Processamento Digital de Sinais

Procssmto Digitl Siis Mrclo Bsílio Joquim São Crlos -

Íic Aprstção i Cpítulo Siis Sistms tmpo iscrto. Itroução. Siis Tmpo Discrto. Siis tmpo iscrto básicos.. Squêci mostr uitári.. Squêci gru uitário.. Squêci pocil..4 Squêci soil 4.4 Algums fiiçõs sobr siis tmpo iscrto 6.4. Ergi 6.4. Potêci 6.4. Squêcis simétrics ti-simétrics 8.5 Sistms tmpo iscrto 8.5. Sistms lirs tmpo iscrto 9.5. Sistms lirs ivrits o slocmto.5. Sistms cusis.5.4 Sistms stávis.5.5 Rprstção m igrm blocos os sistms tmpo iscrto.5.6 Sistms lirs iscrtos ivrits o slocmto.5.7 Som covolução.5.7. Propris covolução sistms LID 5.5.8 Cusli stbili m sistms lirs ivrits o slocmto 5.6 Equção lir ifrçs com coficits costts 7.6. Solução qução ifrçs 7.6. Rspost o impulso 9.7 Rprstção siis sistms iscrtos o omíio frquêci.8 Trsform Fourir pr squêcis.8. Espctro si rgi.8. Propris trsform Fourir pr siis iscrtos 5 Ercícios Cpítulo Amostrgm siis 5. Siis tmpo iscrto 5. Amostrgm siis 5. Torm mostrgm 6.4 Covrsão t mostrgm 9 Ercícios 44 Cpítulo A trsform 45. Itroução 45.. Dfiição covrgêci 45.. Rgião covrgêci 46.. Propris rgião covrgêci 5. Trsform ivrs 5.. Métoo forml pl itgrl cotoro 5.. Métoo por ispção 5.. Métoo por psão m frçõs prciis 54..4 Métoo por psão m séri potêcis 57..5 Métoo pl ivisão log 58.4 Propris trsform 59.4.. Liri 59

.4. Dslocmto o tmpo 59.4. Difrcição X() 59.4.4 Multiplicção por um squêci pocil 6.4.5 Complo cojugo um squêci 6.4.6 Rvrsão o tmpo 6.4.7 Covolução squêcis 6.4.8 Torm o vlor iicil 6.4.9 Torm o vlor fil 6.4. Torm covolução compl 6.4. Torm Prsvl 6.5 Aplicção m sistms lirs 6.5. Rprstção um sistm utilio trsform 6.5. Fução o sistm prtir qução ifrçs 6.5. Estbili cusli 6.5.4 Obtção rspost m frquêci prtir o gráfico polos ros 65 Ercícios 67 Cpítulo 4 Trsform iscrt Fourir 7 4. Itroução 7 4. Trsform Fourir pr tmpos iscrtos 7 4. Trsform Discrt Fourir 7 4.4 Trsform Discrt Fourir Ivrs 75 4.5 Propris TDF 75 4.5. Prioici 76 4.5. Liri 77 4.5. Dslocmto circulr () 77 4.5.4 Dslocmto circulr m X() 78 4.5.5 TDF squêcis ris 78 4.5.6 Covolução circulr 78 4.5.7 Covolução lir 8 4.6 Uso DFT m ális spctrl 8 Ercícios 84 Cpítulo 5 Filtros Digitis 85 5. Itroução 85 5. Projto filtros igitis com rspost o impulso ifiit - IIR 85 5.. Métoo por proimção s rivs 86 5.. Métoo por ivriâci o impulso 88 5...Métoo por trsformção bilir 9 5. Fmíli filtros lógicos 9 5.. Rspost Buttrworth 9 5... Espcificçõs pr o projto filtros pss-bis 95 5.. Rspost Chbyshv 96 5.. Filtros Elípticos 5..4 Filtros Bssl 6 5.4 Emplo projto um filtro IIR 7 5.4. Plo métoo por proimção s rivs 7 5.4. Métoo por trsformção bilir 8 5.5 Projto filtros igitis com rspost o impulso fiit - FIR 5.5. Dfiição um filtro FIR 5.5. Coição fs lir 5.5. Loclição os ros um filtro FIR com fs lir 5.6 Projto filtros FIR por jls 5.7 Projto filtros FIR utilio jl Kisr 7 5.8 Projto filtros FIR por mostrgm m frquêci 9 Ercícios Cpítulo 6 Projtos otimios filtros 5

6. Projto filtros FIR quirippl 5 6. Aproimção Pé 6. Métoo Proy 6.4 Projto filtros FIR plo métoo os míimos quros 4 Bibliogrfi 9 Apêics A Jls 4 A FFT 45 A Fórmuls tbls 5

Aprstção Procssmto igitl siis (PDS) é o trtmto qu s plic um sil tmpo iscrto. Est procssmto é cuto por mios igitis: computors ou procssors igitis. Com o vto os computors o iício éc 6, com o svolvimto lgoritmos como o trsform rápi Fourir - FFT (Coly Tuy 965), tm iício um ov tp o cmpo trtmto siis sus plicçõs. O svolvimto os microprocssors (éc 97) os procssors igitis (éc 98): mplirm s plicçõs PDS. Por volt 975 tm-s publicção os primiros livros importts o ssuto: Ophim, A. V. Schfr, R. W., Digitl Sigl Procssig. Rbir & Gol, Thory Applictios of Digitl Sigl Procssig. A mior prt os siis cotros são cotíuos o tmpo, por mplo, áuio, vío, tmprtur. Assim, pr o trtmto igitl, tm-s cssi covrtr s iformçõs m siis létricos tmpo cotíuos por mio trsutors m sgui igitlir sts siis, isto é: covrtr o tmpo cotíuo pr o tmpo iscrto (igitl) utilio covrsors AD. Os pricipis compots um sistm DSP típico são mostros figur. (t) Filtro (I) AD DSP DA Filtro (II) y(t) (t) () Filtro I: Filtro ti-lisig AD: Covrsor lógico igitl DSP: Computor igitl ou procssor igitl siis DA: Covrsor igitl lógico Filtro II: Filtro ti-imgig (filtro rcostrução) Figur : Compots um sistm pr procssmto igitl siis. Algums vtgs DSP: Progrmbili: Um implmtção m PDS é mis flívl, s qu é mis fácil s moificr (o softwr po sr tulio, rfito ou moifico). Estbili Rptibili: Aprst mlhor quli o sil, stbili rptibili o smpho o sistm, pois o sistm é rprsto form igitl implmtção é trvés lgoritmos qu ão pm tolrâci compots, vlhcimto, tc. Aplicçõs spciis: Algus procssmtos são rlios com mis ficiêci form igitl: comprssão, filtros com fs lir. Agums svtgs DSP: ão é coômico m plicçõs simpls: os covrsors AD DA, m grl crcm o sistm. Limitção m frquêci, cosumo lto potêci. Algums plicçõs DSP Grvção igitl áuio.

Comprssão siis vo áuio pr plicçõs m tlfoi igitl, rmmto m CD. Implmtção mom. Eriqucimto imgm comprssão. Síts fl rcohcimto. Prição siis ou sís sistms. Cotrol. Bioghri. Gofísic Est tto tm como objtivo prstr os luos iicits um borgm os tópicos básicos mtéri procssmto igitl siis. Aluos Eghri Elétric têm cssi trr o mrco trblho com lgum cohcimto básico PDS. A itção é prstr um tto itroutório pr sr utilio m cursos grução s árs Eghri Elétric, Eghri Computção árs fis, o ist cssi s trblhr com siis sistms tmpo iscrto. o cpítulo são itrouios os cocitos siis sistms tmpo iscrto como trblhr com sts os omíios o tmpo frquêci. São prstos tmbém os sistms lirs tmpo iscrtos sus frrmts mtmátics ális. o cpítulo são itrouios o cocito mostrgm prióic siis, o torm mostrgm sus fitos. Os cpítulos 4 são rsrvos, rspctivmt, pr prstção trsform trsform iscrt Fourir (TDF) com mplo plicção m ális spctrl. A trsform rápi Fourir, trvés o lgoritmo cimção o tmpo, é prst o pêic A-, pr os itrssos m cohcr tl lgoritmo. E os cpítulos 5 6 são utilios pr o stuo projtos filtros igits. o cpítulo 5 são stuos os projtos clássicos filtros sltivos m frquêci utilio os filtros com rspost o impulso ifiit (IIR) os projtos filtros com rspost o impulso fiit (FIR): projto por jls por mostrgm m frquêci. o cpítulo 6 são prstos lgus projtos otimios filtros, icluio o lgoritmo Prs-McClll pr filtros FIR os métoos proimção Pé, Proy métoo os míimos quros pr filtros IIR. Pr uilir o stuo outros ois pêics são icluíos: um pr jls (A-) um com formuls tbls utilis m PDS (A-). Mrclo Bsilio Joquim

- - Cpítulo SIAIS E SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO. Itroução Um sil po sr fiio como um quti físic, vrit o tmpo qu trsport iformção rspito o comportmto um sistm. Em grl, l é rprsto mtmticmt como um fução um ou mis vriávis ipts (tmpo, spço, tc.), porém, st stuo, ls srão mitis fuçõs com somt um vriávl ipt, o tmpo. O moo mis comum s clssificr um sil é ivii-lo m us importts clsss. Os trmiísticos os ltórios. Os siis trmiísticos são quls utilios pr propósitos tsts, molgm crctrição sistms. Dtr ls po-s stcr: os siis soiis, o qur, fução gru uitário, fução impulso, tc. Els são bm fiios m grl rprstos ou scritos por um fução mtmátic ou gráfic, o s cohc o su vlor m qulqur istt tmpo, prst, psso ou futuro. Amplitu, frquêci fs são os sus pricipis prâmtros. sgu ctgori rcm os siis iformção proprimt itos quls provits tur, tis como: siis vo, áuio, vío, tmprtur, os igitis tmbém o ruío. Dvio à tur ltóri, ls só pom sr scritos utilio como fumto tori probbilis lgums propris qu prstm, como por mplo, stciori trvés lgums méis tis como: vlor méio, vlor qurático méio, vriâci svio prão, fução utocorrlção spctro si potêci. A vriávl ipt tmbém é um outr quti muito importt pr clssificr os siis. Os siis tmpo cotíuo são clssificos por um vriávl ipt qu po ssumir qulqur vlor tro um fi cotíu qu po s str té o ifiito; sts siis são chmos mis rrmt lógicos. Já os siis tmpo iscrto são fiios m istts tmpos iscrtos, t, Z. A vriávl ipt ssum vlors iscrtos, provvlmt ão umrávl, portto ls são rprstos por um squêci úmros. A mplitu o sil tmbém po sr iscrt ou cotíu. o cso iscrto l é quti, isto é proim pr um vlor prtct um cojuto fiito mplitus m sgui coific igitlmt. st cso têm-s os siis igitis, o tto mplitu quto o tmpo são qutis iscrts. st stuo, miori s vs ão s frá hum rfrêci com rlção à mplitu, form tl qu os siis srão mitios tmpo iscrto, ms cuj mplitu po ssumir qulqur vlor tro um fi cotíu prtct os úmros ris. Um sistm po sr fiio como um ispositivo qu rli um oprção mtmátic m um sil. Como um mplo sistm po s citr um filtro utilio pr ruir ruío ou itrfrêcis m um sil plico m su tr. Os sistms pom sr clssificos o msmo moo qu os siis. Sistms cotíuos ou lógicos são quls m qu s trs sís são siis tmpo cotíuo. Os iscrtos são quls cujs trs sís são siis tmpo iscrto os igitis são quls cujs trs sís são siis igitis. Quo s pss um sil trvés um sistm imos qu l foi procsso, í o om procssmto siis. st cpítulo srão stuos os pricipis cocitos propris pr siis sistms tmpo iscrto.. Siis tmpo iscrto Os siis tmpo iscrto são m grl, origios trvés mostrgm o sil cotíuo, cujo itrvlo mostrgm é costt spcifico plo torm yquist, qu srá stuo o

- - cpítulo. Como um mplo um sil cotíuo um tmpo iscrto, cosir o sguit sil pocil, t () t (.) Est sil é fiio pr qulqur istt tmpo o itrvlo - < t <, como mostr figur..., so portto um sil tmpo cotíuo. Amitio gor, qu st sil é fiio somt os istts t :, ±, ±,..., como mostr figur..b, tão st ovo sil pss sr tmpo iscrto. st cso tm-s qu, ( t ) t, ±, ±, L (.).5 ( ) ( b ).5 t -5 5-5 5 Figur.: Rprstção gráfic o sil s quçõs (.) (.). figur..b o sil iscrto é rprsto por rts (ris) prlls o io tmpo iscrto. Obsrv qu s spcific rspito o sil mostro tr ois itrvlos jcts t t pois vriávl é fii somt pr vlors iscrtos. Isto ão implic qu l ão prst vlors sts itrvlos, ms somt qu ão é fiio. Os istts tmpo são rgulrmt spços tis qu t T (T é chmo itrvlo ou príoo mostrgm). A otção comumt utili pr st tipo sil é () (T ) o sil pss sr rprsto por um squêci úmros {()}. Amitio, por mplo, qução (.) T, s, tm-s sguit squêci,. ( ), ±, ±, L (.) Como foi comto cim, um sil tmpo iscrto é ssocio um squêci úmros {()} como quls covciolmt utilis m mtmátic. Assim é itrsst spcificr s oprçõs básics qu s rlim com squêcis. () Som squêcis ( ) ( ) ( ) y Som-s mostr com mostr s squêcis iiviuis. Obsrv qu sts squêcis vm prstr o msmo tmho. o cso squêcis com tmhos ifrts o problm po sr rsolvio crscto-s ros à squêci mor tmho. (b) Prouto squêcis ( ) ( ). ( ) y Multiplic-s mostr por mostr s squêcis iiviuis. Obsrv qu, como triormt, sts squêcis vm prstr o msmo tmho. (c) Multiplicção por um sclr α y ( ) α( )

- - Multiplic-s c lmto squêci por α. () Atrso m um squêci y ( ) ( ) Em qu, é um úmro itiro positivo qulqur. Obsrv qu o istt, y() (- ), ssim, y() stá trs por mostrs m rlção à (). S for um úmro gtivo tão s i qu y() stá vç por mostrs m rlção ().. Siis tmpo iscrto básicos Eistm lgus siis iscrtos qu são muito utilios o svolvimto tori procssmto igitl siis o stuo, molgm tst sistms. Algus sts siis são fiios sguir... Squêci mostr uitári, δ( ) (.4), Est tipo sil ou squêci smph o msmo ppl qu fução impulso uitário δ(t) smph os sistms cotíuos o tmpo. El tmbém é chmo, sm istição com os sistms cotíuos, fução impulso, impulso uitário ou pulso uitário. Qulqur squêci () po sr rprst por um squêci por fuçõs mostrs uitáris tis qu: ( ) L δ( ) δ( ) δ( ) δ( ) δ ( ) L (.5) m qu: ()... Squêci gru uitário, u ( ) (.6), < Est squêci é muito útil quo s prt istiguir íics positivos (tmpo positivo) os gtivos. Itificmos ssim, os siis cusis, isto é, siis qu são ulos pr <, ou sj, qu prstm vlors somt pr íics positivos. Pr st squêci s sguits rlçõs são vális:.. Squêci pocil ( ) δ( ) δ( ) u (.7) ( ) u( ) u( ) δ (.8)

- 4 - ( ) α (.9) Est squêci é muito utili m procssmto igitl siis. El prc com frquêci o stuo sistms lirs tmpo iscrto. Um sistm lir primir orm prst como rspost o impulso um fução pocil, como srá visto mis it. Um squêci pocil cusl é rprst como bio, ( ) α u( ) (.) ssim, l prst toos os sus vlors ulos pr <. o cso α < l tom form um pocil mortci com mostr figur...8.6.4. 5..4 Squêci soil Figur.: Sil pocil. Um sil soil tmpo iscrto é um oscilção hrmôic qu po sr prss por um s forms mostrs bio, ( ) A cos( πf φ) A cos( w φ) (.) ( ) As( πf φ) As( w φ) (.) j ( ) ( πfφ) j( w φ) A A (.) A qução (.) rprst form compl sói s outrs us triors rprstm s forms ris. Est sil possui três prâmtros qu o crctrim compltmt: mplitu A, frquêci w o âgulo fs φ..5 -.5-5 5 5 Figur.: Sil soil tmpo iscrto. É cssário fr um obsrvção importt com rlção à frquêci os siis cotíuos os iscrtos. As ltrs miúsculs Ω F srão utilis pr rprstr s frquêcis lógics s miúsculs w f srão utilis pr rprstr s frquêcis igitis. st cso w tm ui rios por mostr f ui ciclos por mostr stão rlcios por: w πf (.4)

- 5 - As frquêcis lógics igitis stão rlcios plo príoo ou pl frquêci mostrgm o sil como sgu, F f FT (.5) F m qu, T é o príoo mostrgm o sil. Obsrv qu quo for cssário trmir frquêci um sil lógico qu grou o mostro bst multiplicr frquêci igitl pl mostrgm. Pr mostrr st rsulto, cosir o sguit sil soil tmpo cotíuo, ( t) A cos( πft φ) Amitio qu s colh um mostr st sil c T sguos tão o sil mostro srá o por: ( T ) A cos( πft φ) Cosiro f FT, como iico pl qução (.5), tm-s qu: ( ) A cos( πf φ) Propris um sil soil tmpo iscrto ) Siis soiis cujs frquêcis são sprs por múltiplos itiros π são iêticos. [( w πm ) φ] cos[ w πm φ] cos[ w φ] cos b) A t mis lt oscilção pr siis tmpo iscrto é obti quo w π ou f.5. Pr provr st propri, cosir um squêci () tl qu: ( ) A cos( w ), m qu : < < π w Sj um outr squêci (), com frquêci mior qu π, tl qu: ( ) A cos[ ( w π) ] Assim, pricípio, frquêci () sri w π, ms st firmção ão é vrir pois: ( ) A cos[ ( w π) ] A cos[ ( w π π) ] Pl propri trior, propri () i rlmbro qu fução cosso é pr tm-s qu: ( ) A cos[ ( w π) ] A cos[ ( π w ) ] Assim, frquêci st sil srá π - w, logo l prtc o itrvlo (,π). Portto frquêci oscilção mis lt é obti quo w π. c) Um sil soil iscrto é prióico s somt s frquêci for um úmro rciol.

- 6 - Dfiição: S um squêci () é prióic, com príoo, tão () srá igul (), m qu é o mor itiro qu stisf rlção () (). Sj: S () é prióic tão: ( ) A cos( πf ) ( ) A cos( πf ) A cos[ πf ( )] A cos( πf πf ) Obsrv qu pl propri () rlção cim é vrir s istir um úmro M, itiro tl qu: f πm f π Portto f v sr um úmro rciol pr squêci sr prióic. ) Um sil soil po sr obtio pls rlçõs Eulr: j θ jθ M cos ( θ) (.6.) j θ jθ s( θ ) (.6.b) j θ ( θ) j s( θ) j cos (.7).4 Algums fiiçõs sobr siis tmpo iscrto.4. Ergi A rgi um sil tmpo iscrto é fii pl sguit qução: E ( ) (.8) S o sil () prstr rgi fiit l é chmo sil rgi. Os siis urção fiit, isto é, quls qu prstm somt mostrs ão uls, têm smpr rgi fiit. Os siis urção ifiit qu prstm rgi fiit são crctrios por vlors mostrs qu tm ro coform t ifiito..4. Potêci ( ), coform E < (.9) Em grl, os siis prióicos os procssos ltórios prstm rgi ifiit. Pr sts csos é propri fiição potêci méi qu é pl sguit qução:

- 7 - P lim ( ) (.) S o sil é prióico, com príoo fumtl, tão potêci méi é fii por: ( ) P (.) α Emplo : Dtrmi rgi o sguit sil: ( ) A u( ), : α < α A ( ) α α α A A A E Emplo : Dtrmi potêci squêci gru uitário u(). P lim u ( ) lim lim / lim / Emplo : Dtrmi potêci um sil complo, composto pl som us compots soiis, com frquêcis w w ifrts, tis qu: ( ) A A m qu, A A são costts ris positivs. - Cálculo () ( A A )( A A ) * ( ) ( ) ( ) A A A A - Cálculo Potêci P lim A A j( w w ) j( w w ) ( ) j( w w ) j( w w ) [ A A A A ( )] A A lim j( w w ) j( w w ) ( ) j( w w ) lim j( w w ) j( w w Emio o limit: ( ) ) L lim Portto: P A A Po-s mostrr tmbém qu pr M sóis compls istits potêci méi srá:

- 8 - P M A (.) st mplo form cosiros siis soiis complos. Pr situção m qu s tm M siis soiis ris com frquêcis istits, potêci méi srá por: P M A (.).4.. Squêcis simétrics ti-simétrics Sj () um squêci compl * () o su cojugo. Um squêci é chm simétric (pr) s: ( ) * ( ) Um squêci é omi ti-simétric (impr) s: ( ) * ( ) É possívl tmbém obtr um squêci simétric () ou um ti-simétric o () prtir um squêci qulqur () trvés s sguits prssõs: [ ] * ( ) ( ) ( ) (.4) o [ ] * ( ) ( ) ( ) (.5).5 Sistms tmpo iscrto Os sistms tmpo iscrto são fiios o msmo moo qu os sistms cotíuos. Els são fiios mtmticmt como um trsformção qu s opr m um squêci tr () prouio um squêci sí y() chm rspost o sistm à citção (). Est trsformção é rprst pl sguit rlção: [ ( )] y ( ) T (.6) m qu o opror T[.] rprst trsformção su rprstção gráfic é fit plo igrm blocos mostro figur bio. () T[()] y() Figur.4: Rprstção um sistm tmpo iscrto. Emplo 4: Sgu sguir lgus mplos sistms tmpo iscrto qu são muito utilios m procssmto igitl siis: ) Sistm trso y ( ) ( ) (.7)

- 9 - Amitio um úmro itiro positivo, st sistm trs (sloc) o sil tr por mostrs. o cso sr gtivo l vç pl msm quti mostrs. b) Acumulor O sistm cumulor clcul som toos os vlors pssos tr té o istt prst (tul). El é fiio pl sguit qução: ( ) ( ) y (.8) Isolo o trmo orm prssão cim s tm qu: y ( ) ( ) ( ) Obsrv qu o sguo trmo qução cim rprst sí trs mostr. Assim: ( ) ( ) y( ) y (.9) A qução (.9) justific o trmo cumulor, pois sí p o vlor prst tr o vlor trior y(-) sí. Além isso, su rspost ão é uicmt trmi pl tr, ms p s coiçõs iiciis o sistm, isto é, o sto o sistm ts s plicr citção. Cosiro, por mplo, qu o sistm qu é plico fução u(), po-s obsrvr qu sí p y(-). - mitio y(-) tm-s: y ( ) u( ) y( ) - mitio y(-) tm-s: ( ) y ( ) u( ) y( ) ( ) Obsrv qu os rsultos triors mostrm qu sí p y(-). Frqutmt, quo s coiçõs iiciis são uls, isto é, y(-) y(-)..., o sistm é ito str m rpouso (ou rlo). c) Sistm sm mmóri Um sistm sm mmóri é qul cuj sí p somt tr o istt. Por mplo, o sistm fiio pl qução (.) ão tm mmóri..5. Sistms lirs tmpo iscrto ( ) [ ( ) ] y (.) Um sistm lir tmpo iscrto (qu srá brvio pl sigl (LTD) é qul qu obc o pricípio suprposição, isto é: Amitio y (), y (),..., y M () s rsposts o sistm corrspots, rspctivmt, às citçõs (), (),..., m (), tão o sistm é lir s somt s :

- - T T [ ( ) ( ) ( ) ] T[ ( ) ] T[ ( ) ] L T[ ( ) ] L M M [ ( ) ( ) ( ) ] y ( ) y ( ) L y ( ) L M M M M (.) m qu, M é um úmro itiro qulqur,,..., M são costts. Emplo 5: Emplos ois sistms lirs: ) O sistm y() () é lir pois: [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) y ( ) y ( ) T b) O cumulor fiio pl qução (.8) é um sistm lir pois: y ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) y ( ) y ( ).5. Sistms lirs ivrits o slocmto Um sistm LTD ivrit o slocmto é qul cuj crctrístic ão vri com o slocmto provoco tr. Assim, um sistm LTD é ivrit o slocmto s somt s: T [ ( )] y( ). (.) M M Emplo 6: Emplos sistms ivrits vrits o slocmto: Sj y (, ) sí o sistm quo s plico m su tr um squêci ( ) ) O ifrcior, y() () (-) é ivrit o slocmto pois: y (, ) ( ) ( ) y( ). b) O sistm y() () é vrit o slocmto pois quo é plico (- ) tm-s: y (, ) ( ) y( ) ( ) ( ) c) O sistm y() (-) é vrit o slocmto pois: Sj: ( ) ( ), tão: y ( ) ( ) ( ) y( ) ) O comprssor y() (M) é vrit o slocmto ão sr qu M. Sj: ( ) ( ), tão:.5. Sistms cusis y ( ) ( M) ( M ) y( )

- - Um sistm é chmo cusl s o sil prst su sí y(), m qulqur istt, p somt os vlors os istts pssos sí os istts prst pssos tr {(), (-), (-),...}, ão p os vlors futuros {(), (),..., y(),...}. Um outr fiição muito usul pr os sistms cusis é qu sgu: Um sistm é chmo cusl s pr qulqur istt su sí o istt p os vlors tr pr. Emplo 7: Emplos sistms cusis: ) y ( ) ( ) ( ) ) y ( ) ( ) ) y ( ) ( ) by( ) Emplo 8: Emplos sistms ão cusis: ) y ( ) ( ) ( 4) ) y ( ) ( ) ) y( ) ( ) 4) y( ) ( ).5.4 Sistms stávis Um sistm m rpouso, é stávl s somt s pr um squêci tr limit tm-s um sí limit, isto é: m qu B B y são costts fiits. Emplo 9: Emplos sistms stávis ) y( ( ) ( ) ) y ( ) [ ( ) ] ) y ( ) ( M) Emplo : O cumulor é um sistm istávl. ( ) B < y( ) B <, (.) y ( ) ( ) Sj () u() qu é limit, pois o vlor máimo fução gru uitário é. Etão: y

- - y ( ) u( ), <, Obsrv qu mbor sj fiito, ão ist um vlor fio pr B y, como fiição m (.), tl qu: ( ) B y <..5.5 Rprstção m igrm blocos os sistms tmpo iscrto Srá útil st prt fr um pqu itroução à rprstção por igrm blocos os sistms LDT, pois l fcilit o stuo su implmtção. As pricipis oprçõs m sistms tmpo iscrto são mostrs plos blocos bio. ) Bloco somor () y() () () () b) Bloco multiplicor () y() (). () () c) Bloco multiplicor por costt () () y() () ) Bloco slocor mostrs () - y() ( ) Em qu - é um opror trso qu sloc () por mostrs o sil. Est rsulto ficrá prt o stuo trsform, o cpítulo. Emplo : Rprst trvés igrm blocos o sguit sistm: y ( ) y( ). 5( ). 5( ) Rrrjo qução cim moo s coomir um bloco multiplicor tm-s qu: y ( ) y( ). 5[ ( ) ( ) ]

- - ().5 y() - - (-) y(-) Figur.5: Digrm m blocos o sistm..5.6 Sistms lirs iscrtos ivrits o slocmto As fiiçõs s triormt clssificm os sistms quto às su propris ctgoris tis como: liri, ivriâci o slocmto ou o tmpo, cusli stbili. Os sistms lirs iscrtos ivrits o slocmto qu srão brvios por LID São os mis importts sts sistms. Els são crctrios o omíio o tmpo por su rspost à fução mostr (ou impulso) uitári como srá visto sguir, prssão grl qu rlcio tr sí tis sistms é pl som covolução. Pr s trmir rspost o sistm um citção tr () qulqur, srá mitio qu h() é rspost o sistm LID à fução mostr uitári. Como foi visto triormt, vj qução (.5), um squêci () po sr scrit como um som por fuçõs mostrs uitáris, tl qu: ( ) ( ) δ( ) (.4) Assim, por fiição, rspost um sistm vio à citção tr () srá por: ( ) [ ( )] y T T ( ) δ( ) (.5) Como por hipóts, o sistm é lir, tão, plico o pricípio suprposição tm-s qu: y ( ) ( ) T[ δ( ) ] Como, tmbém por hipóts, o sistm é mitio sr ivrit o slocmto, tão rspost á citção δ(-) srá h(-), logo, ( ) ( ) h( ) y (.6) Obsrv qu tr sí stão rlcios trvés h(), como cosquêci, um sistm LID é crctrio compltmt pl su rspost á fução mostr uitári, h(). Assim, um v qu é fução h(), po-s trmir squêci sí y() vio à citção tr () trvés qução (.6). A qução (.5) é cohci plo om som covolução ou simplsmt covolução tr () h(), so rprst plo opror *, isto é,.5.7 A som covolução y( ( ) h( ) ( ).\ (.7)

