Valor das prestações. 1 f AMORT 200,00 Parcela de juros da 1ª prestação. x><y 2.426,24 Parcela de amortização da 1ª prestação. RCL PV - 7.573,76 Saldo devedor após o pagamento da 1ª prestação. 1 f AMORT 151,48 Parcela de juros da 2ª prestação. x><y 2.474,76 Parcela de amortização da 2ª prestação. RCL PV - 5.099,00 Saldo devedor após o pagamento da 2ª prestação. 1 f AMORT 101,98 Parcela de juros da 3ª prestação. x><y 2.524,26 Parcela de amortização da 3ª prestação. RCL PV - 2.574,74 Saldo devedor após o pagamento da 3ª prestação. 1 f AMORT 51,49 Parcela de juros da 4ª prestação. x><y 2.574,75 Parcela de amortização da 4ª prestação. RCL PV 0,00 De acordo com a tabela, verifica-se que: Saldo devedor após o pagamento da 4ª prestação. O débito de juros é feito na data do vencimento de cada parcela, incidente sobre o saldo devedor anterior, esses juros são pagos na 82 Revista de Produção Acadêmico-Científica, Manaus, v.1, n.º 1, 2014
mesma data, através do destaque da parcela a ele destinado, do total da prestação a diferença (parcela menos juros) destina-se à amortização do principal. Os juros são sempre decrescentes, o que não ocorreria se houvesse capitalização, quando eles seriam sempre crescentes. As amortizações são sempre crescentes, em progressão geométrica cuja razão é igual à taxa de juros. Os saldos dão decrescentes, da mesma forma dos juros, o que demonstra que os juros não são capitalizados. Se o Sistema Price for corretamente aplicado, com a correção incidindo igualmente sobre o valor de cada prestação e do saldo devedor, não ocorrerá qualquer resíduo ao final. Pode acontecer que o saldo devedor seja crescente, em algum período do financiamento. Esse crescimento (que logo se reverterá) se deve ao fato de que, no período, a correção monetária do saldo devedor foi maior que a parcela de amortização. Mas o saldo final será sempre igual a zero. Referências ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo: Editora Atlas, 1993. KUHNEN, Osmar Leonardo e BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática Financeira Aplicada e Análises de Investimentos. São Paulo: Editora Atlas, 1996. LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira usando Excel. São Paulo: Editora Lapponi Treinamento, 1997. PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Editora Saraiva, 1999. SANDRONI, Paulo. Dicionário de Administração e Finanças. São Paulo: Editora Best Seller, 1996. VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. São Paulo: Editora Atlas, 1997. Revista de Produção Acadêmico-Científica, Manaus, v.1, n.º 1, 2014 83