UM MODELO DE OPÇÕES REAIS PARA AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTO EM NAVIOS PETROLEIROS. Mauro Rezende Filho

i UM MODELO DE OPÇÕES REAIS PARA AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTO EM NAVIOS PETROLEIROS Mauro Rezende Filho DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA OCEÂNICA. Aprovada por: Prof. Floriano Carlos Marins Pires Junior, D. Sc. Prof. Raad Yahya Qassim, Ph.D. Prof. Luiz Felipe Assis, D. Sc. Dr. Júlio César Silva Neves, D. Sc. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL NOVEMBRO DE 6

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REZENDE, MAURO FILHO Um Modelo de Opções Reais para Avaliação de Invesimeno em Navios Peroleiros [Rio de Janeiro] 6 X, 115 p. 9,7 cm COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia Oceânica, 6 Disseração - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE 1. Invesimeno em Navios Peroleiros I. COPPE/UFRJ II. Tíulo série ii

À minha esposa Bel, minhas filhas Robera e Parícia e minha mãe Alzira, pelo apoio e incenivos, e aos meus amigos Mário, Célia, Wilson e Vera pelo supore, pois sem eles esa ese não eria sido concluída. Agradecimenos especiais ao meu orienador o prof. Floriano Carlos Marins Pires Junior pela sua paciência, apoio e supore, bem como ao prof. Raad Yahya Qassim que inroduziu inicialmene o ema de Opções Reais. iii

Resumo da Disseração apresenada à COPPE/UFRJ como pare dos requisios necessários para a obenção do grau de Mesre em Ciências M.Sc. UM MODELO DE OPÇÕES REAIS PARA AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTO EM NAVIOS PETROLEIROS Mauro Rezende Filho Novembro/6 Orienador: Floriano Carlos Marins Pires Junior Programa: Engenharia Oceânica Em finanças corporaivas e em análises radicionais de projeos, os modelos de fluxo de caixa desconado êm prevalecido como a esruura básica para a grande maioria das análises de geração de valor para as empresas. A evolução da eoria de precificação de opções, conudo, adicionou às eorias e práicas usuais de finanças um novo conjuno de ferramenas necessárias para gerenciar e explorar o valor advindo da incereza e da volailidade, que ampliam os parâmeros da geração de valor ao acrescenarem os conceios da flexibilidade gerencial. Denro dese conexo, o presene rabalho buscou pesquisar e apresenar a meodologia de avaliação de invesimenos em aivos reais com base na eoria de precificação de opções opções reais, suas caracerísicas, limiações e aplicações em ambienes empresariais caracerizados pela ala volailidade econômica. Como resulado desse rabalho, conclui-se que a análise de opções reais pode ser uma alernaiva viável e preferencial às meodologias radicionais, quando inserida num ambiene de grandes incerezas e flexibilidade gerencial, al como o ambiene geral que caraceriza o mercado brasileiro. iv

Absrac of Disseraion presened o COPPE/UFRJ as a parial fulfillmen of he requiremens for he degree of Maser of Science M.Sc. A REAL OPTIONS MODEL FOR INVESTMENT EVALUATION IN SHIPS TANKERS Mauro Rezende Filho November/6 Advisor: Floriano Carlos Marins Pires Junior Deparmen: Oceanic Engineering In corporae finance and radiional capial budgeing, discouned cash flow mehods have prevailed as he basic srucure in mos approaches o invesmen and shareholder value analysis. The evoluion of he opion pricing heory, however, has added a whole new se of ools o he radiional group of heories and pracices, necessary o he good managemen and exploiaion of he value from uncerainy and volailiy. These ools broaden he value generaion parameers by adding he managerial flexibiliy and uncerainy conceps. Amid his overall conex, he presen work has ried o research and presen he real asse invesmen analysis mehodology based on he opion pricing heory real opions, is characerisics, limiaions and applicaions in business environmens characerized by high economic volailiy. Therefore, his sudy begins wih he review of several heories used in capial budgeing, aiming o presen hem from heir mos basic form, up o he main, mos sophisicaed and recen mehods, which include conceps like ime value of he money and risk. As a resul of his sudy, i is concluded ha he real opions analysis may be a viable and preferable alernaive if compared o radiional mehodologies, when used in an uncerain environmen, in associaion wih managerial flexibiliy, like he general environmen ha characerizes he Brazilian marke. v

ÍNDICE Iem 1.1.1.1.1..1.3.1.4.1.5. 3 3.1 3.1.1 3. 3.3 4 4.1 4. 4..1 4.. 4...1 4... 4...3 4.3 4.3.1 4.3. 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.4 4.4.1 4.5 4.5.1 4.5.1.1 4.5.1. 4.5. 4.5..1 4.5.. 4.6 4.7 5 6 7 9.1.3 9.1.4 9.1.5 1 11 1 13 Assuno Inrodução... Análise das Ferramenas Uilizadas para Avaliação de Invesimenos... Méodos Deerminísicos... VPL Valor Presene Líquido... Payback... Taxa Inerna de Reorno TIR... Taxa Média de Reorno Conábil... Índice de Lucraividade IL... Méodos Esocásicos... Análise do Projeo... Méodos para Análise de Séries Temporais... Reversão para a Média... Simulação das Séries... Análise do Projeo... Teoria de Opções Reais... Inrodução... Inrodução a Opções Reais... Opções Reais e Financeiras... O Enfoque em Opções Reais... Irreversibilidade... Incerezas... Liberdade Gerencial... Tipos de Opções Reais... Opção de Esperar para Invesir... Opção de Expansão... Opção de flexibilidade... Opção de abandonar... Opção de aprendizado... Vanagens do Enfoque em Opções Reais... Alguns Exemplos de Opções... Modelos de Avaliação... Modelo Black & Sholes... Meodologia... Exemplo... Modelo Binomial de Cox-Ross-Rubinsein... Meodologia... Exemplo... Adapação dos Modelos para Avaliar Opções Reais... Eapas do Processo... Esudo do Projeo Considerando Opções Reais... Conclusão... Referências Bibliográficas... A Incereza das Taxas de Juros... Análise de uma Refinaria de Peróleo... Um esudo de Caso... Conclusão... Referências Bibliográficas... Página 1 6 8 8 1 11 1 13 13 17 19 1 5 36 4 4 4 43 46 46 47 49 5 5 53 53 54 55 55 59 6 63 66 7 71 75 79 8 86 88 99 11 6 7 71 73 8 94 97 vi