- 4 - Supoh qu s qur clculr sí o sistm m um istt qulqur,. Utilio qução (.6) tm-s qu: y ( ) ( ) h( ) (.8) Obsrv st qução qu som é rli os íics ão os íics, lém isso, st íic é ivrtio rspost o impulso o sistm. Dss moo po-s rsumir como sgu s oprçõs volvis som covolução: i. Rbt-s h() m toro pr s obtr h(-), ii. Dsloc-s h(-) por mostrs á irit, s for um úmro positivo (ou à squr s for gtivo), iii. Multiplic-s c lmto () por h( ) pr s obtr squêci ()h( ), iv. Somm-s toos os vlors squêci prouto pr s obtr y( ), v. Rptm-s os pssos cim pr toos os vlors possívis moo obtr-s y(). Emplo : Dtrmi som covolução tr s sguits squêcis: h() {,,, -} () {,,, }. O úmro m grito iic o vlor squêci pr o íic. - Rbtimto h(): h(-) {-,,, } - Cálculo y(): h ( ) ( ) y ( ) 4 - Cálculo y() h ( ) ( ) 4 y () 8 - o fil, clculo covolução pr -,,,..., 5, obtmos y(). Pr os outros vlors os rsultos são ulos. y() {, 4, 8, 8,, -, -} ot st mplo qu o tmho squêci () é M 4, o tmho h() é 4 o y() é L 7. Como rgr grl tm-s qu pr squêci tmho fiito covolução prou um squêci fiit tmho: L M. (.9) Um outr obsrvção importt é qu pr os sistms cotíuos, lirs ivrits o tmpo, rlção tr tr sí é rgi pl itgrl covolução, st cso é possívl somt stur

- 5 - o comportmto tórico sts sistms. Já os sistms LID são rgios pl som covolução m qu é possívl, ão somt stur o comportmto tórico, ms tmbém rliá-lo utilio procssors igitis trvés implmtção um lgoritmo qu rsolv qução (.6)..5.7. Propris covolução sistms LID ) A som covolução é comuttiv, isto é, b) A covolução é ssocitiv, isto é, ( ) ( ) * h( ) h( ) * ( ) h( ) ( ) y (.4) ( ) [ ( ) * h ( ) ]* h ( ) ( )* [ h ( ) * h ( ) ] y (.4) Est propri é itrprt o sguit moo: Dois sistms itrcoctos m csct corrspom um sistm quivlt cuj rspost o impulso é covolução s rsposts o impulso iiviuis os ois sistms. () h () h () y() () h ()*h () y() c) A covolução é istributiv, isto é, Figur.6: Itrprtção li ssocitiv. ( ) ( ) * h ( ) ( ) * h ( ) ( ) * [ h ( ) h ( ) ] y (.4) Dois sistms m prllo corrspom um sistm cuj rspost o impulso é som s rsposts iiviuis os sistms. h () () y() h ()h () () y() h () Figur.7: Itrprtção li istributiv..5.8 Cusli stbili m sistms LID Pr os sistms lirs iscrtos ivrits o slocmto, s propris cusli stbili pom sr protmt vrifics trvés ális rspost o impulso o sistm. ) Cusli Cosir sí um sistm LID m um o istt. Dss moo: y ( ) h( ) ( ) Dsobro qução cim m us quçõs tm-s qu:

- 6 - y y ( ) h( ) ( ) h( ) ( ) ( ) [ L h( ) ( ) h( ) ( ) ] [ h( ) ( ) h( ) ( ) L] O primiro trmo tr colchts volv os vlors futuros (): ( ), ( ),... Como o sistm é cusl su rspost ão po pr sts vlors (futuros), ssim, o primiro trmo v sr ulo. Pr qu ls sjm ulos v-s tr portto: h(-) h(-)..., ou sj rspost o impulso v stisfr sguit coição: ( ), < h (.4) Amitio qu s stj trblho com um sistm cusl, os limits somtóri covolução pom sr moificos moo rfltir coição stblci pl qução (.4). ( ) ( ) h( ) h( ) ( ) y (.44) lém isso, s squêci tr () tmbém for cusl, tão: y ( ) ( ) h( ) h( ) ( ) (.44) b) Estbili A stbili é tmbém um propri muito importt sr vrific implmtção um sistm. Como posto triormt, um sistm é stávl s pr um tr limit sí tmbém srá limit. ovmt, utilio qução covolução mitio qu () B <, tão móulo squêci sí é, ms, por hipóts () B, tão: ( ) h( ) ( ) y (.45) y ( ) h( ) ( ) ( ) B h( ) y. Assim, pr qu o sil sí sj limito v-s tr qu: ( ) B < h. (.46) h Portto, pr qu um sistm LID sj stávl, rspost o impulso v sr bsolutmt somávl. Est é um coição cssári suficit, lém isso l iic qu h() v sr mortci, isto é, cir pr ro coform s proim o ifiito.

- 7 - A rspost o impulso um sistm tmpo iscrto srv tmbém pr clssificá-los m rlção à su urção: - Os sistms FIR (brvição o iglês fiit impuls rspos) são quls cuj rspost o impulso é fiit, isto é têm urção limit. - Os sistms IIR (brvição o iglês ifiit impuls rspos), isto é, quls cuj rspost o impulso é ifiit. Est omcltur srá muito utili m projto filtros igitis. Obsrv qu os sistms FIR são smpr stávis, pois h() prst urção fiit..6 Equção lir ifrçs com coficits costts Um s forms s scrvr um sistm LID é trvés su rspost o impulso cosqutmt trvés som covolução, cotuo, miori os csos é cssário ou sjávl prssr o comportmto o sistm m trmos os vlors prst pssos o sil tr, tmbém os vlors pssos o sil sí. Pomos rprstr os sistms iscrtos trvés qução lir ifrçs. st cso o sistm é protmt implmto trvés blocos somors, multiplicors trso. Além isso, l srv como bs pr obtção rspost m frquêci o sistm, como srá visto mis it. A form grl pr um sistm LID scrito trvés um qução lir ifrçs é por: y ( ) y( ) b ( ) M (.47) m qu os coficits b são prâmtros costts o sistm. Um form quivlt scrvr st sistm é trvés qução bio: y M ( ) b ( ) (.48) m qu é mitio sr igul, o limit somtóri é chmo orm o sistm. Obsrv qu qução (.47) prss rspost o sistm LID como um som por os vlors pssos y(), y(-), y(-),..., y(-), os vlors prst pssos, (), (-),..., (-M), por isso st qução tmbém é chm rcursiv pois sí p vlors triors tr sí. Além isso pr s trmir y() é cssário o cohcimto s coiçõs iiciis o sistm, isto é, y(-), y(-),..., y(-). A qução (.47) é form grl um qução lir ifrçs rprst um sistm cuj rspost o impulso é ifiit (sistm IIR). o cso sistms com rspost o impulso fiit (sistms FIR), sí p somt os vlors prsts pssos tr. Dss moo, :,,..., fic fácil mostrr qu rspost o impulso h() é plos próprios coficits b, ou sj: h ( ) b,,, L, M, cso cotrário (.49) Emplo : Dtrmi qução ifrçs pr o sistm cumulor: y ( ) ( )

- 8 - y ( ) ( ) ( ) y( ) ( ) Assim, st sistm é rprsto por um qução lir ifrçs tl qu compro com qução (.48) tmos:,, M b. () y() y(-) - Figur.8: Digrm m blocos o cumulor..6. Solução qução ifrçs A solução qução ifrçs, qução (.47), é compost us prts: A rspost turl (ou homogê), y (), qu é vi um tr ul, (), rspost prticulr (ou forç) y p (), vi um tr ão ul. A rspost totl o sistm é o rsulto s us rsposts triors. y ( ) y ( ) y ( ) (.5) Pr s trmir y() é cssário o cohcimto s coiçõs iiciis o sistm, isto é, o cohcimto y(-), y(-),..., y(-). S s coiçõs iiciis são uls o sistm stá m rpouso, pois ão há rmmto rgi s mmóris o sistm. p A rspost turl A rspost turl é solução qução homogê, El prst sguit form: ( ) y (.5) y ( ) i c iri (.5) Em qu r i são s rís o poliômio crctrístico o sistm: i i r (.5) Rsolvo qução cim clculmos r i os coficits c i são trmios moo stisfr s coiçõs iiciis. Pr o cso m qu um ri é rpti M vs, vm-s crsctr os trmos: r j, r j M j, L, r (.54) A rspost prticulr (forç)

- 9 - A rspost forç é solução qução ifrçs mitio um tr ifrt ro. Como stmos mitio um sistm lir, rspost é obti supoo qu sí th msm form tr, por mplo, pr um tr soil sí tmbém srá soil provvlmt moific m mplitu fs plo sistm. A tbl bio rsum s soluçõs pr s trs mis comus utilis os sistms. Tbl : Solução prticulr pr lgums trs. Etr Solução prticulr (costt) c (costt) c w φ cos w c s w cos( ) ( ) ( ) c Emplo 4: Dtrmi rspost totl o sistm LID rprsto pl qução ifrçs: y ( ) 4y( ) ( ) quo plicmos tr fução gru uitário. Amit s sguits coiçõs iiciis: y(-) y(-). Obsrv qu -4 - Rspost turl: r 4 r ± portto: y ( ) c ( ) c ( ) - Rspost prticulr: obsrv qu tr vl pr, logo y p ( ) c. Substituio qução ifrçs tm-s: 4c c y c p ( ), - Rspost totl: y( ) y ( ) y ( ) c ( ) c ( ) p As costts c c são trmis utilio s coiçõs iiciis. Assim, y y 4 4 ( ) c ( ) c ( ) c c ( I ) ( ) c ( ) c ( ) c c ( II ) Combio s quçõs (i) (II) tm-s qu: c c 8 Portto rspost totl srá: y 4 4 / ( ) 4( ) ( ) 8.6. Rspost o impulso

- - A rspost o impulso um sistm po sr cotr trvés rspost o gru uitário, supoo qu o sistm stj m rpouso, isto é, com coiçõs iiciis uls. Amitio s() como rspost m rpouso à fução gru, tão, pl qução (.8), rspost o impulso srá h() s() s(-). Emplo 5: Dtrmi rspost o impulso o sistm o o mplo 4. Pr trmir rspost o impulso mitimos y(-) y(-), logo, y y 4 4 ( ) c ( ) c ( ) c c ( I ) ( ) c ( ) c ( ) c c ( II ) Combio s quçõs (i) (II) tm-s qu: c c / Assim, rspost totl srá: s( ) ( ) ( ) E rspost o impulso srá h() s() s(-): h ( ) ( ) ( ).7 Rprstção siis sistms iscrtos o omíio frquêci Dvio o fto qu quo o sil tr é soil sí um sistm lir é tmbém um sil soil com msm frquêci tr, mplitu fs trmis plo sistm, rprstção siis trvés compots soiis ou tão pociis compls é muito usul tori prátic sistms lirs. Cosir um sistm LDI, com rspost o impulso h(), m cuj tr é plic um squêci pocil compl form: ( ), : < < (.55) A sí o sistm srá pl som covolução tr tr () rspost o impulso o sistm h() tl qu: Como o íic ão tr somtóri, ( ) ( ) ( h ) y (.56) Vmos fiir sguit fução: ( ) h( ) y (.57)

- - ( ) h( ) H (.58) Est fução é chm Rspost m Frquêci o sistm. Obsrv qu l scrv ltrção mplitu pocil compl,, m fução su frquêci. A qução (.58) mis é qu trsform Fourir squêci h(). Assim, pomos scrvr qu sí o sistm srá: ( ) H ( ) y (.59) A sí, y(), é um pocil compl msm form qu tr, ms moific pl mplitu fs H( ). Fic ssim prt qu H( ) crctri compltmt um sistm lir. Em grl, rprst-s rspost o sistm por um rspost mplitu (móulo H( )) um rspost fs tl qu: H j H ( ) H ( ) ( ) (.6) O trmo H( ) trmi mplificção (s H( ) > ) ou tução (s H( ) < ) qu o sistm impõ o sil tr o trmo H( ) trmi quti slocmto fs impost o sil soil tr. Assim o móulo rspost m frquêci, H( ) é chmo rspost mplitu o sistm o trmo H( ) é chmo rspost fs Emplo 6: Cosir o sistm trso: y() ( ). Aplico squêci pocil compl () tr st sistm tm-s qu: y ( ) ( ) Compro qução cim com (.59), cocluímos qu rspost m frquêci o sistm srá por: H ( ) H H ( ) ( ) w O cocito rspost m frquêci pr os sistms lirs ivrits o tmpo é o msmo, tto pr os sistms cotíuos como pr os iscrtos. Cotuo, rspost m frquêci pr os iscrtos tm um ifrç fumtl, l é smpr prióic, com príoo igul π. Pr obsrvr st crctrístic cosir um frquêci w w π qução (.6). Assim: j ( ( w π) j ) ( ) ( w π ) H h h( ) como -jπ cos(π) js(π), tão: jπ j ( ( wπ) H ) h( ) H ( ) (.6) Portto H( ) é prióic, com príoo π. Dss moo, por coviêci simplici l srá smpr prss m um os itrvlos bio:

- - w < π π < w π ou f <.5 < f.5 Emplo 7: Dtrmi rspost m frquêci o sistm cuj rspost o impulso é bio, tmbém squêci sí, quo squêci tr é por: () A jπ/. h ( ) u( ) - Cálculo rspost m frquêci o sistm, qução (.58): H ( ) h( ) - Dtrmição squêci sí, qução (.59): y jπ / jπ / jπ / j ( ) ( ). jπ / j( π / H A A A A ). j Est mplo mostr qu sí cotiu so um pocil compl com msm frquêci tr, com um slocmto fs provoco plo sistm igul. rios um ltrção mplitu plo ftor /. As msms coclusõs srim vlis s tr foss um squêci soil rl. S tr o sistm cosistir mis qu um sil soil plic-s o pricípio suprposição..8 Trsform Fourir pr squêcis O pr trsforms Fourir pr um squêci ou sil iscrto () é fiio pls sguits quçõs: ( ) ( ) X (.6) π π ( ) X ( ) w. (.6) π A qução (.6) é trsform Fourir irt pr squêcis ou siis iscrtos, tmbém chm qução ális, qução (.6) é trsform Fourir ivrs ou qução síts pois rprou () prtir su spctro frquêci. A trsform X( ) é um fução compl portto é usul scrvê-l form polr, isto é, X j X ( ) X ( ) ( ). (.64) O móulo trsform é cohcio como spctro mplitu, fs como spctro fs. O spctro fs ão é trmio uicmt, s qu qulqur itiro múltiplo π po sr somo à fs sm ftr o rsulto fil. Em grl, trmi-s o vlor pricipl, itifico por

- - ARG[X( )] com vlors tr ± π. Como iscutio sção trior, tto o spctro fs como o mplitu são prióicos com príoo π. Um prgut qu s origi urt o cálculo trsform é: Qul clss siis tmpo iscrto qu po sr rprst pl trsform Fourir? st cso v-s lisr covrgêci trsform. Pr qu trsform ist, qução (.6) v covrgir, isto é, coição bio v sr stisfit: Obsrv qu: ( ) < : w < π X (.65) ( ) ( ) ( ) X, ( ) ( ) < X. (.66) Portto, coição suficit pr qu trsform Fourir ist é qu () sj bsolutmt somávl. Emplo 8: Dtrmi trsform Fourir squêci () u(). X ( ) ( ) Obsrv qu séri cim é um progrssão gométric com rão -. Amitio qu - <, o qu é quivlt mitir qu <, tm-s qu: X ( ) (.67) A coição trior < implic squêci () é bsolutmt somávl, grtio covrgêci uiform séri Um obsrvção importt s fr é qu istm lgums squêcis qu ão grtm coição qução (.66), ms msmo ssim é possívl cotrr su trsform Fourir. Em prticulr, é possívl rlr st coição clculr trsform Fourir squêcis cuj rgi é ifiit. Eistm outros csos o s squêcis ão são m bsolutmt somávis, m têm rgi fiit, ms é possívl clculr trsform fo uso fução impulso uitário. (Vj Ophim, 989, mplo pp 49)..8. Espctro si rgi Foi fiio sção.. qu rgi um sil é por: E * ( ) ( ) ( )

- 4 - Utilio fiição trsform ivrs Fourir, qução (.6), trsform Fourir ivrs o cojugo um squêci é, π π * ( ) X ( ) w π substituio qução cim s tm qu: E * π * ( ) X ( ) π π Troco orm s oprçõs somtóri com itgrl, π * E X π π w ( ) ( ) w Obsrv qu quti tr prêtsis é trsform Fourir (). Assim, rgi () po sr trmi utilio su trsform Fourir, ou sj, π π π ( ) X ( ) w X ( ) * E X w π π π (.68) A quti: ( ) X ( ) S (.69) rprst istribuição rgi squêci () m fução frquêci por isso msmo l é chm Espctro Dsi Ergi () Emplo 9: Dtrmi trsform Fourir o spctro si rgi squêci, ( ) A,, < M c. c. Amitio qu M sj um úmro fiito, () é bsolutmt somávl portto prst trsform Fourir, pois, Cálculo X( ): X M ( ) A M A < M M ( ) ( M A A A ) / sw / O móulo fs o spctro são: swm /

- 5 - X swm / A, π w < π ( ) X ( ) w( m ) / sw / M A, w O spctro si rgi é o plo quro o móulo X( ), ssim: S ( ) swm / A sw / 5 4 -π -4π/M -π/m π/m 4 π/m w π - w -π -4π/M -π/m π/m 4π/M π Figur.9: Espctro mplitu fs pr o mplo 7, mitio A M 5..8. Propris trsform Fourir pr siis iscrtos o cálculo trsform Fourir, o cohcimto utilição crts propris fcilitm o uso itrprtção os rsultos. ) Simtri Quo o sil stisf crts propris simtri o omíio o tmpo, sts impom crts propris trsform. Ats listr sts propris cosir s sguits fiiçõs: [ ] * Squêci cojug simétric: ( ) ( ) ( ) ( ) * Squêci cojug ti-simétric: ( ) ( ) ( ) ( ) o * * o Propris simtri. * ( ) * X ( ) {( ( ) } X ( ). Im{ ( ) } X o ( ) 4. ( ) X ( ) [ ] (.7) (.7) (.7) R (.7) j (.74) (.75) R

- 6-5. ( ) jx ( ) Amitio () um squêci rl tm-s X( ) é: (.76) * 6. Cojug simétric: X ( ) X ( ) 7. A su prt rl é pr: X R ( ) X R( ( ) 8. A su prt imgiári é ímpr: X ( ) X ( ) 9. O su móulo é pr: X ( ) X ( ). A su fs é ímpr: X ( ) X ( ) b) Propris torms gris o I I (.77) (.78) (.79) I (.8) (.8) Além s propris simtri, têm-s tmbém outrs propris muito importts qu rlciom oprçõs com squêcis fcilitm o uso obtção rsultos tóricos com siis sistms. Ests propris são lists bio sm procupção m prová-ls. Ds qu ls são similrs o cso trsform Fourir pr siis cotíuos rcom-s como rcício prov sts propris.. Liri ( ) by( ) X ( ) by ( ) (.8). Dslocmto o omíio o tmpo ( ) X ( ). Dslocmto o omíio frquêci (.8) ( ) j ( ) ( w ) X w (.84) 4. Rvrsão o tmpo ( ) X ( ) (.85) 5. Difrcição o omíio frquêci 6. Torm Prsvl ( ) j X ( ) (.86) w Est torm rlcio o cálculo rgi o sil o omíio o tmpo com o cálculo o omíio frquêci (vr spctro si rgi sção.7.) π ( ) X ( ) E w π π (.87)

- 7 - π * * ( ) y ( ) X ( ) Y ( ) π π w (.88) 7. Torm covolução ( ) * y( ) X ( ) Y ( ) (.89) 8. Torm moulção ou jlmto jθ * j ( ) ( ) ( ) ( ( wθ X Y )) w π π θ π (.9) Emplo : Dtrmi trsform Fourir sguit squêci, ( ) : < Pr rsolvr st mplo vmos prssr () como som us squêcis, () (),,, ( ) ( ) <,, < A trsform Fourir squêci () já foi clcul o mplo 6 vl: X ( ) - Cálculo X ( ): X ( ) ( ) Aplico o torm liri tm-s qu: X ( ) X( ) X ( ) Como <, o spctro fs é ulo pois X( ) é rl smpr positiv. cos w.5 () - -8-6 -4-4 6 8 4 (b) - -π - - π (c) w w - - - Figur.: () squêci (), (b) spctro mplitu; (c) spctro fs pr o mplo 9.

- 8 - Emplo : Dtrmi o móulo fs fução o sistm o filtro méi móvl, o pl qução ifrçs bio: y ( ) { ( ) ( ) ( ) } Obsrv qu st é um filtro FIR (rspost o impulso fiit), sí p somt vlors prsts ou pssos tr. Assim, Clculo trsform Fourir: Portto: h ( ) δ( ) δ( ) δ( ) { } cos w H ( ) H ( ) cos w φ ( ), π, w π / π / < w < π.5.5 -π -π / -π / π / π / π π -π -π -π / -π / π / π / π Figur.: Espctro mplitu fs pr o mplo. os ois mplos cim s po obsrvr qu rspost mplitu é um fução pr frquêci fs é um fução ímpr. A rprstção um sil o omíio frquêci é importt pr s obsrvr lisr o cotúo frquêcis um sil ou um sistm. Em procssmto siis st iformção é muito importt usul. Por mplo, ális fitos filtrgm, v-s mir cohcr o comportmto o sil sr filtro o omíio frquêci, quli smpho os filtros tmbém é stblci liso rspost m frquêci sts. Quo s sj trsmitir siis m um cl tlcomuicçõs v-s cohcr su rspost m frquêci pr qu, bso-s st

- 9 - iformção, sj possívl ciir qu fi ou grupo frquêcis pom sr trsmitis trvés o cl com pouc istorção. A tbl, mostr bio, rlcio lgums squêcis básics frqutmt utilis m procssmto siis, jutmt com sus rspctivs trsforms Fourir. Tbl : Prs trsforms Fourir. Squêci. δ (). ) δ (. u( ) : < Trsform Fourir 4. ( ) π δ( w π) 5. r s w ( ) u( ) : r < s w r cos w r 6. s w, w < w π, w < w π 7. 8., < M ( ), cso cotrário s wm / s w / ( M ) / π δ( w w π)

- - Ercícios. Cosir squêci () (5-)[u() u(-5)]. Dsh: ) () b) y () (-) c) y () (-) ) y () (-). Um sil iscrto é fiio por:, ( ), c. c. () Dtrmi squêci () sh o sil. (b) Dsh o sil (-). (c) Dsh o sil (). () Dsh o sil ().u().. Dsh s sguits squêcis: () () cos[(π/)] (b) () cos[(π/6)] (c) () u() u(-5) () () (.5) u() () () u() 4. Pr os its () (b) o rcício trior, mitio T., trmi os siis cotíuos o tmpo qu grrm s squêcis. 5. Eprss os siis bio m trmos fuçõs prõs. (miti qu ls sjm soiis). () ().5-4 5 6 7 8 9 (b) (){,,,,,,,...} 6. Eprss squêci bio m fução fuçõs gru uitário pors. ( ),,,, c. c. 7. Pr c um os siis bio, sboc () trmi E ou P M.

- - π / () ( ) u( ) (b) ( ) cos[ π( 6) / 6]{ u( 6) u( 6 )} 8. Dtrmi covolução pr os sguits prs siis: ) ( ) {, } h( ) {,, } b) ( ) δ( ) h( ) {,, } c) ( ) α u( ) h( ) β u( ) α β ) ( ) h( ) α u( ) 9. Dtrmi rspost o impulso os sistms os bio. (cosir coiçõs iiciis uls) () y ( ) ( ) ( ) 4( ) ( 4) (b) y ( ).5( ) ( ).5( ).5( ) (c) y ( ) ( ) y( ) () y ( ) ( ) y( ) () y ( ) ( ) ( ) y( ) (f) y ( ) ( ) y( ) y( ) 4 (g) y ( ) ( ) ( ) y( ) y( ) 4. Pr c sistm bio trmi s ls são ou ão: lirs, ivrits o slocmto, cusis, stávis, com ou sm mmóri. Prov s propris ou forç um cotr mplo cotr rspost o impulso. () y ( ) ( ) y( ) (b) ( ), pr y( ) ( ), ímpr (c) y ( ) ( ) (), ( ) > y ( ) ( ), ( ), ( ) < () y ( ) (). Pr os sistms bio cotr rspost o impulso, rspost m frquêci (simplifiqu o máimo possívl qução), sboc o spctro mplitu scrv m trmos gris o fito filtrgm m um sil. () y ( ) ( ) y( ) (b) y ( ) ( ) ( ) y( ) (c) y ( ) { ( ) ( ) ( ) } 4 () y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4)

- -. Cosir o sistm LID scrito pl sguit qução ifrçs: y ( ) ( ) ( ) ( ) () Dtrmi h(), (b) Dtrmi H( ), (c) Ecotr rspost st sistm à tr {,.5,.5 }. Cosir o sistm SLI scrito pl sguit qução ifrçs: y ( ) ( ) ( ).5y( ) () Dtrmi h(), (b) Dtrmi H( ), (c) Ecotr rspost st sistm à tr () u() () Digrm m blocos o sistm. 4. Cosir o sistm cusl LID scrito pl sguit qução ifrçs: y ( ) y( ) ( ) b( ) Ecotr o vlor b pr qu su rspost m mplitu sj costt pr qulqur frquêci. Est tipo filtro é chmo pss tuo. 5. Clcul trsform Fourir s sguits squêcis:, 5 () (), cso cotrário (b) ( ) ( ) { u( ) u( 8)} (c), ( ),, c. c. () π π ( ) cos 5 () y( ) j ( ) (f) y( ) ( )* ( ) 6. Dtrmi qução ifrçs qu crctri o sistm cuj rspost m frquêci é por: () (b) (c) H ( H ( H ( ) ) ) 4

- - 7. S rspost o gru uitário um sistm lir ivrit o slocmto é: s ( ) u( ), > δ. Dtrmi rspost o impulso h() st sistm. ot qu: ( ) u( ) u( ) h( ) s( ) s( ) 8. Cosir o filtro igitl bio. Amitio um frquêci mostrgm igul 8 H, trmi s frquêcis cort ifrior suprior lrgur b o filtro lógico quivlt. Ercícios o computor: 9. Utilio o Mtlb gr sh os siis bio: () () cos[(π/)]u() :, 5 (b) () u() u(-5) (c) () δ() () () (.5) u() () () u() (f) ruío brco gussio com vlor méio ro svio prão igul. (g) Ruío brco com istribuição uiform tr, tr.5.5. Cosir o sguit sistm LID: y( ) ( ) ( ) L ( ) { } () Dtrmi H( ) tmbém o móulo fs, (b) Utili o Mtlb pr shr o móulo fs ( w π ) mitio 4, 5,. (c) Comt os rsultos.. Cosir o sguit sistm LID: y ( ) { ( ) ( ) ( ) } Utili o Mtlb pr shr (utili fução gráfic stm) sí y() mitio: (), ( ), c. c. π (b) ( ) s u( ) 4