GRÁFICOS Número 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 16 17 18 19 1 3 4 5 6 7 8 9 3 31 3 33 34 35 36 37 38 39 4 Discriminação Fluxo de Caixa do Projeo... Taxa Inerna de Reorno - TIR... Séries Hisóricas... Séries Hisóricas Corrigidas... Erro dos Modelos... Disribuição dos Erros das Taxas de Time Charer... Disribuição dos Erros de Navios Novos... Disribuição dos Erros de Navios Usados... Taxas Mensais de Time Charer... Taxas Médias Anuais de Time Charer... Disribuição da Série de Time Charer... Disribuição das Receias Anuais das Taxas de Time Charer... Preços de Navios Novos Média Anual... Disribuição de Preços de Navios Novos... Preços de Navios Usados Média Anual... Disribuição de Preços de Navios Usados com 5 anos de uso... Correlograma de Taxas de Time Charer... Correlograma de Preços de Navios Novos... Correlograma de Preços de Navios Usados... Cusos Fixos... Preços de Navios Usados Simulação 875... Disribuição do Valor Esperado do VPL... Disribuição do Valor Esperado da TIR... Função de Reorno de uma Opção... Cone de Incerezas... Comparaivo do Valor Provável... Aleração do Cone de Incerezas... Lucro de uma Call dependendo do Preço do Aivo Objeo... Lucro de uma Pu dependendo do Preço do Aivo Objeo... Trava de Sraddle Resulado da Compra de uma Pu e uma Call Variação do Prêmio em Função do Vencimeno... Variação do Prêmio em Função da Volailidade... Prêmio da Opção em Função do Prêmio do Tíulo... Simulação nº 911 das Taxas de Time Charer Ano de 1... Simulação nº 911 das Taxas de Time Charer Ano de 15... Valor Esperado do VPL em Função do VPLbásico... Valor da Opção em Função do VPLbásico... Comparaivo dos Valores Esperados do VPL... Processo de Reversão à Média... Previsão com Reversão a Média... Página 8 11 18 19 1 3 9 3 3 31 3 3 33 34 36 36 36 37 38 39 4 5 5 51 51 61 61 6 68 68 69 91 91 96 97 98 115 116 Free a vii

TABELAS Número 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 16 17 18 Discriminação Fluxos de Caixa com Diferenes Taxas de Descono... Correlação das Séries Hisóricas... Correlação das Séries Hisóricas Corrigidas... Erro das Modelagens... Esaísica Time Charer... Esaísica Navios Novos... Esaísica Navios Usados... Tamanho da Amosra para Simulação... Correlação dos Erros Aleaórios 1/6... Correlação dos Erros Aleaórios 5/1... Esaísica Time Charer - Simulação... Esaísica Navios Novos Simulação... Esaísica Navios Usados Simulação... Correlação das Séries Simuladas... Cusos Fixos... Valor Esperado do VPL... Valor Esperado da TIR... Valor da Opção de Abandono... Página 11 18 19 4 4 5 6 9 19 31 33 34 35 37 39 4 97 Número 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 16 viii

FIGURAS Número 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Discriminação Simulação de Mone Carlo... Árvore Binomial... Árvore Binomial... Árvore Binomial... Analogia enre Projeo de Invesimeno e Opção Financeira... Fluxo de Caixa com Opção de Abandono no Ano 5... Fluxo de Caixa com Opção de Abandono no Ano 1... Fluxo do Projeo com Opções Reais... Definição do Prêmio de Risco... Disribuição do Valor Esperado do VPL... Página 16 8 8 8 87 89 89 9 94 95 Cálculo do valor de opções para uma das simulações... 118 ix

ANEXOS Número I II 5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 16 Discriminação A Formula de Black-Scholes FB... Processo de Reversão para a Média... Árvore Binomial... Resulado do Microsof Excel... Analogia enre Projeo de Invesimeno e Opção Financeira... Fluxo de Caixa do Projeo... Preço do Produo... Incereza sobre o Preço... Cuso do Invesimeno... A Incereza dos Cusos... Análise de Decisão com base ao NPV... Análise de Decisão com Base na Análise de Opções... Caminhos percorridos pelo preço do aivo objeo... Cálculo do valor de opções para uma das simulações... Página 15 11 54 56 6 63 67 68 69 71 74 75 114 118 x

1. Inrodução Nesa ese, esaremos inroduzindo a eoria de opções reais objeivando a análise da compra de embarcação do ipo suezmax 14. pb e sua operação, admiindo como premissa inicial que será operado durane a sua vida úil 15 anos, quando o mesmo enão será vendido opção de abandono. Para ano, se faz necessário o esudo das séries hisóricas de axas de ime charer TC, de preços de navios novos NB e de navios de segunda mão SH, as quais conforme apresenado no capíulo 3, apresenam uma volailidade represenaiva. No capíulo faremos uma revisão das ferramenas uilizadas radicionalmene para a avaliação de invesimenos, ano as deerminísicas como as esocásicas. No capíulo 3, iniciaremos o esudo do projeo pelo méodo radicional, suporado pela écnica de simulação de Mone Carlo. Sua viabilidade será analisada, com uma abordagem diferene da normalmene realizada quando da uilização de écnicas de simulação, onde definimos a disribuição de probabilidade desejada ou esperada, e deermina-se o Valor Presene Líquido VPL do projeo. A meodologia proposa consise na simulação das séries, a parir dos modelos ajusados, onde a correlação enre as séries simuladas é garanida aravés da geração de séries de resíduos, ruídos brancos, com o coeficiene de correlação das séries observadas. No capíulo 4, apresenamos a Teoria de Opções Reais, com suas meodologias mais uilizadas, e apresenamos um exemplo simples de sua aplicação. No capíulo 5, será inroduzida na análise do projeo apresenado no capíulo 3, o esudo da opção de abandono sempre que o valor do VPL for inferior à expecaiva do armador. A conribuição esperada é a de analisar o impaco da opção de abandono do projeo em algum momeno de sua vida úil, deerminando-se enão o valor desa em conrapono à análise radicional do Valor Presene Liquido VPL. Esa análise será realizada a cada cinco anos após o início do projeo 1

Inicialmene é imporane salienar que a aividade econômica de ranspore maríimo esá dividida em cinco mercados separados em dois grandes grupos: Cargas - granéis líquidos, granéis sólidos e carga geral conêineres, roll-onroll-off, ec., Passageiros - navios de cruzeiro urismo e ferry-boas passageiros e carros. O grupo de cargas, que represena quase que a oalidade dos recursos financeiros movimenados em a seguine caracerísica: Granéis líquidos: - Clienes: grandes empresas da área de peróleo prospecção, exração, refino e disribuição de derivados. Essas empresas são proprieárias de aproximadamene 35% da froa mundial de navios-anque; - Vendedores: armadores e proprieários de navios; - Caracerísicas operacionais básicas: ranspore de grandes quanidades de produos, em fluxos conínuos, enre as áreas de exração, as unidades de refino e os mercados consumidores; - Os conraos de afreameno por longo prazo ime charer ou bareboa charer são predominanes; - Conraos voyage charer são mais usados para o aendimeno de demandas sazonais mercado spo de peróleo. Esse mercado apresena grande variação nos índices de free, em decorrência de faores cíclicos evenos climáicos aleaórios, faores políicos, por exemplo; - Taxa de afreameno baseada no índice Worldscale, que é calculado para um navio padrão de 19.5 pb oneladas de peso bruo, cobrindo despesas de combusível, poros e ravessias, mais um valor fixo diário para as demais despesas. Esa axa de free é calculada para diversas roas, sendo aualizada de acordo com variações nos componenes de cuso. Granéis sólidos: - Nos conraos por empo inferior a um ano, buscam-se embarcações no mercado abero; - Mercado abero: rede inernacional de comunicações, ligando oferanes e demandanes de navios;

- O principal balcão de negociação é o Balic Shipping Exchange, de Londres, que realiza diariamene duas sessões de comunicação enre os agenes dos armadores e dos afreadores: 1ª sessão = definição dos navios, das roas e das cargas demandadas; ª sessão = definição do valor do frees ou dos afreamenos. PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DOS MERCADOS DE GRANÉIS SÓLIDOS GRANÉIS SÓLIDOS MINERAIS mercado com poucos produores e compradores pouca incereza os conraos em geral são de longo prazo GRANÉIS SÓLIDOS ALIMENTARES maior número de produores e compradores mercado mais dinâmico os conraos em geral são ime charer, de curo prazo, ou voyage charer Carga geral - Principal mercado mundial de marinha mercane. Transpore de produos indusrializados, normalmene mercadorias com alo valor agregado que não se enquadram nas caegorias aneriores granéis líquidos ou sólidos; - Podem ser ransporados vários produos, em embalagens uniizadas conêineres, palles ec. ou como carga sola em porões de navios muliuso; - Também são ransporados em navios especializados, ais como: roll-onroll-off veículos e máquinas agrícolas, frigoríficos, ec.; - As viagens são regulares com roas e escalas definidas, havendo grande inegração com ouros modais de ranspore, aravés de redes e sisemas de logísica; - Exisem poucas empresas de grande pore operando inernacionalmene, pois a operação nesse mercado requer grandes invesimenos; - É necessária uma rede de agenes comerciais para capação de carga nos principais poros e cenros indusriais e comerciais do mundo, além de erminais para recepção e disribuição das cargas dos clienes e para a esocagem provisória enre as escalas dos navios; - A generalização dos processos de gesão indusrial com baixo nível de esoques - jus in ime - obriga os armadores a oferecerem serviços com inervalos menores enre escalas, exigindo um maior número de navios operando em cada roa; 3

- Exisem elevadas barreiras à enrada: alos invesimenos iniciais para consiuição de froas e para a monagem de uma rede de agenes comerciais; conrole direo ou acesso privilegiado a insalações poruárias em diversos países; capacidade de auar globalmene de forma isolada ou em associação com ouras empresas ec.. Os principais ipos de conraos são os seguines: CONTRATO VOYAGE-CHARTER O armador ranspora uma quanidade pré-esabelecida de uma mercadoria de um poro A para um poro B, em um navio específico, denro de um deerminado inervalo de empo; O armador é responsável por odos os cusos associados a presação do serviço, sendo seu preço coado em US$/on ransporada; A viagem pode er início imediao mercado spo charers, ou fuuro foward charers. CONTRATO TIME CHARTER OU TERM CHARTER A embarcação é afreada por um período pré-deerminado de empo; O afreador pode operar o navio em quaisquer roas, sendo responsável pelo combusível, despesas poruárias e ouras relacionadas ao manuseio da carga; O armador fica responsável pela ripulação, sua manuenção e pela performance do navio velocidade, consumo de combusível ec.; O preço, conhecido como ime charer rae ou erm charer rae, é normalmene expresso em US$/pb/dia. CONTRATO DE AFRETAMENTO - CONTRACT OF AFFREIGHTMENT A embarcação é afreada por um período de empo para ransporar uma quanidade pré-esabelecida de carga; O armador pode alocar qualquer navio para aender ao cliene, podendo aé rocar de navio durane o conrao. AFRETAMENTO A CASCO NU - BAREBOAT CHARTER A embarcação é afreada sem ripulação, sem combusível, por prazo deerminado e com local de recebimeno e devolução pré-acordados; 4

O afreador é responsável pela armação do navio combusíveis, água e alimenos, pela ripulação e por odos os equipamenos adicionais necessários à operação; Ese ipo de conrao cobre, muias vezes, oda vida úil do navio 15/ anos. Na práica, equivale a uma operação de aquisição da embarcação; Muios conraos de afreameno a casco nu são na realidade conraos de leasing, com ou sem opção de compra, elaborados e adapados à legislação dos países de origem das empresas de navegação afreadoras por exemplo, os países de religião oficial muçulmana proíbem a cobrança de juros, obrigando as empresas a realizarem conraos de afreameno ao invés de leasing. As empresas de ranspore maríimo e armadores individuais êm sempre diane de si o seguine dilema a ser solucionado: comprar um navio e operá-lo ou afreá-lo? 5

. Análise das Ferramenas Uilizadas para Avaliação de Invesimenos Para que possamos enender melhor o conceio de Opções Reais, é ineressane inicialmene descrever o conceio básico dos méodos mais uilizados na avaliação de invesimenos. Inserida num conexo de crescene compeiividade, de fusões, aquisições e privaizações, a área de avaliação de invesimenos ornou-se, nas úlimas décadas uma das mais imporanes e aivas na comunidade financeira mundial. Diversos eóricos e analisas de mercado êm se dedicado amplamene ao desenvolvimeno e aprimorameno de écnicas que possam avaliar, com a melhor precisão possível, o verdadeiro valor e as melhores escolhas enre projeos de invesimeno. Ainda mais usual é a necessidade de avaliação para moniorameno das decisões de gesão, advinda da esruura do mercado de capiais que normalmene separa a figura do acionisa da do gesor, sugerindo formas objeivas de conrole e acompanhameno do rabalho desenvolvido pelos execuivos na obenção do valor mais alo possível para cada ação perencene aos acionisas da companhia. Como regra geral, os indivíduos buscam omar decisões de invesimenos que maximizem sua saisfação ou consumo ao longo do empo. Analogamene, as empresas se preocupam em maximizar a riqueza de seus acionisas, ajudando-os a aingir o seu objeivo de consumo máximo. A análise financeira, assim, almeja fornecer os meios para ornarem flexíveis e correas as decisões de invesimeno no momeno mais apropriado e mais vanajoso, com a compensação mais equilibrada enre risco e reorno. Ao se avaliar um invesimeno real, busca-se ober o seu fair value ou aquele que represena de modo equilibrado as poencialidades e os cusos de deerminado projeo. Enreano, vale noar que não há um valor correo para um invesimeno, pois o seu valor deve ser deerminado considerando-se as diferenes perspecivas e incerezas exisenes. Iso significa que o preço do aivo em quesão somene será definido a parir da ineração dos desejos, da flexibilidade dos diversos paricipanes e do desenrolar dos faos desconhecidos com o passar do empo. 6