- 4 -

- 5 - Cpítulo AMOSTRAGEM DE SIAIS.. Siis tmpo iscrto Os siis tmpo iscrto prstm vlors fiios somt m trmios istts o tmpo. Grlmt ls provêm siis (ou fuçõs) o tmpo cotíuo qu são mios ou grvos m itrvlos tmpo rgulrmt spços. s últims écs sts siis ssumirm gr importâci vio o svolvimto ltrôic igitl os computors pssois. Por sr impossívl itrouir os cotíuos os computors igitis, qulqur sil ou o cssit sr rprsto por um cojuto úmros pr procssmto postrior. S prtrmos trblhr com siis tmpo iscrto, primirmt vmos mostrr o su quivlt tmpo cotíuo. prátic oprção mostrgm é cut por um covrsor AD (covrsor lógico-igitl) qu iclui tmbém qutição s mplitus s mostrs igitlição. Assim, sí o covrsor AD é um séri vlors igitis. A oprção rvrs pr rcostrução um sil cotíuo prtir sus mostrs é cohci como covrsão igitl lógic (DA). A tori mostrgm tm um ppl muito importt o smpho qulqur sistm procssmto igitl siis. st cpítulo srá prst um brv iscussão sobr tori mostrgm siis, qu stblc s coiçõs básics pr qu um sil tmpo cotíuo sj rprsto uicmt por sus mostrs toms m istts tmpo rgulrmt spços... A mostrgm siis A tori mostrgm é bs mtmátic pr s obtr um sil () tmpo iscrto prtir um sil (t) tmpo cotíuo. A obtção um squêci mostrs () prtir um sil (t) cotíuo o tmpo po sr rprst pl sguit rlção: ( ) ( t) ( T ) t T. m qu T é chmo príoo mostrgm, é um úmro prtct o cojuto os úmros itiros. O ivrso st príoo, F /T, é chmo frquêci mostrgm, com ui m mostrs por sguo ou m H. A squêci úmros () é lgums vs ot por vtor {()}, - < <, m qu () é o -ésimo lmto squêci. Um mplo um sil tmpo iscrto é mostro figur., m qu s mostrs são toms m itrvlos rgulrmt spços por T sguos s ris prpiculrs o io o tmpo rprstm o sil tmpo iscrto. ot qu tr ois itrvlos tmpo sucssivos é fiio sobr o sil. T () (t) t Figur.: Sil mostro. Um mir s visulir o procsso mostrgm é ilustro plo igrm blocos figur.. O sil tmpo cotíuo (t) é plico um multiplicor. Est sil é multiplico por um squêci prióic impulsos rgulrmt spços por T sguos p(t), chmo trm impulsos, tl qu:

- 6 - () t δ( t ) sí o multiplicor tmos o sguit sil: p T. () t () t p() t ( T ) ( t T ) ( T ) δ. (t) (T ) p(t) Figur.: Rprstção o procsso mostrgm. A multiplicção o sil plos impulsos covrt (t) m um sil tmpo iscrto, form um squêci úmros () m qu os vlors s mostrs são ios pl vriávl itir, ou sj, ( ) ( ) T T.4 Assim, como visto o cpítulo, mitio, squêci () po sr scrit como um som impulsos uitários poros tl qu: ( ) ( ) δ( ) ( ) δ( ) ( ) δ( ) L.5 ou sj, () po sr cosir um squêci úmros (um vtor), qu m últim ális rprst o sil origil. Est squêci úmros po sr trsmiti ou tão rm m um computor pr o procssmto (trtmto) igitl o sil. Tbl : Vlors tblos ou rmos rltivos o sil rl. sil o istt () () () () 4 (4) M M Obsrv qu o sil, ou squêci (), é iscrto o tmpo, ms os sus vlors ou mplitus pr c íic tmpo prtcm o cmpo os úmros ris... O torm mostrgm O fito mostrgm m um sil é mlhor liso o omíio frquêci utilio trsform Fourir (Joquim Srtori, ). Sb-s tori Fourir qu trsform fução trm impulsos m (.) é por:

- 7 - δ π ( t T ) δ( Ω Ω ) T m qu Ω π/t. A trsform Fourir o sil qução (.), qu é o prouto us fuçõs, srá pl covolução tr s trsforms (t) p(t):, ssim: X ( Ω) X ( Ω) * P( Ω).6 π m qu X (Ω) é trsform Fourir o sil mostro. Assim, X π ( Ω) X ( Ω) * δ( Ω Ω ) π troco orm somtóri com covolução tm-s, portto, X T ( Ω) X ( Ω) * δ( Ω Ω ) T,, X ( Ω) X ( Ω Ω ) T.7 ot qu o spctro o sil mostro é prióico, com príoo Ω, pois stmos o omíio frquêci. El cosist um úmro ifiito cópis o spctro X(Ω), o sil tmpo cotíuo. Ests cópis são rgulrmt spçs pl frquêci mostrgm Ω. A figur., mostr um mplo mostrgm siis cosiro o omíio frquêci. Aliso qução (.7) com o uílio figur.., pomos obsrvr qu s cópis rptis o spctro (t) pom s sobrpor. Primirmt vmos obsrvr qu pr qu sts cópis ão itrfirm ums com s outrs, o spctro (t) v sr limito m um frquêci máim. Sj Ω M frquêci máim o sil sr mostro. Obsrvo figur..c ot-s clrmt qu pr ão hvr suprposição spctrl v-s tr qu: Ω Ω Ω.8 M Dss moo, pr qu ão hj suprposição, frquêci mostrgm v sr o míimo o obro frquêci máim o sil, isto é, M Ω Ω M.9 S coição cim ão é stisfit, ou sj, Ω < Ω M, s cópis o spctro (t) s suprpõm, cuso pr o formto o spctro origil. Obsrv ilustrção figur... Est fômo é cohcio litrtur como lisig (suprposição spctrl). st cso o spctro origil é prio ão po mis sr rcupro prtir o sil mostro.

- 8 - X(Ω) () -Ω M Ω M P(Ω) (b) -Ω -Ω Ω Ω Ω > Ω M X (Ω) (c) -Ω -Ω M Ω M Ω Ω < Ω M X (Ω) Ω -Ω M () -Ω Figur.: Efito mostrgm o omíio frquêci. st cso X(Ω) é o spctro o sil cotíuo o tmpo, X (Ω) é o spctro o sil mostro. Por outro lo s coição m (.9) é stisfit o spctro origil b básic (m toro frquêci ro) é mtio iltro po sr rcupro trvés um filtrgm por um filtro pssbis il com frquêci cort Ω /. Ω X(Ω) () -Ω M Ω M Ω > Ω M X (Ω) (b) -Ω -Ω M Ω M Ω Ω / Ω -Ω M Figur.4: Espctro o sil origil sil mostro sm lisig. Com s cosirçõs cim, pomos gor ucir fcilmt o torm mostrgm como sgu: S (t) é um sil stritmt b limit, isto é, X ( ), Ω > Ω M Ω, tão st sil (t) po sr rcupro prtir sus mostrs (T ) s: π Ω Ω T M.

- 9 - A frquêci Ω M é chm frquêci yquist, frquêci míim mostrgm, Ω M, é chm t yquist. Toos os siis cotros os sistms físicos uc são, stritmt flo, b limit, ssim, ts o procsso mostrgm é comum filtrr o sil (filtro ti-lisig) fim s miimir rgi o sil cim frquêci yquist (limitr o sil m b), pr, ss moo, miimir o fito o lisig qu ocorr urt covrsão lógico-igitl. X (Ω) X(Ω) -Ω -Ω M Ω M Ω (T A ) H(Ω) (t) -Ω M Ω M H(Ω) Ω Ω c Ω M ou Ω c Ω / -Ω C C Figur.5: Rcostrução o sil: filtrgm o sil mostro rcuprção o sil origil. Algums cosirçõs prátics rli impulsos com urção ul ão istm. prátic mostrgm é rli trvés um circuito mostror-sguror. O sil mostro é proimo por um proimção m grus tr ois istts jcts mostrgm, m sgui qutio. st cso o filtro rcostrução v sr lvmt moifico pr compsr proimção m grus (opphim 979, Joquim, ). Como ito triormt, pr ssgurr qu ão hj ocorrêci suprposição spctrl (lisig), o sil ts sr mostro é filtro fim limitá-lo m b, m um frquêci máim, por mplo, Ω M. Est filtro é chmo filtro ti-lisig, srv tmbém pr limitr o ruío prst o sil tmpo cotíuo, ts o procsso covrsão lógico-igitl. El srv tmbém pr fcilitr o projto prático o filtro rcostrução, qu ão prst um trsição brupt tr b pssgm tução, t mostrgm é fit lvmt suprior à yquist. figur.5 H(Ω) rprst um filtro rcostrução il. O ouvio humo é cp itificr frquêcis tr H H. Pr siis áuio frquêci mostrgm é proi m 44. H m v 4 H. Em tlfoi 9% rgi o sil fl stá prst m frquêcis té.4 H, qu é suficit pr prsrvr quli s covrsçõs, t mostrgm é proi m 8 H m v 6.8 H, prmitio um b gur. H qu fcilit o projto prático o filtro rcostrução. Em psquis t mostrgm é muits vs lv pr H..4. Covrsão t mostrgm Em lgums plicçõs spciis, como por mplo lgus tipos coificção b, ist cssi moificção t mostrgm um squêci (). Pomos ruir ou umtr t mostrgm por um trmio ftor itiro, ou tão moificá-l por um ftor rciol. Est procsso é cohcio como covrsão t mostrgm po sr rlio irtmt o sil tmpo iscrto Rução t mostrgm por um ftor itiro

- 4 - A rução t mostrgm por um ftor itiro, M, é fit tomo tos s mostrs o sil múltipls M, isto é, ( ) ( t) ( MT ) ( M ) t MT. Obsrv qu, pr o sil r-mostro, o ovo príoo mostrgm é MT. Fic clro qu st oprção po rsultr m lisig (suprposição spctrl). Clculo trsform o sil r-mostro ( t) ( ) MT tm-s qu: X ( ) Ω MT Ω X Ω M. st cso ov frquêci mostrgm é Ω /M, qu é mor o qu Ω. Assim, pr s prvir suprposição spctrl o sil () vri sr filtro ts covrsão mostrgm. o omíio frquêci igitl trsform Fourir ( ) ( M ) Ω w / MT,pós lgum mipulção mtmátic po sr mostr qu: ( ) M j ( ( wπ )/ M X ), mitio qu X. M o cso cotíuo, pr s vitr suprposição spctrl, o sil (t) vri sr filtro por um filtro pss-bis com frquêci cort igul à mt ov frquêci mostrgm, Ω /M. Como, m grl, já stmos trblho o tmpo iscrto, tão filtrmos o sil iscrto () por um filtro igitl pss-bis com gho uitário frquêci cort igitl, tl qu, w c Ω T M π M.4 O procsso filtrgm igitl sguio rução mostrgm é chmo um cimor é ilustro plo igrm blocos figur.6. Assim, o procsso rução t mostrgm por um ftor M, primirmt squêci é filtr por um filtro igitl com gho uitário frquêci cort igul π/m m sgui f-s oprção scrit pl qução (.). () FPB π/m M r () Figur.6: Dcimor. Aumto t mostrgm por um ftor itiro Supoh qu s qur umtr t mostrgm um squêci (), mostr com um príoo T sguos, por um ftor L, m qu L é um úmro itiro. A ov squêci, i (), po sr obti prtir () trvés sguit trsformção: ( ) T i.5 L L

- 4 - por: Obsrv qu s mostrs i (m), com íics múltiplos itiros tis qu m L (m), são s ( L) ( ) i.6 Pomos cocluir tão qu qução (.6) p () crscto ~ L - ros tr c tl qu: i us mostrs jcts (), ou sj, tmos um ov squêci ( ) ( / L), ~, ± L, ± L, L i ( )..7, cso cotrário A figur.7., mostr bio, ilustr st oprção. T (t) ~ i ( ) () t (b) i ( ) t T /L Figur.7: Itrpolção o omíio o tmpo. portto, Clculo trsform Fourir squêci ( ) X ~ i ( ) ~ i ( ) ( ) ~ jlw X i ( ) X ( ) Obsrv qu X~ ( ) é um vrsão X ( ) i ~ i qução (.7) tm-s qu, jlw.8, comprimi por um ftor scl L. Ests us trsforms stão ilustrs figur.8b.8c. Obsrvo st figur pomos cocluir qu pr s obtr i () bst crir um squêci como qução (.7) m sgui filtrá-l com um filtro pssbis igitl com gho L cort m w c π/l. O uso o gho L po sr justifico oto qu, como stmos comprimio o sil o omíio frquêci por um ftor L limio s compots frquêci tr π/l π - π/l, rgi o sil imiuirá por um ftor igul L. Assim, stblco o gho o filtro itrpolor igul L rgi o sil itrpolo é mti igul à o origil. O sil itrpolo o omíio o tmpo é mostro figur.7.b.

- 4 - X(Ω) () -Ω M Ω M /T X( ) (b) -π -π π π /T X ~ i ( ) (c) -π/l -π/l π/l π/l L H( ) () -π -π/l -π/l π/l π/l π L/T X i ( ) () -π -π/l -π/l π/l π/l π Figur.8: Procsso umto umto t mostrgm. () spctro o sil origi; (b) spctro o sil mostro (); i. (c) spctro ~ ( ) ; () filtro itrpolção; () spctro ( ) i O procsso umto t mostrgm um squêci é chmo itrpolor, é ilustro plo igrm blocos figur.9. () L ~ i ( ) FPB π/l i () Figur.9: Itrpolor. Pomos i covrtr t mostrgm por um ftor rciol vlor L/M, trvés itrcoão m csct um itrpolor m sgui um cimor, como mostr figur. (Hys, [4]). () L ~ i ( ) FPB w c ~ ( ) M () Figur.: Covrsão por um ftor rciol.

- 4 - st cso o filtro pss-bis, figur., vrá prstr um gho igul L. Por cus qu os procssos cimção itrpolção tm-s ois filtros pss-bis, sts ois são substituíos por um úico filtro com frquêci cort bio: π π w c mi,.8 L M covrsão t mostrgm por um ftor rciol vmos rssltr qu primirmt sr cut oprção itrpolção pós filtrgm cut-s oprção cimção pr s prsrvr o spctro frquêcis squêci. Emplo : Dsjmos covrtr um sil áuio mostro m 44. H (frquêci pr CD) m um sil com frquêci mostrgm 48 H (frquêci pr DAT igitl áuio tp), utilio o squm figur.. Dtrmi os ftors covrsão L M frquêci cort o filtro pss-bis. L 48 6 L 6 M 47 M 44 47 Portto o filtro trá os sguits prâmtros: gho: L 6 frquêci cort: w c π π π mi, 6 47 6

- 44 - Ercícios. Euci mostr o torm mostrgm.. Sj Ω t yquist pr um sil (t). Dtrmi t yquist pr os sguits siis formos prtir (t). Utili s propris trsform Fourir pr siis tmpo cotíuo. y t 4 t ) () () b) () t () t t c) y() t ( 4t), ) y() t () t y,. Um sil ltrocriogrm (ECG) lógico cotém frquêcis útis té H. Qul t yquist pr st sil? Supoh qu t mostrgm sj 5 H, qul mior frquêci qu po sr rprst uicmt st t? S o sil cim foss mostro m 5 H, o qu cotcri? 4. Um sil cotíuo o tmpo (t) po sr rcupro prtir sus mostrs (T ) com T ms. Qul é mior frquêci o sil (t)? 5. Sj () t cos( πt) 5. ) Dtrmi squêci () pr um frquêci mostrgm igul H. b) Dtrmi squêci () pr um frquêci mostrgm igul H (rsp: cos. 5π. ( ) c) A prtir () o itm b, trmi o ovo sil o omíio o tmpo cotíuo utilio frquêci mostrgm H. ) Epliqu o qu ocorru o itm c. 6. Supoh qu sjmos covrtr um sil vo mostro 8 H (frquêci pr cis tlfôicos) m um sil com frquêci mostrgm H, utilio o squm figur.. Dtrmi os ftors covrsão L M frquêci cort o filtro pss-bis.

- 45 - Cpítulo TRASFORMADA Z. Itroução A trsform é um frrmt mtmátic importt pr sr plic ális rprstção sistms lirs tmpo iscrto ivrits o slocmto (SLDT). El po sr cosir como um grlição trsform Fourir pr siis tmpo iscrto smph o msmo ppl qu trsform Lplc tm ális os sistms lirs tmpo cotíuo. Em prticulr, trsform srá utili scrvr um sistm SLDT trvés su fução trsfrêci (ou fução o sistm), H(). A rspost m frquêci é protmt trmi mitio stbili cusli o sistm é vrific trvés o cálculo os polos ros. A trsform é tmbém utili como um frrmt pr s trmir o spctro siis iscrtos m cojuto com trsform iscrt Fourir.. Dfiição covrgêci Cosir um squêci ifiit ():, ±, ±,... A trsform st squêci é fii pl sguit séri potêcis: ( ) ( ) X (.) st cpítulo srá utilio como otção, ltrs miúsculs pr rprstr trsform um squêci miúsculs pr rprstr os siis tmpo iscrto. O opror é um vriávl compl qu po ssumir qulqur vlor o plo, o séri pl qução (.) covrg. Formlmt, m muits situçõs, é mis usul covit scrvr st vriávl su form polr, rprst por um móulo r um âgulo fs w, tl qu: r (.) Amitio form polr é possívl itrprtr trsform o plo complo vriávl, como mostr figur. st plo é itific um rgião cotoro m tl qu, isto é, um círculo rio uitário o s fi, stbili squêcis cusis. Obsrv tmbém qu quo tão r portto. Substituio qução (.) tm-s qu: ( ) ( ) X (.) Assim, o círculo rio uitário, trsform squêci () é própri trsform iscrt Fourir.

- 46 - - Im[] w R[] Figur.: Plo círculo rio uitário. ot qu w é o âgulo fs o vtor, mio tr o io rl o poto. Como o círculo rio uitário, clculo trsform st círculo, prtio (w ) té - (w π) obtém-s trsform Fourir (), pr w < -π. Cotiuo o cmiho m toro o círculo uitário chg-s ovmt (w π). A prtir π, os cálculos s rptm. Est rflão mostr qu trsform Fourir é prióic, com príoo π, pois um muç quivlt π o âgulo w corrspo prcorrr um volt itir o círculo chg ovmt o poto prti... Rgião covrgêci Ds qu trsform é um séri ifiit potêcis, l istirá somt pr os vlors os quis l covrg. Assim, rgião covrgêci (qu srá brvi por RDC) é fii pr os vlors pr os quis X() é fiit. Portto, pr qu X() ist sguit sigul v sr ssgur: ( ) X ( ) < (.4) A rgião covrgêci é muito importt v sr smpr iic jutmt com trsform, como srá visto os mplos qu sgum. Emplo : Dtrmi trsform corrspot rgião covrgêci pr s squêcis fiits s bio. sts mplos, o trmo m grito iic o íic tmpo ro ( ). ) () {,, 5, 7,, } b) () {,,, 4, 5, 6, 7} c) () δ( ) : > X ( ) X ( ) 5 7 plo cto RDC : too RDC : too 4 5 6 5 plo cto 7 4 X ( ) RDC : too plo cto, pois > Com o uílio os mplos cim pomos obsrvr qu pr squêcis fiits trsform prst um rgião covrgêci qu glob too o plo, cto, possivlmt /ou

- 47 -. Obsrv tmbém qu c pot vriávl cotém iformção rspito loclição tmporl s mostrs. Assim, - é itrprto como um opror slocmto, isto é, um trso T sguos (m qu T é o príoo mostrgm). trsform, c lmto squêci é quivlt à multiplicção mostr por -. Pr s trmir rgião covrgêci um squêci com urção ifiit vmos cosirr vriávl su form polr. Atrvés fiição covrgêci pl qução (.4) substituio por r tm-s qu: Dsvolvo qução cim, X ( ) X ( ) r < (.5) ( ) ( ) r ( ) r ( ) r : pois Dss moo, po-s cocluir qu X() é fiit s squêci ()r - for bsolutmt somávl. Spro somtóri cim os íics positivos os gtivos, obtém-s: Fo um muç vriávl tm-s: X ( ) ( ) r ( ) ( ) ( ) r ( ) r X r (.6) O primiro trmo qução (.6) rprst um squêci ltrl squr cuj rgião covrgêci cosist o itrior um círculo rio R H, tl qu R H <, por cus o trmo r. Do msmo moo, o sguo trmo qução cim rprst um squêci ltrl irit cuj rgião covrgêci é o trior um círculo rio R L >, m qu R L é o mor vlor r tl qu ()r - sj bsolutmt somávl. Cosqutmt, rgião covrgêci trsform pr um squêci tmho ifiito srá um rgião ulr (um l) pl itrscção s rgiõs covrgêci s squêcis ltrl squr irit, ou sj, l srá tl qu: R < < (.7) L R H Obsrv qu pr trsform istir R H vrá sr mior qu R L. Cso R H < R L ão istirá um rgião covrgêci comum às squêcis ltrl squr irit, portto trsform squêci ão porá sr fii. A figur., ilustr rgião covrgêci pr squêcis urção ifiit.

- 48 - Im R L R sqüêci ltrl irit: {( ), ( ),...} Im R H R sqüêci ltrl squr: {... ( -), ( )} Im R L R H R sqüêci ifiit: {... (-), (-), (), (),...} Figur.: Rgião covrgêci pr squêcis urção ifiit. Emplo : Dtrmi trsform rgião covrgêci sguit squêci: ( ) α u( ) α,, < solução: utilio fiição trsform tm-s: X ( ) α ( α ) Obsrv qu qução cim rprst um progrssão gométric com rão α -. Assim, mitio α - <, séri covrg, portto RDC srá > α ; X ( ) RDC : > α α A figur.. mostr um squêci o tipo α u() rgião covrgêci trsform. Obsrv qu s α <, RDC iclui o círculo uitário, prsto, ss moo, msm trsform Fourir o mplo 6 o cpítulo, como sri s sprr.

- 49 - () Im[] α R[] Figur.: Squêci α u() rgião covrgêci. Como srá visto mis it, ois prâmtros importts muito utilios ális ivrsão s trsforms são os sus ros os polos. Os ros, como o próprio om já i, são os vlors vriávl pr os quis X(), os polos trsform são os vlors pr os quis X(). Portto, po-s cocluir irtmt qu rgião covrgêci pr um trsform ão po icluir os sus polos. O mplo ilustr st coclusão. Obsrv qu trsform prst um polo m α qu rgião covrgêci obti ão iclui st polo pois > α. Emplo : Dtrmi trsform rgião covrgêci sguit squêci: ( ) α u( ), α, < solução: X ( ) α ( α ) ( α ) A qução cim é um progrssão gométric com rão α -, ssim, mitio α - <, o qul séri covrg, tm-s qu: X ( ) RDC : < α α () Im[] α R[] Figur.4: Squêci -α u(--) rgião covrgêci. Obsrv qu trsform st mplo é msm o mplo trior, o qu ifr são s rgiõs covrgêci s us squêcis, st fto mostr importâci smpr s iicr RDC juto com trsform.

- 5 - Emplo 4: Dtrmi trsform rgião covrgêci sguit squêci: ( ) α u( ) β u( ) solução: provito o rsulto os ois mplos triors tm-s qu: - pr o primiro trmo: - pr o sguo trmo: Amitio α < β tm-s: X X X () RDC : > α α ( ) RDC : < β β β α ( ) RDC : α < < β α β α β αβ () Im[] α β R[] Figur.5: Squêci rgião covrgêci pr o mplo 4. Obsrv qu s α > β ão ist trsform st squêci pois s us rgiõs covrgêci, os mplos, ão s suprpõm... Propris rgião covrgêci. A rgião covrgêci é um l ctro origm tl qu: R < < (.8) L R H m qu R L R H são os rios mor mior qu limitm RDC.. A trsform Fourir squêci covrg bsolutmt s rgião covrgêci iclui o círculo rio uitário, pois st cso, prtc à RDC,. A rgião covrgêci ão cotém polos. 4. S squêci tm urção fiit tão RDC é too o plo, cto possivlmt os potos /ou.

- 5-5. Pr squêcis ltrl irit RDC s st prtir o polo mis trior o plo icluio, possivlmt,. 6. Pr squêcis ltrl squr RDC s st s o poto ro té o polo mis itrior o plo. 7. Pr squêcis biltris ifiits RDC é um l qu ão cotém polos. 8. A rgião covrgêci é um rgião coct.. Trsform ivrs A ális sistms lirs volv m grl cotrr fução trsfrêci o sistm o cálculo su trsform ivrs (rspost à fução mostr uitári). Eistm ivrsos procimtos pr s cotrr trsform ivrs, m prticulr, srão stuos st cpítulo os métoos plo cálculo forml trvés o torm itgrl Cuchy torm o rsíuo, métoo por ispção, psão m frçõs prciis psão m séri potêcis... Métoo forml pl itgrl cotoro A trsform ivrs é clcul pl sguit qução: ( ) πj C X ( ) (.9) m qu C é um rgião cotoro o stio ti-horário qu glob origm. A solução qução cim é rli plo métoo os rsíuos, qu forc um moo simpls clculr trsform ivrs. Vl p provr o rsulto qução cim ts prstr o métoo o rsíuo. O torm itgrl Cuchy stblc qu:, C πj, (.) Como visto o iício st cpítulo, sbmos qu trsform um squêci () é, X ( ) ( ) Multiplico mbos os los qução cim por πj, itgro o rsulto m um rgião cotoro qu glob origm qu prtc à rgião covrgêci X() tm-s qu: πj C X ( ) πj C ( ) Troco orm o somtório com itgrl, pois s us oprçõs são lirs,

- 5 - πj C X ( ) ( ) πj C Plo rsulto qução (.), qução cim é váli somt quo, tão, X C πj ( ) ( ) (.) como qurímos mostrr. S rgião covrgêci iclui o círculo rio uitário, tão pomos tomr como rgião cotoro st círculo o qul. st cso, substituio por qução (.9), trsform s ru à trsform Fourir squêci rgião cotoro strá tr ± π. Assim, π π π ( ) X ( ) w (.) A qução (.9) rrmt é utili, pois ão é um fórmul prátic pr ivrsão. Em ghri létric pomos otr qu miori os siis sistms prst um trsform rciol, isto é, um rão tr ois poliômios. st cso, os polos trsform são fcilmt trmios itgrl m (.9) é clcul utilio o torm o rsíuo. Est torm forc sguit fórmul pr ivrsão trsform, { pr os pólos m } ( ) rsíuos X ( ) C O torm o rsíuo Cuchy stblc qu: (.) Sj G() um fução vriávl compl C um rgião cotoro. S riv G()/ ist tro rgião cotoro, s G() ão cotém polos m p, tão, πj C G ( ) G( p ) p,, s p s p stá tro C stá for C. (.4) Grlio st torm tmos: s ist riv orm G() s G() ão tm polos m p, tão: πj C G( ) ( p ), ( )! G ( ) p, s p s p stá tro C stá for C (.5) Emplo 5: Dtrmi trsform ivrs : - Multiplico X() por - tm-s qu: X ( ) : > α α X ( ) α α

- 5 - - S, ist somt um polo primir orm m α. Assim clculo st rsíuo trmi-s (). ( ) rsiuo X ( ) α ( α) α α m α - S < tão tmos polos m. Clculo o rsíuo pr - tm-s: ( ) rsiuo X ( ) α α m α α α Po-s mostrr qu () pr too <. Assim, rsíuo m ( ) α u( ).. Métoo por ispção Est é o métoo mis simpls irto pr obtção trsform ivrs. El cosist m rcohcr, por ispção, um pr (ou prs) cohcio trsform, l volv, m grl o uso tbls como tbl, mostr pos o mplo 6. Emplo 6: Dtrmi o sil cusl cuj trsform é por: X ( ). 5 - Como por hipóts o sil é cusl, tão RDC prtc à rgião > r H. Compro s trsforms qução cim com tbl chg-s qu: ( ) u( ) ( ) u( ) u( ) u( ) Tbl : List trsforms usuis. Squêci Trsform RDC. δ () too plo. () u. ( ) u 4. ) δ ( 5. u() α α > < too plo cto (s > ) ou (s < ) > α

- 54-6. α u( ) 7. u() α α ( α α w [cos w] 8. [cos ] u( ) 9. [s ] u( ) α., ) [cos w ] [s w ] w [cos w], c. c. α α < α > α > > >.. Métoo por psão m frçõs prciis Utili-s st métoo quo trsform é por um rão ois poliômios m o tipo: X () D () () M b. (.6) st métoo o poliômio é composto m um som poliômios ors mors (m grl primir orm). Em sgui squêci tmporl c prcl é itific por ispção (Tbl ) som tos s squêcis obtis é trsform ivrs X(). O procimto pr s obtr um psão m frçõs prciis é primirmt itificr os polos ros fução, prssá-l como um prouto poliômios primir orm, como bio: X ( ) b M ( c ) ( ) (.7) m qu c são os ros ão ulos X() são os polos ão ulos. solução por st métoo istm três possibilis istits qu s v cosirr: Primiro cso: Amitio M < toos os polos primir orm. st cso X() po sr prss como: X () A (.8) Os coficits A são trmios multiplico mbos os los qução (.8) por ( - ) clculo o rsulto pr. Assim, A ( ) X ( ). (.9)

- 55 - Sguo cso: Amitio M toos os polos primir orm. st cso um outro trmo v sr icioo à qução (.8). st cso X() é prss como: ( ) M A B X (.) Os coficits A são clculos como triormt pl qução (.9) os coficits B são obtios trvés ivisão log o umror plo omior, qul o rsto ivisão prst um gru mor o qu o omior. Trciro cso: Amitio M um polo (j) orm múltipl L >. st cso, qução (.) é moific como bio: ( ) ( ) L l l j l j M C A B X (.) Os coficits A os B são clculos como triormt, os C l são clculos pl qução bio: ( ) ( ) ( ) ( ) j L j l L l L l L j l X! l L C (.) Os trmos psão o tipo B - corrspom, o omíio o tmpo, impulsos slocos pr o istt ou íic, isto é, ( ) B δ (.) Os trmos o tipo A corrspom às squêcis o tipo: ( ) ( ) ( ) ( ) u ou u (.4) A scolh o primiro ou sguo trmo qução cim p rgião covrgêci, como visto os mplos triors. Os trmos o tipo ( ) j j corrspom à sguit squêci ( ) j j : u > (.5) Emplo 7: Dtrmi trsform ivrs : ) )(.5 ( ) ( X - Como M, tm-s qu clculr B trvés ivisão log poliômios. Assim,

- 56 - rsto 5 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 5 5 5 A. A. X - Cálculo os A ( ) () ( ) () () ( ) ( ) 5 8 5 9 8 5 9 4 4 5. X. X A X. A. R[] Im[].5 Figur.6: Loclição os polos X(). - Cálculo trsform ivrs: Obsrv qu X() é composto três prcls, cujs trsforms ivrss form clculs os mplos triors. Como foi spcifico rspito rgião covrgêci, têm-s três rgiõs covrgêci istits pr lisr, como mostr figur.6. Pr c um sts rgiõs tm-s um squêci (), isto é, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 9 8 9 8 9 ) ( δ < < δ < δ > u u biltrl sqüêci s u u squr ltrl sqüêci s u u irit ltrl sqüêci s Emplo 8: Dtrmi trsform ivrs trsform bio. Amit () um squêci cusl.

- 57 - () 5. X - cálculo os polos X() 4 / 4 / π π j j j p j p - Como M <, tm-s somt os coficits A. Fo pção m frçõs prciis, ( ) ( ) ( ) p A p A X ( ) π π 4 5 4 5 5 5 X j p A j p A / j. j / j. j. j j. j j - Cálculo trsform ivrs: Como squêci () é spcific o rcício como cusl, tão rgião covrgêci é pr > p j /. Assim, ( ) ( ) ( ) π π π π 5 4 5 4 4 5 4 5. j. j / j. j / j. j u u ( ) ( ) u. cos π 5 4..4 Métoo por psão m séri potêcis st cso o cálculo trsform ivrs s rsum m cotrr um séri o tipo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L L X (.6) m qu os coficits s potêcis rprstm trsform ivrs.

- 58 - Emplo 9: Dtrmi trsform ivrs : ( ) l( ) : X > - clculo séri potêcis um fução o tipo l( ), o <, tm-s: X ( ) ( ) ( ) ssim, ( ) ( )..5 Métoo pl ivisão log Como triormt st métoo é plico quo trsform é por um rão ois poliômios, () o umror Q() o omior. O coficit cotro ivisão pr - é o vlor () squêci. Dv-s tr um tção spcil quo s plic st métoo ivrsão, pois o moo como s f ivisão p rgião covrgêci. S rgião covrgêci é o trior um círculo, squêci tmporl rsultt é ltrl irit (cusl) os poliômios vm sr rrjos m orm crsct potêcis gtivs vriávl. S rgião covrgêci é o itrior um círculo, squêci corrspot é ltrl squr (ão cusl) os poliômios vm sr rrjos m orm crsct potêcis positivs. Est métoo é muito simpls ficit pr s obtr trsform ivrs, l srá mlhor comprio trvés os mplos mostros bio. Como svtgm qu pomos citr é qu o rsulto ão é obtio m um form compct. Emplo : Dtrmi squêci () rltiv à trsform bio: X ( ) RDC : > α α - Como > α tm-s um squêci cusl, ssim: α α ( ) α α α α o α α α L ( ) α u( ) ( ) {, α, α, L} Emplo : Dtrmi squêci () rltiv à trsform bio: X : α ( Z ) RDC < α

- 59 - - Como < α tm-s um squêci ão cusl, ssim f-s ivisão com os poliômios m potêcis positivs. Logo: X ( ) α α α α α α α ( ) L ( ) { } L, α, α α α α Assim, pomos fcilmt mostrr qu: ( ) α u( ).4 Propris trsform As propris trsform são bsicmt s msms trsform Fourir pr squêcis iscrts, já stus o cpítulo. Ests propris são rsumis bio pr rfrêci futur o litor sm procupção m prová-ls. Pr quls itrssos é sugrio fr s provs sts propris, como rcício. st sção srá utili otção R X pr iicr rgião covrgêci trsform, X(), squêci ()..4. Liri S () () são us squêcis istits, com trsforms X () X () rspctivmt, tão: ( ) b ( ( ) X ( ) bx ( ( ) RDC : R X R X (.7) m qu b são costts R X R X são s rgiõs covrgêci X () X () rspctivmt..4. Dslocmto o tmpo.4. Difrcição X() ( ) X ( ) RDC : R X cto / ou (.8) ( ) RDC : R ( ) X cto X / ou (.9)

- 6 -.4.4 Multiplicção por um squêci pocil ( ) X ( / ) RDC : R.4.5 Complo cojugo um squêci * X * * ( ) X ( ) RDC : R X (.) (.).4.6 Rvrsão o tmpo ( ) X ( / ) RDC : / R X (.).4.7 Covolução squêcis ( ) y( ) X ( ) Y ( ) RDC : R X R Y (.).4.8 Torm o vlor iicil ( ) lim X ( ) (.4) st cso, () é miti sr um squêci cusl..4.9 Torm o vlor fil lim.4. Torm covolução compl S y() (). () tão: ( ) lim( ) X ( ) (.5) Y ( ) X () v X ( / v) v v X ( / v) X ( ) RDC : C πj πj ( R X R X ) L < < ( R X R X ) H C v v (.6) S C globr o círculo uitário: Y jθ j ( ) ( ) ( ( wθ X X )) π π θ π (.7).4. Torm Prsvl C πj * * * ( ) ( ) X() v X ( / v ) v v (.8)

- 6 - S rgião covrgêci globr o círculo uitário, trsform Fourir ist. Assim, π * * ( ) ( ) X( ) X ( ) π π w (.9) Em prticulr, quo () () (), tão: π ( ) X ( ) π π w (.4) A qução (.4) forc rgi (), qu po sr clcul tto o omíio o tmpo, quto o frquêci..5 Aplicção m sistms lirs A trsform é um frrmt mtmátic muito importt ális os sistms lirs tmpo iscrto ivrits o slocmto (SLDI). Em prticulr, l é utili pr cotrr rspost m frquêci um sistm trmição cusli stbili..5. Rprstção um sistm utilio trsform Como stuo o cpítulo, sb-s qu pr um sistm SLDI, o sil sí, y() é o pl som covolução tr rspost á fução mostr uitári, h() squêci tr, (), isto é, ( ) h( ) * ( ) y (.4) A prtir propri covolução, obtém-s rlção tr s squêcis tr sí o sistm tl qu: ( ) H ( ) X ( ) Y (.4) m qu X(), Y() H() são, rspctivmt, s trsforms s tr, sí rspost à fução mostr uitári o sistm. H() é chm fução o sistm ou fução trsfrêci. Quo s qur fr ális o sistm o omíio frquêci bst stblcr, rspost m frquêci é protmt obti..5. Fução o sistm prtir qução ifrçs Cosir um sistm SLDI qu é scrito por um qução lir ifrçs com coficits costts tl qu: y M ( ) b ( ) (.4) m qu b são coficits ris costts. Em muitos csos é comum stblcr igul. Clculo trsform mbos os los qução cim, utilio s propris liri slocmto o tmpo tm-s qu:

- 6 - Y M ( ) b X ( ) Y ( ) X ( ) Ds qu X() Y() thm um rgião covrgêci m comum (sobrposts), tão: M b H ( ) Y X ( ) () M b (.44) Est é qução grl um sistm SLDI, quo rprsto por um qução ifrçs. O umror cotém os ros o omior os polos fução trsfrêci. Como s stá cosiro somt coficits ris tão, s lgum ri o umror ou omior for compl, o complo cojugo srá tmbém um ri. Dss moo, os polos ros smpr irão ocorrr form complos cojugos. Um prátic muito comum é scrvr qução (.44) m um form ftor, m trmos os sus polos ros. Assim, H b ( ) ( c )( c ) ( )( ) L b L M ( c ) ( ) (.45) C ftor ( c - ) cotribui com um ro m c um polo m, c ftor ( - ) cotribui com um polo m um ro origm. Emplo : Do o sistm cusl cuj qução ifrçs é por: ( ). 6y( ) ( ) y, trmi, H(), os polos ros fução sh os gráficos o móulo fs H(). - cálculo H(): Y ( ). 6 Y ( ) X ( ) H ( ) Y X ( ) ( ). 6 : >. 6 tm s : um pólo m. 6 um ro origm. Obsrv qu o polo stá loclio tro o círculo uitário, portto H() covrg pr. - cálculo rspost m frquêci mitio - Cálculo o móulo H( ) H ( ). 6

- 6 - H ( ) H ( ) H * ( ). 6. 6.. cos w - cálculo fs H( ). 6 H. 6. 6. 6. 6cos w j. 6sw. 6. cos w ( ) [ ( )] Im H. 6sw t t R[ H ( )]. 6cos w.5 H ( ).5 -π π f π/4 H ( ) -π/4 -π Figur.7: Móulo fs H( ) π A qução (.44) ão iic rgião covrgêci H(), pois qução ifrçs ão spcific uicmt h(). A stbili cusli o sistm prão scolh propri RDC, como srá visto sguir..5. Estbili cusli Ds qu RDC iclu o círculo uitário, tão pr, H() s ru à rpost m frquêci o sistm. Pr os sistms SLDI, coição cssári suficit pr qu um sistm sj stávl é qu h() sj bsolutmt somávl, ou sj, ( ) < Est coição implic qu RDC H() iclu o círculo uitário pois: H h (.46) ( ) h( ) h( ) Portto, o círculo rio uitário, o, tm-s: ( ) H ( ) h (.47) Assim, um sistm SLDI é stávl s rgião covrgêci iclui o círculo uitário. Est rsulto é lgums vs chmo torm stbili o omíio trsform.

- 64 - Um sistm SLDI é omio cusl s rspost à fução mostr uitári stisf sguit coição: ( ) : < h (.48) st cso, como já visto triormt, h() é um squêci ltrl irit, iico qu RDC é o trior um círculo com rio fiio plo polo H() mis fsto origm. Rsumio, stbili cusli um sistm SLDI é vrific trvés obtção os polos su fução trsfrêci chco s toos ls têm móulo mor o qu. Sistm stávl: A RDC é um l qu iclui o círculo rio uitário ão cotém polos. Sistm cusl: A RDC é o trior um círculo cujo rio cotém o polo mior móulo, sm icluílo. Sistm stávl cusl: Toos os polos stão tro o círculo rio uitário. Emplo : Cosiro o sistm bio, itifiqu c um s rgiõs o l é ou ão stávl /ou cusl s corrspots o impulso. - cálculo os polos H() H ( ) H ( ) 4 / pólos : p / Im[] p.5.5 R[] Figur.8: Loclição os polos H(). - O sistm é stávl s:.5 < <.5. Assim, por ispção, - O sistm é cusl s: >.5. Assim, h ( ) u( ) u( ) h ( ) u( ) u( ) - O sistm é ão cusl (ti-cusl) pr <.5. Assim,.

- 65 - h ( ) u( ) u( ) Obsrv qu, como o polo mior móulo prst vlor / >, o sistm ão prst um RDC o l po sr stávl cusl simultmt. Emplo 4: Cosir o sistm cusl LDI com fução trsfrêci mostr bio tl qu é um úmro rl. H () ) Pr qu fi vlors o sistm é stávl? Como o sistm é cusl, obsrvo H() cim cocluímos qu o sistm é stávl pr >. Além isso, pr qu o sistm sj stávl RDC v icluir o círculo uitário, ssim: <. b) Ecotr rspost o impulso o sistm. Rscrvo H() tm-s qu: H > ( ) : h ( ) u( ) u( ) c) Mostr qu o sistm é um sistm (filtro) pss-tuo (gho costt). H * ( ) H ( ) H ( ) H ( ) ( ) cos w cos w H cos w cos w O móulo rspost m frquêci o sistm é costt igul /, ssim o sistm é um sistm pss-tuo..5.4 Obtção rspost m frquêci prtir o gráfico polos ros Foi visto triormt qu fução o sistm m trmos sus polos ros po sr scrit sguit form: H ( ) ( c )( c ) L( cm ) ( )( ) L( ) m qu c i são os ros H() i são os sus polos. O móulo fução trsfrêci é o por: (.49)

- 66 - H () c c L c M L (.5) C ftor ( c i ) ou ( i ) é um vtor cujo móulo é o pl istâci tr o poto gérico o poto prticulr trmio por c i ou i. Pr clculr rspost mplitu o sistm stblc-s vri-s w tr ± π, qu corrspo às frquêcis ±.5. Est procimto corrspo clculr H() o círculo uitário. O fito c polo ou ro rspost mplitu prá s sus posiçõs o plo. Pr um polo, s l stá próimo o círculo rio uitário o su fito srá um rspost gu ou bm prouci (picos), s frquêcis próims frquêci o polo, pois i é um vlor pquo. Por outro lo, s o polo stá próimo, l crrtrá pouco ou hum fito rspost m frquêci, pois i. O fito os ros rspost m mplitu é liso moo similr. Zros próimos origm prstm pouco ou hum fito rspost mplitu. o cso ls stivrm próimos o círculo uitário, tão s frquêcis próims o ro rspost m frquêci srá pqu (prstrá um vl). pois c i srá um vlor pquo. Im[] c i i R[] Figur.9: Efito os polos ros fução trsfrêci.

- 67 - Ercícios. Dtrmi trsform s sguits squêcis: () () {,,,,, 5, 4, }, 5 (b) ( ), cso cotrário (c), 5 ( ), < 5. Dtrmi trsform s squêcis bio. Dsh os rspctivos igrm polos ros iiqu rgião covrgêci. () ( ) δ( ) (b) ( ) u( ) (c) ( ) u( ) () ( ) u( ) () ( ) [ u( ) u( ) ] (f) ( ) u( ) (g) ( ) ( ) u( ) (h) ( ) Ar cos( w φ) u( ) : < r <. A squêci utocorrlção c() um squêci () rl é fii como: c ( ) ( ) ( ) Dtrmi trsform c() m trmos X(). 4. So X() trsform (), mostr qu: () ( M ) M X ( ) (b) ( ) X ( ) (c) ( ) X ( ) 5. Amitio () um squêci cusl, mostr qu: lim X ( ) () 6. Dtrmi trsform s sguits squêcis:

- 68 - () ) 7 ( ) ( u (b) : ) ( < 7. Dtrmi trsform ivrs c um s trsforms iics bio. () ) ( > X (b) ) ( < X (c) 8 4 ) ( > X () 4 ) ( > X () X > ) ( 8. Utili o métoo ivisão log pr cotrr trsform ivrs : ) ( X Amit () cusl pois ti-cusl. 9. Dtrmi squêci cusl cuj trsform é por: ().5.5 ) ( X (b).5.5 ) ( X. So () um sil utorgrssivo AR() tl qu: ) ( α σ X Mostr qu fução utocorrlção () é por: c α α σ ) (. Um sistm LDI cusl prst sguit fução trsfrêci: ).5 )(.5 ( ) ( H () Qul rgião covrgêci H()?

- 69 - (b) O sistm é stávl? Epliqu. (c) Ecotr rspost o impulso o sistm.. Pr o sistm mostro figur bio cotr: A qução ifrçs qu rg os siis tr sí, fução trsfrêci rspost o impulso. Est sistm é stávl? Epliqu. () y() - -. Cosir um sistm LDI cusl scrito pl sguit qução ifrçs:.5 y ( ) y( ) ( ) () Dtrmi rspost o impulso o sistm. (b) Ecotr rspost à fução gru uitário. Em mbos os csos mit coiçõs iiciis uls. 4. Um sistm LDI é scrito pl sguit qução ifrçs: y ( ) y( ) y( ) ( ) 4 () Ecotr fução o sistm. Dsh o igrm polos ros iiqu rgião covrgêci. (b) Dtrmi rspost o impulso o sistm. (c) Dsh o móulo fução trsfrêci. 5. Um sistm LDI é scrito pl sguit qução ifrçs: y ( ) y( ) y( ) ( ) () Ecotr fução o sistm. Dsh o igrm polos ros. (b) Dtrmi rspost o impulso o sistm. 6. So os o pr trsform bio. P-s: cos( w ) cos( w ) u( ) > cos( w ) ) Dsh o igrm polos ros, b) Dtrmi qução ifrçs o sistm, c) Fç um progrm, com sí gráfic, pr grr o sil prtir qução cim. cosir um sil soil com frquêci H frquêci mostrgm qu (utili, por mplo o mtlb ou um outro softwr qulqur). 7. Sobr-mostrgm (itrpolção) é um oprção qu log o tmpo um squêci pl isrção ros tr os sus vlors, ssim: ( / L), ± L, ± L, L y( ) cso cotrário Sbo qu X() covrg pr α < < β, prss Y() m trmos X() trmi rgião covrgêci Y() m trmos rgião X().

- 7 -

- 7 - Cpítulo 4 Trsform Discrt Fourir 4. Itroução Os métoos ális Fourir são muito utilios m ghri létric pr covrtr siis o omíio o tmpo pr o frquêci. o omíio frquêci, trmos tis como, spctro mplitu spctro fs são muito comus s cotrr, os sus cálculos fcilitm obtção iformçõs, sobr os siis, qu ão são prts o omíio o tmpo. Sbmos qu quo trblhmos com siis cotíuos o omíio o tmpo utili-s séri ou trsform Fourir pr ális os siis. Els são fiis como: A Séri Fourir Um sil (t) prióico, com príoo T, po sr rprsto pl sguit séri Fourir form pocil, T j m qu: c () t ( πf t ) T j () ( πfot t c ) o t fo T (4.) (4.) A Trsform Fourir A trsform Fourir rprst siis ão prióicos o omíio frquêci. st cso l é fii como: X jπft ( f ) ( t) t (4.) m qu, o móulo X(f) é chmo spctro mplitu o sil (t), fs é chm spctro fs (t). A rlção ivrs, qu rlcio o sil o omíio frquêci com o o tmpo é chm trsform Fourir ivrs, é fii pl sguit rlção: jπft () t X ( f ) f (4.4) Com o vço tcologi circuitos itgros o cosqut vço o smpho uso itsivo os computors pssois, tto m psquis quto m svolvimto, torou-s prático ficit utiliá-los ális Fourir. A trsform iscrt Fourir é prticulrmt plic m procssmto igitl siis, pois l st os cocitos o tmpo cotíuo pr o tmpo iscrto, couio muitos lgoritmos ficits qu pom sr implmtos m computors ou m procssors igitis.

- 7 - st cotto, métoos Fourir form rctmt svolvios pr plicção m siis iscrtos o tmpo. Els iclum trsform Fourir pr tmpos iscrtos (TFTD) trsform iscrt Fourir (TDF). Els mis são o qu um tsão os cocitos ális Fourir pr siis cotíuos o tmpo. Rcoro, um propri importt um sil iscrto o tmpo, (), é qu l é fiio somt pr vlors itiros, fi - < <. A rlção tr os tmpos cotíuos iscrtos é stblci pl mostrgm uiform os siis. So (t) o sil cotíuo o tmpo, tão o sil mostro s trsform m um squêci úmros ris, fiios plos vlors (t) os istts mostrgm t T, isto é, m qu T é o itrvlo mostrgm. ( ) ( t) Obsrv qu (t) () são molos quivlts o msmo sil os omíios os tmpos cotíuos iscrtos, rspctivmt. Pr siis cotíuos o tmpo utili-s trsform Fourir pr siis iscrtos utili-s trsform Fourir pr tmpos iscrtos (TFTD), stu o cpítulo. Pr siis iscrtos com urção fiit, utilimos trsform iscrt Fourir qu irmos stur st cpítulo. t T 4. Trsform Fourir pr tmpos iscrtos Rcoro o cpítulo, tori mostrgm (cpítulo ), o pr trsforms Fourir pr tmpo iscrto (TFTD) po sr fiio pls sguits quçõs: ( ) ( ) X (4.5) π π ( ) X ( ) w π (4.6) m qu w ΩT é rfri com frquêci igitl ormli, T é o príoo mostrgm. O spctro X( ) é prióico, com príoo π. Por cus st propri fi usul frquêci pr rprstção os sistms iscrtos é π < w π ou tão < w π. Como os siis iscrto são usulmt origios os siis tmpo cotíuo é importt rlmbrr qu rlção tr os sus spctros é por: X ( ) T w π X T T (4.7) m qu π/t Ω é frquêci mostrgm m rios por sguo. ot qu o spctro o sil mostro cosist um úmro ifiito réplics o spctro o sil cotíuo, ctrs os múltiplos itiros Ω. Ests réplics são fiéis somt s o sil cotíuo for b limit qu Ω th vlor suficitmt gr pr ls ão s suprpohm. Vj figur 4.. S Ω M é máim compot frquêci o sil, tão, plo torm mostrgm, sguit rlção v sr stisfit:

- 7 - Ω M T (4.8) π X( ) Sil b bs -π π w Figur 4.: Amostrgm siis. 4. Trsform Discrt Fourir A trsform iscrt Fourir cosir qu squêci prst urção fiit trsform é clcul o omíio frquêci iscrt. Amitio um sil iscrto o tmpo (), com urção fiit igul, TDF é fii como, ( ) ( ) X W (4.9) m qu: W π j (4.) Assim, TDF é um form mpmto squêci () m um outr squêci X() m qu,,..., -, qu rprst um cojuto frquêcis iscrts w o itrvlo π. ( ) TDF X ( ) rprst w π A quti W é prióic, com príoo, móulo igul. El fi potos, rgulrmt spços o círculo rio uitário o plo, cujo vlor c rco vl π/ rios, como mostr figur 4.. Obsrvo st figur, sbo qu p(), po-s cocluir tmbém qu TDF é igul à trsform clcul os potos iscrtos w w, igulmt spços o círculo rio uitário o plo. X ( ) X ( ) π / Im Plo π/ R Figur 4.: Rlção TDF com o plo.

- 74 - Ests potos corrspom icrmtos frquêci igitl vlor / (ou π/). Assim o spctro X() é trmio s frquêcis igitis::,,,, f ou w L π (4.) o cso frquêci lógic, sts potos corrspom icrmtos vlor F /, so F frquêci mostrgm o sil (t) qu grou squêci {()}. Assim, o spctro X(), é trmio m potos frquêcis iscrts s por: [ ] [ ],,,, / Ω s r F ou H F F L π, (4.) Um obsrvção importt sobr TDF é qu l prmit o cálculo o spctro prtir os iscrtos urção fiit, sm cssi s utilir um prssão lític pr o sil. Assim, l é muito útil m plicçõs prátics s quis s tm um sil provit lgum fômo físico ou biológico como siis vo, vío, siis gofísicos. Tis siis são covrtios m iscrtos por um covrsor lógico igitl, rmos m um computor m sguis trvés lgoritmos trsform rápi (FFT) clculmos o spctro o sil. A ificul qu pomos cotrr é como o sil v tr tmho fiito, vmos scolhr um trcho rprsttivo qul sil. Outr ificul é qu como trblhmos com frquêci iscrts rsolução m frquêci po sr lt quo utilimos bi quti mostrs o sil. Emplo : Um sil tmpo iscrto é o pl sguit squêci: ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; ; ; S () pr toos os outros vlors, trmi TDF X(). Como 4 tão plico qução (4.9) tm-s: ( ) ( ) ( ) 4 j W X π ( ) 6 j j j j X () 4... π π π π j j j j j j j j X ( )... π π π j j j j X () 4... π π π π j j j j j j j j X Assim, X() é trsform iscrt Fourir squêci () clcul s frquêcis igitis w (π/),,,. Obsrv qu prtir 4 trsform s rpt, isto é, X(4) X(), X(5) X(), ssim por it. Emplo : Dtrmi TDF sguit squêci: {,,,,,,,,, } O tmho squêci é. Aplico fiição pl qução (4.9) tm-s qu:

- 75 - X 9 ( ) ( ) W M M ( r ) Cohco o rsulto séri: r. r 4 π j π / Etão, por ispção, stblco ; r M 5 tm-s qu: X ( ) jπ / jπ / π j π j π j π j π j π j Utilio s rlçõs Eulr svolvo qução cim s obtém, X ( ) π ( π / ) ( π /) j 5 s,,, L, 9 s Obsrv qu os vlors TDF são complos prstm simtri m toro o poto / 5. O móulo prst simtri pr fs prst simtri ímpr m toro ss poto, vj figur 4.. C íic rprst um frquêci igitl vlor w (π/) ou f /. Multiplico sts frquêcis pl frquêci mostrgm trmos s frquêcis corrspots o tmpo cotíuo. 5 4 () (b) - - 4 6 8-4 6 8 Figur 4.: TDF (), () Espctro mplitu (móulo), (b) Espctro fs. 4.4 Trsform Discrt Fourir Ivrs D TDF X() um squêci {()}, pomos clculr st squêci clculo trsform iscrt Fourir ivrs (TDFI) trvés sguit qução: ( ) X ( ) W,,, L (4.) ot qu, ão sr plo sil gtivo o pot pl ivisão por, qução cim é iêtic à qução (4.9). 4.5 Propris TDF Algums propris são muito usuis importts quo plicção TDF m problms ris. O cohcimto comprsão sts propris é gr importâci urt ális os rsultos.

- 76-4.5. Prioici Tto TDF, quto TDFI, proum rsultos prióicos, com príoo. Est rsulto é vio o fto qu o trmo W é prióico com príoo. ( ) ( ) X ( ) X ( ). (4.4) Emplo : Dtrmi TDF o sil π 8 A TDF potos o sil ( ) cos( w ) ( ) cos, p frquêci igitl w πf. Dpo f sr um fução rciol ou ão () prstr um ou mis príoos compltos fução o spctro frquêci irá prstr outrs ris ifrts quls posicios s frquêcis π/8 π - π/8. π - S w π, m qu é um úmro itiro positivo, trmos um úmro frcioo 8 príoos (). Assim: X ( ) j π w s ( π w / ) ( π / w / ) s j π w s s ( π w / ) ( π / w / ) - S w π, m qu é um úmro itiro positivo, trmos um úmro itiro príoos (), tão, X ( ) /,, cso cotrário Primiro cso: Sj 6 tm-s tmt um príoo fução (). 8.5 6 -.5 4-5 5 Figur 4.4.: TDF (), 6. Obsrv qu st cso, TDF é clcul m tmt um príoo o sil soil, ssim o spctro mplitu prst somt us ris, um frquêci outr frquêci simétric 5 (6 ), rprouio tmt o spctro fução cosso, isto é, ris spctris somt frquêci o sil.

- 77 - Sguo cso: sj 4 tm-s um príoo mio fução ()..5 -.5-4 8 6 4 5 5 5 Figur 4.4.b: TDF (), 4. Obsrv, st sguo cso, qu TDF mit qu um príoo mio o sil soil s rpt,, portto l é ão ul pr toos os vlors, quto qu o primiro cso l é ão ul somt pr os vlors qu rprstm loclição frquêci o sil. Ambs s TDF cim são spctros um fução cossoil, ms o sguo cso ão ispomos um úmro to príoos () o spctro prst compots ão uls s frquêcis ifrts π/8 π-π/8. Portto v-s tomr cuio itrprtção os rsultos. 4.5. Liri [ { ( ) } b{ y( ) }] X ( ) by ( ) TDF. (4.5) m qu: X() Y() são clculs prtir mostrs s squêcis {()} {y()}, rspctivmt. É importt otr qu () y() vm prstr o msmo comprimto. S ls prstrm tmhos ifrts, tão s v crsctr ros squêci mis curt pr qu ls fiqum com o msmo comprimto. 4.5. Dslocmto circulr m () Um slocmto circulr m um squêci é ilustro figur 4.5. El rprst um rotção M potos squêci tro um msmo príoo. st cso TDF prst um compot fs corrspot o slocmto. So M o vlor o slocmto, tão: TDF M [ ( M ) ] X ( ). (4.6) c W.8.6.4. 4 6 8.8.6.4. 4 6 8 Figur 4.5: Dslocmto circulr um squêci (M6).