Acrescene-se, ainda, que o processo envolve uma série de avaliações subjeivas que influenciam sobre o valor a ser obido. As percepções sobre o valor de um projeo podem ser variadas. Evenualmene, alguns podem perceber no invesimeno sérias resrições, enquano ouros podem visualizar possibilidades de implemenação de ajuses esraégicos e assegurar bons reornos. Da mesma forma, diversos faores influem nas decisões de invesimeno, ais como condições de demanda, oferas e preços, disinos cenários macroeconômicos, crescimeno demográfico, alerações na legislação ribuária, pressões de novas ecnologias, axas de juros, câmbio, inflação, ec. Como resposa a ese ambiene conurbado e a crescene necessidade de avaliação e escolha enre diversas alernaivas de projeos, a disciplina financeira em oferecido, ao longo de sua evolução, vários méodos para calcular o valor de um invesimeno, não exisindo, conudo, uma fórmula exaa. Idealmene, se desejaria ober um valor cienífico e perfeio, mas nenhum méodo parece ser absoluamene adequado para odas as siuações possíveis no mundo corporaivo real. É possível, odavia, classificar os méodos que são mais ou menos formais, de acordo com as premissas implícias de avaliação, revelando-os ecnicamene mais robusos de acordo com o escopo do projeo. Embora não conclusivos, os méodos de avaliação oferecem um imporane insrumeno para auxiliar aqueles que esão envolvidos num processo de avaliação de projeos, presando-se, principalmene, como supore a imporanes decisões esraégicas. De fao, conforme afirma Damodaran 1999: "O valor de uma empresa pode ser direamene relacionado às decisões que oma, relaivas a que projeos empreendem, como os financia e sua políica de dividendos. A compreensão dese relacionameno é a chave para a omada de decisões que adicionam valor e reesruuração financeira sensaa". 7

.1 Méodos Deerminísicos.1.1 VPL Valor Presene Líquido A maioria das empresas uiliza alguma forma de aplicação do VPL para avaliar seus projeos de invesimenos. Para definir VPL é imporane enender o seu significado maemáico. Nese senido o VPL é a somaória dos fluxos de caixas desconados a uma axa de juros deerminada, subraindo-se o invesimeno inicial. Maemaicamene a sua formulação seria a seguine: j C n VPL = VI 1+ i n n1 = onde C n = valor líquido do fluxo de caixa no empo n i = axa de ineresse deerminada n = número de períodos VI = valor do invesimeno inicial O Gráfico 1 mosra esquemaicamene a formulação maemáica do modelo: Gráfico 1 - Fluxo de Caixa do Projeo 1 3 4 5 6.. n Com esa definição, conceiualmene pode-se dizer que VPL é o valor agregado a um invesimeno pelo fao de realizá-lo. Desa forma, o objeivo dese modelo maemáico é ober valores posiivos, pois agregam valor para a empresa, pois será de cera forma 8

um colchão de segurança que garanirão que os invesimenos realizados aumenarão o valor da empresa. Se o VPL for igual à zero, a inerpreação é de que pelo menos os cusos dos invesimenos realizados esão sendo remunerados na mesma proporção dos valores gasos e, se for negaivo significará que o cuso dos invesimenos realizados não esão sendo remunerados. Assim sendo, as regras de decisão serão as seguines: o o o Invesir se o VPL for posiivo, incluindo a hipóese de ser zero. Não realizar os invesimenos que iverem VPL negaivo. Em uma análise de vários projeos simulâneos, escolher aquele que apresenar o maior VPL. Ese méodo requer enão, que o fluxo de caixa seja esimado para cada período considerado. Exige ambém, que se deermine uma axa de oporunidade que será uilizada para desconar os fluxos de caixa onde esa, poderá variar consideravelmene em função do perfil da empresa e de seus adminisradores, bem como em função do empo de mauração do projeo. O perfil dos adminisradores poderá ser: Alamene favorável a grandes riscos Neura Avesso a riscos Pode-se concluir enão, que o resulado obido do VPL é subjeivo, pois a variação da axa de oporunidade é muio grande, podendo enão, exisir omada de decisões nos exremos, ou seja, plenamene saisfaórias ou não. Em função do valor calculado do VPL a análise de um projeo será sempre do ipo é agora ou nunca, sem a análise das possibilidades de seu desenvolvimeno por eapas, que é uma das principais caracerísicas das Opções Reais, ou seja, invesimenos renáveis devem ser desenvolvidos e concluídos e, caso conrário abandonados. 9

O méodo do VPL em ainda implício os seguines faos: Que os fundos obidos em cada período não devem ser consumidos, mas sim devem ser invesidos aé o final do projeo ou em ouro; Que esa re-inversão deverá ser realizada a axa de rendimeno esabelecida para o projeo. Eses podem levar na realidade um compromeimeno de sua comprovação, uma vez que nenhum valor obido deve ser consumido ao longo do projeo, assim como, se a empresa opar por reinvesi-los, deverá fazer a mesma axa deerminada no projeo. Não exise no modelo formulado para o VPL uma forma de iner-relacionar hipóeses de modo a que a empresa possa omar decisões compaíveis..1. Payback A regra do payback define o número de períodos medidos em anos necessários para a recuperação do invesimeno inicial. Usualmene, o projeo com o menor payback será selecionado em derimeno aos ouros, desde que o período enconrado para ese projeo seja considerado aceiável pela empresa. A diferença principal enre ese méodo e a axa média de reorno conábil é que no úlimo são uilizados lucros líquidos conábeis, enquano a regra do payback faz uso das enradas de caixa para o cálculo do período de recuperação do invesimeno. O cálculo do payback é exremamene simples e rápido, e por isso ese méodo ornou-se amplamene conhecido e uilizado enre analisas financeiros. No enano, o méodo radicional não leva em consideração o valor do dinheiro no empo ex.: não há diferença enre uma enrada de caixa hoje ou daqui a dois anos e, al como a axa média de reorno conábil, não serve como medida de lucraividade, uma vez que as enradas e saídas de caixa após o período de recuperação do invesimeno inicial são ignoradas. Para amenizar al deficiência, recomenda-se calcular payback a valor presene, ou payback ajusado. Ese méodo considera o espaço de empo enre o início do projeo e o momeno quando os fluxos de caixa razidos a valor presene. Esa aplicação 1

ajusada é largamene uilizada e raduz em unidades de empo o mesmo resulado fornecido pela écnica do VPL..1.3 Taxa Inerna de Reorno TIR A axa inerna de reorno é uma medida da axa de renabilidade. Por definição, a TIR é uma axa de descono que iguala o valor presene dos fluxos de caixa fuuros ao invesimeno inicial. Um exemplo apresenado na Tabela 1 e o Gráfico mosram visualmene a TIR: Tabela 1 - Fluxos de Caixa com Diferenes Taxas de Descono Taxas de Descono Ano Fluxo,%,5% 5,% 7,5% 1,% 1,5% -5. -5. -5. -5. -5. -5. -5. 1 65. 65. 63.415 61.95 58.99 56.77 5.436 65. 65. 61.868 58.957 53.536 48.75 4.3 3 65. 65. 6.359 56.149 48.587 4.186 34.14 4 65. 65. 58.887 53.476 44.94 36.55 7.58 5 65. 65. 57.451 5.99 4.18 31.63.7 VPL 75. 51.979 31.416-4.775-34.665-71.45 Gráfico - Taxa Inerna de Reorno - TIR 1. 8. 6. 4.. -.,%,5% 5,% 7,5% 1,% 1,5% -4. -6. -8. Ou seja, no caso apresenado a axa inerna de reorno é de 7,43% no período. Na análise de invesimenos, cosuma-se comparar a TIR do projeo em quesão à axa mínima ou a axa desejada de reorno, que deve ser menor do que a TIR. As empresas deerminam suas axas mínimas de reorno com base em seus cusos de financiameno e no risco do projeo. Em seguida, são projeados os fluxos de caixa fuuros e é calculada a TIR. 11