- 78-4.5.4 Dslocmto circulr m X() ( M ) TDF ( ) M [ ] X W. (4.7) Est propri fi um moulção o sil, isto é squêci o tmpo iscrto é multiplic por um pocil compl frquêci f o (F o /)M. 4.5.5 TDF Squêcis Ris A TDF squêcis ris prou um squêci compl cuj prt rl é simétric (pr) um prt imgiári tissimétric (impr) m toro frquêci / TDF. D um mir mis simpls, o móulo é pr fs é ímpr m toro /. X * ( ) X ( ),,,..., (4.8) Emplo 4: Dtrmi TDF ( ) s( πft ) X, m qu T /F. ( ) s( πf / F ) j jπf / F jπf / F j jπf / F ( ) W cosiro f mf /, m qu m < / (itiro), tão: Portto: X ( ) j jπf / F W jπ( m ) / jπ( m ) / j j 444 444 444444, m, m X ( ) / j, / j,, m m c.c. Obsrv qu: X(m) X(-m) /, φ(m) -φ(-m) π, isto é, o móulo X() é um fução pr fs é impr. 4.5.6 Covolução Circulr Quo s trblh com TDF os siis, tto o omíio o tmpo como o frquêci, são mitios prióicos, st cso é fii covolução circulr. A covolução circulr tr us squêcis msmo comprimto (), é fii como, ( ) ( m) h( m) h( m) ( m) m y. (4.9) m m qu, quti tr prêtsis (-m) é clcul vi móulo (slocmto circulr), ss moo y() tmbém srá prióic, com príoo.

- 79 - st cso, omíio frquêci, TDF y() srá o prouto s trsforms iiviuis () h(), isto é, ( ) X ( ) H ( ) Y. (4.9) Emplo 5: Cosir us squêcis () h(), mostrs tbl bio. 4 5 6 7 ()....4.5.6.7.8 h()...5.9.8.6.4.7 A covolução circulr po sr mlhor compri com o uílio figur 4.6. o círculo itro são colocs, o stio horário, s mostrs um os siis, por mplo h(-m), o círculo tro são colocs s mostrs, o stio ti-horário, o outro sil ((m)). As mostrs corrspots o msmo rio são multiplics os proutos rsultts são somos. Os outros vlors covolução são obtios rotcioo o círculo itro o stio horário. O procsso é rptio té qu primir mostr o círculo itro chgu su posição origil...4..6.4..5.8.. h(-m).9..5.6.8 (m).7 Figur 4.6: Ilustrção covolução circulr ( ). Pr tm-s qu: y y ( )....8.5.7.9.6.8.5.6.4.4... ( ). 8..4..8.6.4.5.9.. h(-m).5...6.8 (m).7 Figur 4.7: Ilustrção covolução circulr ( ). Pr (figur 4.7) tm-s qu:

- 8 - y ()....8..7.5.6.9.5.8.4.6..4. y() 8. 8 Emplo 6: Dtrmi covolução circulr tr () y() s bio: ( ) y( ),, < L c.c. Vmos rsolvr o problm, utilio o omíio frquêci. - Estblco L, pos lgum mipulção lgébric po-s mostrr qu s trsforms iscrt Fourir s squêcis cim srão s por: X ( ) Y ( ) W,, c.c. - Multiplico X() por Y() tm-s: Z ( ) X ( ) Y ( ),, c.c. - A trsform iscrt Fourir ivrs qução cim rsultrá covolução circulr ()*y(). Assim, ( ) Z( ) W Z( ),,,, L Fic clro qu squêci (-m) é rotcio com rlção y(m), ms som os proutos srá smpr igul, como mostr o rsulto obtio cim. Fic tmbém clro qu o rsulto cim ão é covolução lir tr () y(), ms sim, o qu é chmo covolução circulr. 4.5.7 Covolução Lir Pr s fr covolução lir tr us squêcis comprimto ifrts, por mplo M, cujo rsulto é um squêci comprimto M-, primirmt s form us ovs squêcis comprimto M- crscto ros s triors pós st oprção s f covolução circulr prtir sts ovs squêcis. Assim, st mplo, mostro cim, como os siis têm o msmo tmho, vmos crsctr L ros s us squêcis, moo qu mbs fiqum com comprimto L. Em sgui, trmio covolução circulr tm-s como rsulto covolução lir tr s us squêcis origiis. Est rsulto é mplifico figur 4.8, mostr bio.

- 8 - (m) y(m) L (-m) (-m) (m)*y(m) Figur 4.8: Covolução Lir. Em v s utilir qução (4.9), pomos utilir trsform iscrt Fourir pr s obtr covolução lir tr us squêcis () y() tmhos M, rspctivmt, como sgu: - Acrsct ros s us squêcis pr qu ls prstm o msmo tmho L M-, - Clcul s TDFs s us ovs squêcis, - Multipliqu s TDFs pr formr o prouto X().Y(), - Clcul TDF ivrs o prouto cim pr s obtr covolução lir tr () y(). 4.6 Uso DFT m ális spctrl Sbmos qu trsform Fourir forc o cotúo frquêcis um sil. Durt o cálculo, l utili too o itrvlo urção o sil; s urção é ifiit, itgrl ou tão som Fourir s st té o ifiito. Em cotrprti, pr o cálculo trsform iscrt Fourir cssitmos um cojuto fiito os. Assim, TDF prmit rprstção o omíio frquêci siis o muo rl. Porém, justmt porqu o cojuto os v sr fiito, TDF f somt um proimção o spctro o sil. Amitio () squêci sr lis, o clculo DFT potos é quivlt o cálculo trsform Fourir () multiplic por um fução w() qu vl um tro o itrvlo ális ro for st itrvlo, isto é, clculmos DFT sguit squêci: ( ) ( ) w( ) ~ (4.) qul fução w() é chm jl rtgulr tl qu:,,,, L, w( ), cso cotrário (4.) Dss moo, como s tm um prouto fuçõs, o spctro obsrvo TDF srá o pl covolução circulr tr o sil rl () jl w(), ssim, ( ) X ( ) W ( ) ~ X (4.)

- 8 - s m qu: ( ) ( w / ) W s ( w / ) Assim, por cus covolução, jl prst o fito splhr o spctro o sil sobr to fi frquêcis obsrvávl, tr ro mt frquêci mostrgm, istorco o spctro rl. Est rsulto é mlhor comprio trvés um mplo, como mostrrmos sguir. Pr ilustrr st fito cosir o spctro mplitu o sil () cos(π.5), mostro figur 4.9. Est spctro foi obtio m um computor, utilio vlors squêci () crscto 4 ros, totlio um totl 56 potos. Os ros form crsctos pr mlhorr rsolução gráfic figur. Como o sil é cossoil, sri spro qu o spctro stivss coctro m toro s frquêcis igitis ±.5, porém, por cus os lóbulos ltris rltivmt grs jl rtgulr (vj pêic A), o spctro stá splho por to fi frquêcis tr ±.5. Est fômo é cohcio como lg. Pr siis com mis compots frquêcis st fito po mscrr lgums frquêcis o spctro..5.4.... -.4 -....4.5 Figur 4.9: Espctro mplitu pr o sil () cos(π.5). figur 4. é ilustro o spctro mplitu um sil com us compots cossoiis, isto é, () cos(π.5).5cos(π.5). Obsrv qu por cus o fito splhmto (spctrl lg), compot frquêci igitl igul.5 mor mplitu prticmt ão prc o spctro. S o sil foss scohcio, sri muito ifícil, ou prticmt impossívl itificr st compot. Cosqutmt, st cso, DFT ão é um bo proimção o spctro o sil..5.4.... -.4 -....4.5 Figur 4.: Espctro mplitu pr o sil () cos(π.5).5cos(π.5). Um plicção pr ss fito é qu sgu: A jl rtgulr prst um trsição brupt, st trsit cus o su spctro frquêcis grs lóbulos ltris. A solução qu ispomos pr o problm é forçr form o squêci tr ro mir suv, sm trsits. Isto po sr rlio utilio um fução jl ifrt rtgulr, como por mplo, s

- 8 - jls hmmig ou hig (vj pêic A) pr multiplicr o sil. Jls com trsiçõs mis suvs tm prstr, o spctro mplitu, lóbulos ltris bm mors o qu os rtgulr lóbulo pricipl um pouco mis lrgo. Evitmt qu o uso um jl ifrt rtgulr moific o sil, porém, o omíio frquêci o sil é mlhor visulio possibilito um mlhor itificção s compots frquêcis o sil. A figur 4. mostr o spctro mplitu o sil com us compots soiis o mplo trior, multiplico por um jl hmmig, cuj qução é por:.54.46 cos(π / ), < w( ), cso cotrário (4.).5..5..5..5. -.4 -....4.5 Figur 4.: Espctro mplitu pr o sil () cos(π.5).5cos(π.5), utilio jl hmmig. Como jl hmmig prst um trsição suv pr o vlor ro, portto lóbulos ltris pquos, s us compots cossoiis pom sr obsrvs, como mostr figur 4.. Cosqutmt, utilio jls qus, DFT po s torr um bo proimção o spctro o sil. Um ificul iciol qu cotrmos, quo o uso jls, é qu jl ltr potêci totl o sil, moifico mplitu os spctros, como pomos obsrvr tmbém figur 4.. Um solução pr miimir st fito sri multiplicr trsform o sil pl som os vlors w() jl utili.

- 84 - Ercícios. Prov sguit rlção: π j ( ( r ),, r r. Clcul TDF squêci: () ; () ; () - () -.. Clcul TDF ivrs, potos ( ) : X ( ),,, 7 cso cotrário 4. Um sil lógico é mostro m H TDF 8 mostrs é clcul. Dtrmi o spçmto frquêci tr s mostrs spctris. 5. Mostr qu rsolução spctrl um TDF mostrs um sil é mlhor crscto ros (por mplo, M) à squêci origil, m sgui clculo TDF M potos. Emplifiqu. 6. Ecotr TDF s sguits squêcis. (Cosir - um vlor itiro íic frquêci): ) () δ() b) () δ( - o ), o < o < - c) (), o < ) () j(πα/) ) () cos[(πα/)],,, L, f) ( ) OBS: fç 4, 8 6. Obsrv s ifrçs, 7. Emplo o computor: Obtr TDF () cos(πα/), o 8 α ;.5. Utili um softwr tl como o MtLb pr fr st rcício.

- 85 - Cpítulo 5 Projto Filtros Digitis 5. Itroução Os filtros prtcm um clss muito importt sistms lirs ivrits o tmpo, cuj fução primári é slcior, com pouc ou hum tução, trmis compots frquêci rjitr ou rmovr tos s outrs compots um sil plico m su tr. Tis filtros são chmos filtros sltivos m frquêci. Els são utilios m plicçõs tis como: rução ruío, riqucimto siis, quliors gráficos m sistms áuio, m muits outrs plicçõs ghri létric. Em um cotto mis mplo fi-s um filtro como um ispositivo qu moific s compots frquêci um sil plico m su tr. Eistm us clsss pricipis filtros, os lógicos os igitis. Os filtros lógicos utilim compots ltrôicos tis como rsistors, cpcitors, iutors mplificors oprciois pr s costruí-lo. Os filtros igitis utilim um procssor igitl pr rlir cálculos uméricos rltivos à filtrgm m um sil mostro. So ssim, lém icorporrm s vtgs o procssmto igitl, ls são fcilmt projtos implmtos. st cpítulo srão scrits ivrss técics projto os filtros igitis, tto pr os filtros IIR (filtros com rspost o impulso ifiit) bm como pr os FIR (filtros com rspost o impulso fiit). As técics, qui prsts, são bss os projtos clássicos filtros lógicos, ou tão proimção s sus crctrístics iis. As crctrístics sjs são spcifics pls rsposts mplitu fs ou tão, pl fução trsfrêci o projto proprimt ito cosist m cotrr os coficits um filtro IIR ou FIR qu mlhor proimm s spcificçõs sjs. prátic os filtros FIR são mprgos quo s spcificçõs projto rqurm um filtro com fs lir. Quo st rqurimto ão é cssário pom-s utilir os filtros IIR. Os filtros IIR são prfrios m rlção os FIR, pois prstm mors lóbulos ltris b tução, s crctrístics sjs são obtis com um úmro mor prâmtros, ruio compli computciol. Os filtros FIR, o cotrário, prstm crctrístics compltmt oposts os IIR. st cpítulo, pr fcili otção, rprstrmos frquêci gulr lógic, m rios por sguo, pl ltr grg omg miúscul (Ω) frquêci m ciclos por sguo ou Hrt por (F). As frquêcis igitis srão rprsts pls ltrs miúsculs roms w f, rspctivmt. 5. Projto filtros igitis com rspost o impulso ifiit - IIR Os filtros IIR são filtros rcursivos, cuj sí o istt tul p os vlors prst pssos tr tmbém os vlors pssos própri sí. Els prstm um rspost o impulso com urção ifiit, como cosquêci ls pom sr ptos os filtros lógicos qu tmbém, grlmt, prstm rspost o impulso com urção ifiit. Assim, s técics pricipis projto os filtros IIR cosistm obtção um filtro lógico, com trmis spcificçõs projto, m sgui, trsformção st filtro m um igitl. A trsformção tt prsrvr lgum crctrístic ou rprstção o filtro lógico. Eistm três técics básics pr o projto filtros igitis com rspost o impulso ifiit: proimção s rivs qução ifrcil, ivriâci rspost o impulso trsformção bilir, qu é mis populr. Ests técics são bss trsformção um filtro tmpo cotíuo m um filtro tmpo iscrto, trvés um mpmto o plo s trsform Lplc pr o plo. A rão pr st procimto é qu os projtos clássicos os filtros lógicos

- 86 - são bm cohcios, proios tblos, lém isso, fmílis filtros prõs, como por mplo, os filtros Buttrworth, Chbyshv lípticos coum projtos ficits. Um outr rão é qu sts projtos coum fórmuls muito simpls trsformção o omíio o tmpo cotíuo pr o iscrto. Um filtro lógico cotíuo o tmpo po sr rprsto, o omíio frquêci, pl sguit fução o sistm: H () s M β α s s (5.) m qu: α β são os coficits costts o filtro, é orm o filtro, qu corrspo o mior gru o omior, s o opror Lplc. O subscrito iic qu o filtro é lógico. A trsform Lplc ivrs fução o sistm forc um outr form rprstção um filtro, isto é, rprstção trvés su rspost o impulso. h πj σ j () t H () s σ j st s (5.) Um outr form ltrtiv pr rprstr um filtro lógico é scrvê-lo trvés um qução lir ifrcil com coficits costts como mostro bio: α t y M () t β () t t (5.) As três rprstçõs mostrs cim coum três métoos ifrts projto filtros igitis IIR, como srá stuo m tlhs sguir. 5.. Métoo por proimção s rivs Est procimto cosist m proimr rprstção por qução ifrcil lir pl qução (5.), por um qução ifrçs lir. Amitio T o itrvlo mostrgm, um proimção uméric pr riv primir orm é pl sguit qução: t y T () t [ y( ) y( ) ] t T (5.4) A riv primir orm prst como fução o sistm sguit trsform: H ( s) s A qução ifrçs qução (5.4) tm como fução o sistm sguit trsform : H ( ) [ ] Etão, o sguit mpmto o plo complo s pr o plo complo é rlio quo s f sguit proimção uméric: T

- 87 - [ ] s T (5.5) Pr riv sgu orm po-s fr sguit proimção: t y () t t T T y ( ) y( ) y( ) y( ) T T T { y( ) y( ) y( ) } quivlêci o omíio frquêci srá por: s (5.6) T Sguio o procimto cim, sgu qu substituição pr riv -ésim orm srá: s T (5.7) Portto, fução trsfrêci pr um filtro igitl IIR qu proim fução trsfrêci o filtro lógico trvés proimção uméric s rivs é rli trvés sguit trsformção: H ( ) H ( s) s ( ) T (5.8) As cosquêcis st trsformção pom sr vrifics rscrvo qução (5.5) como sgu: st jωt ( ΩT ) (5.9) Coform Ω vri - o plo s, vriávl é mp m um círculo rio ½, ctro o io rl, m ½. Qulqur poto o smiplo squro o plo s, o o filtro lógico é stávl, é mpo, o plo, tro o círculo rio ½, como mostr figur 5.. Im jω / R σ Plo Plo s Figur 5.: Mpmto s o plo. Cosqutmt, s H(s) for stávl, st trsformção cou um filtro igitl stávl, pois toos os polos H() strão tro o círculo rio uitário, mis prcismt, tro circufrêci hchur figur 5.. Obsrv tmbém qu loclição os polos H() stá cofi m um ár frquêcis igitis bis, ± π/. Est fto, limit utilição sts filtros pr s crctrístics pss-bis pss-b, com frquêci cort ou rssoâci bi quo compr com frquêci mostrgm. ão é possívl projtr filtros pss-lts com st técic.

- 88 - Emplo : Covrt o filtro pss-bis com frquêci cort igul r/s com fução trsfrêci mostr bio, m um filtro igitl IIR utilio o métoo proimção s rivs. H () s s s Pr trmição H() substitui-s, qução cim, s por ( - )F. Assim: H () F ( F. ) K / K m qu : K F F Assim, os coficits o filtro igitl m fução T, srão os por: b ( F ) F / K K F F figur 5. são mostros spctros mplitu os filtros pr frquêcis mostrgm H H. Obsrv qu um mlhor proimção pr o filtro lógico ocorr pr frquêci mostrgm mior (F H). Pr frquêcis mostrgm grs, os itrvlos mostrgm são pquos s frquêcis igitis itrss ficm coctrs m toro o io rl, o os círculos rio ½ uitário s tocm, ssim st itrvlo mlhor srá proimção. () (b) F H (c) F H - - - - - - - - - -4. -4. -4. r/s Figur 5.: Projto filtros por proimção s rivs: () lógico; (b) igitl; (c) igitl. 5.. Métoo por ivriâci rspost o impulso Est métoo tm como objtivo obtção um filtro IIR cuj rspost à mostr uitári, h(), sj um vrsão mostr rspost o impulso o filtro lógico qu s qur proimr. Pr prsrvr rspost o impulso, h (t) é mostr m itrvlos rgulrs T moo s obtr rspost h() o filtro igitl tl qu: h ( ) h ( T ) h ( t) t T (5.) Lmbro qu qução o omíio frquêci, qu rlcio o spctro frquêcis um sil mostro um t F com o spctro o sil lógico é por: ( f ) F H [( f ) F ] H, (5.)

- 89 - fic clro, plo critério yquist, qu rspost m frquêci o filtro igitl s proim o lógico, s qu frquêci mostrgm sj stblci suficitmt gr, moo miimir o fito suprposição spctrl (lisig). Cosqutmt, st métoo é tmbém limito pr os filtros pss-bis pss-b, os quis ão istm oscilçõs b tução. El é iquo pr o projto filtros pss-lts rjit b ão sr qu um filtro tilisig sj utilio. Pr mostrr o svolvimto o projto filtros por ivriâci rspost o impulso, cosir um filtro lógico orm, com polos simpls istitos. Assim, fução trsfrêci form frçõs prciis é por: H () s A s p (5.) m qu: p são os polos o filtro lógico A são os coficits psão m frçõs prciis. A rspost o impulso é trmi pl trsform Lplc ivrs qução (5.): h pt () t A u() t (5.) Pr prsrvr o formto rspost o impulso, h(t) é mostr os istts t T. Assim, h pt ( ) h ( T ) A u( ) (5.4) Clculo trsform h() tm-s: portto: H pt pt ( ) h( ) A A ( ) H ( ) A pt (5.5) A fução trsfrêci cim corrspo um filtro igitl qu prst h() h (T ) s qu ão ocorr suprposição spctrl. ot qução (5.5) qu os polos,, st filtro são os por: p T :,, L (5.6), As quçõs (5.5) (5.6) forcm um mio pr s projtr filtros igitis plo métoo ivriâci o impulso. ot qu ão é cssári trmição h (t) pr o projto, como s pori psr pricípio. rli são cssários o cohcimto os polos o protótipo lógico frquêci mostrgm o sil. Com rlção à stbili o filtro po-s otr irtmt qu s o filtro lógico rfrêci é stávl, tão os sus polos p σ jω prstm σ <. st cso, como: σ < (5.7)

- 9 - Assim, st métoo cou um filtro cusl, stávl, pois s qu os polos H (s) stão loclios o smiplo squro o plo s, tão os polos H() strão loclios tro o círculo rio uitário. Emplo : Covrt o filtro o mplo, m um filtro igitl plo métoo ivriâci o impulso. () s s s H Clculo os polos H (s) pio m frçõs prciis tm-s qu: () ( ) ( ) j s j j s j s H Polos H (s) H(): ( ) ( ) T j j p ± ±,, Cálculo H(): () ( ) ( ) j j H T j T j () cos si T T H T T T Assim, os coficits o filtro igitl m fução F srão: F F F F F b b / / / / cos / si Pr mtr o gho comptívl com o lógico multiplicmos H() por T, ou sj, multiplicm-s toos os coficits b cim plo príoo mostrgm.

- 9 - () (b) F H (c) F H - - - - - - - - - -4. -4-4.. r/s Figur 5.: Fitro igitl por ivriâci o impulso: () lógico; (b) igitl; (c) igitl. Um vtgm utilição st métoo é qu s frquêcis Ω w são rlcios lirmt, ms como o spctro H() é o msmo H(s) só qu s rpt m múltiplos frquêci mostrgm lgum suprposição spctros é spr m lgus csos po-s torr itolrávl. 5.. Métoo por trsformção bilir Est métoo é o mlhor procimto pr s projtr filtros igitis prtir um protótipo lógico. El supr s limitçõs os triors, qu são rstritos os filtros pss-bis pss-b. El vit o problm suprposição spctrl, quto mtém s pricipis crctrístics fução trsfrêci o filtro lógico. A trsformção bilir f o mpmto too o io - < Ω < o círculo uitário -π < w < π, trvés utilição rgr itgrção uméric (rgr o trpéio). O uso st técic é rstrito às situçõs o é citávl istorção o io s frquêcis por cus comprssão Ω tr ± pr w tr ±π. Cosir um sistm primir orm com fução trsfrêci: ( s) b () s s A qução ifrcil ssoci st sistm é por: Y H () s (5.8) X t y () t y() t b() t Sb-s qu itgrl riv y(t) forc: m qu y (t) é riv y(t). y (5.9) t (5.) () t y' () t t y( t ) t Amitio t T t (-)T itgrl é rli m um itrvlo corrspot us mostrs coscutivs. Assim, plico rgr o trpéio qução (5.) tm-s qu: T y( ) [ y' ( ) y' ( ) ] y( ) (5.) Amitio t T qução (5.9) substituio qução (5.), cim, sgu qu:

- 9 - T T bt y ( ) y( ) [ ( ) ( ) ] (5.) A qução cim é um proimção uméric o sistm primir orm mostro m (5.8) m (5.9). Assim, trsform qução (5.) forc fução o sistm igitl quivlt: H ( ) b (5.) T Compro s quçõs 5.8) (5.) po-s cocluir qu o mpmto o plo s pr o plo po sr fito pl sguit rlção: s T (5.4) Assim, substituio s pl rlção cim m H(s) obtém-s o filtro igitl quivlt plo métoo trsformção bilir. Pr vrificr s cosquêcis st trsformção, sj s jω. Após lgum mipulção lgébric qução (5.4) tm-s qu: Ω T t w w t ΩT ou (5.5) Im jω π ω rctg(ωt/) R σ Ω Plo Plo s -π Figur 5.4: Mpmto pr trsformção bilir. Obsrv qu fi frquêcis tr, é mp tr π, o plo, fi - < Ω < é mp o círculo uitário tl qu -π < w <. A trsformção bilir vit o problm suprposição spctrl cotro os outros ois métoos, pois o io jω é mpo itirmt o círculo uitário o plo, ss moo ão há suprposição spctrl o omíio frquêci. Too o smiplo squro o plo s é mpo tro o círculo uitário o qu iic qu trsformção é stávl. Cotuo, st mpmto é ltmt ão lir, vio à fução tgt qu rlcio Ω com w qução (5.5). Est rlção comprim o io jω. Est tipo comprssão é chmo litrtur frqucy wrpig v, pricípio, sr tolro quo utilição st métoo. Emplo : Covrt o filtro o mplo, m um filtro igitl utilio o métoo trsformção bilir. H () s s s

- 9 - substituio s por F tm-s qu: / H 8F F 4F ( ) ( ) m qu : F 4F figur 5.4 são mostros spctros mplitu os filtros pr frquêcis mostrgm H H. Obsrv qu há pouc ifrç proimção o filtro lógico tto pr frquêci mostrgm H quto pr H, ão sr pl istorção o io frquêci. Eist um comprssão rspost mplitu o filtro igitl. Um s grs vtgs utilição st métoo é ão há rstrição o tipo filtro qu srá projto, portto st métoo é o mis utilio obtção filtros igitis IIR. () (b) F H (c) F H - - - - - - - - - -4-4.. r/s -4. Figur 5.4: Filtro igitl utilio trsformção bilir: () lógico; (b) igitl; (c) igitl. 5. Fmíli rsposts filtros lógicos A técic mis comum projto filtros IIR é qu trsform um protótipo lógico, prvimt projto, m um igitl, utilio um os três métoos mostros sção trior. st sção srão stuos lgus procimtos projto os filtros lógicos, bm como lgums fmílis rsposts filtros lógicos muito mprgs prátic qu srão utilis como bs os projtos os filtros igitis IIR. As fmílis, qui iscutis, são prsts pr os protótipos pss-bis, os outros tipos filtros pom sr fcilmt obtios por trsformção frquêcis. 5.. Rspost Buttrworth Sbo-s qu crctrístic mplitu um filtro il é pl fi pssgm, o filtro Buttrworth tt proimr st crctrístic trvés um fução poliomil o omíio frquêci. El é crctrio por um rspost mplitu qu é mimmt pl fi pssgm (figur 5.5.) por um rspost crsct b pr. O móulo o quro su fução trsfrêci é fiio como: H ( jω) Ω Ω c s Ω c (5.6) m qu: Ω c é frquêci cort o filtro (qu B b pssgm) é orm o filtro.

- 94 - Amitio Ω Ω/Ω c qução (5.6), s sguits propris pom sr obsrvs:. H ( ), isto é, gho igul fi pssgm. Pr um gho ifrt bst multiplicr (5.6) plo gho sjo.. H ( ). 77, frquêci cort igul r/s, como cosquêci ormlição m frquêci.. Epio H(Ω ) m séri Tylor tm-s qu: H ( jω) ( Ω ) Ω Ω 8 4 L Dss moo, s rivs H(Ω ) pr Ω srão: Ω H ( jω ) :,, L, Ω Tos s rivs orm,,..., - são uls m Ω, iico qu m toro st vlor fução é pl. Dvio st propri o filtro Buttrworth é cohcio como filtro com rspost m mplitu mimmt pl. 4. Coform orm o filtro umt, rspost mplitu tor-s mis pl fi pssgm t tução b trsição tor-s mis ctu, como po sr obsrvo figur 5.5.. Acim frquêci cort, isto é, pr Ω >> ou Ω >> Ω c, fução trsfrêci ib um t tução corrspot B por éc (c v qu s umt por frquêci) ou 6 B por oitv (c v qu s obr frquêci). st situção rspost ssitótic srá: H Ω Ω c ( jω) Os polos fução trsfrêci são quls ulm o omior qução (5.6). Assim: s Ω c / j ( ) ( ) π /,, L, Cosqutmt, os polos qu prmitm qu qução (5.6) sj stávl srão: jπ / j( ) π / p Ωc,, L, (5.7) A qução cim iic qu sts polos stão loclios o smiplo squro o plo s m potos rgulrmt spços m um círculo rio Ω c são simétricos m rlção o io rl, como mostr figur 5.5b.