.1.4 Taxa Média de Reorno Conábil Ese méodo é possivelmene o mais anigo uilizado para a análise de negócios, e se baseia primariamene na comparação dos lucros líquidos conábeis, com os cusos iniciais de um projeo, aravés da adição de odos os lucros líquidos fuuros e da sua divisão pelo invesimeno médio. Conudo, a écnica é falha ao não considerar o valor do dinheiro no empo e os fluxos de caixa do projeo, pois uiliza o lucro conábil como base de mensuração. O conceio de lucro conábil não evidencia qual o poencial de agregação de valor de deerminada companhia. Enre as críicas ao lucro conábil desacam-se as ciadas por Copeland 1: o o o o o o Méodos alernaivos conábeis podem ser empregados; Requerimenos de invesimenos são excluídos; Valor do dinheiro no empo é ignorado; Disorção provocada pela inflação; Efeios da sazonabilidade; Efeios dos iens exraordinários e não recorrenes normalização dos lucros. Usualmene, as demonsrações conábeis devem ser ajusadas para aproximar-se do que seria a siuação econômica financeira valor econômico da enidade. Ajuses ípicos refleem um raameno sobre iens ais como a depreciação, esoques, aivos inangíveis e ouros iens parimoniais. Enre os faores que dificulam a uilização das demonsrações conábeis como indicador do valor econômico de uma empresa, desacam-se: o Os relaórios conábeis são normalmene baseados em cusos hisóricos, não aribuindo aos aivos os valores correnes ou jusos de mercado; o A conabilização de acordo com o princípio da compeência, associado com os conceios de realização de receias e da confronação de despesas, orna a conabilidade desbalanceada com relação a alguns direcionadores de valor como o conceio do valor do dinheiro no empo e do risco associado; o Algumas operações chamadas de off-balance não são regisradas nas demonsrações conábeis radicionais, enreano, são muio relevanes para a idenificação do valor de uma empresa. Além do arrendameno mercanil, posições em derivaivos financeiros ou embuidos - embedded derivaives e 1

garanias oferecidas são exemplos de iens que em geral não esão evidenciados. Nas demonsrações conábeis, não é possível idenificar uma grande pare dos chamados aivos inangíveis, desacando-se o goodwill o valor de mercado que excede ao oal do capial invesido nos aivos da empresa. Em conformidade com os princípios conábeis, o goodwill não possui um cuso idenificado objeivamene e usualmene não é regisrado no balanço parimonial da companhia. A axa média de reorno conábil pode ser calculada aravés aplicação da fórmula simplificada abaixo: Taxa Média de Reorno Conábil = Lucros Líquidos Anuais Fuuros Médios Invesimeno Inicial Médio Apesar de fácil de enender, a axa média de reorno conábil possui diversas falhas conceiuais, porano, não é recomendada para a análise de invesimenos..1.5 Índice de Lucraividade - IL O méodo do índice de lucraividade compara o valor presene das enradas de caixa fuuras com invesimeno inicial de um projeo, conforme a fórmula abaixo: IL = Valor Presene do Fluxo de Caixa Invesimeno Nese méodo, apenas projeos com Índice de Lucraividade maiores ou iguais a 1 são aceios. Desa forma, o mesmo resulado é enconrado aravés da abordagem do VPL e do IL, devendo ser omadas às mesmas precauções quano à axa de descono uilizada para o cálculo do valor presene dos fluxos de caixa.. Méodos Esocásicos Eses méodos são aplicados quando emos uma ou mais fones de incerezas que influirão significaivamene no processo decisório. Um processo será esocásico quando seu comporameno não puder ser descrio por uma função deerminísica. O 13

comporameno fuuro de um processo esocásico somene pode ser descrio probabilisicamene, porano: A esruura probabilísica de um processo esocásico pode ser compleamene definida por meio da especificação da sua disribuição de probabilidade conjuna. A parir da disribuição conjuna pode-se ober qualquer informação probabilísica sobre o processo média, variância, covariância, ec. Para se calcular essas quanidades necessia-se de um modelo probabilísico para o processo esocásico. Assim sendo, um processo esocásico ou processo aleaório Y = { Y, } T é uma coleção de variáveis aleaórias definidas por alguma lei de probabilidades. T é um conjuno de índices represenando insanes de empo. Para cada índice no conjuno T, Y é uma variável aleaória. Se T é um conjuno conável, Y é um processo esocásico discreo, caso conrário é um processo esocásico conínuo. Y é chamado de esado do processo no insane. O conjuno de odos os valores possíveis da variável aleaória Y é conhecido como espaço de esados de um processo esocásico. O espaço de esados de um processo esocásico pode ambém ser discreo ou conínuo, se as variáveis aleaórias Y forem discreas ou conínuas. Para modelar processos esocásicos normalmene recorre-se à simulação. A simulação sempre foi usada pela humanidade como forma de represenar os processos relaivos aos sisemas onde as pessoas viviam. Na ciência a uilização de modelos é uma aividade corriqueira, desde os modelos em escala reduzida barragens, opografia, edificações ec., modelos de aviões para esudo de aerodinâmica e modelos analíicos de processos em geral. A simulação permie esudar e experimenar complexas inerações inernas de um dado sisema seja ele uma empresa ou pare da mesma. Aravés da simulação podem ser esudadas algumas variações de um processo e verificados seus efeios no sisema oal. 14

A experiência adquirida em consruir os modelos e realizar a simulação pode conduzir a uma melhor compreensão do sisema, com possibilidades de melhores. A simulação de sisemas complexos pode fornecer valiosa inrovisão no senido de descobrir as variáveis mais imporanes do sisema e a forma como elas ineragem. A simulação pode ser usada para experiências com novas siuações, sobre as quais se em pouca ou mesmo nenhuma informação, com o inuio de preparar a adminisração para o que possa aconecer. A simulação pode servir como um primeiro ese para se delinear novas políicas e regras de decisão para a operação de um sisema, anes de experimenar no sisema real. Exisem vários modelos de simulação, sendo um dos mais conhecidos o Modelo de Simulação de Mone Carlo, que aplicamos nesa ese. O méodo leva ese nome devido à famosa rolea de Mone Carlo, no Principado de Mônaco. Seu nome bem como o desenvolvimeno sisemáico do méodo daa de 1944, quando da Segunda Grande Guerra, época em que foi usado como ferramena de pesquisa para o desenvolvimeno da bomba aômica. Segundo Cardoso, os primeiros esudos envolvendo Simulação de Mone Carlo e avaliações de invesimenos de capial foram feios por David B. Herz e publicados em um arigo na revisa Haward Business Review em 1974. Pode-se verificar a uilização de al méodo em diversas áreas, como economia, física, química, medicina enre ouras. Segundo Machline 197, para que uma Simulação de Mone Carlo eseja presene em um esudo basa que ese faça uso de números aleaórios na verificação de algum problema. Por exemplo, para a consrução de um modelo do fluxo de caixa, fazendo uso da Simulação de Mone Carlo, segue-se uma seqüência lógica, conforme abaixo: o Consruir um modelo básico das variações dos fluxos de caixa fuuros, provocados pelo invesimeno em quesão. o Para oda a variável que puder assumir diversos valores, elaborar sua disribuição de probabilidade acumulaiva correspondene. 15

o Especificar a relação enre as variáveis de enrada a fim de se calcular o VPL do invesimeno. o Selecionar, ao acaso, os valores das variáveis, conforme sua probabilidade de ocorrência, para assim, calcular o VPL. o Repeir esa operação muias vezes, aé que se obenha uma disribuição de probabilidade do VPL. Na Figura 1 emos uma represenação gráfica de uma avaliação de invesimeno de capial envolvendo uma Simulação de Mone Carlo. Adapado de Giman 1987. Figura 1 - Simulação de Mone Carlo Repeir GERAR NÚMERO ALEATÓRIO GERAR NÚMERO ALEATÓRIO MODELO MATEMÁTICO NPV = Valor aual da Enrada de Caixa Valor aual da Saída de Caixa VPL Valor Presene Líquido 16

3. Análise do Projeo O esabelecimeno de valor para empresas é algo de relevane imporância no meio financeiro, uma vez que serve como base para oda negociação de compra e venda de paricipações em firmas que acompanham as diversas esraégias empresariais reesruuração, inegração, invesimeno, desinvesimeno, ec.. Para que se ene esimar o risco exisene em um modelo de avaliação de empresas, deve-se enar incorporar ao modelo o risco de que cada uma das variáveis esimadas assuma um valor diferene do projeado. O méodo de simulações é uma das ferramenas uilizadas para que se possa levar em consideração oda ou alguma pare da incereza que cerca um modelo. A ciação a seguir reraa a complexidade da análise de projeos: Fazendo um rerospeco dos anos passados, eu enho sido guiado por quaro princípios. Primeiro, a única cereza é a de que não há cereza. Segundo, oda decisão, como conseqüência, é uma quesão de pesar as probabilidades. Terceiro, apesar da incereza, devemos decidir e agir. E, por úlimo, precisamos julgar as decisões não só pelos resulados, mas ambém pelo modo como foram omadas. Rober E. Rubin, ex-secreário do Tesouro nore-americano, em discurso durane a fesa de enrega de diplomas na Universidade de Nova York, em. Normalmene, para o público em geral, a palavra risco esá associada a perdas quando se raa de finanças. Isso é apenas parcialmene correo, pois ignora a possibilidade de ganho acima do esperado que normalmene acompanhe a possibilidade de perda. Uma definição mais abrangene colocaria que risco esá associado à incereza. Mais precisamene, incereza em relação ao valor de deerminado aivo, reorno ou fluxo de caixa no fuuro. Mas enão por que um invesidor escolheria um invesimeno arriscado, em alernaiva a uma opção com menor risco? Simplesmene porque exise uma recompensa por assumir riscos, ou seja, o prêmio por risco de um aivo. Mas será sempre assim? Quano maior o risco, maior o reorno? A resposa é não, pois exise o risco de que o reorno não seja saisfaório. O que é correo de se dizer, 17

iso sim, é que quano maior o risco, maior a possibilidade de reorno. Mais precisamene, invesidores procuram invesimenos com risco na busca de um prêmio maior pelo risco incorrido. Vamos enão analisar o projeo de compra e operação de uma embarcação, iniciando pela análise das séries hisóricas de axas de ime charer e de navios novos e usados, onde amosra apresena as seguines caracerísicas: o Navio peroleiro do ipo Suexmax com capacidade para 14. pb; o Os dados hisóricos são referenes ao período de 1/1981 a 1/5; o Os valores das axas de ime charer em US$ mil/dia se referem a conraos de afreameno de 1 ano; o Os preços de navios usados em US$ milhões, represenam embarcações com 5 anos de uso. Os dados a seguir apresenados na Tabela e Gráfico 3, foram obidos da Clarkson Research Sudies 5, empresa que acompanha a evolução de dados gerais da indúsria naval mundial. Gráfico 3 - Séries Hisóricas 9 8 7 6 5 4 3 1 1981-1 1981-1 198-11 1983-1 1984-9 1985-8 1986-7 1987-6 1988-5 1989-4 199-3 1991-199-1 199-1 1993-11 1994-1 1995-9 1996-8 1997-7 1998-6 1999-5 -4 1-3 - 3-1 3-1 4-11 5-1 Time Charer - US$ mil/dia Navios Novos - US$ milhões Navios Usados - US$ milhões Tabela - Correlação das Séries Hisóricas Time Charer Navios Novos Navios Usados Time Charer 1 Navios Novos,6635934 1 Navios Usados,8946146,7813576 1 Como as séries são muio longas 3 meses procedeu-se enão a aualização dos valores em dólares, uilizando para al o sie do U.S. Deparmen of Labor 18

www.bls.gov/bls/inflaion.hm, sendo que o Gráfico 4 a seguir apresena a série hisórica e a corrigida: 1 Gráfico 4 - Séries Hisóricas Corrigidas 1 8 6 4 1981-1 1981-1 198-11 1983-1 1984-9 1985-8 1986-7 1987-6 1988-5 1989-4 199-3 1991-199-1 199-1 1993-11 1994-1 1995-9 1996-8 1997-7 1998-6 1999-5 -4 1-3 - 3-1 3-1 4-11 5-1 Taxas Time Charer - US$ mil/dia Preços de Navios Novos - US$ milhões Preços de Navios Usados - US$ milhões Taxas Time Charer Corrigidas Preços de Navios Novos Corrigidos Preços de Navios Usados Corrigidos Tabela 3 - Correlação das Séries Hisóricas Corrigidas Time Charer Navios Novos Navios Usados Time Charer 1 Navios Novos,563836166 1 Navios Usados,7787767,76617764 1 Noa-se, porano, que a correção dos valores hisóricos maneve uma fore correlação enre as séries, a qual será manida quando da projeção das mesmas. 3.1. Méodos para Análise de Séries Temporais Uma série emporal é qualquer conjuno de observações ordenadas no empo. Séries emporais são composas por quaro elemenos: a. Tendência: verifica o senido de deslocameno da série ao longo de vários anos. b. Ciclo: movimeno ondulaório que ao longo de vários anos ende a ser periódico. c. Sazonabilidade: movimeno ondulaório de cura duração, em geral, inferior a um ano, associada, na maioria dos casos, a mudanças climáicas. d. Ruído aleaório ou erro: compreende a variabilidade inrínseca aos dados e não pode ser modelado. 19