- 95 -.5 p jω Ω C σ Ω c Ω c () Figur 5.5: () Espctro mplitu, (b) loclição os polos o filtro Buttrworth. Emplo 4: Dtrmi fução trsfrêci um filtro Buttrworth orm frquêci cort Ω c r/s. (b) O cálculo os polos é fito utilio qução (5.7), ssim: p p jπ / jπ / jπ / 4 jπ / 4 cos cos ( π / 4) j s( π / 4) ( 5π / 4) j s( 5π / 4) j j O cálculo H(s), pr um filtro orm gho uitário, é fito pl sguit prssão: Amitio tm-s qu: H H () s () s ( s p )( s p ) L( s p ) p p p L p ( s p )( s p ) s s p 5... Espcificçõs pr o projto filtros pss-bis As spcificçõs mis comus cotrs pr o projto um filtro são ilustrs figur 5.6. st figur rspost mplitu um filtro pss-bis é liri por prts, o s itificm três rgiõs: Um b pssgm ( Ω p ), um b trsição (Ω p Ω s ) um b tução ou pr (cim Ω s ). Em qu, Ω p é frquêci b pssgm, Ω s é frquêci b tução, δ MAX δ MI são s tuçõs máim b pssgm míim b pr. H(Ω) /δ MAX /δ MI Ω p Ω s Ω Figur 5.6: Espcificçõs pr o projto filtros pss-bis. fi pssgm ( Ω p ) tução ão po cr δ MAX b tução (cim Ω s ) tução ão vrá sr mor qu δ MI. Lmbr qu tução é o ivrso o gho. Pr s

- 96 - obtr mlhor proimção possívl um filtro il, b trsição B T Ω s - Ω p v sr mor possívl. Com sts iformçõs trmi-s fcilmt orm frquêci cort crctrístic Buttrworth. D poss sts rsultos trmi-s os polos trvés qução (5.6). Emplo 5: Dtrmi fução trsfrêci H(s) um filtro Buttrworth qu stisfç s sguits coiçõs projto: Ω p π r/s (F p 5 H), δ MAX B, Ω s 4π r/s (F s H), δ Mmi 4 B. Utilio qução (5.6), b pssgm tm um tução B ou um gho - / : H / π ( jω ). ( I ) p 5849 π Ω c Ω c b tução tm-s: H 4π s 9999 4π Ω c Ω c 4 / ( jω ) ( II ) A trmição orm o filtro po sr fit iviio (II) por (I): c 4π / Ω 9999 4 / π Ωc. 5849 ( 4). 795. 5 A orm o filtro é proim pr o mor itiro mior qu.5. Assim: 4 O cálculo frquêci cort po sr fito utilio ou qução (I) ou tão (II) m qu 4. Utilio (I) tm-s: 8 π Ωc 5849. Ωc 69π r / s Obsrv qu st solução ão é úic. Utilio qução (II) o rsulto sri outro (65π r/s), porém qulqur qu sj frquêci utili, o filtro strá tro s spcificçõs o problm. Cálculo os polos, utilio qução (5.7): jπ 8 p 69π :,,, Cálculo H(s). Após lgum mipulção lgébric tm-s: H( s ) ( s p )( s p p p p p )( s p )( s p ) s 4. 794. 59 6 s. 96 s 9. 9 s. 59 5.. Rspost Chbyshv

- 97 - A fmíli Chbshv prst como um sus pricipis crctrístics um mior t tução b trsição o qu os outros filtros poliomiis, oulçõs b pssgm ou tão tução. Eistm ois tipos filtros Chbyshv: tipo I tipo II. O primiro tipo prst um comportmto osciltório fi pssgm (quirippl) um comportmto mootôico pr frquêcis cim st b, como mostr figur 5.7. O tipo II prst um comportmto tmt oposto o tipo I, isto é, um comportmto mootôico fi pssgm osciltório b tução. Pr o filtro tipo I o móulo o quro su rspost m frquêci é o por: H ( jω) ε C ( Ω / Ω ) ε C ( Ω ) p (5.8) m qu: ε é um prâmtro qu cotrol mplitu s oulçõs b pssgm C (Ω ) é o poliômio Chbyshv orm. Embor C (Ω ) sj um poliômio, l é mlhor fiio m trmos fuçõs trigoométrics como bio: ( cos Ω ), ( cosh Ω ), cos Ω C ( Ω ) (5.9) cosh Ω > Algums crctrístics são muito importts pr sts poliômios. Pr Ω, ls prstm um comportmto osciltório, com mplitu costt vrio tr ± por st rão são chms tmbém fuçõs quirippl. Pr Ω >, tm-s um cosso hiprbólico, portto C (Ω ) crsc com mior rpi o qu qulqur outro poliômio msm orm, prouio um filtro cujs crctrístics são mostrs figur 5.7. rli ão há cssi s utilir qução (5.9), pois sts poliômios são fcilmt gros trvés sguit fórmul rcursão: C ( Ω ) Ω C ( Ω ) C ( Ω ) m qu: C (Ω ) C (Ω ) Ω portto sgu qu: (5.) C C C 4 Ω 4Ω 8Ω M 4 Ω 8Ω (5.) / ε.5 Ω c Ω c () (b) Figur 5.7: Filtros Chbyshv tipo I; () Espctro mplitu; (b) loclição os polos. Cosiro s quçõs (5.8) (5.9), s sguits propris pom sr obsrvs: p jω σ

- 98 -. Pr Ω tm-s: H, ímpr, pr (5.) ε ( ). Pr Ω Ω p, o gho é míimo b pssgm ou máim tução st b: ( ), qulqur H p. A oulção (m B) b pssgm é fii como: Ω (5.) ε r / ( ε ) ε H MAX r log log (5.4) HMI 4. O úmro totl máimos míimos b pssgm é trmio pl orm o filtro. 5. A b psst é fii como fi frquêcis m qu oulção oscil mplitu míim. Os polos p st fmíli filtros são quls ulm o omior qução (5.8). Assim, ls stão loclios m um lips cujos rios mior (r ) mor (r ) são os por: Ω p r β (5.5) β Ω p r β (5.6) β m qu, Ω p é frquêci máim b pssgm o prâmtro β, p ε orm, so o por: β ε ε / (5.7) Dss moo, ls são os por: p σ jω r cos φ jr s φ (5.8) m qu: π φ π :,, L, ( 5.9) As spcificçõs pr o filtro Chbyshv são prticmt s msms o projto um filtro Buttrworth ão sr pl oulção b pssgm. Dss moo, o projto sts filtros é comum spcificção os sguits prâmtros: oulção máim b pssgm (r), frquêci b pssgm (Ω p ), tução míim b tução (δ s ) frquêci

- 99 - iício st b (Ω s ). Com sts os, o vlor ε é trmio trvés qução (5.4) orm é trmi por um s sguits quçõs s bio: δ δ ε log ε (5.4) Ω s Ω s log Ω p Ω p m qu: δ δ s / cosh cosh Ω r / δs / s (5.4) Após os cálculos ε, os polos o filtro são trmios utilio s quçõs (5.7), (5.5), 5.6), (5.9) 5(8). O mplo sguir ilustr o procimto projto um filtro Chbyshv. Emplo 6: Dtrmi fução trsfrêci um filtro Chbyshv qu stisfç s sguits spcificçõs: oulção b pssgm r B, Ω p π r/s (F p 5 H), Ω s 4π r/s (F s H), δ Mmi 4 B. Cálculo ε qução (5.5): ε r /.. 58489 ε. 76478 Cálculo orm o filtro, qução (5.4): { 4 6 } 4 / δ 4 4. 58489 log. 76478 log{. 758}. 6 log log{ 7. 8798} Cálculo os polos, quçõs (5.5), (5.6), (5.7) (5.8): β. 58489. 76478 /. 448 Ω p Ω p r. 448. 659Ω p r. 448. 689Ω. 448. 448 p

- - p p p r cos π jr sπ. 58 π π r cos jr s. 5795 4π 4π r cos jr s. 5795 j. 9 j. 9 Cálculo H(s). Após lgum mipulção lgébric tm-s: H( s ) ( s p p p 5. 68 6 9 p )( s p )( s p ) s. 785 s 9. 474 s 5. 68 Obsrv qu, psr os os st mplo srm prticmt os msmos o mplo 5, o filtro Chbyshv prst um orm mor ( ) o qu o Buttrworth ( 4). Assim, compro os filtros Chbyshv Buttrworth com ors iguis, proimção Chbyshv prst um rspost m frquêci qu é mis brupt rgião trsição, ms m cotrprti l prst um oulção b pssgm,, lém isso, primir oitv t tução é mior o qu 6 B/oitv. Um sgu form proimção é o filtro Chbyshv tipo II, tmbém chmo filtro ivrso Chbyshv. Pr s obtr rspost m frquêci st filtro, vriávl Ω qução (5.8) é rcoloc por /Ω, o qu trsform rspost m pss-lts. Subtrio st crctrístic ui obtém o filtro pss-bis Chbyshv tipo II, como mostr figur 5.8. st cso, o quro o móulo rspost m frquêci srá o por: 9 H ( jω) ε ε C C ( / Ω ) ( / Ω ) (5.4).5 Ω p Ω s Ω s Figur 5.8: Espctro mplitu o filtro Chbyshv tipo II. Obsrv qu fução trsfrêci prst ros polos. Os ros são protmt clculos stblco o umror qução (5.4) igul ro, isto é, C (/Ω ). Assim, ls stão loclios o io imgiário tl qu: j cosφ (5.4) m qu: ( ) π φ,, L, (5.44) Aliso s quçõs (5.8) (5.4) obsrv-s qu os polos são os rcíprocos quls o filtro covciol Chbyshv tipo I. Doto os polos o filtro ivrso Chbyshv por:

- - ' ' ' j p Ω σ (5.45) tão: ' ' Ω σ Ω Ω Ω σ σ σ (5.46) m qu: σ Ω são s prts rl imgiári o filtro rgulr Chbyshv clculos pl qução (5.8). A sormlição é rli multiplico s quçõs (5.4) (5.46) pl frquêci b tução (Ω s ). As locliçõs sts polos ão prtcm um curv gométric como quls os filtros Buttrworth Chbyshv tipo I, lém isso, o filtro Chbyshv tipo I prst um b trsição mis brupt. Em cotrprti, o filtro Chbyshv tipo II prst um rspost fs mis rgulr um b psst sm oulçõs. ovmt, form mis comum s spcificr o filtro Chbyshv tipo II é m trmos frquêci b pssgm (Ω p ), tução máim prmiti st b, frquêci b tução (Ω s ) tução míim prmiti st b ou oulção (δ ). Amitio G o gho míimo b pssgm tl qu G H(jΩ) < pr < Ω < Ω p, tão orm o filtro po sr cotr como o mor itiro qu stisf sguit rlção: Ω Ω ε p s cosh G G cosh (5.47) Um outr form s clculr st orm utili tução míim b tução mplitu oulção tl qu: ( ) Ω Ω ε Ω Ω Ω Ω ε ε p s p s p s cosh cosh log log (5.48) m qu: ε δ (5.49) δ (5.5)

- - (5.5) A prtir s spcificçõs o filtro po sr trmio trvés o sguit procimto:. Dtrmi-s ε trvés qução (5.49). A orm o filtro é trmi prtir qução (5.47) ou (5.48),. Dtrmi-s os ros trvés s quçõs (5.4) multiplic por Ω s (5.44), 4. Clcul-s os polos o filtro Chbyshv tipo I. Os rcíprocos os pls quçõs (5.45) (5.46), multiplicos por Ω s são os polos o filtro ivrso tipo II, 5. A fução trsfrêci com gho b psst igul é trmi por: H () s ' ' ( s )( s ) p p L L (5.5) L ' ' ( s p )( s p )L Emplo 7: Dtrmi fução trsfrêci um filtro Chbyshv tipo II qu stisfç s sguits spcificçõs: tução máim b pssgm B, Ω p π r/s (F p H), Ω s 4π r/s (F s H), tução míim b tução δ B. Cálculo ε, quçõs (5.49) (5.5): δ. ε... 54 Cálculo orm o filtro, quçõs (5.48) (5.5) 9. 95. 9. 95 cosh. 54 4. 5 4π cosh π Cálculo os ros, quçõs (5.4) (5.44), utilio 4 tm-s: Ω s j,,, cos π 8 ± 4 4, ± j.6, j.84 Cálculo os polos o filtro Chbyshv tipo I, quçõs (5.5), (5.6), (5.7) (5.8): β / 4. Ω β β β β p p 8. r 5.4 r Ω

- - σ σ σ σ σ r cos φ. 97 4. 75 4. 74. 97 Ω Ω Ω Ω Ω jr s φ 7. 5.. 7. 5 π φ π 8 5π φ 8 7π φ 8 9π φ 8 π φ 8 Cálculo os polos o filtro Chbyshv tipo II, qução (5.46): σ σ σ σ ' ' ' '. 9. 9. 5. 5 Ω Ω Ω Ω ' ' ' '. 5 6. 88 6. 88. 5 Fução Trsfrêci, qução (5.5): H ( s) s 4 4.74 s.58 8 s 8 4.5 s.49 6 4. s.49 6.5 5.. Filtros Elípticos 4 H Figur 5.9: Espctro mplitu o filtro o mplo 7. Os filtros lípticos (ou Cur) possum um rspost m frquêci cujo móulo prst oulçõs (quirippl), tto b pssgm quto tução, como mostr figur 5.. Est rspost é spcific m trmos qutro prâmtros, o msmo moo qu foi fito pr os filtros triors. i. Oulção ou vrição máim (δ ) b pssgm, ii. B trsição (Ω s - Ω p ), iii. Oulção ou rspost (δ ) b tução, iv. Orm () o filtro. O rsulto fil o projto sts filtros é qu, so spcificos os três primiros prâmtros cim o qurto, orm, prstrá um vlor míimo. Assim, spcifico s oulçõs frquêcis b trsição st projto couirá um filtro com orm míim m comprção com os outros tipos filtros scritos cim.

- 4 - ε δ δ Ω p Ω s Figur 5.: Filtro Elíptico. A rspost m frquêci os filtros lípticos prst ros polos, so st, um grlição os filtros Chbyshv tl qu: H ( jω) (5.5) ε G m qu G(Ω) é um fução rciol, qu é um grlição o poliômio Chbyshv, so gro trvés fução líptic Jcobi, ε é um prâmtro rlcioo com oulção b pssgm. Fuçõs líptics ( Ω) Dfi-s itgrl líptic primir clss como: φ m qu é chmo moulus tl qu < <. u ( φ, ) (5.54) s Amitio φ π/, qução (5.54) é chm itgrl líptic complt primir clss, tl qu: π / ( ) K ( ) (5.55) s A fução so o ivrso qução (5.55) é fii como o so líptico Jcobio u com moulus é ot por: ( ) ( u, ) s( φ( u ) ) s, (5.56) Est fução é utili pr s obtr o comportmto oultório rspost frquêci os filtros lípticos. figur 5. é mostro o gráfico st fução m fução u lgus vlors pr o prâmtro. Obsrv qu st fução é prióic, com príoo 4. Pr, s(u,) s(u) coform s proim l s ssmlh um sói stur..5 -.5 -.5.9 5.999 u

- 5 - O filtro líptico Figur 5.: So líptico Jcobio m fução u com moulus. Pr s obtr fução trsfrêci o filtro líptico, fução rciol Chbyshv G(Ω) é fii m trmos us fuçõs líptics Jcobis com moulus tl qu: m qu: φ s ( Ω, ); tução, tl qu: A orm o filtro líptico Ω p Ωs ( ) s( φ ) G Ω, (5.57) ; é um prâmtro rlcioo com oulção b ε (5.58) δ Obsrv pls quçõs cim qu obtção fução trsfrêci o filtro líptico é muito compl, st tto só irmos trtr um procimto pr o cálculo orm o filtro trvés s spcificçõs s oulçõs frquêcis b trsição. Um procimto pr o cálculo orm o filtro é mostro bio:. Clcul o ftor sltivi, Ω p Ω (5.59) s. Clcul o ftor iscrimição, qu é um prâmtro rlcioo com oulção b tução,. A. A orm o filtro é trmi plo mor itiro qu stisf, m qu: q q q 5q 5q δ p p (5.6). As δ s log 6 (5.6) log q / 4 5 9 ( ) q / 4 ( ) Dv-s slitr qu mostrr toos os tlhs o procimto projto os filtros lípticos té s chgr o cálculo os ros polos fução trsfrêci é um trf muito ifícil cstiv, pois volv o svolvimto muits quçõs. Além isso, os cálculos s quçõs cim volvm procimtos uméricos, ss moo, foi prsto somt um sboço o projto s pricipis quçõs volvis. Pr miors tlhs sugr-s qu s cosult Zvrv (967), Prs & Burrus (987), Atoiou (99) ou Poulris (999), qu trtm com tlhs o projto sts filtros. Bst slitr qui qu istm ispoívis progrms computor softwrs plictivos, tis como o Mtlb, qu possibilitm projtr com muit fcili sts filtros prtir s spcificçõs stblcis triormt.

- 6 - Emplo 8: Dtrmi orm um filtro líptico qu stisfç s sguits spcificçõs: tução máim (ou oulção) b pssgm. B, Ω p 9 r/s, Ω s r/s tução míim b tução A s 5 B. cálculo o ftor iscrimição:. A... p. 9... As.. 5 99999 6 cálculo o ftor sltivi Ω Ω p s 9. 9 cálculo q cálculo orm q ( ) ( ) / 4 (. 9 ) (. 9 ) / 4. / 4 / 4 q... L. 54 log 6 7. 869 7. 968 8 log. 9899 q 5..4 Filtros Bssl Os filtros Bssl são um clss filtros somt com polos, crctrios por prstrm fs lir b pssgm. Els são crctrios pl sguit fução trsfrêci: H () s (5.6) B () s m qu: B (s) rprst o poliômio Bssl orm, qu po sr prsso pl sguit qução: B () s ( )! s (5.6)!( )! Altrtivmt, st poliômio po sr gro fcilmt trvés sguit fórmul rcursão: B () s ( ) B ( s) s B ( s) com coiçõs iiciis: B (s) B (s) s. (5.64) O filtro Bssl tm sio mprgo o projto filtros lógicos quo s cssit um filtro com crctrístic fs lir, cotuo st tipo fmíli ão po sr mprgo o projto

- 7 - filtros igitis, pois o procsso covrsão pr o omíio igitl cb com crctrístic fs lir. Flimt, st crctrístic po sr obti mprgo filtros com rspost o impulso fiit (FIR), como srá visto it. 5.4 Emplo projto um filtro IIR Sbo-s como s obtém fução trsfrêci H(s) um filtro lógico pomos fcilmt chgr o filtro igitl, utilio um os procimtos stuos sção 5.. st sção vmos svolvr um projto complto um filtro igitl IIR utilio ois métoos, o proimção s rivs o trsformção bilir. Projt um filtro igitl pss-bis com crctrístic Buttrworth, plo métoo proimção s rivs por trsformção bilir, qu stisfç s sguits spcificçõs: () B pssgm: H, com gho B tução máim igul B. (b) B tução: A prtir H, com tução míim igul B. (c) Frquêci mostrgm: H. 5.4. Plo métoo por proimção s rivs O primiro psso projto é trmir o filtro Buttrworth lógico uilir, cujo móulo fução trsfrêci, qução (5.6) é mostro bio: H ( jω ) Ω Ω c Obsrv qu ão é spcific frquêci cort o filtro, ms sim b trsição. Assim o primiro procimto é clculr frquêci cort. Dtrmição frquêci cort orm o filtro lógico. b pssgm: Ω p π r/s δ B. Assim: log π. π Ω c Ωc (5.65) b tução: Ω 6π r/s δ B. Assim: 6 log π 9 6 π Ω c Ωc (5.66) Combio s quçõs (5.65) (5.66) tm-s: log log [ π Ω ] [ 6π ] Ω c log log (. 589) ( 9) c Ω c 9. 5468 r / s ou f c. 59 H Substituio Ω c qução (5.65) trmi-s orm

- 8 - [ ] π log(.589).6 log 9.5468 Aoto utilio qução (5.65) obtém-s ov frquêci cort: Ω c. c 8 88 r / s ou f. 48 H Obsrv qu s foss utili qução (5.66) m v (5.65) sri obti um frquêci cort ifrt obti cim cosqutmt um filtro ifrt, porém mbs couirão filtros qu stisfm s coiçõs projto s cim. Dtrmição fução o sistm. Utilio qução (5.7) os polos o filtro são os por: p 8. 88 p 8. 88 jπ / 4 j5π / 4 6. 8 6. 8 j6. 8 j6. 8 H( s ) s 7. 758 ( s / p )( s / p ) 4 7 4564 7 758. s 7. Dtrmição o filtro igitl Pr o métoo proimção s rivs vriávl s é substituí por ( - )/T ( - ) 4. Assim: H ( ) 5.4. Métoo por trsformção bilir. 568. 74. 9 Como visto sção 5.. o métoo trsformção bilir comprim o io frquêcis. Assim, st projto rcom-s fr um pré-istorção st io (prwrpig) ts o projto o filtro lógico pr compsr istorção proui pl fução tgt ivrs, qução (5.5) urt o mpmto. Est pré-istorção é rli pls sguits quçõs: Ω ' p w t T p ' Ω s ws t T (5.67) m qu: w p Ω p T w s Ω s T. Pré-istorção s frquêcis Ω Ω ' p ' s 4 4 t π 6 t π 6. 4989 7. 5764 r / s r / s Dtrmição frquêci cort orm o filtro lógico b pssgm: Ω p 6.498 r/s δ B. Assim:

- 9 - log Ω Ωc ' p Ω. 589 Ωc ' p (5.68) b tução: Ω s 7.57 r/s δ B. Assim: ' Ω s log 9 (5.69) ' Ω Ω s c Ωc Combio s quçõs (5.68) (5.69) tm-s qu:.9 Escolho utilio qução (5.69) trmi-s frquêci cort o filtro: Ω c. c 5 899 r / s ou f. 5946 H Dtrmição fução o sistm. Em v utilir qução (5.7) vmos utilir irtmt fução o sistm pr o filtro Buttrworth qu é por:: H () s H H () s ( s / Ω ). 44s Ω c / ( s / 5. 89 ). 44s / 5. 89. 55874 () s 4 8 s. 4759 s. 55874 8 c Dtrmição o filtro igitl Pr o métoo trsformção bilir vriávl s é substituí por s T. Assim: H ( ). 98. 4587. 98. 675. 846.8 () (b) (c).8.8.6.4..6.4..6.4.... 4 4 4 H Figur 5.: Projto Filtro IIR; () lógico, (b) métoo proimção s rivs, (c) trsformção bilir.

- - 5.5 Projto filtros igitis com rspost o impulso fiit - FIR st sção srão stus s técics projto os filtros igitis cuj rspost o impulso é fiit, isto é, os filtros FIR (fiit impuls rspos). A fução trsfrêci sts filtros é um poliômio m, somt com o umror rspost um citção qulqur p somt os vlors prsts pssos tr, ão po vlors prsts pssos sí. Outros oms pr sts filtros são: filtros ão rcursivos, méis móvis ou trsvrsis. Os filtros FIR prstm vtgs qu os torm muito fvorávis m lgums plicçõs: são smpr stávis prstm propri fs lir, couio um rspost sm istorção b pssgm. A gr svtgm é qu pr um trmi rspost m frquêci orm sts filtros é smpr muito lt, quo compr com os filtros IIR. Dus técics projto mis comus srão stus: o projto filtros por jls o projto por mostrgm frquêci. Ests técics volvm smpr proimção um filtro sltivo m frquêci il tipo pss bis, lts ou pss b, como srá visto sguir. 5.5. Dfiição um filtro FIR Um filtro FIR, orm M- é scrito pl sguit qução ifrçs: M ( ) b ( ) bm ( M ) b ( ) y( ) b L (5.7) m qu os b são os coficits; () y() são, rspctivmt, s tr sí o filtro. Eprsso squêci sí o sistm como som covolução rspost o impulso com o sil tr tm-s qu: M y ( ) h( ) ( ) (5.7) Compro s quçõs (5.7) (5.7) obsrv-s qu h() b, isto é, rspost o impulso o filtro corrspo os sus próprios coficits. Assim, o projto sts filtros s rsum m cotrr os coficits h() rspost o impulso, qu stisfçm um trmio cojuto spcificçõs rspost m frquêci. O limit ifrior somtóri rflt cusli o filtro, o suprior urção fiit rspost o impulso, lém isso, s qu sts coficits sjm limitos, o filtro srá smpr stávl. A fução trsfrêci é pl trsform qução (5.7). Assim: M Y ( ) H ( ) h( ) (5.7) X ( ) As rís o poliômio cim forcm os ros o filtro. Obsrv tmbém qu toos os M- polos stão loclios origm, comprovo stbili o filtro. 5.5. Coição fs lir Em grl, sts filtros são projtos moo prstrm um rspost fs lir. Um filtro prst rspost fs lir s um s sguits coiçõs form stisfits: φ ( w) αw ou φ( w) β αw (5.7)

- - m qu, α é um trso fs costt, chmo trso grupo β ±π. Po sr mostro qu s coição cim for stisfit, tão rspost o impulso o filtro prstrá simtri positiv m toro o poto (M-)/, isto é, m qu, α (M-)/. h( ) h( M ) :,, L, M (5.74) Pr mostrr vli coição cim sj M um úmro itiro pr. Etão: Coloco m viêci -(M-)/ tm-s qu: ( M ) / H ( ) h h L h M ( M ) ( M / ( / ( / ( ) M ) M h h h ) ) H ( ) L Como por hipóts h h M- ; h h M- ;...,tão: ( M ) / M ( M / [ ( ) ( ) ( )] ) / ( M ) / ( M ) / ( M ) / h h L h / H ( ) Substituio por tm-s: M / ( M ) / h [( M ) / ] [( M ) / ] ( ) M / H ( ) (5.75) M / ( M ) / h [( M ) / ] [( M ) / ] ( ) H ( ) (5.76) Portto, utilio fórmul Eulr, M / ( M ) / (( M ) / ) H ( ) h cos w (5.77) Obsrv qu qução cim prst um trmo rl qu corrspo à somtóri portto fs lir é rflti pl pocil, isto é: φ( w ) w( M ) / (5.78) Acim frquêci m qu o trmo rl s tor gtivo v-s somr π à qução cim. O msmo procimto cim pori sr rptio mitio M um úmro itiro ímpr. st cso: ( M ) / ( M ) / [ cos w( ( M ) / )] H ( ) h (5.79) Emplo 9: Dtrmi o móulo fs fução trsfrêci um filtro FIR méi, cuj rspost o impulso é por:

- - h ( ) δ( ) δ( ) δ( ) Obsrv qu st cso M- rspost o impulso é simétric m toro o poto (M-)/. Clculo trsform Fourir h() tm-s qu: H ( ) { } { } Portto, o móulo fs ss filtro srão: cos w H ( ) cos w φ( w, w π / ) π w, π / < w < π Obsrv figur 5., mostr bio, qu rspost fs st filtro é lir com frquêci. H( ).5 -π -π/ -π/ π/ π/ π π φ( ) -π -π -π/ -π/ π/ π/ π Figur 5. : Móulo fs fução trsfrêci o filtro FIR o mplo 9. 5.5. Loclição os ros um filtro FIR com fs lir Pr um filtro FIR com fs lir, os ros prstm lgums simtris vio à simtri impost rspost o impulso h(). Aliso mlhor qução (5.75), po-s vrificr qu o omíio frquêci coição fs lir é rflti pl sguit rlção: ( M ) H ( ) H (/ ) (5.8) Est rsulto mostr qu s rís H() são s msms H(/), isto é, os ros ocorrm m prs rcíprocos. Pr vlors ris i / i são rís H() s qu os coficits o filtro são ris, tão, pr vlors complos i, fto. * / i, * i / são rís H(). A figur 5.4 ilustr st Im i / * / * R / Figur 5.4: Loclição os ros um filtro FIR com fs lir

- - Ests simtris pom sr utilis pr implmtr forms m csct com sçõs com fs lir. 5.6 Projto filtros FIR por jls Est tipo projto é bso irtmt proimção um rspost m frquêci sj, com coição fs lir. Em grl, st rspost é scolhi bso-s os filtros sltivos m frquêci iis. Ests, smpr são ão cusis com rspost o impulso com urção ifiit. A scolh um jl qu o omíio o tmpo truc rspost o impulso pr s obtr um filtro FIR cusl com fs lir. Est métoo s iici, portto, com spcificção um rspost m frquêci sj, mitio fs lir cosqut trmição rspost o impulso uitário. Assim: π ) π H ( ) π h ( w (5.8) Como h () tm urção ifiit, l v sr truc coro com orm (M-) qu s sj obtr. S o trucmto for irto, st procimto é quivlt multiplicr h () por um jl rtgulr, w(), tl qu:, w( ),,, L, M M (5.8) Assim, rspost o impulso o filtro FIR srá por: h( ) h h ( ),,, L, M ( ) w( ), M (5.8) Com trmição h() tm-s trmio o filtro FIR pois ls são os sus próprios coficits. O fito multiplicção h () pl jl w() é mlhor comprio, lmbro qu rspost m frquêci o filtro é pl covolução tr rspost m frquêci sj trsform Fourir jl. Assim: H ( π π jθ j( wθ) ) H ( )* W ( ) H ( ) H ( ) θ π (5.84) Dss moo, rspost m frquêci o filtro obtio é um vrsão mch rspost m frquêci sj pl rspost m frquêci jl (st cso rtgulr). o cso s utilir jl rtgulr qução (5.8) trsform Fourir é por: W ( ( M ) / s( wm / ) ) (5.85) s w / A figur 5.5 mostr rspost m frquêci jl rtgulr rspost m frquêci um filtro FIR obtio prtir um filtro il pss bis. Obsrv qu covolução H ( ) por W( ) rsult m um filtro com oulçõs tto b pssgm, quto b tução. Est fito é vio os lóbulos ltris rltivmt grs rspost m frquêci jl rtgulr.