Como uma série emporal em os dados coleados seqüencialmene ao longo do empo, espera-se que ela apresene correlação seriada no empo. Exisem várias modelagens para ajuse de uma série, denre as quais podem ser desacadas: Regressão linear; Regressão múlipla; Reversão para a média; Expecaiva adapaiva; Alisameno exponencial; Modelos de Box-Jenkins - ARIMA. Para modelar as séries de axas de ime charer, preços de navios novos e usados foram esados alguns dos modelos acima, buscando aquele que apresenasse o menor erro quadráico, sendo o resulado o seguine: Tabela 4 - Erros das Modelagens Modelo Erro² Modelo Erro² Reversão para a Média 131,89 ARIMA,1,1 1.488,45 Alisameno Exponencial 464,34 ARIMA1,1, 1.484,63 AR1 649,88 ARIMA,1, 1.37,1 AR 54,6 ARIMA1,,1 789,3 AR3 51,46 ARIMA,,1 319,88 ARIMA1,1,1 1.944,87 ARIMA,, 666, Para o ese deses modelos foram uilizados os aplicaivos Saisica 7. modelos AR e ARIMA e Lingo 8. modelos de reversão para a média e alisameno exponencial. Como a série de dados é de 3 meses, adoou-se como base para a modelagem os primeiros 64, sendo os resanes 36 uilizou-se para a validação dos modelos. Somene para efeio ilusraivo, o Gráfico 5 a seguir apresena o erro deses meses.

1 8 6 4 - -4-6 -8-1 3-1 3-3 Gráfico 5 - Erro dos Modelos Série Simulada de Taxas de Time Charer - 36 meses Reversão para a Média Alisameno Exponencial AR1 AR AR3 ARIMA1,1,1 ARIMA,1,1 ARIMA1,1, ARIMA,1, ARIMA1,,1 ARIMA,,1 ARIMA,, 3-5 3-7 3-9 3-11 4-1 4-3 4-5 4-7 4-9 4-11 5-1 5-3 5-5 5-7 5-9 5-11 Para a modelagem das séries, adoou-se enão o modelo de reversão para a média que apresenou o menor erro quadráico. 3.1.1 Reversão para a Média A equação que represena o modelo de reversão para a média esá demonsrada no Anexo II, e é a seguine: -ηδ -ηδ N,1 -ηδ 1 - e X = X-1e + X 1 - e + σ η 144443 Para deerminar o valor de η, modelou-se em programação não linear, uilizando-se o aplicaivo Lingo 8. da Lindo Sysems, minimizando o erro quadráico, onde o modelo maemáico é o seguine: Minimizar = Ri Pi I i= 1 Sujeio a: Onde: P = R e ηδ i i1 i P i = valor simulado da série R i = valor hisórico da série 1

i = inervalo de empo no caso 1 η = velocidade de reversão para a média i = 1,,3,..., I Desa forma, foram deerminadas as velocidades de reversão das rês séries: Time charer η =,67891483941436 Navios novos η = -,534536615669 Navios usados η = -,6981556674 Os gráficos a seguir apresenam as disribuições de probabilidades dos erros das séries:,9 Gráfico 6 - Disribuição dos Erros das Taxas de Time Charer X <= -1,71 5,% X <= 1,84 95,%,8,7,6,5,4,3,,1-3 - -1 1 3 1,4 Gráfico 7 - Disribuição dos Erros de Navios Novos X <= -,553 5,% X <=,65 95,% 1, 1,,8,6,4,, -1 -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 1 1,

Gráfico 8 - Disribuição dos Erros de Navios Usados,5 X <= -,556 5,% X <=,584 95,%, 1,5 1,,5, -1,5-1 -,5,5 1 A disribuição normal possui várias caracerísicas écnicas imporanes, a saber: Em ermos de aparência, ela é simérica e em o formao de um sino; Suas medidas de endência cenral média ariméica, mediana e moda são odas idênicas; Sua dispersão média é igual a 1,33 desvios padrão. Iso significa que o inervalo inerquaril esá conido denro de um inervalo de dois erços de um desvio padrão abaixo da média ariméica e dois erços de um desvio padrão acima da média ariméica; Sua variável aleaória associada possui um inervalo infinio < x < +. Pela sua simplicidade, na práica buscamos sempre que possível associar uma disribuição de probabilidades a uma disribuição normal, enreano, os dados observados podem somene aproximar esas propriedades. Para que possamos enão admiir que os dados se aproximem de uma disribuição normal observamos: Seu polígono deve er aproximadamene o formao de um sino; Deve er aparência simérica; Suas medidas de endência cenral podem divergir ligeiramene uma da oura, enreano, devem esar próximas do padrão; O valor do inervalo inerquaril deverá esar próximo de 1,33 desvios padrão; 3

Seu inervalo práico não será infinio, mas geralmene esará enre 3 desvios padrões acima e abaixo da média ariméica, iso é, o inervalo será aproximadamene de 6 desvios padrão. Para uma disribuição normal o coeficiene de assimeria skewness é aproximadamene zero. A equação que define o coeficiene de assimeria é a seguine: b 1 N 1 = 1 N 1 N xi m1 i= 1 1 3 N xi m1 i= 1 3 onde N é o número de resíduos O inervalo práico é dado pelo coeficiene de curose kurosis, que mede a relação enre a cauda e o pico de uma disribuição, e assume o valor 3 para uma disribuição normal. Assim como o coeficiene anerior, ele ambém possui uma região críica, definido a parir de um nível de significância desejado e obido aravés de abela. Caso o coeficiene de curose eseja localizado nesa região, considera-se que a disribuição esudada segue uma disribuição normal. A equação que define o coeficiene de curose é a seguine b 1 N 1 = 1 N 1 N xi m1 i= 1 N xi m1 i= 1 4 O aplicaivo BESTFIT da Palisade Corporaion, uilizado para ploar os gráficos aneriores, nos fornece as seguines informações: Tabela 5 - Esaísica Time Charer Curva Dados Mean,64333,64333 Median,64333,55 Sd. Deviaion,77661,77661 Variance,631,6111 Skewness -,77 Kurosis 3 3,537 Tabela 6 - Esaísica Navios Novos Curva Dados Mean,167,167 Median,167,5 Sd. Deviaion,446,446 Variance,1637,16316 Skewness -,56 Kurosis 3 3,13 4