- 4 - H ( jθ ) H( ) W( j(w-θ) ) -π -w c w w c π θ -π -w c w c π w Figur 5.5: Covolução o projto filtros FIR por jls. Com o uílio figur 5.5 s sguits obsrvçõs pom sr fits:. A jl w() prst tmho fiito M, su rspost m frquêci prst um lóbulo pricipl cuj lrgur é proporciol /M lóbulos ltris mors mplitus qu cusm oulçõs rspost m frquêci o filtro.. O lóbulo pricipl é o rsposávl pl lrgur b trsição m H( ). Quto mior lrgur st lóbulo mior srá b trsição o filtro. A jl rtgulr prst mor lrgur, ms m compsção os miors lóbulos ltris, quo compros com outrs jls (tbl 5.).. A figur 5. sugr i qu s W( ) é scolhi moo tr um b bm strit tão H( ) s proimrá mlhor H ( ). Cotuo, st cosirção couirá um jl com urção muito log. Isto é um rqurimto coflitt, pois scolh jl vri sr govr plo sjo s tr urção mis curt possívl mor b trsição. 4. O fito os lóbulos ltris po sr ruio plo uso outrs jls qu prstm um trsição mis suv ts o trucmto como é o cso trsição brupt jl rtgulr. Est trsição brupt é qu prou lóbulos ltris grs o spctro frquêcis. 5. Divrss jls têm sio proposts pr o projto filtros FIR. Algums s mis utilis, tis como Hig, Hmmig Blcm qu são fiis tbl 5.. Jl B trsição (Δf) Tbl 5.: Algums jls pr o projto filtros FIR Pico rltivo o lóbulo ltrl (B) Atução b pr (B) Equção jl [w()],,..., M- Rtgulr.9/M - π Hig./(M-) - 44.5.5 cos M π Hmmig./(M-) -4 5.54.46 cos M π 4π Blcm 5.5/(M-) -57 74.4.5 cos.8 cos M M Pr miors tlhs rspito s jls cosult o pêic A. Obsrv qu, quo comprs com jl rtgulr, s outrs jls prstm um b trsição mior, porém, tução b pr é muito mior o qu jl rtgulr s oulçõs são prticmt uls. o projto os filtros FIR por jls, sgu colu, lrgur b trsição, po sr utili pr s trmir orm o filtro, prtir s frquêcis b pssgm

- 5 - tução. A colu com tução b pr uili scolh jl. Dtrmi jl sr utili orm o filtro, o projto filio multiplico-s w() por h (), coform qução 5.8. As rsposts o impulso uitário os filtros iis pom sr obtis tbl 5. mostr bio. Tbl 5.: Rspost o impulso os filtros iis. Filtro orm M- Pss-bis Pss-lts Pss-b Rjit-b h () M s[ wc ( )] M π ( ) M M s( ) s[ w ( )] c M M π ( ) π ( ) M M [ c( )] s[ w ( )] c M M π ( ) π ( ) M M [ c( )] s[ w ( )] c M M π ( ) π ( ) s w s w Emplo : Projt um filtro FIR pss bis com frquêci cort w c com fs lir. st cso rspost m frquêci o filtro il sjo srá por: H ( ), ( M ) /, w < w w c c < w π Clculo corrspot rspost o impulso tm-s qu: h w wc M ( ) / ( ) s M c ) π w π ( w c w c w M [ wc ( )] M π( ) Obsrv qu h () h (-(M-)/). Utilio um s jls mostrs triormt tm-s qu: s h( ) M [ wc ( )] M π( ) w( ) Amitio w c.8π (f c.4) M 9 (orm 8) os sguits coficits são obtios pr s jls Hmmig rtgulr. Tbl 5.: Coficits os filtros FIR pr s jls rtgulr Hmmig com M 9. h() rtgulr Hmmig h() -.468 -.7 h().9.7 h() -.54 -.87 h().87.69 h(4).8.8 h(5).87.69 h(6) -.54 -.87 h(7).9.7 h(8) -.468 -.7

- 6 - Obsrv simtri rspost o impulso m toro o íic (M-)/ 4, obti por cus coição fs lir. As figurs 5.6 5.7 mostrm o spctro mplitus rspost o impulso pr os ois filtros com ors 8 5, rspctivmt. Obsrv qu m mbos os csos jl rtgulr cou um filtro com oulçõs ctus tto b pssgm, quto tução. Equto qu jl Hmmig cou um filtro com um rspost sm oulçõs b pssgm, ms com um b trsição mior. Obsrv tmbém com o uílio figur 5.7 qu pr um mlhor proimção crctrístic frquêci, vm-s utilir filtros FIR com ors lvs..5.5 Filtro FIR com Jl Rtgulr.5..4.6.8.5 Filtro FIR com Jl Hmmig -.5 4.5.5..4.6.8 -.5 4 Figur 5.6: Espctro mplitu rspost o impulso pr o filtro o mplo, com M 9..5.5 Filtro FIR com Jl Rtgulr.5..4.6.8.5 Filtro FIR com Jl Hmmig -.5 4 6.5.5..4.6.8 -.5 4 6 Figur 5.7: Espctro mplitu rspost o impulso com M 5. Emplo : Projt um filtro FIR pss-bis, com fs lir qu prst s sguits crctrístics:.99 H ( ) ( ) H.,., w.5π.5π w π tução b pr: ( δ ) B δ p. A log p 4

- 7 - b trsição: Δ w. 5π. 5π. π Δf. 5 trmição jl orm o filtro: Utilio tbl 5. otmos qu pomos scolhr jl Hig qu prst um tução b pr igul 44 B, qu é suficit pr s lcçr spcificção sj. Além isso l prst um mor b trsição o qu s jls Hmmig Blcm. Assim:. π M 6 w( ). 5. 5 cos,, L, 6 Δf filtro sjo (il): Vmos mitir qu frquêci cort pr o filtro il sj o poto méio b trsição, ou sj: w c. 5π. 5π. π Assim, utilio tbl 5., rspost m frquêci sj srá: h ( ) s (. π( ) ) π( ),, L, 6 rspost o impulso o filtro srá: h ( ) w( ) h ( ) (. π( ) ) π( ) π s. 5. 5 cos,, L, 6 Vrifiqu st mplo qu s utiliássmos jl Hmmig orm o filtro sri igul 66 o cso jl Blcm sri, muito mior o qu jl Hig utili. 5.7 Projto filtros FIR utilio jl Kisr A jl Kisr cou um projto otimio filtros FIR. o projto filtros por jls, o il sri utilir um jl tl qu o omíio frquêci l foss mimmt coctr m toro w. A jl qu mis s proim st coição il é Kisr, qu é fii como: ( [( α) / ] ) Ι β α w ( ) Ι ( ) β, c. c. /, M (5.86) m qu: α (M-)/, β é um prâmtro qu p tução o filtro Ι [.] rprst fução Bssl moific orm ro. Est fução po sr scrit pl sguit séri:

- 8 - Ι[ ] (5.87)! Est séri covrg mir tl qu o ror 5 trmos são cssários pr um bo proimção, Ftt (988), pr miori s plicçõs. O projto utilio jl Kisr utili spcificçõs smlhts àquls os projtos filtros lógicos. El comç com spcificção s oulçõs s bs pssgm tução, como mostr figur 5.8 fiição um rro δ qu é o plo vlor míimo tr s oulçõs b pssgm (δ p ) pr (δ s ). A rgião trsição é fii como ifrç tr s frquêcis s bs pssgm, w p, tução ou pr, w s. A frquêci b pssgm é fii como frquêci máim tl qu H( ) - δ p b tução é frquêci míim tl qu H( ) δ s. sts coiçõs o sguit procimto é fito pr o projto filtros FIR utilio jls Kisr: H( ) δ p -δ p δ s w p w s w Figur 5.8: Espcificção projto pr jls Kisr So os w p, w s, δ p δ s fç o sguit procimto:. Dfi o rro míimo tl qu: [ ] δ mi δp, δ s (5.87). Dtrmi costt rro A log( δ ) (5.88). O vlor o prâmtro β (vj tbl 5.4) é trmio mpiricmt pl sguit prssão:, A B β.584..4 ( A ).7886( A ), (( A 8.7), A > 5 B B < A 5 B (5.89) 4. A orm o filtro é tmbém trmi mpiricmt utilio b trsição. So Δw w s w p ou Δf f s f p, tão: 5. A rspost o impulso o filtro srá por: A 7.95 A 7.95 M (5.9).85Δw 4.57Δf h( ) h ( ) w ( ) (5.9)

- 9 - m qu h () po sr rspost o impulso um os filtros iis mostrs tbl 5.. Tbl 5.4: Prâmtros jl Kisr m fução β. Prâmtro β Lrgur b trsição (Δf) Pico rltivo o lóbulo ltrl (B) Atução b pr (B).5/M -9 9 4.6/M - 45 6.8/M -44 6 8 5./M -59 8 6.4/M -74 99 5.8 Projto filtros FIR por mostrgm m frquêci O métoo mostrgm m frquêci prmit o projto filtros FIR tto pr os filtros iis quto pr filtros com rspost m frquêci rbitráris. Grlio s quçõs (5.77), (5.78) (5.79), rspost m frquêci um filtro FIR com fs lir trá sguit form: H ( ( M ) / r so qu, H r ( ) é prt rl rspost m frquêci tl qu: ) H ( ) (5.9) ( M ) / (( M ) / ) h( )cos w( ( M ) / ) M ímpr H r ( ) h : (5.9) M / (( M ) / ) M pr H r ( ) h( ) cos w : (5.94) A crctrístic fs srá por: w( M ) /, φ( w ) w( M ) / π, H ( r H ( r ) > ) < (5.95) O msmo procimto cim pori sr rptio mitio h() tissimétric, isto é, h() -h(m- -), porém ss procimto ão é muito comum. O métoo por mostrgm m frquêci é tmbém rlio trvés spcificção um rspost m frquêci sj H ( ). Est rspost é spcific m frquêcis iscrts rgulrmt spçs, tis qu: w π ( α), M M,, L, M,, L, M ímpr M pr (5.96) O prâmtro α é stblcio como so ou /, Prois (99). Aqui, st trblho, srá utilio o cso mis comum com α. s frquêcis spcifics por w, rspost m frquêci, H(), o filtro igitl filtro igitl v sr msm o filtro sjo tl qu:

- - M π j M π H ( ) H ( w ) H ( ) h( ) (5.97) M Pr s trmir h() bst clculr trsform ivrs qução cim. Assim: M π j M h ( ) H ( ) (5.98) M Est qução po sr clcul utilio lgoritmos trsform rápi Fourir, ou tão simplific vio à coição simtri h() m toro o poto (M-)/. Como h() é rl tão H() prst móulo pr fs ímpr stisfo sguit coição simtri: * H ( ) H ( M ) (5.99) Eploro st propri s quçõs (5.9), (5.94) (5.95) chg-s um solução simplific pr o cálculo h(). P π h( ) G() G( )cos M M (5.) tl qu: M M P, M ímpr ou, M pr (5.) G( ) ( ) H ( ) ou H ( ) M G( ) r π j (5.) Obsrv qu st tipo projto é otimio, pois s frquêcis stblcis plo projto o rro proimção é ulo. Iflimt ão ist um métoo pr s stblcr orm o filtro, como o cso o filtro utilio jl Kisr. Emplo : Dtrmi, plo métoo mostrgm m frquêci, os coficits um filtro FIR com fs lir M 7 qu stisf sguit coição:, ) T,, H r (,,,,4 5 6,7,8 T.4 é o vlor o trmo b trsição. A rspost m frquêci o filtro cim é mostr figur (5.9). Utilio qução (5.) tm-s qu: m qu: G( ) ( ) H ( ) r 8 π h( ) G() G( )cos 7 7

- - H r () T 4 5 6 7 Figur 5.9: Emplo projto filtros FIR por mostrgm frquêci. Rsolvo qução trior s chg os sguits coficits: Coficits o filtro h() h(6) -.4 h() h(5).46976 h() h(4).875 h() h() -.4575 h(4) h().4979 h(5) h().4887 h(6) h() -.485 h(7) h(9).588 h(8).69476 A rspost m frquêci st filtro é mostr figur 5... O vlor T b trsição é muito importt st métoo projto pois su scolh ifluci irtmt ão vlor tução b tução. o mplo trior s foss scolhio T, b trsição sri mis brupt, ms m cotrprti b tução iri prstr um tução mor, como mostr figur 5..b. Portto, ist um compromisso o projto sts filtros pr scolh o vlor T. Est vlor é trmio tl qu o móulo fução trsfrêci prst tução máim os lóbulos ltris. Prois (99) Rbir (97) prstm tsivs tbls com spcificção s tuçõs vlors ótimos pr o trmo b trsição. 8 H( ) T.4 H( ) T - -4-6 - -4-8 -6 -....4.5 Frqüêci (Hrt) -8....4.5 Frqüêci (Hrt) Figur 5.: Rspost m frquêci pr o filtro o mplo, () T.4 (b) T.

- - Ercícios. Pr c um os sguits filtros stblç orm itifiqu os sus coficits: () y ( ) ( ) ( ) y( ) (f) y ( ) ( ) ( ) y( ) (g) y ( ) ( ) ( ) y( ).5y( ) (h) y ( ) ( ) ( ) (i) y ( ).5( ) (j) y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Dtrmi s fuçõs trsfrêci c um os filtros o rcício. 4. Um filtro igitl é scrito pl sguit qução ifrçs: y ( ) ( ) ( ).4y( ) () O filtro é rcursivo ou ão rcursivo. Justifiqu rspost. (b) Qul orm o filtro? (c) Dtrmi rspost m frquêci sh o spctro mplitus. () So { 4 6 } squêci plic tr o filtro, trmi squêci sí s y() té y(6). 5. Um filtro igitl prst sguit fução trsfrêci: H ( ).9 () Dsh o igrm polos ros. (b) Dsh o móulo fução trsfrêci (c) Dtrmi fórmul rcursão qu rlcio os vlors s mostrs sí tr. () Dtrmi sboc rspost o impulso o filtro 6. Um filtro lógico prst sguit fução trsfrêci: H ( s) ( s )( s ) () Utili trsformção bilir pr covrtr o filtro o su quivlt igitl (mit T.5). (b) Ecotr qução rcursão o filtro. (c) Dsh o móulo rspost m frquêci pr mbos os filtros compr os rsultos. 7. A figur bio é um sistm utilio pr obtr um filtro pss-lts prtir um filtro pss bis. (t) H(Ω) - y(t) - Dmostr grficmt qu s H(Ω) é um pss bis il com frquêci cort Ω lp tão o sistm too srá um pss lts il; s H(Ω) é um pss lts il com frquêci cort Ω hp tão o sistm too srá um pss bis il trmi su frquêci cort.

- - 8. Projt um filtro igitl IIR primir orm, com crctrístic Buttrworth frquêci cort w c.π. 9. Projt um filtro igitl pss-bis com crctrístic Buttrworth qu stisfç s sguits spcificçõs: () B pssgm: H tução máim B. (b) B tução: prtir H com tução míim B. (c) Frquêci mostrgm: H.. Rpit o rcício trior utilio crctrístic Chbyshv.. Projt um filtro FIR pss-bis utilio o métoo por jls qu stisfç s sguits spcificçõs: Frquêci b pssgm:.5 H Lrgur b trsição:.5 H Atução b tução: > 5 B Frquêci mostrgm: H. Projt um filtro FIR pss-bis, com f c.4 (w c.8π) utilio jl Hmmig M 9. s OBS:. Dtrmi rspost mplitu fs um filtro FIR cusl cuj fução trsfrêci é por: m m H ( ) h( m) m qu: h(m)h(m-m) M 4. Projt um filtro FIR pss-bis, com fs lir orm 4, plo métoo mostrgm m frquêci, qu proim crctrístic frquêci bio. Dsh o móulo fução trsfrêci. H r () T,,,, ) T.4 4, 5,6 H r ( 4 5 6 5. Cosir s sguits spcificçõs pr um filtro igitl pss-bis:. 99 H H ( ) ( ).,., w. 5π. 5π w π ) Projt um filtro FIR com fs lir utilio o métoo jls. b) Rpit o projto utilio jl Kisr. 6. Cosir s sguits spcificçõs pr um filtro FIR pss-b:

- 4 - H. 95 H H ( ) ( ) ( ). 5,. 5,., Projt o filtro utilio o métoo por jls.. w. π. π w. 6π. 7π w π 7. Um filtro igitl FIR, pss-bis, foi projto utilio jl Kisr com s sguits spcificçõs: Orm M 5 Frquêci b pssgm: w p.4π Frquêci b tução: w s.5π Dtrmi tução míim b tução pr st filtro. 8. Supoh qu s th um sil iscrto o tmpo, qu prst um itrfrêci soil com frquêci gulr w. Projt um filtro FIR, com coficits ris, qu limi compltmt st compot frquêci. OBS: Lmbr qu pr filtros FIR com coficits ris os ros complos vm prcr form complos cojugos.

- 5 - Cpítulo 6 Projtos Otimios Filtros 6. Projto filtros FIR quirippl st sção vmos cosirr o problm proimção Chbyshv pr o projto filtros FIR com fs lir. st tipo projto é fii um fução rro tr s rsposts m frquêci sj proim. Est rro é multiplico por um fução porção W( ) o su vlor bsoluto máimo é tão miimio. Est procimto é visulio como um projto ótimo s qu pr um orm M, o rro máimo é miimio s bs itrss. Um propri importt é qu o filtro rsultt prst oulçõs mplitus iguis (quirippl) s bs psst pr (tução). Pr scrvr o procimto projto vmos cosirr o projto um filtro FIR pss bis il, ão-cusl, com fs ul rspost m frquêci H ( ). Est filtro su corrspot proimção, H ( ), são mostros figur 6.. A fução sj é stblci com gho igul b pssgm gho ro b tução hum spcificção é fit pr b trsição. H ( ),, w w w s p w < π (6.) m qu w p w s são, rspctivmt, s frquêcis s bs pssgm tução. H ( ) δ -δ Rspost proim H ( ) δ w -δ w p w s π Figur 6.: Limits rro pr o projto um filtro pss-bis. A figur 6. ilustr os limits rro pr o projto um filtro pss-bis, δ δ são, rspctivmt, os rros bsolutos máimos s bs pssgm ( w p ) tução (w s π). Pr um orm sts rros vm sr míimos. O gho o filtro il é stblcio igul à ui. Cosiro um filtro tipo I com fs ul, sguit propri é váli: ( ) h ( ) :,,,L M h L (6.) / m qu M é um úmro pr corrspo à orm o filtro. A su corrspot rspost m frquêci é por:

- 6 - L ( ) h ( ) H L (6.) m qu L M/. Por cus simtri pr qução (6.), rspost m frquêci po sr rscrit como: m qu ( ) H L ( ) h ( ) h ( ) cos( w) H é um fução rl, pr prióic m w. (6.4) O filtro cim é ão cusl. Um filtro cusl, com fs lir é obtio é obtio fcilmt o filtro ão-cusl trso h () por L M/ mostrs. Assim, com rspost m frquêci, h ( ) h ( M / ) h( M ),, L, M (6.5) H M / ( ) H ( ) (6.6) Cosiro qução (6.4), pomos vrificr qu os trmos cos(w) pom sr prssos como um som potêcis cos(w), utilio os poliômios Chbyshv orm, tl qu: cos ( w) T ( cos( w) ) (6.7) m qu: ( ) ( ) cos cos ( ) T (6.8) Assim, svolvo qução cim pr,,,... T T T T M ( cos( w) ) ( cos( w) ) cos( w) ( cos( w) ) cos ( w) ( cos( w) ) 4 cos ( w) cos( w) (6.9) Cosqutmt qução (6.4) po sr rscrit como um poliômio orm L m cos(w), L ( ) α( ) cos ( w) H (6.) ssim, H ( ) é um poliômio orm L m cos(w), ss moo, pomos cosirr o problm su proimção fução cos(w) orm o filtro. Po sr mostro (Prs McClll 97 b) qu fio L ou M, w p w s, o projto os filtros FIR rci o problm proimção Chbyshv sobr cojutos isjutos. Est problm é formlio, fiio um fução rro por tl qu:

- 7 - ( ) W ( )[ H ( ) H ( )] E (6.) m qu W( ) é um fução porção qu icorpor os prâmtros o rro proimção o procimto projto. A fução rro é fii m subitrvlos o itrvlo w < π. Por mplo, pr o filtro pss-bis il, fiio pl qução (6.) os subitrvlos o o rro é fiio são: w < w p w s w < π. Prmitio um rro bsoluto máimo δ, fução porção é por: ( ) W δ δ,, w w w s p w < π b pssgm b tução (6.) O critério Projto Torm s Altrâcis So fii fução rro poro E( ), o problm é trmir os coficits o filtro qu miimim o vlor máimo bsoluto st rro os itrvlos m qu proimção é cosir. Em trmos mtmáticos tm-s qu: mi m E( ) ( ) ( ) (6.) h ou L w F m qu F é o subcojuto (uião isjut) s bs frquêci o miimição é rli. Sj F um subcojuto fcho cosistio uião isjut outros subcojutos fchos o itrvlo [,π]. Sj P( ) um poliômio orm L, L ( ) ( ) cos( w ) P (6.4) Sjm H ( ) um fução cotíu m F, W( ) um fução positiv cotíu m F sj tmbém E( ) um fução rro por tl qu: E ( ) W ( )[ H ( ) P( )] (6.5) O torm s ltrâcis stblc qu coição cssári suficit pr qu P( ) sj úico miimi o vlor bsoluto o rro é qu E( ) ib plo mos L ltrâcis, isto é, pr w ( i i ) E( ) ±, i,, L, < w < < wl F E L L δ (6.6) m qu m E( ), w F δ. Pr o filtro FIR tipo I, s frquêcis iscrts w i, mitio P( ) H ( ), qução (6.) tor-s iêtic à qução (6.5), ssim: i i i i ( ) W ( )[ H ( ) H ( )] ( ) δ, i,,,l E i L (6.7) os coficits stão rlcioos com os coficits o filtro trvés sguit fórmul:

- 8 - ( ) h ( ) M M h ( ) h h ( ) M,, L, (6.8) A figur 6.. mostr rspost m frquêci um filtro obtio trvés o torm s ltrâcis pr L 8 (M 6). Os círculos figur iicm os potos o ocorrm s ltrâcis. Algums propris importts qu s v rssltr são: - O filtro prst plo mos L ltrâcis, ms po ocorrr um máimo L ltrâcis. - Os vlors rspost m frquêci s frquêcis w p w s são cosiros smpr potos o ocorrm sts ltrâcis. - O filtro é quirippl, oulção com mplitu máim costt, cto, possivlmt, s frquêcis w w π. - Est filtro prst o mor rro proimção poro, δ, pr um trmi b trsição w s w p. - Pr fução porção W( ), fii pl qução (6.), o rro máimo b tução srá δ δ o rro máimo b pssgm srá δ δ. - δ δ ão prcism sr cssrimt iguis. H( ) δ -δ H ( ) w w w w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9 π δ w w p w s Figur 6.: Filtro obtio utilio o torm s ltrâcis pr L 8. Algoritmo Prs-McClll As quçõs (6.7) pom sr scrits form mtricil m trmos os coficits P( ), (),,,..., L, como sgu:: M cos cos cos cos ( w ) L cos( Lw ) W ( ) ( w ) L cos( Lw ) W ( ) M L L ( wl ) L cos( LwL ) ( ) W ( ) L L ( w ) L cos( Lw ) ( ) W ( ) L M M L M ( ) () M δ ( L) H H H H ( ) ( ) M L ( ) ( ) L (6.9) ão há cssi s utilir ivrsão mtricil pr solução qução (6.9). El po sr rsolvi utilio fórmuls itrpolção lgrg (Opphim, 989), como sgu: i. Forç um cojuto iicil frquêcis w i, i,,..., L, qu iclum s frquêcis s bs pssgm tução, w p w s. ii. Ecotr δ rsolvo s sguits quçõs:

- 9 - δ ( ) L ( ) b W ( ) L b H b L i ì cos ( w ) cos( w ) i (6.) iii. Fórmuls itrpolção Lgrg pr o cálculo H ( ) ou P( ). ( ) P( ) L C L [ cos( w) cos( w )] H (6.) [ cos( w) cos( w )] C H ( ) ( ) δ W ( ) (6.) L b cos i i L ì ( w ) cos( w ) cos( w ) cos( w ) (6.) iv. S E( ) δ m F tão proimção foi cotr, cso cotrário um ovo cojuto frquêcis v sr forcio volt o psso. O ovo cojuto frquêcis sr oto é qul o qul s frquêcis corrspom os miors picos positivos gtivos, como mostr figur 6. os potos mrcos com um, cotuo, s frquêcis s bs pssgm tução vm prmcr st cojuto. A psquis pr s obtr s frquêcis os ovos picos é rli m um cojuto mis so pr vitr rros miors proimção. S houvr rros máimos m w w π, tão frquêci o pico mior vlor é scolhi. o fil os coficits h (), H ( ) P( ), são os coficits o filtro igitl otimio, substituio qução (6.5) tmos o filtro otimio. H(w) δ -δ δ -δ w w w wp ws w6 w7 π w Figur 6.: Atulição s frquêcis pr o lgoritmo Prs-McClll. Hrrm (97), svolvu um fórmul projto m fução δ, δ, w p w s pr s stimr orm pr o projto filtros pss-bis,

- - M ( δ δ ) log. 4( w s w p ) (6.4) Est fórmul forc um bo proimção orm sr utili. S o filtro for projto com orm trmi cim, prstr um rro mior qu o spcifico, orm o filtro po sr umt té qu s coiçõs projto sjm lcçs. Emplo : A figur 6.4 mostr o móulo rspost m frquêci um filtro projto plo lgoritmo Prs-McClll com s sguits spcificçõs: δ δ., f p. f s.. A orm o filtro é clcul pl qução (6.4), (.. ) π (.. ) log M 8. 49. 4 Pr o filtro tipo I utilimos M 8, com o uílio um computor, obtmos os sguits coficits: h h 8.498 - h h 7 h h 6 -.95 - h h 5 h 4 h 4 4.589 - h 5 h h 6 h -9.4557 - h 7 h h 8 h.4 - h 9 5. -.8.6.4.....4.5 Figur 6.4: Emplo projto utilio o lgoritmo Prs-McClll. Filtro pss-bis tipo II Pr o filtro pss-bis tipo II com fs lir, m qu M é um úmro ímpr, são vális s sguits fórmuls: h ( ) h( M ),,, L, M (6.5) M ( ) j w M / ( ) H b( ) cos w (6.6) M b ( ) h,,, L,( M ) / (6.7)

- - st cso, mitio: tão rspost m frquêci srá por: b ~ () b( ) M b ~ ( ) b( ) b ~ ( ),,, L, (6.8) M M b ~ b M ( ) j w M / H ( ) cos w b ~ ( ) cos( w) (6.9) s fuçõs sjs porção o rro srão s por: H ( ), w cos, w w w s p w < π b pssgm b tução (6.) ( ) W δ w cos, δ w cos, w w w s p w < π b pssgm b tução (6.) qução (9) é rsolvi m trmos os coficits b ~ ( ). Eistm implmtos progrms computor pr obtção os coficits o filtro utilio o métoo cim, vj, por mplo, rfrêcis 7 9 bibliogrfi tmbém softwrs vços, como por mplo o MtLb, qu fcilitm o projtist obtção os filtros quirippl. 6. Aproimção Pé A proimção Pé é utili pr filtros IIR. As técics projto pr filtros IIR são bss trsformção fução trsfrêci, H(s), um filtro lógico pr um fução H() o filtro igitl, trvés um fução mpmto s f(), como foi stuo o cpítulo 5. A técic Pé é um técic projto bs os míimos quros, qu proim irtmt um filtro bso-s irtmt rspost o impulso sj h () o sistm. Sj H() fução rciol um sistm cusl, isto é, Q b B ( ) ( ) H ( ) h( ) (6.) A P

- - Est fução trsfrêci prst P Q prâmtros livrs, os coficits b, qu pom sr slcioos pr miimir um rro sguo lgum critério. O procimto pr cotrr sts coficits é stblcr qu rspost o impulso o filtro sj igul à rspost o impulso o filtro sjo pr,,,..., - PQ, isto é, ( ) ( ) Q,P,,, h h L (6.) ot qu qução (6.) po sr scrit como sgu, ( ) ( ) ( ) B A H (6.4) Trsformo qução cim pr o omíio o tmpo, trvés propri som covolução sgu qu, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P b h h * h (6.5) A qução (6.5) é um cojuto P Q quçõs lirs istits, ssim, stblco ( ) ( ) Q,P,,, h h L., tm-s qu: ( ) ( ) ( ) ( ) P P Q Q Q b h h,,,,,,, L L (6.6) pois, pl qução (6.) b() pr > Q. Pr solução o filtro, o primiro psso é trmir os coficits (). Amitio, qução (6.6), qu Q,..., P Q qu s quçõs sjm lirmt ipts, tão, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q h Q h Q h P. Q h P Q h P Q h P Q h Q h Q h P Q h Q h Q h M M L M L M M L L (6.7) Dtrmio os coficits trvés qução cim, os coficits b são trmios mitio,,..., Q qução (6.6) ou sj, ( ) ( ) ( ) ( ) P Q,,, h h b L (6.8) Emplo : Sj ( ) ( ) u h, trmi, por proimção Pé, um filtro H() qu proim H () tl qu: () b b H Obsrv qu P Q, ssim pl qução (6.7), () ( ) / / h h

- - Pl qução (6.8), ( ) () ( ) h h b h b portto, ( ) 5. H 6. Métoo Proy O métoo Proy é utilio tmbém o projto filtros IIR é um tsão o métoo Pé. El utili borgm os míimos quros pr trmir os coficits o filtro. O métoo cosist m cotrr os coficits b, qução (6.), qu miimim o rro qurático méio tr rspost o impulso sj rspost o impulso o filtro cotro. Como s rsposts o impulso são ris mitio um filtro cusl, st rro po sr scrito como: ( ) ( ) ( ) ε h h E (6.9) Cosiro qução (6.6), mitio Q, pomos scrvr qu: ( ) ( ) ( ) P Q, h h (6.4) Amitio h () h() substituio qução (6.4) m (6.9) o rro qurático méio po sr scrito como: ( ) ( ) ( ) ε Q P h h E (6.4) Os coficits, qu miimim ε, pom sr cotros stblco s rivs prciis ε m rlção os coficits iguis ro, ssim, pós lgum mipulção mtmátic tm-s qu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P,,, l, l h h E l h h E P Q Q l L ε (6.4) Amitio: ( ) ( ) ( ) Q h l h h E,l r (6.4) ou sj, r h (,l) é similr à fução utocorrlção rspost o impulso sj.