Tabela 7 - Esaísica Navios Usados Curva Dados Mean,31667,31667 Median,31667 Sd. Deviaion,375,375 Variance,1477,143 Skewness -,449 Kurosis 3 3,13 Pelos dados, pode-se esimar que os erros esejam bem represenados por uma disribuição normal, com coeficienes de assimeria e curose denro dos inervalos admiidos. Assim sendo, o modelo de reversão para a média será adoado como modelo de previsão das séries, uma vez que seu modelo eórico em seus erros represenados por uma disribuição normal de média zero e desvio padrão 1. 3. Simulação das Séries As séries serão projeadas para o prazo de vida úil do navio 15 anos, enreano, no primeiro momeno se faz necessário esimar o amanho da amosra, com base a seguine expressão maemáica: n = Z e σ onde: Z é o valor críico correspondene a uma área de 1 α/ do cenro de uma disribuição padronizada; σ é o desvio padrão da amosra; e é erro da amosra 1 α Como resulado obemos o seguine: 5

Tabela 8 - Tamanho da Amosra para Simulação Time Charer Navios Novos Navios Usados Média,691633 68,31 44,68 Desvio padrão 7,87 16,1 15,94 Número de dados 3 3 3 Nível de confiança,95,95,95 erro padrão,4541776,9973759,9555 Z 1,959963985 1,959963985 1,959963985 Meade da Ampliude,891655 1,85195 1,84497 Limie inferior 1,8914 66,4861435 4,8789679 Limie superior 3,581556 7,1364764 46,486595 Tamanho da Amosra 115,437646 115,437646 115,437646 Amosra necessária 115 115 115 Como segundo passo, opamos por correlacionar os ruídos brancos, que conforme o modelo de reversão para a média devem obedecer a uma disribuição Normal, 1. Para se gerar valores correlacionados para os dois aivos na Amosragem Aleaória Simples, uilizou-se a decomposição dos faores de Cholesky, que segue os seguines passos: Geram-se as variáveis de forma independene. Aplica-se uma ransformação a essas variáveis de forma que as novas variáveis assim criadas venham a er a esruura de correlação desejada. Exemplo: para gerar dois conjunos de variáveis ε 1 e ε ambos com disribuição Normal,1 e correlação ρ, geram-se inicialmene conjunos independenes η 1 e η ambém com disribuição Normal,1. Depois, ransforma-se cada par gerado aravés de: ε 1 = η 1 ε = ρη 1 + 1-ρ 1/ η Para se chegar à ransformação necessária, os passos são os seguines: 1. Para uma deerminada esruura de correlação desejada, define-se a mariz de covariância R. Decompõe-se essa mariz em R = P*P T, onde P é a mariz riangular baixa, ou seja, os valores acima da diagonal são iguais a zero e P T é sua mariz ransposa.. Define-se um veor η, composo de variáveis independenes e variância uniária. Esse veor erá sua mariz de covariância igual à mariz idenidade I. 3. Muliplicando-se a mariz P pelo veor η, enconra-se o veor ε ε = P*η, o veor ransformado, cuja mariz de covariância é a mariz R. 6

De fao: Varε = Eε*ε T = EPηη T P T = PEηη T P T = PIP T = PP T = R. onde Var e E represenam a variância e o valor esperado de um veor. Como ilusração, apresenamos a decomposição de Cholesky no caso de variáveis. Tem-se: Muliplicando: 1 ρ a11 T a11 a1 R=, P= e P = ρ 1 a a a 1 T 1 ρ a11 a1 a11 a1 a11 a11a 1 R = PP 1 = a a = ρ a11a1 a1a Temos enão que: 11 11 a = 1 a = 1 ρ a a =ρ a = a =ρ 11 1 1 11 a11 1 = = 1 = ρ a a 1 a 1 a a 1 O veor ε será dado por: ε1 1 η1 η1 ε= Pη = = ε 1 η ρ ρ ρη 1+ 1 ρ η Comprova-se, enão, a fórmula aneriormene apresenada para a ransformação de duas variáveis independenes em variáveis correlacionadas. O mesmo procedimeno pode ser usado para se gerar qualquer número de variáveis correlacionadas. Como no nosso problema são 3 variáveis, a decomposição de Cholesky é a seguine: 1 ρ3 ρ a11 a11 a1 a31 T R = 1 1 ρ ρ1 P= a1 a P = a a3 ρ ρ 1 a a a a 3 31 3 33 33 7

Muliplicando-se R = PP T emos: a11 a11a1 a11a 31 1 ρ3 ρ R = PPT = a11a 1 a1 + a a1a31 + aa3 = ρ1 1 ρ 1 a11a31 a1a31 + a3a a31 + a3 + a ρ 33 ρ3 1 Deduzimos enão que: 11 11 a = 1 a = 1 a a =ρ a =ρ 11 1 3 1 3 a a a a =ρ a =ρ =ρ a =ρ 11 31 31 11 1 1 1 1 1 + = ρ 1 + = = ρ 1 a a 1 a 1 a 1 3 1 31 + 3 =ρ ρ3ρ + ρ 1 3 =ρ 3 = 1 ρ1 a a a a 1 a a ρρ 3 31 3 33 33 33 1ρ1 a + a + a = 1 ρ + a = 1 a = ρ ρ 1 ρ1 1 ρ O veor ε será dado por: 1 η ε 1 1 η1 ε= Pη 3 1 1 3 1 1 ε = ρ ρ η = ρ η +η ρ 1 ε3 3 1 1 1 η ρ 3 1 1 1 3ρ ρ ρ ηρ3ρ η ρ ρ ρ 1 ρ η + + 1ρ ρρ 1 3 1ρ ρρ 1 3 ρρ 3 Temos enão: ε 1 = η 1 3 1 1 1 ε = ρ η + η ρ 3 1ρ1 1 1 ηρρ η ρ ρ ε 3 = ρη 1+ + ρρ 3 1 3 As abelas a seguir demonsram que a correlação do ruído branco uilizando-se a decomposição de Cholesky mosrou-se adequada, endo em visa que as correlações esão compaíveis com as das séries hisóricas. 8

Tabela 9 - Correlação dos Erros Aleaórios 1/6 Time Charer Navios Novos Navios Usados Time Charer 1 Navios Novos,5493734 1 Navios Usados,74614,7737516 1 Tabela 1 - Correlação dos Erros Aleaórios 5/1 Time Charer Navios Novos Navios Usados Time Charer 1 Navios Novos,5365356 1 Navios Usados,7363746,76946137 1 Foram enão realizadas 115 simulações pelo período de 18 meses, conforme o modelo de reversão para a média, enreano para faciliar a visualização, opamos por ransformar a série anual, em dados em que os valores de um deerminado ano seja represenado pela média de seus valores mensais. Como o Excel não permie que se mone gráficos com mais de 5 dados, sendo que a seguir apresenamos os gráficos das 55 primeiras simulações das axas de ime charer, respecivamene com relação às séries mensais e a média anual das séries mensais: 5 45 4 35 3 5 15 1 Gráfico 9 - Taxas Mensais de Time Charer 55 Simulações - US$ mil/dia 5 1 11 1 31 41 51 61 71 81 91 11 111 11 131 141 151 161 171 9