- 4 - Portto, qução (6.4) po sr rscrit como: r h P (,l) ( ) r (, ), l,, L, P h (6.44) Pr um fcili mior obsrvção, pomos tmbém scrvr qução (6.44) form mtricil, rh rh M rh (, ) rh (, ) L rh (,P) (, ) r (, ) L r (,P) ( P, ) r ( P,P) L r ( P,P) h h M L h h M ( ) ( ). M ( P) rh rh M rh (, ) (, ) ( P, ) (6.45) Um v trmios os coficits, os coficits b são cotros utilio qução (6.8), ou sj: b P ( ) h ( ) ( ) h ( ),,, L, Q (6.46) 6.4 Projto filtros FIR plo métoo os míimos quros Sbmos qu um sistm ivrso um sistm lir ivrit o tmpo, com rspost o impulso h(), é qul qu stisf s sguits coiçõs: ( ) * h ( ) ( ) h I δ (6.47) o omíio frquêci trsform qução cim é por ( ) * H ( ) H I (6.48) m qu h i () H I () são, rspctivmt rspost o impulso fução o sistm lir ivrit o tmpo ivrso. S H() é um sistm somt com polos, tão H I () srá um sistm FIR, cso cotrário l srá um sistm IIR, ssim, rstrigio h() h i () como rspost o impulso um filtro FIR orm M truco h() tl qu: h I ( ) h( ) i,, L, M (6.49) Amitio > M h i () é o rro proimção, ssim, st procimto cou um rro qurático proimção igul : ε t i M ( ) h (6.5) Um métoo ltrtivo pr o projto é utilir o critério o rro qurático míimo pr otimir os coficits b o filtro FIR. Est procimto é scrito bio. Sj () squêci sí sj o filtro FIR sj h() squêci tr o filtro sr proimo, como mostr figur 6.5.

- 5 - () δ() h() FIR y() b () Algoritmo Miimição o rro Figur 6.6: Filtro ivrso FIR plo métoo os míimos quros. O rro tr sí o filtro rspost sj srá: ( ) ( ) y( ) ( ) b h( ) M (6.5) m qu b são os coficits o filtro. Assim, o rro qurático méio srá: M ( ) ( ) ε b h (6.5) Est rro po sr miimio rivo qução cim m rlção os coficits b igulo o rsulto ro. Após lgum mipulção lgébric chg-s qu: M b r hh ( l) r ( l) l,, L, M h (6.5) m qu: hh () l h( ) h( l) r () l ( ) h( l) h r (6.54) O filtro qu stisf qução (6.5) é chmo filtro Wir. Amitio qu o filtro vi proimr o filtro ivrso, isto é, () δ(), tão: ( ) h, l r h () l, cso cotrário (6.55) O cojuto quçõs m (6.5) pom sr prssos form mtricil como: r r r hh hh hh ( ) rhh ( ) L rhh ( M ) () r ( ) L r ( M ) M M L ( M ) r ( M ) L r ( ) hh hh hh hh M b b. M bm ( ) h M (6.56) E o rro míimo srá:

- 6 - ( ) ε mi h b (6.57) Obsrv qu mtri qução (6.56) é simétric, com toos os lmtos iguis o logo igol pricipl. Est mtri é cohci como mtri Toplit. Utilio s propris st tipo mtri foi svolvio o lgoritmo ficit ( Lviso-Durbi), qu rsolv rpimt qução (6.56) sm utilir métoos ivrsão mtris. Emplo : Sj h() rspost o impulso um sistm tl qu: h ( ) 4,,,, Ecotr o filtro FIR ivrso, com M o rro míimo qu proim o sistm cim plo métoo os míimos quros. Pr cotrr o filtro FIR ivrso vmos rsolvr qução (6.5) mostr bio: M b r hh ( l) h, ( ), l, L, M M Cálculo r () l h( ) h( l) hh r ( ) h( ) h( ) h ( ) h ( ) h ( ) hh r () h( ) h( ) h() h( ) h( ) h() hh r ( ) h( ) h( ) h( ) h( ) 4 hh Pr o cálculo os coficits o filtro FIR, utilimos s quçõs (6.5) ou (6.56), ssim: 4 4 b 4. b b b b.469 b..6 O rro míimo é o pl qução (6.57): ε ( ) 4..469. 4 mi h b Portto trsform o filtro FIR ivrso srá: H ( ).469..6.4985 4.56.469 As figurs 6.7 6.8 mostrm s rsposts mplitu o filtro sjo (lih cotíu) o o projto (lih trcj) plo métoo os míimos quros. figur 6.7 foi utilio M, como svolvio o mplo cim, figur 6.8 foi utilio M 5. Obsrv bo proimção o filtro

- 7 - projto com o filtro sjo. Obsrv tmbém qu coform umtmos orm, mlhor é proimção, pois o rro imiui. 5 sjo projto 5 f....4.5 Figur 6.7: Rsposts mplitu o filtro sjo o o projto plo métoo os míimos quros M. 5 sjo projto 5 f....4.5 Figur 6.8: Rsposts mplitu o filtro sjo o o projto plo métoo os míimos quros M 5.

- 8 -

- 9 - Bibliogrfi [] Ophim, A. V. Schfr, R. W., Discrt-Tim Sigl Procssig, Prtic-Hll, 989. [] Ophim, A. V. Schfr, R. W., Digitl Sigl Procssig, Prtic-Hll, 975. [] Prois, J. G. Molis, D. G., Digitl Sigl Procssig: Pricipls, Algorithms Applictios, McMIll, 99. [4] D Ftt, D. J., Lucs, J. G. Hogiss, W. S., Digitl Sigl Procssig: A Systm Approch, Joh Wily & Sos, 988. [5] Dii, Pulo S. R., Brros Silv, E. A. Lim tto, S., Procssmto Digitl Siis, Boom Eitor, 4. [6] Shoi, K., Digitl Sigl Procssig i Tlcommuictios, Prtic-Hll, 995. [7] Bhr, H., Alog Digitl Sigl Procssig, Joh Wily & Sos, 99. [8] Burrus, C. S., McClll, J. H., Opphim, A. V., Prs, T. W., Schfr, R. W. Schusslr, H. W., Computr-Bs Ercics for Sigl Procssig Usig Mtlb, Prtic-Hll, 994. [9] Prs, T. W. Burrus, C. S., Digitl Filtr Dsig, Joh Wily & Sos, 987. [] Zvrv, A. I., Hboo of Filtr Sythsis, Joh Wily & Sos, 967. [] Joquim, M. B., Srtori, J. C., Aális Fourir, CD-ROM EESC-USP,. [] Rmir, R. W., Th FFT: Fumtls Cocpts, Prtic-Hll, Ic. 985. [] Rbir, L. R., Gol, B., McGogl, C. A., A Approch to th Approimtio Problm for orcursiv Digitl Filtrs, IEEE Trs. Auio Elctrocoustics, vol. AU-8, pp.8-6, Ju, 97. [4] Hys, M. H., Digitl Sigl Procssig, Schu s Outli Sris, McGrw-Hill, 999. [5] Poulris, A. D., Th Hboo Formuls Tbls for Sigl Procssig, CRC Prss LLC, 999. [6] Prs, T. W., McClll J. H., Chbyshv Approimtio for orcursiv Digitl Filtrs with Lir Phs, IEEE Trs. Circuit Thory, Vol. CT-9, pp. 89-94, mr., 97. [7] Prs, T. W., McClll J. H., A Progrm for th Dsig of Lir Phs FIR Filtrs, IEEE Trs. Auio Elctrocoustics, Vol. AU-, o., pp. 95-99, mr., 97 b. [8] Hrrm, O., Rbir, L. R. A Chu, D. S. K., Prcticl Dsig Rulsfor Optimum FIR Lowpss Digitl Filtrs, Bll Systm Tchicl Jourl, Vol 5, o. 6, pp. 769-799, july-ug. 97. [9] Eit Digitl Procssig Committ of th IEEE, Progrms for Digitl sigl procssig, IEEE Prss, 979.

- 4 -

- 4 - Apêic A- Fuçõs Jls Quo trblhmos com FFT, pr o stuo spctro siis, prmos com lgus problms básicos: O sil é liso m itrvlos tmpo limitos, isto é, squêci qu rprst o sil tm urção fiit, por mplo, FFT ssum qu o sil tro st itrvlo s rpt, como s foss prióico. A FFT forc rsultos pr frquêcis iscrts sprs por /. o sguo cso têm-s imposto limits rsolução spctrl impostos pl urção o itrvlo ális. o primiro cso, ocorr um fito qu é chmo splhmto spctrl (spctrl lg) qu rsult m um istorção o spctro origil o sil. Esplhmto spctrl sigific qu rgi o sil qu vri str coctr m um úic frquêci (como o cso siis soiis), s splh por to fi frquêcis. El stá rlcioo com scotiuis qu prcm os trmos o itrvlo mi. Est fito é mis proucio m siis rptitivos ou m siis qus-prióicos, pois quo itrrompmos o sil pom prcm grs scotiuis. Por mplo, pr um squêci soil prstr um úic ri spctrl, sri cssário um úmro to príoos, cso cotrário trmos o splhmto spctrl o spctro mplitu. O splhmto spctrl po tmbém mscrr outrs compots o sil. Vj o mplo sção 4.6 o cpítulo 4. Quo s lis um sil, mior prt s situçõs, st é sgmto m itrvlos tmpo curtos, isto é, squêci é ivi squêcis mors tmho. Em sgui c um sts prts é lis sprmt. Est procimto é quivlt multiplicr o sil por um fução rtgulr mplitu uitári tro o itrvlo ális mplitu ul for st. Em procssmto siis chmmos st fução jl rtgulr. A jl rtgulr prst scotiuis, ssim, como rsulto tm-s o prcimto frquêcis isjávis o spctro o sil. O spctro rsultt o sil jlo é covolução o spctro jl com o o sil, como s mplitus os lóbulos ltris o spctro jl rtgulr são muito grs st po ficr istorcio ou scor siis frquêcis muito próims. Est fômo é cohcio como splhmto spctrl (lg). Siis qu crscm com o tmpo, cuj form o stá plmt coti jl ális são pouco ftos plo lg. Como issmos, st fito grlmt ocorr m siis prióicos os qus-prióicos. Pr ruir st fito, procur-s vitr o cort brupto jl rtgulr multiplico o sil por outros tipos fuçõs ou jls, cuj form o tmpo iscrto ci suvmt ro. Est procsso é chmo m iglês wiowig (jlmto). st pêic são prsts s fuçõs s pricipis jls utilis m procssmto igitl siis; são tmbém forcis lrgur fi o lóbulo pricipl pr c jl, bm como tução míim o mior lóbulo ltrl c um ls.. Jl Rtgulr, w ( ), < c. c. Lrgur fi jl:.86/ Atução o mior lóbulo ltrl:. B

- 4 -.8.6.4. - -4-6 -8 -.5. Jl Hmmig Figur A-.: Jl rtgulr o omíio o tmpo frquêci. π.54.46 cos( ), w( ), c. c. < Lrgur fi jl:./ Atução o mior lóbulo ltrl: 4 -.8-4.6-6.4. -8 - Figur A-.: Jl hmmig o omíio o tmpo frquêci..5. Jl Hig π.5.5cos( ), w( ), c. c. < Lrgur fi jl:./ Atução o mior lóbulo ltrl: 4 B -.8-4.6-6.4. -8 - Figur A-.: Jl hig o omíio o tmpo frquêci..5 4. Jl Brtltt ou Trigulr

- 4 -, w ( ), / Lrgur fi jl:.7/ Atução o mior lóbulo ltrl: 6.7 B ( ) / < <.8.6.4. - -4-6 -8 -.5 Figur A-.4: Jl trigulr o omíio o tmpo frquêci. 5. Jl Blcm π 4π.4.5cos.8cos, w( ), c. c. Lrgur fi jl: 5.5/ Atução o mior lóbulo ltrl: 57 B -.8-4.6-6.4. -8 - Figur A-.5: Jl Blcm o omíio o tmpo frquêci..5

- 44 -

- 45 - Apêic A- Trsform Rápi Fourir. Itroução A trsform iscrt Fourir (TDF) é um oprção importt m muits plicçõs prátics m sistms tmpo iscrto m ális siis o omíio frquêci. Assim, o su cômputo mir ficit tor-s cssário m prticmt tos s plicçõs Procssmto Digitl Siis. Pr clculr TDF istm lgoritmos ficits chmos Trsform Rápi Fourir (crôimo o iglês FFT - Fst Fourir Trsform). Ests lgoritmos imium rsticmt o úmro multiplicçõs o cálculo DFT, provito-s prioici W, cosguio-s st mir um ficiêci muito lt o cálculo DFT. A TDF é igul às mostrs TF um squêci potos toms m frquêcis igulmt spçs (w π/) o círculo rio uitário o plo. Como fii triormt, o pr trsforms iscrts Fourir um squêci fiit, comprimto é o por: X ( ) ( ) W () ( ) X ( ) W () m qu:,,..., - W -jπ/. s quçõs cim, tto X(), como () pom sr vriávis compls. Portto pr clculr irtmt c vlor TDF ou su ivrs são cssáris multiplicçõs compls - içõs compls. Assim, pr toos os vlors trsform são rquris o totl multiplicçõs compls (-) içõs compls. Como c multiplicção compl rqur 4 multiplicçõs ris c ição rqur içõs ris, tão, pr c vlor trsform são cssáris 4 multiplicçõs 4- içõs ris. Filio, o totl são rquris 4 multiplicçõs (4-) içõs ris. Assim, o sforço computciol pr obtção TDF ou TDFI é muito gr, lém isso, tmbém ist o rqurimto mmóri pr rmr os os os coficits s multiplicçõs por (W ). Em grl cosir-s qu o tmpo computção TDF é proporciol s tor muito gr coform crsc, por isso é itrsst cotrr lgum procimto computciol pr s ruir, priciplmt o úmro multiplicçõs volvis o cálculo TDF ou TDFI. Os coficits W prstm us propris muito importts:. Prioici: W W ( ) ( ) W ( ). Simtri compl: W W ( W Cosir s sguits soms: ) *

- 46 - ( ) R{ ( )}R{ W } R{ ( )}R{ W } [ R{ ( )} R{ ( )} ] R{ W } ( ) Im{ ( )}Im{ W } Im{ ( )}Im{ W } [ Im{ ( )} Im{ ( )} ] Im{ W } Obsrv qu com st tipo grupmto ivi-s o úmro multiplicçõs por, isto é psss us pr um multiplicção rl. Obsrv tmbém qu crtos vlors o prouto pom couir os coficits (W ) o vlor - ou, limio ssim cssi multiplicção. Os lgoritmos FFT utilim s propris W mostrs mplifics cim. Els são bsos composição o cálculo DFT potos m sucssivs trsforms com mors úmros potos pr s cosguir provitr s propris W ssim, imiuir o úmro multiplicçõs. Dss moo é possívl ruir rsticmt os cálculos pr um úmro proporciol log(), como srá visto sguir.. Algoritmo Dcimção o Tmpo Eistm muitos lgoritmos qu rum rsticmt o tmpo cálculo TDF. Ests lgoritmos s bsim composição s TDFs m tmhos c v mors tmbém s propris W cits triormt. st sção srá prsto, como mplo, o lgoritmo cimção o tmpo qu utili um squêci comprimto pr tl qu v. o svolvimto st lgoritmo o primiro psso é pgr prssão TDF () ivií-l m us ovs TDFs comprimto /, composts s mostrs íics prs ímprs (), como mostr qução (4). ( / ) X ( ) ( ) W () ( / ) m ( ) (m) W m m (m ) X (m ) W (4) ( / ) ( / ) m ( ) (m) ( W ) W (m ) ( W ) X (5) m jπ/ jπ/( / ) como: W W ( / ) m / m m, tão TDF () srá por: ( / ) m / W (m ) m m / X ( ) (m) W W (6) X ( ) G( ) W H ( ) (7) Obsrv qu c trmo qução (6 ou 7) é um TDF / potos s squêcis prs ímprs (). Embor,,..., -, c trmo som m (6) cssit sr clculo somt pr,,..., (/)-, pois G() H() são prióics com príoo /. Após s TDFs, G() H(), trm sio clculs TDF, X(), () é clcul coro com qução (7). Est procimto po sr mlhor visulio com o uílio o igrm fluo mostro figur A-., qu mostr sts cálculos pr um TDF 8 potos.

- 47 - () () (4) (6) TDF / PTOS. X() X() X() X() () () (5) (7) TDF / PTOS. X(4) X(5) X(6) X(7) Figur A-.: Gráfico fluo pr um TDF 8 potos ivii m us TDFs 4 potos. Atriormt já foi obsrvo qu pr um TDF potos o úmro cssário multiplicçõs içõs compls r proimmt. Como qução (6) rqur computção us TDFs / potos, tão ls cssitm (/) multiplicçõs compls proimmt (/) içõs compls, como i, sts us TDFs são soms (vj qução (6)) rqurm multiplicçõs compls por (W ) içõs compls, cosqutmt tm-s um totl (/) multiplicçõs içõs compls. É fácil vrificr qu / <. Portto st composição m us TDFs ru o úmro oprçõs volvis; ssim po-s sprr qu s s us TDFs / potos form composts ovmt po-s ruir i mis o úmro oprçõs volvis, como srá visto sguir. Como / é pr, pois v, po-s tão compor ovmt G() H() qução (7) m us ovs TDFs /4 potos c um. Assim: ( / ) m ( / 4) ( / 4) m l / g(l) W / g(l ) l l (l ) / G ( ) g( m) W W (8) ( / 4) l Do msmo moo pr H() tm-s: l ( / 4) G ( ) g(l) W / 4 W / g(l ) W / 4 (9) ( / 4) l l ( / 4) l / 4 W / h(l ) l H ( ) h(l) W W () Ests cálculos são cutos como é ilustro plo igrm figur A-. pr 8. st cso TDF com 8 potos é composts m qutro squêcis /4 potos. ot qu W /4 (W / ) (W ) 4. l l / 4

- 48 - () (4) () (6) TDF /4 PTOS TDF /4 PTOS X() X() X() X() () () (5) (7) TDF /4 PTOS TDF /4 PTOS X(4) X(5) X(6) X(7) Figur A-.: Gráfico fluo composição s TDFs / potos m TDFs /4 potos. Pr o mplo um TDF 8 potos, o próimo psso é compor s TDFs /4 potos m TDFs potos. A figur A-. ilustr st cálculo pr () (4). Est é oprção básic st lgoritmo, pois ão s po compô-l m vlors mors. El é chm computção i plc, por cus form o gráfico l é cohci como buttrfly. () (W ) (4) W (W ) / - Figur A-.: Gráfico fluo pr um TDF potos (Computção i plc). Assim o squm complto pr o clculo um TDF 8 potos é mostro figur A-.4, bio. () () () X() X() X() X() X() (4) (5) (6) (7) X(4) X(5) X(6) X(7) Figur A-.4: Gráfico fluo complto pr um TDF 8 potos. Pr o cso mis grl, o v tl qu v>, procr-s-i o msmo moo qu o mplo cim, compoo s TDFs /4 m /8 potos ssim por it té s chgr m trsforms potos. Obsrv qu st procimto rqur v log () stágios computção. Quo os stágios trsforms / potos são compostos m trsforms /4 potos, o ftor (/) é composto m / (/4), tão composição totl rqurrá 4(/4) multiplicçõs

- 49 - içõs compls. Como v tão o úmro totl multiplicçõs içõs compls srá ruio pr log (). A rução o úmro cálculos po sr mlhor vrific trvés um mplo. Amit qu s tm um TDF com 4 potos, isto é, v. st cso os úmros oprçõs pr o cálculo TDF covciol pr FFT srão: Cálculo covciol TDF:.48.576 6 Pr o lgoritmo cim: log () 4log (4).4 4 Portto, compro os ois procssos cálculo vrific-s qu ocorr um rução o úmro oprçõs m proimmt vs; o qu mostr ficiêci st lgoritmo. Computção i plc. O úmro oprçõs po sr ruio i mis, s form plors s propris simtri prioici os coficits W. Obsrv qu figur A-.4 é costituí rmos qu rprstm o msmo cálculo. E c stágio computção trsform úmros complos m outro cojuto úmros complos st procsso é rptio v log () vs. Sj X m (l), o l,,...,- m,,...,v. A squêci rsultt o stágio m, tl qu pr m, isto é, pr squêci tr tm-s: X () () X () (4) X () () X () (6) X (4) () X (5) (5) X (6) () X (7) (7) () Utilio st otção po-s vr qu computção básic figur A-.4 é: X ( p) X ( p) W m m X ( q) X ( p) W m m r X ( q) m r / X ( q) m () / jπ como: W, tão: X ( p) X ( p) W m m X ( q) X ( p) W m m r r X ( q) m X ( q) m () Portto, o cálculo qução () é i mis simplifico pl qução (). A figur A-.5, bio, mostr qu gor buttrfly rqur somt um multiplicção compl por (W ) r m v us.

- 5 - X m (p) X m (p) X m (q) (W ) r - X m (q) Figur A-.5: Gráfico fluo um buttrfly otimi. A qução () figur A-.5 cim, mostr otimição o úmro oprçõs um buttrfly. Como istm o totl / buttrflis por stágio cálculos log () stágios, tão o úmro totl multiplicçõs compls rquris por st lgoritmo srá igul (/)log (). O gráfico fluo qu scrv st lgoritmo é mostro figur A-.6. () () () () X() X() X() X() (4) (5) (6) (7) X(4) X(5) X(6) X(7) Figur A-.6. Gráfico fluo fil o lgoritmo cimção o tmpo pr um TDF 8 potos. Rvrsão os Bits Como visto triormt os os tr vm sr colocos ou rmos m um orm ão squcil. É fácil s obsrvr qu ls são rmos orm bits rvrtios. Est propri é mlhor obsrv qução bio. X () X () () () X () X () (4) () X () X () () () X () X () (6) () X (4) X () () () X (5) X () (5) () X (6) X () () () X (7) X () (7) () X (pqr) (rqp) (5) Assim, s (rqp) é rprstção biári o íic (), tão posição rmmto () pr iicir o cálculo TDF srá (pqr), isto é, orm rvrs os bits. Est obsrvção fcilit costrução um lgoritmo pr rmmto () o iicio.

- 5 - Filio, um comprção tr s quçõs () () rvlm qu ls ifrm somt por um ftor multiplictivo (/) plo sil os pots os coficits W. Assim, st lgoritmo srv tmbém pr s clculr TDF ivrs ().. Progrm m Ligugm C Fução svolvi m ligugm C (.) pr o lgoritmo trsform rápi Fourir cimção o tmpo, svolvio cim. /************************************************************** * Trsform Rápi Fourir * * S -> -: ft irt * * : ft ivrs * * -> ro potos ft (potci ) * * sg -> Sil tr * * fft -> Rtor ft:...- -> prt rl * *...- -> prt imgiri * * * * Mrclo Bsílio Joquim * **************************************************************/ flot *fft(it S,it, flot *sg) { it I,, i, i, i, ip, it, j, ; flot *ft, r, im, tr, ti, ur, ui, wr, wi, rg; ft (flot *) mlloc(()*siof(flot)); I log()/.6947; /; /* Rvrso os bits */ j ; for(i;i<;i) { if(i<j) { ft[j] *(sgi); ft[j] *(sgi); ft[i] *(sgj); ft[i] *(sgj); } ; whil((<j)&&(>)) { j j - ; /; } j j ; } /* fil rvrso os bits */ /* Algoritmo cimco o tmpo */ i ; for(it;it<i;it) { i i; i *i;

- 5 - ur.; ui.; rg.459654/i; wr cos(rg); wi S*si(rg); for(j;j<i;j) { i j; o { ip i i; r ft[ip]*ur - ft[ip]*ui; im ft[ip]*ur ft[ip]*ui; ft[ip] ft[i] - r; ft[ip] ft[i] - im; ft[i] ft[i] r; ft[i] ft[i] im; i i i; } whil(i<); tr ur; ti ui; ur tr*wr - ti*wi; ui ti*wr tr*wi; } } /* Divi ifft por */ if(s ) for(i;i<;i) ft[i] / ; rtur (ft); } /* fil fuco fft */

- 5 - Apêic A- Fórmuls Tbls. Eprssõs pr lgums séris potêcis s s s < s < s ( ) ( ) s ( ) < s ( ) ( ) < s ( ) ( ) 6 ( ). Epsão m séris potêcis < <!

- 54 - l ( ) l( ) ( l( ) ) ( l( ) ) L < <! l ( ) 4 ( ) 4 L 5 l L 5 L ( ) > < ( ) l L s cos ( ) L < <! 5 5! 7 7! ( ) L < <! 4 4! 6 6!. Algums jls utilis m projtos filtros FIR Jl Lrgur trsição Pico rltivo o Lóbulo ltrl (B) Atução B pr Equção jl [w()],,..., - Rtgulr.9/ - Hig./ - 44 π. 5. 5cos Hmmig./ -4 5 π. 54. 46cos Blcm 5.5/ -57 74 π 4π. 4. 5cos. 8cos 4. Tbl prs trsforms Fourir pr squêcis π π π ( ) X ( ) w X ( ) ( ( )

- 55 -. ( ) Squêci Trsform Fourir δ. δ ( ). u( ) : < 4. u ( ) π δ( w π ) 5. 6. r sw sw ( ) u ( ) : r < r cos w r s w, w < w π, w < w π, < M swm / ( M ) /, cso cotrário sw / 7. ( ) ( ) π δ w w π 8.

- 56-5. Tbl prs trsform X ( ) ( ) () X() Rgião covrgêci δ C ( ) u ( ) u( ) u( ) ( ) u ( ) ( ) ( ) u( ) ( ) u( ) ( w ) u( ) cos ( w ) u( ) s cos s u ( w ) u( ) ( w ) u( ) ( ) cos cos s cos cos ( w ) ( w ) ( w ) ( w ) cos( w ) ( w ) ( w ) ( w ) > > > > > > > > > cos > cos l >